Внешняя задача Дирихле для эллиптических уравнений с постоянными коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. ВНЕШНЯЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

§ I. Оценки некоторых интегральных операторов.

§ 2. Внешняя задача Дирихле для правильно эллиптического уравнения второго порядка в бесконечной многоовязной области в гельдеровых классах.

§ 3. Внешняя задача Дирихле с данными из для эллиптического уравнения второго порядка.

§ 4. Внешняя задача Дирихле с данными из Lt для слабо связанных эллиптических систем второго порядка.

§ 5. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в бесконечной плоской многосвязной области при наличии условий сопряжения.

Глава П. ВНЕШНЯЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА.

§ I, Общее решение однородного эллиптического уравнения порядка 2т в бесконечной области.

§ 2. Общее решение слабо связанных эллиптичеоких систем уравнений высшего порядка в бесконечной области.

§ 3. Внешняя задача Дирихле для эллиптических уравнений порядка 2т.

§ 4. Задача Дирихле для эллиптических уравнений высшего порядка в бесконечной области, ограниченной эллипсом.

1°. Настоящая диссертационная работа посвящена изучению внешней задачи Дирихле для правильно эллиптических систем

2т >> 2 т.

НА. Э2 ц = 0? (х,у) е Gf (I) с граничными условиями

Эк. U дпк

K.= 0,tu-i, (2) г где Ли, - квадратные матрицы с постоянными комплексными элементами, Q. - бесконечная область (с ограниченным дополнением) с достаточно гладкой границей Г; u= (ul7., uj - искомая, а

W-'Ah)- заданные вектор-функции из класса Hm * 4(Г), п - внутренняя по отношению к области Gf нормаль к Г. Н*(Г)-класс функций, производные которых до R-ro порядка включительно удовлетворяют условию Гельдера на Г. При т=1 рассматривается также случай, когда граничные данные принадлежат классу

В окрестности бесконечности на искомое решение накладывается условие

М* М1*Г-1, М = const * 0. (3)

С исторической точки зрения возникновение задачи Дирихле связано со следующей проблемой: требуется найти функцию,гармоническую в некоторой области, непрерывную в замыкании этой области и совпадающую на границе с заданной непрерывной функцией.

Частично ответ на этот вопрос был дан Пуассоном в 1825г., доказавшим существование единственного решения поставленной задачи в случае, когда граница Г является сферой или окружностью.

Тем не менее в общем случае, когда Г является произвольной гладкой границей, решить задачу долго не удавалось, несмотря на усилия многих математиков /2, 53/. Лишь в начале XX века окончательное решение было получено Фредгольмом в его фундаментальной работе об интегральных уравнениях. Ему удалось получить представление решения, используя потенциалы /55/.

Основополагающие результаты в теории эллиптических уравнений с двумя независимыми переменными принадлежат И.Н.Векуа. Он получил формулы, выражающие все регулярные решения уравнения (с аналитическими коэффициентами) через аналитические функции одного комплексного переменного в односвязных и многосвязных областях и провел исчерпывающее исследование задачи Дирихле и общих граничных задач (с данными из С и Н ) для этого уравнения. Эти задачи были сведены к эквивалентным сингулярным интегральным уравнениям с помощью найденных им интегральных представлений аналитических функций и получены условия нетеровости.

И.Н.Векуа получено также общее представление (в односвязной области) решения уравнения где аР<к(х,у)- аналитические функции действительных переменных х и у и с помощью этого представления исследована задача Дирихле. Эти результаты изложены в его монографии /II/.

Фундаментальным вкладом в теорию граничных задач для систем дифференциальных уравнений эллиптического типа являются работы А.В.Бицадзе /4-8/. В работе /4/ построено общее решение эллипau + aux+ + Си = О тической системы с главной частью в виде оператора Лапласа и общая краевая задача для такой системы редуцирована к эквивалентной системе одномерных сингулярных интегральных уравнений с ядрами Коши. Отсюда, в частности, следует фредгольмовость задачи Дирихле (с гельдеровыми данными).

В работе А.В.Бицадзе /5/ показано, что в отличие от одного уравнения, в случае систем требование равномерной эллиптичности, вообще говоря, не гарантирует ни фредгольмовости, ни нете-ровости задачи Дирихле. Приведен пример равномерно эллиптической системы двух уравнений, для которой однородная задача Дирихле в круге Ы<1 имеет бесконечное множество линейно независимых решений. Для этой же системы указана область, где неоднородная задача Дирихле вообще не разрешима, хотя соответствующая однородная задача Дирихле имеет только тривиальное решение.

В работе /6/, а также в монографии /7/ А.В.Бицадзе найдено общее решение в односвязных и многосвязных областях эллиптической системы fluxx+ 2БиХу + Си^ = 0 (4) с постоянными действительными коэффициентами. На основе полученного представления введены условие слабой связности системы (4), выполнение которого обеспечивает фредгольмовость задачи Дирихле в классах Гельдера. Этому же вопросу посвящены работы Е.В.Золотаревой /19-20/, в которых для некоторых классов эллиптических систем вида (4) доказано, что условие слабой связности системы является необходимым и достаточным условием фредгольмовости задачи Дирихле.

В работе / 8/ А.В.Бицадзе на простых примерах разобраны принципиальные вопросы о правильности постановок краевых задач для эллиптических систем.

Впервые общая граничная задача для эллиптической системы Лихх+ 2Bu3cy+Cuyy+aux+ Buy + cu = -f (5) была сформулирована и решена Я.Б.Лопатинским /24/. Им было получено условие согласования коэффициентов Й,Ь,С системы с коэффициентами оС, $ граничного условия + yu= <j (6) условие Лопатинского), достаточное для приведения указанной задачи к регулярной системе интегральных уравнений фредгольмов-ского типа, и одновременно указан способ такого приведения. Условие Лопатинского обеспечивает нетеровость задачи Дирихле.

Далее А.И.Вольпертом было доказано /14/, что это условие ре-гуляризуемости граничной задачи в ряде функциональных пространств является и необходимым для того, чтобы рассматриваемая задача была нетеровой. Указан метод вычисления индекса этой задачи. В работе /15/ им найдено условие на коэффициенты системы (5), при выполнении которого задача Дирихле сводится к системе интегральных уравнений Фредгольма.

К классу систем, для которых имеет место условие Лопатинского, относятся введенные М.И.Вишиком /13/, Л.Гордингом /54/ и др. сильно эллиптические системы. Для этих систем алтернатива Фред-гольма для задачи Дирихле всегда имеет место. Однако оказалось, что задача Дирихле разрешима и для систем, которые не являются сильно эллиптическими /61/.

Условие Лопатинского зависит только от коэффициентов главной части эллиптической системы и граничного оператора. Но, как показывают примеры, коэффициенты при младших производных могут играть существенную роль при решении вопроса нетеровости граничных задач. Эффект влияния коэффициентов при первых производных от искомого решения на характер граничной задачи был изучен

Н.Е.Товмасяном /41, 42/ и Р.С.Сакоом /38/, В /41/ указываются более общие условия на коэффициенты системы (5) и граничного условия (6), которое также обеспечивает нетеровость рассматриваемой задачи. При выполнении этого условия задача (5), (6) приводится к эквивалентной системе одномерных сингулярных интегральных уравнений нормального типа и указывается формула для вычисления индексов.

Исследованию задачи Дирихле для эллиптических систем дифференциальных уравнений второго порядка в различных классах функций посвящены также работы П.И.Вольперта /16/, Б.В.Боярского/9/, А.Д.Джураева /18/, Н.Е.Товмасяна /43-46/, З.Я.Шапиро /49/, Е.В. Золотаревой /21/, Э.П.Меликсетяна /25/ и др. Во всех указанных работах изучена внутренняя задача Дирихле.

Для одного эллиптического уравнения порядка 2т (m.>i) где ак. - комплексные постоянные, общее решение в конечных областях построено в работах Э.М.Саака /37/, Б.Леви /57/, а для системы (I) ~ в работе М.А.Скрыпника /39/. Общее решение уравнения (7) в бесконечной односвязной области GL , в классе функций, исчезающих на бесконечности, получено в работе И.А.Бикчан-таева /3/.

В монографии /I/ для слабо позитивного уравнения (7) с действительными коэффициентами доказано существование и единственность решения внутренней задачи Дирихле.

Однако задача Дирихле для уравнения (7) с комплексными коэф-фициенташ, вообще говоря, не является фредгольмовой или нетеро-вой /1,7/. Характер задачи в этом случае существенно зависит от расположения корней характеристического многочлена

7)

2т

Ш-НаХ (8) н= О

Задача Дирихле для уравнения (7) в полуплоскости корректна тогда и только тогда, когда уравнение является правильно эллип~ тическим, т.е. 0.Ш имеет т. корней с положительными и in. корней с отрицательными мнимыми частями /3/.

Поскольку общее решение эллиптических уравнений с постоянными коэффициентами выражается через произвольные аналитические функции /7, 37, 39/, то задача Дирихле для них приводится к граничной задаче сопряжения со сдвигом относительно аналитических функций. Наиболее естественный способ решения такой задачи - найти подходящее интегральное представление искомых функций в виде интеграла типа Коши или аналогичных интегралов и с их помощью свести задачу сопряжения к сингулярным интегральным уравнениям. Такие интегральные представления для аналитических функций с действительными и комплексными плотностями получены, например, И.Н. Векуа /II/, Н.И.Мусхелишвили /34/, Г.С.Литвинчуком /22/, Н.Е.Тов-масяном /47, 62/. В /62/ этим методом внешняя задача Дирихле (с граничными данными из Н' ) для системы (4) в классе ограниченных функций сведена к интегральному уравнению Фредгольма второго рода и получена явная формула решения для внешности эллипса. Там же указан эффективный метод решения более общих краевых задач.

В работе /52/ рассмотрена задача Дирихле во внешности единичного круга (с нулевыми граничными данными) для уравнения й1(ихх + 2al2uxy + a22Uyy где al(t - ограниченные в области I2l>i функции, удовлетворяющие условиям:

О ^ ос^ a^cos2© + 2a12cos6$inQ + a22Siti20 , ос± у оС% — const j О«0«2тг, laiR(*)-&lkl * Y(l*l), torn. Y(*)»0.

Оо

Доказана теорема существования и единственности решения в соболевском пространстве с весом и получена его априорная оценка.

Основные результаты о разрешимости задачи Дирихле для эллиптических уравнений в конечных и бесконечных областях с негладкой границей приведены в обзорной статье /23/ В.А.Коцдратьева и С.А. Олейник.

Известно, что с помощью граничной функции, определяемой как предел почти всюду на границе по любому некасательному направлению, исходная гармоническая функция или, в более общем случае, решения эллиптического уравнения, однозначно не восстанавливаются (см., например, /60/, /40/). Используя явное представление решения задачи Дирихле для гармонических функций (в круге или полупространстве) с помощью соответствующего интеграла Пуассона в /60/ и /40/ получены необходимые и достаточные условия для того, чтобы функция имела предел в среднем (квадратичном) на границе. В работах В.П.Михайлова /28-32/ эти результаты распространены на случай решений равномерно эллиптического уравнения второго порядка п. п.

2Z(a и(х)их.)х. + ZIal(x)ux. + a(x)u = Kx) (9) i)(j=i « 1 «1 L=i с вещественными коэффициентами al(j(x) eOji(x)eC (й), ai(x)eC'(Q), а(х)еС(й) в шаре и произвольной конечной области 0- с гладкой границей 60- , т.е. когда нет явного выражения функции Грина соответствующей задачи Дирихле. В другой работе Михайлова /59/ изложен обзор результатов, относящихся к необходимым и достаточным условиям существования предела в среднем на границе области для обобщенных решений уравнения (9). Эти исследования привели Михайлова к новой трактовке понятия обобщенного решения эллиптических уравнений /28/, /33/. Для существования решения из W*(G0 уравнения (9), удовлетворяющего граничному условию и|Эй=Ч>, 4>zLz{ Эй), (Ю) необходимо, чтобы функция Y допускала продолжение в область Q. как функция из W(G0. Поскольку произвольная непрерывная на 30. и тем более произвольная функция из этим свойством не обладает, то возможна такая ситуация, когда классическое решение задачи (9), (10) (решение из с (о) П С(й) ) существует, а обобщенного решения эта задача не имеет. В связи с этим представляется естественным введенное Михайловым более общее понятие обобщенного решения - решения из V^CO.) : требуется, чтобы внутри рассматриваемой области решение имело обобщенные первые производные и удовлетворяло уравнению (интегральному тождеству с финитными пробными функциями) и граничному условию

Eim ^ [u(Xs(x))-4>(x)]2ds = 0, (II) s-o* о за где ХзСэс) = x-5h,(x) 7 п(х) - вектор внешней по отношению к области QL единичной нормали к дО. в точке хеЭО. . В /28/ им установлено, что задача (9), (II) фредгольмова и из единственности следует существование решения при любой граничной функции из 12 и любой правой части из некоторого (более широкого, чем А2 ) пространства,

В работе А.К.Гущина и В.П.Михайлова /II/ найдены необходимые и достаточные условия существования предела (в смысле LP, р>1)на границе единичного шара у обобщенного из VP'e0C (Q.) решения уравнения (9) при aL(x)sO, a(x) = 0, -f(x) е ZPj£ocCq.) и доказана единственность решения задачи Дирихле при любой граничной функции

Zpfaa).

Задаче Дирихле с данными из Lt для слабо связанной системы (4) посвящены работы /26, 27/ Меликсетяна, где доказана однозначная разрешимость этой задачи вне круга и в полуплоскости.

В работе Е.И.Оболашвили /36/ строятся в явном виде решения ряда граничных задач теории упругости в полуплоскости у>0. Предполагается, что граничные данные и искомое решение по переменной х принадлежит классу

2°. Актуальность темы и цель работы.

Как видно из вышеизложенного, эта тематика является актуальной и активно разрабатываемой. Целью работы является: I) доказать существование и единственность решения внешней задачи Дирихле для правильно эллиптического уравнения (7) при m=i , когда граничные данные принадлежат Н и U; 2) доказать фредгольмо-вость внешней задачи Дирихле с данными из Н и Li для слабо связанных эллиптических систем (4); 3) доказать фредгольмовость внешней задачи Дирихле с данными из Н для правильно эллиптического уравнения (7) и слабо связанной эллиптической системы (I) и получить явную формулу решения во внешности эллипса; 4) исследовать задачу Дирихле для уравнения Лапласа на плоскости с двумя круговыми вырезами при наличии условий сопряжения типа скачка функции и ее нормальной производной.

3°. О практической и теоретической ценности результатов.

Полученные результаты представляют теоретический и практический интерес, поскольку: I) получены формулы общего решения уравнения (7) и системы (I) в неограниченных областях, 2) получены явные формулы решения рассмотренных задач вне эллипса, 3) указан метод решения задачи Дирихле в одноовязных и многосвязных бесконечных областях, 4) полученные результаты могут быть использованы при исследовании общих граничных задач для системы (I) и уравнения (7) в бесконечных многосвязных областях, возникающих в задачах математической физики и теории упругости, 5) полученные результаты использованы при расчете емкости симметричных кабелей связи /68-70/.

4°. Перейдем теперь к изложению основных результатов диссертации.

Работа состоит из введения и двух глав. В первой главе исследуется внешняя задача Дирихле для правильно эллиптического уравнения (7) и слабо связанной системы (I) при m=i.

§ I главы I носит вспомогательный характер. Полученные здесь результаты используются в последующих параграфах при исследовании задачи Дирихле. В этом параграфе получены оценки следующих интегральных операторов:

TJin. (*,*)- 5 Wt,«)fa)<tt, feZ^ltl-O, и,2; n,= 0,i,., iti--i d*ft)> ^H(m.i),

ItH где t|=i о6(0 -oc(s) cC'(i) с и \ сСЛ±} 1 . . I d cU oC(t) -0c(z)

-I It 1г= 1,2,. , |г!> i, oC(z), ^(2) - заданные в кольце |г| « {+-£ функции из класса Н3 , причем oc(z) с отличным от нуля якобианом взаимооднозначно отображает это кольцо на область ^ U Г (Г является образом |i| = l ), F4(t) - предельные значения на |T| = i интеграла типа Копт гМ

Предварительно для функций 5j)h.(t,2) доказано неравенство в котором - положительные постоянные (лемма I.I).

Для вышеуказанных интегральных операторов доказана справедливость следующих неравенств: Т,Л г ^ СП: | « С IU HitCrM.i), г>1,

1гЫ

ItijCf.rtl-clfl^,.!,, i»I>1 с постоянной С>0 , не зависящей от f и ? (леммы I.2-I.4).

В § 2 в бесконечной многосвязной плоской области ОТ исследована задача Дирихле с данными из Н для правильно эллиптического уравнения a0uxx+ 2a1uXy + = 0. с постоянными комплексными коэффициентами. Доказаны существование и единственность решения (теорема I.I), а также получена формула решения специального вида (формула (1.37)), которая используется в дальнейшем при исследовании внешней задачи Дирихле с данными из L{.

В § 3 результаты, полученные в параграфе 2, обобщаются на случай граничных данных из U (теорема 1.2).

В § 4 исследована внешняя задача Дирихле с данными из Н и Lt для слабо связанной эллиптической системы (4) и доказана фредгольмовость этой задачи (теорема 1.3).

В § 5 исследована задача нахождения гармонической функции на плоскости с двумя круговыми вырезами по заданным граничным условиям и условиям сопряжения типа скачка функции и скачка нормальной производной на двух непересекающихся окружностях, охватывающих эти круги. Задача сведена к эквивалентному уравнению Фредгольма с бесконечно дифференцируемым ядром в классе аналитических в единичном круге функций, существование решения которого следует из единственности. При некоторых дополнительных условиях относительно расположения этих окружностей, полученное уравнение Фредгольма можно решить методом последовательных приближений.

Вторая глава диссертационной работы посвящена исследованию внешней задачи Дирихле для эллиптических уравнений высшего порядка.

В § I главы 2 доказана лемма 2.1 и построено общее решение уравнения (7) в области Q. , удовлетворяющее условию (3).

В § 2 аналогичный результат получен для слабо связанной эллиптической системы (I).

В § 3 исследована внешняя задача Дирихле для уравнения (7). С помощью общего представления решения уравнения (7) и интегральных представлений аналитических функций, полученных Товмася-ном /ба', эта задача сводится к многоэлементной задаче сопряжения со смещениями и доказана фредгольмовость этой задачи.

В § 4 доказана однозначная разрешимость задачи Дирихле для уравнения (7) вне эллипса.

5°. Новизна полученных результатов.

Новизна результатов, полученных в диссертации, заключается в следующем: I) доказана фредгольмовость внешней задачи Дирихле с данными из Zt для слабо связанной эллиптической системы (I) и однозначная разрешимость для уравнения (7)(m. = 1) с данными из Н и Lit 2) получена явная формула решения задачи Дирихле с данными из Н для уравнения (7) во внешности эллипса.

6°. Применяемая методика.

При исследовании поставленных задач использованы: общее представление решений эллиптических уравнений.через аналитические функции, задача сопряжения со сдвигом для аналитических функций, интегральные представления аналитических функций через аналитические плотности и ограниченность некоторых интегралов типа Коши.

Основные результаты диссертаций опубликованы в работах /6467/.

1. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг Л, Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы. - М.: ИЛ, 1962.

2. Бернштейн С.Н., Петровский И.Г. О первой краевой задаче (задаче Дирихле) для уравнений эллиптического типа и о свойствах функций, удовлетворяющих этим уравнениям. УМН, 1941, вып.8, 0.8-31.

3. Биччантаева И.А. Краевая задача для однородного эллиптического уравнения с постоянными коэффициентами. Изв. вузов, Мат., 1975, т.157, ft 6, с.3-13.

4. Бицадзе А.В. Граничные задачи для систем линейных дифференциальных уравнений эллиптического типа. Сообщ. АН Груз.ССР, 1944, т.5, № 8, с.761-770.

5. Бицадзе А.В. Об единственности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений с чаотными производными. УМН, 1948, т.З, № 6(28), с.211-212.

6. Бицадзе А.В. Об эллиптических системах дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка. ДАН СССР, 1957, т.112, № 6, 0.983-986.

7. Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966.

8. Бицадзе А.В. К теории систем уравнений о частными производными. Тр. Матем. ин-та АН СССР, 1976, т.142, с.67-77.

9. Боярский Б.В. 0 первой краевой задаче для систем уравнений эллиптического типа второго порядка на плоскости. Бюлл. Польской АН, Сер. мат., астр, и физ. наук, 1959, т.7, № 9,с.565-570.

10. Векилов 1П.И. Функции Грина для оператора Лапласа в составной области. Тр. ин-та матем. и мех. АН АзССР, 1963, т.2, В 10, с.24-31.

11. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. М.: Гостехиздат, 1948.

12. Власов В.И. Об одном методе решения некоторых плоских смешанных задач длят уравнения Лапласа. ДАН СССР, 1977, т.237, № 5, c.I0I2-I0I5.

13. Вишик М.И. О сильно эллиптических системах дифференциальных уравнений. Мат. сб., 1951, т.29, № 3, 0.615-676.

14. Вольперт А.И. Об индексе и нормальной разрешимости граничных задач для эллиптических систем дифференциальных уравнений на плоскости. Тр. Моск. мат. об-ва, 1961, № 10, с.41-87.

15. Вольперт А.И. Задачи Дирихле для эллиптической системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка на плоскости. Укр. мат. журн., 1951, т.З, Л 4, с.449-469.

16. Вольперт А.И. Общие представления решений эллиптических систем уравнений с постоянными коэффициентами. Львов, мат. ин-т. Сб. научн. трудов, 1954, № 4, о.III-122.

17. Гущин А.К., Михайлов В.П. О граничных значениях в Lp,р>1, решений эллиптических уравнений. Мат. сб., 1979,т.108 (150), Jfc I, с.3-21.

18. Джураев А.Д. К вопросу об индексе и нормальной разрешимости задач Дирихле и Пуанкаре для общей эллиптической системы второго порядка с двумя независимыми переменными. ДАН СССР, 1964, т.7, с.3-6.

19. Золотарева Е.В. Необходимое и достаточное условие фредгольмовости задачи-Дирихле для некоторого класса эллиптических систем. ДАН СССР, 1962, т.145, № 4, с.724-726.

20. Золотарева Е.В, 0 задаче-Дирихле для некоторого класса эллиптических систем, ДАН СССР, 1962, т.145, № 5, о.583-585.

21. Золотарева Е.В. Об единственности задачи Дирихле для некоторых эллиптических систем, Сиб, мат, журн., 1967, т.8, № 3, с.565-572.

22. Литвинчук Г.0. Краевые задачи и.сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. М.: Наука, 1977,

23. Меликсетян Э.П. Задача Дирихле для слабо связанных эллиптических систем дифференциальных уравнений второго порядка в ограниченных областях. йзв, АН Арм.ССР, 1981, т.16, Л 4, с.253-273.

24. Меликсетян Э.П, Задача Дирихле для эллиптических систем дифференциальных уравнений второго порядка в некоторых классах в области /2/>/. Изв. АН Арм.ССР, 1980,т.15, № 5, с.335-348.

25. Меликсетян Э.П, Задача Дирихле для эллиптических систем дифференциальных уравнений второго порядка в классе суммируемых функций, Изв. АН Арм, ССР, 1979, т.14, )£ 6, о.407-415.

26. Михайлов В.П.О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка.-Диф.уравнения, 1976,т.12,№ 10, с.1877-1891,

27. Михайлов-В,П, 0 граничных значениях решений эллиптичес--ких уравнений в областях о гладкой границей. Матем. сб., 1976, т.101(143), №2(10), с.163-188,

28. Михайлов В.П. 0 граничных свойствах решений эллиптических уравнений. Матем. заметки, 1980, т.27, I, с.137-145.

29. Михайлов В.П. 0 поведении вблизи границы решений эллиптического уравнения. ДАН СССР, 1976, т.226, 1Ь 6, с.1264-1266.

30. Михайлов В.П. О граничных значениях решений эллиптического уравнения в шаре. Мат, сб., 1976, т.100(142), с.5-13.

31. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983.

32. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. -M.s Наука, 1968.

33. Мухлисов Ф.Г. Решение некоторых краевых задач для уравнения Лапласа методом теории потенциалов. Сб. асп. работ Казанского ун-та, Матем., 1969, с.81-90.

34. Оболашвили Е.И. Преобразование Фурье и его применение в теории упругости. Тбилиси: Мецниереба, 1979.

35. Саак Э*М. Об устойчивости задачи Дирихле для эллиптических уравнений любого порядка. Диф. уравнения, 1972, т.8,с.706-714.

36. Сакс Р.С. О задаче Дирихле для одного класса эллиптических систем дифференциальных уравнений второго порядка. Диф. уравнения, 1970, т.6, $ I, с.72-85.

37. Скрыпник М.А. Общее решение уравнения видаs jaSZZJl э^эц5-»= 0 • ~ Укр* шт' жУРн" 1975> т*27* & 4» G«548~553.

38. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973.

39. Товмасян Н.Е. Общая краевая задача для эллиптических систем второго порядка с постоянными коэффициентами. Диф.уравне-ния, 1966, т.2, № I, с.3-23; № 2, с.163-171.

40. Товмасян Н.Е. К теории общих линейных краевых задач для эллиптических систем. Сиб. мат. журн., 1967, т.8, & 5, с.1104-1123.

41. Товмасян Н.Е. Задача Дирихле для эллиптической системы двух дифференциальных уравнений второго порядка. ДАН СССР, 1963, т.153, с.53-56.

42. Товмасян Н.Е. Задача Дирихле для эллиптических систем дифференциальных уравнений второго порядка. ДАН СССР, 1964, т.159, с.995-997.

43. Товмасян Н.Е. Некоторые граничные задачи для систем уравнений эллиптического типа второго порядка, не удовлетворяющие условию Лопатинского. ДАН СССР, 1965, т.160, с.1028-1031.

44. Товмасян Н.Е. Эффективные методы решения задачи Лдрихле для эллиптических систем дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами в областях, ограниченных эллипсом. Диф. уравнения, 1969, т.5, № I, с.60-71.

45. Товмасян Н.Е. Об одном методе решения дифференциальных уравнений второго порядка на плоскости. Шт. сб., 1972,т.89(131), № 4, с.599-615.

46. Товмасян Н.Е. Об устранимых особых точках эллиптических систем дифференциальных уравнений второго порядка на плоскости Мат. сб., 1979, т.Ю8(150), £ I, с.22-31.

47. Шапиро З.Я. Первая краевая задача для эллиптической системы дифференциальных уравнений. Мат. сб., 1951, т.28(70), вып.1, с.55-78.

48. Acanfora F. Problema esterno di Dirichlet per una classe di equazioni ellittiche del secondo ordine. Rend. Accad.sci. fis. e mat. Soc. naz. sci. lett. earti, Kapoli, 1978 (1979), 56-69.

49. Aganovic J., Veselic K. On a singular contact problem for two-dimensional Laplace equation. Rend, mat., 1978, vol. 11,N 4, p. 521-532.

50. Campi S. On the exterior Dirichlet problem for linear elliptic equations in the plane. Ann. mat. pura ed appl, 1979, vol. 119, p. 177-194.53* Garding L. The Dirichlet problem. The mat. intell., 1979, vol. 2, N 1, p. 43-53.

51. Алиханян P.А. Смешанная краевая задача для уравнения Лапласа в бесконечной многосвязной области. Изв. АН Арм.ССР, Сер. мат., 1980, т.15, № 4, с.268-275.

52. Алиханян Р.А. Задача Дирихле для эллиптических уравнений четвертого порядка с суммируемыми граничными условиями. ДАН Арм.ССР, 1981, т.73, & 4, с.202-210.

53. Алиханян Р.А. Внешняя задача Дирихле с данными из L{ для эллиптического уравнения второго порядка. Изв. АН Арм.ССР, Сер. мат., 1983, т.18, № I, с.39-48.

54. Алиханян Р.А. Задача Дирихле для дифференциального уравнения эллиптического типа порядка 2п, на плоскооти. Респ. науч-но-практ. конференция преподавателей вузов по математике. Ереван, 1981. Тезисы докладов, с.3-4.

55. Мирзабекян Ж.М., Алиханян Р.А. Расчет рабочей емкости симметричных кабельных цепей звездной скрутки. Электричество, 1981, £ 3, с.72-74.

56. Мирзабекян Ж.М., Алиханян Р.А, Аналитический метод расчета емкости симметричных пятичетверочных кабелей связи, Изв. АН Арм.ССР, Сер. техн.наук, 1981, т.34, № 6, с.25-31.

57. Мирзабекян Ж.М., Алиханян Р.А, К вопросу определения электрических потенциалов и емкости двухпроводной экранированной кабельной цепи. Техн. электродинамика, 1982, Л 3,с.18-22.