Спектральные свойства функции Грина. Интегральные преобразования с конечными пределами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Va правах руколясл

ЖПШЮВИЧ Ольга Вльегта

' СПККТРАШШ СВОЙСТВА ФУНКЦИИ ГРйНА. ИНГЕГРЙЛЫКЗ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С ЮНЕЧШЗ ПРЕШЛИ!!

01.01.02 - лзйорвнцз&шпго ураетишл

Работа шпоянеиа на кафедре дифференциальных уравнения Воронежского государственного университета.

Научный руководитель: Дэктор физико-математических наук, профессор Киприянов И.А.

Официальнда оппоненты: Дэктор физико-магеиагическкх наук, профессор Дврр В. Я.

Доктор физико-магештических наук, профессор Хроков А. П.

Ведущая организация - Институт математики в механика УрОРАН

Защита состоится "_"_ 1995 года в час.

а ауд._ на заседания диссертационного совета К 064.47.01

при Удмуртском государственном университете по адресу:4260Э7, Икавск, ул. Красногеройская, 71, УГУ

0 диссертацией йогою ознакомиться в библиотека Удмуртского государственной» университета

Аьырафщш разослан "____"______________ 1995 года

"''•Чч

^¡.иог^ацялшои» г.иьм» ^'/{(¿к . I'*/- Иванов А.Г.

овдя ХАРАХтткггт РАбош

Актуальность темы. Большинство современных разделов математической фяэики и спектральной теория краевых задач мотивируются нуадамя теоретической и прикладной физики. Один только метод Фурье стал источником обобщения на самые широкие классы задач и операторов. Однако метод конечных интегральных преобразований (КИП), в определенном смысле родственный методу Фурье и достаточно широко распространенная в приловениях, обоснован пока лишь для самосопряженных краевых задач, причем в основном второго порядка. Для уравнений старзшх порядков с многоточечными ^граевнмд условиями возможность применения метода КШ пока не сооуадалась. А' такие задачи возникают . ухе пря описании колебания многоопорноЯ балки, причем эти задачи оказываются переопределендани.

Нпзавистю от потребностей физики классические многоточечные задачи были введены около столетия назад, начиная с работ Коши-Николетти. Ряд фундаментальных результатов для таких задач описан ужо в книге Чамаркяиа (1917 г)..'Активадаяинтереса к тагам задачам проявилась после результатов Пойя и Еалле-Цуссена. Последний связал многоточечную краевую задачу с проблемой интерполирования, выделив специальный класс краевых условий, который теперь косу его имя. К настоящее времени задача Валлв-Пуссена достаточно хоропо изучена в основном в работах иаевсгаи, воронежсют, пермских . математиков. Осщшиикогащэ спектральные свойства для . задачи Валлэ-Пусссна изучались й.Г.Крейном С двухточечный случая;, ю. В.Покоргам ("многоточечный-случай^, для порзопрэделенного случая подверглись анализу в работах В. Я.Дарра.

Возникающие при обосновании метода КИП вопросы о структуре резольвентной функции Грина в окрестности ее полюсов и о-ве соответствующих свойствах по второму аргументу ранее для многоточечных задач не обсуждались. .

Цель работа. Анализ функции Грина обыкновенного

дифференциального оператора (I - XI) при многоточечных краевых условиях типа Балле-Пуссена. Изучение регулярности по I и а этой функции в окрестностях особых прямых, а по Я - в окрестности полюсов.

Методика исследования. В работе испол зувтся классические и современные методы качественной теории и анализа. В частности, при изучении распределения нулей кусочно-гладких функций модифицируется метод обобщенной теоремы Ролля.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. Наиболее важные из них:

для классической задачи Валле-Пуссена изучены аналитические свойства функции Грина ва,в,\) . Установлена ыороыо^иость и получено точное представление в окрестности полюса произвольной кратности;

- для переопределенной задачи Валле-Пуссена установлена (в ^осциллирующем случаев точная связь менду кратностями ее нулей и дьч||...лами но о-Звк.., переменным; .

- для переопределенной задачи получен аналог представления М.и, Келдыша для главной части ва,а,К) в окрестностях полюса;

- пшикляью обоснован метод КИП для математической модели Ы)1. )Гоо1юрно11 балки.

в раС оте свойства транспонированной функции Гриш позволяют описать траненошршалную задачу, другими (^у|ии(иошлыю-а)илитичвспиМи; методами найденную В.Я.Дерром в качеотье (¡оцмальь»-сопряженной к исходной.

Теоретическая я практическая значимость. Диссертация

носит теоретическая характер. Ее результата и метода могут найти-лрименениэ в общей теории краевая задач для обнкновешст дифференциальных уравнения, а так то при исследования конкреткшс. неегшдартннх задач с кусочно-гладкими и разрывшая решениями.

Апробация работа. Результата дя-и-сертацкл докладывались ва Воронежских штенйтичамш иколах (1992 г» 1993 т,1994т,1995т), на семинаре И.А.Киприянова, на семинаре В.Л.Тонкова, ва сеюшарэ по качественной теории краевых задач (йн-т иатематнгог

: вгу;.

Публикация. По теме дасертации опубликовэдпг работа И - 6]. Йэ совместных работ [1,4,53 э диссертация вклотены результата, полученное лнчно автором.

Объем и структура работ». Диссертация содержит 139 страниц текста и состоит из введения я Трех глав; разбвтнх на .10, параграфов. Библиографический список литература содержат 69 наименований. Нуко^ оцпя параграфов сквозная.. -

СОДШЧШШ РАШШ В первой главе изучаются аналитичвекиа свойства функции Грина-:, задачи Валле-Цуссеш.

Вначале (§ 1) выясняется роль этих свойств в обоснования метода конечных интегралышх преобра-з-овамий; Далее .(' 2) устанавливается мероморфность по X функций Гриш ва,в,\) задачи Валле-Пуссена дои оператора (I - ХГ), лороадашого уравнением

1х » р/т'""0* ... * рпШ« » ? (о < г < ь)

с достаточно гладкими на (а,Ы коэффициентами р(Г . и при условиях

x(Zt) * х'(1{) "... = X(v= 0 . (2)

где

а - £а< £,< ... < Ея< Ь

. Предполагается, что кратности нулей i>t (í = 0,ml) в краевых условиях С2) в точках ¿t - целые неотрицательные, причем vo> 1, v f> 1 и суммарная кратность |vl =* vq+ ... + veM

равна а . Задача (1},(2) очевидным образом нерегулярна и ее функция Града G(t,a) имеет особенности по на прямнх э = ík (к =Т7т). В свази с агам в ¡9 проводятся анализ G(t,a)- в окрестности этих прямых. Показывается, что при каждом фиксированном i функция h(a) = G(to,a) имеет непрерывна при з производные до порядка п, а при всех в = £h непрерывность втих производных по a гарантирована до порядка п - vk~ 1 . Кроме того, функция Ыв) имеет в точках в = а и е = b односторонние'нули кратдастей п - v к. п - ve+( cootboi í'bohho. Кроме того, при a ¿ t и при а А функция

h(a)' удовлетворяет формально сопряаенному к (1) однородному уравнению и имеет единичный скачок у (n-f)-й производной в точка а « i. Вое это дает воздакность описать краевую задачу в классе фут. Я, теряициж ладность в точках t gt , для которых транспонированная к G(t,a) функция ffíVt,8j « G(a,t) оказывается функцией Грина. Такую задачу ыы называем далее транспонированной к исходной. ъ.|1шем ее более точно.

Полагая £ = *£,,...,£> и Г = {*.,...,Т> Гздеоь Т,-

i ni 7 ni |

«ьаые неотрицательное числа}, обозначим через Ш1.1') щиотранство функций, каадая из которых. п раз непрерывна дифференцируема в точках „ и £( , а ъ наядой из тонок £t щшэт

непрерывные производные до порядка п-Т1~1 включительно. Силен, что функция и( •), принадлежащая В(1,Т), являемся обобщенным решением /далее говорится - просто решением; сопряженного к (1) уравнения

п

Ь*и = (-1)"и* * 1{-1)п~*(ркц)ы~м*г (г € 1,(а.Ы). (3)

>/0

если и(Ц удовлетворяет атому уравнению при каждом * * (к=1^Ш). Для в того уравнения в К(£,Г> ставятся краевые условия г(а) « г'(а) = ... = г(п'У(а) = О , г(Ъ) = г'(Ъ) = ... = г(п~^Г1)(а) = О . (4)

Эта задача нами названа транспонирова-нтоЯ к (1),(2). Нес. южно проверяется, что она является формально сопрятанной к задаче (1),(2) в том смысле, что 11л,м) = (х,1*и) для дюбнх х € СГа.М, и € В(МН , удовлетворяющих соответственно условиям (2) и (5). Скалярное произведение понимается как интеграл- от' обычного произведения функций, заданных всюду, кроме точек £{. Выражение Ь*иШ нами понимается без всяких процедур обобщенного дифференцирования, как функция, определяемая во всех точках % € [а,Ъ], кроме точек * = ЕА (к.= <7Ш.

В последнем, четвертом параграфе изучается структура, Оа,в,Ю в окрестности ее полюса. Бслн Л = X* - собственное значение кратности И оператора Ь при краевых условиях (2), то в силу мероморфности функции ва.в.Х) она допускает представление

япа,в) я.п.э) fít,з^

- ° , „ + *»< "1 «— + fl.it,ва). (5)

где G<Гt,aД} регулярна по X в окрестности X = X*. Обозначим

чорео

каку|>-либо каножиескую сиотему собственных и присоединенных

функций L , соответствующих X*.-Центральной в $ 4 является

ТЕОРЕМА 4.2. Для оператора L* в E(t,V) при краевых условиях (4) существует такая каноническая система

*tt*t-l<a}i -г'5*». ••*• (tsf^p¡ Я}

собственных и присоединенных функция. для собственного значения X* , что функции

. р Я^-í-V

* I Г 9Jtit(t)\M(a) i»f íi-0

определяют главную часть представления (5). Эта теорема для случая двуточечной задачи, когда и = О , в точности совпадает с соответствующим результатом К.В.Келдава

В глгшэ 2 обсуждается переопределенная задача Валлв-Пуссена, отличающаяся от классической (1),(2) избытком краевые условий, когда |v| > п к когда, решение ищется в пространстве типа В(£,Т) с иекоторш наперед заданным набором Г » -{Т1....,Тп} разрешенных дефектов в точках ít . Предполагается всвду, что суммарный дефект "í1+...+"CK связан о суикарюй кратностью

условий (В) fv| вyo+"*+vM+f равенство»!

|v¡ п + |Г| . ' (6)

Строится представление функции Грина с помощьв базиса обобщад»&х решений из В(1,Т) однородного уравнения , построенного в виде канонических сплайнов ( 5 5). Дальнейший аяалиэ в главе £ проводятся для случая, когда однородное уравнение la * 0 не осциллирует з классическом смысле, т.е. люб э eró нетривиальное решение из Onía,bJ дашет не более п - 1 нулей с учетом их кратности, предполагается, что

■т^Ч-ivi* , т® iviy^V d<jaai), (7)

где положено

í) Келда Н.В.// ДШ СССР, 77 (1951)6 С. 11-14

1Пк

5 = I \ . м* - 8 V,

0 Л'1 1 л 1-1 1 •

Показывается, что в в то уравнение не осциллирует в

обобщенном смысле. В Я(£,И размерность пространства решении уравнения 1х = 0 равна а |Г|.

Теорема 6.2. Для любого нетривиального решэ)ия хШ < Е(1,Т) уравнения Ъх = О суммарная кратность нулей не превосходит п * |Г1 - 1.

Следствие 1. Из условия классической неосцилляции I следует невырожденность любой задачи Валле-Пуссена в Е(1,V).

Следствие 2. Любая фундаментальная система решений уравнения Ъх = О а 8(1,Г) является системой Чебыщева порядка я + 1Г| 1 . '

Введем обозначения:

и0Ш- ; «„Ш-П^-б/1 ^ (в)

» 1-0 1-1 Теорема б.З. Если > 0 , то соответствующее

решение ха) из ЯС£,Г.) переопределенной задачи (1).(2) имеет нули

только в точках £{ , причем, кратности втих нулей в точности

раины V. .

1 ха)

Следствие. Функция га) * -ц-^ может быть доопределена

в точках до непрерывной ва 1а,Ы функции, на тещей нулей.

Теорема 6.4. В условиях теоремы 6.3. решение гШ имеет

дефекты только в точках £4 , причем эти дефекты в точности

совпадают с соответствующими параметрами Т{ пространстве

«е.П .

Здесь и далее под. дефектом (гладкоспи в точке £ ( (а,Ь) для кусочно-гладкой на Га.Ы функции хИ) понимается число Т(х.Ц, равное наименьшему из знач; шй к, при которых все производные до порядка (п - к - 1) вюшчителы» непрерывны в

>ке £ . Экстремальные свойства крайностей к дефектов решения 1-Меренцкальных неравенств, описываемые теоремами 6.3, 6.4, переносятся в И на функцию Гриш C(i.a) переопределенной .чадачи Балла-Пуссена.

Теорема 7.3. При каждом а = во (4 £t; функция g(t) = G(t,aQ) обладает следуадими свойствами:

a) gft) обращается в нуль только в точках £t , причем ' rfg,£t) = vt ( t - 0,..r,m1 );

b) g(t) икеет дефекты только в точках t = а и t = £

о I

( I = 1,...,т) , причем

Т(8,зо) = 1 , ïfs,£t; (1 = 1,...,п J .

В 5 8 глава 2 аналогичное свойство устанавливается для функции G(t,a) по переменной а- В теоремах В.3-8.5 . показывается, что функция G(t,e) при каздом t / £h имеет по переменю® э дефекта в точках а = £t (t ~ i,rj, в точности равные vt, при з а*0 из-* Ь-0 киевт кратности нулей, равные п--р я n-v ~ соответственно, а в точках . s = £. -

О ft+ 7 »

нуля, кратность которых в точности равна vt (I = Г^Ю , прячеи других нулей нет. Точную информацию о поведении знака G(t,a) ш квадрате а < t,a. s Ь дает ТЮРЕМ 6.6. Функция G(t, a)

m'a) в uJïWJ&l ' (~i} <*>

мотет бить доопределена на прямых t = Et, f> = ( I,к « J до строго положительной н непрерывной на всем квадрате о < t,o < Ь Сэа исключением диагональных точек fE(,£4Jj функции.,

Девятый параграф работа посвящен анализу аналитических свойств Функции Грина 0г*-,о,К) оператора (L - XI) в при условиях Валла-Пусоена ) Предполагается, жт иронзо, что

Ivl ■» n + |Г|. Показывается (теорема 9.1), что функция Q(t,o,X) иеронорфна по X . Это позволяет представлять ее в окрестности полоса Л « Л* в тд& (6), где И - кратность соответствующего собственного значения X* . В терминах корневых цепочек для исходной и транспонированной задач устанавливается точный аналог теоремы 4.2.

В последнем S 10 основные результаты применяются дои обоснования метода конечных интегральных преобразований для случая, охБатывавдего математическую модель упругих деформаций ююгоопордаго стержня.

В закпотение автор внракает благодарность своему научному рукоЕодател!) проф. И. А. Кипрпянову за ншыашш и поддержу, а такие М. Г.Завгородкзму за полезные советы.

Основные результаты диссертация опубликованы в работах;.

1. ЗавгородннЯ И.Г.. ЛитнаноЕич О.Ю., Аналог одной теоремы Келдыша для многоточечной задачи Валла Пуссена // Докл.Акад.наук. - 1992.-7.326, Н 4, с.509-592

2. Литианович O.a., Аналог одной теореин . Келдаш для многоточечной задачи Балле Пуссена // Тезисы докл., Информационные технологии и системы, технологические задача механики сплошных сред. Воронен, 1992 г., о.100

3. Литаанович О.Ю., 0 переопределенной задаче Валле Пуссена //Тезисы докл., Понтрягинские чтення, Воронен, 1993 г, с. 121

4. Киприянов И.А. .Литмянович О.Ю., О нбосцклдирущих конечномерных пространствах негладких Функций // Тввион докл , Современные проблемы ыеханшя и математической физики, Вороша, 1994 г.,с.47

5. Завгородошй И.Г., Литыанович ).Ю., О конечном интегралыюн преобразовании в аволщиоииоЯ вадаче с многоточ&чнши

условшши //.Щ, зныняя матешгнчвская иксшз. Воронен, 1994 г., с. 46

Б. Литвадавич О.Ю., О нелинейных теоремах сравнения для некоторых классов нестандартных задач // Тезисы■■ докл.. Воронежская З1шн. штеа. школа, "Современные проблемы прикладной математики и механики", Вороша, 1995 г.,с. 14В