Волны в упругих клиновидных областях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

N Ь им

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МАШИНОВЕДЕНИЯ

На правах рукописи

ВУДАЕВ В аир Владимирович

УДК 550.344

ВОЛНЫ

В УПРУГИХ КЛИНОВИДНЫХ ОБЛАСТЯХ

01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 1995

Работа выполнена в Лаборатории математических методов гео- • физики Санкт-Петербургского отделения Математического института имени В. А. Стеклова Российской академии наук.

Официальные оппоненты:

• доктор физ.-мат. наук, профессор Аэро Э. Л.

• доктор физ.-мат. наук, профессор Коузов Д. П.

• доктор физ.-мат. наук, профессор Устинов Ю. А.

Ведущая организация: Кубанский государственный университет.

Защита диссертации состоится мая 1995 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д.200.17.01 при Институте проблем машиноведения Российской академии наук по адресу: 199178, С.-Петербург, В. О., Большой пр., 61.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем машиноведения Российской академии наук (199178, С.Петербург, В. О., Большой пр., 61).

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью организации, просим направлять в адрес совета.

Автореферат разослав

40" апреля 1995 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

кандидат химических наук В. П. Глинин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Многочисленные проблемы геофизики, сейсмики, строительной механики, неразрушающего контроля материалов, акустики, радиолокации и ультразвуковой диагностики требуют изучения процессов распространения упругих, акустических или электромагнитных волн в разнообразных сек-ториальных структурах. Однако, трудность соответствующих математических задач оказывается настолько значительной, что только простейшие задачи дифракции на клиновидных препятствиях могут считаться разобранными с необходимой полнотой. Что же касается таких известных задач, как задачи дифракции упругих волн на свободном или жестко заделанном клине, дифракции акустических волн на полупрозрачном клине или дифракции электромагнитных волн на диэлектрическом клине, то несмотря на неоднократные попытки, начатые еще в 30-е годы, эти задачи до сих пор остаются нерешенными.

Цель работы состоит в разработке эффективного метода исследования задач о распространении и дифракции волн в системах секториально расположенных соприкасающихся клиньев, а также применение разработанного метода к классической нерешенной задаче дифракции плоской волны на свободном от напряжений бесконечном упругом клине с произвольным углом раствора.

Научная новизна. В диссертации получил дальнейшее развитие известный метод Зоммерфельда-Малюжинца, состоящий в сведении задач теории распространения волн в клиновидных областях к системам функциональных уравнений относительно вспомогательных функций комплексной переменной. В тех случаях, .когда все встречающиеся в задаче волны распространяются с одинаковой скоростью, соответствующие функциональные уравнения Г. Д. Малюжинца имеют сравнительно простую структуру уравнений в конечных разностях. Для таких уравнений известны различные схемы исследования, приводящие либо

к явным решениям, либо к какой-нибудь из хорошо изученных задач, допускающей аффективное численное рассмотрение.

Более сложные задачи, такие как задача о распространении упругих волн, характеризуются присутствием нескольких взаимодействующих друг с другом типов волн, имеющих различные скорости распространения. Функциональные уравнения,. соответствующие таким задачам, имеют весьма сложную структуру и ранее не исследовались с должной полнотой.

В диссертации разработан метод исследования функциональных уравнений Г. Л. Малюжинца, возникающих в связи с задачами о распространении волн в секториальных средах. Метод включает в себя исследование аналитических свойств решений функциональных уравнений Г. Д. Малюжинца; сведение последних к фредгольмовым интегральным уравнениям; аппарат, позволяющий трансформировать решения обсуждаемых интегральных уравнений в физические характеристики волновых полей, причем, как в характеристики, суммарных полей, так и отдельных их компонент, сформированных головными, поверхностными волнами, дифракционными или еще какими-нибудь волнами специального вида.

Метод применен к исследованию известной задачи о дифракции плоской упругой волны на свободном от напряжений упругом клине. Для одного частного варианта такой задачи проведен численный анализ, основанный на вашем подходе. А именно, рассчитаны коэффициенты отражения и прохождения поверхностной ралеевской волны, набегающей на вершину свободного от напряжений клина вдоль одной из его граней. Результаты выполненных расчетов хорошо согласуются с экспериментальными Данными.

Результаты диссертации являются новыми. Их достоверность обеспечивается математическим обоснованием, а эффективность подтверждается выполненными расчетами.

Методика исследования состоит в преобразовании плоских задач динамической теории упругости к фредгольыовым интегральным уравнениям. В работе систематически используется методы теории функций комплексной переменной, интегральных преобразований, фредгольмовых и сингулярных интегральных уравнений.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на X Всесоюзном симпозиуме по дифракции и распространению волн (Винница, 1990), на международных Днях дифракции (Ленинград, 1991; Санкт-Петербург, 1992), на Третьей региональной конференции по сейсмическому просвечиванию Земли (Геленджик, 1990), на Втором международном съезде по прикладной математике (ICIAMrai, Washington D. С., 1991), на XXIII Генеральной ассамблее международного союза радиофиэиков (UR- . SI'90, Prague, 1990), яа X школе-семинаре по дифракции и распространению волн (Москва, 1993), а также на семинарах в Ленинградском и Ростовском государственных университетах, в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В. А. Стеклова РАН, в Институте прикладных проблем механики РАН, в университетах Калифорний в Беркли (Berkeley. California, 1992, 1993, 1994) и Лос Анжелесе (Los Angeles, California. 1992), в Центрах волнового движепия при университете Делавэра (Newark, Delaware, 1992) и при Колорадской Горной школе (Golden, Colorado. 1992), в Кураитовском институте математики (New York City, 1992), в Университете штата Огайо (C'oimnhus, Ohio, 1991), в Университете Дармштадта (Darmstadt, Germany, 1991), в Енсенадском Центре науки и высшего образования (Ensenada, Baja California, Mexico, 1991, 1992).

Теоретическая и практическая значимость. Результаты работы могут быть использованы при исследовании различных задач теории распространения упругих, акустических или .электромагнитных волы, возникающих в сейсмике, геофизике, строительной механике, акустике, радиолокации, неразрушающем контроле материалов и т. д. В диссертацию включены результаты

расчетов коэффициентов рассеяния поверхностных волн Рэлея на свободном от напряжений упругом клине, выполненные в лаборатории механики компьютеров университета штата Калифорния в г, Беркли.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в более чем 20-ти статьях и тезисах конференций.

Структура я объем диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав, разделенных на параграфы. Список цитированной литературы содержит 111 наименований. 'Объем диссертации с рисунками и библиографией — 138 страница. Приложение, содержащее тексты программ, занимает 19 страниц уплотненного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

0. Проблемы распространения и дифракции волн в областях с негладкими границами уже более ста лет находятся в ряду актуальных и малоизученных проблем как математической физики, так и примыкающих к ней разделов акустики, геофизики, механики сплошных сред, радиофизики, сейсмологии и т.д. Неослабевающий интерес к этой тематике вызван высокой практической значимостью и трудностью возникающих математических задач. В подтверждение последнего достаточно сказать, что даже в случаях, когда изучается распространение акустических волн'в однородных и изотропных средах, законченные результаты удалось получить лишь для простейшей геометрической конфигурации, состоящей из одиночного упругого клина, на гранях которого заданы линейные дифференциальные краевые условия.

Первые результаты в указанном направлении были получены еще в 90-е годы IXX-ого столетия.

А. Зоммерфельд исследовал решение уравнения Гельмгольца

-Фф+Рф^О

(1)

в бесконечной клиновидной области

Г = {г. в : г > 0, —а <#<а}, (2)

на гранях которой заданы краевые условия Дирихле

¿(г, = 0. (3)

Предполагалось, что волновое движение в упругой среде возбуждается приходящей из бесконечности плоской волной

Л«(г, 0) = е,*г«"<'-М, в0 6 (-а, а).

А. Зоммерфельд искал решение задачи в виде интеграла

ф(г,0) = [ {Ф(ш + в) + Щи - 0)}еигсо,и(Ь (4)

Jc

и пришел к системе функциональных уравнений

Г + + = 0,

\ Ф(ш-а) + Ф(и + а) = 0,

в которой от функции требуется регулярность и ограниченность в полосе |Г1еа.'| < и от Ф(и>) — регулярность и ограни ченность в этой же полосе с исключенной окрестностью точки и: = во, в которой Ф(ш) имеет простой полюс с вычетом, равным 1/2я'». Требуемое решение функциональных уравпений легко уга дываетея:

после чего подстановка (6) в интеграл. Зоммерфельда (4). дает явное решение чадачи дифракции.

Эту же самую ?ад;ип' практически одновременно г, Д. .Чоншер-фельдом раегмшр'-.т Л. Пуанкаре, юторый использопн.т другой

подход, основанный на разделении переменных. А. Пуанкаре искал решение в форме разложения

оо

¿М) = £ хаЗяпу2а(кг) р-0 (7)

по решениям уравнения Гельмгольца с разделенными переменными, удовлетворяющими краевому условию (3). Основную .трудность в подборе коэффициентов разложения (7) доставляет необходимость учета условий на бесконечности, т. е. условий на поведение суммы ряда именно в той области, где ряд сходится медленно. Преодолев технические трудности, А. Пуанкаре нашел явную формулу для коэффициентов х„ и получил тем самым явное решение задачи дифракции в форме, альтернативной к той, что была найдена А. Зоммерфельдом,

В последующие 50 лет было опубликованно множество работ, модифицирующих результаты А. Зоммерфельда. Выли рассмотрены задачи с краевыми условиями Неймана, с условием Дирихле аа одной грани и с условием Неймана на другой и т. д. Рассматривались также нестационарные задачи дифракции импульсов. Исследовались различные представления уже полученных решений и извлекались из' них всевозможные асимптотические и приближенные формулы. Наиболее значительным достижением этого периода является разработанный в 30-е годы метод функционально-инвариантных решений В. И. Смирнова-С. Л. Соболева, ориентированный на решение нестационарных задач дифракции импульсов.

Только в начале 60-х годов был сделан следующий принципиальный шаг. А именно, Г. Д. Малюжинед решил задачу дифракции плоской волны на клине со смешанными краевыми условиями

1 дф , I „

тг* оЗ ~ = 0. где (I = сопз!,

1кг дв

не допускающими разделения переменных.

Г. Л. Малюжинец, следуя Л. Зоммерфельду, искал решение задачи в форме (4), но вместо простых уравнений (5), получил более сложные уравнения

( + (*) + - а) = О, ...

X К(ш)Ф(и>-а) + Щи + а) = 0,

с коэффициентом отражения К(и>), имеющим вид

... . sinШ + /1 ...

К(а)) ■= —-. где м = const, . (Э)

s1hw-/j

и с такими же условиями регулярности, накладываемыми на неизвестные функции Ф(ш) и Ф(и>), что были описаны в связи с задачей Дирихле.

Центральная идея метода, позволившего Г. Д. Малюжинцу найти явное решение системы функциональных уравнений (7), состоит в использовании замены переменных ( = e'*w/2a, отображающей полосу |Recj| < 2а на плоскость разрезанную вдоль оси (0, ос). При таком отображении функциональные уравнения (8) сводятся ь разрешимой в квадратурах задаче сопряжения Ри-мана вдоль полуоси (0,оо).

Г. Д. Малюжинец исследовал уравнения (8) только с коэффициентом отражения вида (9), соответствующей конкретной физической задаче. Впоследствии подход Г. Д. Малюжинца успешно применялся к задачам дифракции с краевыми условиями высших порядков, т. е., включающими в себя производные 2-ого. 3-его и старших порядков.

Упомянутые выше задачи дифракции па бесконечных клиньях по сути дела исчерпывают список решенных задач этого класса. Между тем. имеется еще много актуальных задач дифракции па клиновидных препятствиях, к которым до недавнего времени не было найдено удовлетворительных подходов.

Наиболее известными представителями давно стоящих нерешенных задач рассматриваемого здегь класса, являются Задачи дифракции упругих волн на свободном или жестко заделанном клине и примерно равные ей по сложности задачи рассеяния акустических или электромагнитных волн па клиновидном

включении заполненном другим материалом. Общим в этих задачах является наличие двух типов воли, имеющих различные скорости распространения и взаимодействующих друг с другом только через краевые условия. Различие же состоит в том, что в задаче теории упругости волны обоих типов — продольные и поперечные, распространяются в одной геометрической.области, а в задачах акустики и электродинамики — в различных соприкасающихся областях.

Обсуждаемые здесь задачи теории дифракции действительно остаются нерешенными только при произвольном угле раствора клина, а в отдельных частных случаях точные решения давно и хорошо известны.

Поясним сказанное на примере задачи теории упругости.

При о = т/2 задача о распространении волн в клиновидной области (2) превращается в классическую задачу Лэмба для полуплоскости, поставленную и частично решенную последним еще в 1904-ом году. Исследование задачи Лэмба было доведено до исчерпывающей полноты как методом Лэмба, так и методами неполного разделения переменных и функционально-инвариантных решений В. И. Смирнова-С. Л. Соболева, получивших свое развитие в теоретическом отделе Сейсмологического института АН СССР, а затем в Ленинградском государственном университете и и Ленинградском отделении Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР.

Более сложные примеры решенных задач дифракции упругих волн получаются при а — ж. В этом случае мы имеем задачи дифракции на полубесконечном плоском экране, впервые рассмотренные в 1949 году М. М. Фридманым, которому удалось в рамках метода функционально-инвариантных решений свести задачу дифракции на полубесконечном плоском экране к точно решаемым сингулярным интегральным уравнениям. Несколько позже А. Ф. Филлипов нашел более простой путь решения этих же задач. Затем были решены задачи дифракции на полубесконечном экране в случаях падения синусоидальной плоской волны

(А. Мауэ], синусоидальной цилиндрической волны (Б. П. Белинский, Д. П. Коузов) и цилиндрического игпульса (Б. В. Будаев, Г. И. Пехрашень).

Что касается действительно нерешенных задач дифракции и распространения упругих волп в клиновидных областях с произвольным углом раствора, то еще в 1933 г. В. И. Смирпов и С. Л. Соболев "в отчете "О работах теоретического отдела сейсмологического института" (по тексту: В. И. Смирнов Избранные труды. — Л: Наука, 1988.- стр. 257-277) писали:

"Одной из следующих проблем, которая, естественно, стоит перед теоретическим отделом, является проблема о дифракции упругих волн, т. е. проблема о ходе этих волн при наличии препятствий к их распространению. Эта проблема имеет большое как теоретическое, так и практическое значение.

В настоящее время уже разобрана задача дифракции любого начального импульс.а в плосколс случае, относительно угла для одного волнового уравнения, т. с. дчя того случая, когда движение может быть составлено из волн одного типа (продольных или поперечных). В общем случае теории упругости мы имеем, как упоминали выше, два волновых уравнения, но здесь задача представляет гораздо большие трудности. Разбор этой об%ей задачи стоит в ближайшем планг. работ Института."

1. За прошедшие 60 лет неоднократно предпринимались попытки найти удовлетворительный подход к проблеме дифракции упругих волн на произвольном клиие. Однако ощутимые результаты были достигнуты лишь в самое недавнее время. Первая трудность, с которой приходится столкнуться при исследовании процессов распространения гармонических волн в клиновидной области, появляется уже на, этапе постановки задачи. Дело п

том, что в формулировку стационарных задач непременно должно входить какое-нибудь условие "на бесконечности". В качестве последнего обычно выступает либо условие излучения, либо принцип предельного поглощения, либо принцип Мандельштама или еще какой-либо их заменитель, необходимый математику для доказательства единственности решения задачи, а физику — для уверенности, что исследуемые им волны не возникают из ничего.

Точная формулировка условий на бесконечности для клиновидной области оказывается весьма непростой задачей, поскольку стандартные формулировки не применимы в случаях, когда границы области уходят в бесконечность.

В упоминавшихся выше исследованиях, посвященных задачам дифракции на клиньях, условие на бесконечности четко ве формулировалось, а либо игнорировалось, либо заменялось расплывчатыми требованиями "здравого смысла". В решенных задачах такая вольность, в конечном итоге, оправдывается апостериорным анализом полученных формул, подтверждающих их соответствие физическим представлениям.

При исследовании задачи дифракции упругих волн мы лишены надежды на получение явного решения и, следовательно, лишены возможности игнорировать точную формулировку условий на бесконечности. Предлагаемая в работе формулировка последних основывается на анализе общих свойств волновых полей в клиновидных областях и выглядит удовлетворительной как с физической, так и с математической точек зрения. Обсуждению всего относящегося сюда круга вопросов посвящена первая глава.

В силу того, что всякая клиновидная область инвариантна от-" носительно гомотетий с центром в вершине клина, любое опре-- деленное в области (2) решение Ф(г, в; к) уравнения Гельмголь-ца (1) с каким-либо фиксированным значением параметра к £ О порождает семейство решений уравнения (1), определенных для всех (с>0. Между функциями такого семейства и вещественными решениями волнового уравнения

= (Ю)

удовлетворяющими начальному условию ф{г,9, () — 0, 1' < 0, име-

ется взаимно-однозначное соответствие, определяемое взаимно-обратными интегральными преобразованиями

Тот факт, что любому решению уравнения Гельмгольца. определенному в бесконечном клипе,, можно сопоставить нестационарное волновое поле, удовлетворяющее волновому уравнению, позволяет сформулировать условия на бесконечности для стационарных полей, аппелируя к физически более наглядным нестационарным полям.

Мы говорим, что стационарное волновое поле ф{г,в) удовлетворяет условиям излучения в области Г = {г > 0, < 0 < б}, если при всех (г, в) £ Г выполняется тождегтво

означающее, что соответствующее по (11) нестационарное поле удовлетворяет в области Г нулевым начальным данным.

Здесь представляется уместный вспомнить, что всевозможные варианты условий на бесконечности появились в задачах теории распространения гармонических волн именно как заменители начальных условий в соответствующих нестационарных задачах.

Условие (13) имеет ясный физический смысл, но оно неудобно для используемсй в работе аналитической техники исследования стационарных волновых полей в клине. В связи с этим мы даем эквивалентную формулировку условий излучения для клина в терминах некоторой вспомогательной функции, Канонически сопоставляемой каждому стационарному волновому полю в клиновидной области.

(П)

(12)

при ( < о, и (г. в) е г, (13)

Пусть ф{т,в) — ограниченное в области Г решение уравнения Гельмгольца (1). Ему можно сопоставить аналитическую функцию ^

ф'(и>,в) = iksmui [ ф{г,в)е{кт™шаг, (14)

Jo

регулярную в открытой полуполосе Imu> > 0,0 < Reu < к. Функция ф'(и>,в) удовлетворяет "волновому" уравнению

д2 д2

и, следовательно, может быть представлена в виде

¿*(и>,0) = Ф+(^ + 0) + Ф_(ы-0). (15)

Сходство интегралов (13) и (14) позволяет доказать, что поле Ф{г,в) тогда и только тогда удовлетворяет в условию (13), когда Ф_(а>) = —Ф+(-ц;) и функция Ф+(и) регулярна в полосе а < Reo; < ß.

Иначе говоря, поле Ф(о>), удовлетворяющее условию излучения в клине Г, может быть представлено интегралом Зоммер-фельда

ф{т,в)** - [ + + (16)

* Je

в котором функция Ф(ш) регулярна в полосе а < Re w < ß а контур С совпадает с границей полуполосы Imu; > 0, 0 < Reu < ?г.

Это утверждение очень удобно для нашего подхода к задачам дифракции на клиновидных объектах и именно оно контролируется в процессе паших преобразований.

2. Вторая глава посвящена изучению свойств интегралов Зоммерфельда. Такие интегралы многократно встречались в литературе, а их свойства использовались во многих работах по теории дифракции и распространения волн. Тем не менее мы

(очли целесообразным включить в работу необходимые сведения об интегралах Зоммерфельда. Такое решение обусловлено несколькими причинами. Во-первых, интегралы Зоммерфельда занимают исключительно важное место в предлагаемом подходе к проблемам дифракции. Фа?тичесъи все паши рассмотрения основываются на свойствах таких интегралов. Во-вторых, в известной нам литературе сведения об интегралах Зоммерфельда пс систематголрпвппы и рпссегттш по многочисленным работам, в каждой из которых приводятся отрывочные результаты, необходимые для какой-то конкретной цели, а ряд важных свойств таких интегралов подробно не обсуждается.

Наш подход к интегралам Зоммерфельда (16) базируется на наблюдении, что они представляют собой обратное к (14) преобразование Меллина, модифицированное заменой переменных. На этом пути получаются теоремы о единственности разложения в интеграл Зоммерфельда, исследуются асимптотические свойства таких интегралов и т. д.

Другая группа свойств интегралов Зоммерфельда, связана со специальной структурой (3.5) их подынтегральных выражений, которая обеспечивает удовлетворение уравнению Гельм-гольца. К этой группе относятся, прежде всего, формулы дифференцирования, которые, в совокупности, составляют ядро удобного аппарата, своеобразного ''исчисления интегралов Зоммерфельда", позволяющего приводить краевые условия, накладываемые на волновые поля, к функциональным уравнениям относительно амплитудных функций соответствующих интегралов Зом мерфельда.

В анализе волновых полей видное место занимает изучение их асимптотик в дальпей зоне Ь > 1. В случае, когда волновое поле описывается интегралом Зоммерфельда, получение таких асимптотик не вызывает значительных затруднений и проводится прямым применением метода стационарной фазы» Все необходимые вам формулы, относящиеся к различным случаям расположения сингулярностей подынтегрального выражения, разбираются в отдельном параграфе второй главы.

Интегралы Зоммерфельда вида (16) удовлетворяют уравнению Гельмгольца (1) с фиксированным волновым числом к. Но в задачах теории упругости приходится работать одновременно с двумя такими уравнениями, различающимися волновыми числами. Это обстоятельство вызывает потребность в изучении следующего преобразования

/ {Ф(и + в) - Ц-ы + в)]е^кгсо,и1Ь Лс

= ¡Щъ^ + в) - ф(~ё(си;7) + (17)

где под g(ц^; 7) понимают функцию

7) = агссоз^соаи),

определенную па комплексной плоскости С разрезанной вдоль отрезков [—7, + жп, 7» + тгп] где я £ 2, и

_ / агссоз(1/7), если у > 1, — \ ¡агссо8Ь(1/7), если 7 < 1,

Формула (17) встречалась еще в работах Г. Д. Малюжияца, но специальное исследование функции g(u^;7), ранее, невидимому, не проводилось. Между тем, имевно свойства этой функции определяют степень трудности задач об одновременном распространении разноскоростных волн в клиновидных областях, и, в тоже время, играют решающую роль в реализации предлагаемого подхода к проблеме. Например, свойство

g(u + 1rn•,7) = g(ш■,7)4-тn, при п 6 2 ' (18)

обеспечивает разрешимость задач дифракции упругих волн на клине (2) с углами а = ж/2 и а = ж.

Среди других важных свойств функции g(<J; 7) следует выделить: инвариантность прямых Ивы = ж/2 + жп и полуполос

irn < Reu < ж(п + 1), где п 6 2, относительно преобразования

и —> g(cj; 7); сходимость в области Imw > Im7« разложения

взаимную обратность функций g(u»;и g(u>; I/7).

Именно удачный учет перечисленных свойств функции 7) играет решающую роль в реализации развиваемого в диссертации подхода к задачам распространения волн в клиновидных областях.

Завершает вторую главу обсуждение взаимосвязей между интегралами Зоммерфельда и нестационарными волновыми полями, т. е. решениями волнового уравнения (10).

Если решение уравнения Гельмгольца представляется в форме интеграла Зоммерфельда (16), то задача отыскания интере- • сующего нас стационарного волнового поля ф(г, в) сводится к построению аналитической функции Ф(и), удовлетворяющей определенным аналитическим условиям. При этом естественно возникает вопрос, реально ли извлечь полезную информацию о волновом поле, представленном в форме весьма сложного контурного интеграла Зоммерфельда, если подынтегральная функция последнего задана не явными выражениями, а определяется численной процедурой. Оказывается, что такую информацию извлечь можно. С одной стороны, свойства интегралов Зоммерфельда позволяют извлечь информацию о волновых полях в областях кг > 1 и fer < 1 фактически без выполнения контурного интегрирования. С другой стороны, оказывается, что вспомогательная аналитическая функция Ф(и/) имеет самостоятельный физической смысл.

Так, функция Ф(ы) с точностью до алгебраической подстановки определяет собой нестационарное волновое поле! Говоря

точнее, если интеграл Зоммерфельда (16) представляет решение

оо

стационарной задачи дифракции в клиновидной области Г, то решение ф(г,в, 1} соответствующей нестационарной задачи дифракции импульса на том же самом клипе Г определяется выражением вида

ф{г, 0, t) = фгс{1{т, 9, t) + Ф,ц//{г, в, t),

при Vt < г, при vt > г,

где

¿K//M,f) = { +в) _ ф(_ы. + e)li

и, — arccos ^ = к + i arccosh ,

а через фГс/1(г, 6,t) обозначено поле отраженных волн, которое легко вычисляется a priori при помощи элементарной процедуры последовательных отражений. Подобного рода соответствие между стационарными и нестационарными волновыми полями было открыто в процессе применения метода Cagniar-de Ноор'а к задачам отражения от плоских границ и дифракции на щели. Затем Г. И. Петрашень получал подобные формулы, применяя собственную модификацию метода Cagniai-de Ноор'а v. задачам, решаемым методом неполного разделения переменных. Наша трактовка этих вопросов близка к трактовке Г. И. Петрашеня, хотя и отличается от последней некоторыми техническими деталями.

К сожалению вопросы соответствия между стационарными и нестационарными волновыми полями недостаточно освещены в литературе, и именно поэтому мы уделяем им внимание в настоящей работе. Исследование таких взаимосвязей имеет не только практический интерес, но и способствует выявлении аналогий и взаимосвязей между различными подходами к теории распространения и дифракции волн. Так, в контексте обсуждаемого преобразования становится ясно, что различие между методом функционально-инвариантных решений В. И. Смирнова-С. Л. Соболева и методом А. Зоммерфельда-Г. Д. Малюжин-ца является скорее методологическим, чем аналитическим, а сами указанные методы естественно рассматривать как различные

модификации одною ц юго же общего подхода, основанного як "отображении" плоских задач на комплексную плоскость.

3. Основная, третья глава, разбитая на 12 параграфов, пред с тавляет гобой опирающееся лишь на материал предшествующих глав исследование плоской задачи дифракции гармониче ских упругих волн на клиновидной полости со свободными от напряжений краями.

Такая задача сводится к отысканию продольных и поперечных потенциалов ф(г,в) и ф(т,в), удовлетворяющих в области (2) уравнениям Гельмгольца

Ч2ф+-)2к2ф-0, У2ф + к2ф = 0, (19)

и краевыми условиями

1гв[ф, ф](г, ±а) = Ьо[ф, </>](г, ±п) = 0, (20)

где t,о и too — известные дифференциальные операторы нюрого порядка, преобразующие упругие потенциалы ф(г,0) и с{/,0) в компоненты тензора напряжений. При этом требуется, чтобы поля Ф(г,в) и ф(г,0) удовлетворяли усчовию на ребре

Ф{>,0) = 0(г'"), ф(т,в) = 0(г1'), где р>-1, и i - 0,

обеспечивающему локальную интегрируемость плотности энер пш упругого поля, и допускали разложения

ф(г, в) = Фы(г, 9) + ф,е(г, в), ф(г, в) = фы(г, в) + ф,с(г, в),

в которых составляющие ф„(т,в) и ф,с[г,в) удовлетворяют уело виям излучения в области (2), а поля падающих волн </v,/<,0) и фы(г,в) определяются формулами

0шМ) - Ар

</',„(>',«) = Л,

Формулы (21) подразумевают, что рассматривается симметричная относительно оси в = 0 задача. Такое предположение существенно снижает объем выкладок, но общность рассмотрения от этого не страдает, т. к. мы- параллельно рассматриваем т.иокс и антисимметричную задачу, а общая задача элементарно расщепляется в сумму симметричной и антисимметричной задач. Основная идея предлагаемого подхода к задаче дифракции состоит в приведении ее к системе функциональных уравнений в комплексной области, которые необходимо решить при некоторых дополнительных условиях регулярности, налагаемых на искомые функции. Это удается достичь при помощи описанного выше преобразования Зоммерфельда, которое, например, сопоставляет симметричным стационарным потенциалам ф(г,'в) и 1р(г,в) нечетную Ф(ш) и четную Ф(ц>) аналитические функции, удовлетворяющие соотношениям

ф(г, в) = f [Ф(и> + в) + Ф(и - в)]е{-,кгст Ш<Ь,

■'? " (22) ф{ г,в) = J [Щш + в)-Ч(и-в)]е'кг™ы<!к,

в которых под С понимается контур, ограничивающий полуполосу Imw > 0, 0 < Reo) < ?г. Дополнительно требуется, чтобы функции Ф(о>) и Ф(а>) имели вид

Ф(ш) = Фо(и/) + (и>), ф(а') = Ф0(ш) + Ф|(ш), (23)

где $>i(u>) и Ф](«) регулярны в полосе |Rew| < а, а Фо(и) и Фо(^) известны заранее, причем последние имеют в указанной полосе по паре фиксированных полюсов с заданными вычетами.

Применяя * исчисление" интегралов Зоммерфельда, развитое во второй главе, можно показать, что интегралы (22) тогда и только тогда удовлетворяют краевом условиям (20), когда функции Ф(ш) и Ф(ш) удовлетворяют функциональным уравнениям

' ЛпН [#(g(w; 1/7) + о) + ®(g(w; 1/7) - о)]

+Ли(и>)(Ф(ы + а) + Ф(а;-а)1 = 0, ' Ам(ы) [Ф(8(«; 1/т) + а) - ОД*; 1/7) - «)] ^

+Ли(а») {Ф(а* + а) - Ф(ш - а)] = О,

явно заданными коэффициентами Лц(и.')~Ла(с^).

Функциональные уравнения, аналогичные (24), впервые были получены в 50-е годы в работах Г. Д. Малюжинца, который, однако, ограничился их исследованием в частном случае 7 = 1, когда g(u^; 7) = и>.

В атом случае, уравнения (24) превращаются в уравнение в конечных разностях, сводящееся к матричной задаче сопряжения Римаяа, которая в некоторых частных случаях допускает решение в квадратурах.

В других частных случаях, когда а = гг/2 или а = г, функциональные уравнения (24), в силу свойства (18) функции 5(0;;7), снова превращаются в уравнения в конечных разностях, которые при конкретных значениях коэффициентов А» 1(и>)-Агг(и) решаются в квадратурах. Именно этим и объясняется почему задача отражения от плоской поверхности (а « т/2) и задача дифракции на полубесконечной щели (а = я) имеют явные решения.

Общий случай, когда уравнения (24) не сводятся к функциональным уравнениям в конечных разностях, Г. Д. Малюжинец не рассматривал.

Приходится констатировать, что хотя функциональные уравнения типа (24) встречались в работах различных авторов, исследование этих уравнений до недавнего времени оставалось открытой проблемой, эквивалентной рассматриваемой задаче теории дифракции упругих волн. Именно это исследование и Составляет ключевую часть настоящей работы.

Оказывается, что уравнения (24), подобно уравнениям периодичности (8) позволяет аналитически продолжить любое их решение, заданное в полосе | Яеу| < а, на всю комплексную плоскость. Для выполнения такого продолжения удобно переписать уравнения (24) в форме

Г + *)) = ЛГ„М*(Г1М - а)) + *,г(и>)Ф(и; - «), ,

\ Ф(о.- + «)) » Г<г1(и,)Ф(к-Ци)-а)) + Кп(ы)Щи>-а),

где g(c^>) = g(ы;7), а коэффициенты Кц(и>)-К2г(ш) совпадают с известными коэффициентами отражения упругих волн от свободной

поверхности и образуют матрицу с единичным определителем, т. е.

•ы(я„т(и)) = -1.

Процедура продолжения функций Ф(ш) и Ф(и>) состоит в последовательном использовании соотношений (25), но из-за наличия нелинейной подстановки g(a); 1/7), при реализации этой идеи приходится преодолевать специфические трудности.

В процессе аналитического продолжения функций Ф(а>) и Ф(и>) удается полностью описать сингулярные части этих функций в важной для нас полосе | < гг + а и построить такие вспомогательные функции Ф»(о>) и Ф»(ш), чюбы в разложениях

Ф(ш) = Ф.(и>) + Ф(а>), Ф(и>) = Ф.(«) + Ф(а>), (26)

функции Ф(<«Л, Ф(о») были регулярны в полосе |Неш| < л + а.

Рассматривая частный случай, когда функции Фо(о>) и из (23) равны нулю (однородная задача), из (26) можно заключить, что всякое решение уравнения (24), регулярное в полосе |Неи| < а регулярно в более широкой полосе |Пеш| < 7г + а. Это свойство принудительного расширения области регулярности лежит в основе вашего доказательства следующей теоремы единственности. '

Теорема 1 Пусть функции Ф(а>) и регу.гярни в полосе | Иеш| < а, мажорируются при 1ти —< оо функцией 0(е^1ти'), 6 < 1 и удовлетворяют уравнениям (24). Тогда Ф(и) 5 Ф(о>) = 0.

Поскольку исходная задача дифракции еквивалентна задаче решения функциональных уравнений (24) при специальных ограничениях на искомые функции, то в качестве следствия из теоремы 1 мы получаем теорему единственности решения стационарной задачи дифракции упругих волн на свободном от напряжений клине.

В следствие 5-ого, чтов уравнения (24) входят лишь аналитические функции, их можно рассматривать не на всей комплексной плоскости, а на какой-нибудь прямой^ например, на прямой

Rcuj = jr/2, удобной своей инвариантностью относительно пре-образованил и> —> g(w;7).

Используя (26), уравнения (24) нетрудно привести к виду

Ли(w) [ф(ё(ы; 1/7) + «) + Ф(&("; 1/7) - а)]

+Aw(w) [*(ы + а) + Ф(и - о)] = n(w), | A21H[$(g^;l/7) + a)-$(g(a,;l/7)-a)] ' ^

\ +A22(w) [tf(w + а) - Ф(ш - a)j = гф),

где неизвестные функции Ф(и>) и предполагаются регулярными в полосе | Re и — гг/2| < а.

Ключом к анализу системы уравнений (27) являются свойства двух операторов: оператора замены переменных G(7) з G:

G(T№)-X№;7)) (28)

н сингулярного интегрального оператора Н(а) з Н:

H(«)A'(w) = —-V.P. / - 'V^P ..ч, (29)

основное свойство которого состоит в обеспечении тождества

Ф(и + а) - - а) = И(а)(Ф(и> + а) + Ф(а.' - а)],

для всех функций Ф(и>), регулярных в полосе |Recj — к/2| < <* и подчиненных оценке |Ф(а>)| < 0(е<,|п,'*'1), при б < 1.

Оператор 11(а) определен на пространстве М = L-j(Beu/ — ;г/2,/i(u>)) функций, квадратично суммируемых на прямой Rew = 7г/2 с весом

,i(w) = e-Je|Imu|/',

Элементарность интегрального оператора Н(а) подчеркивается наблюдением, что отображение

и) t ; tau ~ (ш - i ^ = it, (30)

переводящее прямую Reu) = т/2 в отрезок — 1 < t < 1, трансформирует его в сингулярный интегральный оператор h(a) стандартного вида

Основные для нас свойства операторов Н(а) и G(7) содержатся в следующем утверждении.

Теорема 2 Пусть а > 0, у > 0. Тогда: а) коммутатор (Н(а), G(7)J вполне непрерывен как оператор из М в М; б) если функция К(и>) дифференцируема н ограничена на прямой Reu; = т/2, то коммутатор (Н(о), А*(и)] вполне непрерывен как оператор из М в М; в) множество принадлежащих пространству М решений интегрального ¡фпвненшг H(of)X(u>) = Я(и>), где Я(ш) 6 М описывается формулой

Х{ш) = + С,

где

1 rw/3+ico _

С использованием операторов (28) и (29) система уравнений (24) преобразуется в операторную систему уравнений

Г л„(«)ад + л12ИУ'Н а г,и,

\ A21HG-'HGÄ'H + Л22ИНГИ = г2(ш), < ■ относительно новых неизвестных функций

f Х(ы) » $(g(u>; 1/7) + о) + 1/7) — <*)<

\ У(ш) = Ф(и> + й) + Ф(и- - о).

Исключая из системы (31) одну из неизвестных, например Y(u>), и, применяя теорему 2, не представляет труда привести ее сначала к сингулярному интегральному уравнению

а затеи и к фредгольмовому интегральному уравнению второго

рода

Х{и) + A(w)JY(u) = П(ч>; C)K(uj), (32)

с коэффициентами

д-лл _ Лц(ц)Л22(ы)_

AU(W)A23(ui) - A12(a))A2l(w)'

^"^[ШШ-^'сй0-'»]-

Теорема 3 Интегральное уравнение (32) имеет решение, принадлежащее пространству М, тогда и только тогда, когда С = 0.

Интегральное уравнение (32), заданное на прямой Reu = тг/2, преобразуется подстановкой (30) в уравнение на стандартном отрезке (-1,1). Левая часть уравнения (32) вещественна, и это

существенно упрощает применение к ней численных методов.

Фредгольмовое интегральное з'равнение второго рода на отрезке является, вероятно, лучшим, к чему можно свести достаточно сложную задачу математической физики, для которой не удается найти явное решение. В этом смысле достигнутый результат можно считать оптимальным.

После того, как решение уравнения (32) построено, вычисление искомых волновых полей проводится по явным формулам. Сначала вычисляются интегралы

*и e Lf^jmmи,

««Л/2-ioo cos^(w-i) 1 /»/З+'OC Yif\

ФМ = ~ / —; u сж>

определяющие функции Ф(у) и Ф(и) в полосе |Raw — ff/2| g а. Затем, в этой полосе вычисляются функции Ф(ш) и 4'(ш), задаваемые выражениями (26). После этого функции Ф(ш) и £М

аналитически продолжаются в область |Ееи)| < я- + а при помощи функциональных уравнений (25). Наконец, остается вычислить волновые поля в) я #), представленные в форме интегралов Зоммерфельда с уже известными амплитудами Ф(ш) и Ф(о|), т. е. выполнить стандартную, неоднократно апробированную операцию, широко обсуждавшуюся в литературе.

4. Разработанный в диссертации подход применю! к широкому кругу задач о распространении волн в клиновидных областях. В подтверждение этого, а также для подтверждения численной эффективности мсюда, в последней главе рассматриваются еще три задачи указанного типа.

Предположим, что вдоль одной из граней свободного от напряжений упругого клина распространяется поверхностная рэло-евскап волн?, набегающая на его вершину. Тогда, в результате взаимодействия поверхностной волны с гранями и вершиной клина, в упругой среде возникает сложное волновое поле, состоящее из дифрагированных, головных и поверхностных волн. Волны первых двух типов, являясь объемными волнами, убывают с ростом расстояния г от вершины клина как 0(1/г) и 0(1/у/г) соответственно. Поверхностные же волны распространяются вдоль свободных граней без затухания. Поэтому, на некотором удалении от вершины, колебания поверхностей рассматриваемого упругого клина полностью определяются рэлеевскими волнами, которые естественно называть отраженной и прошедшей волнами, в зависимости от грани по которой они распространяются.

Вычисление отраженной и прошедшей рэлеевских волн в свободном от напряжений упругом клине составляет содержание классической задачи динамической теории упругости, имеющей приложения в различных областях от сейсмики до микроэлектроники. Кроме того, это одна из немногих задач теории распространения упругих волн, в которой теоретические результаты могут быть сопоставлены с экспериментальными данными.

Достаючно точный экспериментальный материал, представляющий коэффициенты отражения и прохождения рэлегвгкой

1.1 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0

Theoretic ol curve Experimental data

100 120 140 160 180 200 220 240 Wedge angle

100 120 140 160 180 200 220 240 Wedge ongle

Pttc. 1. ko3<t>4mKH<;Hiw 0Tpa*eni!!i h npoxo^fleim« p^eeBCKott bomih.

волны как функция угла раствора клина, был получен еще в 60-е годы. Что же касается теоретических исследований, дающих удовлетворительное соответствие с экспериментом, то они до настоящего времени ограничивались лишь частным случаем прямого угла, а также задач отражения от свободной поверхности и дифракции на полубесконечной прямолинейной щели.

С принятой в настоящей работе точки зрения задача рассеяния рэлеевской волны на свободном от напряжений упругом клине является частным случаем разобранной в четвертой главе задачи дифракции пары плоских упругих воля, задаваемых потенциалами

фЫ(г,0) = с<7я*гс0.(9-й)с-е|.т(вТа)|А:Г) V>in(r,0) = С/ге,'Т",':ГСм(в-а) e-<|.¡B(0To)|fcr

где 2

27;.2~1..!¡, v 27я vV - Tr

a 7/í есть положительный корень известного трансцендентного алгебраического уравнения Рэлея

(2х2 - I)2 ~ - У2) = О-

На основе развитого в диссертации метода автором в содружестве с профессором D. Bogy (Univesity о£ California at Berkeley), были произведены расчеты коэффициентов отражения и прохождения рэлеевской волны в свободном от напряжений упругом клине. Для проведения расчетов было выбрано значение коэффициента Пуассона а « 0.25, обеспечивающее возможность сопоставления с ограниченным экспериментальным материалом. Прилагаемые графики показывают хорошее соответствие расчетных и енспериментялышх кривых.

Во втором параграфе главы рассматривается задача о колебания упругого клина, яа гранях которого задапа динамическая

нагрузка. Эта задача практически не отличается ох рассмотренных выше задач дифракции. Она сводится к той же самой системе интегральных уравнений (31), но с другой правой частью, явно вычисляемой по заданным на границе напряжениям. Поэтому, все программные модули, разработанные для расчета рассеяния рэлеевской волны на свободном от напряжений упругом клине, могут быть использованы и для расчета колебаний динамически нагруженного упругого клина.

Завершает главу параграф, посвященный задаче рассеяния гидро-акустической волны, набегающей на пологий океанский берег. Систему океан-Песчаное дно принято моделировать как систему из двух различных жидкостей. Поэтому, рассматриваемая задача может быть сформулирована как задача рассеяния акустической волны на клиновидном включении. Разработанный в диссертации аппарат позволяет свести эту задачу к фредголь-мовому интегральному уравнению второго рода, однотипному с теми, что возникают в задачах теории распространения упругих волн, и доступному для численного анализа при помощи программ, подготовленных для задач теории упругости.

5. В приложении приводятся тексты программ, использованных для расчета коэффициентов отражения и прохождения поверхностных волн Рэлея при рассеянии на свободном от напряжений упругом клине. Вычисления производились в лаборатории механики компьютеров университета штата Калифорния в г. Беркли на рабочей станции DEC-3000/800 в системе MATLAB.

Основные публикации по теме диссертации

[1] Будаев Б. В. Излучение упругих волн динамически нагруженным клином// Докл. РАН.— 1993.— Т. 330, N«

С. 38-40.

[2] Budaev В. V. Diffraction by wedges// Pitman research notes in mathematics series.—Essex: Longman.—- 1995.— 141 P.

[3] Будаев Б. - В., Боровиков В. А. Дифракция на угле и конусах произвольного, сечения// Лекции на X зимней Школе-семинаре по дифракции и распространению волн.— М: Наука,— 1993.— С. 23-34.

[4] Будаев В. В. Обобщенные ряды Мейкснера/ / Известия Высших учебных заведений. Радиофизика.— 1991.— Т. 34, № 2.— С. 216-219.

(5} Будаев Б. В. Рассеяние волн пологим берегом// Записки научных семинаров ПОМИ,— 1994.— Т. 23.— С. 57-6'4.

(6) Будаев Б. В. Дифракция волн на клиньях// Препринт ПОМИ, Р-92-2.— С.-Петербург,— 1992.

(7] Будаев Б. В. Дифракция упругих волн на свободном клине// Труды i0 Всесоюзного симпозиума по дифракции и распространению волн.— Винница.— 1990.— Т. 1.— С. 266-269.

(8J Будаев Б. В. Собственные функции упругого угла// В кн.: Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн.— Л: Наука.— 1989.— Т. 29.— С. 36-40.

[9] Будаев Б. В. Дифракция упругих волн на свободном клине. Редукция к сингулярному интегральному уравнению// Записки научных семинаров ЛОМИ.— 1989.— Т. 179.— С. 3745. '

[10] Budaev В. V., Bogy D. Rayleigh wave scattering by a wedge// Wave motion.— 1995. (в печати)