Осцилляционные свойства решений некоторых классов уравнений эллиптического типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ И КОЛЕБЛЕМОСТЬ УРАВНЕНИЙ С

ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМ В ПРОСТРАНСТВЕ Е?

§ I. Уравнения с бигармоничесяим оператором.

§ 2. Уравнения с полигармоническим оператором.

Глава П. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ И КОЛЕБЛЕМОСТЬ УРАВНЕНИЙ С

ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В ПРОСТРАНСТВЕ ЕГ

§ I. Уравнения сингармоническим оператором

§ 2. Уравнения с полигармоническим оператором

Глава Ш. КОЛЕБЛЕМОСТЬ УРАВНЕНИЙ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С

ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.

§ I. Однородные нелинейные уравнения.

§ 2. неоднородные нелинейные уравнения . . ■.

1« Появление классических результатов 1.Штурма [531 в 1836г. считается началом исследования вопросов о нулях решений дифференциальных уравнений, В работе рассматривались уравнения ijp(t)j|J + сц-t) х — о ; ±>tc ол/ at ей + t^to /0'2/ где p(t)> 0» ^(^>0 на[ч ,Д( и установлено утверждение, носящее сугубо локальный характер. Более полно сформулировал M.Пиконе его в 1908 г.

Теорема 0.1 [501 /Штурма-Пиконе/. Пусть p(t) ^ Q(t) , a(t)> fcft) на (OC./S)

Тогда, если /0.2/ имеет решение 0 такое, что то любое решение X(t) уравнения /0.1/, линейно независимое с ^(•(г) » имеет хотя бы один нуль на .

С 40-х годов XIX столетия развивается ветвь учения о колебаниях, которую принято называть теорией осцилляции решений дифференциальных уравнений. Здесь важным является выбор исходных определений.

Определение I. Г^З] Уравнение /О Л/ называется осцилляционным на оо , если каждое его нетривиальное решение имеет нуль в каждом интервале [с< , оо j . Уравнение /О Л/ называется неосцилляционным на оо , если некоторое нетривиальное решение имеет конечное число нулей на интервале вида [*,оо)

Важный результат - условие колеблемости для уравнения /0.1/, отличный от теорем сравнения, был получен У.Лейтоном. Теорема 0.2 [43] . Если

Оо ©о о< с/ ' то уравнение /0.1/ осциллирует на со .

Интерес к вопросу о колебательных свойствах дифференциальных уравнений поддерживался тем обстоятельством, что он непосредственно связан с проблемой единственности решения, например, следующей краевой задачи с1х а-ь рс*) которое будет единственным/для больших и если известна неколеблемость уравнения /0.1/ [8]

Имеются различные понятия осцилляции решения. Для обыкновенных дифференциальных уравнений наиболее распространенные следующие: осцилляционность в точке /в качестве которой, как правило, берется +■ / и осцилляционность в промежутке. И.Т.Кигурадзе, а также В.А.Кондратьев формулируют их следующим образом.

Определение 2. [ 3 - 42] Ненулевое решение уравнения

0.3/ где ^ (Ч, 0,,.О]з0,называется осцилляционным /или колеблющимся/ в точке + оо , если оно имеет последовательность нулей, сходящуюся к + оо . В противном случае оно называется неосцилляционным /или колеблющимся/. о

Определение 3 [4П . Ненулевое решение уравнения /0.3/ называется осцилляционным в промежутке ^ , если оно имеет в ^ не менее У\ нулей с учетом их кратности. Определение Ч • Уравнение f\t) + pit) у it) = о называется неосцилляционным, если любое его нетривиальное решение имеет не более чем h-4 нуль /с учетом кратности/

Более детальное определение понятия "осциллирующее решение" содержится в монографии Ф.Хартмана И 9] .

Определение 5 [4 31« Однородное линейное уравнение второго порядка с вещественными коэффициентами, определенное на интервале ^ , называется осциллирующим на ^ » если каждое решение (ф 0) этого уравнения имеет на бесконечное множество нулей. Обратно, если каждое решение (:f О) имеет не более конечного числа нулей на ^ , то уравнение называется неосциллирующим на ^ . В последнем случае уравнение называется уравнением без сопряженных точек на ^ , если каждое решение (О] имеет на J не более одного нуля. Если граничная точка интервала /возможно, бесконечная/ не принадлежит этому интервалу, то уравнение называется осциллирующим при "t — ид , когда каждое решение О) имеет бесконечную последовательность нулей, сходящуюся к ~t=-uX В противном случае уравнение называется неосциллирующим при t=u).

Понятие колеблемости как осцилляции на бесконечности тесно связанное с случаем иЗ —в определении 4, используют в своих работах Т.Кусано [2>6,*|б] , К.Крайт ЪЪ\ , У.Тейлор [Z1,53]. Определение б. [^0,1 . Решение ^(.t) уравнения к*)у)" + у r(f,t) = o называется осцилляционным, если оно имеет произвольно большие нули. Данное уравнение называется осцилляционным, если все его нетриви D(t)Ult) =о , t >t, альные решения являются осцилляционными.

Исследованиям по установлению признаков осцилляции решении обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка посвящены обзоры Д. Биллет а [62.]» Дж.Вонга[£$] , В.Н.Шевело <М] , в монографии [2 21 подытожены результаты исследований уравнений высших порядков. Что касается работ по колебательным свойствам решений нелинейных уравнений, то их результаты еще монографически не систематизированы. Наиболее общие результаты здесь принадлежат И.Т.Кигурадзе и его сотрудникам. Часть из них приведена в его монографии НА] • Теоремам сравнения и осцилляционным свойствам решений посвящена работа Ч.Свенсона

Особое место в теории обыкновенных дифференциальных уравнений занимают уравнения с отклоняющимся аргументом /см. обзор в[22] /. При изучении их свойств опираются на понятие осциллирующего решения, аналогичное выше приведенным в определениях I, 5, 6.

2. Первая работа по теории Штурма для эллиптических уравнений была написана в 1911г. М.Пиконе 1] для самосопряженного уравнения второго порядка двух независимых переменных. Однако следующий результат, касающийся нулей решений уравнений в частных производных появился лишь в 1955 г., когда Ф.Хартман и А.Бинтнер[Е^] доказали классическую теорему сравнения типа Штурма в Ь-мерном случае для линейного эллиптического самосопряженного уравнения второго порядка, заданного в ограниченной области ~Т" пространства с:

Ц^ + 4 и =0 ,

Понятие колеблющихся решений, касающиееся неограниченных областей, было обобщено во второй половине XX столетия на уравнения и системы уравнений в частных производных эллиптического типа. т

К.Крайт [а Щ /а также вводит понятие узловой области.

Определение 7. Область называется узловой для уравнения п и

КИ с=4 если в ней найдется решение уравнения /ОЛ/, обращающееся в нуль на границе области. Обозначим = {Хе Е" , = .

Определение 8. Уравнение /0.4/ называется колеблющимся, если для любого К>0 /0.4/ имеет узловую область в • Таким образом введенное понятие колеблемости Ч.Свенсон

56] именует также сильной осцилляцией /см. также /.

Это определение тесным образом связано с краевыми задачами для уравнения /0.4/, в частности, если все решения /ОЛ/ неколеблющиеся, то задача Дирихле имеет единственное решение и наоборот /например, при условии, что 01 (Х)40/.

Аналогичный подход к данному понятию осуществляют Е.Нуссаир », Ч.Свенсон

55,56:1 К.Тревис[35], Ф.Баранский

Ж А.Тораев ЦП .

В связи с определением 8 в последнее время вводится в рассмотрение новая интерпретация этого определения, основанная на теореме о средних значениях.

Определение 9. Решение уравнения /0.4/ называется колеблющимся в пространстве Е. * если для любого К в области оно имеет нуль и неколеблющимся в противном случае. Уравнение

0.4/ называется колеблющимся, если каждое его нетривиальное решение имеет свойство колеблемости.

Исследования колебательных свойств решений уравнений эллиптического типа, основанные на определении 9, проводились многими авторами.

Польскишматематиками.Е.Вахницким [6^1 , Ф.Баранским [Í5] , З.Фридрихом были установлены условия колеблемости эллиптических уравнений с постоянными коэффициентами вида

Д+с^). (Д -t-cí) ц (X) —0 , ХеЕи, Дяи+Д1А+М = Р, Ы = U (X), ХеЕ3.

Е.Вахницкий и Е.Сливинский рассматривали уравнения вида и

A U +р(х,ц)Ц=0 , + =0

ГЦ-(СОи =0 , Ы=и(Х) , Х<=Е3, с переменными коэффициентами в пространствах Е* и Е.3 , соответственно.

Более сложные уравнения с переменными коэффициентами высших порядков были исследованы японскими математиками Т.Кусано [30-32,37], Н.Иошидой [41,, ЮЛСитамурой [30-32] , М.Наито [З1?, 38] , Т.Кура [36] .

Т.Кусано получены достаточные условия колеблемости в пространстве Е решений уравнений вида /смЛзо.зП / с(Х,и)=0 , /0.5/

АЖЫ +с(Х,и)=о , ки^з , а в соавторстве с другими учеными исследованы неоднородное нелинейное уравнение /см.

ДМ + с(Х,Ы)=4(Х) /о-6/ и Л -мерное уравнение Эмдена-Фаулера /см.

321 /

ДМ +с(Х)1иГ^к.и = о . /0.7/

При сотрудничестве с Н.Иошидой им были рассмотрены колебле-мостные свойства операторов недивергентного типа в работах и [А21.

Обобщение уравнения /0.7/ было рассмотрено советским математиком А.Тораевым [461, частные случаи которого изучались в работах и [Я]. Им же были получены интересные достаточные условия колеблемости уравнения /0.4/ в работе мя .

Однако, не смотря на обширность исследований колебательных свойств эллиптических уравнений, как было отмечено в работе [38], остались почти не затронутыми нелинейные уравнения высших порядков эллиптического типа.

Определенные виды таких уравнений, а также, не рассматривавшиеся ранее, некоторые классы уравнений с постоянными коэффициентами затронуты в данной диссертации.

3. Настоящая диссертационная работа состоит из введения и трех глав. На протяжении всего изложения пользуемся определениями колеблемости, аналогичными определению 9.

1. Векуа И.Н.* Новые методы решения эллиптических уравнений. -М.-Л.: Гос. изд-во техн.-теорет. лит., 1948. - 296 с.

2. Горбайчук В.И., Добротвор И.Г. Условия колеблемости решений одного класса эллиптических уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами. Укр.мат.журн., 1980, т.32, № 5, с. 593-600.

3. Горбайчук В.И., Добротвор И.Г. Обосцилляции решений одного класса уравнений с полигармоническим оператором. Мат.физика, 1980, вып. 27, с.89-95.

4. Горбайчук В.И., Добротвор И.Г. Исследования с помощью теоремы о среднем колеблемости решений одного класса уравнений с бигар-моническим оператором. Мат.физика, 1982, вып.31, с.71-75.

5. Добротвор И.Г. Условия колеблемости решений одного классаГ*уравнений с бигармоническим оператором в пространстве с. . В кн.: Приближенные методы исследования нелинейных колебаний. Киев: Кн-т математики АН УССР, 1983, с.46-51.

6. Добротвор И.Г. Осцилляционные свойства решений уравнений с полигармоническим оператором в пространстве . Укр.мат. журн., 1984, т.36, №2, с.253-255.ТО —

7. Домшлак Ю.И. Метод сравнения в исследовании поведения решений дифференциально-операторных уравнений.: Дис. докт.физ.-мат.наук. Баку: Ин-т механики и математики АН АзССР, 1981.

8. Картан А. Элементарная теория аналитических функций одного и нескольких комплексных переменных. М.: йзд-во иностр. лит., 1963. - 296 с.

9. Кигурадзе И.Т. О колеблемости решений уравнения- Мат. сб., Тбилиси: 1964, 65,№2,с.172187.

10. Кигурадзе И.Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Тбилиси, 1975.- 352 с.

11. Кигурадзе И.Т. Осцилляционное дифференциальное уравнение.- В кн.: Математ. энциклопедия. М.: Сов. Энциклопедия, 1984.

12. Коддингтон Э.А., Левинсон Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Изд-во иностр.лит.,1958. - 474 с.

13. Кондратьев В.А. О колеблемости решений уравнения -Труды Моск.мат.об-ва, 1961, 10, с.419-436.

14. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. М.: ОГИЗ, 1945, т.11,-620 с.

15. Тораев А. О колеблемости решений уравнений эллиптического типа высшего порядка. ДАН СССР, 1981, т.259, №6, с.1309-1311.

16. Тораев А. О колеблемости решений уравнений эллиптического типа. Дифференц.уравн., 1982, т.18, №7, с.1277-1280.

17. Харди Г.Г., Литтльвуд Дж.Е., Полиа Г. Неравенства. М.: Иностр.лит., 1948. - 456 с.Г1-

18. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. - 720 с.

19. Шевело В.Н. Задачи, методы и основные результаты теории ос^-цилляции решений нелинейных неавтономных дифференциальных уравнений. Труды П Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. - М.: 1965, вып.2. с. 142-157.

20. У,, Kuscmo JT ^и osLùMatcoyi ~lkeób¿№\1. а ьц$Мм£<хп SchiôdÙH^еЯ cúUw.— Ute—Ыал мл., m¿, uM , p. m- ш.

21. KtzM К. 0%LùâaiCoy\ ihzotews Jöi -eilcfótcc -efuойЬСалЛ.— Aloc. Лмгъ. JÁaMi. Soc.} 41Q¿it V./IS') p.344-344.

22. Kreith K. OsciMdlon "Uieo^ . cLxXv^ul- Jíoteъ ¿и. jHatti. ,-Í03 p.

23. КteZÍA K., Л^-схЫб С. OstiJiatcoM OÜXvlía sefíWjWt eMüotíc. ешм^С^ЛRac^cc J.

24. K-U/L-q JT OscMouUotí ÜLítvuM jd4 01 c^. Sui-(mvloJi eJHùfo&c ^ллаУмунл J- íh-e seconof otolet —ими«* jLxÀk., ш^уЧ.гг, р.зз5-з<м.

25. Pù&n-e M. Su un ^Ko&buna aJi сonkcfirix) ruMtU^uuxJZConi (U^^jlktzùoJU, ¿ÙHJUÛUJüJL SÇJLOndo o\oL¿*ul. —uAv\v\. /3. Scu¿y¿Ot jSÓ*l№.Slc/o, Afecr, WOS, 40 (Ii).

26. U/on^ J. S.u/. Ои íhi S^aoñal ónJ-ek по4лМ*шх>х os<l¿¿-loJUon- ^k/rCLc. , lAM,jRb,p¿ChhiZ<iéMùpbuL Jjjp^ydbCod ^jc^jucjyc^u^ oW CraUf^L-р.