Асимптотическая теория представлений симметрической группы и ее применения в анализе тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РП - 5 ЦЕН

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В.А.СТЕКЛОВА С.-Петербургское отделение

На правах рукописи УДК 517.986.4

КЕРОВ Сергей Васильевич АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ СИММЕТРИЧЕСКОЙ ГРУППЫ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ В АНАЛИЗЕ

01.01.01 - математический анализ

Автореферат диссертации иа соискание ученой степени доктора физико - математических наук

С.-Петербург - 1994

Работа выполнена в Лаборатории алгоритмических методов С,-Петербургского отделения Математического института им. В.А.Стеклова РАН.

Официальные оппоненты:

доктор физнко - математических наук, профессор Р. С. Исмагилов

доктор физико математических наук Ю. А. Неретин

доктор фвзико « математических наук М. А. Семенов - Тян - Шанский

Ведущая организация: С.-Петербургский государственный университет.

Защита состоится " 29 декабря_" 1994 г. в 14 часов на заседании специализированного совета .Л 002.38.04 при С.-Петербургском отделении Математического института им. В.А.Стеклова РАН (191011, С.-Петербург, наб. р. Фонтанки 27, комн. 311).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ПОМИ.

Автореферат разослан 28 ноября___" 1994 г.

Учецый секретарь сдециализированного совета доктор физико - математик

наук

А.П.Осколков

Общая характер и ежа работы

Актуальность темы. С им мех рнче с ко й группой степени п называют группу 6„ всех перестановок множества {1,2,... ,п}. Бесконечная симметрическая группа 6!Ю определяется как индуктивный предел (объединение) групп 6„ при их естественных вложениях.

Теория характеров и представлений конечных симметрических групп была в основном построена в начале века в работах Ф.Фро-бениуса, И.Шура, А.Юнга и Г.Вейля. Важную роль в ней играет комбинаторика диаграмм и таблиц Юнга и алгебра симметрических функций. Дальнейшее развитие теории связано, среди прочего, с представлениями алгебр Гекке, модулярными представлениями группы 6П, комбинаторным вариантом преобразования Фурье для симметрической группы (алгоритм Робинсона - Шен-стеда,- Кнута),

Важные результаты по теории представлений бесконечной симметрической группы были получены в пионерской работе Эль-мара Тома, который описал все характеры этой группы. Здесь следует отметить, что группа ©«, является "дикой" группой и ее теория представлений должна строиться ипаче, чем для классических линейных групп. В частности, неприводимых представлений у группы ©оо оказывается слишком много и они не допускают разумной классификации. Основой теории становятся фактор-представления по фон Нейману и их характеры.

Идея аппроксимативного описания характеров бесконечной симметрической группы, отсутствовавшая в работе Э.Тома, принадлежит А.М.Вершику и является частью его более широкой программы постановки и изучения асимптотических задач. Другие примеры реализации этой программы - классификация мер, инвариантных относительно действий бесконечномерных групп и асимптотическое изучение распределений длин циклов случайных подстановок относительно меры Хаара.

В начале 70-х годов О.Бр&иели предложил комбинаторную технику для работы с широким классом С*-алгебр, аппроксимируемых конечномерными подалгебрами (т.н. А^-алгебр). Несколько позже в статьях Дж.Эллиота, а также Хандельмана, Э<|>-фроса и Шена был найден еще один мощный инструмент анализа

этих алгебр - группа Гротендика Ко, снабженная есхествениой структурой порядка.

А.М.Вершик был инициатором использования метрической теории динамических систем для изучения ЛР'-алгебр. Оказалось, что эти алгебры полезно представлять, как скрещенные произведения, построенные по автоморфизмам пространства с мерой. При этом характеры алгебры становятся состояниями типа меры, что позволяет использовать развитые средства эргодической теории для их построения. Эргодический метод является в настоящее время наиболее универсальным и прямым методом вычисления характеров А/'-алгебр.

Групповая С*-°лгебра бесконечной симметрической группы служит характерным и весьма содержательным примером АР-алгебры. Как правило, приемы и методы, разработанные для симметрической группы, применимы в общей теории ЛР-алгебр.

Дальнейшее развитие теории представлений бесконечной симметрической группы связано с работами Ш.Стратилы и Д.Вой-кулеску, Г.Ольшанского, Р.Войера, А.Вассермана, М.Назарова и А.Окунькова.

Поскольку группа 6„ является пределом конечных симметрических групп, естественно возникает вопрос об аппроксимативном построении ее теории представлений. Важность аппроксимативной теории связана с рядом причин.

1. Аппроксимативный подход приводит к постановке асимптотических вопросов в рамках стандартной теории представлений группы &п-

2. Асимптотическая теория доставляет конструктивные методы в теории характеров и представлений бесконечной симметрической группы.

3. Симметрическая группа занимает особое место в математике и имеет многообразные связи с различными ее разделами. Не удивительно, что комбинаторные конструкции и алгоритмы, используемые при работе с группой б„, имеют нетривиальные предельные аналоги, связанные с задачами математического анализа (проблема моментов, ортогональные многочлены), теории вероятностей (процессы Дирихле, спектры случайных матриц) и математической физики (уравнение Бюргерса).

Отметим, что асимптотический подход, развиваемый здесь на примере симмегрнческой группы, может вффективно применяться

в гораздо большей общности, и в частности, для работы с бесконечномерными классическими группами, группами токов и группами диффеоморфизмов окружности.

Цель работы состоит в развитии.асимптотической теории характеров симметрических групп м разработке связей этой теории с классическими задачами математического аналнза, теории вероятностей и математической физики.

Научная нопиэна. В диссертации получепы следующие новые результаты.

1. Получен аналог центральной предельной теоремы для меры Планшереля группы 6П. Найдены совместные предельные распределения неприводимых характеров относительно этой меры.

2. Установлена связь распределений Планшереля симметрических групп с разложения»га рациояалышх дробей на простейшие. Это наблюдение связывает комбинаторику симметрической группы с классической проблемой моментов А.А.Маркова и случайными процессами Дирихле. Найден предельный аналог комбинаторного алгоритма блуждания по крюкам, процесс усадки отрезка, доставляющий принципиально новый метод задания распределений интегралов по случайным мерам Дирихле.

3. Описаны асимптотические свойства взаимного разделения корней для широкого класса ортогональных многочленов. Показано, что в пределе больших степеней многочленов, п —» оо, характер разделения такой же, как у минимумов и максимумов диаграмм Юнга, типичных по мере Планшереля группы ©п.

4. Предложена дифференциальная модель планшерелевского роста диаграмм Юнга. Установлена ее эквивалентность с квазилинейным уравнением в частных производных Rt + RRX =0 (уравнение Бюргерса). Указала связь с процессом нелинейной диффузии в свободной теории вероятностей Д.Войкулеску.

5. Построена теория обобщенных симметрических полиномов Холла - Литтлвуда - Макдопальда. Установлена их связь с ортогональными многочленами Роджерса - Рамануджана. Поставлена и частично решена обобщенная проблема о вполне положительных последовательностях.

6. Найден g-аналог алгоритма блуждания по крюкам и комбинаторное доказательство g-аналога формулы крюков для размерностей неприводимых представлений конечной симметрической группы.

Методика исследования. В диссертации используется ряд оригинальных методов и. приемов, общих для всех локально - конечных групп (подобных группе 6,») и локально - полупростых алгебр. Комбинаторная техника, пригодная для конструктивной работы с этим классом алгебр, разрабатывалась О.Браттели, Дж. Эллиотом, Д.Хандельманои, Эд.Эффросоы. В диссертации эта техника обогащается использовались« идей эргодической теории и дискретной теории потенциала.

Метрическая трактовка идейно восходит к классической теореме де Финетти, описывающей вероятностные распределения па произведении X = ПГ ^ бесконечного числа копий компактного пространства X, инвариантные относительно финитных перестановок сомножителей. В диссертации развивается общая теория центральных мер па. диаграммах Браттели, включающая в себя в качестве частных случаев как теорему де Финетти, так и описание характеров группы ©ос- Еще один хорошо известный пример решенной задачи о центральных мерах - классификация Кингманом случайных разбиений (partition structures). Мотивировкой для его исследования послужили задачи популяциошюй генетики.

Использование эргодической теоремы Г.Биркгофа дает ключ к проблеме описания характеров индуктивного предела Gx — limG,, семейства конечных групп Gn: всякий экстремальный характер предельной группы можно получить, как поточечный предел :

х(д) = limxn(ii); g&Ga<,

неприводимых характеров аппроксимирующих групп.

Еще одна переформулировка задачи о характерах локально-конечной группы возможна в рамках дискретной теории потенциала. В случае группы боо речь идет об описании неотрицательных гармонических функций на решетке (графе) Юнга, т.е. на множестве диаграмм Юнга, частично упорядоченных по включению. Описание ответа с помощью обобщенного интеграла Пуассона использует конструкцию границы графа Юнга, аналогичной известной границе Мартина. В качестве ядра Пуассона выступают симметрические функции Шура.

Проблема моментов была важной частью классических работ П.Л.Чебышева, А.А.Маркова и Т.И.Стилтьеса. Иптересующий аас аспект - связь между проблемами моментов Хаусдорфа и Маркова - изучался М.Г.Крейном и его школой. С совершенно

другой точки зрения эта же связь исследовалась в контексте непараметрических задач статистики (Т.Фергюсон, П.Диаконис и ДР-)-

Как показано в диссертации, ортогональные полиномы связаны с симметрической группой разнообразными контекстами. Упомянем, к примеру, роль полиномов Чебышева и Эрмита в формулировке центральной предельной хсоремы для характеров группы 6„ и появление полиномов Роджерса - Рамануджана как вырождений симметрических функций Мак дон а ль да. Более неожиданными являются применения результатов аппроксимативной теории характеров группы б«, в общей теории ортогональных многочленов. Изучаемая нами задача об асимптотике разделения корней, по-видимому, ставится здесь впервые, хотя имеется обширная литература, посвященная предельным распределениям корней ортогональных много .ленов.

Общая предельная форма больших диаграмм Юнга в разнообразных (и, казалось бы, не связанных между собою) ситуациях, описывается характерной кривой, которую мы называем законом арксинуса. Новый свет на причины универсальности этого закона в различных задачах математики И физики проливает "свободная теория вероятностей", предложенная недавно Д.Войкулеску и его учениками. В этой теории роль гауссовского распределения играет полукругоной закон, а одним из ее ярких применений служит концептуальное обоснование теоремы Е.Вигнера о спектрах больших случайных матриц. Как показано в диссертации, изучение планшерелевского роста диаграмм Юнга тесно связано с этими вопросами.

Уравнение Бюргерса является хрестоматийным примером квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка. Оно встречается, среди прочего, как сверхупрощенная модель уравнений Навье - Стокса и как вырожденный случай уравнения Кортевега - де Фриза. Асимптотическая теория меры Планше-реля симметрической группы приводит к новому классу автомодельных решений этого уравнения.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты находят применения при изучепии алгебры Гекке и инвариантов узлов и зацеплений, при построении гармонического анализа на бесконечной симметрической группе, в классической проблеме моментов Маркова,

в асимптотической теории ортогональных многочленов, в разнообразных задачах статистики и теории вероятностей. В качестве примера отметим решение проблемы С.Улама об асимптотике длины максимальной возрастающей подпоследовательности в типичной последовательности независимых случайных величин с общим непрерывным распределением.

Подчеркнем, что метода, развитые в диссертации для важного специального примера симметрических групп, применимы к весьма широкому классу локально - конечных групп и алгебр, аппроксимируемых полупростыми матричными алгебрами.

Аплробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на различных семинарах математико - механического факультета Петербургского университета, в Петербургском отделении математического института, на семинаре "Квантовые группы" (ПОМИ, С.-Петербург, 1990), в Институте теоретической физики им. Энрико Ферми (Чикаго, 1993), на семинаре по теории Ли (Медисон, 1993), на Иерусалимской комбинаторной конференции (Иерусалим, 1993), на семинаре Института проблем передачи информации (Москва, 1993), на Канадском операторном симпозиуме (Оттава, 1994), на 6-ой конференции по формальным степенным рядам и алгебраической комбинаторике (университет Ратгерса, 1994), в серии лекций на комбинаторном семинаре Гарвардского университета (Бостон, 1994).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в статьях {1 - 11], список которых представлен в конце автореферата.

Структура диссертации. Работа состоит иэ введения и четырех глав, разбитых на параграфы. Имеется таблица и 24 рисунка. В списке литературы 168 названий.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении подробно изложены мотивировки данного исследования, дан краткий литературный обзор, описано содержание диссертации по главам и приведены исчерпывающие формулировки всех основных результатов. Отмечены некоторые гипотезы и перспективы дальнейшей работы.

Первой основной темой диссертации является описание асимптотических свойств характеров конечных симметрических групп

и связанное с этим построение характеров бесконечной симметрической группы.

В более общем плане, разработанная здесь комбинаторная техника приложима к широкому классу алгебр, допускающих аппроксимацию конечномерными полупростыми алгебрами, и в частности, к групповым алгебрам локально - копечных групп. Задача о вычисления характеров подобных групп и алгебр сводится к типовой проблеме теории потенциала на счетных графах - к описанию неотрицательных гармонических функций на них. Как и в классической ситуации с единичным кругом, неотрицательные гармонические функции строятся при помощи (обобщенного) интеграла Пуассона, взятого по идеальной границе графа. Вычит сление этой границы, родственной классической границе Мартина, является, как правило, трудоемкой задачей. Опо проведено в диссертации для ряда примеров комбинаторного и алгебраического происхождения, связанных с решеткой диаграмм Юнга.

Из всех характеров бесконечной симметрической группы особое внимание уделяется характеру ее регулярного представления. Мы даем детальное описание формы больших диаграмм Юнга, типичных по мере Планшереля конечной симметрической группы, а также изучаем вероятностные свойства отклонений случайных диаграмм от предельной кривой. В других терминах, речь идет о пределах совместных распределений характеров неприводимых представлений симметрической группы степени п по отношению к ее мере Планшереля. Асимптотический анализ меры Планшереля - вторая важяал составляющая диссертации.

Третья основная тема связана с переходом к континуальному пределу для нетривиальных комбинаторных конструкций и алгоритмов, которыми так богата теория перестановок и их представлений. Мы устанавливаем прямую связь между переходными распределениями меры Планшереля бесконечной симметрической группы и разложениями на простейшие дроби для рациональных функций с перемежающимися нулями и полюсами. Используя эту связь, удается получить континуальный аналог известного в комбинаторике диаграмм Юнга алгоритма блуждания по крюкам (hook walk). В свою очередь, эха конструкция доставляет совершенно новое описание связи между классическими проблемами моментов Хаусдорфа и Маркова. В вероятностных терминах, предельный алгоритм (мы называем его алгоритмом

усадки отрезка) позволяет строить распределения интегралов по случайным мерам Дирихле.

Динамический процесс случайного роста диаграмм Юнга, рассматриваемый нами как мера Плавшереля бесконечной симметрической группы, естественно приводит нас к континуальной модели, эквивалеитной дифференциальному уравнению в частных производных первого порядка + Л Я* = 0.

Характерная предельная форма больших случайных диаграмм Юнга (мы условно называем ее законом арксинуса) неожиданно часто возникает в казалось бы не связанных между собой задачах. Мы приводим два примера такой ситуации: асимптотическое поведение перемежающихся нулей ортогональных полиномов и возмущение спектров типичных больших случайных матриц при наложении линейной связи.

Граф Юнга.

В рамках трех перечисленных направлений (асимптотическая теория характеров симметрической группы ©оо, предельные свойства ее меры Планшереля и приложения теории представлений симметрической группы в анализе) в диссертации обсуждается д-аналог алгоритма: блуждания по крюкам, подробно изучаются свойства симметрических полиномов Макдональда и вычисляются границы для связанных с ними деформаций графа Юнга - центрального объекта всех наших рассмотрений.

- а

Содержание главы I.

Первая глава носит подготовительный характер. В ней вводится необходимая терминология и излагаются общие методы работы с алгебрами, допускающими аппроксимацию копечномср-ныии полупростыми подалгебрами (мы называем их локально -полупростыми, или, короче, iS-алгебрами). Идейно теория таких алгебр восходит к трудам фон Неймана, а простейшие примеры рассматривались в 60-х годах Глиммом и Диксмье. Систематическое их изучение началось с работы О.Браттели, заложившей основы комбинаторного подхода к LS-алгебрам. Несколько позже фундаментальный вклад в развитие теории был сделан Дж.Эллиоттом, который показал, что группа Гротендика Ка, снабжевнал естественной структурой порядка, является полным инвариантом £5-алгебры. Другой ключевой факт обпаружен Эффросом, Хандельманом и Шеном, которые нашли абстрактную характеризацию класса всех упорядоченных абелевых групп, возникающих как Ко(А) для некоторой ¿5-алгебры А.

Новый импульс к изучению Lii-алгебр был дая рассмотрением бесконечномерных аналогов классических групп, подобных унитарной группе U(oo) = lim U(n) и бесконечной симметрической группе б» = limSn- Эти примеры, заметно более сложные, чем изучавшиеся на начальном этапе теории, оказали заметное влияние на развитие ее общих методов.

В центре внимания оказалась проблема вычисления характеров групп, допускающих аппроксимацию конечными или компактными подгруппами. Существенно новой при анализе этой проблемы явилась трактовка LS-алгебр, как скрещенных произведений, связанных с динамическими системами. Основанный на ней арго-дичесхий метод построения характеров, примененный A.M. Вер-шиком и автором к задаче о характерах симметрической группы, развивает оригинальные идеи A.M. Верпгака. Мы даем подробное обоснование этого метода.

Многие задачи, рассмотренные в диссертации, сводятся к следующей типовой проблеме: для заданного бесконечного ориентированного графа найти все неотрицательные функции <р : Г —> R+, для которых

VW= £ р(Л); А 6 Г,

Л ;Х/Л

(суммировазие проводится по всем вершинам А 6 Г, яепосред-

ственно следующим за Л). Мы называем такие функции гармоническими.

Например, задача о характерах бесконечной симметрической группы ©оо эквивалентна задаче о гармонических функциях на графе диаграмм Юнга, упорядоченных по включению.

Как и в классическом описании гармонических функций в круге, все гармонические функции на графе Г можно представить обобщенным интегралом Пуассона

где /л - произвольная мера на границе графа £ — £(Г).

Серьезное отличие от классической ситуации состоит в том, что идеальная граница графа отнюдь не очевидна; напротив, ее описание для конкретных примеров, вместе с описанием ядра Пуассона Ф(А,<5), часто оказывается весьма нетривиальным.

К примеру, границей графа Юнга служит бесконечномерный симплекс

Д = {(а;/9) : > а2 > ... > 0; А > А > ... > 0; < 1} .

а ядро Пуассона Ф(А, 6) = ¿'л(а; А) определяется симметрическими функциями Шура «д. Последовательности а,¡3 следует понимать, как параметры Фробениуса идеальных диаграмм Юнга. Вычисление границы графа Юнга было впервые проведено А.М.Вер-шиком и автором.

В первой главе имеются новые примеры вычисления границ графов - обобщенных треугольников Стирлинга и графа ветвления конечных множеств - опубликованные в [2].

Содержание главы II.

Центральной темой второй главы диссертации является аппроксимативное вычисление характеров бесконечной симметрической группы воо.

Характеры группы 6» были впервые найдены Э. Тома в 1964 г., причем его результат удивительным образом эквивалентен чисто аналитической проблеме характеризации вполне положительных последовательностей и рядов, решенной независимо И.Шенбергом и его коллегами.

Совершенно шюе описание характеров группы бос, полученное A.M. Вершиком и автором, является частью более широкой программы А.М.Вершика по изучению аппроксимационных задач.

Задача о характерах группы 6Ж эквивалентна задаче о неотрицательных гармонических функциях на графе Юнга. Во второй главе мы подробно изучаем аналогичную задачу для специальных двухпараметрических деформаций графа Юнга, которые отражают ветвление симметрических полиномов Холла - Литтл-вуда - Макдональда. При подходящих значениях параметров деформации получаются результаты Кингмана по распределениям Пуассона - Дирихле и случайным разбиениям, а также результаты Назарова, обобщившего аппроксимативное вычисление характеров группы ©оо, полученное Вершиком и автором, на характеры спинсимметрической группы. Эта часть диссертации базируется на статьях автора [2], [3].

Предельным случаем полиномов Макдональда служат симметрические полиномы Джека. Соответствующие графы ветвления используются в третьей главе для вычисления многомерных интегралов Сельберга.

Обобщенные полипомы Макдональда Рд(.т; w) зависят от бесконечной последовательности параметров w = (?иь w2,...) и могут быть охарактеризованы следующими свойствами:

(a) разложение полиномов Р\ по мономиальным симметрическим функциям ту(х),

= гал(ж) + «ЛрМ

задается матрицей tix,,(w), треугольной относительно некоторого линейного усиления стандартного упорядочения диаграмм Юнга по доминированию;

(b) полиномы Рх ортогональны, (Рл, P^)w = 0 при А ф ц, относительно скалярного произведения, определенного на базисе степенных сумм Ньютона р\ формулой

(РА.РД. ® «Л* П к> 1

где Гк{\) - число строк длины к в диаграмме Юнга Л 6 У.

Среди прочего, мы получаем следующую характеризацию оригинальных полиномов Макдональдс в классе обобщенных. Теорема 20 [3]. Предположим, что для целых п, т > 0 и переменных х = (х1,х2) выполняется условие

-Р(п,т)(^ь Хг\ ш) = XIх2 Р(п-1,гп-1)(*1. хг; «О-

Тогда определяющая последовательность имеет вид

и1 = (су>1,с2ш2,- .. , спш„,...),

где с - константа, а последовательность {и'„} задается через параметры q, I форк./лой

1 - о"

или одной из немногих предельных последовательностей для этих семейств.

Этот факт связан со старой проблемой Фейера о характериза-ции ортогональных1 многочленов среди т.н. обобщенных полиномов Лежандра

т1

Я,, (гол <р) = ^ Ь„_А, Ьк соз(п - 2к) <р. ь=о

Решение основано на следующем неожиданном факте.

Теорема 21 [3]. Общее решение бесконечной системы нелинейных

уравнений

(/»-I - к) (/„ - /.) (/*-! - Ь ) (/з - /») = =(/»-!-/») (/»-/») (Л -Л) (Л-Л); « = 2,3,...

с неизвестными /1, /г> Уз> • ■• зависит всего от трех произвольных

параметров: если /2 Д и ^ /ь то /„ = Д + (/2 - Л) где г _ „

"+1~У ип(у/ 2)'

а{/„(сой<^) = 81п(к+1)^/ мир ■ -полиномы Чебышева второго рода.

Содержание главы III.

В третьей главе диссертации детальпо изучается наиболее интересный характер бесконечной симметрической группы - характер ее регулярного представления. Прежде исего, мы вводим удобное при работе с любыми локально-конечными группами общее понятие о мере П ланшереля, как марковской цепи на графе ветвления неприводимых представлений аппроксимирующих конечных групп. Затем воспроизводится старая теорема А.М.Вершика и автора об асимптотике формы больших случайных диаграмм Юнга (аналогичный факт был несколько позже независимо получен Логаном и Шешгом). Эта теорема служит мотивировкой для большинства дальнейших результатов, обсуждаемых d диссертации.

Среди новых результатов третьей главы отметим описание типичных симметрии тензоров высокой степени, полученное в (1], аналог центральной предельной теоремы для характеров симметрической группы б„, найденный в [6], и g-аналог алгоритма блуждания по крюкам, построенный в статье [4]. Мы приводим также новый вывод многомерных интегралов Сельберга, основанный на результатах [9J.-

По общим кааоыаы теории представлений, мера Планшереля М„ конечной симметрической группы 6„ определяется на множестве Уп диаграмм Юнга с п клетками по формуле

где dim Л - размерность неприводимого представления i pyimu ©„, отвечающего диаграмме А.

Согласно старой теореме A.M. Вершика и автора, типичные по мере Плакате ре.тя диаграммы Юнга имеют почти одинаковую форму. Чтобы сформулировать этот результат точнее, рассмотрим множество

диаграмм Юнга с п клетками,*) равномерно близких к графику

*) Здесь и далее мы меняем традиционную точку зрения нн ymai раммы Юнг а, рассматривая их как кусочно - линейные функции.

„, . dim2 А

М„(\ =-г-; АеУ,

п!

функции

(А)

I N.

J(tiarcsiu| + /4 - и2), если |u| < 2

если |и| > 2.

-2

Закон арксинуса.

Теорема. При любом положительном г > 0 множество У„{е) имеет асимптотически полную меру Планшереяя:

Основным новым результатом третьей главы является следующее уточнение этой теоремы, полученное в [6].

Обозначим через хХ характер неприводимого представления группы €>„, связанный с диаграммой Юнга А 6 Уп, и пусть - его значение на классе сопряженных подстановок с цикловой структурой р = (1Г1,2°,...). При фиксированном значении р € Уп характер является случайной величиной, определенной на множестве с мерой Планшереля Мп. Нас интересует асимптотика распределения этой величины при п —► оо.

Чтобы существовало нетривиальное предельное распределение, значения характеров необходимо подходящим образом нормировать. Рассмотрим случайные величины

lim М„(Уп(е)) = 1.

.- tw _ „»/г ,,v

отвечающие значениям характеров на подстановках с единственным нетривиальным циклом длины к = 2,3,____

Теорема 27 [6]. При любом выборе чисел хо, хз, ■ ■ ■ € R существуют пределы

lim ЛГП{А е : <рь(\) < 2 < к < т) =

п—*оо

-n^ri-'-i1"-

Этот результат можно рассматривать, как центральную предельную теорему для распределений характеров группы ©„ относительно меры Планшереля. Он означает, что случайные величины ipk асимптотически независимы и имеют гауссовские предельные распределения с нулевым средним и дисперсией к.

Теорема 27 уточняет теорему о предельной форме типичных по мере Планшереля диаграмм Юнга (которую можно сравнить с законом больших чисел). Она описывает предельный гауссовский процесс, к которому сходятся отклонения случайной диаграммы от ее предельной формы. Точная формулировка (эквивалентная предыдущей теореме) такова. Теорема 28 [6]. Рассмотрим случайную функцию

задающую уклонение диаграммы Юнга и) 6 J'„ от предельной ожидаемой формы П. Тогда при п —> оо этот случ йный процесс сходится по вероятности к гауссопскому случайному приц :су

А(х) ~ Л "»■(*)/v^m + Г,

' m>l

где um(2cosy?) = sin(m + 1 )ip/ sinp - приведенные полипомы Че-бышева второго рода и fi,... ,fm,... - независимые стандартные гауссовские случайные величины. Корреляционная функция процесса Д имеет вид

B(2co^,2cosV0 = , . 1 . , In (- 1.

2 sin (р sin i¡> — V'|/2/

Другой важный результат третьей главы состоит в построении (/-аналога для процесса блуждания по крюкам, открытого Грином, Нейенхаузом и Вилфом. Описан класс центральных марковских цепей на графе Юнга, для которых определенный здесь обобщенный процесс задает переходные распределения. Интересно, что эти цепи в точности соответствуют характерам алгебр Гекке, которые можно использовать для построения топологических инвариантов узлов и зацеплений.

Отметим еще один результат, иллюстрирующий общую теорему об интегральном представлении гармонических функций на графах. Мы показываем, что многомерные интегралы Сельберга

[■■■[ П К - о/* П «Г1 da, ... da=

Г(&А+Цк-1)0)П Г(0 + 1)

можно получить, как специальные примеры обобщенных интегралов Пуассона (для графов ветвления симметрических полиномов Джека).

Содержание главы IV.

В четвертой главе диссертации собраны результаты автора, относящиеся к приложениям асимптотической теории характеров группы боо в задачах математического анализа. Хотя формально они не зависят от материала первых трех глав и имеют самостоятельную ценность, с содержательной точки зрения вся идеология и постановки задач в четвертой главе продиктованы результатами первой части диссертации о мере Планщереля группы SM и предельной форме больших диаграмм Юнга. По-видимому, между симметрической группой и теорией функций существует глубинная связь, различными проявлениями которой служат приводимые нами факты, а также эквивалентность георемы Эдреи -Шенберга и теоремы о характерах группы б«,. Косвенным свидетельством в пользу этого тезиса может служить творчество Исайи Шура, получившего замечательные теоремы в обеих областях.

Наш первый результат в четвертой главе основан на изображении пар перемежающихся конечных последовательностей вещественных чисел посредством "прямоугольных диаграмм", обобщающих диаграммы Юнга. Этот несложный прием делает содержательным вопрос об асимптотическом поведении подобных пар. Основываясь на статье [7], мы доказываем, что для перемежающихся корней классических ортогональных многочленов предельная форма диаграмм такая же, как и для больших случайных диаграмм Юнга.

Второй основной результат, опубликованный в [8], устанавливает биекцию между диаграммами и вероятностными морами. Фактически то же самое соответствие, но из совершенно иных соображений, появляется в книге М.Г.Крейна и А.А.Нудельмана*) для решения проблемы моментов Маркова, а в задачах статистики оно же описывает распределения интегралов по случайным мерам Дирихле. Связь соответствия Крейна - Нудельмана и мери Планшереля симметрической группы 6Х, обнаруженная в [8], открывает заманчивую возможность применить в проблеме моментов и других аналитических задачах разнообразную комбинаторную технику теории подстановок и их представлений. Используя эту идею и совершая должный предельный переход в алгоритме блуждания по крюкам, мы получаем новое вероятностное описание соответствия Крейпа — процесс усадки отрезка.

Третий существенный результат, полученный в [10], [11], состоит в построении дифференциальной модели роста диаграмм Юнга, которая оказывается эквивалентной хорошо изученному уравнению Вюргерса. Мы доказываем, что асимптотическое поведение, установленное ранее для случайных диаграмм Юнга, имеет место и для этой модели. Заслуживает внимания и дальнейшего изучения связь последней с полу круговой диффузией в свободной теории вероятностей, разработанной недавно Д.Войкулеску и иго учениками.**)

Перейдем к детальным формулировкам.

Как могут вести себя перемежающиеся последовательности

(В) xi < yi < xi < ... < an_t < j/„_i < хп

*) М.Г.Крейн, А.А.Нудельман, Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи, Наука, М., 1973.

**) Voiculescu D.V., Dykema К.J., Nica A., Free Random Variables, AMS.'Px-ovi-dence, 1993.

с ростом «7 Чтобы уточнить этот вопрос отметим, что минимумы Хк и максимумы уь диграммы Юнга ш, понимаемой как кусочно - линейная функция, также перемежаются. Для истинных диаграмм Юнга все акстремумы - целые, но если отказаться от этого условия, мы придем к удобному и наглядному представлению произвольных перемежающихся последовательностей. Функции V — удовлетворяющие лишь условиям

(1) и/(и) = ±1;

(2) найдется с е К, при котором ы(и) = |и - с| для достаточно больших |и|,

назовем прямоугольными диаграммами.

Легко видеть, что соответствие между прямоугольными диаграммами и перемежающимися последовательностями (В) взаимно - однозначно. Проблему можно теперь переформулировать так: какова предельная форма диаграммы шп?

В диссертации показано, что в некоторых чисто аналитических ситуациях, казалось бы никак не связанных с симметрической группой, имеет место такой же "закон арксинуса" (А), стр. 14, как и для больших случайных диаграмм Юнга.

Например, рассмотрим семейство ортогональных многочленов {Рп(г<)}^1.0, заданное линейным рекуррентным соотношением

Рп(и) + (&„ - и)Рп.,(и) + с2пРп-г(и) = О

и начальными условиями Ро(ь) = 1, Р^и) = и - Ьг. Хорошо известно, что корни соседних многочленов

П—1 П

Рп-хЫ=п(и- »••), =- *<)

1=1 ¿=1

перемежаются.

Прямоугольная диаграмма и„, при помощи которой мы следим за характером взаимного разделения корней, определяется условиями

шп(и) = |и — С„| при достаточно больших |«|,

где с„ =

1Ь

'Георема 33 [7]. Предположим, что для коэффициентов и рекуррентном соотношении существуют пределы

lim 2-1 = 1, lim ^=1=0.

rt-»oo сп л—.оо сп

Тогда равномерно по и 6 R существует предел lim — cjn(tic„_i + 6„) = П(и),

л —*ос сп

где функция О задана формулой (А), стр.11.

Корни полиномов Чебышева

Корни полиномов Лагерра Разделение корней многочленов степени 15 и 16.

Для бесконечной симметрической группы мы используем в качестве меры П.чангаереля центральную марковскую цепь на

графе Юнга, заданную переходными вероятностями

<1шаЛ

А е Уп, Л / Л.

Цк =

1) сНтЛ

Здесь подразумевается, что новая клетка добавляется над точкой минимума х* диграммы А.

Теорема 32 [5, 8]. Пусть диаграмма Юнга и = А (и) задана парой последовательностей Х\,Хг,..- и уТогда ее план-шерелевские переходные вероятности суть в точности коэффициенты простейших дробей в разложении

Условие положительности коэффициентов в разложении (С) в точности равносильно условию перемежаемости нулей и полюсов этой дроби. Таким образом, переходные вероятности процесса планшерелевского роста можно определить и для произвольных прямоугольных диаграмм.

Континуальной диаграммой (или просто диаграммой) мы называем любую функцию V = и>(и), обладающую двумя свойствами:

(1) ИиО - и(иг)\ < |и! - и2|;

(2) о;(и) = |и - с| для некоторого с € К и больших |и|. Характерный пример континуальной диаграммы - функция (А).

Обозначим через V пространство таких диаграмм, что ы(и) — |и — с| для ц $ [а,6]. Мы наделяем 2> топологией равномерной сходимости; ясно, что подмножество прямоугольных диаграмм Vо плотно в V. Рассмотрим также пространство М вероятностных мер в интервале [а,Ь], снабженное слабой топологией, и плотное в нем подмножество Мо, состоящее из распределений с конечным носителем.

Теорема 35 [8]. Биективное соответствие между подмножествами Е>о и .Мо, заданное формулой (С), продолжается по непрерывности до гомеоморфизма пространства всех диаграмм Т> на пространство М всех вероятностных распределений с носителем на

(С)

отрезке [а,Ь]. Это соответствие однозначно характеризуется формулой

ехр

/1а<1 ~ ,,г> ^'('о) = /

<Ыи)

1 -иг'

Заметим, что в дискретном случае формула (Б) эквивалентна разложению на простейшие дроби (С). Другой подход к определению того же соответствия был ранее найден Крейном и Нуд ел ь-маном в связи с проблемой моментов Маркова. Третий подход обнаружен П.Диаконисом и связан с распределениями средних значений для случайных процессов Дирихле. Подчеркнем, что эти три подхода весьма непохожи и хорошо дополняют друг друга.

Отправляясь от процесса блуждания по крюкам, мы приходим к новому простому описанию соответствия Крейна - Нуделы.кша.

Для заданной континуальной диаграммы ы 6 Т> определим заряд г его функцией распределения т{и) = (1 + о/(г/))/2, и зададим процесс усадки, отрезка следующим образом. Начнем с промежутка, [<1о,Д)], содержащего носитель заряда г. Каждый шаг процесса совершается в два действия:

(1) текущий отрезок [«„_], делится на две части случайной точкой 7, распределенной на этом отрезке равномерни (т.е. по мере Лебега);

(2) в качестве следующего отрезка [от„,/?„] случайно выбирается одна из этих частей, причем вероятности зависят от

заряда т:

Описание корректно, так как числа т(—оо, т(7, +со) неотрицательны и в сумме дают единицу. Подразумевается, что все лы-боры производятся независимо.

Теорема 39 [8]. Пусть цепочка случайных вложенных отрезков [<>п|Дп] построена по диаграмме иг при помощи процесса усадки отрезка. Тогда с вероятностью единица пределы

[а„_1,7] с вероятностью г(—оэ,->], [7,/5п_]] с вероятностью г<7,+оо).

X = Нта„ = 1нп/?,

п

совпадают и распределение ^ случайной величины X удовлетворяет характеристическому тождеству (Б).

Процесс планшерелевского роста диаграмм Юнга является случайным процессом с дискретным временем и пространством. Опираясь на соответствие Крейна, мы строим дифференциальную модель планшерелевского роста - неслучайный процесс с континуальным временем и пространством, который, однако, обнаруживает те же асимптотические свойства, что и мера Планшереля бесконечной симметрической группы 6ГО. Наша дифференциальная модель адекватно описывается уравнением Бюргерса

Я, -ЬЯЛ* = 0.

Закону арксинуса, управляющему формой больших случайных диаграмм Юнга, соответствует его автомодельное решение

^'^(тг/т1*)-

Б диссертации показано, что в определенном смысле все решения асимптотически сближаются с этой функцией.

Идея, приводящая к дифференциальной модели, чрезвычайно проста: вместо того, чтобы добавить к диаграмме Юнга А одну случайную клетку с планшерелевскими переходными вероятностями, мы хотим добавлять одновременно и всюду, где это возможно, части этой клетки, пропорциональные таким вероятностях!.

Для реализации этой идеи перейдем от множества диаграмм Юпга. У к пространству всех континуальных диаграмм V. Аналогом таблпц Юнга служат кривые Э < ь+ 6 V в пространстве диаграмм, для которых функции шг{х) = о>(х, () не убывают по аргументу I. Не умаляя общности, можно взять за параметр I вдоль кривой площадь подграфика диаграммы Тогда частная производная является плотностью вероятностного рас-

пределения по переменной х, которое удобно интерпретировать, как касательный вектор к кривой.

С другой стороны, соответствие Крейна - Нудельмана сопоставляет каждой диаграмме и € Т> ее "переходную меру" /1, и мы получаем векторное поле на пространстве V. Приравнивая касательное распределение в общей точке кривой и переходное

распределение для соответствующей диаграммы, мы и ирнходим к основному динамическому уравнению. К сожалению, из-за отсутствия явной формулы для переходной меры, для записи нашего уравнения приходится опираться на характеристическое тождество (D):

( Г à ... z du \ Г д .. du

(E) ехр (-у Г-Н?/ = j 1) г^

(при достаточно малых г). Здесь мы использовали вспомогательное обозначение <j(u,t) = 5(0>(u,i) — |u|).

Уравнение (Е) существенно упрощается, если переписать его в других переменных. Например, для коэффициентов hn(t) производящей функции

/>=0 J т х "

получаем цепочку обыкновенных дифференциальных уравнений

(F) »=0,1,2,.... ,l+2 ti

Еще интереснее переписать уравнение (Е) в терминах самой функции R.

Теорема 36 [10, 11]. Основное динамическое уравнение (Е) для неизвестной функции o(u,t) равносильно уравнению Бюргерса

dt дх

для производящей функции Ii(x, t).

Анализируя уравнения (F), мы приходим к закону арксинуса, как общей асимптотике при t —» 00 всех решений уравнения (Е). Теорема 37 [10, 11]. Предположим, что функция tr(x, t) = (и.'{х, t) -|i|)/2 удовлетворяет основному динамическому уравнению. Тогда

равномерно но г G К.

Следующий результат позволяет более прямо связать рост диаграмм Юнга и уравнение Бюргерса.

Выберем диаграмму Юнга и> £ У и пусть {¡/i}^!1, -

точки ее минимумов и максимумов. Рассмотрим однопараметри-ческую деформацию u>i диаграммы и, добавляя над каждой точкой минимума Хк крошечную квадратную клеточку*) площади Цк t, где Цк - плнцшерслевская переходная вероятность. Для полученной таким образом прямоугольной диаграммы к прежним максимумам ук добавляются новые в точках j/¡t(i) = Хк, а каждая точка минимума Хк расщепляется на пару i*(i) = Хк ± \fi~Ji~k- Составим рациональную дробь

Л-1 1/

П (* - Vi) П - х>)

R(x,t) = i=i-Ï=1-.

i=1

an до

^(*,0)+Ä(*,0)|j(;c,0) = О,

уравнение Бюргерса выполняется на начальном условии

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Распределение типов симметрии тензоров высокой степени.

Дифференциальная геометрия, группы Ли и механика - 8. Записки п&учных семинаров ЛОМИ, т.155 (1986) с.]81-186.

1. Комбинаторные примеры в теории AF-алгебр.

Дифференциальная геометрия, группы Ли и механика - 10, Записки научных семинаров ЛОМИ, т.172 (1989) с.55-67.

3. Guncralized Hall-Littlewood Symmetrie Functions and Orthogonal Polynomiah.

Advances in Soviet Mathematics., v.9 (1992) p.67-94.

4. q-n,налог алгоритма блуждания по крюкам и случайные таблицы Юнга.

*) Ииггрссен только случлй, когда t мало.

Тогда

То есть Л(л:,0).

Фуакцион. анализ и его приложения, т.26 (1992) с.35-45.

5. Separation of Roots of Orthogonal Polynomials and the Limiting Shape of Generic Large Young Diagrams.

Ttondheim Univ., Trondheim, Norway, Preprint No.8 (1992) p. 1-23.

6. Gaussian Limit for the Plancherel Measure of the Symmetric Group.

Comptes Read. Acad. Sci. Paris, t.316, Serie I, (1993) p.303-308.

7. Асимптотика разделения корней ортогональных многочленов.

Алгебра и анализ, СПб, т.5 (1993) вып.5, с.68-86.

8. Переходные вероятности континуальных диаграмм Юнга и проблема моментов Маркова.

Функцион. анализ и его приложения, т.27 (1993) вып.2, с.32-49.

9. Asymptotici of Large Random Young Diagrams.

6th Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics, Abstracts, DIMACS, Rutgers Univ. (1994) p. 285-291.

10. The Asymptatics of Interlacing Sequences and the Growth of Continuous Diagrams.

Дифференциальная геометрия, группы Ли и механика - 13, Записки научных семинаров ЛОМИ, т.205 (1993), с.21-29.

11. Дифференциальная модель роста диаграмм Юнга.

Представлено в "Труды Санкт-Петербургского математического общества", г.4, 1995.