Асимптотика решений некоторых классов самосопряженных дифференциальных уравнений и спектральные свойства операторов, связанных с ними тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

1 Линейные однородные дифференциальные уравнения, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка

1.1 Симметрические квазидифференциальные выражения.

1.1.1 Симметрические дифференциальные выражения. 1.1.2 Квазипроизводные и симметрические квазидифференциальные выражения

1.1.3 Основной класс симметрических квазидифференциальных выражений п + 1 - го порядка.

1.2 Теорема о связи квазидифференциального уравнения п + 1 - го порядка с дифференциальным уравнением второго порядка.

1.2.1 Формулировка основной теоремы.

1.2.2 Доказательство 1.

1.2.3 Доказательство 2.

1.2.4 Замечание 1.3 Частные случаи дифференциального уравнения высокого порядка

1.3.1 Вид уравнения п + 1 - го порядка при малых значениях п 1.3.2 Тождество Клаузена.

1.3.3 Интеграл Никольсона для функции 31(х) + У„2(х)

2 Свойства решений дифференциальных уравнений, связанных с дифференциальными уравнениями второго порядка

2.1 О числе нулей решений дифференциального уравнения второго порядка

2.1.1 Функция Коши дифференциального уравнения второго порядка

2.1.2 Итерационные ряды для функции Коши.

2.1.3 Лемма.

2.1.4 Нули решений дифференциального уравнения второго порядка . . 55 ® 2.2 О числе нулей решений квазидифференциального уравнения п + 1 - го порядка.

2.2.1 Связь между числом нулей решений уравнений второго и п+1 - го порядков.

2.2.2 Нули решений дифференциального уравнения высокого порядка

2.3 Асимптотика решений дифференциальных уравнений п + 1 - го порядка 63 * 2.3.1 Асимптотика и оценки Лиувилля-Грина для решений дифференциального уравнения второго порядка.

2.3.2 Асимптотика решений дифференциальных уравнений п + 1 - го порядка. ф 2.3.3 Оценки решений дифференциальных уравнений п + 1 - го порядка

2.4 Квазирегулярность дифференциального выражения п + 1 - го порядка

2.4.1 Минимальный и максимальный операторы. Индекс дефекта минимального оператора.

2.4.2 Сингулярный дифференциальный оператор, порожденный выражением I

2.4.3 Критерий квазирегулярности выражения I.

2.4.4 Признаки неквазирегулярности выражения I

2.4.5 Признак квазирегулярности выражения I

3 Асимптотика решений и оценки типа Лиувилля-Грина для одного класса систем дифференциальных уравнений

3.1 Теорема М.В. Федорюка

3.2 Асимптотика решений одного класса систем дифференциальных уравнений

3.2.1 Основной класс матриц F

3.2.2 Преобразование системы дифференциальных уравнений.

3.2.3 Теорема об асимптотике решений системы дифференциальных уравнений

3.3 Оценки типа Лиувилля-Грииа для решений дифференицальных уравнений высокого порядка.9G

3.4 Примеры 3.5 Признаки квазирегулярности выражения т

З.С Замечание.

При решении различных задач математического анализа математики неоднократно обращались к дифференциальным уравнениям, фундаментальная система решений которых зависит от фундаментальной системы решений дифференциального уравнения второго порядка.

Дифференциальные уравнения третьего и четвертого порядков хорошо известны и приведены, например, в книге Э. Камке (см. [3], стр. 536, 554). В 60-х годах прошлого столетия в СФРЮ были получены дифференциальные уравнения пятого и шестого порядков. В работе [12] К.А. Мирзо-ев построил класс линейных однородных дифференциальных уравнений п + 1 - го порядка (п > 1) с коэффициентами, зависящими от функций р и q, фундаментальной системой решений которого является множество функций ип,ип-1у,.иуп-1,уп, где и и V - линейно независимые решения дифференциального уравнения второго порядка р(х)у'У = д(х)у, для случая р(х) = 1.

В настоящей диссертации найден такой класс дифференциальных уравнений высокого порядка уже для случая произвольной функции р(х).

Применение дифференциальных уравнений, связанных с дифференциальными уравнениями второго порядка, берет свое начало в теории специальных функций. При доказательстве знаменитого тождества Клаузена где F и 3Р2 - гипергеометрическая и обобщенная гипергеометрическая функции, применяется случай дифференциального уравнения третьего порядка (см. [2], стр. 186; [14], стр. 165).

Следуя Уилкинсу (1948), равенство интеграла Никольсона Ы„{г) функции ^{г) + где У„(г) - функции Бесселя, также можно доказать, применяя это уравнение (см. [14], стр. 328).

Исследованию свойств решений дифференциальных уравнений второго порядка посвящены работы многих авторов. Например, теоремы о числе нулей вещественных решений содержатся в книге Ф. Хартмана [18], асимптотические формулы Лиувилля-Грина превосходно изложены в книге М.Б.Р. ЕаяШат [19]. Еще одним применением теоремы о связи дифференциальных уравнений п + 1 - го порядка (п > 1) с дифференциальным уравнением второго порядка может стать исследование свойств решений дифференциальных уравнений высокого порядка, в частности, обобщение асимптотических формул и оценок Лиувилля-Грииа для решений дифференциальных уравнений п + 1-го порядка (п > 1).

С точки зрения спектральной теории дифференциальных операторов верхние оценки для решений дифференциальных уравнений интересны тем, что позволяют получить примеры сингулярных дифференциальных опера

Т. СЛаивеп, 1828 г.)

2а, а + 6, 26; х а + 6 + 2а + 26

2' торов с максимальными дефектными числами. В этом случае резольвента любого самосопряженного расширения сингулярного оператора есть интегральный оператор, ядром К(х, 5, Л) которого служит ядро Гильберта-Шмидта. Поэтому резольвента Я\ является вполне непрерывным оператором, и, следовательно, спектр всякого самосопряженного расширения сингулярного дифференциального оператора чисто дискретен, т.е. состоит из счетного множества собственных значений конечной кратности с единственной предельной точкой на бесконечности.

Отметим, что во многих работах оценки для решений дифференциальных уравнений получены на основе алгебраического метода Н.П. Купцова [26]. М.Э.Р. ЕаэИтш в [20], [21] и Б.В. НасНс! в [24] усовершенствовали этот метод для дифференциальных уравнений высокого порядка. В диссертации избран другой подход, позволяющий получить более точные оценки для решений дифференциальных уравнений высокого порядка. Он базируется на асимптотических методах, предложенных М.В. Федорюком [16] и М.Б.Р. Еаэ^ат [19].

В 1965 году М.В. Федорюк исследовал асимптотику решений системы дифференциальных уравнений

V = А{х)У при х —> +оо, где матрицы А имеет вид

1° А(х) — ф(х)Ф(х)В(х)Ф~1(х), комплекснозначная функция ф(х) ф 0 при х > 0, Ф(х) - диагональная матрица с элементами {Ф)^] — а^ - комплексные числа;

2° матрица В(+оо) существует, конечна, невырождена и имеет различные собственные значения.

В настоящей диссертации, модифицируя асимптотические методы М.В. Фе-дорюка и М.Б.Р. ЕаэШат, мы найдем асимптотику решений одного класса систем дифференциальных уравнений в случае а^- = ¿ — 1. Одно из отличий от случая М.В. Федорюка заключается в том, что в матрице Ф будут стоят степени функции, отличной от ф(х). Как следствие, в работе обобщены оценки Лиувилля-Грина для решений дифференциальных уравнений высокого порядка, которые не связаны с дифференциальными уравнениями второго порядка.

Целью работы является нахождение класса линейных однородных дифференциальных уравнений п + 1-го порядка (п > 1), фундаментальная система решений которого строится по фундаментальной системе решений дифференциального уравнения второго порядка, а также изучение асимптотики решений одного класса систем линейных дифференциальных уравнений при х —>• +оо и обобщение оценок Лиувилля-Грина для решений дифференциальных уравнений высокого порядка.

Выносимые на защиту результаты диссертационной работы являются новыми. Из них выделим следующие.

1. Найден класс линейных однородных дифференциальных уравнений п+1 - го порядка (п > 1), с коэффициентами, зависящими от функций р и q, фундаментальная система решений которого строится по фундаментальной системе решений дифференциального уравнения второго порядка {р(х)у'У = ц(х)у.

2. Получены теоремы о числе нулей вещественных решений линейных однородных дифференциальных уравнений п+ 1 - го порядка (п > 1) на произвольном отрезке и их связи с числом нулей вещественных решений дифференциального уравнения второго порядка.

3. Исследована асимптотика решений систем линейных дифференциальных уравнений вида У = ф(х)Ф(х)В(х)Ф~1(х)У при х —> +оо. Как следствие, получены оценки типа Лиувилля-Грина для решений линейных однородных дифференциальных уравнений п +1 - го порядка (п > 1) и условия на коэффициенты дифференциальных уравнений, обеспечивающие реализацию случая максимальных дефектных чисел для соответствующих дифференциальных операторов.

В первой главе найден класс линейных однородных дифференциальных уравнений п + 1 - го порядка (п > 1), фундаментальная система решений которого строится но фундаментальной системе решений дифференциального уравнения второго порядка.

В параграфе 1.1 мы приводим основные определения и факты, которые используются в дальнейшем, а именно, дано традиционное определение симметрического (формально самосопряженного) дифференциального выражения, введено понятие квазипроизводной и симметрического квазидиф-фереициального выражения, дана формулировка теоремы существования и единственности для соответствующей системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка. В п. 1.1.3 рассмотрен следующий класс симметрических квазидифференциальных выражений п + 1 - го порядка.

Пусть комплекснозначные функции р, д измеримы на (а, Ь) С М (—оо < а < Ь < Н-оо), а функции суммируемы на каждом ее замкнутом конечном подынтервале [а,0\ С (а, Ь) (р-1,<7 € Ь}0С(а,Ь)). Обозначим через ^ := (/„) матрицу с элементами /у (г,з = 1,., п + 1), где /к,к+1 := Р

1к+1,к '■— к(п + 1 — к)д (к = 1,2,. ,п) и Д,- := 0 при остальных значениях г и Перечисленные условия позволяют определить квазипроизводные функции у посредством матрицы .Р, полагая :— у, ?/Ш := р(у^)', у[к+1] р((у[*]у - Д+1>Лу1Л11) (А; = 1, 2,., п - 1), и скалярное квазидифференциал ьное выражение /о порядка п+ 1, полагая оУ := О/1"1)' - /п+1,пУ[п1]

В параграфе 1.2 сформулирована теорема о связи квазидифференци-алыюго уравнения п + 1 - го порядка с дифференциальным уравнением второго порядка и приведено два различных способа доказательства теоремы. При первом способе доказательства возникают хотя и несложные, но довольно громоздкие вычисления, а второй способ позволяет их избежать. Однако именно первый способ дает возможность в дальнейшем получить асимптотику решений и их квазипроизводных дифференциального уравнения п + 1 - го порядка при х —> +оо. В силу этих причин целесообразно привести оба доказательства теоремы.

Основная теорема первой главы состоит в следующем. Обозначим через ииу линейно независимые решения дифференциального уравнения Штурма-Лиувилля р{х)у'У = д (х)у, (1) где функции р и д удовлетворяют условиям, приведенным выше. Теорема 1.2.1. Миояссство функций ип,ип~1у,.,иуп-\уп образует фундаментальную систему решений квазидиф)ференциалъного уравнения

1оУ = 0. (2)

Отметим, что первый способ доказательства этой теоремы основан на доказательстве следующего равенства, которому удовлетворяют функции У1 := ип~1у1 (I = 0,1,., п) и их квазипроизводные.

У[1] = У С?-,-V ч,,| ,у-1-3+т(риу-ту1-т(ру'Г

А ^ , 5 (п-1 - в + ту.а-т)\ К1 ; к* } т—тах{0;-п+1+з}

3) в = 0,1,.,п)

Пусть функции р \\ q бесконечно дифференцируемы. Тогда уравнение (2) является обыкновенным линейным дифференциальным уравнением п + 1 - го порядка.

В параграфе 1.3 найден вид дифференциального уравнения (2) при малых значениях п и рассмотрено применение теоремы 1.2.1 в теории специальных функций. Следствием теоремы является знаменитое тождество Клаузена из теории гипергеометрических рядов (см. [2], стр. 186; [14], стр. 105), а также теорема о связи интеграла Никольсона с функциями Бесселя (см. [14], стр. 328).

Во второй главе рассмотрены свойства решений дифференциальных уравнений, связанных с дифференциальными уравнениями второго порядка.

Из теоремы 1.2.1, очевидно, следует, что свойства решений уравнений (1) и (2) тесно связаны. Поэтому параграф 2.1 посвящен изучению свойств решений дифференциального уравнения второго порядка с вещественными коэффициентами на конечном отрезке. Рассмотрены определение и свойства функции Коши дифференциального уравнения второго порядка и приведены итерационные ряды для этой функции. Важным промежуточным результатом является следующая лемма.

Лемма 2.1.1. Пусть (а,(3) С К, р(х) > 0 при х 6 (а,/?) и пусть при О < и < 1

P(n) / U P(ti) / J р(Т)' ol / а

Тогда при всех a <t < х < ¡3 выполняется неравенство

Последнее утверждение позволяет получить нижние оценки для функции Коши дифференциального уравнения второго порядка в случае, когда длина рассатриваемого интервала и коэффициенты дифференциального выражения связаны между собой определенными соотношениями, и доказать следующую теорему о количестве нулей дифференциального уравнения второго порядка на произвольном отрезке.

Теорема 2.1.1. Пусть [а, 6] С Ж и вещественные функции р > 0 и q таковы, что выполняется неравенство ь / х \ / ь \ ь

Г d£ \ , [ di

У: р(0

Тогда любое ненулевое вещественное решение уравнения (1) имеет не более одного нуля па [а, Ь].

Основными результатами параграфа 2.2 являются следующие теоремы о количестве нулей решений дифференциального уравнения п + 1-го порядка.

Теорема 2.2.1. Пусть р ид- вещественные функции ир> 0 на (а,Ь). Любое ненулевое вещественное решение уравнения (2) имеет не более п нулей (с учетом их кратности) на интервале (а,Ь) в том и только в том случае, когда любое ненулевое вещественное решение уравнения (1) имеет не более одного нуля на (а,Ь).

Теорема 2.2.2. Пусть функции р и д удовлетворяют условиям теоремы 2.1.1. Тогда любое ненулевое вещественное решение уравнения (2) имеет не более п нулей на [а, 6] с учетом их кратности.

В параграфе 2.3 теорема 1.2.1 и асимптотические формулы Лиувилля-Грина для решений дифференциального уравнения второго порядка применяются для исследования асимптотики решений и их квазипроизводных дифференциального уравнения (2).

Обозначим через (=: Ср) банахово пространство всех комплекспозначных измеримых функций /, для которых | / |р интегрируема в

0,+оо). Справедлива следующая теорема. Теорема 2.3.2. Пусть вещественные функции р и д имеют локально абсолютно непрерывные производные первого порядка и р > 0 и д > О (д < О)1. Пусть далее

I Я I /Р)1/2 * Сг (4) и

Тогда уравнение (2) имеет линейно независимые решения ?//(= ип~1у1) (I = 0,1,.,п); для которых при х —» +оо справедливы асимптотиче

1 Здесь результаты, относящиеся к случаю д < 0, приведены п скобках. ские формулы х у\8] ~ М3(рд)->-2^ехр ( (п - 21) ^{д/р)1'2(И ) о х М8(-рд)~^п-^ехр ( (п - 21) г |(-д/р)1^ )}, где п — О' с* п — I — 5 + га)! (7 — га)! т=тах{0;-п+1+з} 4 ' 4 ' й = О, 1,---, п).

Последнее утверждение позволяет получить естественное обобщение оценок Лиувилля-Грина для всех решений дифференциального уравнения п+ 1-го порядка, фундаментальная система решений которого строится по фундаментальной системе решений дифференциального уравнения второго порядка.

Следствие 2.3.2. Пусть функции р и д имеют локально абсолютно непрерывные производные первого порядка ир>0ид<0па и пусть выполнены условия (4) и (5). Тогда для решений уравнения (2) верны оценки у\ < {сопзЬ.)\рд\-п1\

Найденные оценки мы будем называть оценками типа Лиувилля-Грина.

В параграфе 2.4, предполагая, что р и д - вещественные функции на полуоси М+, обсуждаются некоторые вопросы спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов, порожденных квазидифференциальным выражением I := 10, если п—нечетно, и I := Но, если п—четно в гильбертовом пространстве £2(К+). Самосопряженные расширения сингулярного оператора, подобно самосопряженным расширениям регулярного оператора, можно характеризовать с помощью системы граничных условий. В случае индекса дефекта (п + 1,п + 1) число граничных условий, определяющих самосопряженное расширение сингулярного оператора, равно п + 1, также как и в случае регулярного оператора. Кроме того, в этом случае резольвента Яд любого самосопряженного расширения минимального оператора есть интегральный оператор, ядром К(х, 5, Л) которого служит ядро Гильберта-Шмидта. Поэтому резольвента является вполне непрерывным оператором, и, следовательно, спектр всякого самосопряженного расширения оператора чисто дискретен, т.е. состоит из счетного множества собственных значений конечной кратности с единственной предельной точкой на бесконечности. Говорят, что выражение I является квазирегулярным (для выражения I имеет место вполне неопределенный случай), если дефектные числа минимального оператора!^ максимальны и равны п + 1.

Непосредственным следствием теоремы 1.2.1 является следующий критерий квазирегулярности выражения I.

Теорема 2.4.3. Для выражения I имеет место вполне неопределенный случай тогда и только тогда, когда все решения уравнения (1) принадле-э/сат пространству С2п

Важным промежуточным результатом является критерии принадлежности всех решений дифференциального уравнения второго порядка пространству Ср.

Теорема 2.4.4. Пусть и(х,Ь) - функция Коши уравнения (1), т.е. решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям и(х,1) \х=1= О и р(х)и'(х,£) \х=ь— 1- Для того, чтобы все решения уравнения (1) принадлежали пространству Ср, необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности непересекающихся интервалов (ат,Ьт) С выполнялось условие

Ь х \ 1/2

Стп X 4 f I u(x,t) IР dt ^ < +оо.

Применение теорем 2.4.3 и 2.4.4 позволяет получить разнообразные достаточные условия неквазирегулярности выражения I. Теорема 2.4.5. Bupaoicenue I не является квазирегулярным, если функции р и q удовлетворяют какому - либо из перечисленных ниэюе условий:

I. Пусть (ат,Ьт) С - последовательность непересекающихся интервалов, таких, что р(х) > 0 почти всюду при х Е (ат, Ьт) и

00 (h - п

9т ат) ьт ьт v - °°>

Мт \UfaJ q-(T)dr]W + 1

I dm ат где

Мт = sup{p(x),x в (ат,Ьт)}.

II. Пусть 0 < с < р(х) < С почти всюду при х Е R+ и М - полоэюи-тельпая, неубывающая функция наШ+, такая, что q < М{х) при оо х G М++ и f М~п/2 = +оо. о

III. Пусть 0 < с < р(х) < С почти всюду при х G Ш+ и q-(x) G Lr(R+) для некоторого г > 1.

IV. Пусть (ат,Ьт) С М+ - последовательность непересекающихся интервалов, 7т - последовательность полоэюительных чисел, такие, что с < р(х) < С почти всюду при х £ (ат, Ьт) и

00

1) £ 1ш = +00,

3) I д4т)^<К(Ьт-ат)1+п^. т

С точки зрения спектральной теории дифференциальных операторов оценки типа Лиувиля-Грина для решений дифференциальных уравнений высокого порядка интересны тем, что позволяют получить примеры дифференциальных операторов с максимальными дефектными числами. Справедлив следующий признак квазирегулярности выражения I. Теорема 2.4.6. Пусть функции р и д имеют локально абсолютно непрерывные производные первого порядка ир>0ид<0иа и пусть выполнены условия (4) и (5). Тогда для вырао/сения I имеет место вполне неопределенный случай в том и только в том случае, когда

В третьей главе исследуется асимптотика решений системы дифференциальных уравнений при х +оо, где := (Д,) - матрица с элементами ¡кМг := р := (к = 1, 2,., п) и := 0 при остальных значениях г и у.

Здесь вещественные функции р, д и гк (к = 1,2,., п) измеримы на полуоси функции р-1, д и гк суммируемы на каждом ее замкнутом конечном подынтервале [а, ¡3] С (р-1, д, гк € 1/г10С(М++)), ак (к = 1,2,., п) -действительные числа, причем ак = ап+1-к и гк = гп+(к = 1, 2,. ,п), и п - натуральное число. о

У = ГУ б)

При этом предполагается выполнение следующих условий. 1° Матрица С имеет (п + 1) простое собственное значение; 2° р(х) ф 0, я{х) ф 0 при х е 3° р/, я/ е АС1ОС{Ж+)-4° (|9|/|р|)1/2^

5° \ РЯ \~1/л Р \ £ \ РЯ \~1/А) С ¿Л^); 6° гк | рд

Основной результат третьей главы состоит в следующем. Теорема 3.2.1. Пусть выполнены условия 1° - 6°. Тогда система (6) имеет решения Ук(х) (к = 1, 2,. п + 1) такие, что при х —> +оо справедливы асимптотические формулы

ПМ = {рчУп,АЯ{х){ук + 0(1)}ехр |а, I . (7)

Теорема 3.2.1 позволяет получить оценки типа Лиувилля-Грина для дифференциальных уравнений высокого порядка, которые не связаны с дифференциальными уравнениями второго порядка.

В параграфе 3.3 рассмотрены линейные однородные дифференциальные уравнения п + 1-го порядка иу = 0, (8) равносильные системе (6), и доказаны следующие утверждения.

Следствие 3.2.1. Пусть выполнены условия 1° - 6°, pq > 0 на Ш+ и все собственные значения матрицы С чисто мнимые. Тогда для решений уравнения (8) верны оценки типа Лиувилля-Грина у\ < (const.)\pq\~n/4.

Следствие 3.2.2. Пусть выполнены условия 1° - 6°, pq < О на и все собственные значения матрицы С действительные. Тогда для решений уравнения (8) верны оценки типа Лиувилля-Грина у\ < (const.)\pq\-n/4.

В параграфе 3.4 приведены различные примеры системы (6). Пример 3.4.1. Пусть ак = 1 (к = 1,2,., п). Тогда собственными значениями матрицы С являются различные действительные числа

7Г А/ к = 2 cos —— (к = 1,2,., п + 1).

ТЬ I Zd

Система (G) имеет решения Yf.(x) (к = 1,2,. п+1) такие, что при х —> +оо справедливы асимптотические (формулы

Yk(x) = (pq)~n^Q(x){vk + о(1)}ехр ^cos-^ J (q/p)1^ .

Согласно следствию 3.2.2, для решений уравнения (8) верны оценки типа Лиувилля-Грина при условии, что pq < 0.

Пример 3.4.2. Пусть = — 1 (к = 1, 2,., п). Тогда собственными значениями матрицы С являются различные чисто мнимые числа

7г /и

Xk = 2i cos-- (к = 1,2,. ,n + 1). п + 2

Система (6) имеет решения Ук(х) (к = 1,2,. п+1) такие, что при х —» +оо справедливы асимптотические формулы

X v

Yk(x) = (pq)-n/4Q(x){vk + o(l)}expUicos-^ J (<q/p)l'2dt

Согласно следствию 3.2.1, для решений уравнения (8) верны оценки типа Лиувилля-Грина при условии, что pq > 0.

Пример 3.4.3. Пусть ак — к(п + 1 — к) (к = 1,2,., п). Тогда собственными значениями матрицы С являются различные действительные числа

Хк = п-2к (к — 0,1,., тт.).

Система (G) имеет решения Yk(x) (к = 0,1,. п) такие, что при х —> +оо справедливы асимптотические формулы

Yk(x) = (pq)-n/4Q(x){vk + о(1)}ехр ^(п - 2к) J (q/p)1^ .

Согласно следствию 3.2.2, для решений уравнения (8) верны оценки типа Лиувилля-Грина при условии, что pq < 0.

Особо стоит отметить пример 3.4.3, поскольку асимптотика решений для этого класса дифференциальных уравнений высокого порядка была получена ранее во второй главе с использованием теоремы 1.2.1.

В параграфе 3.5 с помощью оценок типа Лиувилля-Грина получены признаки квазирегулярности симметрического квазидифференциальное выражения т и, если п - нечетно, и т := г и, если п - четно. Теорема 3.5.1. Пусть выполнены условия 1° - 6°, pq > 0 на R+ и все собственные значения С чисто мнимые. Тогда для выражения т имеет место вполне неопределенный случай в том и только в том случае, когда оо

I {ря)~п/2 < +оо. о

Теорема 3.5.2. Пусть выполнены условия 1° - 6°, рд < О на и все собственные значения С действительные. Тогда для выраэюепия т имеет место вполне неопределенный случай в том и только в том случае, когда оо

I (~рд)-п/2 < +оо.

1. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве.— 2-е изд., перераб. и доп.— М.: Наука, 1966.— 544 с.

2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра: Пер. с англ.— М.: Наука, 1965.- 296 с.

3. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Пер. с нем.— 2-е изд., перераб. и доп.— М.: Государственное издательство физико математической литературы, 1961.— 703 с.

4. Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных операторов: Пер. с англ.— М.: Издательство иностранной литературы, 1958.— 475 с.

5. Мирзоев К. А. Об условиях существования решений квазидифференциальных уравнений, не принадлежащих пространству №(0, +оо) // Математические заметки.— 1991.— Т. 50, Вып. 6.— С. 105—115.

6. Мирзоев К. А. Функция Коши и LJ, свойства решений квазидифференциальных уравнений // Успехи математических наук.— 1991.— Т. 46, Вып. 4.- С. 161-162.

7. Мирзоев К. А. Об одном классе операторов, связанных с дифференциальными уравнениями второго порядка // Успехи математических наук,- 2000.- Т. 55, Вып. 6.- С. 147-148.

8. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы.— 2-е изд., перераб. и доп.— М.: Наука, 1969.— 528 с.

9. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции: Пер. с англ.— М.: Наука, 1990.- 528 с.

10. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений.— 6-е изд.— М.: Государственное издательство технико теоретической литературы, 1953.- 468 с.

11. Федорюк М. В. Асимптотика собственных значений и собственных функций одномерных сингулярных дифференциальных операторов // ДАН СССР.- 1966.- Т. 169, Вып. 2.- С. 288-291.

12. Федорюк М. В. Асимптотические методы в теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений // Математический сборник.— 1969.- Т. 79(121), Вып. 4(8).- С. 477-516.

13. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Пер. с англ.- М.: Мир, 1970 720 с.

14. Eastham М. S. P. The Asymptotic Solution of Linear Differential Systems.— Oxford: Clarendon Press, 1989.— 241 p.

15. Eastham M. S. P. Square-integrable solutions of the differential equation y(4) + a(qy'Y + (bq2 -f q")y = 0 // Nieuw archief voor wiskunde, Ser. 3.— 1976.- XXIV.- P. 256-269.

16. Eastham M. S. P. The limit-2n case of symmetric differential operators of order 2 n // Proc. London Math. Soc., Ser. 2.- 1979.- V. 38.- P. 272-294.

17. Everitt W. N., Marcus L. Boudary Value Problems and Symplectic Algebra for Ordinary Diffrrential and Quasi-Differential Operators.—Math. Surveys and Monofraphs, 1999 — 560 p.

18. Everitt W. N., Zettl A. Generalized symmetric ordinary differential expressions I: The general theory // Nieuw archief voor wiskunde, Ser. 3.- 1979,- XXVII.- P. 363-397.

19. Hadid S. B. Estimates of Liouville-Green type for solutions of systems of differential equations // Proc. Roy. Soc. Edinburgh.— 1979.— 83A.— P. 1-9.

20. Konechnaya N. N., Mirzoev K. A. On a Class of Operators Related to Second-Order Differential Equations // Russian Journal of Mathematical Physics.- 2006,- V. 13, №- P. 55-63.

21. Kuptsov N. P. An estimate for solutions of a system of linear differential equations // Uspehki Mat. Nauk.- 1963.- V. 18 P. 159-164.