Задача Дирихле для эллиптической системы четного числа уравнений с частными производными второго порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

рг6 ол

, ц Р й98

На правах рукописи

Артемьева Светлана Вадимовна

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ЧЕТНОГО ЧИСЛА УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ВТОРОГО

ПОРЯДКА

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации па соискание ученой степени капдидата фтпко-математпческпх наук

Иркутск - 1998

Работа выполнена »а кафедре дифференциальных и интегральных уравнений Иркутского государственного университета.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук.

профессор А.И. Янушаускас

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор А. А. Толстоиогор, кандидат физико-математических наук, доцент Г. А Исаева,

Ведущая организация - механико-математический факультет Новосибирского государственного университета

Защита диссертации состоится "22 "декабря 1998 г., в 14 ч. на заседании диссертационного совета К 003.64.01 в Институте динамики систем и теории управления СО РАН по адресу: 664033, Иркутск, ул Лермонтова 133, к. 407.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИДСнТУ СО РАН.

Автореферат разослан "<?й" ноября 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук,

ДОнПГГ //(Г1 Сшшшш

ООщая характеристика работы

Актуальность темы. Важным разделом теории уравнении с частными пронэподнымн является теория краевых задач для эллиптических уравнении и систем. Эллиптические по Петровскому системы уравнений с частными производными второго юрядка, помимо приложений в проблемах физики (и, особенно, в стационарной изотроНной теории упругости), представляют значительный теоретпчискнй интерес, что подчеркивалось в обзорном докладе U.M. ГельфаНяа, И.Г. Петровского, Г.Е. Шилова нп третьем Бессоюзном математическом съезде.

В настоящее время достаточно полно исследованы сильно -эллиптические системы И эллиптические по Петровскому системы, не удовлетворяющие условию сильной эллиптичности. с двумя независимыми переменными (см., например, работы Д.13. Бнпадзе, M.II. Вишика). Для систем с двумя независимыми переменными также решена задача гомотопической классификации (U.C. Фролов). "Значительно слабее изучены многомерные эллиптические системы. XO'j я И для них получены интересные результаты п работах P.C. Сакса, Л.Д. Джурасва, Л.И. Янупыускаса. Г.П. Васильевой, Е.А. Головко и других авторов. Известно, что для многомерных -эллиптических систем, не удовлетворяющих условию сплыви"! -эллиптичности, нарушается не только фред-гольмопость. но и даже нетеровость задачи Дирихле.

Поэтому становитс я особенно важным изучение граничных задач для эллиптических систем, во время которого должны возникнуть различные интересные эффекты разрешимости этих задач. Поэтому появляется необходимость такие системы изучать более полно и еще более тонко их классифицировать. II работах А.И. Янушаускаса и его учеников уже рассмотрен ряд эллиптических по Петровскому систем,

не удовлетворяющих условию сильной эллиптичности, строится классификация таких систем.

Настоящая работа является продолжением исследовании по тео-( рин разрешимости граничных задач для многомерных эллиптических систем.

Целью работы является исследование характера разрешимости задачи Дирихле и различных областях для эллиптической системы с частными производными второго цорядка с четырьмя и более незави- ' снмнми переменными специального вида, не удовлетворяющей условию сильной эллиптичности.

Научная: норизра и практическая значимость работы. Работа посвящена дальнейщему развитию и применению идей методов интегральных преобразований Фурье, методов гармонических функции, метода потенциала и интегральных уравнений для исследования разрешимости задачи Дирихле в различных областях. Вопрос о разрешимости задачи Дирихле сводится к исследованию системы двух линейных уравнений, для которой можно получить практические результаты, и к сингулярным интегральным уравнениям, для которых нет необходимости вычислять символ непосредственно, а достаточно найти условие разрешимости задачи в произвольном полупространстве.

Полученные результаты представляют интерес для теории многомерных эллиптических систем и могут быть использованы при исследовании разрешимости граничных задач-

Апробация работы. Результаты работы докладывались на " Понтряпшскнх чтениях - IX"" Современные методы р теории краевых задач"(Воронец, май 1098 г.); на Третьем сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ЙНПРИМ - 98) (Новосибирск,

г

нюнь 1998 г.): на XI международной Байкальской школе - семинаре по методам оптимизации н их приложениям (Иркутск, Байкал, июль 1993 г.); на международной конференции "Обратные задачи математической фишки"(Новосибирск, сентябрь 1998 г.); на международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Душанбе, сентябрь 1998 г.) и систематически На семинаре кафедры дифференциальных н интегральных уравнений Иркутского госуниверсНтгта иод руководством профессора • Л!. Янушаускаса.

Публикаций. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] [0].

Объем и структура работы. Диссертация изложена на<Г/ страницах машинописного текста и состоит in введения, трех глав и списка литературы, включающего-Í3наименования русских и зарубежных авторов.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Исследование задачи Дирихле для систем вида

д » (0ик dvk\ L д " (дик Óvk\

д =хщ£ te + wJ+£ fe - wj'

(1)

_ 0 » (Ощ Ovk\ ■ д « (0uk dvk\ ■

Д ~ Х'0Ш h \0тк 14Отj h W OTJ '

j = T~ñ '

n пространстве переменных Л' = (:ti,... ,xn), Y = (l/i,..., yn) четной размерности m = 1n. где \¡ и uj - постоянные коэффициенты,

2. Исследование влияния дополнительных itapaMetpOfl На характер разрешимости задачи Дирихле в различных областях.

3. Полное изучение характера разрешимости задачи Дирихле

для эллиптической системы специального вида ц различных областях и различными методами.

Содержащее дисрертпццн

Do введении дается краткий обзор литературы и уже существующих результатов связанных с тематикой исследования, обосновывается актуальность темы, отражена степень новизны и изложены основные результаты диссертации.

В первой главе, состоящей из трех параграфов изучен вопрос о корректности задачи Дирихле для системы четырех уравнений второго порядка

Л I 0G Л. 0Н ■ Л " i ÔG Ôlî ,9

_п /-> _ (lui л fli^ I (h<2 , (bz if _ йпх _ i (Нц__Ovi

.дс cJji oUi "г of2 ay,< 11 — ¿>y, a.t, * dm йх,-

Найден ее характеристический определи гель И собственные числа характеристической матрицы. Система эллиптична по Петровскому при Aj ф 1, ¡ij Ф 1, j = 1,2, причем сильно эллиптична при Aj < 1, (Uj < 1 и не удовлетворяет условию сильной эллиптичности прп Л, > 1, /¿j > 1.

U п. 1,1. для системы (2) с помощью преобразований Фурье нс-следоьана первая краевая задача в следующей постановке: найти регулярное и области D. Непрерывное в замкнутой области DU-Г решение системы (1) Uj, vj, j — 1,2, удовлетворяющее на границе Г области D условиям:

и j V, — g j, j = 1,2, (3)

где fj н gj - заданные на Г непрерывно дифференцируемые функций. 0 ' полупространстве Е : {у^ > 0} найдены условия разрешимости задачЬ

Дирихле. Если выполнены неравенства А1 > 2, ц\ >2, А2 + /¿2 < 2, то задача Дирихле (3) с непрерывно дифференцируемыми, стремящимися к нулю на бесконечности граничными данными для системы (2) в полупространстве Е : {у2*> 0} всегда разрешима и решение ее единственно.

В п. 1.2 исследована первая краевая задача для системы (2) в полупространстве Е : {о^-] -М^+пг-Гг+Ауг > О,<*1+/?1+"2+02 = 1} с непрерывно дифференцируемыми граничными условиями

"1|г = /ь 1'1|г = 9и "2^, = /2, =52,

доказано, что при выполнении условия А; + /«у > 2 хотя бы для одного ] нарушается корректность задачи Дирихле.

В п. 1.3 для системы (2) рассмотрена задача Дирихле

«;|г=/;. ";|г = ./ = 1.2 (4)

б произвольной области О с гладкой границей Г. Задача сведена к сингулярным интегральным уравнениям. Показано, что символ уравнения не обращается в нуль тогда и только тогда, когда задача (4) для системы (2) удовлетворяет условию Шапиро-Лопатннского, если в качестве Г> взять полупространство, т.е. символы сингулярного уравнения для В И для полупространства Е совпадают.

Во второй главе, состоящей из двух параграфов, приведена постановка задачи Дирихле для системы (2) при А) = А2 = А и щ = ¡¡2 = /1 с граничными условиями (3), система в этом случае является симметрично эллиптической системой класса Р.

У *

В п 2.1 нсследоваца первая краевая задача в шаре Е(Л) : + * +2/ь+ У\ < ограниченного сферой 5(Л) : { Е (я? + у?) - Л2}.

I ' ' ' • • 1-1

7,

Найдено представление решений системы через гармонические функции П доказано, что если Л ф 2 н /( Ф 2, то задача фредгольмова.

В п 2.2 областью Ю Е : { -I- > 0}. Е(п] 4 /1]) = 1

с границей Г : { Е («¡г,- + — ()}. Задача Дирихле сведена к задаче о наклонной производной, исследована при номошн нреоб|),з зованпн Фурье. Результатыисследованнй разрешимости задачи обобшены в теореме.

Теорема. Если выполняется неравенство

(А-2)(/1-2)(А + ^-2)<0,

то задача Дирихле с непрерывно дифференцируемыми стремящимися ■ к нулю на бесконечности граничными данными для системы (2) (при А| = Аг = А, /1) = /<з = ц) в полупространстве Е разрешима н ее решение единственно в классе ограниченных на бесконечности функции.

В третьей главе, состоящей из двух параграфов, рассмотрена

система (1) четного числа уравнений в частных производных второго

порядка в пространстве четной размерности т = 2п, которая является

ЭЛЛИПТИЧеСКОЙ При А; ф 1 И |lj ф 1.

В п. 3.1 исследована задача Дирихле в полупространстве

Е : { Е [<*}Х}+13}щ) > 0}, Е ) = 1 в следующей постановке: най-

3=1

тп регулярные в области £),"непрерывные в замкнутой области йОГ решения системы (1) и;, V], ] — 1, н, удовлетворяющее на границе Г области О условиям:

и} - = j = 17й, (5)

Р

где и <7у - заданные на Г непрерывно дифференцируемые функции. Областью Т) является полупространство Е с границей Г : { Е (Qjxj +

УРцн) — 0}- Задача решена при номошн преобразований Фурье. Для этого осуществлен поворот координатных осей так, чтобы плоскость Г совпала с плоскостью у„ = 0 в новых координатах, а Е с полупространством Е : {ул > 0}. Задача сведена к исследованию определителя линейной системы двух уравнений.

Доказано, что задача Дирихле (5) с непрерывно дифференцируемыми, стремящимися к нулю на бесконечности граничными данными для системы (1) при выполнении неравенств А; < 1 и < 1 - имеет единственное решение в классе ограниченных на бесконечности функции.

В п. 3.2 для системы (1) исследована задача Дирихле в произвольной области И с гладкой границей. При помощи функции Грпиа и методом потенциалов задача сведена к сингулярным интегральным уравнениям

д(А',Г) = а(Л',Г)- 1>тг£Ау

Л,) -и

А / д<"3(Я, Б)<1Г + ± I рфд(н, 3)<1г

II

- Пт 14

- / Р,'1 >/,(Я, 5)</Г - / СЦФЦН, 5) ¿Г

дх}

■ }-\

Оу)

иуг и-Ь) г

- Пш 52 }и

Х,У-+Г ■г, 1

г г

Показано, что условие Щапнро-Лопатннского для системы (1) совпадает с условием Щапнро-Лопатннского нормальности задачи Дирихле в произвольном полупространстве (найденным в п. 3.1).

В заключение автор искренне благодарит своего научнсгр руководителя профессора Альгимантаса Ионасовича Янушаускаса за по-

становку задач и постоянное внимание к работе.

Основные результаты диссертации опубликованы п работах:

1. Артемьева C.D. Задача Дирихле для эллиптической системы четырех уравнений второго порядка // Понтрягинские чтения - IX. Тезисы докладов. - Воронеж, ВГУ, 1998. - с.11.

2. Артемьева C.B. Задача Дирихле для эллиптической системы четного числа уравнений второго порядка // Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике. Тезисы докладов, часть IV. - Новосибирск: Нзд-по Института математики

'3. Артемьева C.B. Задача Дирихле для эллиптической системы чс.

международной Байкальской школы - семинара методы оптимизации и их приложения. - ИСЭ СО РАН. - 1998.- с. К) - -13.

4. Артемьева C.B. Задача Диригл< для одной эллиптической сиспи -мы в шаре // Международная конференция "Обратные задачи математической физики". Тезисы докладов. - Новосибирск: Изд-по Института математики. 1998. - с. 12 - 13.

5. Артемьева C.B. Задача Дирихле для одной эллиптической системы о полупространстве // Международная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения". Тезисы докладов. - Душанбе: Таджикский ун - т. 1998. С. 8.

I*

6. Артемьева C.B. Задача Дирихле для одной эллиптической системы в полупространстве // Молодые ученые к 80-летию ИГУ: тез. докл. студ. и асп. - Иркутск: Иркут. ун-т. 1998 г. С. i3.

СО РАН, 1998. - с. С.

тырех уравнений второго порядка в полуп]ю< т]шн,1пче // Тр. XI

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Артемьева Светлана Вадимовна

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ЧЕТНОГО ЧИСЛА УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ВТОРОГО

ПОРЯДКА

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д.ф.-м.н., профессор А.И. Янушаускас

Иркутск - 1998

Оглавление

Введение 3

1 Первая краевая задача для системы четырех уравнений второго порядка 18

1.1 Задача Дирихле в полупространстве у2 > 0 ......... 21

1.2 Задача Дирихле в полупространстве^ : { £ (а^+^у^) > 0} 27

1.3 Задача Дирихле в произвольной области........... 38

2 Симметрично эллиптическая система класса Р 46

2.1 Задача Дирихле в шаре .................... 46

2.2 Первая краевая задача в полупространстве.......... 52

3 Задача Дирихле для эллиптической системы четного числа уравнений второго порядка 55

3.1 Задача Дирихле в полупространстве............. 58

3.2 Задача Дирихле в произвольной области........... 72

Список литературы 81

Введение

Важным разделом теории уравнений с частными производными является теория краевых задач для эллиптических уравнений и систем уравнений. Одной из основных граничных задач является задача Дирихле, к которой приводится задача о поле зарядов, распределенных на некоторой поверхности [1].

В области И п— мерного евклидова пространства рассмотрим дифференциальное уравнение

-¿Ь.+£ +с(х>=9{х)•

1 у — \ (у 1 С/ «АУ у J~\ V/ X ^

где ау(Х)— непрерывные, а Ъ^Х), с(Х) и д(.Х) — ограниченные функции в замкнутой области И, X = ... ,хп). Уравнение (0.1) называется эллиптическим в области I), если в этой области собственные значения матрицы \\а^\\ либо все положительны, либо все отрицательны [2].

Задача Дирихле ставится следующим образом: найти регулярную в области I) (имеющую непрерывные производные до второго порядка в .О и удовлетворяющую уравнению (0.1) во всех точках /}), непрерывную в замкнутой области 1>иГ функцию и, принимающую заданное непрерывное значение на границе Г : и\г = f(X). Для уравнения с достаточно гладкими коэффициентами в области Б с достаточно гладкой границей Г эта задача всегда фредгольмова, то есть [2]

(а) однородная задача Дирихле (/(X) = 0) имеет не более чем конечное число линейно независимых решений;

(б) если однородная задача не имеет нетривиального решения, то соответствующая неоднородная задача Дирихле всегда имеет, и притом единственное, решение;

(\ V о о

в) если число линеино независимых решении однородной задачи равно к, то для разрешимости соответствующей неоднородной задачи Дирихле необходимо и достаточно, чтобы функция /(X) из краевого условия удовлетворяла к условиям ортогональности

И задача называется нетеровой, если однородная задача имеет конечное число к линейно независимых решений, а для разрешимости неоднородной задачи Дирихле необходимо и достаточно выполнения конечного числа I ф к условий ортогональности. Фредгольмова задача является нетеровой. При с(Х) < 0 задача Дирихле для уравнения (0.1) имеет единственное решение [3]. Для систем уравнений второго порядка ситуация гораздо сложнее.

И.Г. Петровский [4] выделил широкий класс систем уравнений в частных производных, которые теперь называются эллиптическими по Петровскому.

Определение Система уравнений в частных производных называется эллиптической по Петровскому, если определитель ее характеристической формы является положительно либо отрицательно определенной формой.

Многие свойства эллиптических уравнений обобщаются на эллиптические системы уравнений в частных производных [3] - [5]. Однако

г

характер разрешимости граничных задач для эллиптических по Петровскому систем может существенно отличаться от случая одного уравнения.

Как известно, задача Дирихле является простейшей краевой задачей, корректной для вещественных скалярных уравнений в частных производных эллиптического типа, причем эта задача для линейных уравнений в общем случае фредгольмова. Но, с другой стороны, известно также, что задача Дирихле корректна не для всякой системы уравнений эллиптического типа: существуют эллиптические системы второго порядка, для которых в некоторой области задача Дирихле не является даже нетеро-вой.

В 1948 году A.B. Бицадзе построил пример эллиптической по Петровскому системы двух уравнений второго порядка

$ $

-А и + 2—(их + vy) = 0, -Av + 2—(их + vy) = 0, (0.2)

для которой нарушается фредгольмовость задачи Дирихле [6]. Из примера A.B. Бицадзе следует, что задача Дирихле не для всякой эллиптической по Петровскому системы уравнений второго порядка фредгольмова, поэтому класс таких систем, для которых классические граничные задачи корректны, должен характеризоваться некоторыми дополнительными ограничениями. Такие дополнительные ограничения ввел М.И. Ви-шик [7]. Он ввел понятие сильной эллиптичности, усилив условие эллиптичности по Петровскому требованием положительной либо отрицательной определенности симметричной составляющей характеристической матрицы системы. Для подмножества эллиптических систем, являющихся сильно эллиптическими, задача Дирихле, как известно, является все же корректной, т.е. в смысле разрешимости классических граничных

задач сильно эллиптические системы ведут себя так же, как одно эллиптическое уравнение. В работе [5] подчеркнута важность исследования не сильно эллиптических систем и поставлена задача гомотопической классификации эллиптических по Петровскому систем. В настоящее время достаточно полно исследованы сильно эллиптические системы и эллиптические по Петровскому системы с двумя независимыми переменными [3], [8], [9]. Для систем с двумя независимыми переменными также решена задача гомотопической классификации [10].

Система А. В. Бицадзе была построена при помощи системы Коши-Римана и в комплексной записи имеет вид

д2ги

ю = о, (0.3)

где т = и + гг>, г = х + 1у. Многомерные обобщения этой системы строились также при помощи многомерных аналогов системы Коши-Римана [8] - [12]. В многомерном случае краевая задача сводится к системе псевдодифференциальных или многомерных сингулярных уравнений. Я.Б. Ло-патинский предложил общий метод сведения краевых задач к регулярным интегральным уравнениям и условия согласования коэффициентов системы уравнений с коэффициентами граничных операторов, при которых это сведение возможно [13] - [15]. Ранее подобный метод применяла З.Я. Шапиро для систем с постоянными коэффициентами в трехмерной области. Это условие названо условием Шапиро-Лопатинского. Как советскими, так и зарубежными учеными было установлено, что для того, чтобы граничная задача для эллиптической системы уравнений была не-теровой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Шапиро-Лопатинского [13].

Эллиптические по Петровскому системы уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами с двумя независимыми переменными А.В.Бицадзе разделил на два класса: сильно связанные и слабо связанные системы. Для слабо связанных систем задача Дирихле всегда нетерова, а для сильно связанных систем нетеровость задачи Дирихле и других классических граничных задач нарушается. Определение сильно связанной эллиптической системы уравнений с двумя независимыми переменными и с постоянными коэффициентами дается через структуру общего решения системы, причем оно не выражается явно через коэффициенты системы [9]. Это затрудняет обобщение понятия сильной связанности на многомерные системы. Поскольку для сильно связанных систем с двумя независимыми переменными всегда наблюдается нарушение нетеровости задачи Дирихле [16], то это свойство положено в основу обобщения понятия сильной связанности на многомерный случай.

Эллиптическую по Петровскому систему уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами будем называть сильно связанной, если существует полупространство, в котором задача Дирихле для этой системы не является нетеровой [17]. Нарушение нетеровости задачи Дирихле для данной системы заключается в том, что однородная задача имеет бесконечное множество линейно независимых решений, а для разрешимости неоднородной задачи необходимо наложить на данные задачи бесконечное множество условий типа условий ортогональности.

В настоящее время достаточно полно в пространстве любой размерности исследована система [12], [18]

Эта система при Л < 1 сильно эллиптична, при Л > 1 эллиптична по Петровскому, а при Л = 2 и п = 2 приводится к системе А.В.Бицадзе. Ее считатают многомерным аналогом системы Бицадзе A.B. [19]. Установлено, что при Л ф 2 задача Дирихле для системы (0.4) в любом полупространстве и в любой области с гладкой границей разрешима для любых непрерывно дифференцируемых граничных данных, и ее решение всегда единственно. Если Л = 2, то решение однородной задачи Дирихле в полупространстве имеет бесконечное множество линейно независимых решений [20]. Таким образом, система (0.4) при Л = 2 сильно связана, а при Л ф 2 не является таковой. Систему (0.1) можно считать модельной, так как для нее существуют результаты, сопоставимые с результатами дальнейших исследований эллиптических систем. Для сильно связанных систем встречаются различные новые явления в характере разрешимости первой краевой задачи, не имеющие аналогов в случае одного уравнения второго порядка, например, эффект потери гладкости и усиление влияния младших членов на разрешимость граничных задач. В [21], например, исследован характер изменения сильно связанной системы в трехмерном пространстве при изменении параметров, задача Дирихле сведена к системе псевдодифференциальных уравнений на границе полупространства.

В теории многомерных эллиптических систем с постоянными коэффициентами имеется еще много неясных вопросов. Одним из них является вопрос о том, как влияет структура системы на корректность задачи Дирихле и как зависит разрешимость этой задачи от области, в которой рассматривается система. Так в работе [22] доказано, что для любой вы-

пуклой области Б с гладкой границей Г задача Дирихле

«¿1г = /;№> Л-еС1, ¿ = 1,...,п

для системы

5 Г » дщ » ЗиЛ)

при А ф 2 фредгольмова. Решение найдено в классе непрерывных в замкнутой области функций, задача приведена к интегральным уравнениям Фредгольма.

Эллиптические системы уравнений с постоянными коэффициентами можно разбить на классы, относя к одному классу такие системы, которые можно продеформировать друг в друга, непрерывно изменяя коэффициенты как параметры, причем в процессе деформации система сохраняет эллиптичность. Системы, попадающие в один и тот же класс, гомотопны, поэтому такое разбиение принято называть гомотопической классификацией [23]. Если система с переменными коэффициентами эллиптична в некоторой области, то очевидно, что все системы с постоянными коэффициентами, которые получаются из данной системы фиксированием значений коэффициентов в некоторой точке, гомотопны друг другу.

Поэтому становится особенно важным изучение граничных задач для эллиптических систем, во время которого должны возникнуть различные интересные эффекты разрешимости этих задач. Поэтому появляется необходимость такие системы изучать более полно и еще более тонко их классифицировать. В работах А.И. Янушаускаса и его учеников уже рассмотрен ряд эллиптических по Петровскому систем, не удовлетворяющих условию сильной эллиптичности, строится классификация таких систем.

Вопрос гомотопической классификации эллиптических по Петровскому систем с многими независимыми переменными сложнее, чем в случае двух независимых переменных. Количество гомотопических классов растет с ростом числа независимых переменных. Важно исследовать структуру и свойства систем, для которых нарушается корректность задач Дирихле и роль этих систем в гомотопической классификации.

В работе А.И. Янушаускаса [24] множество эллиптических по Петровскому систем разбито на два класса - класс Р и класс и введена характеристика эллиптичности симметрично эллиптических систем. Симметрично эллиптическими системами называются системы, в которых характеристическую матрицу можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной матрицы. Так как элементы симметричной матрицы являются квадратичными формами, то существует симметричная система уравнений в частных производных второго порядка, для которой симметричная матрица является характеристической. Если эта система эллиптична по Петровскому вместе с исходной, то эти системы названы симметрично эллиптическими и названы системами класса Р. В класс Р входят все сильно эллиптические и симметрично эллиптические по Петровскому системы. Классу Р принадлежит и система (0.4) при всех А ф 1. Всякую эллиптическую по Петровскому систему уравнений в частных производных, которую можно непрерывно продеформировать в сильно эллиптическую, называют системой сильно эллиптического класса. Также в [24] введена характеристика эллиптичности симметрично эллиптических систем

- т0,

где квадратная скобка обозначает целую часть числа у, а т - размерность пространства. С учетом кратности у симметричной матрицы собственных чисел т штук, среди них могут быть т\ отрицательных и т2 положительных, т0 = т1п(ш1,т2), очевидно, что т0 < у и ¡1 может принимать значения от 0 до [у] . Если все собственные числа матрицы имеют одинаковые знаки, то эта матрица положительно либо отрицательно определена, что соответствует сильно эллиптическим системам [7]. Следовательно, для сильно эллиптических систем число р равно [| и является максимально возможным. При п = 2 число р может принимать только два значения 1 и 0. Значение р = 1 соответствует сильно эллиптическим системам. Представителем класса систем, для которых р = 0, является система А.В.Бицадзе (0.2). В п— мерном пространстве класс эллиптических систем п уравнений с п искомыми фунукциями с характеристикой эллиптичности р = 0 назван классом Бицадзе.

Собственные числа характеристической матрицы системы (0.4) имеют вид

/и = (А-1)(й+ Й + ... + Й), 02 = ... = А<п = -(£ + £+ ... + £)>

то есть при Л > 1 характеристика эллиптичности ситемы (0.4) р = | — 1. Класс эллиптических систем п уравнений в частных производных второго порядка с п искомыми фунукциями с такой характеристикой эллиптичности назван классом Коссера.

В [25] доказана фредгольмовость задачи Дирихле в ограниченной области с ляпуновской границей для многомерной эллиптической системы

при Л ф 1, \ф1

2 = 1,..., п, где = £ Е агк(Х)

" д Л

дщ

г=1

для которой нарушается условие сильной эллиптичности.

В работе [26] исследована задача Дирихле в ограниченной области П с гладкой границей Г при помощи интегро-дифференциальных операторов [12] для эллиптической системы

Доказана фредгольмовость задачи Дирихле при А ф 1,2 в любой выпуклой области.

В [27] показана редукция задачи Дирихле для общей эллиптической системы двух уравнений высшего порядка к системе сингулярных интегральных уравнений по области.

В [28] рассмотрена задача Дирихле для системы трех уравнений второго порядка и доказано, что введение кососимметричной составляющей в эллиптическую систему не влияет на результат разрешимости задачи.

Интересные результаты получены также в работах [29] - [36].

Настоящая работа является продолжением исследований по теории разрешимости граничных задач для многомерных эллиптических систем.

Диссертационная работа состоит из введения и трех глав. В первой главе, состоящей из трех параграфов, изучен вопрос о корректности задачи Дирихле для системы четырех уравнений второго порядка

. дв дН Л л дв дН . л п ^ = + '= - 3 = 1Л (а5)

где

^ дщ ди2 дь2 тт дщ дьх ди2 дуо

дх\ дуг дх2 ду% ду\ дхг ду2 дх2'

Найден ее характеристический определитель и собственные числа характеристической матрицы. Система (0.5) эллиптична по Петровскому при А^- ф 1, ф 1, ^ = 1,2, причем сильно эллиптична при < 1, < 1 и не удовлетворяет условию сильной эллиптичности при А^ > 1, ц^ > 1, а при А^- < 1, ¡1з > 1 или А^- > 1, /л? < 1 - принадлежит классу Коссера.

В п. 1.1. для системы (0.5) с помощью преобразований Фурье исследована первая краевая задача в следующей постановке: найти регулярное в области £), непрерывное в замкнутой области £)и Г решение системы (0.5) и], Vjl ] = 1, 2, удовлетворяющее на границе Г области И условиям:

из = 1ь ¿ = 1,2, (0.6)

где ¡з и д^ - заданные на Г непрерывно дифференцируемые функции. В полупространстве Е : {у2 > 0} найдены условия разрешимости задачи Дирихле. Если выполнены неравенства А1 > 2, щ > 2, \2 + 1^2 < 2, то задача Дирихле (0.6) с непрерывно дифференцируемыми, стремящимися к нулю на бесконечности граничными данными для системы (0.5) в полупространстве Е : {у2 > 0} всегда разрешима, и решение ее единственно.

В п. 1.2 исследована первая краевая задача для системы (0.5) в полупространстве^ : {а\Х1-\-(3\у1+а.2%2+(32У2 > 0} с границей Г : {а\Х\ +

13

+A?/i + ®2X2 + (З2У2 — 0} с непрерывно дифференцируемыми граничными условиями

щ

г

= /ь Щ„ = 9ъ Щ л = /2, v2

г

г = 9*

г

доказано, что при выполнении условия \j-\-iij < 2, = 1