Собственные функции оператора Бельтрами-Лапласа на однородных псевдоримановых симметрических пространствах ранга I тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ



АКАДЕМИЯ НАУК СССР ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В.А.СТЕКЯОВА Дешшградскоэ отделение

На правах рукописи " УЖ 517.9+517.44+517.588

В.-Б*К.РОГОВ

СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРА БЕЛЬТРАМИ-ЛАПЛАСА НА ОДНОРОДНЫХ ПСЕВДОРИМАНОБЫХ СИММЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ

РАНГА I ШЛЩ<и Л О $~0 I

■ ■ и/о ¡А -3 -2,3

OI.QI.OI - математический анализ

Автореферат ' диссертации на соискание ученой степени доктора фхзяко-матештических наук

Ленинград 1989

Работа выполнена в Московском ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени институте инженеров железнодорожного транрпорта

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук А.Б.Венков

доктор физико-математических наук С.Т.Гиндакин

доктор физико-математических _ наук, Профессор Б.Ф.Молчанов

Ведущая организация: Институт прикладной математики им.

М.В.Кедцыша АН СССР

Защита состоится "_"_1990 г. в_часов

на заседании специализированного Совета Д 002.38.04 при Ленинградском отделении Математического института им. В.А.Стеклова АН СССР, Ленинград, наб. р. Фонтанки, д. 27.

С диссертацией мокно ознакомиться в библиотеке ЛОМИ.

Автореферат разослан "_"_„1990 г.

Ученый секретарь специализированного Совета доктор физико-математических на/ш/л у А.П.Осколков

,1 1

л е"г'" ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

■^г^ НЕАКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. Анализ на однородных сикметрическьх пространствах представляет собой интенсивно развивающийся раздел функционального анализа. Теория симметрических пространств помогает объединить и объяснить с общей точки зрения различные явления в классических геометриях. На симметрических пространствах особый интерес приобретает глобальная теория функций. Теория интегрирования, анализ Фурье и дифференциальные операторы в частных производных возникают здесь каноническим образом из требований геометрической инвариантности. Хотя эти теории и связи между ниш очень хорошо известны в евклидовом пространстве, распространение их на симметрически© пространства общего вида немедленно приводит к интересным зачастуи нерешенным задачам. В большей мере это относится к псевдоримановшд симметрическим пространствам.

Задача описания неотрицательных собственных функций оператора Бедьтрамя-Дааласа на рикановых сшядетрических пространствах любого ранга была решена Ф.И.Карпелевичем /1965 г./. Оператор Бельтрами-Лапласа на псевдоримановых пространствах уже Является не эллиптическим, а ультрагиперболическим, и аналогичная задача /естественно без условия неотрицательности/ не была решева даже для пространств ранга I. Однако решения этой задачи требуют как развитие теории псевдоримановых пространств так и интерес к пространствам такого типа со стороны теоретической физики.

ЦЩ> РАБОТЫ. Описать собственные функции оператора Бельтрами-Лапласа на любом псевдоримановом однородном симметрическом пространстве ранга I из пространства обобщенных функций с ограничением роста на бесконечности.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В работе используются катода теории алгебр Ли к групп Ли, теории симметрических пространств, анализа на многообразиях, комплексного анализа, теории обобщенных функций, теории интегральных преобразований, теории дифференциальных уравнений, применяется техника специальных функций.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА, ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ РАБОТЫ. Результаты диссертации являются новыми. Отметим основные из них:

1. Впервые дано интегральное представление собственных функций оператора Бельтрами-Лапласа на любом однородном псевдоримановом симметрическом пространстве ранга I /это -главный результат работы/.

2. Построена компактификацая однородного псевдориыано-ва симметрического пространства ранга I.

3. Написан явный вид оператора Бельтрами-Лапласа на таких пространствах в орисферической системе координат в в этом операторе произвздено разделение переменных.

4. Построецо интегральное преобразование на ори сферах однородного симметрического пространства, переводящее оператор Бельтрами-Лапласа в обыкновенный дифференциальный оператор. Построена форму :а обращения и указаны функциональные пространства, двойственные относительно этого преобразована

5. Определены операторы свертки, двойственные относительно интегрального преобразования фурье-;/<еллина-Уиттекера.

6. Определены фактор-пространства Функций с фиксированной особенностью на заданной поверхности и исследованы некоторые их свойства.

ь

?. Поставлена корректная задача Коша для ульграгилербо-лвческого уравнения.

8. Исследованы некоторые"свойства вырожденных гипергеометрических функций.

Результаты диссертации могут послужить основой для дальнейшего изучения анализа функций.на псевдоримановых симметрических пространствах ранга большего I, а также могут быть использованы в приложениях к физике.

Ряд результатов диссертация может быть включен в спецкурсы по теории дифференциальных уравнений, интегральным преобразованиям.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались на семинарах Д.П.Желобенко и А.И.Штерна /.\МАЦ/, Н.И.Виленкина /МГЗЩ/, М.З.Соломяка, А.М.Вершика, В.М.Бабича /ШЛ1/, на Всесоюзных школах в Шнеке, Тамбове, Тарту, Новгороде, на конференции в Томске.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах I - 15.

ОБЪЕМ И СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИЙ. Диссертация состоит из введения, семи разделов, заключения и приложения. Объем -190 стриниц. Библиография - 69 наименований.

Каадай раздал /за исключением введения а заалячаная/ разбат на пункты. В соответствии с этш кагдне тоорсыа, прадйсвеиие, фйрыула и т.п. нумеруются тремя числами: первое число - ноиар раздела, второе - «омар пункта, третье -ноыэр теорема, предложения, фор^лы и т.п. соответствен®. Прадлокекая а фораулн аралйаашя нуиоруются одним чзслси в стоящзй впереди буквой П.

СОДЕРЖАЩЕ ДИССЕРТАЦИИ

Пусть С - полупростая груйпа Ли и - ее под-

группа, выделяемая ишзолютлвным автокорфазмоа з . Тогда - однородное сяжетрачаское пространство, на котором тран-знтивно действует группа (? . Если - максимальная кои* пактная подгруппа в <? , то £/<& - рзыаново пространство, в противном случае - псевдораманово.

Через 2Со{ обозначим стационарные точки пространства

. В случае рщаанова пространства такая точка единственная, в случае псевдориманова пространства точка х0{ , г с О, ..., лг- {, сопряжены относительно сашатрдческой группы кои степени £,. С б но леаадей в С?» . Б последнем случае положим и г & * С & г. X' и .

Пусть G - алгебра Дн группа С и "У- - еа подалгебра, выделяемая ниводятившш окгаюрфззцоа & , которая индуцируется шшавмтшншы евгеиорфгзаоы £ группа С. Очевидно, 5/ - алгебра Дп группы ¿/ . Тогда шеей ортогональное относитель!|5фор.!ли Кплдиига раздезвше (В - И + &, где £ « ¡О)?® ], Ввэдеа п оягобро @ фору

гдо дг ^ - присоединенное представление алгебры о. Пусть й - максимальная коммутативная подалгебра в (3. Так как ш рассматриваем пространства ранга I, ее векторная часть 9х П одномерна. Пусть , ?Г и

одвопараметраческие подалгебры в , такие что ддл любого ^е 5г° /соответствгшю 9Г» / <$,'!?> ' О /соответственно < , > /.В группе 5 'им соответствует трл тала однопараметраческцх подгрупп ,. и

Траектории зтях однопараметряческих подгрушх - суть геоде-заческаа иа X . Мы будем рассматривать лишь незамкнутые геодезические * (х : х * ^ / •

Обозначки через (?0 подгруппу в <?5 , коммутиру-вауп с А *(+), а через - нильпотентную подгруппу в

Пусть ^ - геодезическая, проходящая через точку х0 . Для любого рассмотрим совокупность геодезических вида

= , и <? и . Все эта геодезические

проходят через точку хт = А . Предположим, что пра

оо элемент и € и меняется так, что существует предал

Л» А ...

Нетрудно показать, что если этот предел существует, то он равен ¿иа , не 2 , ио £ .

Назовем пучком геодезических предельнуо сово-

купность геодезических {у"*М} при Г -» с» , дад которых существует предел /I/.

Так как груша оставляет геодезическуп у* на месте я перестановочна с А *(4) , а подгруппа / *(4) осуществляет сдвиг по геодезической , то группа

переводит пучок И/(у*) в себя.

Обозначим через О максимальную компактную подгруппу в £ . Для любого дё б справедливы два разложения Ива-савы

^ * ¿^(уо , г.ег ,ое О, /2/

принадлежит максимальной коммутативной некомпактной подгруппе в £? ,

2 * 1 ь^г.ьеи, /з/

г е {е, ] , е - единица группы С ,

г/ «т , гш <,...,»>. В зависимости от t пространство X разбивается на область Х0 -х-^А и многообразия меньшей раз-

мерности ' Iх'■ ш г-.^е ] . Область Ха

целиком покрывается пучком ) .

Траектория группы % . проходящая через точку называется орисферой первого рода

Обозначим через 2Г, нильпотентную подгруппу в ¿?„. Тогда 2 = 2в , и Иу простотранзитивяо действует на ори сфере . Таким образом, для любого а:

- , а £ 2а .

Цусть Д - система корней алгебры <3 относительно максимальной некомпактной картановской подалгебры Я? , векторная часть которой совпадает с . Цусть Д„ - аннуля-тор 9)+ в Л . Так как одномерна, то имеются лишь

две возможности:' либо существует единственный положительный /в смысле лексикографического упорядочения/ корень у , получаемый ограничением на !п+ элементов из А- А0 , либо по-

esd'O у существует положительный корень <?у- . Для корней у и обозначил через Аг и множества корней

из А ■» ассопзярованиых с f и 2f соответственно. Числа злемэнхоз Д^ а , -называете крайностями корней

обозначим чераз я соответственно. Имеют место

тра случая: .

1. л?, нзчатпо, тогда 2* $ &

2. ft7f : четно п 2t Ф А

3. Щ четно п ЗЧ' б Д , тогда тг нечетно.

Ёы рассматриваем последний случай. , мг может принимать зпачегпя Г, 3 ши 7.

Пусть ¿It - элемент базы Вейля и <зы - соответствующая подалгебра. Тогда . ® - кильпотентная под-

4 «if U&jy

алгебра в © . Ока является алгеброй. Ли подгруппы Z <, . Введем в систему координат, связанную с базой Вейля:

el^'Y , * 'V л», ,% ,'^"V

Разложение Иваоавы /3/ определяет на ^ орисферическую систему координат ос ^ х (■£, 2:,,..., агп,,, ,..., ), где ^.-канонический параметр группы А, а ¿'""•'оЧ" параметры груши Za такие, что ¿(хф* Д, . Эти параметры являются координатами точки з: на орясфвра при фиксированном f .

Пусть - геодезическая, проходящая через точку s0i

и ^(^о) - содержащий ее пучок. Для любого geG Из разложения Ивасавы /2/ следует, что на множестве пучков транзитивно действует группа О . Обозначим через 0о стационарную подгруппу пучка ^(tfo) ..Очевидно, 0о- О Г) Ga. Следовательно, множество пучков есть однородное симметрическое пространство ¿Е7 - ®/0о . Ранг этого пространства равен I.

Ро(х)~ | 6_ 111)3

Пространство с! назовем границей пространства X и поло-еиы X ~ X У ■

Построенная компактифякация X пространства X совпадает с проективной коыпактифакацией. Границу, !£. можно также рассматривать как замыкание в X предельной орисферы .

Цусть У^/^о) - пучок, содержащий геодезическую уо* , произвольный пучок, /„ и / - соответствующие им точки границы Щ . Для любой точки = Ю г определим функцию

-21

О при ъ г* е

Орисферической проекцией точки сс е X на геодезические. ' пучка назовем функцию на X * 2 р(х>1) - Ро(°~,л)

Щ® I = , ° е О-

Пусть | - точка граница, соответствующая пущу /V Полозим р(х) - р{х, ) . Ддя любого симметрического пространства ранга I функция в орисферической системе коор-дпнат имеет вид

РЫ - \ (е*+ ¡г /4/

где Л и В симметрические матрацы, определяющие .скалярное произведение в касательном пространстве.

Пусть ^(з.) - дважды дифференцируемая функция на X и Т^ ) = . Обозначим через ¿в оператор Бельтрами

-Лапласа, т.е. дифференциальный оператор второго порядка, перестановочный со всеми, операторами .Он однозначно

определяется метрикрй пространства и в орисферической системе координат имеет вид:

¿в = Ж' е**,3 +

ГД9 "Ж. • ^ "" столбцы операторов дифференцирования и , //(х)~ (пц) - »>, * /»¡-матрица лакая, что

Л// ' г , . - структурные константы алгебры

(3 .

Из определения фу тащи и оператора <г5 сра- .

зу же следует, что для любого V функция у. ■»

является собственной функцией оператора с собствен-

ным значением с + . Отсюда и из формул

/4/ и /5/ необходимо следует, что

//Т(х)Я~ХЛГ(х) * ¿ссЯхтЗ4

Так как матрицы /} м. & постоянны, а матрица У/х) не зависит от ^ , ^ ё ^ £ , ш можем избавиться от дифференцирования по ^ , сделав преобразование 5урье

При этом оператор сб перейдет в оператор Л. = £е -5Т -э«

где -3 «^ - /Л//*; ^ , • С5......).

Первое слагаемое в правой части /6/ - орисферическу^ радиальную часть - будем обозначать .

Для любого однородного симметрического пространства

ранга I, для которого е & , оператор /6/ прн

^ ^ 5 £ О . заменой пераыоншх

приводится к виду:

- ♦ алг ^ , ю

где

М - матрица такая, что Мт/? М ~ 1 , Мт5''м *л\

Если 2=0 > то заменой'переменных ($,*?)- * М' оператор ¿в г /6/ приводится к виду

ы,

■с _ а г х ■

а ■ = я, * г* ♦

/9/

гдз

у

Р1*< 5и0

пра 4 - , /*г = 3 или 7

I1 С . при к '« 2 , « 7

О при ¿•«¿7 , л?г= I, 3 шш 7,

г- 5.

Пусть - двбая медленная функцая, 0

*>0, при ъ ^ 0 , М{-*)* /V/*; в > Л//*;.

Пусть £ - риыанова поверхность функща ¿п ¡с . Для любого комплексного параметра 3 О пусть

А-- {(!.?)* 1*С : /л» -О].

Обозначим через ) пространство функции

которые на ^ для любых к*,,*"* ^ С? , £ ъ О , с?>0 в О удовлетворяв неравенству '

I ^ р ^ ///; - / ^ ] -

Пусть М(х) - функция, двойственная по Юнгу функции . Обозначим через И^^ пространство сектор-функций компоненты которых , ^ € ¡-,0,+- } , является мероморфными функциями Ы а р о полярными множествами 7т (а! -ь , 1т р) - п , /7- , соответственно, и которые для любых О , с? > О и > О удовлетворят неравенству

Пусть У УН?'* и

Рассмотрим пространство- С^ и положим для любого комплексного параметра -Я'

Обозначим через пространство аналитических функ-

ЦЧЙ /£,$>) . которые на У,' для любых =■ /V,, , . Аг^О , /^>0 и О удовлетворяют неравенству

Пусть СУМ^*

е

Обозначим через 5> ~ пространство, двойственное пространству относительно преобразования Фурье по второй паре переменных, а через У^ - прострачство, двойственное пространству относительно преобразования Фурье по первой паре переменных.

Цусть / е

; { & пра р^о

Очевидно, функция ^ (А'; ) является преобразованием-Бурье попеременным функции

Через обозначай пространство функций, двойст-

венное относительно преобразования Фурье по переменным /г пространству функций вида ¿р) » ,

т.е. пространство функций вида (Ч> * Я* Ы л) »

]/$ , а свертка берется по переменным Ы1,Ыг. Построешше пространства легко обобщаются на любое четное/или соответственно кратное четырем/ число переменных.

Рассмотрим в -мерном пространства переменных конусы

* О},

й-О., (Ю^ -О]

и точку 5=0 . пусть 1 , ! ^

и ~ Р^6301®6 единицу, отвечающее множест-

вам к: /,... ,6 . т.е. У (*) -

бесконечно дифференцируемы вне множества О ик >

( I на С/,. ■ I {' на СУгпЦ

/ О на ( . I О на

I/ на А.1^- на ^лЦ Д

'7**10 на ЦиЦ(/(/, , А'} о на О, О Ц .

Долояим оеМ* . где Л/^ -матрица, с.

помощью которой оператор <33т приводится к каноническому заду соответственно в случаях: £ пра

/<-2 при ; , * 3 пли 7,

/(--3 прл * = £ , » 7,

4 пра >«■ и любом . Цусть - пространство функций' , беско-

нечно дифференцируемых по -6 и в , которые для любых (£ 0 и <?> удовлетворяют неравенству

и таких, что для любого г функция )

принимает значения в пространстве (х) , а функция

Л* Ф^/?,1?)/^ ,5 ) , принимают значения в прост-

ранстве (X) ■

. Через 64,4 обозначим пространство, двойственное пространству б''1'* относительно преобразования Фурье по э.

для любых с в;1+г , в''*1 с

Положим 6и <о4. , 6~< -- (У б-''*.

Для всех введенных пространств штрихом будем обозначать

соответствующее сопряженное пространство.

Обозначим через /соответственно (6"* )' /под-

пространство обобщенных функций в 6"/ ./ ( ' / возрастающих при ^ -» ос не быстрее некоторой степени е* .

Определим для каждого пространства свертку основной функции с абсолютно интегрируемой функцией.

Сверткой абсолютно интегрируемой на орисфере функ-

ции о функцией назовем интеграл

(Р*ф)(4{(х+^У'У-х'Ф))^', где />/Ы) - матрица, определенная в /5/.

Сверткой абсолютно интегрируемой функции с

функцией б1 назовем интеграл

(Г**)(*.*,$) - 'н>Г*+я\з)е'хМ*-')3^«'.

Сверткой абсолютно интегрируемой на ^ функции ^/!?,?) о функцией <Р№;{,!?)<£УЛ'**' назовем разность интегралов __.Л, .

Г* г

\ ч>/Л;&? Ч/^ /10/

где ^ - луч на 1ь' . являющийся прообразом при естественной проекции 2 на С луча е"' , ^ е'Л -луч, подученный поворотом луча ^ на угол ЗГ , ^ -прямая на С , полученная поворотом вещественной оси на угол а^-гю^Я , аг---.?^/. •

Для любой функции ) положим ТСоМр)- е суы,^

= дусть Л/о',/;-- } , где

, О, + ] » являются абсолютно интегрируемыми

функциями. Обозначим через ИМ р>) линейный оператор

Н{с1,ь) г г- у,

С?ерткой абсолютно интегрируемой вектор-функции. к (Ыф ) о вектор-функцией

назовем интеграл

(Ь*со)Й,| а)с]а.. /II/

Возьмем на комплексной плоскости прямую, подученную поворотом вещественной оси на угол / ол^ Я ' , Ъ'р О , и пусть J- прямое произведение двух таких прямых. Сверткой абсолютно интегрируемой на функции с

функцией ео^^бЩ- назовем интеграл ..Ы1) е&^ /12/

. Определение. Для любой функции назовем

преобразованием Меллина-Уиттекера и обозначим через . УНиАр интегральное преобразование

№£<? = ео-.О \с1{ \ ?)

■ <>о я

где j б ¡-,0, + } , у о - луч на I , являющийся прообразом при естественной проекции / на С луча У - прямая на С , полученная поворотом вещественной оси на угол - аь^ Я , ее.§/

(у, л ?; ) фг^ь $

* Щ-2,-61+ ±¿¡А/?),

Ф/Ь,с;г) и - вырожденные гипергеометрические функ-

ция.

¿^/¿¿/^преобразование определяет взаимно однозначное в непрерывное отображение а$и/\ У/^ . При этом

формула обращения имеет вид:

Мо'со-- </>Д'£ ф7Л ;"А'"У^^Л

При йД'^/'-цреобразовании оператор Л /В/ переходит в оператор умножения на функцию - р),

После 2^/—преобразования по каждой паре переменных /л-» 9к » б'" > • оператор ¿в* /7/ переходит в обык- , новенный дифференциальный оператор

+4е**А\ дз/

где е?

к* 1 J

¿¿^преобразование обобщенной функции (5)4®-) -это функция А £

такая, что для любой функции УЬ'Л,*?)6^ и ее ¿^^"-преобразования 1У/С?

выполняется равенство Парсеваля {т, ) (Ь, <*>). '

Преобразование еЛЦхГ переводит свертку /Ю/ в свертку /II/. г Функцию 1И

назовем гиперболически симметричной, если она удовлетворяет уравнению (- - £).

Есле Ж - гиперболически симметрична, то ее ' преобразование сосредоточено на множестве Ы - О,

Отсюда следует, что свертка /10/ в случае гиперболически симметричной функции Зя • переходят в умножение зектор-фушсции на матрицу : Н{^т/>)

Для любой функции >}) € обозначим через

аН интегральное преобразование

Ж?-- иУА;о1,р) - \ ( К / £ р; ?,?) с//¿р,

где

¿✓й'.-преобразование определяет взаимно однозначное и непрерывное отображение -ь . При этом

имеет место формула обращения

/6Т1 Пг

'9Г у

<у1{ -преобразование переводит оператор

в оператор умножения на квадратичную форму - о!г После ¿АУ* -преобразования по каждой четверке переменных (§*> , Р* / >?г ) а преобразования Фурье по остальным переменным оператор дЪ * /9/ переходят в обыкновенный оператор

съ6 - ¿в Ыф. /14/

Назовем функцию • гиперболически симметрич-

ной, если она удовлетворяет системе уравнений

Если № - гиперболически симметрична, то ее сщ -преобразование есть преобразование Фурье.

-преобразование переводит свертку т« ср в свертку /12/. Если М - гиперболически симметрична, то -преобразование свертки есть произведение

(<*,},+■ где (¿{я'&ц)* ? и -- (к,и).

Рассмотрим функцию /4/и пусть

/15/

Тогда

Для любой функции положим

в _ ( О при Р _ /- при $(*)<б .

' + " при #я)>0 . о при

Пусть сигнатура квадратичной формы у Вут *

+ ^. Рассмотрим функции

* + с*рхГРув#% * /16/ 1)

* * /IV

- ^ Ьт, (Р+1

[Г{-У- ^ /)

После преобразования Фурье по переменным у-. , ( * замены переменных {£,?)- хМ а ¿тйй^преобразования по тсаздой паре переменных , Рк » 1 >•■•, ¡г' , г.ы получим 3^-мерные векторы , /

' ^ е^Л /19/

*ч,¿V/; ^/20/

а остальные компоненты равны нулю.

• дусть /ъ ' «.„л* ,

, Щи-м+ц, /23/

, Г(^еЛ) . /24/

/25/

а остальные компоненты равны нулю.

Б формулах /19/ - /25/ ^

= ЛШТ Г(уТ^Г) '

при с,-2, сх*с1г =0, о/,---Зе^'^Г^К

= / , а при 0*^=0 ¿¿ = 0 , с,*^: { ,

ЦУ/о,с-гг) _ вырожденная гипергеометраческая функция.

Вырожденной орисферической проекцией точки назовем функцию 1;1 . Функция

является собственной функцией оператора св /5/ с собственным значением с - /"'г ^^г) .

Очевидно, р'= , где Р определяется формулой

/15/. Пусть - сигнатура квадратичной формы

Рассмотрим функции

4 ' 1 Го • /26/

Л** - Я»-*

-преобразования Функций /26/, /27/ суть преобразования Фурье. Обозначим форму, двойственную' форме х#хт через о^Э. и запишем преобразования Фурье этих функций

^Д " ¿¿¿7 ? % /, /28/

Пусть Ф - основное пространство функций и

^ - подпространств функций, обращающихся в нуль вместе

со всеми производными до порядка м- / включительно на гиперповерхности Р= О /не исключается случай т- 00 /, Через и обозначим прямую сумму двух основных пространств, т.е. и=Ф+<Р.

Назовем функцию порождающей функцией порядка уп

/ м > О /, связанной с гиперповерхностью Р = О , если она удовлетворяет условиям:

I/ для любой функции 03{о1) с Фр Л(ы)о(ы) € <Р

2/ для любых функций и ь>г{ы) принадлежащих Ср из

равенства со^Д)* следует, что согМ ,

Назовем функцию о#/Ч) порождающей функцией бесконечного порядка, связанной с гиперповерхностью Р - О , если она удовлетворяет условиям: I/ ЛЫ) - мультипликатор в .

2/ для любых функций и ьзгС°1) принадлежащих Ф из

равенства ^ + Л сог = О следует, что ео,-(У)£, ¡-¡,2.

Для любой порождающей функции определим отобра-

кение ^ сог \ = СО^Ы) ■+ сД(Л) сдгСи) , Обозначим через Ы(СР,^) фактор-пространство Зл/М^

Цусть - вложение <Р в Ц такое, что

у со - {со/ О ] . Тогда г'л ~ ¿л ° Ч ~ влоаение Ф в ф ¿у

'л4

Обозначим через Ср' , ¿7 ' и - пространства обобщенных функций над , С/ и соответственно. Для всякого функционала и.€ ¿С есть функционал над. Ц такой, что (¿¿и, и) = О при и 6

Обратно, любой функционал на Ц , обращающийся в нуль на и определяет естественным образом функционал на Ыг. Отображение ^ .' <Л -+Ф есгь сюръективное отображение.

Если <Р - пространство вектор-функций, то везде переиздающую функцию нукно заменить на порождающий оператор. Пологим при Я £ О

где Ф^,?;2-) - вырожденная гипергеометрическая функция,

1 ГН'Н+Ь)

* Л^и % + 3 .

где у - логарифмическая производная Г-функции. Цусть оператор ей определяется формулой /13/. Для любой обобщенной фуккцаи / , являющейся решением уравнения г

, С >-£(*, + 2мл) , /зо/

обозначим через Аг. и и назовем соответственно

граничным значением функции и нормальной производной на границе функции А* * е^"' (,

. •{-» -о» '

к, иЬ;,)] **

в. - ^'^л - д-Уд.^/,

Рассмотрим операторы

и" = ч!...- т_ + т+,

г т_ + т; пРй »«%;

где Т± в "Г",* ф ... ® ,

ПОе"'П Т.,М О]

" "¡0 ' ? Г ^ 1'

а компоненты функций гг," , ■2/гу и г^ ^ определяются формулами /19/ - /25/.

ТЕОРЕМА 7.4,1. Если обобщенная функция / £Г удо-

влетворяет уравнению /30/ и возрастает при ^ -» на

быстрее некоторой степени -е* , то она представляется в

Л- й'Н," ♦

где 9)* и - обобщенные функции над фактор-пространствами ) а ¿1г) соответственно с порождающими операторами

при у^х/г.к*^2'-, при ^ ,

(

щ-А

при У* %

| ^ е' 71 + ('/-с/з )е: Т+ )

I при V» К^

При эток функционал сосредоточан на множестве Ц =

к гиперплоскостях Г' ¡Ы,р): V-!

> О . Функционалы Р,1 в опрэделя-

ются по функции /> однозначно: пре % , к.- г.е,...

( ±. и* •/ -'Г -г'1

'XV * * ПРЫ ^¿"'г

.»г«

гс*

¡е)7Г он(9+ >№

Г о при алдЯ--^

_,

С^Тт[е' ^^^-¡Ф + е'^сыр+иЖ]

Е ПрН \> в

- е-^т;' )] при а^'О,

О ^ ,-£±/Г , пра

е е * хш(*+>е)Тт *

Аг"С«/, 0*/г

Пусть оператор <&> задается формулой /14/. Полоаап

= е ^7(^(ы^)^С+

г;;э ^ - фугшхет Боссэдя, /¿у - модафицарованная фуивдд Боссаля, а

Н, ф) ' 3 V; г Э? % .

Пря л 5 - О саредакзм иор;:альиуэ преззводнуи

на грааэцз формулой

ТЕОРЕМА 7.П.2. Есла оборонная фунхцзя /? с удо-

влетворяет уравненлэ

С-

"Л С +

п возрастает пра ^ г» из быстрее некоторой степеяз е „ то она представляется в вядэ

1 А - Я *

л- 4 л- <)

гдз Я -п. Я" - обобщенные функцза над фахтор-простран-

соответственно с сорсздогагиа

Щ) = {

+ Г-/] прз ^

пр.1 V = % (

( при

| при V- *7г /31/

При этом функционал / / сосредоточен на множе-

стве при V+Sf'-J' * " + £ / =

У+ > О . функционалы Ç?1 и опреде-

ляются по функции А однозначно: при V/ ,

I г'

__£_ Н1 идя Ыл> О

..£1 j C0ifv.B..f) jt

I при с/fi £ О,

Q при о/р > О

при С?

и при V= , I1' ЦВЛОЫ

- rv ^ ifla,. »«I _ ь?» ^

ÎQ щ а. dfi> О

г' .ÎS' r - . , * 7

при О

при + полуцелом

R-gi dp > О

(.f)^*н'P&lo/pl - blUdfiï*]

1

г . 4 —r~+ î" -ï1 ,. <

После обратного преобразования Фурье-Меллаяа-Уиттеквра получается основной результат работы.

ТЕОРМА 8.2.];. Фун.гцая /-V в/ является решением уравнения = с Р с (ш^гт^)1 , тогда и только

тогда, когда она представляется в вида:

Р - V* у? + ъ» V/-

где ^-Ц Щ УЛ'*-"1'2'- , функции И/А^Л -'<•* 1,2, 3 , определяются формулами /16/ - /18/, функция Ц - формулой /27/, ? и - функционалы над

г» л^

фактор-пространствами и 2Л соответственно,

причем преобразование Фурьэ по ^ , ,. функциона-

ла Тг сосредоточено на множестве з^В'1^ < О , ? такой функционал, что его преобразование Фурье по ^ % сосредоточено на конусе 5ТВ хг = О ,а §» - фуквдгонал над сосредоточен при у + *Ьф на мно-

жестве О . функционалы , Тг и не за-

висят от 4 и определяются по функций Р однозначно, ' »»¿Мс +/П,^2»,ж)г > 0, ■

при У* »< *>-& |5тв*'5 | >/♦ = »

I -V*—'

* при

сАг(<*р) определяется формулой /31/.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1." Рогов В.-Б.К. Собственные функции оператора Бельтрами-Л&пласа на однополостном гиперболоиде // Матем. заметки. Т.7, ВЫП.2, 1970. С. 255-263.

2. Рогов В.-Б.К. Собственные функции оператора Бельтрами-Ладласа на гиперболоидах // Успехи мат. наук. Т.26, вып.З, 1971. С. 207-208.

3. Рогов В.-Б.К. Собственные функции оператора Бельтрами-Лалласа на гиперболоидах // Труды'ЫИИТа. Вып413, 1972. С. 143-164.

4. Рогов В.-Б.К. Фактор-пространства функций с особенностью // Матем. заметки. ТЛ8, вып.2, 1975. С. 279-290.

5» Рогов В.-Б.К. Обобщенное преобразование Фурье на трехмерной нильпотентной груше // Труды ШИТа. Вып.510, 1976. С. 97-100.

6. Рогов В.-Б.К. О собственных функциях оператора Бельтраш-Лапласа на однородных симметрических пространствах ранга I // Матем. сб. Т.104, №2, 1977. С. 292-313.

7. Рогоз В.-Б.К. Оператор Бельтрама-Лапласа на однородных симметрических пространствах ранга I // Матем. заметки. Т.2В, вып.1, 1980. С. 59-66.

8. Рогов В.-Б.К. Компактификацая однородного симметрическо-гопространства ранга I и орисферическая проекция точки.

• Деп. ВИНИТИ. » 2137-84, 1984.

9. Рогов В.-Б.К. Приведение оператора Бельтрами-Лапласа на ' однородных симметрических пространствах ранга I к каноническому виду. Деп. ВИНИТИ. № 2155-84, 1984. .

IO. Рогов В.-Б.К. Интегральное преобразование Мелдина-Уитте-кера //.Матем. заметки. Т.ЗЭ, вып.6, 1986. С. 798-805. "

П. Рогов В.-Б.К. Преобразование'фурье на орасферах однородных симметрических пространств ранга I // Тезисы докл. ХП Всесоюз. шс. по теории операторов в функц. пространствах. Тамбов 1987. 4.2. С. 57.

12. Рогов В.-Б.К. Пространства, двойственные относительно интегрального преобразования Мвллина-Упттекера // Матем. заметки. Т.42, вып.6, 1987. С. 810-818.

13. Рогов В.-Б.К. Преобразование Фурье на орисферах однородных симметрических псевдоримановых пространств ранга I // Фуккц. анализ и его прилолс. Т.22, вып.2, I98S. С. 89-91.

14. Рогов В.-Б.К. Преобразование фурье-Мзллина-Упттекера ка орасферах однородных псевдорямановых симметрических пространств ранга I // Матом, сб. Т.180, Ш, 1989.

С. S3S-353.

15. Рогов В.-Б.К. Преобразование фурье-Ыэллина-Уиттекера

' степеней орисфэрической проекции точш однородного дсездо-рпманова пространства ранга I // Теэксы докл. Ш Всесоюз. □к. по теории операторов в функц. пространствах. Новгород, 1989. Ч.З. С. 20.

РОГОВ ВОЛЬДЕМАР-БЕРЕНКАРД Константинович

' .СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРА БЕЛЬТРАЖ-ЛАШСА НА ОДНОРОДШХ' ПСЕВДОРИМАНОВЫХ СИМ!£ЕТИ1ЧЕСКИХ'ПРОСТРАНСТВАХ

РАНГА I

( 01.01.01 - математический анализ )

Сдано в набор S0.IO.S9 Л 35

Подписано к печати 18.10.89 Объем . 2,0 печ. л.

Формат бумаги €0x84 1/16 Заказ /62* Тираж 100

Типография МИИТа, 101475, Москва А-55, ул. Образцова, д. 15