Задача Дрихле для не симметрических систем уравнений в частных производных второго порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Московский государственный университет им. М.И.Ломоносом Факультет вычислительной математики и кибернетики

На права:): рукописи

СЫРЕННАЯ Татьяна Николаевна

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ИЕ СИММЕТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА

01.01.02 дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание утиши степени кандидата фипИко математических наук

Москва -1!)%

Работа выполнена на кафедре дифференциальных и. интег ральных уравнений Иркутского государственного университета.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор А.И.Янушаускас.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических: наук, профессор

A.И.Прилепко, кандидат физико-математических наук, доцент

B.Б.Бала^аев .

Ведущая организация — Новосибирский государственный университет.

Защита состой гея " Г199у^т., в заседании Диссертационного совета К.053.05.87 в Московском государственном университете им.М.В.Ломоносова по адресу: 119899, г.Москва, Воробьевы горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет вычислительной математики и кибернетики, ауд.685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМК МГУ.

Автореферат разослан Учений секретарь

Диссертационного совета, / /

доцент В.М.Говоров.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Важным разделом теории уравнений с частными производными является теория краевых задач для эллиптических уравнении и систем уравнений. Эллиптические по Петровскому системы урапненин в частных производных второго порядка, не удовлетворяющие требованию сильной эллиптичности по Вишпку, до настоящего времени в прикладных задачах не возникали, хотя сильно эллиптические системы с параметром встречаются в стационарной изотропной теории упругости. Однако для математики исследование таких систем представляет значительный интерес, что подчеркивалось в обзорном докладе И.М.Гельфанда, И.Г.Петровского, Г.Е.Шилова на третьем Всесоюзном математическом -съезде.

В настоящее время достаточно полно исследованы эллиптические системы с, двумя независимыми переменными и сильно эллиптические системы с любым числом независимых переменных (см., например, работы А.В.Бпцад М.И.Впшика, Н.Е.Товмасяна, А.И.Янушаускаса и других авторов), есть ни-* терееные результаты для не сильно эллиптических систем с- параметром в работах Эжена и Франсуа Коссера, Щ.Б.Халнлова, С.Г.Мнхлина, А.И.Янушаускаса, Г.В.Васильевой,' Е.А.Головко и др. Но в теории эллиптических систем имеется еще мт/го неясных вопросов. Одним из них является вопрос о том, как влияет структура системы на разрешимость задачи Дирихле и как зависит разрешимость этой задачи от области, в которой рассматривается система (работы А.В.Бшмлзе). Сильно эллиптические системы ведут себя, в смысле разрешимости класси-

ческнх граничных задач, как эллиптическое уравнение. Для не сильно эллиптических систем этот вопрос: решается сложнее и он недостаточно исследован. Поэтому становится особенно важ- . ньш изучение не сильно эллиптических систем и граничных задач для них, во время которого должны возникнуть различные интересные эффекты разрешимости этих задач. Кроме того, среди не сильно эллиптических систем, в свою очередь, есть системы, для которых классические граничные задачи являют* ' ся корректными, и есть системы, для которых их корректность нарушается, поэтому появляется необходимость такие системы изучать более полно и еще более тонко их классифицировать. В работах А.И.Янушаускаса и его учеников уже рассмотрен ряд эллиптических по Петровскому систем, но, удовлетворяющих условию сильной эллиптичности, строится классификация таких систем.

Настоящая работа является продолженном исследований но теории разрешимости граничных задач для эллиптических но Петровскому систем.

Целью работы является исследование влияния структуры эллиптической по Петровскому системы, не удовлетворяющей условию сильной эллиптичности, на разрешимость задачи Дирихле для систем с тремя независимыми переменными специального вида и выяснение зависимости характера разрешимости задачи Дирихле от области, в которой рассматривается система.

Научная новизна и практичная значимость работы. Работа посвящена дальнейшему развитию и применению идеи методов гармонических функции и интегральных

уравнений для исследования' разрешимости задачи Дирихле п различных областях. Вопрос о разрешимости задачи Дирихле в каждой из рассматриваемых областей для каждой из рассматриваемых систем сводится у изучению уравнения с частными производными второго порядка, которое является условием некоторой классической граничной задачи и для которого уже можно получить практические результаты. Кроме того, доказана инвариантность эллиптичности систем специального вида относительно введения дополнительных параметров в характс-' ристическую матрицу системы.

. Полученные результаты работы являются новыми и представляют интерес для теории эллиптических систем; могут быть использованы, при исследовании разрешимости граничных задач.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались-на научном семинаре кафедры высшей математики Читинского политехнического института (Чита, 1993 г.); на научном семинаре кафедры математического анализа ИГУ под руководством профессора Н.А.Сидорова (Иркутск, 1993, 1994, 1996 г.г.); на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений механико- математического факультета МГУ под руководством академика Е.М.Ландиса (Москва, 1995 г., 17 конференция молодых учёных); на международной конференции по алгебре, геометрии и анализу (Новосибирск-Иркутск, 1995 г'.): на научном семинаре ИрВЦ СО РАИ (Иркутск, 1995,1996 г.г.); на 18 конференции молодых ученых (Москва, 1996 г.; механико-математический факультет МГУ); на научном семинаре кафедры общей математики факультета ЙМК МГУ под руковод-

з

ством академика В.А.Ильина (Москва, 1990 г.); на ляпудовских чтениях на ИрВЦ СО РАН (Иркутск, 1996) и систематически на семинаре кафедры дифференциальных и интегральных уравнений ИГУ под руководством профессора А.И.Янушаускаса,

Публикации. Основные результаты диссертации содержатся В работах [1- 5].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы, включающего-91 наименование. Объем работы составляет 109 страниц.

На защиту выносятся следующие результаты:

1) сведение вопроса о разрешимости задачи Дирихле, для не сильно эллиптических систем в различных областях к изучению различных уравнений о частными производными второго порядка, являющихся условиями классических граничных задач и зависящих от вида области;.

2) исследование влияния кососимметрической составляющей системы на характер разрешимости задачи Дирихле в произвольной ограниченной области с ляпуновской границей;

3) полное изучение характера разрешимости задачи Дирихле для не сильно эллиптической системы специального вида в различных областях н различными методами.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дан краткий обзор литературы и уже существующих результатов, связанных с тематикой исследования.

обосновывается актуальность темы, отражена степень новизны и изложены основные результаты настоящей диссертации.

Первая глава носит вспомогательный характер. Она состоит из двух параграфов, в которых приведены методы, используемые в данной работе: метод гармонических функций (дан в § 1) п понятие метода интегральных уравнений (дано в § 2) для системы

♦

+ * -1 * ' «

где А - вещественный параметр. Система (1) является элементарным случаем не сильно эллиптической системы, изучена наиболее полно в пространстве любой размерности и ее будем считать модельной, так как для нее существуют результаты, сопоставимые с результатами дальнейших исследований не сильно эллиптических систем и эта система принадлежит к определенному подклассу эллиптических по Петровскому систем (по значениям параметра А).

Во второй, главе, состоящей из четырех параграфов рассмотрена задача Дирихле для двух типов систем уравнений с частными производными второго порядка в пространстве: системы, отличающейся от модельной введением Одного дополнительного параметра в характеристическую матрицу системы типа (1), следующего вида

- Д« + А Л (иг + ьу + ад,) - Щ) = О,

д

эр

-Ди/ + А Л-(их + уу + ю,) = 0."

-Дг; + + V, + и;,) = 0. (2)

где 11~ постоянный коэффициент, и системы с четырьмя параметрами следующего вида

д ' д д --А«ч-А—(«х-и^+ш,)-^!—(^ = о;

с) с) * с)

~àv+\ — {ux+Vy+Wz)+fl3 — (ux+Vy+Wz)-tli — ^ - - О,

! ~ х (з)

д с) с)

-Д'Ш+А—~{ux+vy+wg) = 0;

где A,/ib//.'2, /¿з - постоянные коэффициенты, отличающейся от системы типа (1) наличием кососимметрической составляющей. . " Задача Дирихле рассмотрена в следующей постановке: найтн регулярные в области Т> решения v, w системы (2) (системы (3)), удовлетворяющие на границе Г этой области условиям

«|г = Su Чг Нг -- /з. (4)

где j) - заданные достаточно гладкие функции. Задача исследуется методом гармонических функций из § 1.

В § 3 рассмотрена система (2), найден ее характеристический определитель и собственные числа и .показано, что введение дополнительного параметра ц в характеристическую матрицу не повлияло на эллиптичность системы, которая оказалась зависящей только от значения параметра А, так как и система (1) и система (2) эллиптичны по Петровскому при А ф 1, сильно эллиптичны при А < 1 и не являются таковыми при А > 1. Изучен вопрос о принадлежности систем (1) и (2) к тому или иному подклассу эллиптических по Петровскому систем.

В § 4 для системы (2) методом гармонических функций исследована задача Дирихле с граничными условиями (4).. Область V является полупространством Е\ : {х > 0}, Г— плоскость х = 0, решения и, v, w— исчезающие на бесконечности, /,— стремящиеся к нулю на бесконечности функции, найдены условия разрешимости этой задачи, которые сформулированы в виде теоремы:

Теорема 1.. Задача Дирихле с граничными условиями (4) для не сильно эллиптической системы (2) в полупространстве Ei при A 2 и любом /í всегда разрешима и ее решение единственно, если функции /ь /2, /з в (4) дважды дифференцируемы. При А = 2 и любом /I однородная задача

; -и|г = 0, и|г = 0, w|r = 0

имеет бесконечное множество линейно независимых решений вида

Н = tpx, ti — xtpxi v = х<ру w = xipz, . ■

где II = ux -f vtJ 4- ик , ipx = h - произвольная гармоническая функция, а в условиях (4) функцию /1 нельзя задавать произвольно. Если задача с граничными условиями (4) разрешима; при А = 2, то /1 однозначно определяется функциями /2 и /3.

Таким образом, из сопоставлений результатов исследования разрешимости задачи Дирихле для системы (2) и известных результатов для модельной системы (1), можно сделать вывод о том, что введение одного дополнительного параметра в характеристическую матрицу не повлияло на характер разрешимости задачи Дирихле в полупространстве, добавив только трудности в счете и сделав решения и, v, и>— уже не бигар-

моническими функциями.

В § 5 этой главы рассмотрена система (3). Эта система эллиптична по Петровскому при А ф 1, сильно эллиптична при А < 1 и не сильно эллиптична при Л > 1. Показано, что и введение трех дополнительных, по сравнению с модельной системой (1), параметров //,- в характеристическую матрицу не повлияло на эллиптичность системы и система (3) принадлежит к тому же подклассу эллиптических по Петровскому систем, что и системы (1), (2), а также система А.В.Бнцадзе.

В § б исследована задача Дирихле для не сильно эллиптической системы (3) с граничными условиями (4). Область V является полупространством Е : {ах + Ьу + сг > 0}, Г— плоскость ах + Ьу + сг ~ 0, решения и, V, и)— исчезающие на бесконечности, /¿— стремящиеся к нулю на бесконечности функции. Эта задача сведена к задаче о наклонной производной для регулярной в полупространстве Е гармонической функции Г2 с граничным условием

- ^ + Ш„ + сПг) + АПХ + ВПУ + СП,|Г = п{Х),

ИхЬ - № Иха ~ № р2а - цф

~ ~ 2 ' =--

д<р\ д<р$ ду>) ' .

где <р; - гармонические функции, однозначно определяемые граничными условиями (4).

Результаты исследований, проведенных в этом параграфе, резюмирует следующая теорема:

Теорема 2. Если А ф 2 и функции /|, /2, /з - дифференцируемы, то задача Дирихле для не сильно эллиптической

истемы (3) с граничными условиями (4) в полупространстве 5 при любых //2, /¿з всегда разрешима и ее решение един-ггвенно.

Сделан вывод, что введение кососимметрической соста-шяющей в эллиптическую по Петровскому систему не повлияю на результат разрешимости задачи Дирихле в произвольном юлупространстве Е : хотя для системы (1) задача Дирихле :водилась к задаче Неймана, а для системы (3) получили зада-1у о наклонной производной, все равно условием разрешимости ¡адачи Дирихле осталось условие А ^ 2.

В третьей главе, состоящей из трех параграфов, рассмотрена задача Дирихле для системы (3) в шаре.

В § 7 приведена постановка задачи Дирихле для системы 3) с граничными условиями (4). Область Т> является единичном шаром Е ; {.т2 + у'2 + -г2 < 1}, Г -'сфера х1 + у2 -Ь г2 = 1. Эта задача Дирихле г результате исследований сведена к за-[аче о косой производной (задаче Пуанкаре) для регулярной & царе £ гармонической функции Н с граничным условием

(А - 2)[жКг + уКу + 2Нг] 4- - -

»

= № + ЗГ)'

де функция 0\{Х) - однозначно определяется с помощью усло-1ИЙ (4). . .

В §8 для получения более точных условий разрешимости адачи рассмотрен однородный и неоднородный случал Урав-[енця (5), когда = = 0.

В § 9 рассмотрен общий случай уравнения (5) и доказано, Что поворотом осей его можно свести к уже рассмотренному в § 8 специальному случаю, когда /хд = цз — 0, для которого были получены точные результаты. Результаты исследований разрешимости задачи Дирихле в шаре обобщены в теореме:

Теорема 3. Если А ^ 2 + р к = 1,2,..., то'задача Дирихле для не сильно эллиптической системы (3) с граничными условиями (4) в шаре Е всегда разрешима и ее решение единственно, если функции /ь /г, /з в условиях (4)-дифференцируемы. Если А — 2 + к — 1,2,..., то задача Дирихле- фредгольмова.

Замечание. Если А = 2+и если' /х?+/хФ то однородная задача имеет одно линейно независимое решение и одно условие разрешимости имеет неоднородная задача. А при А = 2 от функций /, надо требовать существования вторых, производных.

Кососимметрическая составляющая характеристической

матрицы системы оказала влияние на разрешимость задачи

Дирихле для системы (3) в шаре, так как для системы (1) од-

1 '

нородная задача при А = 2 + имела 2 к, к = 1,2,... линейно независимых решений (число которых росло с ростом к) (работы Г.В.Васильевой), а дЛя системы (3), если хотя бы один параметр //,• ф 0, то однородная задача имеет единственное решение.

Четвертая глава содержит три параграфа, в которых рассмотрено сведение задачи Дирихле к интегральному уравнению С помощью функции Грина и сделан вывод о разрешимости задачи Дирихле в ограниченной области V для системы специ-

ильного вида (3).

В § 10 метод интегральных уравнений из Главы 1 применен к системе (3). Найдено явное выражение оператора, вли-дащего на разрешимость задачи Дирихле, в случае полупространства Е : {ах + Ьу + сг > 0} его удалось построить явно:

Т(/г) = -^Л(Х) + ^(ЬПХ - аПу) - ^(сПх - аПг)+

- Шг)|Г|

"Де

ЦХ) = Н(Х)|г, Н(Х) = аПх + ЬПу + сПг.

В § 11 задача Дирихле в ограниченной области ТУ с ляпуновской границей Г сведена к задаче о косой производной с интегральным слагаемым для гармонической в области Т> функции О, с граничным условием

"де ядро Т(Х, Z) - фредгольмово,

— = 4- Ьйу 4- сОг, — = ЛПХ + ВГ1у + СП2)

коэффициенты А, В, С- определены выше.

В последнем параграфе (§ 12) найдены условия разрешимости задачи Дирихле для системы (3) в произвольной ограниченной области V с ляпуновской границей Г, которая была, введена к задаче о наклонной производной для гармонической функции П. Для этого задача о наклонной производной методом

потенциалов сводится к сингулярному, интегральном"'уравнению, для которого уже существуют результаты:

г

где первый интеграл понимается в смысле главного значения по Коши, 2) — фредгольмово ядро, о»3 - площадь поверхности единичной сферы в трехмерном евклидовом пространстве. По результатам исследований Главы 4 сделан вывод о разрешимости задачи Дирихле в области Т> :

Теорема 4. Если А ф 2, то задача Дирихле для не сильно эллиптической системы (3) с граничными условиями (4) в ограниченной области V с ляпуновской границей Г- фред-гольмова, если функции /1, /2, /з в условиях (4)- непрерывно дифференцируемы на поверхности Г. •

Замечание. Фредгольмовость здесь понимается в том смысле, что задача эквивалентным образом приводится к интегральным уравнениям Фредгольма. Решение ищется в классе непрерывных в замкнутой области функций.

Также сделан вывод о влиянии кососимметрической составляющей характеристической матрицы системы (3) на разрешимость задачи Дирихле "в области Х>.

В заключение автор искренне благодарит своего научного руководителя профессора Альгимантаса Ионосовича Янушау-скаса за постановку задач и постоянное пшшание к работе.

Основные результаты диссертации содержатся в следующих работах:

1. Сыренная Т.Н. Задача Дирихле в полупространстве для не сильно эллиптической системы //Аналитические и конструктивные методы исследования дифференциальных уравнений- Иркутск: ИГУ, 1993,- С.62- 68.

ъ «

2. Сыренная Т.Н. Задача Дирихле для не сильно эллиптической системы //Междунар. конф, поматем. модел.: Тез. докл.- Якутск, 1994 - С.57- 58.

3. Сыренная Т.Н. О задаче Дирихле для эллиптической по Петровскому не симметричной системы //Междунар.конф.: Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения. 1У.Дифференциальные уравнения-Уфа: Институт математики с ВЦ РАН, 1996,- С. 139- 147.

■ 4. Сыренная Т.Н. Задача Дирихле для не симметричной эллиптической по Петровскому системы в полупространстве //Краевые задачи - Иркутск: ИГУ, 19Р7.- С.51- 54.

5. Сыренная Т.Н. О влиянии структуры эллиптической по Петровскому системы на разрешимость задачи Дирихле в шаре //Краевые задачи- Иркутск ИГУ, 1997.- С.54- 59.

Редакционно-издательский отдел Иркутского государственного университета 664003, Иркутск, бульвар Гагарина. 36