Некоторые вопросы качественной теории многоточечных задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ТЬ 0& ^ ь ДЕК Ю9*

На правах рукописи

Майорова Светлана Павлогна

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ МНОГОТОЧЕЧНЫХ ЗАДАЧ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 1998

Работа выполнена в Воронежском государственном'университете

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор

Покорный Юлий Витальевич,

кандидат физико-математических наук,

доцент

Завгородний Михаил Григорьевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Мешков Виктор Захарович,

кандидат физико-математических наук,

доцент

Сапронов Иван Васильевич

Ведущая организация: Саратовский государственный университет

Защита состоится " 29" декабря 1998 года в i0° на заседании диссертационного совета К063.48.09 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Воронежском государственном университете по адресу: 394693 г.Воронек, Университетская пл. 1, BIY, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан "35}» ноября 1998 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

В.Г. Задорожкий

Актуальность, тещ. В качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений осцилляционные спектральные свойства (вещественность и простота всех собственных значений, перемежаемость нулей собственных функций, чебышевосгь конечных отрезков из последовательности собственных функций и др.) занимают особое место. Впервые эти свойства были описаны в работах Штурма и Келлога для уравнений второго порядка. Келлог выделил класс интегральных операторов с непрерывными симметричными ядрами, для которых соответствующие краевые задачи обладают осцилляционными спектральными свойствами. Впоследствии такие ядра были названы ядрами Келлога.

Результаты Келлога послужили основой развития осцшшшионной теории двухточечных задач для уравнений старших порядков. В ряде работ Ф.Р.Гантмахера и М.Г.Крейна изучены интегральные операторы с несимметричными ядрами и получены осцилляционные свойства спектра двухточечных задач для уравнений четвертого и выше порядков.

Дальнейшее развитие осцилляционной теории шло в направлении расширения классов краевых задач, функция Грина которых являлась ядром Келлога (работы А.Ю.Левина, Г.Д.Степанова, Ю.В.Покорного, А.Л.Тептина, В.И.Юдовича и др.). Существенным продвижением в этом направлении явилось получение специальных оценок функции Грина !0. В. Покорны!,1. Полученные оценки позволили описать спектральные свойства для многоточечных задач Балле Пуссена и для некоторых нестандартных (переопределенных) задач. Отметим, что изучаемые краевые задачи были регулярными (имели непрерывную функцию Грина). И, наконец, распространение результатов Келлога на интегральные операторы с разрывными ядрами (Ю.В.Покорный, А.В.Боровских) позволило установить осцилляционные спектральные свойства для так называемых "разрывных" краевых задач.

Вопросы асимптотики спектра и разложимости функций в ряд по

собственным (корневым) функциям рассматривались в работах А.П.Хромова, М.Г.Завгороднего и др.

Сингулярные краевые задачи (задачи с особенностями) изучены недостаточно.Теоремы существования и единственности решений, априорные оценки решений и другие вопросы для таких задач изучались И.Т.Кигурадзе и его учениками- Отметим также ряд результатов Р. Лангера в этом тщавленж. Спектральные свойства ими не рассматривались . Одни из первых результатов по спектральным свойствам сингулярных задач были получены В.И.Юдовичем. Им установлены осци-лляционные свойства спектра для задачи на оси для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. Эти исследования получили свое продолжение в работах Ю.В.Покорного и Л.В.Боровских. Результаты В.И.Юдовича были распространены на дифференциальный оператор с . переменными коэффициентами. Задачи со слабым особенностями на отрезке изучались Ю.В.Покорным и К.П.Лазаревым.

осцилляционые свойства задач с сильными особенностями (когда порядок особенности может быть как угодно близок к порядку дифференциального оператора) в осщштящюнной теории практически не рассматривались.

сеойств двухточечных и многоточечных краевых задач с сильными особенностями, а так же изучение спектральных свойств интегральных операторов, порождаемых этими задачами. Изучение свойств спектра двухточечной краевой задачи для дифференциального уравнения старшего порядка типа уравнения Бесселя.

Методика исслепования. Применяются методы качественной теории краевых задач, общей и спектральной теории линейных интегральных операторов, а так же методы теории операторов в полуупорядоченных пространствах.

Развитие методов исследования спектральных

'Научная новизна. Доказаны осцилляционные свойства спектра ©ухточечных и многоточечных краевых задач с особенностями при 'словиях Балле Пуссена. В том числе изучен случай сильной особен-юсти. Изучены свойства интегрального оператора, возникающего яри юращении двухточечной краевой задачи с особенностями для диффе-зенциального уравнения второго порядка. Изучены спектральные ¡войства интегральных операторов, порождаемых многоточечными сраевыюг задачами с особенностями. Описан вид уравнений, к которым ¡водится дифференциальное уравнение с особенностями при замене геременных. Доказана осцилляционность спектра двухточечной краевой задачи для уравнений старших порядков типа уравнения Беселя. Все результаты диссертации являются ноеыми, Пшктическая.и г.еовеппесная значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть использованы в спектральной и качественной теории двухточечных и многоточечных краевых задач с особенностями, в теории интегральных операторов.

лись и обсуждались на научной школе-семинаре "Разрывные динамические системы" (Унгород, 1991); на Воронежских весенних математичес-ческих школах "Современные методы в теории краевых задач" (Воронеж, 1992), "Понтрягшские чтения - IV" (Воронен, 1993); на Воронежских зимних школах "Теория функций. Дифференциальные уравнения в математическом моделировании" (Воронеж,1993), "Современные проблемы механики и математической физики" (Воронеж, 1994), "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронен, 1997); на научно - практических конференциях ВВШ МВД России (Воронеж, 1995, 1998), а так же на семинаре по качественной теории краевых задач под руководством профессора Ю.В.Покорного.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в двенадцати

Основные результаты диссертации докладыва-

работах, список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из ВЕедения, трех глав, разбитых на 8 • параграфов, и списка литературы. Она содержит 123 страницы, включая библиографический список из 57 наименований. Нумерация приводимых в автореферате теорем совпадает с нумерацией, принятой в диссертационной работе.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Введение содержит обзор результатов по вопросам спектральной теории двухточечных и многоточечных краевых задач и обзор результатов диссертации.

В первой главе работы (§§1-4) изучаются спектральные свойства интегрального оператора вида

(Bx)(t) =

rb q(s)x(s)

B(t.s) -5-; ds (1)

(s-a)'-(b-s)-

c непрерывной функцией B(t,s), удовлетворяющей оценке

IB(t,s)l с Ng(t,s) ( a<t,s<b ) ■ (2)

где g(t,s)~ функция Грина элементарной задачи -х"=у, х(а)=х(Ъ)=0.

Оператор такого вида возникает, например, при обращении сингулярной краевой задачи второго порядка

Q(t)

х" + p.(t)x' -t- р (t)х = X -5-5 х (a<t<b) ,

1 " (t-a) (Ъ-t)

х(а+0) = х(Ъ-О) = 0 . -

Предполагается, что функция q(t) допускает представление

q(t) = (t-a) (Ъ-t) q(t), где а.,$£(0,1) и qf-j принадлежит пространству С(а,Ь) непрерывных и ограниченных на интервале' "(а,Ъ)

функций. Подставляя в интегральный оператор В, приходим к

зператору

сь Ба,з)х(з)

(На х)И) = --77? ^ - а,0€СО,и

Л (з-а) (Ъ-в) ?

а

В §1 установлено, что для любой х(-) е С(а,Ь) интеграл

'Я ах)И) равномерно сходится на (а,Ъ). Равномерная сходимость и а • р

щенка (2) функции ва:,з) позволяют доказать следующее утверждение:

ТЕОРЕМА 1.2. Оператор Я „ действует из пространства С(а,Ъ)

а, р

5 пространство Е „ и непрерывен. 01. р

Здесь Е . - линейное пространство функций у(•)^С(а,Ь) таких, а»^

\у(Ь)\

{то зир ---— < со.

Ша.Ъ) а-а) (Ъ-Ь) р

В §2 глэеы 1 изучаются свойства интегрального оператора

(Вг)а) = -—1--— (На г)Ш , а.€(0.1).

Рассмотрим пространство Е непрерывных на [а,Ъ] функций г(-) ?аких, что г(а) = г(Ъ) = 0. Пространство Е включает в себя все пространства Е . . Установлено:

ТЕОРЕМА 2.3. Оператор Ва действует из пространства Е в пространство Е .

ТЕОРЕМА 2.4. Функции из множества Ва(Ю образов единичного гара К пространства С(а,Ъ) равностепенно непрерывны на любом :омпакте Еа1 ,Ъ1 ]<=(а,Ь).

В §3 глэеы 1 изучается интегральный оператор В , который

Ч 9 ®

гредставляег собой суперпозицию интегрального оператора и итератора умножения на функцию ц(-), т.е. Ваг=Ва(цг), г£С(а,Ь). ¡праведливы

ТЕОРЕМА 3.1. Оператор В действует из пространства

1 Q>а

С(а,Ъ) в пространство Е и непрерывен.

ТЕОРЕМА 3.2. Оператор а вполне непрерывен.

Предположим дополнительно, что B(t,s) > О внутри квадрата

(а,Ъ)*(а,Ъ) и является ядром Келлога. Тогда верно:

ТЕОРЕМА 3.5. Оператор В имеет в С(а,Ъ) осцилляционный

ч>а

спектр.

В §4 главы 1 доказывается осцилляционность спектра интегрального оператора В, определенного согласно (1). Установлено:

ТЕОРЕМА 4.1. Оператор В действует из пространства С(а,Ъ) в пространство Еа и непрерывен.

ТЕОРЕМА 4.2. Для любых чисел х,оч(0,1) собственная функция x(t) оператора В, отвечающая собственному значению \Ф0, принадлежит пространству Е а .

Устанавливается связь между спектрами оператора В и оператора

В описанного в §3. ч. а

ТЕОРЕМА 4.3. Спектры' операторов В и В совпадают с учетом кратностей.

Данная теорема, а также теорема 4.2 позволяют доказать центральный результат главы 1:

ТЕОРЕМА 4.4. Оператор В имеет осцилляционный спектр. .Глава 2 состоит из двух параграфов (§§5-6). В ней изучаются спектральные свойства, двухточечных (§5) и многоточечных (§6) сингулярных краевых задач.

На множестве Dn(a,b) функций x(t) таких, что х( 13(•)£С(а,Ъ), i=0,n-2 и производная x<n~1)('J абсолютно непрерывна на любом отрезке faf,bf]с(а,Ъ), рассматривается неосциллирующий линейный дифференциальный оператор L вида Lx э х(п) + р Ct)x(n~1) +...+ p^(t)x

суммируемым™ коэффициентами р (>).

В §5 главы 2 для оператора Ъ на конечном интервале (а,Ь) ассматривается двухточечная краевая задача Балле Пуссена

чг*;

¿х - ц- х ( а<г<ь ) , (3)

(±-а)п(Ь-Цп

х(1)(а+0)=х( "(Ъ-0)=0 а=иТё=Т, }=П7(Г:Т, у+т^п, v>1, г)>1). (4)

десь и - спектральный параметр и функция ца) предполагается епрерывной на отрезке Еа,Ы, удовлетворяющей неравенству > О внутри и равенствам дСа; = дСЬ.) = 0.

Наряду с оператором £ рассмотрим интегральный оператор

(Ах)а) = Г аа.в)-х{з)аз ,

Ъ (з-а)п(Ъ-з)п

де йа,з) - ядро интегрального оператора (т.е. функция Грина), вращающего краевую задачу I¿z=f при краевых условиях (4).

Описана область определения и область значений оператора А и становлена его непрерывность (теорема 5.2). Установлена связь гтерзтора Л с оператором В, введенным и изученным в глаЕе 1 (§4):

ТЕОРЕМА 5.3. Спектры операторов А и В совпадают с учетом кра-гостей, причем собственные функции х& и х3 операторов А и В ^ответственно, отвечающие одному и тому не собственному значению 3, связаны соотношением хАа) = иа)хва), где иЦ) =

г ь-ьр-1.

Отсюда и в силу теоремы 4.4 следует:

ТЕОРЕМА 5.4. Пусть функция удовлетворяет оценке <

С()х при некоторых положительных константах С, у и эе. згда оператор А имеет осцилляционный спектр.

Установлена связь менсду собственными значениями и

собственными функциями оператора А и краевой задачи (3), (4).

ЛЕША 5.4. Множество собственных значений iub> краевой задачи (3), (4) и множество собственных значений оператора А, за

исключением нуля, связаны следующим соотношением: для любого собственного значения дь краевой задачи найдется собственное значение оператора А такое, что д= 1/Хк , и обратно. При этом собственным значениям дь, краевой задачи и оператора А соответственно отвечает одна и таже собственная функция х( t) .

В силу леммы 5.4 из теореш 5.4 вытекает, что краевая задача (3), (4) имеет осцилляционный спектр (теорема 5.5).

В §6 главы 2 рассматривается сингулярная краевая задача с многоточечными краевыми условиями Балле Пуссена:

Q(t)

Ъх = д - х { a<t<b ) (5)

(t-a)n(b-t)nu(t)

(V.-1)

x(al) = х' (a,J = ... = х 1 (a,J = 0 <4=771; ш2), (6)

m-1

где v.+vj-.. ,+v = n, а = a,<a_<...<a = Ъ и uit) = Ы (t-a.) l.

12 771 7 ¿Г 77t £ _ А '

Функция qit) предполагается непрерывной на fa.bJ, удовлетворяющей

v

условиям q(a) - q('bj = 0, (-1) mq(t) > 0 внутри ('а,Ъ) и \q(t!\ s; G(t-aJr(b-t)S при С, г, б > О.

Вводится интегральный оператор А, обращающий краевую задачу (5), (6), и изучаются его свойства.

В этом параграфе рассуждения проводятся по той же схеме, что и в §5, с использованием результатов главы 1. Устанавливается связь между множеством собственных значений и собственных функций оператора А и интегрального оператора В, введенного в главе 1.

ТЕОРЕМА 6.3. Спектры операторов А и В совпадают с учетом

кратностей, причем собственные функции х и хв операторов А и

В соответственно, отвечающие одному и тому же собственному

значению к0, связаны соотношением хла) = и1а)хва), где

т V

и.(Ц =-1-- П и-а.) 1.

1 (t-a)(Ъ-t) 1=1 1

Используя осцилляционность спектра оператора В доказываются осцилляционные свойства спектра оператора А:

ТЕОРЕМА 6.4. Пусть функция ца) удовлетворяет оценке ^

■« С(при некоторых положительных константах С, тих. Гогда спектр оператора А состоит из бесконечной последовательности вещественных положительных простых собственных значений Я. > > > ... , сходящейся к нулю. Если соответствует собственная функция ф^С •), то функции Фьа) = (р},а)/ 'и1а) обладают следующими свойствами:

а) Ф^С'-) имеет внутри (а,Ь) точно к нулевых точек и все

эни являются узлами ( к = 0, 1, ...) ;

б) при каждом к между любыми последовательными нулями из находится точно один нуль (перемежаемость

нулей);

в) последовательность ^Ф^® образует интерполирующий ряд (ряд Маркова) на (а,Ъ) , т.е. при каждом к система ^¿-^ есть система Чебышева порядка к на (а,Ь) .

' Аналогично §5 устанавливается связь между собственными значениями и собственными функциями оператора А и краевой задачи [5), (6) и доказывается следующее утверждение:

ТЕОРЕМА 6.5. Пусть функция ца) удовлетворяет оценке \ца)\<Л(Ь-а)^(Ь-Ь)х при некоторых положительных константах С, у и е. Тогда спектр краевой задачи (5), (6) состоит из бесконечной юследовательности вещественных положительных простых собственных

значений д0 < < ... . Если соответствует собственная функция Фj/'J, го функции Ф^^) ~ V-iJt)/ обладают свойствами а)- в)

георемы 6.4.

Глава 3 состоит из двух параграфов (§§7-8). В §7 на отрезке [О,1] рассматривается уравнение

Lx = \Jn(t)х (7)

для дифференциального оператора Ъх = х(п) + £ р а)х(ж) с неггре-

т=о т

рывными коэффициентами Pm(t). Предполагается, что fit) неярерывнг

и положительна на отрезке [0,11, за исключением конечного числе

точек 1=1,т. В точках функция / либо обращается в нуль,

либо имеет суммируемую особенность. Обсуждается' вопрос с

преобразовании уравнения (7) с помощью замены переменно* rt

x(t) = J f(s)ds. Установлено:

ТЕОРЕМА 7.1. В каждой точке t(.i0,1l, в которой функция . определена, не обращается в нуль и имеет производную порядка п-1 уравнение (7) приводимо к виду

У(п} + Y Pb(x)y(k> = Ху (8:

А=0

с непрерывными в точке % = x(t) коэффициентами Pk(x).

Пусть £ - точка отрезка [0,1], в которой функция / либо обращается в нуль, либо не определена. Полоши %Q = t(l). Поведени коэффициентов Pj/t,/ в окрестности точки описано в следующе.

ТЕОРЕМА 7.2. Коэффициенты p,(Tj дифференциального уравнени

ПАх)

(8) в окрестности точки т. представимы в виде р, Гт;^ = —--г° Л Ст—

&=0,п-1, где Кь(х) - некоторые непрерывные в окрестности точки х

функции, за исключением быть может самой точки х0.

При дополнительных предположениях относительно функции fit) оказано, что h ix) имеют, конечный и отличный от нуля (при кфО) редел в точке xQ.

Пусть fit) = |t-£\~ah(t), где <х<1, афО и функция hit) п-1 раз епрерывно дифференцируема и строго положительна в некоторой крестности точки Тогда верно следующее утверждение:

ТЕОРЕМА 7.4. Функции \(t), к = 0,п-1 непрерывны в окрестнос-и точки %0, причем 7i fx при кфО и а Ф -1, -2, ... , -п+к+1.

Пусть функция f непрерывна и строго положительна на отрезке 0,1], за исключением конечного числа точек £, < < ... < й •

7 с. T7I

роме того, пусть в каждой точке tQ, отличной от точек ....

, функция fit} дифференцируема п-1 раз, а в окрестности каждой очки gk ik=1 ,.7tJ представима в виде fit) = khit), где

(Zh) Ф 0, ak Ф О и

Положите т = х(£.), k=1 ,т; и(х) - (х-х, )(x-xj... i х-х ).

P. R I li 7ft

ТЕОРЕМА 7.5. Уравнение (7) приводимо к виду , , h .(х) . ., h Jx) , h.(x)

(n) + _nzi- у(n-1) + - y(n-S) +mmm+ - у = Xyt

U( X) V?-(X) vrix)

де \(х) -непрерывные на отрезке CO,T] функции, причем * О

ри к = 1,п-1 и а^ ф -1, -2, ... , -п+к+1.

В §8 главы 3 изучаются спектральные свойства краевых задач ля гипербесселевых уравнений.

На (0,1) рассмотрим гипербесселево уравнение вида

, , Ь. Ах) , ,, К .(%) , ,, ЪЛ^)

'■п)+ лг!- (п-1) + - (п-2) +штш + - у = Ху (9)

х(1-х) х-Ц-х)- хп(1-х)п

Будем говорить, что уравнение (9) принадлежит классу от ,

1' г

зли око можеть быть получено из уравнения (7) при ха) =

~а1 р р Ь Ц-Ь) ЫЬ), где < 1 и * замеН0й ле_

ременной %а).

Установлено, что класс т „ не пуст..

01 ? '2

ТЕОРЕМА 8.5. Пусть уравнение (9) принадлежит классу зк

1' :

1 1 при таких а(, а2, что - —у < а, <7, - ^ру < а.г <1 и а?а2 * 0.

Тогда краевая задача для уравнения (9) при условиях

у(1)(+0)=уи1(1~0)=0 (1=0,-^Т, 1=0,гги у+т)=п, V?!, тр1) (10:

имеет осцилляционный спектр.

Будем говорить, что уравнение

, . П ,(%) ... П 0(%) . _0) П(х) у(п) + _пдг- у(п-1) + -2=|- у(п г) +...+ —- у = \у (И

х .х" тп

принадлежит классу да , если оно принадлежит классу зи при

и т.е. может быть получено из уравнения (7) при /(Ч)=^апа

ТЕОРЕМА 8.6. Пусть уравнение (И) принадлежит классу л^ пр: - < а. <1 и а * О. Тогда краевая задача (11), (10) имее1 осцилляционный спектр.

Автор пользуется возможностью выразить сердечную благодар ность своим научным руководителям Ю.В.Покорному и М.Г.Завгороднем за постоянную помощь и поддержку.

Автор также признателен участникам семинара по качественно теории краевых задач под руководством профессора Ю. В. Покорного з полезные и плодотворные обсуждения результатов данной работы. Основные результаты диссертации опубликованы в работах: 1. Майорова С.П. Осцилляционность спектра одной задачи сильной особенностыо//Тез. докл. научной школы-семинара "Разрывны динамические системы". Ужгород/Киев, 1991. С.36.

2. Майорова С.П. О спектра одной неклассической краевой задам/У Тез".докл.школы "Современные методы в теории краевых задач", кэронеж, 1992. С. 71.

3. Майорова С.П. Осцилляционность спектра одной сингулярной сраевой задачи// Деп. в ВИНИТИ 30.11.92, № 3394-В92. 29 с.

4. Майорова С. П. О спектре краевой задачи с сильным Еырожде-шем//Тез. докл. школы "Теория функций. Дифференциальные уравнения

3 математическом моделировании". Воронеж, 1993. С. 83.

5. Майорова С.П. Осцилляционные спектральные сеойстеэ сингу-шрной многоточечной задачи// Тез. докл. школы "Понтрягинскке ¡тения - IV". Воронеж, 1993. С. 125.

6. Майорова С.П. Спектральные свойстш одного интегрального щератора// Тез. докл. школы "Современные проблемы механики и математической физики". Воронеж, 1994. С. 66.

7. Майорова С. П. Спектральные свойства некоторых сингулярных краевых задач. Часть 1 (интегральный оператор) // "Деп. в ВИНИТИ 30.10.98, И 3119 - В98. 35 с.

8. Майорова С.П. Спектральные свойства некоторых сингулярных краевых задач. Часть 2 (краевая задача; // Деп. в ВИНИТИ 30.10.98,

4 3120 - В98. 17 с.

9. Завгородний М.Г., Майорова С. П. Осцилляционность спектра одного класса краевых задач для дифференциальных уравнений высших торядков типа уравнения Бесселя// Сб. науч. трудов ВВШ МВД России, зып. 3, ч.1. Воронеж,1996. С. 111-117.

10. Завгородний М.Г., Майорова С.П. О спектре краевых задач 5ля дифференциальных уравнений высших порядков типа уравнений Зесселя// Тез. докл. школы "Современные методы теории функций и змеиные проблемы". Воронеж, 1997. С. 73.

11. ЗаЕгородний М.Г., Майорова С.П. Об эквивалентности сингу- •

лярного уравнения и уравнения бесселева типа// Тез. докл. научно -практич. конференции ВВ1И МЕД России. Воронеж, 1Э98. 4.2. С. 88-89.

12. Завгородний М.Г., Майорова С.П. Осцилляционность спектра краевых задач для уравнений типа Бесселя// Деп. в ВИНИТИ 30.10.98, 3121 - ВЭ8. 37 с.

В работах. С9-12] Завгороднему М.Г. принадлежит постановка задачи, доказательство всех лемм и теорем принадлежит Майоровой С.П.

Заказ Ыз^УОот i6.i-f.1Q98 г. Тир. !О0 экз. Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ

воронежский государственный университет

На правах рукописи

Майорова Светлана Павловна

некоторые вопросы качественной теории

многоточечных задач

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители: доктор физико - математических наук, профессор Покорный Юлий Витальевич, кандидат физико-математических наук, доцент

Завгородний Михаил Григорьевич

Воронеж - 1998

содержание

ВВЕДЕНИЕ ............................................... 3

ГЛАВА 1. СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОДНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО

ОПЕРАТОРА .................................... 19

§1. Свойства интегрального оператора Я . ........ 20

§2. Свойства интегрального оператора В& ........ 29

§3. Свойства интегрального оператора В а ........ 41

§4. Осцилляционность спектра интегрального

оператора В.................................. 51

ГЛАВА 2. ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЕ СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА

СИНГУЛЯРНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ .................... 57

§5. Спектральные свойства сингулярных двухточечных

краевых задач ................................. 57

§6. Спектральные свойства сингулярных многоточечных краевых задач ................................. 72

ГЛАВА 3. ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЕ СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КРАЕВЫХ

ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ТИПА БЕССЕЛЯ ............. 81

§7. Преобразования дифференциальных уравнений ..... 81

§8. Спектральные свойства краевых задач для

гипербесселевых уравнений.....................103

ЛИТЕРАТУРА .............................................118

введение

В качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений осцилляционные спектральные свойства (вещественность и простота всех собственных значений, правильная перемежаемость нулей собственных функций, чебышевость конечных отрезков из последовательности собственных функций и др.) занимают особое место. Впервые эти свойства были описаны в работах Штурма С571 и Келлога [53,54] для уравнений второго порядка. Келлог выделил класс интегральных операторов с непрерывными симметричными ядрами, для которых соответствующие краевые задачи обладают осцилляционными спектральными свойствами. Впоследствии такие ядра были названы ядрами Келлога.

Результаты Келлога послужили основой развития осцилляционной теории двухточечных задач для уравнений старших порядков. В ряде работ Ф.Р.Гантмахера и М.Г.Крейна [5, 6, 16-18] изучены интегральные операторы с несимметричными ядрами и получены осцилляционные свойства спектра двухточечных задач для уравнений четвертого и выше порядков. Отметим, что полное доказательство результатов, связанных с несимметричными ядрами, появилось в печати значительно позже в работах А.Ю.Левина и Г.Д.Степанова £20, 21].

Дальнейшее развитие осцилляционной теории шло в направлении расширения классов краевых задач, функция Грина которых являлась ядром Келлога. Существенным продвижением в этом направлении явилось получение специальных оценок функции Грина Ю.В.Покорным [35-37,39,41]. Полученные оценки позволили описать спектральные свойства для многоточечных

задач Балле Пуссена [38,39,43] и для некоторых нестандартных (переопределенных) задач [22,23,31,40,42,451. И, наконец, распространение результатов Келлога на интегральные операторы с разрывными ядрами [2-4, 46] позволило установить осцилляционные спектральные свойства для так называемых "разрывных" краевых задач [43.

Многоточечным задачам не Валле-Пуссеновского типа посвящены работы А.Л.Тептина [47, 48]. Вопросы асимптотики спектра и разложимости функций в ряд по собственным (корневым) функциям рассматривались в работах А.П.Хромова [49, 50] (для двухточечных задач) и М.Г.Завгороднего [7] (для многоточечных задач).

Изучение спектральных свойств сингулярных краевых задач началось сравнительно недавно. Одни из первых результатов в этом направлении получены В.И.Юдовичем [51,52]. Им установлены осцилляционные свойства спектра для задачи на оси для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. Эти исследования получили свое продолжение в работах Ю.В.Покорного и А.В.Боровских С 1,44]. Результаты В.И.Юдовича были распространены на дифференциальный оператор с переменными коэффициентами.

Изучение спектральных свойств сингулярных краевых задач на отрезке проводилось в работах Ю.В.Покорного и К.П.Лазарева [38,40,43]. В указанных работах установлены осцилляционные свойства спектра сингулярных краевых задач Балле Пуссена для уравнения вида

х(п) + рАг)х(п~1) + ... + =

/ тъ

с суммируемыми коэффициентами. У функции q(t) допускались несуммируемые особенности на концах отрезка и в некоторых его внутренних точках. При этом особенности и краевые условия согласовывались: порядок особенности в каждой точке аь не превосходит где vi - число краевых условий в

этой точке. Дополнительно предполагалось, что порядок особенности в каждой точке не превосходит п-1. Такие особенности называют "слабыми", а краевую задачу - задачей со "слабыми" особенностями.

Сингулярные краевые задачи изучались И.Т.Кигурадзе и его учениками [13, 14]. Были установлены теоремы существования и единственности решений, получены априорные оценки решений и др. Спектральные свойства при этом не изучались.

Поведение решений дифференциального уравнения второго порядка в случае, когда правая часть уравнения непрерывна и имеет нули, изучалось в работах Р.Лангера [55,56]. Решения таких уравнений на каждом интервале между нулями правой части записывались с помощью функций Бесселя, а затем склеивались. Уравнения старших порядков Р.Лангером не рассматривались.

Данная работа посвящена изучению спектральных свойств двухточечных и многоточечных сингулярных задач с "сильными" особенностями, когда порядок особенностей на концах отрезка может быть как угодно близок к порядку п дифференциального оператора. Устанавливается осцилляционность спектра таких задач.

В диссертационной работе также изучается класс дифференциальных уравнений, к которым сводится уравнение (1) с помощью стандартной замены переменной. Функция q(t)

предполагается непрерывной на отрезке, за исключением конечного числа точек. В этих точках q(t) либо обращается в нуль, либо имеет особенности порядка не выше п. Доказано, что уравнение (1) приводимо к уравнению типа Бесселя. При ограничениях на порядок нуля функции q(t) доказана осцилляционность спектра двухточечной краевой задачи для уравнения типа Бесселя.

Приведем краткое описание полученных результатов по главам.

В первой главе работы (§§1-4) изучаются спектральные свойства интегрального оператора Еида

(Bx)(t) =

а

q(s)x(s)

B(t,s) -5-5 ds (2)

( s-a)'-(b-s)i-

c непрерывной функцией B(t,s), удовлетворяющей оценке

\B(t,s)\ < Ng(t,s) ( a<t,s<b ) (3)

где g(t,s) - функция Грина элементарной задачи -х" = у, х(а) = х(Ъ) = 0.

Оператор такого вида возникает при обращении сингулярной краевой задачи второго порядка

q(t)

х" + p.(t)x' + pJt)x = X-5-5 х (a<t<b) ,

1 2 (t-a)(b-t)

x(a+0) = х(Ъ-О) = 0 .

Предполагается, что функция q(t) допускает представление q(t) = (t-a)a(b-t)1 * q(t), где а, и q(-)

принадлежит пространству С(а,Ъ) непрерывных и ограниченных на интервале (а,Ъ) функций. Подставляя ца) в интегральный оператор В, приходим к оператору

(в хни =

а

•ь ва,з)х(з)

(з-а)2~а(Ь-з)1+*

йэ , ос,Ш0,1)

В §1 установлено, что для любой х(») е С(а,Ъ) интеграл

(Н х)а) равномерно сходится на (а,Ъ). Равномерная

сходимость и оценка (3) функции ва,з) позволяют доказать

следующее утверждение:

ТЕОРЕМА 1.1. Для любых а, 13 € (0,1) функция уШ =

=СЕЫ .х)а),где х(•)€С(а1Ъ), представима в виде уИ)=а-а)*у-а 1 р

х(Ь-г)1'^ уа) , где у(.)£С(а,Ъ).

Рассмотрим линейное пространство Я . таких функций

а > р

у(-)€С(а,Ъ), что

I уа)\

вир ---т-- <00 Га, $€(0,1) ).

ТЕОРЕМА 1.2. Оператор Я . действует из пространства

«> р

С(а,Ъ) в пространство В 0 и непрерывен.

», р

В §2 главы 1 изучаются свойства интегрального оператора

1

а а-а )а(ь-г)1 а

Рассмотрим пространство Е непрерывных на [а,Ы функций г(<) таких, что г(а)=г(Ь)=0 . Пространство Е включает в себя все пространства Ба ^ . Установлено:

ТЕОРЕМА 2.3. Оператор Ва действует из пространства Е

в пространство Е .

ТЕОРЕМА 2.4. Функции из множества Вй(ИО образов единичного шара ОС пространства С(а,Ъ) равностепенно непрерывны на любом компакте [а1,Ъ1]с(а,Ъ).

В §3 главы 1 изучается интегральный оператор В ,

Q f

который представляет собой суперпозицию интегрального оператора В и оператора умножения на функцию q( •), т.е.

Сх.

В z=B (qz), z<zC(a,b). Здесь функция q( •) предполагается

Qfа **

непрерывной на отрезке [а,Ы, строго положительной внутри (а,Ъ) и q(a) = q(b) = 0. Справедливы

ТЕОРЕМА 3.1. Оператор В действует из пространства

q, а

С(а,Ъ) в пространство Е и непрерывен.

ТЕОРЕМА 3.2. Оператор Вл вполне непрерывен. Предположим дополнительно, что B(t,s)>0 внутри квадрата (а,Ъ)х(а,Ъ) и является ядром Келлога. Тогда верно:

ТЕОРЕМА 3.5. Оператор Bq л имеет в С(а,Ъ) осцилля-ционный спектр.

В §4 главы 1 доказывается осцилляционность спектра интегрального оператора В

(Bx)(t) =

а

Г q(s)x(s)

B(t,s)-5-5 ds , х£С(а,Ъ).

(s-a)^(b-s)^

Напомним, что функция B(t,s) непрерывна по совокупности переменных t,s на квадрате [а,Ъ]х[а,Ъ], удовлетворяет оценке О < B(t,s) < Ng(t,s) (a<t,s<b) и является ядром Келлога. Относительно функции q предполагается, что q(>) непрерывна на [а,Ы, строго положительна внутри (а3Ъ) и q(a)=q(b)=0. Кроме того, накладывается ограничение на характер нулей

функции q. А именно, предполагается , что функция q(^)

а 1-$ л

представима в виде ца)=а~а) (Ь-Ь) q(t) при некоторой (¡(•)£С(а,Ъ) иа,&€(0,1).

При сделанных предположениях установлено:

ТЕОРБА 4.1. Оператор В действует из пространства С(а,Ъ) в пространство Е 0 и непрерывен.

а г Р

ТЕОРЕМА 4.2. Для любых чисел т,0£(0,1) собственная функция х(Ь) оператора В, отвечающая собственному значению ЫО, принадлежит пространству Е^ Л .

Устанавливается связь между спектрами оператора В и оператора Вд в, описанного в §3.

ТЕОРЕМА 4.3. Спектры операторов В и Вд в совпадают с учетом кратностей.

Данная теорема, а также теорема 4.2 позволяют доказать центральный результат главы 1:

ТЕОРЕМА 4.4. Оператор В имеет осцилляционный спектр.

Глава 2 состоит из двух параграфов (§§5-6). В ней изучаются спектральные свойства двухточечных (§5) и многоточечных (§6) сингулярных краевых задач.

На множестве Вп(а,Ъ) функций хЦ) таких, что х(1)(')€С(а,Ъ), 1=0,п-2 и производная х(п~1)(') абсолютно непрерывна на любом отрезке [а1 ,Ъ11<=.(а,Ъ), рассматривается неосциллирующий линейный дифференциальный оператор Ъ вида

Ъх = х(п) + р1а)х(п~1) + ... + Рпа)х

с суммируемымим на [а,Ы коэффициентами Рг( •) •

В §5 главы 2 для оператора Ь на конечном интервале (а,Ъ) рассматривается двухточечная краевая задача

Балле Пуссена

q(t)

Lx - д -х ( a<t<b ) (4)

(t-a)n(b-t)n

x(a+0)= x' (a+0)=...=x(v~1) (a+0)= 0,

(5)

х(Ъ-0)= x' (Ъ-0)=. ..=x(v~1) (Ъ-0)= 0 (v+Tj=n, v>1, г)>1).

Здесь /¿-спектральный параметр и функция q(t) предполагается непрерывной на отрезке fa,bi , удовлетворяющей неравенству (-1 )\(t)>0 внутри (а,Ъ) и равенствам q(a)= q(b)= О .

Наряду с оператором L рассмотрим интегральный оператор

гь q(s)

(Ax)(t) = Г G(t,s)-x(s)ds ,

I (s-a)n(b-s)n

где G(t,s) - ядро интегрального оператора (т.е. функция Грина), обращающего краевую задачу Lx=f при краевых условиях (5).

Введем два пространства функций: Еп и smf.

Обозначим через Еп множество функций x€Dn(a,b) , удовлетворяющих краевым условиям (5) .

Обозначим через множество функций х(•)€С(а,Ъ)

\x(t)\

таких, что sup --——--rr-r- < a> ( а,Ш0,1) ) .

t€(a,b) (t-a^^^ib-t)^

Отметим, что v=7)=1 пространство ш1 совпадает с

пространством Я 0 , введенным в главе 1. Доказана

ТЕОРЕМА 5.2. Оператор А действует из пространства

Еп в пространство т1 и непрерывен.

Установлена связь оператора А с оператором В,

введенным и изученным в главе 1 (§4).

ТЕОРЕМА 5.3. Спектры операторов А и В совпадают с учетом кратностей, причем собственные функции х. и х„

а Ь

операторов А и В соответственно, отвечающие одному и тому же собственному значению Х0 , связаны соотношением хАа) = иа)хва), где иа) = а-а)у~1 съ-о™.

Выше было установлено (теорема 4.4 главы 1), что оператор В имеет осцилляционный спектр. Отсюда вытекает:

ТЕОРЕМА 5.4. Пусть функция q( t) удовлетворяет оценке \яа)\ < са~аР(Ъ~1)х при некоторых положительных константах С, тех. Тогда оператор А имеет осцилляционный спектр.

Установлена связь между собственными значениями и собственными функциями оператора А и краевой задачи (4), (5).

ЛЕША 5.4. Множество собственных значений -Сд&} краевой задачи (4), (5) и множество собственных значений {Х2г> оператора А , за исключением нуля, связаны следующим соотношением: для любого собственного значения д^ краевой задачи найдется собственное значение оператора А

такое, что д&= 1/% , и обратно. При этом собственным значениям ц , Х^ краевой задачи и оператора А соответственно отвечает одна и таже собственная функция х(Ь) .

В силу леммы 5.4 из теоремы 5.4 вытекает, что краевая задача (4), (5) имеет осцилляционный спектр (теорема 5.5).

В §6 главы 2 рассматривается сингулярная краевая задача с многоточечными краевыми условиями Балле Пуссена:

Ъх = д-х ( а<КЬ ) , (6)

а-а)п(ъ^)пиа)

х(а.)= х' (а.)=...=х ь (а,)= 0 (1=Т7т; п&2), (7)

т-1 у

где =п, а=а,<а<:...<а =Ъ и иЦ) = | а~а.) 1.

12 т * 12 т » о ^

Функция ца) предполагается непрерывной на [а,Ы,

V

удовлетворяющей условиям q(a)=q(Ь)= 0, (-1) тц(1)>0 внутри (а,Ъ) и 1дШКт-а)г(Ъ-г)6 при г,8>0.

Вводится интегральный оператор А, обращающий краевую задачу (6), (7), и изучаются его свойства.

В этом параграфе рассуждения проводятся по той же схеме, что и в §5, с использованием результатов главы 1. Устанавливается связь между множеством собственных значений и собственных функций оператора А и интегрального оператора

B, введенного в главе 1.

ТЕОРЕМА 6.3. Спектры операторов А ж В совпадают с учетом кратностей, причем собственные функции хА и хв операторов А и В соответственно, отвечающие одному и тому же собственному значению X , связаны соотношением хАИ) =

1 ГП

= и.а)хла), где илг) =- а-а.) .

1 в 1 а-а)(ь-г) 1=1 1

Используя осцилляционность спектра оператора В доказываются осцилляционные свойства спектра оператора А:

ТЕОРЕМА 6.4. Пусть функция дШ удовлетворяет оценке

при некоторых положительных константах

C, х и эе. Тогда спектр оператора А состоит из бесконечной последовательности вещественных положительных простых собственных значений Х0> X1>... , сходящейся к нулю. Если Хк

соответствует собственная функция то функции ф^И) =

= <9ка)/ и1а) обладают следующими свойствами:

а) имеет внутри (а,Ъ) точно к нулевых точек и все они являются узлами ( к = О, 1, ...) ;

б) при каждом к между любыми последовательными нулями из (а3Ь) находится точно один нуль Фк(ш) (перемежаемость нулей);

в) последовательность образует интерполирующий

ряд (ряд Маркова) на (а,Ъ) , т.е. при каждом к система <Ф1>о есть система Чебышева порядка к на (а,Ъ) .

Аналогично §5 устанавливается связь между собственными значениями и собственными функциями оператора А и краевой задачи (6), (7) и доказывается следующее утверждение:

ТЕОРЕМА 6.5. Пусть функция удовлетворяет оценке

\<^(t)\<D(t-a)Ъ-Ьпри некоторых положительных константах С, т и ае. Тогда спектр краевой задачи (6), (7) состоит из бесконечной последовательности вещественных положительных простых собственных значений ц0< ... . Если

соответствует собственная функция то функции Ф-^а) -

- (Рка)/ и1а) обладают свойствами а)-в) теоремы 6.4.

Глава 3 состоит из двух параграфов (§§7-8). В §7 на отрезке [0,1] рассматривается уравнение

Ъх = К^(г)х (8)

( ) п~1 ( )

для дифференциального оператора Ъх = х1п; + £ р а)х(т->

т=0

с непрерывными коэффициентами Рпа)- Предполагается, что

f(t) непрерывна и положительна на отрезке 10,11, за исключением конечного числа точек £, 1=1,га. В точках функция / либо обращается в нуль, либо имеет суммируемую особенность. Уравнения (4) и (6) (при u(t)'zO), изученные в главе 2, являются частными случаями уравнения (8). Так, например, если положить

f(t) = %-uVt/ , t(1-t)

то получим уравнение вида (4). При соответствующем подборе функции f(t) можно получить и уравнение (6). Установлено:

ТЕОРЕМА 7.1. В каждой точке t$10,13, в которой функция / определена, не обращается в нуль и имеет производную порядка (п-1), уравнение (8) приводимо к виду

у(п) + ПЕ ръ(х)у(ю =Ху (9)

k=0 R

с непрерывными в точке % = x(t) коэффициентами

Пусть £ - точка отрезка [0,1], в которой функция / либо обращается в нуль, либо не определена. Положим % = %(£).

Поведение коэффициентов Pk(t) в окрестности точки %0 описано в следующей теореме:

ТЕОРЕМА 7.2. Коэффициенты pfe(%) дифференциального уравнения (9) в окрестности точки xQ представимы в виде

= г 11 \n-2t ' № >

где - некоторые непрерывные в окрестности точки %0

функции, за исключением быть может самой точки % .

При дополнительных предположениях относительно функции fit) показано, что hk(x) имеют конечный и отличный от нуля (при кф0) предел в точке % .

Пусть f(t) = it-£\~ah(t), где оt<1, афО и функция h(t) п-1 раз непрерывно дифференцируема и строго положительна в некоторой окрестности точки Тогда верно следующее

утверждение:

ТЕОРЕМА 7.4. Функции к = О,п-1 непрерывны в

окрестности точки xQ, причем Н^х^фО при кФО и а ф -13 -2, ... , -п+к+ 1.

Пусть функция / непрерывна и строго положительна на отрезке [0,1J, за исключением конечного числа точек &2< < ... < g . Кроме того, пусть в каждой точке t , отличной от точек ... , £m, функция fit) дифференцируема п-1

раз, а в окрестности каждой точки (k=TJh) представима в

виде fit) = It-tj h(t), где Ф 0, Ф О и ак<1.

Положим х = к^ТТт,; и(х) = (х-х, )(x-xj.. .(х-х ).

& & 12т

Тогда верно:

ТЕОРЕМА 7.5. Уравнение (8) приводимо к виду

У

, л h �