Взаимодействие двумерных нестационарных упругих волн с ограниченно-податливыми границами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Ц. В. ЛОМОНОСОВА

РГ6 "ИГ

> >> .-пр

Махвншсо-иатеиатический факультвт

На правах руяош;оя

НОСОВ СВЯТОСЛАВ ЕВГЕНЬЕВИЧ

ВЗШОДЕЙСТВИЕ ДВУМЕРНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УПРУГИХ ВОЛН С ОГРАНИЧЕННО-ПОДАТЛИВЫМИ ГРАНИЦАМИ

01.02.04 - механика дефориируемого твердого тола

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата фиаххо-математпеских надо

МОСШ 1994

Работа выполнена на кафедре теории упругости механюсо-математического факультета Московского государственного университета имени К.ВЛомоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор В.С.Ленский

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук

В.Б.Поручиков,

кандидат физико-математических наук, доцент А.Ц.Филкпов Ведущая организация - 11АИ

Защита диссертации состоится * 13 " мая_1994 г.

в 16.00 час. на заседании диссертационного совета

Д.053.05.03. в Московском государственном университете им. К.В.Ломоносова по адресу: II9899, ГПС, Москва, Воробьёвы Горы, MI7, механико-математический факультет, аудитория 16-10.

С диссертацией мохно ознакомиться в библиотека механм-ко-ыатематического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан » / I " GlupJlAiX 1994 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

доцент В.А.Мольков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАКШ»'

Актуальность темы. При постановхо задач динамической тео-ряа упругости, как правы о, используется гршплкыз условия на свободной поверхности или граничные условия яа закрепленной поверхности. Эти граничные условия носят г взвасгаой перо прк-бликенный характер вследствие того, что любая механическая система содержит тонкие прослойки я напыления, которые практически воаиокно учесть только путем изменения граничных условна. Существенно, что изменение граничных условий мокет приводит» к вршцшшалыю отличной структуре решения. В работе [I] выяснено, что учёт ограниченной податливости границы а задача о поверхностных волнах в упругой полупространстве обнаруживает непрерывна спектр скороотей распространения вата, зависящий от частоты, в отличие от реяения Рэлоя, в которой скорость распространения волн определяется только механическими свойствами материала, составляющего полупространство.

Исследовании дафракцнв волн в езгаазаой жидкости на тв-лах произвольной формы с амортизирующая покрытием посвящены работы [2, 3]. Исследованы задачи о дифракция плоской волны на цилиндре, сфере, сферической оболочке, покрытпх амортивв-рувцим слоем. Обнаружено, что поведение давления на границе исследованных тел принципиально отличается от поведения давления на границе кеотккх тел в аналогичных задачах. В частности,

U1 Денский B.C. /Релеевские двякения а упругом полупространстве о несвободной граняцей//ПШ, 1991, т. 55, К 5, о. 873-875.

(2] Пекуровокий J.Е., Поручиков В.Б., Созоненко D.A./Взаамо-д в Яства 9 валя в телами. II. нэд-во Ю7, 1990.

[3] Поручиков В.Б., Созоненко Ю.А., Пекуровокий Л.Е., Взаико-дейотвиа акуотических м ударных волн с телами. М. изд-во Ш7 1981.

> лобовой точке обнаружены серив осцилляция давления, не на-выдающиеся в задачах в жесткими телами.

Деяь работы« Аналитическое ревенае некоторых задач динамической теории упругости с граничным условиями вннклеров-схого х инерционного типов. Исследование влияния граничных условий указанного типа на поведение решения путем сравнения полученных решений с ревевший аналогичных задач при классических граничных условиях.

Научная новизна. На гадату выносятся следующие результа ты, впервые и лично полученные автором в предлагаемой работе

1. Доказана теорема единственности решения задачи дина^ ыотеской теории упругости с граничными условиями винхлеров-схого и инерционного типов.

2. Ремена задача об отражении плоских упругих волн про* извольного профиля от несвободной границы упругой полуплоск* ти методом функционально-инвариантных ремений. Рассмотрен случай полного внутреннего отражения поперечной волны.

3. Решены следующие задачи о воздействии сосредоточенна импульсов на упругую полуплоскость:

а) нормальный сосредоточенный импульс при винклеровсхом граничном условии, ,

б) касательный сосредоточенный шшухьс при венхлеровском граничном условии,

в) нормальный сосредоточенный импульс при инерционном граничном условии,

г) касательный сосредоточенный импульс при инерционном граничном условии.

4. Решена задача о дифракции плоской упругой БН-волны на клине с упругой заделкой век.

5. Ревена задача с дифракции ЭН -волны на клиновидном

гирезв о пассивной облицовкой.

Прялоааиик. Работа носкг теоретический характер. Результаты, полученные а диссертации, могут быть использованы, например, при исследовании проблей геофизики я сейсмологии, прз анализе явлений, вызванных мсаотм взрывоа.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на научно-исследовательском семинаре кафедры теории упругости механико-математического факультета; ИГУ ни. И.В.1оионосова под руководством члена-корреспондента РАН А.А.Ильшина.

Публяхппяи. Результаты диесертации опубликованы я работах [I, 2], указанных в конце автореферата.

Структура работы. Диссертация состоит из введения н девяти параграфов о 10 рисунками, списка литературы вз 48 наименований. Работа наложена на 84 страницах маишописного текста.

Содегоание работа

Во введения обоснована актуальность работы, приведен еб-аор литературы по указанной теме, п сфор^улирсганы основнкэ результаты работы.

В § I дана общая постановка задачи динамической теорка упругости о граничим» условиями вгнклеровского и инерционного тхпов, сформированная следуиацз образом:

Пусть в одно рода оз упругой теле плотности р , сяягагаг>-цзм область V о певицей Л , з начальяыЭ шшяг времени 1 = 0 заданы перемеценяя Сс*(х) вскорости ^¿"(х) , где с - I, 2, 3. Прз о< ~Ь< Т . на части границы гадала перемещения ^¿(х, ¿.) , па часта Ид- задан вектор напривеявй, р^Я.Ь) , па части 2Г у задана жш-неСная кокбкази* векторов веравецеекВ в вадрякений, а яа

части £Zm задана линейная ковбянация векторов напргаенкЯ в ускорений. Допускается, что при двиснвн упругой среди в области v возникают поверхности разрыва скоростей и напряжений (ОД К - . Цачадьно-араевая задача относительно координат вектора перемеяевий ^-i в компонент тензора напряжений в декартовой оистеме координат формулируется следующим образом:

xeVsia.tefo.TJ

"¿=<М?'С)* xcru> telQ.T)J (¡■¿jlij^Pidt), XeZIff, teiO.TJ,

fy V *ij aj =fi <*.t> , x"e E„, t e [O.Tl, «¿j V = m,ix,t). x £ . teioTJ.

v;<x>,. iev, [$ij hj + ocnp = о , * e fcl «

n = T^"adrKi ' : i^rnrr •

CM]= e.a, M - Ccm M

- саачок на поверхности

frj.

интегрируемы в квядрятсм в V,

( = Сс(1) + 0(гл), г-О, где 1 -расстояние до особой точки (линии) границы 21 , или до лииип сиены граязчних условий, а (для линии Л>0 ).

Для приведенной формулировки задачи динамической теория упругости доказана теорема единственности ее решения.

В § 2 дано ревение задачи об отражении плоских упругих продольных я поперечных волн от границы полуплоскости о краевыми условиями вкнклерозского типа

6\,у " КУ,= О , У = 0,

(I)

я инерционного типа

б-уу ~ К = V =0,

е\у=о, у = о.

Решения получены азтодоя функционально-инвариантных решений Сиарнова-Соболеза, что позволило рассмотреть отражение волн произвольного профиля. Обнаружено искажение профиля отраженных волн относительно профиля падакцей волны. Если падаодая эолна имеет конечную протяженность, т.е. движение, вызванное во в лобой точке пространства, продолжается конечное время, то у отраженных волн отсутствует хонец: после прихода отраженно!! волны вдюбую точку полуплоскости ви вснкий последу в-кий момент временя в ней сохраняется затухапцее движение. Для монохроматической волны синусоидального профиля обнаружена зависимость амплитуд и фаз отраженных волн от частоты, чего не наблюдается при отражении волн от свободной или закреп-

ленной границы.

В § 3 ревене задача о полном внутреннем отражении поперечное волны произвольного профили от границы упругое полуплоскости при граничных условиях (I), (2). Если падавщая волна является монохроматической, то отраженные волны имеет зависящую от частоты амплитуду/и их фаза, также зависяиая от частоты, сдвинута относительно фазы падаюаей волны. Вознмкапдее при этом продольное движение экспоненциально затухает по мере удаления от границы полуплоскости.

В § 4 реиена задача о воздействии нормального сосредоточенного импульса интенсивности I на упругую полуплоскость

О при граничных условиях (I). Решение получено методами операционного исчисления. Задача от обраяении интегральных преобразований была сведена в вычисление интегралов вида

CV°° *Г -P(SX-vV^V) ;

а= J dp) r<p,s)e ois

C-ioo -во '

где Sxiy/p a p, 9 -параметры преобразования Лапласа и Фурье соответственно, параметр & равен I для продольно» волны, м равен ^ для поперечной, где О. , ß -скорости продольных и поперечных воля, соответственно. Для вычисления интегралов вида (3) была использована техника осрааения Каньяра-де Хула. Зависимость г от р в (5) в исследуемой задаче была дробно-линейной, что затруднило решение по сравнению с классическим случаем, когда РЧР, S) = -р Удалось показать, что область мекду хонтуром Канъяра и прямой ReS = 0 , не содержит особых точек подынтегральной функции, ilanomm, что коятур Каньяра определяетси условием

SX-v/tTV?= ty г с IR ,

из которого следует, что при фиксированных х^У

* У*0.

Отсутствие особых точек подьитегральной функции в области, заключенной между контуром Каньяра я прямой дало возможность деформировать прямую в контур Каньяра:

и = [ с! Р 5 Г(р,5.)е'р сI*. . с-;»«» ¿иё

Поменяв порядок интегрирования, после некоторых преобразований получим окончательный результат - выражения для перемещений:

. ехр( НЕЕ (г-о) ^ ]

+ л» га-л о.,

>/-- т т«к. .гУ^о-ал ' т» ( яы с1-ь ^^

Уг к&гЗь ШГ^

- В -

. exp/JtiH! (r_ t)) dL ¿x 1 f H12 exp\ r(s) lt ь>/жd j 1 h(t-x-^yvtf^)

где R (s) = (г*- г S*)* + 4S4( I-$>*( ¡f'-s*)', a S, гадаао выражениями (<>) при iT-L , e £ - при сГ = $ , причем в ахах выражениях введены безразмерные переменные Xs(K/fx)X', У=(К/^У', t = (Ka/fA.) t't а -скорость еро-долышх воин. Полученное ревение содержит в качестве слагезио-го реяение 1эмба задачи о действии нормального оссрвдоточешогс инпульсв на упругую полуплоскость со свободной границей. Эгш слагаемым определяется особенность типе I//T на фронтах продольной и поперечной волн. В точке У = О, t-p^x , где

' -скорость воля Ре лея, полученное решены имеет особенность типа S.n '/j t y.g. происходит увеличение до беско-

нечности частоты колебаний точек границы по меро приближения и релеевской точке, в то время как в вадаче Лайба в зтой точка имеется ляиь особеннорть + . Интегральное слагаемое имеет 8нак, противоположный первому, представавшему раиенез Лейба, что означает ослабление действия импульса на упругую полуплоскооть граничным условиям Вкаклера,

В § 5 получено ревение задачи о действия касательного со-оредоточенного кмпульсс I при гранична ycsossnz (I). Ee-тод рвиення тот же, что п в § Ч. Ревениа £ пгргиесанся^ ¡sseos

>ВД: U = u,+ uz , V= V,-»- vt , J= 1к*а/цл,

u>~ if iml ru.) dt +3

о ■

< = J lnJ^-zs'iJfcP AI, ^ jr j R(s) dt I a4is)

+ J fFPU^ftVgfiN/F? swm-M, (6)

, s.(R(SJ- 2У yo-sj)

Paпенка задача о доКстеяв касательного еоорздоточеяного гагауд&са ка уаругув полуплоскость са ссобсншой грсзвцвЗ входит о полученное в гдчвстЕз сгегаеиого, too- ОПр?ДЭЯЯ5Т BOSS— деяве аолучзкаого ревеня?! на фронтах продельной я попоретаой вола: psasaes сизет здесь ооовггш.-мгь типа > / «Яр . Б ps-seasoned точке 1=^1, У~0 до гргивдв возушгосздста инзется особенность типа 54?) * '/f + 3«" '/j , л уо время sz: регаяиэ задача со овоболсоа гран case обладает а зто.Ч тот особенностью . Кнтзгргяшзэ caarsstrci з ptra-

ввп нохет быть как положительно, тш в отрюатшшго, з.е. действие касательного яняульса as ошгейняетзп гргавчани ус ваен Вкнклера срашятельно с действяза касательного егшузьса на полуплоскость со свободной границей. Вя границе полуня ос-

костя касательные перемещения являются четной функцией переиен-

Д

ной 41 направлены в ту же сторону, что и действующий импульс. Нормальные перемещения на границе V«o являются нечетной фуни-цией и не отрицательны при X >0 , если импульс направлен в положительном напрвлении оси О У.

В § б получено реиение задачи о действии нормального сосредоточенного импульса на упругую полуплоскость при граничных условиях инерционного типа (2) тем же методом, что и в $ Реиение в перемещениях имеет следующий вид:

и = и, + иг ,V=V,+ Vay J = I^/(K1aa)/ 0

с

о

V/ -21 ImfVespf *<5)<r-*>) «Js jtf Rís)= dr-is'A^sWu-^xr-s*)'.

где 5. задается выражениям* (4) при СГ = ¿ , с S - вря

8i.t»¿i,,X= (Ц/кЬ1)Х', V=(fi/kft*)V' -безразмерные переменные, а. -скорость продольных волн, ^ -модуль сдвига.

В рассматриваемом случае ремеяие не оодерщит в качестве слагаемого ревеяия задачи Ламба. На фронтах волн оно непрерывно всюду, кроме фронтов головных волн, где имеется разрыв типа скачка вплоть до границы Y= 0 полуплоскости. В релеев-

еяой точке t особенность отсутствует. В остальных

точках ревенке непрерывно.

В § 7 получено рговние аалачи о действия касательного импульса на упругую полуплоскость при граничных условиях инерционного типа (2). Метод решения тот ие, что и в $ Выражения для перемещений имеют следующий вид:

U - и, t иг j v - v,* Vt ,

!

,. i- Im ¿^ + f^Ur'/C-

' H* l Vi-Sí cit J

í8>

1 rf^/di J l mtrx + yJFJ),

где $в задано уравнениями {*»> при 1 , а 5 ■ при кроме того, здесь введены безразмерные переменные X к&*))(',

Это реванше гаге* осоавтюап шг фронтах продольной я ио-перачасй вол» гипа 1/^Т , а на фронтах головных волн иввтса скачхп. Особенность в ролеевской точке отсутствует.

Обратим ¡¡ичигиш на следувдую особенность ревеннй с со-средоточешшаа шзпульсами. Обозначим через и" решение (7),

к

а через и - решение (8). Тогда для импульса произвольного угла наклона Л к оси О У ревенне рахяс и = ин&<л*+иисв Однако при «(«о кевозхоаен равномерный переход от и. к (Я И8-за наличия особенноотя на фронтах воля у решения О- « • Вместе о тем, как известно из работы [I], для обобщенных решений с правильный« сильными разрывами имеет смысл тольхо сходимость по норне

-полозктслыш определенная матраца упругих модулей. Непосргдстьеююй проваркой кохно убедиться, что

о,

г.е. ¡X сходятся со иорие к 1ЛН при л 0

В § £ рзпсиа плоская задача о дефракцпя ЬИ -волны на клюю с упругой заделкой век, что означает выполнение на его деках граничного условия

киг = о , 6 = **,

где "г , $ , 1 -цилиндрические координаты. Задача ревена для падаадей волны

(I] Петравень Г.И., Основы математической теории распространения упругих воля.//Вопросы динамической теории распространения волн. ХУШ. Л, Наука, 1978.

иг - ни-гскСо-е.)),

9 -угол падения жшш, отсчатываемый от беооекторной шгоо-костя иска, иг яервмзцеявя вдоль ооя 2 .

1 работе пояазгяо, что рененве задачи можно иокать в виде

с-;« ¿.

где -произвольный контур в комплексной плоскости 5 , Р -параметр преобразования Далласа. Непосредственной проверкой показано, что 1т -ремеине задачи о дифракция плос-

кой акустической волны на жестком клке. Окончательный результат имеат зад (Б задано вдояеняем (4) при <Г = О

о

Первое слагаемое огрвдзяяэт величину скачка напряжений на Фронте дифрагированной зсхны, а второе определяет* некоторое последействие в облаота дифрагированной.я отраженной воля, будучи на их фронтах.

3 5 Э рэиепа задача о дифракция 5Н -волны на китовидной области с йассгнасЯ облицовкой. На явках клина выполнено условие

с»г - - ^ На клин падает ¡голяа и7

Нетод ревенип аналогичен методу § 8. Рвиениа^имеет вид:

с •< ,

Ревение задачи о дифракции акусткческой волны на жестком клине э данном случав не выделяется э качестве отдельного сяатм-вого.хотя в окрестности всравны кляпа полученное решение стрв-

- и -

мится к акустическому. На фронте отраженных вот реженае непрерывно, а на фронте дифрагированной - пепрерыано-дифференци-руеио.

Таким образом, в предлагаемое работе показано на примере ряда задач, что изменение граничных условий на винклеровсков или инерционное ведет во многих случаях х сильному искажения, а подчао к коренному изменения ж поведении режения. Вместе о тем во всех указанных задачах показана возможное» предел иго-го перехода ж соответствую*»« реженжям задач о кхасоичесжшп граничными условиями, когда коэффициент постели для вшкле-ровского граничного увловия (распределенная масоа для иввр-цаоннвго) отрежитоя к нуле.

Публикации по теме диесертапаи.

Носов С.К./Задача Лайба для упругой полуплоскости в граничным условием Вюияера.//Вост. Ш7, сер. I, 1993, Ё 3.

Нооов С.К./Сосредоточснннй нор^лаышй канули на границе упругой волушоокооти с граничив условием типа иасснкао-го влоя.//Веот. МГУ, оер. I, 1993, й 6.