Новые дифференциальные уравнения в канонических задачах дифракции тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

004612392

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, физический факультет

На правах рукописи

Шанин Андрей Владимирович

НОВЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В КАНОНИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ ДИФРАКЦИИ

Специальность 01.01.03 — математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2010 г.

1 1 НОЯ 2010

004612392

Работа выполнена на физическом факультете Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор, член-корр. РАН

Миронов Валерий Леонидович (Институт физики им. Л.В. Киренского СО

РАН)

доктор физико-математических наук, профессор

Нефедов Евгений Иванович (Институт радиотехники и электроники им. В.А. Ко-тельникова РАН)

доктор физико-математических наук, профессор Лялинов Михаил Анатольевич (СПБГУ)

Ведущая организация:

Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова РАН

Защита диссертации состоится

"_(.?.".iif.^^Lj201®. г. в /г^часов

на заседании диссертационного совета Д 501.002.10 при физическом факультете Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, дом 1, строение 2, физический факультет, аудитория а ФА .

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан „JZ„ ou^SkjS 20l5L г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н, профессор .

Грац Ю.В.

Общая характеристика работы

Актуальность работы

Задачи теории дифракции имеют как фундаментальное, так и прикладное значение. С точки зреиия фундаментальной науки это задачи математической физики, теоретической акустики и электродинамики. Прикладное значение теории дифракции заключается в ее использовании при синтезе антенн, расчете волновых полей в волноводах и резонаторах, изучении процесса рассеяния волн на различных препятствиях (например, для нужд акустодиагностики), решении обратных задач для дифракционной томографии и распознавания образов. Успешный анализ таких задач обычно возможен только в коротковолновом приближении. Однако существует узкий класс задач, называемых каноническими задачами теории дифракции, аналитическое решение которых известно при любых длинах волн. К каноническим относится, например, задача Зоммерфельда о дифракции на полуплоскости и задача о дифракции на клине с импеданс-ными граничными условиями (решенная Г.Д. Малюжинцем). Точные решения этих и некоторых других задач используются для построения приближенных решений более сложных задач в рамках методов геометрической теории дифракции, физической теории дифракции или некоторых других. Каждая из этих теорий основывается на том, что канонические элементы расположены на большом расстоянии друг от друга, т. с. процесс дифракции на них происходит независимо. Кроме того, предполагается, что достаточно учесть лишь несколько последовательных актов дифракции.

Предмет настоящей работы — дифракционные задачи, лежащие на границе между каноническими и "обычными". С одной стороны, для этих задач не удается построить решения в замкнутой форме. С другой стороны, для этих задач удается вывести аналитические соотношении, справедливые при любых соотношениях длины волны и размера рассеивателя. Данные соотношения (уравнения) существенно расширяют возможности получения численных решений.

Среди задач, рассматриваемых в работе, наиболее актуальны задачи, связанные с дифракцией на конусах. Вклады конических точек необходимо учитывать, если область наблюдения не освещена геометрически отраженными волнами или волнами, рассеянными ребрами рассеивателя. Сложность таких задач связана с тем, что задачи трехмерны, а рассеиватели полубесконечны. Это затрудняет применение метода граничных элементов. Наиболее современные методы вычисления дифракционного коэффициента для конических задач связаны с отделением радиальной переменной и построением интегрального представления поля с помощью преобразования Ватсона. Однако даже применение столь развитой техники оставляет ряд вопросов открытыми. Достаточно

отметить, что за последние десять лет комиссия по полям и волнам Международного союза по радиофизике (Ш131) дважды объявляла конкурс на решение задач, связанных с дифракцией на конусах.

Цель работы

Цель работы заключается в построении новых методов решения дифракционных задач и в выводе новых аналитических соотношений для этих задач.

Методы исследования

В работе используются следующие подходы к дифракционным задачам.

1. Двумерные скалярные дифракционные задачи с кусочно-прямолинейными идеальными границами сводятся с помощью метода отражений к задачам распространения на разветвленных поверхностях.

2. Для каждой задачи на разветвленной поверхности строятся краевые функции Грина. Это поля источников, локализованных у точек ветвления. С помощью формул расщепления решение задачи о рассеянии плоской волны выражается через краевые функции Грина.

3. Доказывается, что вектор, составленный из всех краевых функций Грина задачи, удовлетворяет системе координатных уравнений, представляющей собой многомерное дифференциальное уравнение (или дифференциальное уравнение с многомерным временем). В качестве "многомерного времени" выступают пространственные координаты.

4. Доказывается, что вектор, составленный из диаграмм направленности краевых функций Грина, удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению. Данное уравнение в работе называется спектральным. Независимой переменной является угол рассеяния.

5. Показано, что изменение геометрических параметров задачи соответствует изомоиодромии спектрального уравнения. В результате удается применить развитую технику исследования таких изомонодромий и построить эволюционные уравнения для решений спектрального уравнения и для его коэффициентов.

6. Координатные и спектральные уравнения эквивалентны. С помощью интегральных преобразований типа Зоммерфельда показано, что по решению спектрального уравнения удается построить решения соответсвующего координатного и наоборот. Выводятся условия, накладываемые на асимптотики решений спектрального уравнения, гарантирующие, что у соответствующего координат-

ного уравнения имеется набор решений, удовлетворяющих всем физическим ограничениям.

В результате применения данных методов дифракционная задача сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению с рациональными коэффициентами, в которые входят неизвестные константы. Для нахождения констант используются априорные данные о связи асимптотик решения в различных особых точках, т.е. формулируется обратная задача связи для данного уравнения. В простейших случаях предложены и реализованы эффективные численные методы решения обратной задачи связи и отыскания искомых диаграмм направленности.

Практическая ценность работы

Результаты работы могут использоваться при расчетах дифракционных полей. Использование обыкновенных дифференциальных уравнений вместо традиционных для таких задач интегральных уравнений или уравнений в частных производных приводит к значительному снижению времени счета и потребности в машинной памяти.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на следующих конференциях:

Annual International Conference "Days on Diffraction"(S.Petersburg) 1999, 2000,

2001, 2002, 2003, 2009;

Workshop on mathematical aspects of diffraction by wedges, cones and other canonical geometries (Manchester, UK) 1999;

International conference on Modern Group Analysis MOGRAN 9 (Moscow) 2002; Advanced research workshop "Surface waves in anisotropic and laminated bodies and defect detection" (Moscow) 2002;

The 8th International Conference on Mathematical and Numerical Aspects of Waves (Reading, UK) 2007.

The 9th International Conference on Mathematical and Numerical Aspects of Waves (Pau, Prance) 2009.

The 9th International Conference on Theoretical and Computational Acoustics, (Dresden, Germany) 2010.

Кроме того, работа была представлена на семинаре "Электродинамика и техника СВЧ, КВЧ и оптических частот" Московского научно - технического общества радиотехники, электроники и связи им. А.С.Попова, на семинаре ''Дифракция и распространение волн" С.Петербургского отделения Математи-

ческого института РАН им. В.А.Стеклова, а также на семинаре "Граничные задачи электродинамики" на физическом факультете МГУ им. М.В.Ломоносова.

Публикации

Содержание диссертации опубликовано в восемнадцати работах. Примерное соответствие между главами диссертации и статьями следующее: первая глава — [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]; вторая глава — [8, 9, 10, 11]; третья глава — [12]; четвертая глава — [13, 14, 15); пятая глава — [16, 17]; шестая глава — [18].

Журналы, в которых опубликованы работы [1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 16, 17, 18], включены в список Scientific Citation Index Expanded. Журнал, в котором опубликована работа [11], включен Перечень ВАКа.

Журнал, в котором опубликованы работы [4, 10, 15, 21], удовлетворяет достаточному условию включения в Перечень ВАКа.

Кроме того, материал диссертации существенным образом опирается на технику вывода функциональных уравнений, развитых автором ранее для клиновых задач: [19, 20, 21, 22, 23], три из которых включены в список ВАКа, а одна — в Scientific Citation Index Expanded.

Работы [1, 2, 3, 5, 6, 7, 13, 23] выполнены с соавторами.

Объем диссертации

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, приложения и списка литературы из 173 наименований; содержит 291 страницу машинописного текста, 77 рисунков и 3 таблицы.

Содержание работы

Примеры основных соотношений и уравнений, полученных в работе

В качестве примера возьмем задачу о дифракции плоской волны на решетке из двух параллельных полос, расположенных в одной плоскости. Именно этот пример рассматривается подробно в первых трех главах.

Будем рассматривать двумерную задачу дифракции, т. е. ограничимся сечением пространства плоскостью, перпендикулярной образующим полос. Сечением полос будут два отрезка, лежащих на оси х. Геометрия задачи показана ниже на Рис. 1. На плоскости выполняется уравнение Гельмгольца

Ли 4- кЦи = 0. (1)

На полосах выполняются граничные условия Дирихле. Вместо Дирихле можно задать граничные условия Неймана, однако импедансные граничные условия задавать нельзя — построенная теория на этот случай не обобщается.

Рис. 1: Геометрия задачи о двух полосах

Основная функция, описывающая рассеяние в данной ситуации — это дифракционный коэффициент S, зависящий от угла рассеяния <р и угла падения ф. Функция S(ip) тр) определяет асимптотику поля в дальней зоне в соответствии с формулой

pifco Л—¡7Г/4

и«(я,р) = --щ^^а+ося-1)).

Перечислим основные соотношения, полученные дли данной задачи.

а) Формула расщепления

Введем четыре краевые функции Грипа vl(x, у)... v4(x, у). Каждая из этих функций представляет собой поле, порожденное точечным источником, расположенным вблизи одной из вершин рассегшателя. Напомним, что рассматривается двумерная задача; точечный источник в ней соответствует линейному источнику, расположенному вблизи края полосы в трехмерном пространстве. В двумерном сечении край полосы есть конец соответствующего отрезка. Будем называть его вершиной.

Расположить источник непосредственно в вершине нельзя, поэтому для корректного определения поля строится предельный переход. Для каждого из четырех полей vm, тп = 1...4 расположим источник на расстоянии е от соответствующей вершины (см. Рис. 2). Силу источника выберем равной (тг/е)1^2.

Решая соответствующие дифракционные задачи и переходя к пределу е —> 0, получим поля V1 (х, у)... и4(х, у). Этим полям соответствуют диаграммы направленности й1^)... 54(|^>). Отметим, что найти краевые функции Грина не менее сложно, чем решить исходную дифракционную задачу.

(-источник

т = I

rv

,= г

т — 2 т = 3 т = 4

-*- е л.

£ -*-

Рис. 2: Положение источников для определение краевых функций Грина

Формула расщепления связывает решение исходной задачи с краевыми функциями Грина:

S( . ^ЫЗ'М - ^teW) + s3(y)s3(ip) - (2)

cos tp "Ь cos ф

Таким образом, функция зависящая от двух переменных, оказывается

выражена через несколько функций Sn(<p), зависящих от одной переменной.

6) Спектральное уравнение

Перейдем от угловой переменной ip к волновому числу к. Вместо функций Sm(ip) будем рассматривать функции

с т1т\

Wm{k) = -, у' , к = —fc0 cos V-fco sin <p

Построим вектор

' W1 \ , W2 W=l 1УЗ

W*/

В работе показано, что этот вектор удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению

(к) = К(к)Щк), (3)

ак

которое будет называться спектральным. Матрица коэффициентов К имеет весьма простую структуру:

¡а! О К(к) = | °0 1а> 0

+ гЛ-К+ + (4)

к-к0 к + ко

Здесь ах... а.4 — координаты вершин рассеивателя по оси х, К1*1 — матрицы, не зависящие от к (т. е. константы). Эти константы необходимо подобрать таким образом, чтобы уравнение (3) имело решение, обладающее нужными свойствами.

в) Эволюционные уравнения

Исследуем вопрос о том, как изменяются решения при изменении параметров рассеивателя, а именно координат вершин а;... ат. Оказывается, такие изменения можно описать с помощью эволюционных уравнений

= АЛУ, (5)

да3

коэффициенты которых имеют вид

А3т,п (к) = + -!-^-• (б)

&ТП

Здесь Л4,п — элементы матриц А-*, а — элементы матриц ЮК Предполагается, что второе слагаемое равно нулю при тп = п.

С помощью условий совместности спектрального и эволюционных уравнений

можно получить замкнутые уравнения, описывающие эволюцию неизвестных констант, входящих в матрицы К*.

Эволюционные уравнения могут быть полезны в следующих обстоятельствах. Как уже отмечалось, для того чтобы воспользоваться спектральными уравнениями, необходимо особым образом подобрать в них константы. Процедура их подбора достаточно сложна. Вместо этого можно подобрать константы один раз для какого-то набора геометрических параметров ... о< (например, при достаточно больших длинах отрезков можно использовать коротковолновое приближение), а затем найти коэффициенты спектрального уравнения для нужного набора а!... а^ путем численного решения эволюционных уравнений.

г) Координатные уравнения

Ранее все результаты касались диаграмм направленности 5™ и связанных с ними функций 1Ут. Рассмотрим теперь сами краевые функции Грина у1... V4. Напомним, что эти функции были построены для задачи Дирихле. Добавим к этому набору функции ги1... и>4, которые являются краевыми функциями Грина для задачи Неймана. Их роль полностью аналогична роли функций ьт\ для них так же строится формула расщепления, спектральные и координатные уравнения.

Построим вектор-столбец

и = (г;1, г»2,г|3,и4,го1,ги2,гу3,гу4)Г. В работе показано, что этот вектор удовлетворяет уравнениям вида

Зи „ Зи „, . .

Эх ~ ду~ ' ®

где Х(х, у) И Y(x, у) — матрицы коэффициентов, имеющие достаточно простой вид. Элементы этих матриц — рациональные функции координат х и у. Данные уравнения названы в работе координатными.

Формально координатные уравнения представляют собой систему уравнений в частных производных более громоздкую, чем исходное уравнение Гельм-гольца. Однако изучения свойств этих уравнений приводит к выводу о том, что система вида (8) представляет собой наиболее естественное обобщение понятия обыкновенного дифференциального уравнения на случай двух независимых переменных. Решение характеризуется своим значением в одной произвольной точке пространства. Граничные условия также достаточно проверить лишь в одной точке границы.

д) Координатные и спектральные уравнения в "комплексной" форме

Стоит упомянуть об удобной форме координатных и спектральных уравнений, позволяющей записать коэффициенты в компактной форме. Важной особенностью такой записи является то, что она оказывается универсальной для широкого класса задач, т. е. форма уравнений не зависит от геометрий задачи. Зависимость выражается в порядке уравнения и численных значениях параметров, входящих в коэффициенты.

"Комплексная" форма записи наиболее естественно вводится для задачи определения краевых функций Грина на разветвтленной поверхности. В работе рассматриваются две такие поверхности. Одна из них — это поверхность для задачи дифракции на паре коллииеарных отрезков. Такая поверхность имеет два листа и четыре точки ветвления. Ее схема показана на Рис. За. Берега разрезов, помеченные одинаковыми цифрами, склеиваются между собой. Вторая

поверхность относится к уголковому отражателю со щелью. Ее схема показана на Рис. 36. Она имеет четыре листа и четыре точки ветвления. Обе поверхности имеют в конечной области только точки ветвления второго порядка. Выведенные уравнения относятся к случаю разветвленных поверхностей с произвольным (конечным) числом листов и произвольным (конечным) числом точек ветвления второго порядка. Считаем, что число точек ветвления равно N. Определим "комплексные" координаты на поверхности с помощью формул

z+ = х + i у, 2_ = х — i у, (9)

введем комплексные координаты точек ветвления

Рт = Хт + iym, (10)

а также локальные координаты

~m+ — Z+ ~ Pmi zm- — z- ~ Рт- (11)

Определим краевые функции Грина поверхности как функции ит±, удовлетворяющие на данной поверхности уравнению Гельмгольца и условию излучения, а в точках ветвления имеющие асимптотики вида

г r)/-*m+ п^-тг+

«»"W = + + + Otö*) + рег.чл.(12)

ы™-(гя+,гв_) = + + + + Рег.чл.(13)

v^ V71' V71^

где C^ — неизвестные коэффициенты. В выражениях присутствуют регулярные члены, не имеющие ветвления и конечные в окрестности соответствующей вершины. Первый член в каждой из этих формул не удовлетворяет краевому условию Мейкснера и соответствует некоторой конфигурации источников вблизи точки ветвления. Очевидно, на каждую точку ветвления приходится по две краевых функции Грина.

Обозначим диаграммы направленности краевых функций Грина как Sm±(^). Введем векторы

u= (ix1+,...,uA,+,u1-,...,uA'-)T,

и+ = (s1+,..., sN+)T, in = (sl~, ...,sN-)T

В новых переменных координатные уравнения записываются как

^u = Z+u, -u = Z_u, (14)

Ö2+ ÖZ_

где коэффициенты имеют блочную форму

= _ ( (М - P)-1(I/2 + С+) (z+I - Р)-*С1 (г_1 - Р)

с; о

Ъ- (гл-РГЧУг + с:) )■ (16)

Здесь Ci и С+ — матрицы, составленные из неизвестных коэффициентов СЦ!? и С^Г, входящих в асимптотики (12), (13), CI и С+ — матрицы, составленные из элементов (рп — рт)С%1 и (р„ — рт)С™+- I — единичная матрица N У. N. Наконец,

Р = diag(pi,... ,рлО-

Черта сверху обозначает комплексное сопряжение. Спектральное уравнение записывается в форме

¿и» = - (ii + ic++ + i^P + ^fcipc;) и». (17)

Векторы U+ и U~ связаны соотношением

и- =

fco

Матрицы С1, С;, С+, CZ и Р являются константами, т. е. не зависят от координат х, у или угла tp. Эти матрицы зависят от геометрии задачи и от волнового числа fc0.

Важно отметить, что все приведенные соотношения и уравнения являются точными в том смысле, что при их выводе не делались предположения о малости длины волны по сравнению с размерами рассеивателя.

Структура работы

Ниже дается детальное описание содержания каждой из глав диссертации. Глава 1

Первая глава посвящена формулам расщепления. В то время как спектральные и координатные уравнения применимы только к двумерным зоммерфельдо-вым задачам дифракции, формулы расщепления выводятся для гораздо более широкого класса задач.

В начале первой главы формулируется задача о дифракции на двух полосах. Для этой задачи вводятся краевые функции Грина. Для этого используется

предельная процедура, кратко изложенная выше. После этого для задачи о двух полосах выводится формула расщепления.

Основной шаг построения формулы расщепления — применение к волновому полю оператора расщепления. Действие данного оператора па поле должно обладать следующими свойствами:

— оператор должен переводить решения уравнения Гельмгольца в решения уравнения Гельмгольца;

— оператор должен сохранять граничные условия на поверхностях рассеивате-ля;

— оператор должен обращать в нуль падающую плоскую волну;

— оператор должен переводить решение, удовлетворяющее условию излучения, в решение, удовлетворяющее условию излучения.

В случае, если рассеиватель имеет только компланарные поверхности, оператор расщепления можно выбрать в виде суммы константы и оператора дифференцирования вдоль координаты, направленной по касательной к рассеива-телю. Константа выбирается таким образом, чтобы обратить в нуль падающую волну.

Обозначим исходное поле символом и, а оператор расщепления символом Н. Рассмотрим функцию Я [и]. Благодаря свойствам оператора расщепления, эта функция представляет собой решение уравнения Гельмгольца, удовлетворяющее условию излучения и граничным условиям на рассеивателе. Краевое условие при этом нарушается, поскольку дифференциальный оператор повышает особенность вблизи ребра. Применяя теорему единственности, получаем соотношение

4

Н[ч\{х,у) = ^ЫГ-'С^^у), (18)

тп-1

где Ст — коэффициенты, связанные с асимптотикой поля и вблизи краев рас-сеивателя. Выражение (18) названо в работе формулой расщепления в слабой форме. Для получения сильной формы необходимо избавиться от констант Ст. Для этого применяется теорема взаимности. Результатом является формула

ст(Ф) = -агм), (19)

т. е. коэффициент Ст оказывается выражен через значение диаграммы направленности краевой функции Грина. Отметим, что в (19) явно указана зависимость констант Ст от угла падения. Далее в формуле (18) производится переход к диаграммам направленности правой и левой части. Результат есть формула (2).

Похожая схема применяется в главе 1 к выводу формул расщепления в других задачах. Наиболее важным классом задач, описываемых в работе, является

класс "зоммерфельдовых" задач. Это двумерные скалярные дифракционные задачи, которые можно свести к задачам распространения на разветвленных поверхностях с конечным числом листов и точек ветвления. Необходимо, чтобы в исходной физической постановке все экраны были кусочно-прямолинейны, чтобы на этих экранах были заданы идеальные граничные условия (Дирихле или Неймана), и чтобы угол между любой парой экранов был рациональным, т. е. его отношение к 7г было рациональным числом. Зоммерфельдовы задачи представляют собой класс задач, к которым применимы методы, развитые в работе (координатные и спектральные уравнения). Рассматриваются два примера: дифракция на двух полосах (отрезках) и дифракция на двух перпендикулярных полупрямых, не имеющих общих точек. Последняя конфигурация в работе для краткости названа уголковым отражателем со щелью. Схемы разветвленных поверхностей для этих задач показаны на Рис. 3. Основные результаты работы (координатные уравнения (14) и спектральное уравнение (17)) остаются справедливыми для любой зоммерфельдовой задачи с особыми точками второго порядка.

Рис. 3: Примеры разветвленных поверхностей для зоммерфельдовых задач

Для вывода формулы расщепления на зоммерфельдовой поверхности вводятся краевые функции Грина ит± (их краевые асимптотики выписаны выше). Далее используется описаиная выше процедура, т. е. к полю применяется оператор расщепления; с помощью теоремы единственности выводится слабая формула расщепления; с помощью теоремы взаимности коэффициенты слабой формулы расщепления выражаются через диаграммы направленности краевых

функций Грина 5т±. Результатом является формула расщепления

(20)

где 5 — дифракционный коэффициент задачи о падении плоской волны, Бт±

— диаграмма направленности краевой функции Грина, ф — угол падения, <р — угол рассеяния, индексы г, о маркируют лист зоммерфельдовой поверхности, по которому распространяется приходящая или уходящая волна.

Далее в первой главе выводятся формулы расщепления для трехмерных задач дифракции с плоскими рассеивателями, имеющими гладкую границу.

Для трехмерных задач также вводятся краевые функции Грина, при этом источники выбираются локализованными вблизи какой-либо точки ребра. Типичное обозначение краевой функции Грина имеет вид С(х,у, где (х,у,г)

— декартовы координаты точки наблюдения, а I — координата, отсчитывающая путь вдоль ребра рассеивателя до точки, вблизи которой сосредоточены источники. В некоторых случаях необходимо ввести несколько краевых функций Грипа, соответствующих различным конфигурациям источников. Примером формулы расщепления для трехмерной задачи является формула, выведенная для тонкого плоского рассеивателя, лежащего в плоскости (х,у), с граничными условиями Дирихле на гранях:

А;МП) =

= к / тА;05с(М;08ше(*)<й. (21)

пк^[созвх + собО™) уг Здесь 5 — дифракционный коэффициент исходной задачи, 5с — диаграмма направленности краевой функции Грина, — углы, описывающие направ-

ление прихода падающей волны, вх, ву — углы, описывающие направление рассеяния, 6 — угол между осью х и касательной к краю рассеивателя.

Пример (21) иллюстрирует достоинства формул ращеплепия. Неизвестная функция выражается с помощью другой неизвестной функции

5с{9х,ву'Л)- Вычисление второй функции не проще, чем вычисление. первой. Однако функция в левой части равенства зависит от четырех скалярных переменных, в то время как функция, стоящая в правой части зависит лишь от трех переменных. Таким образом, численное табулирование диаграммы направленности краевой функции Грина представляется менее трудоемким, чем табулирование диаграммы для исходной задачи.

Далее в первой главе указаны способы обобщения формулы расщепления. Основные направления — более сложные граничные условия и более сложная геометрия рассеивателя. Учет импедансных граничных условий сводится

к построению краевых функций Грина для соответствующих задач. Построение формул расщепления для более сложных геометрий рассеивателя требует применения операторов расщепления высоких порядков. В качестве примера задачи со сложной геометрией рассматривается двумерная задача с идеальными граничыми условиями на кусочно-линейном рассеивателе. Предполагается, что все участки рассеивателя составляют "рациональные" углы с осью х, т. е. углы, равные тг^/п. Показано, что всеми свойствами оператора расщепления обладает оператор

где Рп{г) — полином Чебышева, а 1р — угол падения плоской волны. Соответственно, строится формула, расщепления, содержащая п различных краевых функций Грина.

Во второй главе рассматривается задача о дифракции на двух компланарных полосах (отрезках). Решается вопрос о нахождении краевых функций Грина для задачи Дирихле.

Для каждой из краевых функций Грина ут формулируется функциональная задача, сходная с задачей Винера-Хопфа. Для пяти участков, на которые ось х разбивается точками й1... а4, вводятся пять неизвестных функций 11™(к).. .и™(к), с точностью до множителя представляющих собой Фурье-образы значений поля ьт или его производной на соответствующих интервалах (к — волновое число). Свойства данных неизвестных функций даются стандартными теоремами. А именно, устанавливается аналитичность в верхней и нижней полуплоскости переменной к и делаются оценки роста в соответствующей полуплоскости. Кроме того, выводится функциональное уравнение, устанавливающее линейную зависимость между неизвестными функциями. Таким образом, задача дифракции оказывается сведена к функциональной задаче, г. е. к задаче отыскания набора неизвестных функций, обладающих заданными свойствами.

Рассматриваются производные функций и™ (к) по переменной к. Нетрудно показать, что набор таких производных для каждой вспомогательной задачи также оказывается связан изомонодромией с исходной функциональной задачей. Этот факт приводит к построению спектрального уравнения (3). Способ вывода спектрального уравнения следующий. Задается форма уравнения, коэффициент уравнения выражается в виде отношения определителей, содержащих его решение, и с помощью теоремы Лиувилля устанавливается вид определителей. Отметим, что сама по себе форма (3) является достаточно общей.

(22)

Глава В

Нетривиальность спектрального уравнения состоит в том, что его коэффициент оказывается весьма простой (рациональной) функцией переменной к.

Коэффициент спектрального уравнения не вычисляется явно. Вместо этого доказывается, что он имеет заданную форму. Поэтому коэффициент оказывав ется известным с точностью до нескольких скалярных параметров. Эти параметры могут быть найдены только численно. Значительные усилия прикладываются, чтобы корректно сформулировать задачу отыскания этих параметров.

Одним из методов, помогающих в поиске неизвестных параметров, являются эволюционные уравнения (6), (7). Первое из этих уравнений описывает изменение решения при изменении геометрических параметров задачи. Уравнение (6) получено с помощью того же приема, с помощью которого выводится спектральное уравнение, т. е. для заданного вида уравнения анализируется его коэффициент. Для анализа используется техника определителей. Уравнение (7) выражает совместность спектрального уравнения и (6). Таким образом, (7) играет роль уравнения Шлезингера для семейства спектральных уравнений.

Далее во второй главе формулируется задача об отыскании неизвестных констант спектрального уравнения. Прежде всего, анализируются локальные (алгебраические) ограничения, накладываемые на неизвестные константы. Показывается, что после учета всех локальных ограничений остается восемь свободных параметров. Затем формулируются ограничения связи для спектрального уравнения, т. е. ограничения, накладываемые на матрицы, связывающие базисы решений в различных особых точках. В результате получается система из восьми ограничений, выполнение которых гарантирует наличие у спектрального уравнения решения, удовлетворяющего условию вспомогательных задач для краевых функций Грина.

Наконец, во второй главе приводится пример вычислений на основе спектрального уравнения. Вычисления производятся для более простой задачи о рассеянии на одиночной полосе. Для отыскания неизвестных констант используется итерационная численная схема. Результаты расчетов сравниваются с результатами, полученными стандартными методами.

Третья глава посвящена выводу координатных уравнений и исследованию их свойств. Под координатными уравнениями понимается система вида (8).

Глава начинается с рассмотрения общих свойств системы (8). Выведены два соотношения для коэффициентов координатных уравнений:

Глава 3

о О

4-Х + ХУ= -¿-У + УХ

д у дх

д

дх

АХ + Х2 ++ + 1 = 0. (24)

дхду

Первое из этих условий гарантирует совместность координатных уравнений, а благодаря второму условию все компоненты любого решения координатных уравнений удовлетворяют уравнению Гельмгольца. Отметим, что справедливость соотношений (23) и (24) приходится доказывать. А именно, данные соотношения справедливы, если существует базис решений координатных уравнений, однозначных на данной разветвленной поверхности и удовлетворяющих векторному уравнению Гельмгольца. Такое доказательство проводится в работе.

В третьей главе координатные уравнения строятся для задачи о дифракции на двух полосах. С помощью метода отражений данная задача сводится к зоммерфельдовой задаче о распространении на двухлистной поверхности с четырьмя точками ветвления. Схема этой поверхности показана на Рис. За. Ищутся краевые функции Грина для данной поверхности. Каждая из краевых функций Грина может быть определена как результат предельного перехода для определенной конфигурации источников. Всего краевых функций Грина восемь.

Вводится понятие о сверхсингулярних функциях на такой поверхности. Сверхсингулярные функции удовлетворяют уравнению Гельмгольца и условию излучения Зоммерфельда, однако не удовлетворяют краевым условиям Мейкснера в точках ветвления. Сверхсингулярная функция должна расти вблизи вершины не быстрее р-1''2.

Главным свойством сверхсингулярных функций является следующее. Каждая сверхсингулярная функция может быть единственным способом представлена как линейная комбинация краевых функций Грина. Коэффициенты линейной комбинации находятся из старших членов асимптотических разложений в точках ветвления. Доказательство проводится с помощью теоремы единственности для решения дифракционной задачи. Таким образом, краевые функции Грина представляют собой базис сверхсингулярных функций.

Основным результатом главы является вывод координатных уравнений для вектора

и (х,у) = (и1+, и2+, и3+, и4+, и1", и2-, и3-, и4" )т, (25)

состоящего из всех восьми "комплексных" краевых функций Грина. Для этого ищется 16 комбинаций первых производных от компонент вектора и, представляющих собой сверхсингулярные функции. Отметим, что комбинации подбираются особым образом, поскольку сами первые производные краевых функций Грина не являются сверхсингулярными функциями (они растут у точек ветв-

ления как р 3/2). Искомые выражения имеют вид

при тп = 1...4. Каждое из этих выражений может быть представлено как линейная комбинация краевых функций Грина. В результате получаются 16 линейных уравнений, связывающих первые производные компонент вектора и с самим вектором и. Разрешая эти уравнения относительно каждой из производных, получаем систему координатных уравнений вида (14). Элементарные преобразования превращают эту систему в (8). Следует отметить, что X и У — рациональные функции координат, причем в числителях и знаменателях стоят квадратичные полиномы переменных х и у. Знаменатели имеют вид (х — ат)2 + у2, т. е. особыми точками координатных уравнений на действительной плоскости являются точки ветвления поверхности. После учета всех локальных (алгебраических) ограничений оказывается, что в коэффициенты координатных уравнений входят восемь скалярных параметров.

Прием, основанный на использовании свойств сверхсингулярных решений, можно применить к производным по геометрическим параметрам задачи. Так строятся эволюционные уравнения для волновых полей.

Показано, что спектральное уравнение является следствием координатных уравнений. Переход от координатных уравнений к спектральным осуществляется с помощью рассмотрения асимптотики волновых полей на большом удалении от точек ветвления. Поле в дальней зоне может быть представлено в виде ряда, старший член которого содержит диаграмму направленности. Ограничение координатных уравнений на старший член данной асимптотики дает спектральное уравнение.

Глава 4

В четвертой главе диссертации рассматривается двумерная задача дифракции на двух ортогональных полупрямых с идеальными граничными условиями (см. Рис. 4). В первой главе для этой задачи была выведена формула расщепления, теперь выводятся координатные уравнения и спектральное уравнение. Кроме того, значительные усилия тратятся на корректную формулировку задачи об определении неизвестных констант (т. е. на выявление всех алгебраических соотношений, связывающих константы, входящие в коэффициенты координатных уравнений).

Следуя процедуре вывода координатных уравнений, описанной в третьей главе, получаем систему (14). Рассматривая асимптотические разложения решений в дальней зоне, получаем спектральное уравнение (17). Очевидно, форма уравнений не отличается от формы, полученной для задачи о дифракции

У

Уг

а1 х

Рис. 4: Геометрия задачи об уголковом отражателе

на двух полосах. Это связано с тем, что обе разветвленные поверхности имеют по четыре точки ветвления в конечной области, и каждая точка ветвления имеет второй порядок. Различие этих двух задач проявляется, во-первых, в положении особых точек, а во-вторых, в значениях констант и Задачи имеют различную структуру глобальных ограничений, накладываемых на эти константы.

В четвертой главе подробно исследуются совместные свойства решений координатных и спектрального уравнения. Перечислим основные из этих свойств.

1. Существует интегральное преобразование, сходное с интегралом Зоммер-фельда, переводящее решения спектрального уравнения в решения координатных уравнений.

2. Если известно решение координатных уравнений и, однозначное на описанной выше разветвленной поверхности, то с помощью контурных интегралов можно построить четыре линейно-независимых решения тех же уравнений. Диаграммы направленности этих решений представляют собой базис решений спектрального уравнения.

3. Если известно решение координатных уравнений и, однозначное на описанной выше разветвленной поверхности, то с помощью контурных интегралов можно построить базис из восьми линейно-независимых решений этих уравнений.

Дальнейшее изложение посвящено формулировке задачи об определении неизвестных констант. Показано, что после учета всех алгебраических ограничений остается 12 свободных параметров. Соответственно, необходимо сформулировать 12 ограничений, гарантирующих существование решения, имеющего "физическое" поведение на разветвленной поверхности.

В качестве основного инструмента для описания решений спектрального уравнения выбираются стоксовы коэффициенты, т. е. коэффициенты при доминирующих экспоненциальных членах в различных областях. В соответствии со структурой уравнения, имеется два набора таких коэффициентов. Они названы в работе а— и ^-последовательностями. Строится связь между этими

последовательностями и ветвлением соответствующего решения координатных уравнений. Наконец, формулируются 12 ограничений, гарантирующих, что существует решение, однозначное на описанной ранее разветвленной поверхности и удовлетворяющее условию излучения. Из локальных свойств координатных уравнений следует, что локальные ограничения в точках ветвления также выполняются.

Задача об определении неизвестных констант может быть решена только численно.

Пятая глава посвящена трехмерной задаче о дифракции скалярной волны на плоском конусе (четвертьплоскости) с граничными условиями Дирихле. Геометрия задачи показана на Рис. 5. На рисунке изображен рассеиватель, совпадающий с первым квадрантом плоскости {х,у), точки и>о и и на единичной сфере, соответствующие направлению падения и рассеяния, а также направляющие косинусы для f и т] для направления рассеяния. Направляющие косинусы Со и T7o для направления падения вводятся сходным образом.

Схема подхода к этой задаче следующая. Для задачи о плоском конусе выводится формула расщепления в соответствии с процедурой, описанной в первой главе. Далее производится отделение радиальной переменной в сферических координатах. В результате дифракционный коэффициент выражается в виде контурного интеграла, в подынтегральную функцию которого входит краевая функция Грина задачи на сфере. Интегрирование производится по константе разделения.

Выражение дифракционного коэффициента через краевую функцию Грина названо в работе модифицированной формулой Смышляева из-за сходства

Глава 5

z

у

Рис. 5: Геометрия задачи

с обычной формулой Смышляева, выражающей дифракционный коэффициент через обычную функцию Грина для задачи на сфере. Модифицированные формулы Смышляева имеют вид

S(w,w0) = -rr7^--г [ + (27)

4771(17 + rio) Jy

о) = 47ri(/+ fr) J е~>т/1у2("<" V+1) + V2(uj, u)v2(üJa, t/+l)] (28)

i f e-'*"

5(w>Wo) = 8,Е + 6)0? + Ц>) ir —-o, «0 + Bfa,», u)\ d», (29) B(u,u0,l>) = (^(w.K + 1) -^(w,!/ - l))(u2(u>o, v 4-1) - v2(w0, V - 1)).

Здесь S(u>,wo) — дифракционный коэффициент (u>0 — направление падения, ы — направление рассеяния), г;1,2(а>,^) — краевые функции Грина для задачи с рассеивателем Дирихле. Явный вид уравнения, которому удовлетворяют эти функции везде, кроме концов рассеивателя, есть

= (зо)

(здесь в и <р — угол места и азимут на сфере).

Краевые функции Грина характеризуются следующими асимптотиками вблизи концов рассеивателя-.

«-(Сп. 6.) = -%С1/2 sin ^ + ^СУ2 sin ^ + 0(С'2), (31)

локальные координаты показаны на Рис. 6. Контура интегрирования для (27), (28), (29) указаны в работе.

Значение модифицированных формул Смышляева состоит в следующем. Во-первых, с помощью этих формул задача отыскания дифракционного коэффициента сводится к вычислению краевых функций Грина для задачи на сфере. Во-вторых, модифицированные формулы Смышляева оказываются предпочтительнее обычной формулы Смышляева с точки зрения вычисления интеграла. А именно, область направлений ш, для которых подынтегральная функция оказывается экспоненциально убывающей на бесконечности, оказывается шире для модифицированных формул.

Далее ищутся краевые функции Грина для уравнения Лапласа-Бельтрами на сфере с экраном в виде большой дуги длиной 7г/2. Для краевых функций Грина строятся координатные уравнения на сфере.

Процедура построения координатных уравнений сходна с процедурой, описанной в третьей главе. Строится вектор неизвестных и, включающий четыре краевых функции Грина: две краевые функции Грина для задачи с граничными условиями Дирихле (это функции V1,2), и две — с граничными условиями Неймана (ш1,2). Координатные уравнения ищутся в форме

¿и-Хи. |и = Уи. (32)

Для вывода координатных уравнений используются дифференциальные операторы 71,2,з, где Т\ и Т-1 — операторы дифференцирования по локальным координатам ф\ и 02, а 7з — оператор дифференцирования по азимутальной координате <р.

Вводится понятие о сверхсингулярном решении как о решении, имеющем вблизи вершины степень роста на единицу большую, чем это разрешено мейкс-неровскими условиями. Имеется восемь сверхсингулярных комбинаций из производных неизвестных функций, а именно

г,и, г,и, т2м,

ад + ТаИ, гаИ-г,И, ТзИ-^Н, ТзИ+ТзИ.

Каждая из этих функций может быть представлена в виде линейной комбинат ции краевых функций Грина. Разрешая полученные выражения относительно производных краевых функций Грина по координатам, получаем координатные уравнения в форме (32). Коэффициенты достаточно громоздки, поэтому здесь они не выписываются. Эти коэффициенты содержат тригонометрические функции координат ¡р и 9, а также две неизвестные константы.

Рассматривается пример решения задачи об определении неизвестных констант для координатных уравнений при фиксированном и. Используется градиентный алгоритм для нахождения нулей невязок глобальных ограничений. Численный эксперимент показывает быструю сходимость алгоритма.

Строятся эволюционные уравнения для краевых функций Грина и неизвестных параметров. К сожалению, в данном случае нельзя построить эволюционное уравнение по константе разделения V. Вместо этого строятся эволюционные уравнения по углу раскрыва плоского конуса.

Глава 6

В шестой главе построенные ранее методы (формула расщепления и спектральное уравнение) применяются к задаче об отражении волноводной моды от открытого конца плоского волновода (см. Рис. 7). Данная задача является классической задачей теории дифракции. Она была решена в середине прошлого века Л.А. Вайнштейном в рамках метода Винера-Хопфа. Неожиданным и важным для практики результатом явился коэффициент отражения высокочастотной моды, чья частота близка к частоте отсечки. Оказалось, что коэффициент отражения близок к —1, то есть открытый конец волновода является отражателем типа Дирихле (такое поведение предсказуемо для низкочастотной поршневой моды, однако здесь обсуждается прямо противоположный случай). Была вычислена поправка, описывающая потери на излучение в открытое пространство. Данный результат широко используется при расчете плоскопараллельных резонаторов.

Рис. 7: Геометрия задачи об отражении моды от открытого конца плоского волновода

Шестая глава посвящена рассмотрению данной задачи с помощью методов, развитых в диссертации (а именно, формулы расщепления и спектрального уравнения). Целью является проверка работоспособности метода, а также развитие новой техники решения подобных задач, не родственной методу Винера-Хопфа.

Дифракционная задача с идеальными прямолинейными границами с помощью метода отражений сводится к задаче распространения на разветвленной

поверхности. Данная поверхность имеет бесконечное число точек ветвления и бесконечное число листов. При этом все точки ветвления имеют второй порядок. Их геометрические координаты х = ап, у — 0.

Задача рассматривается в коротковолновом приближении. Фиксируется номер волноводной моды и считается, что временная частота близка к частоте отсечки данной йоды. Это соответствует тому, что парциальные волны распространяются почти по нормали к оси волновода. Пользуясь этим обстоятельством, можно перейти от уравнения Гельмгольца к параболическому уравнению теории дифракции

{д2у + 2ко\дх) й = 0, (33)

где й связано с волновым полем и соотношением и = ехр{1к0х}й. Необходимо обратить внимание на тот факт, что ось х направлена перпендикулярно к стенкам волновода. Параболическое уравнение описывает приосевой волновой процесс, т. е. направление распространение волн мало отклоняется от оси х.

Дальнейшее рассмотрение происходит в рамках схемы, развитой в диссертации. Вводится краевая функция Грина г/, т. е. поле, порожденное источником, помещенным вблизи точки ветвления. Отметим, что для параболического уравнения отпадает необходимость в использовании сложной предельной процедуры.

Вводится также диаграмма направленности краевой функции Грина Б (в). Соответствующая асимптотика имеет вид

и(х, вх) = д(х, 9х)5(в) + о(х~1'2), (34)

где

^•^У&Ч^-?} (з5)

— функция Грина неограниченной плоскости. В этой асимптотике параметр в представляет собой отношение х/у, т. е. тангенс соответствующего угла. Для вывода формулы расщепления используется оператор

Н = ду+1к0еы (36)

Он обращает в ноль падающую волну, однако приводит к появлению источников в точках ветвления. С помощью теоремы единственности выводится слабая формула расщепления, а с помощью теоремы взаимности вычисляются неизвестные краевые коэффициенты и строится сильная формула расщепления. Она имеет вид

_ (3) Ла~{к0а(вп +№«)$„' { 1

где параметр бш характеризует угол падения (он связан с индексом падающей моды), параметр вп характеризует угол отражения (он связан с индексом отраженной моды), а Ип — коэффициент отражения.

Далее для вычисления диаграммы направленности 8(9) строится спектральное уравнение. Для этого к краевой функции Грина V применяется оператор

Данный оператор переводит решения параболического уравнения (33) в решения. Кроме того, он обнуляет функцию Грина (35). Исследуя поведение функции КЩ вблизи точек ветвления, применяя теорему единственности и переходя к дальнему полю, получаем спектральное уравнение

где Сп — значения краевой функции Грина в точках ветвления. Для отыскания этих значений используется достаточно тонкий прием, использующий топологию разветвленной поверхности. В результате получаются значения

Таким образом, диаграмма направленности краевой функции Грина может быть найдена с помощью уравнения (39) и граничного условия 5(оо) = 1. Решение находится в явном виде, и коэффициент отражения, вычисленный с его помощью, совпадает с найденным Л.А.Вайнштейном.

Приложение

Приложение состоит из трех частей. Первая часть посвящена математической строгости. Большая часть утверждений работы сформулирована и доказана на физическом уровне строгости. В данном разделе показано, каким образом может быть достигнута математическая строгость в "тонких" -местах работы.

Вторая часть приложения посвящена соотношению симметрии для спектрального уравнения для задачи о двух полосах. Показано, что матрицы К^, входящие в уравнение (3), (4), удовлетворяют соотношению

К = х ду - \кау.

(38)

(40)

5(К+)гН + К- = -11,

(41)

где

Дав(1,-1,1,-1).

Данное соотношение используется для сокращения числа независимых ограничений при формулировке задачи об определении неизвестных параметров.

Наконец, в третьей части приложения для вывода формулы расщепления и спектрального уравнения применяется техника дифракционного ряда. Для задачи о дифракции на двух полосах строится дифракционный ряд, т. е. представление решения в виде суммы полей, полученных в результате последовательных актов дифракции на краях полос. Каждый член ряда выражается в Фурье-представлении с помощью нескольких вложенных интегралов. Строится техника точного преобразования членов дифракционного ряда. С помощью этой техники строится формула расщепления и спектральное уравнение. Тем самым достигаются два результата. Во-первых, происходит вывод основных соотношений работы с помощью независимой техники. Во-вторых, неизвестные коэффициенты спектрального уравнения оказываются выраженными в виде ряда, члены которого могут быть вычислены непосредственно.

Защищаемые положения

1. Доказано, что для двумерной задачи о дифракции на двух полосах справедливы формула расщепления (2), спектральное уравнение (3) с коэффициентом (4), эволюционные уравнения (5) и (7), а также координатные уравнения (14) с коэффициентами вида (15), (16).

2. Показано, что коэффициент спектрального уравнения для задачи о двух полосах зависит от восьми скалярных параметров. Сформулированы ограничения связи для спектрального уравнения, при выполнении которых существует решение спектрального уравнения, удовлетворяющее всем условиям, накладываемым на дифракционное поле. Этих ограничений также восемь.

3. Доказано, что для двумерной задачи о дифракции на уголковом отражателе со щелью справедлива формула расщепления (20), координатное уравнение (14) с коэффициентами вида (15), (16), а также спектральное уравнение (17).

4. Показано, что для задачи распространения на многолистной поверхности, топология которой продиктована задачей об уголковом отражателе со щелью, коэффициенты координатных и спектрального уравнения зависят от двенадцати скалярных параметров. Сформулированы ограничения связи для спектрального уравнения, гараитирующие существование решения, удовлетворяющего всем свойствам физического поля. Таких ограничений двенадцать.

5. Для трехмерной задачи о дифракции на четвертьплоскости (плоском конусе) выведены формулы (27), (28), (29), выражающие дифракционный коэффициент

через через краевые функции Грина задачи на сфере с разрезом.

6. Для краевых функций Грина задачи на сфере с разрезом построены координатные уравнения (32) с коэффициентами, представляющими собой элементарные функции сферических координат. Предложен итерационный алгоритм отыскания неизвестных констант, входящих в эти уравнения.

Все полученные соотношения являются точными (т. е. не асимптотическими) и справедливы при любом соотношении длины волны и размеров рассеива-теля.

Научная новизна

Новыми являются основные соотношения, полученные и исследованные в работе, а именно:

1. Координатные, спектральные и эволюционные уравнения для двумерной задачи о дифракции на двух полосах.

2. Координатные и спектральные уравнения для задачи о дифракции на уголковом отражателе со щелью.

3. Формулы (27), (28), (29) для задачи о дифракции на четвертьплоскости.

4. Координатные уравнения (32) для задачи на сфере с разрезом.

Список литературы

(1| Shanin А.V., Craster R.V. Removable singular points for ordinary differential equations. // Europ. Journ. Appl. Math. - 2003. - V. 13. - P. 617-639.

|2] Craster R.V., Shanin A.V., Doubravsky E.M. Embedding formulae in diffraction theory. // Proc. Roy. Soc. Lond. A. - 2003. - V. 459. - P. 24752496.

[3J Craster R.V., Shanin A.V. Embedding formula for diffraction by wedge and angular geometries. // Proc. Roy. Soc. Lond. A. - 2005. - V. 461. - P. 22272242.

[4] Шанин A.B. Формула расщепления для электромагнитной задачи дифракции. // Зап. науч. сем. ПОМИ РАН. - 2005. - Т. 324. - С. 247-261.

[5] Skelton E.A., Craster R.V., Shanin A.V. Embedding formulae for diffraction by non-parallel slits. // Quart. Journ. Mech. Appl. Math. — 2008. — V. 61. — P. 93-116.

[6] Shanin A.V., Craster R.V. Pseudo-differential operators for embedding formulae. // Journ. Comput. Appl. Math. - 2010. - V.234. - P. 1637-1646.

17] Skelton E.A., Craster R.V., Shanin A.V., Valyaev V.Yu. Embedding formulae for scattering by three-dimensional structures. // Wave Motion. — 2010. — V.47. - P. 299-317.

[8] Shanin A.V. Three theorems concerning diffraction by a strip or a slit. // Quart. Journ. Mech. Appl. Math. - 2001. - V. 54. — P. 107-137.

[9] Shanin A.V. Diffraction of a plane wave by two ideal strips. // Quart. Journ. Mech. Appl. Math. - 2003. - V. 56. - P. 187-215.

[10] Шанин А.В. К задаче о дифракции на щели. Некоторые свойства ряда Шварцшильда. // Зап. науч. сем. ПОМИ РАН. - 2001. - Т. 275. - С. 258285.

[11] Шанин А.В. О связи метода Винера-Хопфа и теории обыкновенных дифференциальных уравнений. // Электромагнитные волны и электронные системы. - 2002. - Т. 7. - С. 10-16.

[12] Shanin A.V. A generalization of the separation of variables method for some 2D diffraction problems. // Wave Motion. - 2003. - V. 37. — P. 241-256.

[13] Shanin A.V., Doubravsky E.M., Acoustical scattering at a gap between two orthogonal, semi-infinite barriers: coordinate and spectral equations. // Journ. Eng. Math. - 2007. - V. 59. - P. 437-449.

[14] Шанин А.В. Краевые функции Грина на многолистной поверхности. Асимптотики решений координатных и спектральных уравнений. // Зап. науч. сем. ПОМИ РАН. - 2007. - Т. 342. - С. 233-256.

[15] Шанин А.В. Краевые функции Грина па миоголисгной поверхности. Постановка задачи определения неизвестных констант. // Зап. науч. сем. ПОМИ РАН. - 2008. - Т. 354. - С. 220-244.

[16] Shanin A.V. Modified Smyshlyaev's formulae for the problem of diffraction of a plane wave by an ideal quarter-plane. // Wave Motion. — 2005. — V. 41. — P. 79-93.

[17] Shanin A.V. Coordinate equations for the Laplace-Beltrami problem on a sphere with a cut. // Quart. Journ. Mech. Appl. Math. — 2005. — V. 58. — P. 1-20.

[18] Shanin A.V. Wemstein's Diffraction Problem: Embedding Formula and Spectral Equation in Parabolic Approximation. // SIAM Journ. Appl. Math. — 2009.

- V. 70. - P. 1201-1218.

[19] Шанин А.В. К задаче о возбуждении волн в клиновидной области. // Акустический журнал. — 1996. — Т. 42. — С. 696-701.

[20] Шанин А.В. Возбуждение и рассеяние клиновой волны в упругом клине с углом раскрыва, близким к 180°. // Акустический журнал. — 1997. — Т. 43.

- С. 402-408.

[21] Шанин А.В. Возбуждение волнового поля в треугольной области с импе-дансными граничными условиями. /// Записки научных семинаров ПОМИ РАН. - 1998. - Т. 250. - С. 300-318.

[22] Шаяин А.В. О возбуждении волн в клиновидной области. // Акустический журнал. - 1998. - Т. 44, — С. 683-688.

[23] Shanin A.V., Krylov V.V. An approximate theory for waves in a thin elastic wedge immersed in liquid. // Proceedings of the Royal Society of London, ser. A, - 2000. - V. 456, - P. 2179-2196.

Подписано к печати Тираж {0 0 Заказ /'6 3

Отпечатано в отделе оперативной печати физического факультета МГУ

Введение.

Глава 1. Краевые функции Грина и формулы расщепления

§1. Краевые функции Грина и формулы расщепления в двумерных задачах на плоскости с рассеивателями.

§2. Краевые функции Грина и формулы расщепления в двумерных задачах на зоммерфельдовых поверхностях.

§3. Формулы расщепления в трехмерных задачах.

§4. Некоторые дальнейшие обобщения формулы расщепления.

§5. Основные результаты главы 1.

Глава 2. Обобщение метода Винера-Хопфа для дифракции на двух полосах. Спектральное уравнение

§6. Постановка функциональных задач для краевых функций Грина

§7. Спектральное уравнение для краевых функций Грина.

§8. Эволюционные уравнения

§9. Формулировка задачи об определении неизвестных констант. Начало

§10. Формулировка задачи об определении неизвестных констант. Окончание

§11. Численное решение спектрального уравнения для одиночной полосы

§12. Основные результаты главы

Глава 3. Координатные уравнения для дифракции на двух полосах

§13. Основные свойства координатных уравнений.

§14. Вывод координатных уравнений для комплексных краевых функций Грина.

§15. Тождества для параметров, входящих в коэффициенты координатных уравнений.

§16. Связь координатных и спектральных уравнений.

§17. Вычисления на основе координатных уравнений для одиночной полосы.

§18. Основные результаты главы

Глава 4. Координатные и спектральные уравнения для дифракции на уголковом отражателе со щелью

§19. Координатные уравнения для уголкового отражателя со щелью

§20. Спектральное уравнение для для уголкового отражателя со щелью. Аналитические свойства его решений.

§21. Свойства координатных и спектральных уравнений для задачи об уголковом отражателе.

§22. Постановка задачи об определении параметров для уголкового отражателя

§23. Основные результаты главы

Глава 5. Дифракция на плоском конусе

§24. Постановка задачи. Формулы расщепления. Модифицированные формулы Смышляева.

§25. Координатные уравнения для отыскания сферических краевых функций Грина.

§26. Эволюционные уравнения для задачи на сфере

§27. Примеры вычислений для дифракции на плоском конусе.

§28. Основные результаты главы

Глава 6. Отражение от торца плоского волновода

§29. Постановка задачи для параболического уравнения на многолистной поверхности.

§30. Формула расщепления для апертурной линии.

§31. Спектральные уравнения для апертурной линии.

§32. Основные результаты главы

Рассматриваемые задачи и мотивация работы

Настоящая работа представляет новые аналитические результаты для задачи о дифракции на бесконечной полосе, а также обобщает эти результаты на случай некоторых более сложных задач. Так, рассматриваются задачи о дифракции на конечной системе параллельных полос, лежащих в одной плоскости, и дифракция на уголковом отражателе со щелью. Обе задачи двумерны, поскольку координата, направленная вдоль образующей, может быть проигнорирована, и вместо полосы можно рассматривать ее сечение (отрезок) в перпендикулярной плоскости. Рассматривается также трехмерная задача о дифракции на плоском конусе (четвертьплоскости). Однако эта задача путем отделения радиальной переменной редуцируется к двумерной краевой задаче на сфере. Везде предполагается, что волны скалярные (т.е. решается уравнение Гельмгольца), а граничные условия идеальны. В такой постановке удается получить ряд точных аналитических результатов.

Задача о рассеянии на полосе является классической для теории дифракции. Известно ее точное решение, полученное методом разделения переменных. Кроме того, получено значительное количество асимптотических результатов, основанных на интегральных уравнениях, к которым сводится задача. Несмотря на это, продолжают выходить работы, посвященные данной задаче. Причина состоит в следующем. Задача о полосе допускает аналогию с классической задачей Зоммерфельда [1], для которой было получено компактное решение, отвечающее на основные вопросы, стоящие перед теорией дифракции: как выглядит краевая волна, что происходит в зоне полутени и т.д. Решение использует тот факт, что дифракция на полуплоскости (в двумерном случае — на полупрямой) с помощью метода отражений может быть сведена к распространению на разветвленной двулистной поверхности. Зоммерфельд предложил интегральное представление поля, явным образом учитывающее структуру разветвленной поверхности. Позднее схожие результаты были получены для клина с идеальными граничными условиями, а также для импедансного клина [2]. Современный обзор задач, решаемых методом Зоммерфельда-Малюжинца, можно найти в монографии [3], а также в статьях [4, 5].

Еще Зоммерфельд заметил, что задача о дифракции на полосе также может быть сведена к распространению на двулистной поверхности. Однако отсутствие аналога интеграла Зоммерфельда для такой поверхности (а точнее, невозможность сформулировать простую функциональную задачу), привело к тому, что для полосы аналога формулы Зоммерфельда не существует.

Следующая волна интереса к задаче о полосе связана с развитием метода Винера-Хопфа [6, 7]. С помощью этого метода решение задачи о полуплоскости получается элементарными средствами, а обобщение этого решения на случай полосы наталкивается на существенные трудности. В данном случае эти трудности связаны с появлением в уравнении неизвестной целой функции. К такой задаче может быть применен только приближенный метод Винера-Хопфа.

Таким образом, исследовательский интерес к данной задаче, по-видимому, основан на предположении о существовании простых решений, сходных с решениями задачи о полуплоскости, полученными методом Зоммерфельда или методом Винера-Хопфа. Настоящая работа отвечает на вопрос о существовании таких решений.

К сожалению, простой формулы для диаграммы направленности или для поля получить не удалось. Задача о полосе (как и родственные ей более сложные задачи) сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению с рациональными коэффициентами, известными с точностью до нескольких констант. Неизвестные константы должны определяться (численно) из ограничений на матрицы связи. Данный результат является основным результатом диссертации.

Сказанное выше относилось к математической мотивации работы. Существует также физическая мотивация. Система отрезков, рассматриваемая в работе, моделирует конечную дифракционную решетку с идеальными граничными условиями. При этом может рассматриваться как рассеяние акустической волны, так и электромагнитной волны определенной поляризации. Важно то, что методы, используемые в работе, не накладывают ограничений на частоту падающей волны, т.е. они пригодны для описания наиболее сложной ситуации, когда длина волны сравнима с характерными размерами препятствия.

Предложенные методы потенциально дают значительный выигрыш в скорости вычислений по сравнению со стандартными (например, с методом граничных интегральных уравнений). Однако новые медоды значительно сложнее в реализации. Поэтому применение новых методов целесообразно в тех случаях, когда традиционные методы требуют слишком большого времени выполнения даже на современных вычислительных машинах. К таким задачам относятся задачи дифракции на конусах, например задача о дифракции на плоском конусе. Традиционный способ решения таких задач заключается в отделении радиальной координаты и решении семейства задач для оператора Лапласа-Бельтрами на единичной сфере. Семейство индексируется константой разделения, которая пробегает по некоторому контуру в комплексной плоскости. Значение дифракционного коэффициента для одной пары направлений падения и излучения вычисляется в результате интегрирования по этому контуру. На практике на контуре выбирается конечное (но достаточно большое) количество узловых точек, для каждой из точек решается задача на сфере (в общем случае — граничное интегральное уравнение), а затем применяется квадратурная формула. Применение новых методов не меняет схему в целом, однако дает значительную экономию машинного времени при решении задач на сфере.

Отметим, что задача о дифракции на плоском конусе имеет ряд практических применений. Прежде всего, это дифракция на краях кромок летательных аппаратов и подводных объектов. Хорошо известно, что именно угловые точки дают основной вклад при рассеянии "почти везде", т.е. для всех направлений, за исключением бликов от поверхностей и кромок.

Рассматриваемые задачи представляют собой канонические задачи теории дифракции в том смысле, что их решения могут быть использованы как составные части при построении приближенных решений более сложных задач, например, в рамках методов, предложенных Дж.Келлером [8] (геометрическая теория дифракции), В.А.Боровиковым [9] или П.Я.Уфимцевым [10] (физическая теория дифракции).

Обзор литературы

Точное решение задачи о дифракции на полосе с идеальными граничными условиями было получено с помощью разделения переменных в эллиптических координатах в работах [11, 12]. В работе [13] данное решение было проанализировано, и были выделены выражения, соответствующие краевым волнам. В недавней работе [14] точное решение численно сравнивается с приближением Кирхгофа.

Другой способ построить решение задачи о полосе (щели) заключается в том, чтобы воспользоваться решением задачи о полупрямой и построить бесконечную последовательность рассеяний на краях полосы (ряд Шварцшиль-да) [15, 16, 17, 18, 19, 20]. Если полоса достаточно широкая по сравнению с длиной волны, можно ограничиться несколькими членами ряда Шварцшиль-да, получив тем самым приближенную формулу для дифракционного поля. Ряд Шварцшильда является сходящимся при любом соотношении ширины полосы и длины волны. Важно отметить, что многие дальнейшие работы посвящены анализу ряда Шварцшильда в той или иной его форме, а также поучению простых формул для дифракционного коэффициента в одном из первых приближений. Наиболее общий вид дифракционного ряда, пригодный для использования в самых разных задачах (в том числе, включающих угловые препятствия), построен в [21]. В своих исследованиях автор опирается на работы по квантовой механике [22, 23].

Метод геометрической оптики был применен к задаче о щели в работе [24].

Приближенный метод Винера-Хопфа применен к задаче о полосе в монографии [6]. Функциональное уравнение Винера-Хопфа сводится к интегральному уравнению, для которого строятся приближенные методы решения. Сюда же следует отнести результаты, полученные в работах П.Я.Уфимцева [25, 26, 27, 28, 29] и собранные в монографии [30], а также работу [31].

В работе [32] фактически строится ряд Шварцшильда для токов на поверхности экрана со щелью. Ядро интегрального уравнения, которому удовлетворяет сумма ряда, выражается в элементарных функциях координат (члены ряда получаются итерированием этого ядра). Утверждается, что неизвестные функции представляют собой теневые токи, т.е. токи, текущие на теневых поверхностях экранов и быстро спадающие при удалении от ребра. Такой подход позволяет приближенно просуммировать ряд и получить выражение для токов. Дифракционный коэффициент затем находится в квадратурах. В работе [33] данный метод обобщается на другие задачи. Асимптотическое решение уравнения для тока на ленте с точностью до членов порядка (к1)~(здесь Ы есть произведение ширины полосы на волновое число) получено в [34]. Дальнейшее исследование интегрального уравнения для токов, полученного в [32], проведено в работах [35, 36].

По видимому, ключевой работой, посвященной задаче о дифракции на полосе, является работа [37]. В данной работе на основе метода Винера-Хопфа строится интегральное уравнение, описывающее ряд Шварцшильда для задачи о щели (т.е. представляющее результат каждого следующего акта дифракции как результат интегрального преобразования, производимого с полем, найденным на предыдущем шаге). В работе утверждается, что существует псевдодифференциальный оператор, переводящий построенное интегральное уравнение в уравнение с разностным ядром. Кроме того, работа содержит важное наблюдение о том, что ряд Шварцшильда для дифракционного коэффициента сам по себе не является асимптотическим по параметру коа, поскольку его последовательные члены имеют равные по величине значения при скользящих углах рассеяния. Это означает, что для корректного определения тг-ого порядка разложения необходимо проанализировать члены ряда с номерами по п + 1. Кроме того, в работе утверждается, что для задачи о щели резонансные свойства проявляться не могут. Наконец, в работе построена простая приближенная формула для дифракционного коэффициента, удовлетворяющая принципу взаимности и проанализирована формула, полученная ранее в [25]. Методы, развитые в [37], использовались также в [38, 39].

Наиболее полное асимптотическое исследование задачи о полосе дано в работах [40, 9], где найдено рассеянное поле в дальней зоне с точностью до любой заданной степени (Ы)~п. Примененный в этой работе метод заключается в рассмотрении дифракции волны, имеющей профиль "ступеньки". Для данного случая решение может быть получено в замкнутом виде для любого дифракционного порядка. Однако переход к стационарной задаче требует суммирования бесконечного числа порядков. Сходный метод был применен в [41].

Математические вопросы (существование, единственность, классы правых частей, для которых существует решение) для задачи о полосе подробно рассмотрены в [42]. Кроме того, в данной работе построены асимптотики для плотности токов при малых коа и при больших /г0а. Ранее длинноволновое приближение для задачи о щели было исследовано в [43]. Математические аспекты электромагнитной задачи дифракции на щели подробно рассмотрены в [44]. В работе [45| к задаче применен метод интегральных уравнений.

Сравнение точного решения с приближением Кирхгофа и приближением геометрической теории дифракции для задачи о полосе проделано в [46]. Сравнение подхода П.Я.Уфимцева и Дж.Келлера к задаче о полосе проделано в [47].

Еще одним возможным способом решения задачи о полосе является построение разложения падающего поля в ряд по некоторой системе функций, для которых решение интегрального уравнения известно [48, 49]. Этот метод во многом является сходным с традиционным преобразованием Фурье.

Критический обзор попыток построить точное решение задачи о полосе с идеальными граничными условиями, обобщив метод Зоммерфельда, содержится в [50]. В качестве основных работ в этой области данный обзор называет [51] и [52, 53]. Обзор [50] заканчивается достаточно пессимистичным выводом о том, что пока ни один из методов не приводит к обобщению результата Зоммерфельда на случай задачи о полосе.

Из недавних работ, посвященных дифракции на идеальной полосе, можно отметить работу [54], где исследовался случай скользящего падения волны.

Все сказанное относилось к задаче с идеальными граничными условиями. Имеется также обширная литература, в которой похожие приближенные методы применяются к задаче о дифракции на полосе (щели в экране) с импеданс-ными граничными условиями, например [55, 56, 57, 58, 59, 60, 61].

В ряде работ исследовалось прохождение импульса или пучка через щель [62, 63, 64].

Наиболее близко к теме диссертации относятся статьи [65, 66], а также более поздняя работы [67]. В данных работах для задачи о полосе выведены обыкновенные дифференциальные уравнения, причем в качестве независимой переменной используется координата, расположенная в плоскости полосы. Наиболее полной представляется работа [66], где получена формула расщепления (embedding formula), выражающая решение для произвольного угла падения через два "эталонных" решения, выведено обыкновенное дифференциальное уравнение для неизвестной функции на полосе, а также построены эволюционные уравнения, описывающие зависимость коэффициентов дифференциального уравнения от ширины полосы.

Для дифракции на решетках (в рассматриваемом случае — на системах полос, состоящих более чем из одной полосы) получено меньшее количество аналитических результатов. Различными способами удалось решить задачу о дифракции на бесконечной дифракционной решетке, состоящей из идеальных компланарных полос, разделенных пространством, равным ширине полосы. Этот частный случай оказывается гораздо проще общего случая (проем и полоса имеют разную ширину). К данной задаче применялся матричный метод Винера-Хопфа [68, 7, 69, 70, 71], в частности, задача сводилась к скалярной факторизации или к матричной факторизации по Храпкову [72]. В работе [73] данная задача сводится к точно решаемой задаче Римана-Гильберта. Среди работ, в которых применялись полуаналитические методы, необходимо отметить [74, 75, 76]. Обзор работ по периодическим дифракционным решеткам содержится в монографии [77].

Следует также отметить работу [78], где для конечной дифракционной решетки был построен ряд по собственным функциям, напоминающим функции Матье. При этом автор основывался на результатах, полученных в [65]. Вычислительные перспективы этого метода не вполне ясны.

Бесконечная периодическая дифракционная решетка была рассмотрена в работе [79]. Рассматривалось коротковолновое приближение. Производилось преобразование интегрального уравнения таким образом, чтобы норма ядра стала строго меньше единицы (для этого в операторе выделяется часть, связанная с одним элементом решетки, и эта часть обращается). Полученное интегральное уравнение решается с помощью ряда Неймана.

Математические аспекты дифракции на конечных решетках рассмотрены в работах [80, 81]. Рассматривалась даже более общая задача, а именно, рассе-иватели предполагались не обязательно прямолинейными. Доказано существование и единственность решения и построено интегральное уравнение в рамках теории потенциала.

Формулы расщепления (embedding formulae в англоязычной литературе), широко используемые в данной работе, были впервые получены в работе [66].

Затем была построена формула расщепления для круглой плоской трещины в упругом материале [82]. В работе [83] формулы расщепления были получены для полосы с импедансными границами. Позднее были получены формулы расщепления для конечных дифракционных решеток, состоящих из тонких [84] и толстых [85] полос, а также для некоторых других сходных задач [86, 87]. Процедура вычислений на основе формулы расщепления подробно описана в учебнике [88]. В работах [89, 90] метод расщепления применялся для решения уравнения Гойна с ложной особой точкой.

Формулы расщепления не дают решения дифракционной задачи, однако снижают количество параметров, изменяемых при табулировании дифракционного коэффициента. А именно, вместо того, чтобы проводить расчет при всех возможных значениях угла падения, можно вычислить дифракционный коэффициент при нескольких эталонных углах падения, а затем воспользоваться формулой расщепления.

Существование координатных уравнений, выведенных в работе, тесно связано с возможностью аналитического продолжения волновых полей в комплексную область (т.е. рассмотрение поля и(х, у) при действительных хну как следа аналитической функции комплексных переменных). Общие методы аналитического продолжения волновых полей описаны в обзоре [91]. Данный обзор содержит также обширную библиографию.

Перейдем к рассмотрению задач дифракции на конусах. Они интересны с точки зрения геометрической теории дифракции и других приближенных методов. Решения этих задач дают дифракционные коэффициенты для элементов, содержащих острые выступы. Основные задачи, связанные с конусами, следующие: дифракция на плоском конусе (например на четвертьплоскости), на круговом и эллиптическом конусе, дифракция на конусе полигонального сечения (например на конусе, представляющем собой уголок куба). Граничные условия могут быть идеальными или импедансными. В настоящей работе решается только скалярная задача о дифракции на четвертьплоскости с идеальными граничными условиями.

Основным методом, применяемым для решения конических задач, является отделение радиальной переменной и исследование оператора Лапласа-Бельтра-ми в двух оставшихся угловых переменных. В случае эллиптического конуса с идеальными граничными условиями (частными случаями такого конуса являются плоский и круговой конусы) можно формально решить задачу до конца, разделив переменные в сферо-конических координатах. Решение представляется в виде ряда по функциям Ламе.

Решение скалярной (акустической) задачи об эллиптическом конусе, полученное с помощью разделения переменных, содержится в работе [92]. Решение векторной (электромагнитной) задачи может быть получено из решения скалярной задачи при помощи метода дебаевских потенциалов [9, 93].

Значительный выигрыш при численном анализе дает переход от ряда по специальным функциям к контурному интегралу в области комплексных значений константы разделения. Этот переход выполняется с помощью преобразования Ватсона [94]. Для задач о дифракции на конусе данная процедура описана в работах [95, 96, 97, 98].

Задача о дифракции на четвертьплоскости рассмотрена с помощью разделения переменных в работах [99, 100].

В недавних работах по конусам развиты методы построения численных решений для конусов произвольного сечения [101, 102, 103, 104, 105]. В данных работах используется техника преобразования Ватсона и подробно изучаются интегральные уравнения, возникающие при решении граничной задачи для оператора Лапласа-Бельтрами. В частности, обсуждаются особенности решений, возникающие вблизи угловых точек сечения, соответствующих ребрам конуса.

Задача о плоском конусе может рассматриваться как частный случай более общей задаче о дифракции на конусе со щелями, решаемой с помощью преобразования Конторовича-Лебедева и интегральных уравнений в [106, 107]. К задаче о плоском конусе наиболее близка по постановке рассмотренная в [108] задача о дифракции на семействе из компланарных плоских конусов (угловых полос), имеющих общую вершину. Отметим, что методы, развитые в настоящей работе, позволяют решить задачу о компланарных угловых полосах с идеальными граничными условиями.

Имеется также значительное число работ о дифракции на конусах с импе-дансными граничными условиями. Среди этих работ отметим [109, 110], где был получен главный член асимптотики дифракционного коэффициента для кругового конуса и конуса произвольного сечения.

Итак, задача о дифракции на плоском конусе с идеальными граничными условиями имеет точное решение, полученное методом разделения переменных. Это обстоятельство, однако, не уменьшает интерес к данной задаче. Дело в том, что точным решением крайне неудобно пользоваться с практической точки зрения. Его структура не отражает очевидных свойств поля (наличия отраженных и рассеянных ребрами волн), а сам ряд плохо сходится. Контурный интеграл, к которому удается привести ряд с помощью преобразования Ватсона, также не слишком удобен для вычислений. Поэтому неоднократно предпринимались попытки построить простое аналитическое решение для дифракции плоской волны на плоском конусе, аналогичное по структуре решению Зоммерфельда для полупрямой [1]. Основные надежды были связаны с методом Винера-Хопфа [6], однако до настоящего времени успех не был достигнут. Причина этого прежде всего в том, что теория аналитических функций двух комплексных переменных является качественно более сложной по сравнению с теорией одной переменной. Имеется ряд по-видимому неверных работ на эту тему, например [111]. Указание на то, что работа [111] неверна, содержится в [112] и [113].

Некоторый прогресс был достигнут с помощью операторных методов в работах [114, 115, 116, 112, 117], однако явного решения в компактной форме построено не было. Прилиженные формулы для дифракции на четвертьплоскости построены в [100, 118, 119].

Задача об отражении волноводной моды от торца плоского волновода была решена Л.А. Вайнштейном [120, 121, 7, 122]. Была решена также задача о дифракции плоской волны, падающей из открытого пространства на торец волновода. Кроме того, аналогичные задачи были решены для волноводов круглого сечения [123, 124, 125].

Анализ задачи о плоском волноводе в рамках лучевого приближении проделан в работе [126]. Позднее в рамках лучевого подхода были проанализированы некоторые более сложные задачи [127, 128, 129, 130].

Наибольший интерес представляет задача об отражении моды от открытого конца плоского волновода в случае коротковолнового приближения, когда частота близка к частоте отсечки для данной моды. Решение такой задачи может быть использовано для вычисления добротности мод в резонаторе, образованном плоскопараллельными зеркалами. При этом резонатор может быть оптическим, акустическим или микроволновым.

Место предлагаемой работы среди других работ по дифракции на полосах, системах полос и конусах следующее. Автор обобщает результаты [66] с помощью собственного метода, родственного методу Винера-Хопфа. В результате такого обобщения удается решить задачи о дифракции на системах полос, задачу об уголковом отражателе, а также задачу для оператора Лапласа-Бельтрами на сфере с разрезом. Непосредственное развитие идей [65, 66] о дифференциальных уравнениях в пространственной области приводит в настоящей работе к построению координатных уравнений, представляющих собой обобщение метода разделения переменных. Кроме того, автором предложен простой и физически наглядный метод вывода формул расщепления для широкого класса задач.

Содержание диссертации опубликовано в восемнадцати работах. Примерное соответствие между главами диссертации и статьями следующее: первая глава — [131, 132, 133, 134, 135, 136, 137]; вторая глава — [138, 139, 140, 141]; третья глава — [142]; четвертая глава — [143, 144, 145]; пятая глава — [146, 147]; шестая глава — [148].

Журналы, в которых опубликованы работы [138, 139, 142, 131, 132, 133, 135, 136, 143, 146, 147, 137, 148], включены в список Scientific Citation Index Expanded. Журнал, в котором опубликована работа [141], включен в список ВАКа.

Кроме того, материал диссертации существенным образом опирается на технику вывода функциональных уравнений, развитых автором ранее для клиновых задач: [149, 150, 151, 152, 153], три из которых включены в список ВАКа, а одна — в Scientific Citation Index Expanded.

Работы [131, 132, 133, 135, 136, 143, 153, 137] выполнены с соавторами.

Структура работы

Работа состоит из введения, шести глав, приложения и заключения.

В главе 1 производится важнейшее упрощение рассматриваемых дифракционных задач, а именно выводится формула расщепления. Для каждой из дифракционных задач вводятся краевые функции Грина, а затем дифракционный коэффициент для данной задачи (т.е. основная величина, подлежащая определению) выражается через диаграммы направленности краевых функций Грина. Краевые функции Грина представляют собой волновые поля, источник которых находится вблизи края рассеивателя или точки ветвления много-листной поверхности, на которой поставлена задача распространения волн. Для определения краевых функций Грина используется предельный переход, напоминающий построение обычного дипольного источника. В главе 1 показано, что формулы расщепления могут быть выведены для двух- и трехмерных задач дифракции с кусочно-прямолинейными (плоскими) границами и с произвольными граничными условиями. В двумерных задачах дифракционные коэффициенты зависят от двух переменных (угла падения и угла рассеяния), а диаграммы направленности краевых функций Грина — только от угла рассеяния. Таким образом, формулы расщепления позволяют существенно упростить структуру неизвестных функций.

В главе 2 рассматривается двумерная задача о дифракции на двух тонких отрезках, расположенных на одной прямой, с граничными условиями Дирихле. Данная задача представляет собой дифракционную задачу со смешанными граничными условиями. Стандартными методами для нее выводится функциональное уравнение типа Винера-Хопфа, однако это уравнение содержит три неизвестных целых функции, и теория уравнений Винера-Хопфа в этом случае не приводит к результату. Основной результат данной главы — вывод спектральных уравнений. Это обыкновенные дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют диаграммы направленности краевых функций Грина. Независимой переменной здесь выступает угол рассеяния или косинус этого угла. Коэффициенты уравнения представляют собой тригонометрические функции угла рассеяния (рациональные функции его косинуса).

В качестве побочного результата получены эволюционные уравнения. Эти уравнения представляют собой (нелинейные) обыкновенные дифференциальные уравнения, описывающие изменения волновых полей, их диаграмм направленности, а также некоторых параметров решений в зависимости от геометрических параметров рассеивателя.

В главе 3 для той же дифракционной задачи строятся координатные уравнения. Эти уравнения представляют собой систему дифференциальных уравнений, описывающих изменение волнового поля как функции пространственных координат. Формально эти уравнения записаны в частных производных, однако системы такого рода являются наиболее естественным обобщением понятия обыкновенного дифференциального уравнения на случай двух независимых переменных. Спектральные уравнения получаются из координатных путем рассмотрения асимптотики дальнего поля.

В главе 4 показано, что развитые методы (формулы расщепления, спектральные, эволюционные и координатные уравнения) работают не только для задач дифракции на плоских решетках, но и для зоммерфельдовых задач с более сложной геометрией рассеивателя. В качестве примера рассматривается задача о дифракции на двумерном уголковом отражателе, представляющем собой две полуплоскости, расположенные под прямым углом друг к другу со щелью между ними. В этой же главе сформулирована задача определения неизвестных параметров, входящих в коэффициенты спектральных и координатных уравнений.

В главе 5 рассматривается еще более сложная (трехмерная) задача о дифракции на плоском конусе, занимающем четветьплоскость. В рамках традиционного подхода производится отделение радиальной переменной, после чего формулируется задача дифракции на единичной сфере. Эта задача оказывается зоммерфельдовой; для нее выводится формула расщепления, координатные и эволюционные уравнения.

В главе 6 построенные ранее методы (а именно, формула расщепления и спектральное уравнение) применяются к задаче об отражении волноводной моды от открытого конца плоского волновода. Данная задача рассматривается в коротковолновом приближении. При этом считается, что временная частота близка к частоте отсечки данной моды. С помощью метода отражений задача переформулируется для многолистной поверхности. В отличие от других задач, решаемых в работе, в данном случае поверхность имеет бесконечное число листов и точек ветвления. Затем для данной задачи выписывается параболическое уравнение теории дифракции. Переход к параболическому уравнению позволяет упростить структуру неизвестных функций. Наконец, для задачи на многолистной поверхности строятся формула расщепления и спектральное уравнение. Оказывается возможным получить решение спектрального уравнения в явном виде. Показано, что решение совпадает с классическим решением Л.А.Вайнштейна.

Приложение состоит из трех частей. В первой части обсуждаются некоторые вопросы, связанные с корректной математической постановкой обсуждаемых дифракционных задач, теоремами существования и единственности. Во второй части доказывается теорема, связанная с симметрией спектрального уравнения. Этот результат используется в главе 2 для формулировки задачи об отыскании неизвестных констант. В третьей части для задачи о двух полосах описаны процедуры построения и преобразований дифракционного ряда. Дифракционный ряд представляет собой самый старый и часто используемый инструмент для анализа дифракционных задач. В случае дифракции на системе полос для членов дифракционного ряда существует рекуррентная формула, применение которой сводится к решению неоднородной задачи Зоммерфельда с помощью метода Винера-Хопфа. Для такого ряда удается развить технику преобразований, приводящую к формулам расщепления, спектральным и эволюционным уравнениям. Таким образом, результаты, полученные в главе 2, проходят проверку с помощью совершенно другого метода. Кроме того, коэффициенты спектральных уравнений содержат несколько неизвестных дискретных параметров, для определения которых в рамках методов главы 2 необходимо решить весьма сложную спектральную задачу. Здесь же параметры оказываются выраженными в виде асимптотических рядов.

Положения, выносимые на защиту

Задачи, к которым относятся основные положения работы, следующие. Это двумерная задача о дифракции на двух отрезках с идеальными граничными условиями (дифракция на двух полосах), двумерная задача о дифракции на двух перпендикулярных полупрямых с идеальными граничными условиями (дифракция на уголковом отражателе со щелью), трехмерная задача о дифракции на тонкой четвертьплоскости (плоском конусе) с идеальными граничными условиями, а также двумерная задача для уравнения Лапласа-Бельтрами на сфере с идеальным тонким рассеивателем (дугой длины 7г/2). Все задачи скалярные и стационарные.

На защиту выносятся следующие положения.

1. Для двумерной задачи о дифракции на двух полосах справедливы: формула расщепления (1.11), спектральное уравнение (7.2) с коэффициентом (7.3), эволюционные уравнения (8.1) и (8.4), а также координатные уравнения (14.5).

2. Коэффициент спектрального уравнения для задачи о двух полосах зависит от восьми скалярных параметров. Сформулированы ограничения связи для спектрального уравнения, при выполнении которых существует решение спектрального уравнения, удовлетворяющее всем условиям, накладываемым на дифракционное поле. Этих ограничений также восемь.

3. Для двумерной задачи о дифракции на уголковом отражателе со щелью справедлива формула расщепления (2.29), координатное уравнение (19.4) с коэффициентами (19.5)—(19.12), а также спектральное уравнение (20.8).

4. Для задачи распространения на мпоголистной поверхности, топология которой продиктована задачей об уголковом отражателе со щелью, коэффициенты координатных и спектрального уравнения зависят от двенадцати скалярных параметров. Сформулированы ограничения связи для спектрального уравнения, гарантирующие существование решения, удовлетворяющего всем свойствам физического поля. Таких ограничений двенадцать.

5. Для трехмерной задачи о дифракции на четвертьплоскости (плоском конусе) справедливы формулы (24.28), (24.29), (24.30), выражающие дифракционный коэффициент через через краевые функции Грина задачи на сфере с разрезом.

6. Для краевых функций Грина задачи на сфере с разрезом справедливы координатные уравнения (25.1) с коэффициентами (25.18). Предложен итерационный алгоритм отыскания неизвестных констант, входящих в эти уравнения.

Все полученные соотношения являются точными и справедливы при любом соотношении длины волны и размеров рассеивателя.

Научная новизна

Новыми являются все основные соотношения, полученные и исследованные в работе, а именно:

1. Координатные, спектральные и эволюционные уравнения для двумерной задачи о дифракции на двух полосах.

2. Координатные и спектральные уравнения для задачи о дифракции на уголковом отражателе со щелью.

3. Формулы (24.28), (24.29), (24.30) для задачи о дифракции на четвертьплоскости.

4. Координатные уравнения (25.1) для задачи на сфере с разрезом.

§32. Основные результаты главы б

Глава 6 представляет собой пример применения построенных в работе методов (формулы расщепления и спектрального уравнения) к задаче дифракции на периодической структуре, состоящей из идеально поглощающих полупрямых. Предполагается, что волна падает под скользящим углом по отношению к прямой, соединяющей концы экранов. Рассматривается коротковолновое приближение. Случай скользящего падения и коротковолновое приближение позволяют использовать параболическое уравнение теории дифракции.

К данной задаче сводится задача об отражении моды, набегающей на открытый конец плоского волновода. Это классическая задача дифракции, решение которой было получено Л.А.Вайнштейном с помощью метода Винера-Хопфа. Целью написания данной главы являлась проверка предложенных методов. Кроме того, в перспективе возможно применение этих методов к более широкому классу задач, в частности, к задачам, не допускающим применение метода Винера-Хопфа.

Были получены следующие основные результаты.

1. Сформулирована задача для параболического уравнения на многолистной (зоммерфельдовой) поверхности.

2. Введена краевая функции Грина для данной зоммерфельдовой поверхности. Введены также диаграммы направленности, относящиеся к краевой функции Грина. Этих диаграмм бесконечное число, поскольку на каждом листе поверхности имеется своя диаграмма. Особую роль играет так называемый "верхний" лист, соответствующий внутреннему пространству волновода.

3. Выведена формула расщепления (30.14) для коэффициентов отражения мод в волноводе. Данная формула выражает коэффициенты отражения через значения диаграммы направленности краевой функции Грина.

4. Выведены спектральные уравнения (31.4), (31.5) для диаграмм направленности краевой функции Грина. Данные спектральные уравнения содержат неизвестные коэффициенты С„, представляющие собой значения краевой функции Грина в точках ветвления.

5. Построены асимптотики (31.17), (31.18), (31.21) диаграмм направленности. С помощью этих асимптотик вычислены значения коэффициентов Сп (31.26), после чего строятся решения спектральных уравнений.

6. Показано, что построенное решение совпадает с классическим решением, полученным Л.А.Вайнштейном.

Заключение

В работе выводятся новые точные соотношения для дифракционных задач. Дифракционные задачи понимаются в смысле задач математической физики, т.е. присутствует некоторая идеализация физических задач. Так, в большинстве случаев предполагается, что экраны являются идеально отражающими (типа Дирихле или Неймана) и идеально тонкими. Термин "точные соотношения" означает, что данные соотношения справедливы для произвольного волнового числа, т.е. не имеют асимптотического характера (длинноволнового или коротковолнового). Все задачи предполагаются стационарными и акустическими (одномодовыми).

Соотношения делятся на два типа. К первому типу относятся формулы расщепления, а ко второму — спектральные и координатные уравнения. Формулы расщепления справедливы для весьма широкого класса дифракционных задач, однако они не позволяют проникнуть в структуру решения слишком глубоко. Суть формул расщепления состоит в следующем. Традиционный вопрос, решаемый для каждой дифракционной задачи, состоит в отыскании дифракционного коэффициента. Дифракционный коэффициент есть функция, зависящая от направлений (в двумерном случае — углов) падения и излучения, и показывающая амплитуду рассеяния волны из одного направления в другое. Формула расщепления связывает дифракционный коэффициент с диаграммами направленности краевых функций Грина.

Краевые функции Грина вводятся в работе как поля, создаваемые точечными источниками, расположенными вблизи краев рассеивателя. Непосредственно расположить источник в краевой точке нельзя, поэтому для определения краевой функции Грина используется несложная предельная процедура. Данная процедура во многом сходна с традиционным определением дипольных, квадрупольных и т.п. источников. В двумерном случае имеется дискретное (часто — конечное) множество краевых точек, соответственно набор краевых функций Грина дискретный или даже конечный. В трехмерном случае множество краевых функций Грина индексируется положением источника на ребрах рассеивателя, т.е. в общем случае это одномерное множество. Для каждой из краевых функций Грина вводится ее диаграмма направленности.

Формула расщепления представляет собой представление дифракционного коэффициента исходной задачи в виде простого алгебраического (для двумерных задач) или интегрального (для трехмерных) задач соотношения, включающего диаграммы направленности краевых функций Грина, зависящих от направлений падения и рассеяния, а также элементарные функции углов. Henoсредственньш следствием применение формулы расщепления является то, что неизвестная функция, зависящая от, например, двух переменных оказывается выражена с помощью другой неизвестной функции, зависящей от одной переменной. Очевидно, это дает преимущества при табулировании неизвестных функций.

Другим следствием является то, что часть сингулярностей дифракционного коэффициента выражается как особенности элементарных функций. В первую очередь это относится к двумерным задачам, в которых удается выделить полюс дифракционного коэффициента, соответствующий границе освещенной и теневой области. При переходе от дифракционного коэффициента к координатному представлению поля получаем стандартное (т.е. не зависящее от деталей конкретной задачи) описание полутеневой зоны. В трехмерном случае ситуация усложняется, поскольку особенности дифракционного коэффициента могут иметь различную природу. Однако и в этом случае применение формул расщепления дает заметные преимущества. За счет выноса особенностей за знак интеграла удается улучшить сходимость интегралов, описывающих дифракционный коэффициент.

Таким образом, концепция краевой функции Грина может оказаться весьма полезной в практических задачах. Нетрудно предложить способ экспериментального определения диаграммы направленности краевой функции Грина.

Вторым типом соотношений, предложенных в работе, являются спектральные и координатные уравнения. Их область применимости гораздо уже, чем область применимости формул расщепления. А именно, спектральные и координатные уравнения применимы только к двумерным зоммерфельдовым задачам, т.е. к задачам дифракции, которые можно с помощью метода отражений свести к задачам распространения на многолистных поверхностях. В работе рассматриваются такие поверхности над плоскостью и над сферой.

Спектральные и координатные уравнения являются менее общим, но более сильным результатом по сравнению с формулами расщепления. Формула расщепления приводит лишь к переформулированию дифракционной задачи. Вместо дифракционного коэффициента предлагается искать диаграмму направленности краевой функции Грина, что столь же сложно. Спектральное и координатное уравнения предлагают рецепт для отыскания диаграммы направленности краевой функции Грина.

Обратимся к спектральному уравнению. Необходимо отметить, что это уравнение не выводится из уравнения Гельмгольца непосредственно. Вместо этого доказывается, что вектор, составленный из диаграмм направленности краевых функций Грина, удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению достаточно простого вида. В качестве независимой переменной выступает угол рассеяния. Коэффициенты уравнения определены с точностью до нескольких неизвестных констант (зависящих от длины волны и геометрических размеров рассеивателя). Начальные условия для уравнения также неизвестны. Для практического использования спектрального уравнения необходимо уметь вычислять константы, входящие в коэффициенты уравнения, а также начальные условия. В работе показано, что в качестве диаграмм направленности можно взять не любое решение спектрального уравнения, а лишь решение, удовлетворяющее определенным ограничениям. Эти ограничения связывают поведение решений в различных особых точках спектрального уравнения. Важно, что данных ограничений достаточно для того, чтобы определить неизвестные константы и начальные условия. Выяснению структуры накладываемых ограничений посвящена значительная и наиболее сложная часть работы. Каждое из ограничений удается представить в виде невязки, т.е. значения, которое должно быть нулем для того, чтобы решение спектрального уравнения могло быть интерпретировано как диаграмма направленности соответствующей задачи.

Использование спектрального уравнения для численного отыскания диаграмм направленности предполагает следующую схему. Задаются начальные приближения для неизвестных констант и начальных условий. Эти значения могут, например, быть взяты из коротковолновой асимптотики решения. Решается спектральное уравнение и вычисляются невязки, соответствующие наложенным ограничениям. С помощью градиентной процедуры находятся следующие приближения к константам и начальным условиям, и процесс повторяется снова.

Несмотря на определенную сложность предложенной схемы, она представляется привлекательной с точки зрения скорости вычислений. Важным параметром является количество N значений угла, в которых необходимо вычислить диаграмму направленности. (Во многих случаях N можно оценить как коа, т.е. как произведение волнового числа на характерный размер рассеивателя.) Число операций, необходимое для решения спектрального уравнения, пропорционально N. Это число должно быть умножено на количество итераций, необходимое для достаточно точного определения неизвестных констант. Можно сделать предположение о достаточно быстрой сходимости метода (проведенные численные эксперименты подтверждают это предположение) и оценить число операций как ~ log N. Таким образом, итоговая оценка есть TV log N, что значительно лучше основных конкурирующих методов. Эту оценку можно улучшить, если необходимо табулирование диаграмм направленности для гребенки значений какого-либо из геометрических параметров (или волнового числа). В этом случае итерационная процедура применяется лишь один раз, а затем неизвестные константы находятся путем численного решения эволюционных уравнений.

Обратимся к координатным уравнениям. Координатные уравнения представляют собой "многомерное обыкновенное дифференциальное уравнение", описывающее вектор, составленный из краевых функций Грина. Краевые функции Грина в данном случае представляют собой функции координат. Многомерное ОДУ есть система из двух совместных уравнений первого порядка, описывающих изменение вектора неизвестных по первой и второй координате. Важной особенностью многомерного ОДУ по сравнению с уравнением в частных производных является то обстоятельство, что решение полностью определяется значением вектора неизвестных в одной точке.

Координатные уравнения во многом сходны со спектральными. Их коэффициенты содержат неизвестные константы, а начальные условия неизвестны. Можно сформулировать набор ограничений (невязок) и решить координатные уравнения с помощью итерационной процедуры.

Координатные уравнения тесно связаны со спектральным. В работе показано, что координатные уравнения могут быть выведены из спектрального или наоборот. Более того, для задач, содержащих только бесконечно тонкие экраны типа Дирихле или Неймана, выведена универсальная форма координатных и спектральных уравнений. При этом неизвестные параметры выражаются через асимптотики краевых функций Грина в вершинах (концевых точках) рассеива-теля.

1. Sommerfeld А. Mathematische Theorie der Diffraction. // Math. Arm. — 1896.- V. 47. P. 317-374.

2. Малюжинец Г.Д. Возбуждение, отражение и излучение поверхностных волн от клина с произвольными поверхностными импедансами. // Докл. АН СССР. 1958. — Т. 3. — С. 752-755.

3. Бабич В.М., Лялинов М.А., Грикуров В.Э. Метод Зоммерфельда-Малюжинца в задачах дифракции. С.Пб.: ВВМ, 2004 — 103 с.

4. Osipov А.V., Norris, A.N. The Malyuzhinets theory for scattering from wedge boundaries: a review // Wave Motion. — 1999. — V. 29. — P. 313-340.

5. Norris A.N., Osipov A.V. Far-field analysis of the Malyuzhinets solution for plane and surface waves diffraction by an impedance wedge // Wave Motion.- 1999. V. 30. — P. 69-89.

6. Нобл Б. Метод Винера-Хопфа. М.: ИЛ, 1962 — 280 с.

7. Вайнштейн Л.А. Теория дифракции и метод факторизации. М.: Советское радио, 1966 — 428 с.

8. Keller J.B. The geometrical theory of diffraction. // Journ. Opt. Soc. Am. — 1962. -V. 52. P. 116-130.

9. Боровиков В.А. Дифракция на многоугольниках и многогранниках. М.: Наука, 1966 — 456 с.

10. Уфимцев П.Я. Метод краевых волн в физической теории дифракции. М.: Сов. Радио, 1962 — 244 с.

11. Sieger В. Die Beugung einer ebenen elektrischen Welle an einem Schirm von eliptischen Querschnitt. // Ann. Phys. — 1908. — V. 27. — P. 626-664.

12. Morse P.M., Rubinstein P. J. The Diffraction of Waves by Ribbons and by Slits. // Phys. Rev. 1938. - V. 54. - P. 895-898.

13. Hansen E.B. Scalar diffraction by an infinite strip and a circular disc. // Journ. of Math, and Phys. 1962. - V. 41. - P. 229-245.

14. Brooker G.A. Diffraction at a single ideally conducting slit. // Journ. of Modern Optics. 2008. - V. 55, - P. 423-445.

15. Schwarzschild К. Die Beugung und Polarisation des Lichts durch einen Spalt. // Math. Ann. 1902. - V. 55. - P. 177-247.

16. Karp S.N., Russek A. Diffraction by a wide slit. // Journ. Appl. Phys. — 1956. V. 27. - P. 886-894.

17. Clemmow P.C. Edge Currents in Diffraction Theory. // Trans. Inst, of Radio Eng. 1956. — AP-4. - P. 282-287.

18. Millar R.F. Diffraction by a wide slit and complimentary strip (I and II). // Proc. Cambridge Philos. Soc. — 1958. — V. 54. — P. 479-511.

19. Braunbek W. Neue Naherungsmetode für die Beugung am ebenen Schirm. // Zeitschrift für Physik. 1950. - V. 127. — P. 381-390.

20. Braunbek W., Zur Beugung an der Kreisscheibe. // Zeitschrift für Physik. — 1950. V. 127. - P. 405-415.

21. Hannay J.H., Thain A. Exact scattering theory for any straight reflectors in two dimensions. // Journ. Phys. A. — 2003. — V. 36. — P. 4063-4080.

22. Stovicek P. The Green function for the two solenoid Aharonov-Bohm effect. // Phys. Lett. A. 1989. - V. 142. - P. 5-10.

23. Stovicek P. Krein's formula approach to the multisolenoid Aharonov-Bohm effect. // J. Math. Phys. 1991. - V. 32. - P. 2114-2122.

24. Karp S.N., Keller J.B. Multiple diffraction by an aprture in a hard screen. // Optica Acta, 1961. — V. 8. - P. 61-72.

25. Уфимцев П.Я. Вторичная дифракцияэлектромагнитных волн на ленте. // ЖТФ. 1958. - Т. 28. - С. 569-582.

26. Уфимцев П.Я. Асимптотическое решение задачи о дифракции на ленте. // Радиотехника и электроника. — 1968. — Т. 13. — С. 1867-1869.

27. Уфимцев П.Я. Асимптотическое исследование задачи о дифракции на ленте. // Радиотехника и электроника. — 1969. — Т. 14. — С. 1173-1185.

28. Уфимцев П.Я. Асимптотическое решение задачи о дифракции на ленте в случае граничных условий Дирихле. // Радиотехника и электроника. — 1970. Т. 15. - С. 914-923.

29. Уфимцев П.Я. Асимптотические разложения в теории дифракции плоской волны на ленте. // Докл. АН СССР. — 1969. — Т. 187. — С. 1257-1260.

30. Уфимцев П.Я. Теория дифракционных краевых волн в электродинамике. М.: Бином, 2007 — 366 с.

31. Jones D.S. The theory of Electromagnetism. Amsterdam: Elsevier, 1964 — 812 p.

32. Гринберг Г. А. Новый метод решения задачи дифракции электромагнитной волны на плоскости с безграничной прямолинейной щелью и родственных ей проблем. // ЖТФ. 1957. - Т. 27. - С. 2595-2605.

33. Гринберг Г. А. Метод решения дифракционных задач для плоских идеально проводящих экранов, основанный на изучении наводимых на экранах теневых токов. // ЖТФ. — 1958. Т. 28. - С. 542-568.

34. Гринберг Г.А. Дифракция электромагнитной волны на полосе конечной ширины. // Докл. АН СССР. 1959. - Т. 129. - С. 295.

35. Курицын В.Н. К решению "ключевой" задачи для дифракции на идеальной проводящей полосе. // ЖТФ. — 1961. — Т. 31. — С. 1485-1490.

36. Попов Г.Я. Об одном приближенном способе решения интегрального уравнения дифракции электромагнитных волн на полосе конечной ширины. // ЖТФ. 1965. - Т. 35. - С. 381-389.

37. Хаскинд М.Д., Вайнштейн Л.А. Дифракция плоской волны на щели и ленте, Радиотехника и электроника. Т.9. с.1800-1811 (1964).

38. Фиалковский А.Т. Дифракция плоских электромагнитных волн на щели и ленте. // Радиотехника и электроника. — 1966. — Т. 11. — С. 178-186.

39. Нефедов Е.И., Фиалковский А.Т. Асимптотическая теория дифракции электромагнитных волн на конечных структурах. М.: Наука, 1972 — 204 с.

40. Боровиков В.А. Дифракция плоской волны на отрезке. // Докл. АН СССР. 1964. - Т. 159. - С. 711-714.

41. Красилыцикова Е.А. Дифракция звуковой волны на щели. // МЖГ. — 1975. Т. 10. - С. 139-145.

42. Сологуб В.Г. О решении одного интегрального уравнения типа свертки с конечными пределами интегрирования. // ЖВММФ. — 1971. — Т. 11. — С. 837-855.

43. Boersma J. Boundary value problems in diffraction theory and lifting surface theory. // Compositio Mathematica. — 1964. — V. 16. — P. 205-293.

44. Kunik M., Skrzypacz P. Diffraction of light revisited. // Math. Meth. Appl. Sei. 2008. - V. 31. - P. 793-820.

45. Саутбеков С.С. Еще раз о дифракции на ленте и щели. // Радиотехника и электроника. — 2000. — Т. 45. — С. 1202-1209.

46. Senior Т., Uslenghi P. Comparison between Keller's and Ufimtsev's theories for the strip. // IEEE Trans. Ant. Prop. — 1971. — V. 19. — P. 557-558.

47. Eswaran K. On the solutions of a class of dual integral equations occuring in diffraction problems. // Proc. Roy. Soc. A. — 1990. — V. 429. — P. 399-427.

48. Gorenflo N. A new explicit solution method for the diffraction through a slit. // Zeischrift für angewandte Mathematik und Physic. — 2002. — V. 53. — P. 877-886.

49. Lüneburg E. The Sommerfeld problem: methods, generalizations and frustrations. // Proceedings of the Sommerfeld's workshop, Freudenstadt, 30 Sept. 4 Oct. 96, ed. by E. Meister, Frankfurt am Main, 1997.

50. Williams W.E. A note on diffraction by a half plane. // Canadian Journ. Phys.- 1960. V. 38. - P. 507-510.

51. Kleinmann R.E. Plane wave diffraction by a strip. // Proceedings of the Symposium on Electromagnetic Theory and Antennas, Copenhagen, June 2530, 1962, ed. by E.C. Jordan, Pergamon Press, P. 97-103, 1963.

52. Tinman R., Kleinman R.E. Integral representations for the field diffracted by a strip. // URSI General Assembly 1960, Monograph on Radio Waves Cirquits, ed. by Silver, Elsevier, P. 38-65, 1963.

53. Дагуров П.Н., Дмитриев A.B. Применение метода Кирхгофа к задаче дифракции волн на ленте при малых углах скольжения. // Письма в ЖТФ.- 2005. Т. 31. - С. 22-27.

54. Bindingavale S.S., Volakis J.L. Scattering by a narrow groove in an impedance plane. // Radio Science. — 1996. — V. 31. P. 401-408.

55. Idemen M. One-dimensional profile inversion of a halfspace bounded by a three-part impedance ground. // Inverse Problems. — 1996. — V. 12. — P. 641-666.

56. Белинский Б.П. Интегральные уравнения для стационарной задачи дифракции коротких волн на препятствиях типа отрезка. // ЖВММФ. — 1973. Т. 13. - С. 373-384.

57. Serbest А.Н., Uzgoren G., Buyukaksoy A. Diffraction of plane waves by a resisitive strip residing between two impedance half-planes. // Ann. Telecom.- 1991. V. 46. - P. 359-366.

58. Asghar S., Hayat Т., Ahmad B. Acoustic diffraction from a slit in an absorbing sheet. // Jap. Journ. Ind. Appl. Math. 1996. - V. 13. — P. 519-532.

59. Asghar S., Hayat T. Plane wave diffraction by a slit in an infinite penetrable sheet. // Can. Appl. Math. Quart. 1999. - V. 7. — P. 1-15.

60. Bernard J.M.L. Scattering by a three-part impedance plane: a new spectral approach. // Quart. Journ. Appl. Math. Mech. — 2005. — V. 58. — P. 383418.

61. Fox E.N. The diffraction of two-dimensional sound pulses incident on an infinite uniform slit in a perfectly reflecting screen. // Philos. Trans. Roy. Soc. Lond. A. — 1949. V. 242. - P. 1-32.

62. Itoh K., Takayama K. Shock wave propagation through a slit. // Theor. Appl. Mech. 1988. - V. 36. - P. 103-112.

63. Suedan G.A., Jull E.V. Two-dimensional beam diffraction by a half-plane and wide slit. // IEEE Trans. Ant. Prop. 1987. - V. 35. - P. 1077-1083.

64. Latta G.E. The solution of a class of integral equations. // Journ. of Rational Mechanics and Analysis. — 1956. — V. 5. — P. 821-834.

65. Williams M.H. Diffraction by a finite strip. // Quart. Journ. Mech. Appl. Math.- 1982. V. 35. - P. 103-124.

66. Gorenflo N., Werner M. Solution of a finite convolution equation with a Hankel kernel by matrix factorization. // SIAM Jour. Math. Anal. — 1997. — V. 28.- P. 434-451.

67. Baldwin G.L., Heins A.E. On diffraction of scalar waves by a periodic array of screens. // Math. Scand. — 1954. — V. 2. — P. 103-118.

68. Лукьянов В.Д. Точное решение задачи о дифракции на решетке наклонно падающей плоской волны. // Докл. АН СССР. — 1980. — Т. 255. — С. 7880.

69. Лукьянов В.Д., Точное решение задачи о дифракции на решетке наклонно падающей плоской волны. // ЖТФ. — 1981. — Т. 51. — С. 2001-2006.

70. Erbas В., Abrahams I.D. Scattering of sound waves by an infinite grating composed of rigid plates. // Wave Motion. — 2007. — V. 44. — P. 282-303.

71. Храпков A.A. Задачи об упругом равновесии бесконечного клина с несимметричным надрезом в вершине, разрешимые в замкнутой форме. // ПММ. 1971. - Т. 35. - С. 625-637.

72. Lüneburg Е., Westpfahl К. Diffraction of plane waves by an infinite strip grating. // Ann. Phys. 1971. — V. 27. — P. 257-288.

73. Achenbach J.D., Li Z.L. Reflection and transmission of scalar waves by a periodic array of screens. // Wave Motion. — 1986. — V. 8. — P. 225-234.

74. Scarpetta E., Sumbatyan M.A. Explicit analytical results for one-mode oblique penetration into a periodic array of screens. // IMA J. Appl. Math. — 1996. V. 56. - P. 109-120.

75. Porter R., Evans D.V. Wave scattering by periodic arrays of breakwaters. // Wave Motion. — 1996. V. 23. - P. 95-120.

76. Шестопалов В.П., Кириленко A.A., Масалов С.А., Сиренко Ю.К. Резонансное рассеяние волн. Том 1. Дифракцинные решетки. Киев: Наукова Думка, 1986 — 232 с.

77. Shinbrot М. The solution of some integral equation of Wiener-Hopf type. // Quart. Journ. Mech. Appl. Math. 1970. - V. 28. — P. 15-36.

78. Сологуб В.Г. Дифракция плоской волны на ленточной решетке в случае коротких длин волн. // ЖВММФ. — 1972. — Т. 12. — С. 975-989.

79. Крутицкий П.А., Колыбасова В.В. О смешанной задаче для диссипатив-ного уравнения Гельмгольца в двумерной области с разрезами с условием Дирихле на разрезах. // Вестник Московского университета. Сер. 3. — 2005.— С. 25-28.

80. Крутицкий П.А., Колыбасова В.В. О смешанной задаче для уравнения Гельмгольца в плоской области. // УМН. — 2005. — Т. 60. — С. 167-168.

81. Martin Р.А., Wickham G.R. Diffraction of elastic waves by a penny-shaped crack: analytical and numerical results. // Proc. Roy. Soc. bond. A. — 1983. — V. 390. — P. 91-129.

82. Gautesen A.K. On the Green's function for acoustical diffraction by a strip. // Journ. Acoust. Soc. Am. 1983. — V. 74. — P. 600-604.

83. Biggs N.R.T., Porter D., Stirling D.S.G. Wave diffraction through a perforated breakwater. // Quart. Journ. Mech. Appl. Math. — 2000. — V. 53. — P. 375391.

84. Biggs N.R.T., Porter D. Wave diffraction through a perforated barrier of nonzero thickness. // Quart. Journ. Mech. Appl. Math. — 2001. — V. 54. P. 523547.

85. Biggs N.R.T., Porter D. Wave scattering by a perforated duct. // Quart. Journ. Mech. Appl. Math. 2002. - V. 55. - P. 249-272.

86. Biggs N.R.T., Porter D. Wave scattering by an array of perforated barriers. // IMA J. Appl. Math. 2005. - V. 70. - P. 908-936.

87. Linton C., Mclver P. Handbook of mathematical techniques for wave-structure interactions. London: ChapmanHall, 2001 — 298 p.

88. Craster R.V. The solution of a class of free boundary problems. // Proc. Roy. Soc. Lond. A. 1997. - V. 453. - P. 607-630.

89. Craster R.V., Hoang V.H. Application of Fuchsian differential equations to free boundary problems. Proc. Roy. Soc. Lond. A. — 1998. — V. 454. — P. 12411252.

90. Кюркчан А.Г., Стернин Б.Ю., Шаталов B.E. Особенности продолжения волновых полей. // УФН. — 1996. — Т. 166. — С. 1285-1308.

91. Kraus L., and Levine L.M. Diffraction by an elliptic cone. // Comm. Pure Appl. Math. 1961. - V. 14. - P. 49-68.

92. Bowman J.J., Senior T.B., Uslenghi L.E. Electromagnetic and Acoustic Scattering by Simple Shapes. New York: Hemisphere Publishing Corporation, 1987 — 728 p.

93. Watson G.N. General Transforms. // Proc. Lond. Math. Soc. — 1933. — s2-35.- P. 156-199.

94. Felsen L.B. Back scattering from wide-angle and narrow-angle cone. // Journ. Appl. Phys. 1955. - V. 26. - P. 138-151.

95. Felsen L.B. Plane wave scattering by small-angle cones. // IRE Trans. Ant. Prop. 1957. - V. 5. - P. 121-129.

96. Николаев Б.Г. О волновых процессах, возникающих при дифракции идеально отражающим конусом в осесимметричном случае. // Зап. Науч. Сем. ЛОМИ. 1972. - Т. 25. - С. 151—171.

97. Николаев Б.Г. Дифракция поля точечного источника круговым конусом (неосесимметричный случай). // Зап. Науч. Сем. ЛОМИ. — 1974. — Т. 42.- С. 212—227.

98. Satterwhite R. Diffraction by a quarter plane, the exact solution and some numerical results. // IEEE Trans. Ant. Prop. — 1974. — V. 22. — P. 500-503.

99. Hansen T.B. Corner diffraction coefficients for the quarter plane. // IEEE Trans. Ant. Prop. — 1991. — V. 39. — P. 976-984.

100. Smyshlyaev V.P. Diffraction by conical surfaces at high frequences. // Wave Motion. 1990. - V. 12. - P. 329-339.

101. Smyshlyaev V.P. The high frequency diffraction of electromagnetic waves by cones of arbitrary cross-section. // SIAM Journ. Appl. Math. — 1993. — V. 53.- P. 670-688.

102. Babich V.M., Smyshlyaev V.P., Dement'ev D.B., Samokish B.A. Numerical calculation of the diffraction coefficients for an arbitrary shaped perfectly conducting cone. // IEEE Trans. Ant. Prop. 1996. — V. 44, — P. 740-747.

103. Babich V.M., Dement'ev D.B., Samokish B.A., Smyshlyaev V.P. On evaluation of the diffraction coefficients for arbitrary "nonsingular" directions of a smooth convex cone. // SIAM Journ. Appl. Math. — 2000. — V. 60. — P. 536-573.

104. Bonner B.D., Graham I.G., Smyshlyaev V.P. The computation of conical diffraction coefficients in high-frequency acoustical wave scattering. // SIAM Journ. Num. Anal. — 2005. — V. 43. — P. 120-123.

105. Дорошенко B.A., Кравченко В.Ф. Рассеяние поля электрического диполя на конической структуре с продольными щелями. // Радиотехника и электроника. — 2000 — Т. 45. — С. 792-798.

106. Дорошенко В.А., Кравченко В.Ф., Пустовойт В.И., Преобразования Мелера-Фока в задачах дифракции волн на незамкнутых структурах во временной области. ДАН, Т.405, С.184-187 (2005).

107. Дорошенко В.А., Кравченко В.Ф. Применение сингулярных интегральных уравнений для решения задачи дифракции волн на решетке из импеданс-ных плоских нерегулярных лент. // Докл. АН. — 2002. — Т. 383. — С.189-193.

108. Bernard J.M.L., Lyalinov М.А. The leading asymptotic term for the scattering diagram in the problem of diffraction by a narrow circular impedance cone. // Journ. Phys. A. 1999. - V. 32. — P. L43-L48.

109. Bernard J.M.L., Lyalinov M.A. Diffraction of scalar waves by an impedance cone of arbitrary cross-section. // Wave Motion. — 2001. — V. 33. — P. 155181.

110. Radlow J. Diffraction by a quarter-plane. // Arch. Rat. Mech. Anal. — 1961.- V. 8. P. 139-158.

111. Meister E., Speck F.-O. A contribution to the quarter-plane problem in diffraction theory. // Journ. Math. Anal. Appl. — 1988. — V. 130. — P. 223236.

112. Albani M. On Radlow's quarter-plane diffraction solution. // Radio Science.- 2007. V. 42. - P. RS6S11.

113. Strang G. Toeplitz operators in a quarter-plane. // Bull. Am. Math. Soc. — 1970. V. 76. - P. 1303-1307.

114. Meister E., Speck F.-O. Some multidimensional Wiener-Hopf equations with applications. // Trends in Applications of pure Mathematics to Mechanics, ed. by H. Zorski. London: Pitman, 1979, P. 217-262.

115. Meister E., Speck, F.-O., The Moore-Penrose inverse of Wiener-Hopf operators on the half axis and the quarter plane, Journal of Integral Equations, V. 9, pp.45-61 (1985).

116. Speck F.-O., Duduchava R. Bessel potential operators for the quarter-plane. // Applicable Analysis. 1992. — V. 45. - P. 49-68.

117. Albani M., Capolino F., Maci S. Diffraction at the vertex of a quarter plane. // Ant. and Prop. Soc. Int. Symp. IEEE. 20-25 June 2004, P. 1991 1994.

118. Albani М., Capolino F., Maci S. Vertex diffraction coefficient for a quarter plane. // URSI Int. Symp. on EM Theory, Pisa, Italy, May 2004, P. 11461148.

119. Вайнштейн Л.А. Строгое решение задачи о плоском волноводе с открытым концом. // Изв. АН СССР, сер. физ. — 1948. — Т. 12. — С. 144-165.

120. Вайнштейн Л.А. О теории дифракции на двух параллельных полуплоскостях. // Изв. АН СССР, сер. физ. 1948. - Т. 12. - С. 166-180.

121. Вайнштейн Л.А. Открытые резонаторы и открытые волноводы. М.: Советское радио, 1966 — 475 с.

122. Вайнштейн Л.А. Теория симметричных волн в круглом волноводе с открытым концом. // ЖТФ 1948. - Т. 18 - С. 1543-1564.

123. Вайнштейн Л.А. Излучение несимметричных волн из открытого конца круглого волновода, диаметр которого значительно больше длины волны. // ДАН СССР 1950. - Т. 74 - С. 485-488.

124. Вайнштейн Л.А. О диффракции волн на открытом конце круглого волновода, диаметр которого значительно больше длины волны. // ДАН СССР 1950. - Т. 74 — С. 909-912.

125. Boersma J. Ray-optical analysis of reflection in an open-ended parallel-plane wave guide. I: TM case. // SIAM Journ. Appl. Math. — 1975. — V. 29 — P. 164-195.

126. Залипаев В.В., Попов М.М. Коротковолновое рассеяние плоской волны на гладкой периодической границе. I. Дифракция полутеневого поля на гладком выпуклом контуре // Зап. науч. сем. ЛОМИ. — 1987. — Т. 165. С. 59-90.

127. Залипаев В.В., Попов М.М. Коротковолновое рассеяние плоской волны на гладкой периодической границе. II. Дифракция на бесконечной периодической границе. // Зап. науч. сем. ЛОМИ. — 1988. — Т. 173. С. 60-86.

128. Zalipaev V.V. Short-wave grazing scattering by periodic inclined half-planes // Journ. Math. Sci. 1991. - V. 57. — P. 3101-3106.

129. Залипаев В.В. Рассеяние коротких волн на периодической структуре эше-лет // Зап. науч. сем. ПОМИ. - 1998. - Т. 250. - С. 109-136.

130. Shanin А.V., Craster R.V. Removable singular points for ordinary differential equations. // Europ. Journ. Appl. Math. — 2003. — V. 13. — P. 617-639.

131. Craster R.V., Shanin A.V., Doubravsky E.M. Embedding formulae in diffraction theory. // Proc. Roy. Soc. Lond. A. — 2003. — V. 459. — P. 24752496.

132. Craster R.V., Shanin A.V. Embedding formula for diffraction by wedge and angular geometries. // Proc. Roy. Soc. Lond. A. — 2005. — V. 461. — P. 22272242.

133. Шанин А.В. Формула расщепления для электромагнитной задачи дифракции. // Зап. науч. сем. ПОМИ РАН. — 2005. — Т. 324. С. 247-261.

134. Skelton Е.А., Craster R.V., Shanin A.V. Embedding formulae for diffraction by non-parallel slits. // Quart. Journ. Mech. Appl. Math. — 2008. — V. 61. — P. 93-116.

135. Shanin A.V., Craster R.V., Pseudo-differential operators for embedding formulae. // Journ. Comput. Appl. Math. — 2010. — V.234. — P. 1637-1646.

136. Skelton E.A., Craster R.V., Shanin A.V., Valyaev V.Yu. Embedding formulae for scattering by three-dimensional structures. // Wave Motion. — 2010. — V.47. P. 299-317.

137. Shanin A.V. Three theorems concerning diffraction by a strip or a slit. // Quart. Journ. Mech. Appl. Math. 2001. — V. 54. — P. 107-137.

138. Shanin A.V. Diffraction of a plane wave by two ideal strips. // Quart. Journ. Mech. Appl. Math. 2003. - V. 56. — P. 187-215.

139. Шанин А.В. К задаче о дифракции на щели. Некоторые свойства ряда Шварцшильда. // Зап. науч. сем. ПОМИ РАН. — 2001. Т. 275. — С. 258285.

140. Шанин А.В. О связи метода Винера-Хопфа и теории обыкновенных дифференциальных уравнений. // Электромагнитные волны и электронные системы. 2002. - Т. 7. - С. 10-16.

141. Shanin A.V. A generalization of the separation of variables method for some 2D diffraction problems. // Wave Motion. — 2003. — V. 37. — P. 241-256.

142. Shanin A.V., Doubravsky E.M., Acoustical scattering at a gap between two orthogonal, semi-infinite barriers: coordinate and spectral equations. // Journ. Eng. Math. 2007. — V. 59. - P. 437-449.

143. Шанин А.В. Краевые функции Грина на многолистной поверхности. Асимптотики решений координатных и спектральных уравнений. // Зап. науч. сем. ПОМИ РАН. 2007. - Т. 342. - С. 233-256.

144. Шанин А.В. Краевые функции Грина на многолистной поверхности. Постановка задачи определения неизвестных констант. // Зап. науч. сем. ПОМИ РАН. — 2008. — Т. 354. С. 220-244.

145. Shanin A.V. Modified Smyshlyaev's formulae for the problem of diffraction of a plane wave by an ideal quarter-plane. // Wave Motion. — 2005. — V. 41. — P. 79-93.

146. Shanin A.V. Coordinate equations for the Laplace-Beltrami problem on a sphere with a cut. Quart. Journ. Mech. Appl. Math. — 2005. — V. 58. — P. 1-20.

147. Shanin A.V. Weinstein's Diffraction Problem: Embedding Formula and Spectral Equation in Parabolic Approximation. // SIAM Journ. Appl. Math.- 2009. V. 70. - P. 1201-1218.

148. Шанин А.В. К задаче о возбуждении волн в клиновидной области. // Акуст. журн. 1996. - Т. 42. — С. 696-701.

149. Шанин А.В. Возбуждение и рассеяние клиновой волны в упругом клине с углом раскрыва, близким к 180°. // Акуст. журн. — 1997. — Т. 43. — С. 402-408.

150. Шанин А.В. Возбуждение волнового поля в треугольной области с импе-дансными граничными условиями. // Зап. науч. сем. ПОМИ РАН. — 1998.- Т. 250. С. 300-318.

151. Шанин А.В. О возбуждении волн в клиновидной области. // Акуст. журн.- 1998. Т. 44. — С. 683-688.

152. Shanin A.V., Krylov V.V. An approximate theory for waves in a thin elastic wedge immersed in liquid. // Proc. Roy. Soc. Lond. A. — 2000. — V. 456. — P. 2179-2196.

153. Будаев Б.В. Обобщенные ряды Мейкснера. // Изв. вузов. Радиофизика. — 1991. Т. 34. - С. 216-219.

154. Макаров Г.И., Осипов А.В. К вопросу о структуре рядов Мейкснера. // Изв. вузов. Радиофизика. — 1986. — Т. 29. — С. 714-720.

155. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968 — 460 с.

156. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции. М.: Мир, 1990 — 528 с.

157. Robin L. Fonctions spheriques de Legendre et fonctions spheroidales, Tome III, Paris: Gauthier-Villars, 1959 — 289 p.

158. Абрамовиц M., Стиган И. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. М.: Наука, 1979 — 832 с.

159. Камотский В.В. Вычисление некоторых интегралов, описывающих волновые поля. // Зап. науч. сем. ПОМИ РАН. 1999. - Т. 257. - С. 44-55.

160. Ищенко Е.Ф. Открытые оптические резонаторы. М.: Сов. радио, 1980 — 208 с.

161. Ананьев Ю.А. Оптические резонаторы и лазерные пучки. М.: Наука, 1990- 264 с.

162. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. М.: Наука- 1979, 384 с.

163. Anis A.A., Lloyd Е.Н. On the range of partial sums of a finite number of independent normal variates // Biometrika. — 1953. — V. 40. — P. 35-42.

164. Boersma J. On certain multiple integrals occurring in a waveguide scattering problem // SIAM J. Math. Anal. 1978. - V. 9. — P. 377-393.

165. Ильинский А.С., Смирнов Ю.Г. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах. Псевдодифференциальные операторы в задачах дифракции. М.: ИПРЖР, 1996 — 176 с.

166. Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Эллиптический задачи в областях с кусочно гладкой границей. М.: Наука, 1991 — 336 с.

167. McDonald Н.М. A class of diffraction problems. // Proc. Lond. Math. Soc. — 1915. V. 14. - P. 410-427.

168. Фелсен Л., Маркувиц H. Излучение и рассеяние волн. Том 2. М.: Мир, 1978- 555 с.

169. Хенл X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. М.: Мир, 1964 — 428 с.а1. Литература

170. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966 — 724 с.

171. Итс А.Р., Капаев А.А., Новокшенов В.Ю., Фокас А.С. Трансценденты Пе-нлеве. Метод задачи Римана. М.: РХД, 2005 — 728 с.

172. Jimbo М., Miwa Т., Ueno К. Monodromy preserving deformation of linear ordinary differential equations with rational coefficients. // Physica D. — 1980. V. 2. - P. 306-352.