Исследование основных краевых задач для некоторых В-полигармонических уравнений методом потенциалов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Фундаментальные решения В-полигармони-ческого уравнения четвертого порядка и потенциалы типа простого и двойного слоев.

§1. Потенциалы типа простого и двойного слоев.

§2. Предельные значения потенциала двойного слоя и нормальной производной потенциала простого слоя.

§3. Предельные значения нормальной производной потенциала двойного слоя.

§4. Основные краевые задачи для В-полигармонического уравнения четвертого порядка.

§5. Сведение основной краевой задачи для В-полигармонического уравнения четвертого порядка к системе интегральных уравнений.

Глава 2. Решение основной краевой задачи для В-поли-гармонического уравнения четвертого порядка методом потенциалов в трехмерном случае.

§1. Потенциалы типа простого и двойного слоев.

§2. Предельные значения потенциалов типа простого и двойного слоев.

§3. Основные краевые задачи для В-полигармонического уравнения четвертого порядка в трехмерном случае.

Глава 3. Решение основной краевой задачи для В-полигармонического уравнения шестого порядка методом потенциалов.

§1. Фундаментальные решения и потенциалы для В-полигармонического уравнения шестого порядка.

§2. Предельные значения потенциалов.

§3. Основные краевые задачи для В-полигармонического уравнения шестого порядка и ее сведение к системе интегральных уравнений.

Вырождающиеся эллиптические уравнения представляют собой один из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Такие уравнения имеют многочисленные приложения в газовой динамике, теории малых изгибаний поверхностей вращения, безмоментной теории оболочек и др.

Эллиптические уравнения, содержащие сингулярный оператор Бесселя

В - — 1 ~ dt2 + tdt* сводятся к вырождающимся эллиптическим уравнениям. Поэтому теория эллиптических уравнений, по одной из переменных которой действует сингулярный оператор Бесселя впоследствии названные И.А.Куприяновым [16] В-эллиптическими уравнениями, тесно связана с теорией вырождающихся эллиптических уравнений. Впервые фундаментальные решения уравнения

Ави — 0, (0.1) где Ав = АХ' + ВХп) Ах> - оператор Лапласа, х' = (х\, хъ, ВХп - оператор Бесселя, при к = 1 и п = 2 были построены E.Beltrami,

А.Вайнштейном [42] этот результат был распространен на любое значение к > 0, а И. А.Куприяновым и В.И.Кононенко [16, 17] -на общие линейные В-эллиптические уравнения. В этих работах фундаментальные решения с особенностью в произвольной точке построены с помощью оператора обобщенного сдвига [23] . Такие фундаментальные решения применялись к исследованию краевых задач с условием типа четности на характеристической части границы.

Так, в работах Н.Раджабова [38] с помощью таких фундаментальных решений уравнения (0.1) построены потенциалы типа простого и двойного слоев и с помощью этих потенциалов основные краевые задачи для этого уравнения с условием четности на характеристической части границы редуцированы к эквивалентным интегральным уравнениям Фредгольма второго рода и доказана их однозначная разрешимость при условии, что нехарактеристическая часть границы является поверхностью Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол.

Ф.Г.Мухлисов [33] в своих работах рассматривает вопросы о существовании решения задачи типа Дирихле для уравнения (0.1) в произвольной области и его поведение в точках компактной границы.

Далее Р.М.Асхатовым [2] были построены фундаментальные решения уравнения (0.1) с особенностью в произвольной точке верхнего полупространства без оператора обобщенного сдвига, выраженные через гипергеометрические функции, и использованы для исследования краевых задач с обычными граничными условиями на границе области.

Метод построения потенциалов, предложенный З.Я.Шапиро и развитый Я.Б.Лопатинским [27], дает возможность найти потенциалы, которые специально приспособлены для данной краевой задачи и с помощью которых эта задача приводится к регулярной системе интегральных уравнений типа Фредгольма второго рода. В своей работе Я.Б.Лопатинский привел интегральное представление решения первой краевой задачи для бигармонического уравнения. Это представление сводит краевую задачу к регулярной системе интегральных уравнений типа Фредгольма второго рода.

О.И.Панич [34] рассматривает бигармонические потенциалы, введенные Я.Б.Лопатинским, для пространственного случая, а также их аналоги для плоского случая. Он исследует вопросы о предельных значениях самих потенциалов, их нормальных производных, операторов Лапласа и нормальных производных от оператора Лапласа. Затем результаты обобщает на произвольное полигармоническое уравнение четвертого порядка [34, 35].

Далее И.Г.Лободзинская в своей статье [25] рассматривает внутреннюю краевую задачу общего вида для уравнения Ати = 0 в п-мерном пространстве. С помощью определенных т-гармонических б потенциалов соответствующая краевая задача сводится: к системе интегро-дифференциальных уравнений, эквивалентной некоторой системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода, и доказывается; существование решения краевой задачи в предположении единственности ее решения. Способ доказательства разрешимости краевой задачи она применяет при решении внутренних граничных задач для гп-метагармонического уравнения [26]. При этом потенциалы выбираются исходя из граничных условий.

Н.Раджабов [38] применяет метод потенциалов при решении задач типа Рикье для уравнения

А^и = О, краевые условия которой задаются в виде

Ади\г = А, А: = 0,771-1 или же в виде д Ди /а, А: = 0,т-1. г дп

Диссертация состоит из введения и трех глав.

1. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг JL Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы. — М.: Издательство иностранной литературы, 1962. - 205с.

2. Асхатов P.M. Принцип экстремума и задача Дирихле для одного сингулярного эллиптического уравнения в многомерном случае. Казань, 1999. - 14с. - Деп. в ВИНИТИ 29.11.99, N3525-B99.

3. Бицадзе А. В. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1976.- С. 40-84.

4. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. 4-е изд. - М.: Наука, 1981. - 512 с.

5. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — М.: Физматгиз, 1963. 1100 е., илл.

6. Гюнтер Н. М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. — М.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1953. 416 с.

7. Денисова М. Ю. О В-бигармонических потенциалах. // Тез. докл. 10-й Саратовской зимн. школы "Современные проблемы теории функций и их приложения". Изд-во Саратовск. унив-та. - Саратов, 2000. - С.40-41.

8. Денисова М. Ю. Решение граничной задачи для В-т-гармонического уравнения. // Труды Математического центра им. Н.И.Лобачевского (Материалы Международн. науч. конференции) Т.5.- Казань: "УНИПРЕСС", 2000. - С.73-74.

9. Денисова М. Ю. Решение основных краевых задач для В-бигармонического уравнения методом потенциалов. // Труды 11-й межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". Ч.З. - Самара, СамГТУ, 2001. - С.47-48.

10. Денисова М. Ю. Потенциалы для уравнения Ави = 0. // Труды Математического центра им. Н.И.Лобачевского (Материалы научной конференции) Т.Н.- Казань: "УНИПРЕСС", 2001. - С.79-81.

11. Денисова М. Ю. Решение основной краевой задачи для В-бигармонического уравнения методом потенциалов. // Известия вузов. Математика. 2001. - N8(471).- С.79-81.

12. Киприянов И. А. О краевых задачах для уравнений в частных производных с дифференциальным оператором Бесселя. // ДАН СССР 1964. - т.158 - N0.2.- С.275-278.

13. Киприянов И. А. Об одном классе сингулярных эллиптических операторов // Дифференц. уравнения. — 1971. т.7.- No.ll.

14. Киприянов И. А., Кононенко В. И. О фундаментальных решениях уравнений в частных производных с дифференциальным оператором Бесселя. // ДАН СССР 1966. - т. 170 - N0.2.-С.261-264.

15. Киприянов И. А., Кононенко В. И. Фундаментальные решения В-эллиптических уравнений. // Дифференц. уравнения. 1967. - т.З - N0.1.- С.114-129.

16. Киприянов И. А., Кононенко В. И. О фундаментальных решениях некоторых сингулярных уравнений в частных производных. // Дифференц. уравнения. 1969. - т.5 - N0.8.- С. 1470-1483.

17. Киприянов И. А., Ключанцев М. И. О ядрах Пуассона для краевых задач с дифферен циальным оператором Бесселя. // Диф-ференц. уравнения с частными производными. 1969. - т.5 -No.8 - С. 1470-1483.

18. Кононенко В. И. О фундаментальных решениях сингулярных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами. // ДАН СССР 1967. - т. 172 - No.2.- С.267-270.

19. Кудрявцев JT. Д. Курс математического анализа: Учеб. для студентов университетов и вузов. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Высшая школа, 1989. т.З.- 352 е., илл.

20. Курант Р. Уравнения с частными производными. — М.: Изд-во "Мир", 1964.- 840 с.

21. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. — М.: Наука, 1973. 480 с.

22. Левитан Б.М. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье.// Успехи матем. наук. 1951- т.6. - N2. -С.102-143.

23. Лободзинская И.Г. Решение краевых задач для полигармонических уравнений в n-мерном пространстве методом потенциалов. Дисс.канд. физ.-мат. наук. — Львов, 1963.

24. Лободзинская И.Г. О краевых задачах для уравнения Ати = 0.// Дифференц. уравнения. 1967. - т.З - N0.8.- С. 1355-1363.

25. Лободзинская И.Г. Краевые задачи метагармонических для уравнений высших порядков.// Дифференц. уравнения. 1968. -t.4-NO.11.-C. 2103-2110.

26. Лопатинский Я.Б. Об одном способе приведения граничных задач для системы дифференциальных уравнений эллиптического типа к регулярным интегральным уравнениям. // Укр. ма-тем. журнал. т.5.-1953.-Ш. -С.123-151.

27. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976. - 392с.

28. Михлин С. Г. Курс математической физики. — М.: Наука, 1968.- 576 е., илл.

29. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения.-М-Л.: Гостехиздат, 1946. с

30. Мухлисов Ф. Г. Решение основных задач для полигармонического уравнения 2т-го порядка методом теории линейных интегральных уравнений. Дисс.канд. физ.-мат. наук. — Казань, 1970. 125 с.

31. Мухлисов Ф. Г. Краевые задачи и структура решений дифференциальных уравнений. Межвуз. сб. науч. трудов. — Куйбышев, 1986. С. 61-65.

32. Мухлисов Ф. Г. Потенциалы, порожденные оператором обобщенного сдвига, и краевые задачи для одного класса сингулярных эллиптических уравнений. Дисс.док. физ.-мат. наук.Казань, 1993. 324 с.

33. Панич О. И. О потенциалах для полигармонического уравнения четвертого порядка // Матем. сб.— 1960. т.50. - вып. З.-С.335-368.

34. Панич О. И. Решение основной краевой задачи для полигармонического уравнения четвертого порядка на плоскости методом потенциалов.// Известия вузов. Математика 1961. - N3, N4, N6.- 1962. - N1.

35. Петровский И. Г. Лекции по теории интегральных уравнении.М.: Наука, 1965. 128 с.

36. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. — М.: Физматгиз, 1961. 400 с.

37. Раджабов Н. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярнойлинией или сингулярными поверхностями. Ч.З.- Душанбе, 1982. - 171с.

38. Соболев С. Об одной краевой задаче для полигармонических уравнений. Матем. сб. -т.2. - вып. 3- М.: Изд-во Акад. наук СССР, 1937. - С. 465-498.

39. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1972.- 736 е., илл.

40. Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1985. 448с.

41. Weinstein A. Discontinuous integrals and generalired potential theory.// Trans. Am. Math. Soc.— 63, p.342-354, 1948.