Потенциалы, порожденные оператором обобщенного сдвига, и краевые задачи для одного класса сингулярных эллиптических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

^ О Л

(5 МИНИСТЕРСТВО ПО ДЕЛАМ НАУКИ .ВЦСШЕЙ' ШКОД1

И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ; РФ

КОМИТЕТ БЫСШЕЙ ШКОЛЕ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

, МУХЛИСОВ ФОАТ ГАБДУЛЛОВИЧ

г

ПОТЕНЦИАЛУ.ПОРОЖДЕННЫЕ ОПЕРАТОРОМ ОБОБЩЕННОГО СДВИГА,И КРАШЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА СИНГУЛЯРНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

и

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-ыатематичэеких наук.

Новосибирск 1993

Работа выполнена на кафедрах прикладной математики Казанского авиационного института и математического анализа Казанского государственного педагогического института.

Официальные оппоненты: ^ н% г^^э-ор^сес^р

/3. С. }ф-С ^рм^Р

доктор физико-математических наук, профессор И.А.КУПРИЯНОВ;

доктор фиэико-штематичоских наук, профессор Е.И.МОИСЕЕВ.

Ведущая организация - Институт иатематнки иы.В.И.Романовского АН Узбекской ССР.

Защита состоится ибга-у?-?f 1Э93г. б " час.

на заседании Специализированного Совета Д 063.98.02 при Новосибирском государственном университете. (630090, г.НоБосибирск-90, Пирогова, 2).

»

С диссертацией можно ознакомился в научной библиотеке Новосибирского государственного университета.

Автореферат разослан

л1.-

Ученый секретарь Специализированного совета, доктор физико-математических / /1

нау к /(Ltu^^Js /A.B. КАНЙХОВ/

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТУ

Актуальность темы. Бироядапциеся и сингулярные эллилтиче-скио уравнения представляют собой один из наиболее важных разделов современной теория дщфференшшлыых уравнений с частными произБодали. Необходимость изучения таких уравнений обусловлена многочисленными ж приложениями в газовой динамике, теории оболочек, теории упругости, механике сплошной среды и др. К числу первых в этой области относится работа М.В. Келдыша (1951 г.), где впервые указаны случаи, когда характеристическая часть границы области может освобождаться от граничных условий. После 1.1.Б.Келдыша постановки краевых задач были распространены на широкие классы уравнений С.М.Никольским, А.В.Бицадзе, Л.Д.Кудрявцевым, И.А.Киирияновым, П.И.Ли-зоркиным, М.И.Вишиком, В.В.Грушиным, Х.Трибелам и многими другими. Некоторые результаты в данной области отражены в монографиях А.В.Бицадзе, .4.1.1.Смирнова и Х.Трибеля, там же имеется обширная библиография.

Одни.! из интенсивно развивающихся направлений здесь является исследование эллиптических уравнении с оператором Бесселя, названных П.А.Ккприяноььм в 126? г. В - эллиптическими.

Первое работы по В - эллиптическим уравнениям относятся к уравнению вида

Р

Ави = 21 Ъ"и/дх*+ кдк/хрдхр = о. (1)

3 1346 г. Байяштейком были построена фундаментальные решения этого уравнения яри и изучены их свойства. В этом :ке

году И.Н.Векуа доказал корректность постановки задачи Дирихле да уравнения (1) при р - % и 0<К<1 в полуплоскости Х^у 0 . Эта работа послужила основой дли дальнейших исследований У.Н.Олевского, АМег ; С.П.Пулькина, В.О.Волко-давова, В.И.Евсина, ЮЛ.Кривенкова, 0. И.¡Ларичева и др.

Поркод наиболее интенсивного развития теории В - эллиптических уравнений приходится на последние два десятилетия. Начало этому положила фундаментальная работа И.А.Кипркянова (1567 г.), где билп создана теория весовых пространств для V* У ~ , которая впоследствии била применена к изучению общих краевых задач для В -эллиптических уравнений с граничными условиями на иохарактеристической частя границы. На характеристической части ставились однородные условия типа условий четности. Б работе автора [1.2] построена весо -вые пространства при и доказано, что оператор

умножения на степень V осуществляет взаимно однозначное и непрерывное отображение пространства //.р на все пространство Яр . Отскда и из легко проверяемого тождества

■ где Вт -оператор ьесселя с отри -нательный параметром, вытекает, что все результаи."полученные для В - эллиптических уравнена!; с положительным параметром могут бить перенесены на такие ;»е уравношш с офрмцательнигл параметром." При этом однородные условия типа четности заменяются на весовые однородные условия.

Б работах В.В.Хатрахова построены пространства Яр более широкие, чем Нр , и применены к изучению общих краевых задач ддя В - эллиптических уравнений с весовыми кооднород-

шин граничшми условиями на характеристической части границ. Новые результаты в отш направлении получены такав Л.Ь.Байда-коеИм, "..I.П.Ключавдовым, "е Лап Мер и др. •

Далее, в работах Н.Р.Раддазбова построены поверхностные потенциалы типа простого и двойного слоев и применены к после -дованию основных краевых, задач для уравнения (Т.) по« условиях, когда нехарактсркстическал пасть граиячч есть поверхность .'.япу-нова я образует с гиперплоскостью 0 пряло;'; угол. А.Ю.Сазоновы.! эти результаты обобщены на обцие линейные В - эллиптические уравнения с пере:лониши коэффициентами при тех жэ ограничениях на нехарактеристкческую часть гранишг области.

Число опубликованных к настоящему времени работ по данной тематике весила значительно. В этих исследованиях в основном рассматривались кряошю задачи для В - эллиптических уравнении в ограничен но.'; области с достаточно гладко*; нехарактерно -тическои часть» границы, образуйте;! с гиперплоскостью ,Хр~0 прямоЛ угол.

Вопроси же о существовании и едэдетвошгости решения крае -вкх задач для В - эллиптических уравнении в области с н&ха -рактеристическо;; частью грэкзды произвольной структуры; вопрос об условиях на бесконечности, ойссиечишвдшс единстве/г -ность решения В - эллиптических и В - пшоэллиптичгоских уравнений в неограниченных областях и вопроси об исследовании краевых задач для В - эллиптических уравнений внсяего порядка и систем методом потенциалов до последнего времени оставались открытыми. Преимущество метода потенциала перед-другими метода;/.;! состоит в тем, что с его аоаоиьэ сингулярная агздача ре-

Аудируется к регулярно;! системе интегральных уравнений. Кроме того, метод потенциалов позволяет выяснить качественную природу решения соответствующей задачи.

Целью работы является исследование только что перечне -ленных вопросов.

Общая методика исследования. Б работе развиваются идеи и метода классической теории потенциала, теории функций действительной переменной, обобщенных функций, дгерференциаль -них и интегральных уравнений. Особенность этих исследований -обусловлена,в частности, тем, что здесь в большинстве слу -чаев присутствует оператор обобщенного сдвига. Это интег -ралышп оператор, не имеющий обратного. Он порождает нелокальные интегральные операторы. Примеры таких операторов дают потенциал меры, порожденный оператором обобщенного едзцга, названной автором Ь - потенциалом мэры; поверхностные потенциалы типа двойного слоя для В - эллиптической системы уравнений; интегралы, составляющие фундаментальные решети

В - гипозллилтических уравнений, и др. К нам нельзя непосредственно применить линейные преобразования и, следовательно, переходить к локальншл координатам, что является существенным при исследовании вопросов о предельном значении по -верхностных потенциалов на границе области, об асимптотических оценках 'интегралов, содержащий большой параметр и многих других задач, связанных с В - потенциалами меры.

Единственность решения обобщенной задачи типа Дирихле для уравнения (I) доказывается с помощью специально разработанного принципа максимума. Существование решения устакавлиза-

(

отся на основе представления регулярно/! части функции Грина ' з виде В - потенциала и теоремы о сходимости монотонно убывающей последовательности В - потенциалов мер.

Единственность решения задач дифракции с условиями сопряжения на конечных и полубесконечных границах раздела облас -тей и краевых задач для некоторых В - эллиптических н

В - гипоэллиптических уравнений в полупространства £О устанавливается с помощь» соответствующего принципа излучения, доказанного автором. С помощью этого принципа излучения также устанавливается принцип предельного поглощения для тех ке уравнений. Существование решения задачи типа Дирихле для В - эллиптической системы с переменными коэффициентами и задач дифракции доказываются методом потенциалов.

Научная новизна:

1) Создана теория В - потенциала и на ее основе доказано существование единственного решения обобщенной задачи тлпа Дирихле для уравнения (I) к разработаны критерии регулярности точек нехарактеристической части границы области.

2) Построены поверхностные потенциалы типа двойного слоя и на их основа задача типа Дирихле для В - эллиптической

о

системы с переменными, коэффициентами редуцирована к регуляр -

ной системе интегральных уравнена!; ¿редгольма второго рода. Выявлено одно достаточное условие разрешимости этой системы интегральных уравнений.

3) ^оказан принцип излучения для уравнения Гельмгольца с оператором Бесселя, на основе этого принципа установлено существование единственного решения уравнения =?(х)

в подпространстве Хр-% 0 , а такко доказано существование и

единственности решения некоторых задач дифракции с условиями сопряжения на конечных и полубесконечных границах раздела областей,

4) Построены фундаментальные решения 6 - гипоэллиптиче-ского уравнения с постоянными коэффициентами, удовлетворяющие на бесконечности условиям излучения, на основании чего доказан принцип излучения. Эти результаты позволили установить существование единственного решения $ - гипоэллиптического уравнения с правой частью в полупространстве Х^О и обосновать принцип предельного поглощения.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы для дальнейшей разработки теории краевых задач для В - эллиитн -ческих уравнений и найти приложение в теории краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений и осесимметрических задачах теории потенциала, применяемых при решении многих важных вопросов прикладного характера.

Апробация работы. Весь материал, по мере его получения, обсуждался на семинаре кафедры, дифференциальных уравнении Воронежского государственного'университета (руководитель - профессор М.А.Киприяноз).

Основные результаты диссертации в целом докладывались в институте математики СО АЛ СССР на семинарах: п© пеклассиче -ским уравнениям математической физики (май, 1£91 г., р./ково -дитель - проф.З.Н.Врагов), по качественной теории диффгрен -цкадъних уравнений с частники яроизводвыда (декабрь >291 г., руководитель - проф. Т.Н.Зслоняк); в ¡лоскоьском государехвен-

ном университете на семинаре кафедры общей'математики (декабрь, 1991г., руководитель - академик АН СССР В.А.Йлъин).

Отдельные результаты -ообщались на Волжском семинаре по уравнениям б частных производных в г.Куйбышеве (1983 и 1984г.г., руководитель проф. Б.Ф.Волкодавов); на заседании школи-семиыара по уравнениям неклассичоского типа (1981г. и 19Ь9г..г.Новоси -бирск); на Всесоюзной конференции по классическим и неклассическим краевым задачам для дифференциальных уравнений с частными производными (1987р., г.Куйбышев) и на Международной конференции по дафферендаальным уравнениям и их приложениям (1989г., г.Русе, Болгария).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [3-21J . и

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 260 страницах машинописного текста и состоит из введения, семи глав, разбитых на 24 параграфа и 54 пункта, и списка литературы, содержащего 130 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

' _ СОДЕРКАШ? РАБОТЫ

Бо введении дается обзор литературы по вопросам, связанным, с темой диссертации, и .излагается краткое содержание диссертации. ■ ' . , ■ •

В п э- р з о й главе' разбираются вопросы о существовании- 'обобщенного решения задачи типа Дирихле для В -гармонических: функций-(т.е.,, четных--по ЗСр регулярных решений уравнения (I) в .произвольной области G- , ограниченной открытой частью Г® гиперплоскости 2^—0 и гиперповерхностью Г ,

расположенной в полупространстве 0 и его поведение в точках границы Г .

Б § I выводятся для В - гармонической функции аналоги формулы Пуассона и неравенства Гарнака. На основе этих результатов доказываются принцип максимума и теоремы типа теорем Гарнака и Лиувилля. Следует отметить, что неравенства типа Гарнака для слабых "положительных" решений В - эллиптиче -ской системы уравнений в другом плане получены О.Н.Козловой.

В § 2 вводится понятие В - супергармонической .функции, приводятся примеры таких функций, изучаются их элементарные свойства, в частности, доказывается принцип В - гармонической миноранты:

ТЕЭРЯМ I. Пусть и(Ц) - супергарлоническая функция в - Ь - гармоническая в б: к -нопре т рывная в С- функция. Тогда если в.каждой точке ? границы Г выполняется условие

¿т и(у)* Ы?),

то всюду в &0 и (ос) > , причем знак равенства в какой -либо точке влечет за собой тождество.

В § 3 рассматривается задача типа Дирихле об отыскании 8 - гармонической в области и непрерывной-в> замкнутой области (х функция, принимающей на .Г заданные значения

Цх)еС(Г).

Если для области & задача типа Дирихле при .любой граничной функции С(Г) разрешила, то такая область называется ' регулярной. " ,.-.,..•'

Показана, ч-со если область Q регулярна, то точная ни-нлл грань '¿//xj всо-.с В - оупзргармонических в (га фикций lift), удовлогворвднх на Г неравенству й/Л Ъг(х) Ь ( fi/' , совпадает о решением Ы(Х) задали типа Дирихле, и если область С" нерегулярна, то U^J.) является ограниченной В - гармонической в &0 функцией, удовлетворяющей на Г неравенству lull UJX) ^ f(f) . Эта функция UJx) назнваот-Т-> ?

ся обобщенным (по Пуанкаре) решением задачи типа Дирихле, а точка £.6 Г , для которой выполняется равенство Ut(x)~

- Ш для всех функций /МеСЦ

наливается регу -

лярной точкой границ» / . Далее, обобщенное решение строится с помощью аппроксимации области С- с регулярными областями и устанавливается локальйй критерий регулярности граничных точек:

ТЕОР0.1А 2, Точка Г регулярна в том и только в том случае, если для нее существует барьерная функция

Во второй главе вводится понятие В -потенциала, изучаются его свойстза, дается представление В-супзргармонических функций & - потенциалами и приводятся его лриложенаг.

§ I имеет вспомогательный характер. В нем излагаются некоторые вопроса из теории меры и В - обобщенных функций. Вво -дятся понятая свертки мер и зарядов в терлинах оператора обобщенного сдвига и отмечаются их простейшие свойства. Доказывается, что при условиях CX+J < ¿\ tf^^XtXri; Л-Ojfi;» шеет место фор,гула kp - ka-rj, . где kjx) = = А(р,к,ы)1х1ы'* , ^ ргк

В § 2 рассматривается интегральный оператор

где - оператор обобщенного сдвига, V* - заряд в полупространстве Хр^О . который называется & - потенциалом заряда V «и квадратичная форма

которая называется анергией заряда 9 . Изучаются свойства 3 - потенциала и квадратичной форлы .в частности, дока-

зываются следующие теоремы:

ТЕОРМА 3. Квадратичная форма 1^(9) положительно определенна. При этом 0 только при )} = 0

ТЕОРЕМА 4. (Первый принцип максимума). Если мера имеет компактный носитель , 1 на ¿(р) , то

I всюду в Е^ , где Ер полупространство

ТЕОРВДА 5. Пусть в области (х0 В - потенциал У£(х) заряда ^ равен пости всвду В - гармонической функции Ь(х) . Тогда \> = 0 в Сга '.

В § 4 изучаются представление В - супергармонических функций В - потенциалами, в частности, доказывается следующая

ТЕОРЕМА 6. Для того чтобы 3 -супергармоническая функция {(х) была Ь - потенциалом меры в Е* , необходимо и достаточно, чтобы она была неотрицательной и выполнялось условие

йт .Цх)х;с{$2=0;

с-г

где '. Х'р^0 _} -полусфера.

Рассматривается два приложения этой теоремы. Приведем одно из'них.

■ТЕОРЕМА 7. Пусть последовательность монотон-

но возрастает и мажорируется В - потенциалом меры. Тогда

П-Г

„ М- „ причем у/„-* у/ .

В третьей главе речь идет о Ь - емко -сти, порожденной В - потенциалом, пределе монотонно убывающей последовательности & - потенциалов мер и об обобщенном принципе максимума для 5 - гармонических функций.

В §§ 1-3 вводится понятие 5 - емкости борелавского

множества Е , расположенного в полупространстве Ер , как точная верхняя грань полной "массы" для всех мер У , сосредоточенных на Е , для которых / на Е .

В - емкость - одно из обобщений классической емкости. Другие обобщения классической емкости были введены и использованы при изучении краевых задач для.эллиптических -уравнений произволь -ного порядка Б.А.Кондратьевым и В.Г.Мазьи.- Исходя из функции множества Сь - С&(Е) , заданной на всех борелевских множествах полупространства О » обычным образом определяется внешняя о - емкость

т

множества С" . Также здесь вводится понятие минимизирующей меры.компакта К\ в полупространстве ХрЬ О , как мера , доставляющая точнуа нижнюю грань квадратичной форме на множестве мер /< таких, что 5ирру-< С К и уУ (К) — / .. Изучаются ее свойства,

в,частности, доказываются слодущко теоремы:

ТЕОРЕ.1А 8. Пусть К — компакт в Ер , с/! — миннмизи руюцая мора для него к . Тогда (х) - ^ ко всех

точках К , за исключением множества В - емкости нуль. Кроме того, р всюду в

ТЕОРЗЛА 9. Пусть К - компакт к «Л - его минимизирующая мера. Тогда если компакт К в точке Х0 обладает коническим свойством, то (х»)-]* ■

В § 4 доказывается теорема о сходимости монотонно убываю -ней последовательности В - потенциалов мер:

ТЕОРША 10. Пусть ^ УрХ)) - монотонно убывалздая последовательность. Тох\да

кт 1^/УФ У/М

во всех точках Ер • за исключением множества внешней В - емкости нуль, причем

В § 5 устанавливается обобщенный принцип максшлума душ В - гармонических функций: ТЕ0РЫ«А II. Пусть и(Х) - ограниченная в (г0 В - гармоническая фикция и пусть

(иг) Ц(х)4гА

Г

во всех точках границы Г , за исключением множества нулевой внешней В - емкости. Тогда всюду в области и(х) А .

В четвертой главе разбираются вопросы об'однозначной разрешимости обобщенной задачи типа Дирихле и о критериях регулярности точек границы Г области С~

В § I доказывается, <1Г0 из существо ваши функции Грина задачи типа Дирихле дан области (г следует регулярность этой области. Дается представление регулярной части Г у) функции Грина В - потенциалам меры Грина

В § 2 рассматривается обобщенная задача типа Дирихле об отыскании ограниченной Ь - гармонической в ¿г функции, принимающей значения ¥(0С) (=■ С(Г) во всех точках границу Г, за исключением множества точек внешней В - емкости нуль.

На основе теореглы 10 и представления. (2)' доказывается,что ее решение совпадает с обобщенным решением задачи типа Дирихле, построенном в гл.1 и дается формулой

л' г . г

где Оу - мера Грина для нерегулярной области (г и точки . .

В § 3 устанавливается аналог критерия Винора регулярности точек границы Г области (г и, основываясь на это!! тео -ре!,:о , доказывается геометрический критерий регулярности этих точек:

ТЕОРЕМА 12. Если замкнутое множество обладает в точке Г> Ур-С, коническим свойством, то эта точка регу -лярна.

Пятая глава посвящена В - эллиптической системе с переменными коэффициентами вида

' V- '1 4

где - квадратная матрица порядка М, и= (и^Ц,-, Ц„)~

неизвестная вектор - функция.

В § I дается явное представление фундаментальной матрицы' решений (ф.м.р.) 3 - эллиптической системы уравнений с постоянными коэффициентами и, основываясь на этом результате, при некоторых частных предположениях- задача о нахождении ф.м.р. системы (3) редуцируется к регулярной системе интегральных уравнений фредгольма второго рода.

В § 2 с помощью функции типа весовых плоских волн строится матрица ядер , удовлетворяющая при Х^О Ь - эллиптической системе с постоянными коэффициентами,а при Х->0 допускающая оценку Х^ ¡3(х)\=0(1х1(^)- Изучаются ее свойства, в частности, доказывается, что ..

йг,! ] = Е,

+ -Г?-* ТО 0 +

где : полу шар, £ - единичная матрица.

Далее, эта матрица ядер используется для построения поверхностного потенциала'типа двойного слоя \/(х//{). Он каздой непрерывной вектор-функции у/У) на Г - плотное та ставит' - в : соответствие сколько угодно непрерывно дифференцируемую в &о непрерывную в и четную по Х/ вектор-функцию "

потенциал. ..-.--..-.

Умеет место'следунцая

ТЕОРЕМА 13. Пусть Г - гипериоверхность Ляпунова и обра-' зует с гиперплоскостью Х=0 прямой угол и ^(У) - непрерывная вектор-функция на Г . Тогда имеет место формула

хх(га ¿6 Г

аг->2 , -

(формула скачка). Здесь прямое значение потен'- '

циала У^З',/*') на Р.

В § 3 указывается один способ сведения задачи типа Дирихле для системы (3) к регулярной системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода.

В шестой главе изучаются уравнение

Р(Ав)и=0 и>

в полупространстве 2^0 и сингулярные задачи дифракции с условиями сопряжения на конечной и полубесконечной границе раздела областей.

В § I строятся фундаментальные решения уравнения

удовлетворяющие на бесконечности условия;.! изучения и доказывается принцип излучения

ТЕОРЕМА 14. Если четное по хг решение Ц(х) уравнения (5) в полупространстве при удовлетворяет ус -

ловию

с +

и одному из условий

} №¿3,-00),

то оно тождественно равно нулю.

Дается представление решения уравнения (4):

т «Г*

и « 2- И а; и.

иЧ (6)

- I ■ !■*

Здесь ¿/_</ - решение уравнения (5) при «А-Л/,' И:

' /О

корни характеристического уравнения Р(~ ^ , а

/..., Кп) - кратности этих корней соответственно,

и ^

Доказываемся, что И^ выратается чзрез и(Х') формулой

иЧ = .

г $1-1

гдо С^-у-/у определяется по следующей рекуррентной формуле:

С помощью представления (6) и принципа излучения доказы -ваотся существование и единственность четного по Хр решения уравнения (4) с правой частью в полупространстве О

В § 2 рассматривается задача типа дифракции. Пусть Т конечная область в полупространстве Х^>0 , ограниченная открытой частью Г^с> гиперплоскости Хр~0 и гиперповерхностью Г , Т0>-= ТОГ/"', Та)~С* Т"! . Задача дифракции состоит в том, чтобы найти четные по Хр решения уравнений

710} Т ^

в областях / и I соответственно, удовлетворяющие на границе Г раздела областей условиям сопряжения

и;- и; = {и):

0и;/а, д/ь - ди~/о(л à л, = ,

а при _ условиям излучения

J luX^dS^OO),

(8)

J'jfë-UMl'x/dS^od).

(9)

5;

Доказывается единственность решения задачи (7)-(9). Строятся потенциалы и с их пшощью эта задача редуцируется к окзика -лентной системе регулярных, интегральных уравнений. На основе единственности решения доказчваетея разрешимость полученной системы интегральных уравнений.

В § 3 также с помощью принципа излучения доказывается единственность решения задач;: дифракции с условиями сопряжения на нолубасконечной транше Г раздела областей Т"7; и Та . В этом случае условия излучения при R-* со имеют вид

J j и./л.rf dS„ = 0(1); • •

s * ■ ■

г п

гДе S? ~ $~о Л Т J j = /2 Кроме того, приводятся некото> а ' ■ -

рые достаточные условия существования'решения. ,•

В седьмой главе некоторые результаты шестой главы обобщаются на- В - гипоэллиптическов уравнение .

= (I0) -где t)x, - (P¡ ,D¿ j ■ ■■ j bp4) - формальный вектор,

Oj = д/i dxj., Bx = - (d'/ÓJ^KÓ/jp), P(DX„ Bx) -

линейный дифференциальный оператор с постоянными.коэффициентами, удовлетворяющий условиям:

1) ,ВХ В - гипоэллиптический оператор;

2) Размерность вещественных нулей характеристического многочлена Pff'F^) равна р-1 ,

3) <¡¡iad Р(f; f/J ф О в вещественных нулях

4) Полная кривизна поверхности Р(О ни в одной точке не равна кулю.

В § I строятся четные по Хр и ограниченные при /Д?/-»оо фундаментальные решения уравнения (10). Если характеристический многочлен Р(Г', íp) имеет W' вещественных нулей, то такие решения представляются в виде суммы 17)' интегралов типа Фурье-Бесселя:

/

(II)

. р

и интегралов, которые при ¡х/^-оо убывают экспоненциально. Здесь сх - £ /, = Хе , ( К., ) - часть одной из вещественных нулей многочлена Р(и' ¥р) » где

Так как в каждом интеграле о( может принимать значения +1 и - / , то могут быть выписаны ограниченных при

¡Х1~><х> и четных по Хр 'фундаменталышх рзпений уравне-

ния (10). Их мы обозначим через [ы(х} , где с^/б*',<)-систеыа из /?1' чисел, элементы C/j которого независимо друг от друга могут принимать значения и - /

В § 2 показано, что эти фундаментальные решения удовлетворяют при )xl~> 00 следующим условиям:

ia(xH 0(ixr^'); (12)

Q, (и, Dx,, 4(Xh of/xr ij. ^

Здесь (д/дХр)В'^ , если {=Utf . и

если {= in, QJu),^, 2)л ) - многочлен от Д,/ и , коэффициенты которого бесконечно дифференцируемые при ХфО функции от 0)-X/lX'i » постоянные на лучах, выходящих из начала координат, такой, что

Qjü , s£>(cü))= О

при Есех j ~ 1/71' , где S^/i^J и sjf'füj) - точки поверхностей вещественных нулей многочлена Pf?' ,в которых внеакяа нор/аль к этой поверхности соответственно со-направлена с вектором О) и противоположно направлено век -тору СО . С помощью условий (12),(13) в § 3 устанавливается принцип излучения для уравнения (10):

ТЕОРЕМА 15. Бела четкое по Xf -резениэ уравнения (10) при Ix/-* эо удовлетворяет условию (12) л одному из условгй (13), то око тохдестЕешю раЕно нулю.

С помощью этого принципа и потенциала объема в § 4 доказывается существование к единственность четного со Хр решения уравнения

' Р(Ьх"Ьх,)и=Ш. (14)

Кроме того, принцип излучения используется для обоснования принципа предельного поглощения:

ТЮРЬМА 16. Четное по Хр решение уравнения (14), удовлетворявшее на бесконечности условию (12) и одному из условии (13) при = или Ы'■= , есть

а и

предел решения уравнения

при £->0.

здесь Р^.В^Т/^в^Ф^В^),

не имеет вещественных нулей, [ не имеет комплексных нулей, ■

ГОГШХАЦИИ ПО ТЕЛЕ ДИССЕРТАЦИИ.

I. Глухлисов &.Г. О теоремах вложения для некоторых весо -вых классов.- 1/Д'зв.вузов.:.:атем. 15 О Л Ь, С.52-63. ' 2. Мухлясов О .Г. О теоремах вложения для некоторых весовых классов. П//Изь,вузов.Иатем. 1980.]) 10. С.35-4Б.

3. Ыухлисов Ф.Г. 0 существовании и единственности реше -ния некоторых уравнений в частных производных с дифференциальную оператором Бесседа 1//Изв.вузов.ыатем. 1276. й I.

С .66-72.

4. Ь'ухлисо* с?.Г. 0 существовании и единственности решения некоторых уравнений в частных производных с дифференциальным

оператором Бесселя. П //Изв.вузов.Матем. 1978.№4. С.58-63.

5. Мухлисов Ф.Г. О существовании и единственности реие -ния некоторых уравнений в частных производных о дифференци -альным оператором Бесселя. 12 //Лзв.вузов ..Матем.1982.й 10.

С.58-71.

6. Мухлисов Ф.Г. О существовании и единственности реше -ния некоторых уравнений в частных производных с дифреренгш-альным оператором Бесселя. 1У //Изв.вузов.Матем.1984. .Ь II, С.63-66.

7. Ыухлисов Ф.Г. О принципе предельного поглощения и условии Зоммерфельда для некоторого класса сингулярных дифференциальных уравнений //Краевые задачи для нелинейных уравнений. Новосибирск: СО All СССР, 1962. С. 141-143.

Ь. .Мухлисов v.r. Первая краевая задача для 3 - эллиптической системы дифференциальных уравнений // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: СО Ali СССР, 1964. C.I09-ÏI5.

2. Мухлисов Ф.Г. Аналог неравенства Гарнана для В _гар _ конических функций //Изв.вузов.:/!атем. 1967..'5 II.С.51-54.

10. .Мухлисов Ф.Г. Некоторые вопросы теории потенциала, порожденного оператором обобщенного сдвига I //Ред.ж.:йзз. вузов .¡¿атем. Казань,I9B9. 18с. Деп.в ВЙ1ШШ 5 6704-ВЗЭ.

11. Мухлисов ù.Г. Некоторые вопросы теории потенциала, порожденного оператором обобщенного сдвига II //Ред.к.:Кзв. вузов ..'/дтем. Казань,1969. 18 с. Деп.в ВИШИ.» 2426-В90.

12. Мухлисов ^'.Г. 0 функции Грина одной сингулярной задачи математической теории дифракции.// Краевые задачи для. нэ-

классических уравнений математической физики. Новосибирск: СО ЛН СССР, 1989. С. 143-М5.

13. Мухлисов Ф.Г. Метод выметания решения одной обобщенной задачи типа Дирихле // ;"Лате'латический анализ и дискретная математика. Новосибирск: изд-во vн-тa, 1989. С.62-70.

\

14. Мухлисов Ф.Г. Метод потенциалов решения задачи типа Дирихле для некоторых В - эллиптических систем уравнений второго порядка .'й // Ред.ж.Сиб.маг.журнал. Новосибирск, 1989. 34 с. Деп. в ВИНИТИ. & 1Б8-Вэ6.

15. Мухлисов Ф.Г. 0 существовании и единственности решения одной сингулярной задачи математической теории дифракции.

// Дифференц.уравненияЛЭВЗ. Т. 25. С.2154-2164.

16. Мухлисов Ф.Г. Обобщенное решение задачи типа Дирихле для некоторых сингулярных уравнений //Сиб»ыат.курн,1990. Т.31. й 6. С.79-91.

КИИИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН . Тэшкввтсхий госудзрствеаний.университет

ол-=---

Нз правах рукописи

Дргккбзев Абдуллзззиз

ГЕОМЕТРИЯ Б ЦЕЛОМ ПОВЕРХНОСТЕЙ В. ПОЛУЕВШДОВО!.! ПРОСТРАНСТВЕ

01.01.02 - дифференциальные уравнения 01.01.04 - гзсиетрмя и топология

1 в I з р е | е р а г

диссертации нз соискание ученой степени доктора физико-математических нзук

Ташкент - 1993