Метод граничных интегральных уравнений в смешанных задачах динамической теории упругости для клиновидных областей тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

4858812

На правах рукописи

Беркович Вячеслав Николаевич

МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В СМЕШАННЫХ ЗАДАЧАХ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ КЛИНОВИДНЫХ ОБЛАСТЕЙ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

-Зноя 2011

Ростов-на-Дону - 2011

4858812

Работа выполнена на кафедре теории упругости Южного федерального университета и в Ростовском филиале федерального Московского государственного университета технологий и управления

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор Ватульян Александр Ованесович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Александров Виктор Михайлович

Ведущая организация - НИИ механики Нижегородского госуниверситета

им. Н.И.Лобачевского

Защита диссертации состоится 22 ноября 2011г. в 16-30 на заседании диссертационного совета Д 212.208.06 по физико-математическим наукам в Южном федеральном университете по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова , 8а, факультет математики, механики и компьютерных наук, ауд. 211 .

С диссертацией можно ознакомиться в зональной научной библиотеке Южного федерального университета по адресу г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан 17 октября 2011 г.

доктор физико-математических наук, профессор Пожарский Дмитрий Александрович

доктор физико-математических наук, профессор Чебаков Михаил Иванович

Ученый секретарь диссертационного совета

Боев Н.В.

ОБЩАЯХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы теоретических исследований динамики упругих сред в клиновидных областях продиктована необходимостью более адекватного моделирования и анализа процессов распространения волн в неоднородных геофизических объектах, представляющих собой сочетание горизонтально-слоистых, клиновидных и косослоистых областей, обусловлена возрастанием научно-теоретического и практического интереса к исследованию волновых процессов в композиционных и функционально-градиентных материалах, используемых в машиностроении, при создании высокочувствительных датчиков смещений и напряжений, основанных на использовании свойств поверхностно активных волн .

Актуальность математического моделирования процесса

распространения нестационарных возмущений в клиновидной области со случайными источниками внутри среды, либо на её границе, обусловлена возрастающим интересом к использованию методов акустической эмиссии для целей неразрушающего контроля при оценке состояний

предразрушения изделий ответственного назначения.

Теоретическое изучение вопросов концентрации напряжений в неоднородных клиновидных средах актуально для оценки напряженного состояния в местах стыка разнородных сред, оптимального сочетания материалов, в связи с развитием методов контроля прочности в конструкциях, содержащих ребра и угловые точки.

Целью исследований является разработка методов анализа плоских и антиплоских смешанных задач динамической теории упругости с разрывом граничных условий для однородных и неоднородных клиновидных и косослоистых упругих областей на основе развития метода граничных интегральных уравнений (ГИУ), исследования вопросов их разрешимости и разработки методов построения приближенных решений, анализа характера формирования волнового поля, возбуждаемого источниками колебаний на границах, а также изучение вопросов концентрации напряжений в окрестности угловых точек.

Научную новизну составляют:

- изучение новых классов смешанных динамических задач теории упругости для клиновидных и косослоистых областей, построение методов их решения, связанных с удовлетворением условиям сопряжения на границах раздела;

- теоретически установленный в работе и практически подтверждаемый результатами геофизических наблюдений факт локализации волнового процесса в кусочно-однородной клиновидной и косослоистой области при определенных условиях, методика определения скоростей возникающих при этом поверхностных волн в окрестности свободных границ, а также интерфейсных (каналовых) волн в окрестности линий раздела;

- решение смешанной задачи о возбуждении в клине внешними как детерминированными, так и случайными источниками на основе сведения начально-краевой задачи к эквивалентному ГИУ с исследованием вопросов его разрешимости и выявлением аналитической структуры решения;

- изучение вопросов концентрации напряжений в угловых точках неоднородных клиновидных областей в случаях произвольной зависимости механических характеристик от полярного угла.

Методика исследований

В качестве основного метода исследования в диссертации выбран метод, состоящий в сведении рассматриваемых краевых задач динамической теории упругости на основе методов интегральных преобразований к эквивалентным граничным интегральным уравнениям (ГИУ), в их детальном исследовании, и на основе которых осуществляется процедура построения решений исходных задач. В процессе построения решений используются методы, традиционно применяемые в динамической теории упругости и теории дифракции: методы теории интегральных преобразований основных и обобщенных функций, методы теории потенциала, вариационные методы и методы факторизации, методы теории аналитических функций, теории интерполяции целых функций и функциональных пространств, теории аппроксимации, теории случайных процессов, функционального и численного анализа.

Достоверность полученных результатов обусловлена применением современных математических подходов при анализе динамических уравнений теории упругости в клиновидных областях, использованием вариационных принципов, строгими постановками краевых задач теории упругости с их детальным исследованием методом ГИУ. Особое внимание в работе уделено строгим доказательствам вопросов разрешимости поставленных задач и получающихся при этом ГИУ. Достоверность результатов, полученных разработанными в диссертации методами, основана на сравнении в частных случаях с решениями известных задач, полученных с помощью других подходов и методов.

НАУЧНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Исследован новый класс динамических смешанных задач для неоднородной упругой среды со сложной геометрией клиновидного типа на основе сведения к системам граничных интегральных уравнений.

2. Получены новые функционально-инвариантные и интегральные представления общих решений динамической теории упругости.

3. Сформулированы условия локализации волнового процесса в окрестности свободной поверхности однородной и в окрестности линий раздела кусочно-однородной упругой клиновидной области.

4. Разработана методика расчета волновых полей смещений в зонах локализации колебательного процесса однородной и кусочно-однородной клиновидной области.

5. Представлены методы определения показателя сингулярности напряжений в вершине клина и критических углов концентрации с произвольным (непрерывным и кусочно-непрерывным) распределением механических характеристик среды.

АПРОБАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ

Излагаемые в диссертации научные результаты докладывались на V Всероссийской конференции с международным участием «Смешанные задачи механики деформируемого тела» (Саратов, 2005г.), на IX,X,XII,XIII Международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» НИИ механики и прикладной математики им.И.И.Воровича Южного федерального университета (Ростов н/Д, 2005,2006, 2008,2009 гг.), на Всероссийской конференции Института гидромеханики им. акад. М.А.Лаврентьева СО РАН «Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций» (Новосибирск, 2006г.), на VIII Международной конференции АМАБЕ-2003 «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений» (Беларусь, Минск, 2003 г.), на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти акад. Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2002 г.), на X, XII, XIV, XVI, XVIII, Международных конференциях «Математика. Экономика. Образование» (Новороссийск, 2002, 2004, 2006,2008, 2010 гг.) на семинарах кафедры теории упругости и кафедры дифференциальных и интегральных уравнений Южного федерального университета (Ростов-на-Дону, 2004-2009 гг.), на семинаре кафедры физики и математики Ростовского филиала Московского университета технологий и управления (Ростов-на-Дону, 2011 г.), на заседании семинара «Механика сплошной среды» им.Л.А.Галина в Институте проблем механики АН СССР (Москва, 1990г.), в Центре Южного отделения РАН при Кубанском госуниверситете по математическому моделированию и прогнозированию чрезвычайных ситуаций, экологических и техногенных катастроф (Краснодар, 2011г.), на городском семинаре «Дифракция и распространение волн» лаборатории математической геофизики Петербургского отделения Математического института им. В.А.Стеклова РАН (Санкт-Петербург, 2011г.), на Международном семинаре «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения»(Ростов-на-Дону, 2011г.).

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ

Представляемая диссертация содержит оглавление, введение, 7 глав, заключение, приложения и список литературы.

В оглавлении представлена структура диссертации с указанием глав и параграфов. Введение содержит детальный анализ состояния исследуемых проблем к настоящему времени. Основное содержание работы представлено

в 7 главах, разбитых на параграфы, в которых принята сквозная нумерация формул. Заключение содержит сводку основных результатов и выводов, сформулированных по результатам исследований. Список литературы дан в алфавитном порядке и насчитывает 243 наименования отечественных и 127 зарубежных источников. Объем основного текста, включая список литературы, составляет 340 страниц.

Приложения содержат необходимые вспомогательные сведения, таблицы и доказательства некоторых промежуточных результатов, представляющих самостоятельный интерес и облегчающих чтение основного текста. Объём приложений составляет 112 страниц.

По теме диссертации опубликовано 25 работ, в том числе 1—10 в изданиях для публикаций по докторским диссертациям из списка, рекомендованного в перечне ВАК РФ. Список работ приведен в конце автореферата. Работы 3,4 выполнены в соавторстве с Трипалиным A.C., а работы 17,21,23 выполнены в соавторстве со Шварцманом М.М. В указанных выше работах соискателю принадлежит математическая постановка смешанных задач на основе их сведения к ГИУ, исследование вопросов разрешимости и разработка алгоритма построения решения.

БЛАГОДАРНОСТИ

Автор диссертации выражает глубокую признательность своему учителю, академику РАН, профессору Бабешко В.А. за постоянный интерес, внимание и поддержку настоящей работы, а также благодарит коллектив кафедры теории упругости Южного федерального университета за ценные замечания при обсуждении полученных результатов.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит историю рассматриваемых в работе проблем и детальный обзор отечественной и зарубежной литературы по состоянию в настоящее время вопросов, связанных с исследованием волновых процессов в клиновидных и косослоистых областях.

В качестве начальной и наиболее распространенной модели приповерхностного фрагмента земной коры в математической геофизике для решения задач сейсморазведки обычно выбирается горизонтально-слоистая структура, представляющая собой пакет горизонтально расположенных однородных пластов, находящихся в различных условиях контакта. Значительный вклад в изучение указанного выше класса задач внесли отечественные исследователи Александров В.М., Бабешко В.А., Ворович И.И., Белоконь A.B., Бреховских JI.M., Ватульян А.О., Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Годин О. А., Калинчук В.В., Кучер В.И., Каштан Б.М., Молотков JI.A., Петрашень Г.И., Пряхина О.Д., Пузырев Н.И., Смирнова A.B., Селезнев М.Г., Чебаков М. И. и др. Аналогичным проблемам

посвящены работы зарубежных авторов Dunkin J.W., Harkrider D.G., Franssens G.A., Woodhouse J.H., Gilbert E., Backus G.E. и др.

Несмотря на весьма детальную изученность основных и смешанных задач динамической теории упругости неоднородной горизонтально-слоистой среды, возможности её использования все же ограничены, поскольку далеко не все фрагменты земной коры могут быть смоделированы указанным образом.

Следующей по сложности и степени адекватности моделью фрагмента земной коры в геофизике является косослоистая область, составленная из клиновидных и усеченно-клиновидных однородных упругих компонент с различными механическими и геометрическими характеристиками. Указанные компоненты жестко сцеплены друг с другом своими полубесконечными границами, а участки границы конечной длины образуют ломаную свободную поверхность.

В работе Петрашень Г.И. (Учен. зап. ЛГУ, №177. Л. 1954), по-видимому, впервые было обращено внимание на проблему теоретического изучения процесса распространения возмущений в косослоистой области. Вопросы построения решений основных и смешанных задач динамической теории упругости в областях рассматриваемого типа до сих пор оставались открытыми, а теоретические исследования отмеченных проблем не обнаружены в открытой печати , в отечественных работах и справочных изданиях по вибросейсморазведке Гурвич И.И., Боганик Г.И., Номоконов В.П.(ред.) Саваренский Е.Ф, Шнеерсон Б.М., Майоров В.В., Пузырев H.H., Чичинин И.С., Лёвшин А.Л. и др., в работах аналогичного направления и изданиях известных зарубежных авторов Sheriff Р., Geldard L., Payton С.Е., Walton G.G., Neideil N.S. и др.

Смешанные задачи динамической теории упругости для однородных клиновидных областей на начальном этапе исследования изучались в антиплоской постановке. Результаты в указанном направлении содержатся в работах отечественных авторов Бабешко В.А., Бабича В. М., Бородачева Н.М., Рвачева В.М., Уфимцева П.Я., Шанина A.B., а также зарубежных авторов Achenbach J.D., Hudson J.A., Fuchs К., Craster R.V., Ellis Robert M. и др.

Рассмотрение плоских краевых задач установившихся колебаний однородной клиновидной среды ранее было в основном связано с изучением дифракции плоских волн от угловых областей. Впервые точное решение плоской задачи о дифракции нестационарной плоской упругой волны на гладком твердом клине произвольного угла раствора было получено Костровым Б.В. (ПММ.1966. Т.ЗО. Вып.1.) Вопросам дифракции плоских волн от угловых областей посвящены также работы Петрашень Г.И., Николаева Б.Г., Коузова Д.П., Поручикова В.Б., Исраилова М.Ш., Oberhettinger F. И др., в которых использован подход, основанный на методе функционально-инвариантных решений Смирнова-Соболева. В работах последующих лет авторы Шанин A.B., Budaev B.V., Bogy D.B., Nords A.N., Osipov A.V., Davis A.M. исследовали задачи дифракции на клине методом

динамических потенциалов в сочетании с использованием метода Зоммерфельда - Малюжинца и метода факторизации. Описанию результатов применения этих же методов, а также лучевого метода к изучению акустических волн в клиновидной области, вычислительным аспектам и вопросам разрешимости проблем дифракции на упругом клине посвящены работы Бабича В.М, Боровикова В.А., Лялинова М.А., Можаева В.Г., Смышляева В.П., Fradkin L.J., Gridin D., Kamotski V., и др.

Рассмотрению плоской основной краевой задачи теории упругости об установившихся колебаниях прямоугольного клина при наличии источников гармонических колебаний на его гранях посвящены работы Bogy D.B., Wang К.С., Wong H.L., Luco J.E. и др., в которых был применен метод суперпозиции решений соответствующих задач об установившихся колебаниях 2-х упругих полуплоскостей. Метод суперпозиции при решении основных краевых задач о плоских и антиплоских колебаниях клиновидной среды был использован также Селезневым М.Г., Ляпиным A.A. Плоские задачи динамического нагружения упругих областей с угловыми точками контура рассматривались в работах Морозова Н.Ф. и Суровцовой И.Л. методом динамических потенциалов для специальных случаев задания граничных условий. Значительный вклад в разработку методов решения задач о колебаниях однородного клина внесен Добрушкиным В.А.

Исследование волновых процессов в кусочно-однородных клиновидных средах проведено в работах Улитко А.Ф., Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Проблемы дифракции упругих волн для кусочно-однородной клиновидной среды в дальнейшем были рассмотрены в работах Budaev B.V., Gaustesen А.К., Walton J.R. и др.

Изучению процессов возникновения и распространения поверхностных и интерфейсных (каналовых) волн в упругих телах посвящено значительное число работ. Начало исследований в этих направлениях было заложено в работах Rayleigh J.W., Stonely R., Love А. и др. Детальное исследование процессов возникновения поверхностных и интерфейсных волн в горизонтально-слоистых средах содержится в монографиях Бабешко В.А., Глушкова Е.В., Зинченко Ж.Ф., Бабича В.М., Молоткова И.А., Вильде М.В., Гринченко В.Т., Мелешко В.В., Гетмана И. П., Устинова Ю.А. и др. В работах академика РАН Бабешко ВА. выдвинут «принцип локализации» волнового процесса при установившихся колебаниях упругих полубесконечных однородных или кусочно-однородных сред, детально обоснованный для задач динамики горизонтально-слоистой среды. Для случая кусочно-однородной клиновидной среды этот принцип нашел еще одно подтверждение в настоящей диссертации. Исследование интерфейсных явлений на границе упругой клиновидной и жидкой среды имеется в работах Croisille J.-P., Lebeau G., Shanin.A.V, Krylov.V.V., Piet J.F., de Billy М.и др.

Исследованию вопросов концентрации напряжений в окрестности угловой точки однородной упругой клиновидной среды в условиях статического нагружения посвящено большое число работ, начиная с работ

Williams M. L., Zak A.R. , Аксентян О. К., Александрова В.М., Воровича И. И., Сметанина Б.И., Лурье А.И., Матвеенко В.П., Партона В.З., Перлина П.И., Уфлянда Я.С., Пожарского Д. А. и др. Отмечено существование критического угла концентрации а,, начиная с которого (а>а„) в его

вершине появляется степенная особенность напряжений 0(г~г ) ,0 <ô <1. При этом критический показатель сингулярности S находится из некоторого трансцендентного уравнения. Задачи концентрации напряжений для двухслойного клина исследовали Вайшельбаум В.М., Гольдштейн Р.В., Холмянский M.JL, Bogy D.B, Hein V.L., Erdogan F., Theocaris P.S., Gdontos E.E., Thireos C.G.h др. Вычисление и исследование критического показателя сингулярности S как при статических, так и при динамических режимах нагружения кусочно-однородной клиновидной среды дано в работах Аксентян O.K., Лущик О.Н., Вовк Л.П., Соболь Б.В., где изучены области изменения параметров, для которых характерно появление бесконечных напряжений в вершине составной 2-х, 3-х и 4-х компонентной клиновидной среды.

Исследование нестационарной и стохастической динамики упругой среды для классических областей проводилось как отечественными авторами Болотиным В.В., Волоховским Ю.В., Гончаренко В.М., Диментбергом М.Ф. Сеймовым В.М., Пальмовым В.А., Чигаревым A.B. и др., так и зарубежными авторами Shaw R.P., Grandall S.H., Iwan W.D., Lutes L.D., Karnopp D., Scharton T.D., Schmidt G., Stassen H.G. и др. Исследование проблемы стохастического возбуждения клиновидной среды представлено в ряде работ Бабича В.М, Budaev B.V., Bogy D.B. и др. в связи с задачами дифракции на клине.

Вопросы разрешимости краевых задач 1,П,1П рода для дифференциальных уравнений эллиптического типа в областях с кусочно-гладкой границей рассмотрены в работах Андряна A.A., Заргаряна С.С. , Мазьи В.Г., Назарова С.Ф., Пламеневского Б.А. и др.

Ниже дается краткое содержание основных результатов диссертации.

В ГЛАВЕ I в классической форме даны математические постановки всех основных рассматриваемых в настоящей диссертации классов смешанных задач о колебаниях упругих клиновидных и косослоистых областей в условиях плоской или антиплоской деформации. Колебания возбуждаются источниками смещений, находящимися на части свободной поверхности клина. В случае кусочно-однородной клиновидной или косослоистой области к граничным условиям добавляются условия жесткого контакта на границах раздела областей.

В §1 даны постановки смешанных задач об установившихся антиплоских колебаниях однородной клиновидной области, одна из граней которой свободна или жестко закреплена, а на другой заданы источники колебаний. При этом ставятся следующие задачи: колебания однородной клиновидной среды (задача 1А); колебания клиновидной среды с радиальным

дефектом 3 конечной длины, на котором заданы источники колебаний (задача 2А); крутильные колебания сдвига конической упругой среды (задача ЗА); колебания усеченной клиновидной среды (задача 1Б).

В §2 даны постановки смешанных задач об установившихся антиплоских колебаниях неоднородных клиновидных областей с условиями §1. Ставятся следующие задачи: колебания кусочно-однородной клиновидной среды (задача 2С)\ колебания неоднородной клиновидной области с непрерывным распределением упругих механических параметров (задача 2Д); колебания косослоистого полупространства (задача2Б).

В §3 приведены постановки смешанных задач установившихся колебаний клиновидной среды в условиях плоской деформации. Рассмотрены следующие задачи: плоские колебания однородной клиновидной среды (задача 4А); колебания кусочно-однородной клиновидной среды (задача 4С); колебания косослоистого полупространства (задача ЗБ).

Для всех вышеперечисленных классов задач ставятся проблемы перехода от их классических постановок к граничным интегральным уравнениям (ГИУ) с изучением вопросов их разрешимости, исследованием характера формирования волновых полей в рассматриваемых средах и изучением вопросов концентрации напряжений в угловых точках.

В §4 дается постановка задач анализа процессов локализации колебательного процесса в клиновидной области в условиях плоской деформации: проблема существования поверхностных волн и анализ поля смещений на границе однородной клиновидной области (задача 4Ап); проблема существования интерфейсных (каналовых) воли и анализ поля смещений на границе раздела сред кусочно-однородной клиновидной области (задача 4Си).

В §5 рассматривается постановка нестационарной смешанной задачи динамики клиновидной области при ее возбуждении стохастических источниками смещений сдвига на границе, задаваемыми в форме винеровского случайного процесса: стохастическое возбуждение упругой клиновидной области (задача 5А).

ГЛАВА II посвящена вопросам сведения краевых задач динамики антиплоского сдвига 1А, 2А, ЗА, 1Б, сформулированных в §1, главы I для однородных клиновидных областей, к эквивалентным ГИУ и изучению вопросов их разрешимости. Указанные краевые задачи формулируются для уравнения Гельмгольца. При получении ГИУ применяются методы интегральных преобразований Фурье, Лапласа и Конторовича-Лебедева. Рассмотрены случаи, когда источники на границе рассматриваемых сред, реализуют как установившиеся колебания, так и стохастическое возбуждение.

В §1 для задач установившихся колебаний антиплоского сдвига в однородной клиновидной среде дано построение функции Грина на основе методов интегрального преобразования Фурье и Конторовича-Лебедева. Тогда интегральное представление регулярного решения уравнения Гельмгольца с помощью построенной функции Грина для задачи (2А) приводит к ГИУ следующего вида :

ь

%Я = \Щг,р).^(р)ар = иг), а <г <Ь (1)

а

к(г,р) = — ("/_,.„(яг)К_Ы(хр)К(и)и11и, аг > О 711 J

Ъ

Здесь ^-вектор амплитуд смещений, заданных в полосе 111х(а,Ь) на верхней грани клина и на разрезе 3 , компонентами вектора ц(р) являются амплитуды неизвестных напряжений в области задания источников колебаний на грани клина и их скачка на разрезе 1, функции 1ф), Ку(г) - модифицированные функции Бесселя. Матрица-функция 2-го порядка К(г) является четной, положительной определенной на вещественной оси и мероморфной в комплексной плоскости г с полюсами С* и нулями г* (к = 1, 2,...) в области 1т г > 0. Предполагается также у матрицы-функции Щг) наличие 77- полосы регулярности в окрестности вещественной оси Я1, и выполнение асимптотической оценки (е + О^Г';), М->со .

Контур интегрирования расположен в полосе регулярности Г^ с П и в задачах стационарной динамики определяется условиями излучения.

При использовании интегрального преобразования Конторовича-Лебедева применен метод Фока, основанный на предварительном рассмотрении случая аг>0. Переход к случаям Иех>0 и, в частности, аг = -/£, где ¿-волновое число в задачах колебаний упругой среды, осуществляется методами аналитического продолжения.

При отсутствии разреза 3 клиновидная область становится однородной, а матрица-функция К(г) превращается в скалярную функцию К (г), положительную на вещественной оси 1т г -0 и мероморфную в комплексной плоскости г с сохранением всех остальных свойств, описанных выше.

К скалярному ГИУ с главной частью типа (1) и указанными свойствами ядра в данном параграфе приведены смешанные задачи 1А,2А, ЗА, 1Б. Оператор левой части (1) оказывается главной частью ГИУ всех остальных рассматриваемых в данной работе задач и в дальнейшем называется базовым.

В §2 детально изучены вопросы обратимости базового оператора в скалярном и матричном случаях. Для этого в уравнении (1) контур интегрирования Г2 с П деформируется в полосе регулярности в действительную ось я' , что позволяет ввести пространство обобщенных решений Ща.Ь) уравнения (1) с нормой:

Ын = 4-> 0 (2)

Ж д

СЮ

Ч(»)=\ч (р)К_ы(хр)^

Исследование вопросов обратимости оператора эквивалентно

исследованию вопросов разрешимости ГИУ (1). Условие разрешимости устанавливается на основе использования классического результата Рисса о единственности представления линейного ограниченного функционала в гильбертовом пространстве со скалярным произведением, порождающим норму (2). Далее доказывается ряд вспомогательных результатов на основе непосредственных оценок, устанавливающих эквивалентность пространства Ща.Ь) пространству дробной гладкости Соболева-Слободецкого

что позволяет сформулировать основной результат этого

параграфа.

Теорема 1. Оператор однозначно обратим, как оператор, действующий в пространствах Соболева-Слободецкого

В §3 дается вывод ГИУ задачи (5А) и осуществлено исследование вопросов его разрешимости. Указанные вопросы возникают при математическом моделировании процесса нестационарных колебаний, связанных с появлением случайных источников границе области, где они задаются в форме аналитической функции от винеровского случайного процесса V/,. В математической постановке при этом возникают начально-краевые задачи со случайными условиями. В настоящем параграфе рассмотрена смешанная задача динамики клиновидной среды с граничными условиями, частично носящими случайный характер. На основе применения интегрального преобразования Лапласа по временной координате к волновому уравнению и начально-граничным условиям задачи, а затем преобразования Конторовича-Лебедева с последующим обращением этих преобразований, получено скалярное ГИУ стохастических колебаний задачи:

гъ

К,Я = \\к(г,р,1 - х^рЦрйх = /(г.ы,), а < г < Ь, О <1<С (3)

Оа

«'■>>•») = ¿7=

Vгр Г Ч 2гР

В соотношениях (3) функция Лежандра, ¿--момент выхода

винеровского м/, случайного процесса на границу, ^/^-неизвестное случайное поле контактных напряжений, /(г, V/)- аналитическая функция ы,

параметр j-скорость распространения волн сдвига. Функция K(z)~ четна, мероморфна в комплексной плоскости z, имеет в ней однократные нули и полюса с конечной плотностью распределения. При этом K(z)>0, z е я' и обладает асимптотикой K(z) = 0(\z\~'). В окрестности действительной оси существует полоса П регулярности функции K(z), содержащая контур Г ( П z} R1, ГсП).

Исследованы вопросы разрешимости ГИУ (3) и свойства случайного поля его решений (контактных напряжений). Результаты исследований сформулированы в виде теоремы, аналогичной теореме 1, в терминах пространств со смешанной нормой ВМо{ W/'(a,b)\, где норма пространства средней ограниченной осцилляции ВМО берется по временной координате t.

В §4 разработан метод точного обращения базовых операторов, основанный на теореме, устанавливающей структуру решения ГИУ.

Теорема 2. ГИУ (1)имеет единственное решение, представимое в виде:

РЧ(Р) = {■ . F (z)I_Jxp)zdz+

ri (4)

+ Ä jK-'(z)-^l(z)Li!(*p)K-jKb)+X2(z)K_Jxp)Li2(xa))zdz Г2

Xi2(z)eSl(r2), X> 1 + y ,0 <y < 1 , ||X||S =iup|X('z;z,l|<oo, lim \ X(z)zl \ = 0

Л \Imz\<l |z|_>"

Контур Гiлежит вышеГ{(Г2у Г,, Г12)сП, матрица К_ - результат факторизации К(z).

Доказательство теоремы основано на сведении ГИУ к некоторой треугольной системе интегральных уравнений II рода относительно неизвестных вектор-функций Xl2(z) с помощью метода факторизации,

развитого в работах академика РАН Бабешко В.А.

Для задач об антиплоских гармонических колебаниях упругого клина с закрепленной или свободной нижней гранью (2А), а также крутильных колебаниях упругого конуса (ЗА), функция K(z) имеет соответственно вид:

1) K(z) = z-'thaz з) , , 1 p->/,+ Jcosa)

2) К( z) = z~'cthaz Г и2 +/4' P^Jcosa)

В целях проверки достоверности результата рассмотрена смешанная задача об антиплоских колебаниях упругого полупространства под действием симметричной или антисимметричной нагрузки, соответствующая случаям 1), 2) при а = У2. Методы работ Бородачева Н.М. (Прикл. мех. 1973. Т.9. вып.5. С. 231-234)., Рвачева В.М. (Прикл.матем. и механ.1956. Т. 20. № 2.

С.248-254.) позволяют построить точное решение указанной задачи. Непосредственная проверка устанавливает его совпадение с (4).

Аналогичный результат получен и в случае нестационарного возбуждения клиновидной области (задача 5А).

В ГЛАВЕ III представлены 2 новых подхода, позволяющие осуществить построение аналитических решений задач 2С, 2Д для неоднородных клиновидных областей.

В §1 рассмотрен 1-й из них, названный методом сингулярных интегральных соотношений, который связан с удовлетворением условиям сопряжения на границе раздела сред и основан на следующем ниже результате.

Введем классы Смирнова ЕР(П), р>0, функций Ф(г), суммируемых в полосе регулярности П, содержащей действительную ось R1, и удовлетворяющих условию : J| Ф(г)\р \ dz\<Мр(Ф) = const , ГсП

г

Теорема 3. Если в классе Е}(П) имеет место равенство

<Й

v.p. \j(t.T)Q(t,x)dT = 0, t g R' с Я (7)

oo

J(x.x') = \K_n(xlt)K_il,(a:2t)rldt , (ae, * x2, я12 > o) (8)

0

то почти всюду на R1 имеет место равенство: Q(t,t) = 0

Доказательство вытекает из асимптотических свойств интеграла (8), результатов работы Forristall G.Z., Ingram J.D.(SIAM J.Math.Anal.l972.No.3.P.561-566.), теорем об убывании целых функций и формул Сохоцкого в классах Е,(17). Применение результата теоремы приводит к получению некоторых линейных соотношений между преобразованиями Конторовича-Лебедева от смещений и напряжений, которые возникают в результате удовлетворения условиям сопряжения. На основе этого подхода получено ГИУ смешанной задачи (2С).

Второй подход является более общим и основан на методах интегральных преобразований обобщенных функций. При этом подходе к решению задач динамики составной клиновидной области уравнения колебаний, граничные условия и условия сопряжения на границах раздела сред с различными упругими и волновыми характеристиками рассматриваются как следствия вариационного принципа Гамильтона-Остроградского. В формулируемой ниже теореме установлен специальный математический результат, с помощью которого оказалось возможным трансформировать условия сопряжения в форму линейных соотношений между интегральными преобразованиями Конторовича-Лебедева от смещений и напряжений в специально выбранных пространствах обобщенных функций. Пространство обобщенных функций, сопряженное к пространству основных функций, помечено штрихом.

Теорема 4. Для выполнения соотношения

] К_1Т (¡в^/гМг = | К_1Т , р 6 , а;,2 >0 (9)

о о

необходимо и достаточно выполнения условия

а^.ГгНа^ад, Г£«1 (10)

понимаемого в смысле равенства обобщенных функций из Ъ\ , построенных на пространстве основных функций (А,В >0) : Х+={у/(х +1у): \у(х + 1у)\ < А ехр(-В\у\), у/(х + 1у) б в, \/х = х0 }

G = \<p(t): sup(l + \t\ )Dk<p(t) <<х>, m,k = 1,2,...

[ izR'

где y(z)-преобразование Меллина функции <p(t).

В §2 в целях проверки результата проводилось сравнение обоих подходов на примере решения смешанной (контактной) задачи (2С) об антиплоских колебаниях 2-х компонентной клиновидной среды . При этом оказывается, что ГИУ относительно неизвестных контактных напряжений, полученные с помощью обоих подходов, полностью совпадают .

В §3 на основе последнего из подходов §2 разработан метод операторных пропагаторов, позволяющих связать граничные значения смещений и напряжений на соседних границах составной клиновидной среды. Рассмотрена смешанная задача (2С) о колебаниях «-компонентного клиновидной среды с жестко закрепленной (либо свободной) нижней гранью. При этом пропагатор оказывается матрицей, позволяющий получить скалярный вариант ГИУ (1) с параметром as = -ik(p„) и подынтегральной функцией K(z) = K„(z), определяемой следующим рекуррентным соотношением:

Y /-1 Kn_,(z) + (/inz)-'thanz

Кт( Z) =-, п > 1 4 ч

pm*tha.zK_(z) + l (И)

/г,К,(г) = z~'tha,z (fi,K,(z) = z~'ctha,z), an=Afn

В соотношении (11) углы <р = <р„ определяют последовательные границы клиновидных компонент, а„ = d<pn - углы раствора компонент.

В §4 для задачи 1Б построен интегрально-матричный операторный пропагатор Р усеченно-клиновидной области с внутренними углами а,р в условиях антиплоских колебаний, который связывает на ее полубесконечных границах 1,2 трансформанты Конторовича-Лебедева S¡, S2 векторов S, ,S2, составленных из компонент смещений и напряжений сдвига на каждой из этих границ соответственно:

S,(T)=(PS2)(r)

(Р Sj)(rJ = -p-'fr I Р,ц) J Е(г' - г). P(V | a.p).S2(T').K_¡(T._l)(*l)dT' (12)

х$Ь.<рх х^И{гх — <р

сИрт 4

(1

сИ(ж~<р)г

Р- ,

В §5 с помощью пропагатора (12) получено ГИУ задачи 1Б с оператором (1).

В §6 получено ГИУ смешанной задачи для области, составленной из клина и усеченного клина с общей вершиной, а затем для косослоистого полупространства (задача 2Б) с помощью построения интегрально-матричного пропагатора §4 и удовлетворения условиям сопряжения с помощью метода §1. Отыскание неизвестных граничных напряжений а(р1 |

для косослоистой среды в виде суммы | =я0>(р)+я<3>(р), а<р<Ь

приводит к однотипным ГИУ относительно каждого слагаемого

ъ

Ъча>=1к/г,р)д">(р}1р = /(г), а<г<Ь (13)

а

М]{г.р) = -г \К~„ (я?) К-,т(*Р) Щ(г)т хИтгхйх (х = жы)

к ^ Г

кАг-Р) = -Т (кг) КЧг, (хр) Ц (х,х)х ¡Иж с1хс!х

ж

Н](т.т) (т,т')-е2у[е/-(}(г'\яе,]'1

Ц (У =[ «/• (}(т | л-аы+1, ры)> е2]'[ ф 0(х | п- акч, ры)' е,]

е/=(1,0). е/=(0,1), 1=1,2

В формулах (13) матрица Ч(т\к-ат1, ри) вычисляется с помощью интегрально-матричного пропагатора Р, описанного выше, а матрица К<ы> (х.т) находится из некоторого рекуррентного интегрально-матричного соотношения.

Изучены вопросы разрешимости построенных ГИУ (13) и указан способ построения их приближенного решения.

В §7 рассмотрена задача 2Д для неоднородно - упругой градиентной клиновидной среды при установившихся колебаниях её границы. Для её решения предложена схема дискретизации, превращающая градиентную среду в кусочно-однородную, состоящую из и клиновидных компонент, с кусочно-постоянным модулем сдвига цп и плотностью £>„. Получено ГИУ дискретизированной задачи 2ДЬ методом §3 и дано обоснование предельного перехода в пространствах Соболева-Слободецкого IV] (П) от задачи 2Дд к исходной 2Д.

В ГЛАВЕ IV рассмотрены не изучавшиеся ранее в общей постановке плоские смешанные задачи установившихся колебаний однородных и кусочно-однородных клиновидных областей. В §1 получено специальное матричное представление фундаментального тензора колебаний в полярной системе координат:

2/Л0 (kR) = [у2Н(0'-l(yKR) + Н<01->(KR)\v-

-[r>Hf2'>m-H<2'>(KR)}(cos20 (14)

L 2 \sin2Q -cos 20) Г 2( 1-v)

Здесь в— угол между контуром разреза и направлением от точки источника (£,ч) в точку наблюдения (х,у), R- расстояние между этими точками, Н^(z) — функция Ханкеля, v-коэффициент Пуассона, К- волновое число для упругих поперечных волн. Выражение (14) позволяет получить используемое далее интегрально-матричное представление фундаментального тензора, связанное с преобразованием Конторовича-Лебедева.

В §2 получены основные ГИУ плоских смешанных задач (4А) для однородной клиновидной упругой среды с закрепленной или свободной нижней гранью на основе использования тензора Грина, удовлетворяющего тем же граничным условиям. При этом оказывается, что главная составляющая оператора левой части получающихся при этом граничных интегральных уравнений совпадает с базовым оператором, изученным в главе II и допускающим точное обращение. Результаты базируются на использовании представлений общих решений динамической теории упругости типа Папковича-Нейбера, полученных в работе Зильберглейта A.C. и Златиной И.Н. (Докл. АН СССР. 1976. Т.227.№1.С.71-74.), которые в случае установившихся колебаний принимают вид (к2 =К, к, = уК):

2fiu=-WF + 4(1-у)Ф , F(r,0) = Ф„(г,в) + rOJrß) (15)

V2tf>e + к2,Ф0 = (к22 -к2,)гФг У2Ф,2 + кг2Ф12 = О \2Ф + к2Ф = 0 , Ф = ^г(г,в),Фв(г,в)}

Ф, =Ф,( г, 0 ) cos 0 + Ф2( r,0)sin0

Ф,=-Ф,(г.е)*Ш + Ф2(г.0)а»0 ' Фо(^)-фоо(г,в) + Ф^(г,в)

Фоо(г.в) = ~\[A0(x)chOr + B0(x)shOt]l_i,(Xla)K_J^lr)idt, х12 = -ikla

Ф^(г,0)=.]- \[С(т)ск0т + О(т№0т]1Ч1(х2а)К_11(х2г)тс1т (16)

Г,

фи(г-в) = {; \[Аи(т)ске1 + В12(т)5}1вх\1_ь(х2а)К_ь(я2г)тс1т Г,

В формулах (16) к12- волновые числа продольных и поперечных упругих волн соответственно, контур Г2 лежит выше Г, . Неизвестные функции ао,1.2(т)-во,1.2(т)'С(в подынтегральных выражениях (16) регулярны и

убывают при |г|->со в полосе \1тг\< 1 комплексной плоскости г, на границах которой г = г ± I выполняются соотношения:

х2С(г± I) = ±п[Л, (т) + ¡В2 (т)], хгй(т± 0 = ±ф,(т) + Ы2 (г)] (17)

Контуры интегрирования Ги расположены в полосе \lmz\-il и удовлетворяют условиям излучения. При таком выборе неизвестных функций условия в нуле и на бесконечности уже удовлетворены. Удовлетворение граничным условиям и использование результата теоремы 4 приводит к линейным соотношениям между трансформантами Конторовича-Лебедева от векторов амплитуд смещений И(а,т) и напряжений 0_(а,х) при 0 = а в форме векторной краевой задачи теории аналитических функций со сдвигом т +« в комплексной плоскости. Решение этой краевой задачи порождает ГИУ типа (1) с подынтегральной матрицей-функцией К (и) ядра к (г,р) вида:

К(и) = 1(е{П(-ш)} , Н(т) = А(т).[А(т)Т' (18)

Матрицы-функции А(т),А(т) в (18) имеют одинаковую структуру, а их элементы являются суммами произведений гиперболических, тригонометрических и степенных функций. В частности, матрица А(т) имеет следующее представление:

А(т) = {а0(т)}= С(т )сИ2ах + 8(4 >А2ат + 1>(т)

С(т)= 2 [с^'У1" I я,ж,,,)со5Хктсо.чЯут + с™(т | а,х1,х2 )зтЯктсо5Х]Т +

+ $>(т | а,х,,гв2)5т (19)

¿¿■2'3>(т\а,к,,к2) = ^2'3>(а,Г)т1 , Х2 =1пу, X, =0,у =

1=о

Матрицы-функции &(т),Т>(т) имеют вид, аналогичный матрице С(т), матрица-функция А(т) имеет вид, аналогичный матрице А(х), матрицы с(£2'3>(а,ге,,&2) - постоянные. Матрица-функция 1(е{н(-1х)} в равенстве (18) имеет своими элементами функции, действительные на действительной оси и мероморфные в комплексной плоскости т. В случае отсутствия нулей и полюсов функции ¿е^НеЩ-п)} на действительной оси для исследования вопросов разрешимости ГИУ с матрицами-функциями (18), (19) применимы все результаты главы II, а его решение будет иметь вид (4). При этом первоначально рассматривается случай х12 > 0 . Затем это условие удается ослабить до условия Кез:]2 ¿0, х,2 ф0 с помощью методов аналитического продолжения. Установлено наличие конечного числа нулей и полюсов ¡1е1{Ке{н(~1т)}} на действительной оси к' для некоторого критического угла а, раствора клина, методика отыскания которого описана в главе VI.

Решение ГИУ в этом случае сводится к применению методов факторизации, детально разработанных в работах Бабешко В.А.

Результаты §§1,2 проиллюстрированы в процессе исследования ГИУ смешанной задачи о колебаниях массивного тела с наклонным излучающим включением в связи с математическим моделированием явления акустической эмиссии в упругой среде.

В §3 построены матричные пропагаторы для получения ГИУ колебаний составных клиновидных сред в условиях плоской деформации. Установлено, что при формировании этих пропагаторов достаточно рассмотреть отдельно 2 задачи для однородной клиновидной среды: 1) задачу с закрепленной нижней гранью; 2) задачу со свободной нижней гранью. При этом пропагаторы оказываются блочными матрицами вида:

Р(г|

4x4

>,ге/,х2) =

(20)

( Г~ V

Е -А.0(т\ф,Х,,В1).[А.<)(т\ф,!В,,!С1)\

Матрицы А0, \0 определяются в задаче 1), а матрицы В0, В„ -в задаче 2). Для получения (20) существенно использован результат теоремы 4. При этом общая структура указанных матриц имеет вид (19), ГИУ смешанной задачи (4С) имеет вид (1). В частности, для 2-х компонентного клина с закрепленной нижней гранью, углами раствора компонент <р,,(р2 и

параметрами ж, составляющие:

0.2) „О,2)

ту ' матрица К(т) = А(т). А~'(т) имеет следующие

А('г; = Е7.

Мт) =

Р(т\ф2,^2),^22>

4x4

1(т\ф2,х<12>М2>)-1(г\Ф2^<1'),^2'>)

.4x4 4x4

>Е,, Е, =

(21) (22)

где Е, О - единичная и нуль-матрицы соответственно.

В ^ с помощью интегрального представления тензора Грина (14) и пропагатора (20) построен пропагатор Р , аналогичный (12), для установившихся плоских колебаний усеченной клиновидной среды с внутренними углами ф,,ф2 в виде блочного интегрально-матричного оператора. На основе построенного операторного пропагатора (20) с использованием матриц (21), (22) получено ГИУ смешанной задачи о плоских колебаниях косослоистого полупространства (задача ЗБ) , имеющее вид, аналогичный (12).

В ГЛАВЕ V исследуется проблема концентрации напряжений в окрестности вершины неоднородного клина (40*) с произвольным (гладким или кусочно-непрерывным) законом изменения модулей по угловой координате. Изучается характер зависимости показателя сингулярности напряжений 5 = 1-Х(а) в вершине клина от его угла раствора а, при этом асимптотика напряжений имеет вид 0(г~г), г-+0 (г- полярный радиус). Для

исследования поставленных задач и получения уравнения относительно параметра X предложены 3 подхода.

В §1 описан 1-й подход, основанный на методе дискретизации, состоящем в аппроксимации неоднородного клина кусочно - однородным, составленным из однородных клиновидных компонент, и дано построение ГИУ смешанной задачи методом интегральных преобразований.

На основе этого подхода методом ГИУ рассмотрена задача о концентрации напряжений в кусочно-однородной клиновидной среде при наличии колебаний антиплоского сдвига. Левая часть уравнения для определения параметра Я(а) порождается знаменателем (11) подынтегральной функции К/г) ядра ГИУ.

В параграфе дано исследование критических углов раствора я,, начиная с которых в вершине угла появляется особенность у напряжения. Как показывают результаты численного анализа для 3-х компонентной клиновидной среды (Рис.1) критический угол раствора а. существенно зависит от характера распределения упругих свойств материала в окрестности вершины. В частности, для однородной клиновидной среды в условиях колебаний антиплоского сдвига получается известное значение критического угла раствора «. = 90°

В §2 описан 2-й подход, основанный на вариационном методе и состоящий в сведении исходной проблемы к некоторой нелинейной спектральной задаче для квадратичного пучка операторов:

-А(а)к = Вд(а)к + Х(а)В,(а)11 + Х2(а)В2(а)11. (23)

Последующее применение прямых численных методов, связанных с вариационным подходом, приводит к приближенному уравнению относительно параметра сингулярности напряжений X. Рассмотрены задачи о концентрации напряжений в окрестности вершины неоднородно упругого клина с произвольным законом изменения упругих модулей по угловой координате в. Исследованы особенности появления концентрации напряжения для различных углов и различных законов изменения упругих модулей от в (кусочно-постоянный, линейный, квадратичный). В частности,

детально проанализирована структура напряжений в окрестности вершины составного клина из материалов с различными упругими свойствами. Представлены результаты численного анализа. Показано, что в условиях плоской деформации критический угол раствора а. неоднородной клиновидной среды также зависит от характера распределения упругих свойств материала в окрестности вершины.

Предложен 3-й подход, основанный на непосредственном сведении исходной проблемы к спектральной задаче для системы интегральных операторов Фредгольма II рода с их последующей конечномерной аппроксимацией.

Сравнение результатов решения одних и тех же задач, полученных с помощью рассмотренных методов, обнаруживает их совпадение. Численно исследованы особенности появления концентрации напряжений для произвольных законов изменения упругих модулей, получены величины критических углов раствора клина, отделяющих области с наличием и отсутствием концентрации напряжений в угловой точке.

В §3 дано аналитическое исследование вопроса о существовании критических углов раствора «, неоднородной клиновидной среды, удовлетворяющих условию = Доказан результат, устанавливающий факт существования вышеупомянутых критических углов при выполнении некоторых условий.

В ГЛАВЕ VI изучен характер формирования волнового поля смещений в упругой клиновидной среде. Дано аналитическое исследование условий возникновения поверхностных волн при плоских установившихся колебаниях клиновидной среды. Установлена математическая корректность факта существования интерфейсной (каналовой) волны в кусочно-однородной клиновидной среде.

В §1 получены функционально-инвариантные решения динамических уравнений теории упругости в клиновидной среде с помощью формул Зильберглейта A.C., Златиной И.Н. для общего решения в случае произвольного возбуждения упругой клиновидной среды:

2ц V = -VF + 4(1 - v/r , F(r,e) = Ч'0(г,<р) + rYr(r,ip)

(24b)

(24a)

%(r,9,t) = Ref0\t-

rcostp .rsintp

с

с

,q>,t)costp + 4'2( r,tp,t)sin<p\

где /(г), /0(г)~ произвольные аналитические функции, з,р- фазовые скорости поперечных и продольных волн соответственно. Если аналитические функции в (24) имеют вид /(г) = Ае~""2 , /0(г) = Ве1тг, то построенные решения локализуются в окрестности линии у = 0.

В §2 на основе метода вариационных неравенств доказан результат, являющийся математическим отражением известного физического принципа предельной амплитуды.

Доказана основная теорема, устанавливающая факт существования решений (24Ь), отвечающих поверхностным волнам типа Релея в клиновидной среде при определенных критических значениях угла её раствора /?* в условиях установившихся колебаний.

Теорема 5. Пусть операторы = + Ви ~

уравнений динамической теории упругости в однородной клиновидной области Пв с углом раствора /Зе(0,"/2) и границами ь0, Ьр действуют в гильбертовом пространстве Н со скалярным произведением (и, у), порождающим смешанную норму пространства Ь2Т )\т = (с, ,12)

Тогда для обобщенной краевой задачи:

Г (А и, у)- 1(Р )(В и, у) =0 , УуеС™ { (25)

всегда найдётся такое р' е(0,"/2) , что Х(р') = 1, для которого существует соответствующее решение вида (24Ь).

Доказательство теоремы основано на свойствах голоморфности билинейных форм (25) как функций р и известных результатов в области спектральных задач теории колебаний.

В §3 предложен метод изучения характера формирования волнового поля смещений свободной поверхности при установившихся плоских колебаниях клиновидной среды (задача 4А„) , соответствующих функциям /(г) - Ае~'ш , /0(г) = Ве~"°2 в формулах (24Ь). С помощью выражений (24а,Ь) для определения фазовой скорости с. поверхностной волны получено уравнение, которое оказывается уравнением Релея.

Решение этого уравнения в случае клиновидной среды имеет смысл лишь при условии существования критических углов раствора а., для которых возможен отыскиваемый режим колебаний. На основе использования вариационного принципа Гамильтона-Остроградского и принципа предельной амплитуды в формулировке §2 для случая установившихся колебаний получено уравнение, из которого определяются критические углы раствора а, :

liml lim det

o N-+ 00

/+А

| J^uJ.u^/cft-JJu,,.^-

l+h

da = 0

t NxN.

(26)

В процессе применения вариационного подхода осуществлялось разложение искомого решения по системе функций, удовлетворяющих уравнениям (24а,Ь) и заданным граничным условиям, полнота которой была предварительно установлена в следующей ниже теореме.

Теорема 6. Система {ехр\Г1(оп(1-с~'гсоз<р)-сос~'пМг5т<р)]},п = 1,2,... полна в пространстве Ь2Т{я'(&)}, & = {(г,<р): 0<г <аэ,0<<р< р), = \/М >0.

Доказательство основано на результатах по теории аппроксимации функций в комплексной плоскости.

Ниже для некоторых геологических пород приведена сравнительная Таблица 1 фазовых скоростей 5 волн сдвига и скоростей с. поверхностных волн Релея в клине, а также найденные по формулам (26) с помощью математического пакета Мар1е-8 критические углы раствора а. клина, при которых эти поверхностные волны могут наблюдаться.

Таблица 1

Скорость

№ Скорость поверхностной волны Критический

Материал волны сдвига Релея в клине угол раствора клина

S, км/с с*, км/с а*, град

1. Почвы песчано- 0,100 0,092 81,9

глинистые, 0,150 0,138 81,2

сухие 0,200 0,184 80,6

0,300 0,276 79,4

2. Мерзлота, лед 1,250 1,150 70,6

1,350 1,242 69,9

1,450 1,334 69,1

3. Известняк 1,300 1,196 70,2

1,420 1,306 69,3

1,520 1,394 68,5

4. Глина 1,750 1,610 66,8

водонасыщенная 1,850 1,702 66,0

При этом фазовые скорости указанных в таблице волн и критические углы раствора удовлетворяют соответственно неравенствам: с. < я , (Ка.к*/^.

В §4 исследован вопрос о возможности локализации волнового процесса в составной клиновидной среде, составленной из 2-х упругих клиньев с углами раствора и общим ребром (задача 4А,). Исследована проблема существования режима колебаний, порождающих интерфейсную (каналовую) волну типа Стоунли, не обладающую дисперсией. Указанная волна локализована в окрестности линии раздела клиновидных компонент.

Удовлетворение условиям сопряжения при решении краевой задачи с помощью (24а,Ь) для составной клиновидной среды с однородными краевыми условиями приводит к уравнению для определения фазовой скорости е.. распространения интерфейсных волн на границе раздела сред:

f(x\X,d,y„y2) = det

1

x_

2x-Jx-yf (l+rf)x-l

-Sx xjx

M

-2xJx-X2y2

-Silx-l2 -(1+у22)х+Х2

= 0

(27)

-х+0.5 -4х-1 Х-0.5Л2 Л = «,Лг< д = ц,/ц2 , х = з',/с2, У1 =Э]/Р] (;' = 1Л) Аналитическое исследование уравнения (27) позволяет установить наличие у него действительного корня 1<х<2 при определенных соотношениях между отношениями волновыми сопротивлений х^Хг поперечных волн, отношениями скоростей А поперечных волн, отношениями механических жесткостей <5 контактирующих сред. Ниже приведена сравнительная Таблица 2 фазовых скоростей е.. интерфейсных волн в 2-х компонентной клиновидной среде и волн Стоунли в 2-х компонентном пространстве. В качестве материалов контакта выбраны реальные геологические породы.

№ Материалы контакта Скорости волн сдвига S, км/с Отношение волновых сопротивлений, XI1X1 Скорость волны Стоунли С5,, км/с Скорость интерфейсной волны в 2-х компонентном клине С.«, км/с

1. Водонасыщенные грунты--мерзлота, лед 1,35 1,25 0,7 1,190 1,000

2. Известняк-- водонасыщенная глина 1.75 1.52 0.82 1.519 1.516

1,85 1,80 0,83 1,740 1,390

1,85 1,75 в,88 1,750 1,450

3. Доломит-гранит 3,60 3,60 0,98 3,530 3,460

При этом фазовая скорость е., интерфейсной волны в таблице 2 оказывается меньше скорости с5, волны Стоунли при контакте полупространств из тех же материалов. Как и в случае факта существования поверхностных волн типа Релея, интерфейсные волны в составной клиновидной среде появляются лишь при критических углах раствора а,, клиновидных компонент, которые определяются из уравнения типа (26) и удовлетворяют условию 0 <а„ < у .

На Рис.2 представлены результаты численного анализа зависимости действительного корня уравнения (27), определяющего относительную фазовую скорость интерфейсной волны е.. /в,, от отношения х^Хг

волновых сопротивлений Х1<Хг контактирующих клиновидных сред С11г в окрестности границы раздела сред Ь для различных значений

коэффициентов Пуассона Точками на графиках помечены результаты, вычисленные на основе реальных данных из таблиц геофизических наблюдений, сплошная линия на графиках - результат полиномиального сглаживания.

В излагаемом параграфе сформулирован также результат, устанавливающий факт существования критических углов раствора клиновидных компонент, для которых на границе раздела сред составной клиновидной среды появляется интерфейсная волна. В рассматриваемой ситуации доказана теорема, аналогичная теореме 5.

пи1=пи2*0,33

е2 I»

0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 отношения волновых сопротивлений контактирующих сред

nuU0,33 nu2=Q,22

I 8

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 отношение волновых сопротивлении контактирующих сред

Рис.2.

На основе численного анализа с использованием математического пакета Maple-8 составлена таблица контактного соответствия реальных геологических пород клиновидной формы. В этой таблице наряду с указанием основных волновых характеристик контактирующих пород приведены расчетные значения максимальных критических углов раствора клиновидных компонент (в", в"), на границах контакта которых появляется каналовая волна. Её фазовая скорость с** подсчитана и

помещена в таблице для случаев контакта ряда различных геологических сред клиновидного типа. Описанная таблица не приведена в автореферате ввиду её громоздкости. Как следует из справочных материалов по сейсморазведке под ред. Номоконова В.П. (М.Недра.1990.), полученные выше результаты согласуются с имеющимися данными геофизических наблюдений.

ГЛАВА VII посвящена описанию методики исследования волновых полей смещений в зонах локализации колебательного процесса при возбуждении клиновидной среды внешними источниками, расположенными на её гранях. При этом задача описания волнового поля сводится к решению граничных интегральных уравнений, относящихся к классу, детально изученному в главах II,III, где указан метод построения их эффективного приближенного решения.

В §1 с помощью решений, полученных в главе VI для случая сплошной и составной клиновидной области с критическими углами раствора клиновидных компонент, построен тензор Грина, удовлетворяющий требуемым граничным условиям и имеющий вид:

G(x.y\ 4,4) = -L- f G0(x,y I C,l) + *(y I f W (29)

A ^ >

Шу\С,1) = Ш)е'("+у)а' +h(üe'(W)a¡

Qh(i) = S2(i)-í2a,(í)a2(4) = K4Rh((2/K2)

*,(() = №-r2K2, a2(t) = ^2-K2 , s(C) = (2-jK2 В представлении (29) Rh(Z2/К2)-левая часть уравнения Релея. В результате вычисления интеграла (29) по теории вычетов получено выражение вектора амплитуд смещений свободной поверхности:

и(г,0) = £ Г| a)eÍCk + (£ | а)е~ + о(г) ,г->0

к=1

г <а , а = а,

и (г,0) = R (£h | а )е"'кГ + As(r\a )eiKr + А (г ¡a. )eiyKr , г оо (30)

г >b , а* а.

дП = дЛ0идП, , А (г), А (г) = о(г~У2)

s р

В выражении (30) - действительный корень уравнения Релея,

^-действительные полюсы функции det{ReU(-iz)} для критических углов

а. раствора клина, As(r\a,),Ap(r\a.),R(^/i\a.),f±(i^¡\a.) - векторы

амплитуд поперечных (s), продольных (р), поверхностных волн Релея и волн типа Релея, сосредоточенных между ребром клина и источником колебаний соответственно.

В §2 рассмотрен случай появления интерфейсных (каналовых) волн на границе раздела сред L для 2-х компонентной кусочно-однородной клиновидной среды. Построенные поля смещений выражаются контурным интегралом типа (29) в указанной зоне, который затем вычисляется по вычетам подынтегральной функции. Контур интегрирования Z замыкается в верхнюю полуплоскость полуокружностью и 4-мя вертикальными разрезами, обходя снизу 4 точки ветвления. Окончательное выражение вектора амплитуд смещений на линии раздела сред содержат продольные, поперечные волны и незатухающие интерфейсные волны типа Стоунли, локализованные в окрестности границы раздела L:

ис4 = ^с/, I ^СкГ+17<г I +

+ А<'>(г\е?,в;,с..)е'Г>К'г +1<2>(г\в: ,c..)eiK*r + (31)

Р s

Л<2р>(г\в"

г>Ъ ,Ь = П!глП2 , A°s2)(r),А°р2)(г) = о(г°о

-27В соотношении (31) (д,- действительный корень уравнения (27), определяющий фазовую скорость интерфейсных волн типа Стоунли на границе Ь раздела сред, ЩСд, ) - вектор амплитуды этих

волн, А^ (г | в" ,в" ), г | в" ,в" ). п —1,2 векторы амплитуд поперечных (.у),

продольных (р) волн 1-й и 2-й клиновидных компонент соответственно, в",в" - критические углы раствора клиновидных компонент. Критические углы раствора в соотношениях (30), (31), соответствующие случаям появления поверхностных и интерфейсных волн в зонах локализации колебательного процесса, вычисляются на основе методов главы VI.

Исследование характера локализации волнового процесса в однородном и составном клине позволяет детализировать описание волновых полей в областях, содержащих компоненты клиновидного типа, и внести существенные уточнения в методики расчетов при разработке численных методов решения прикладных задач, связанных с распространением волн в вышеуказанных областях.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные полученные результаты сводятся к следующему:

1. Дано аналитическое исследование методом ГИУ нового класса смешанных задач об установившихся колебаниях и распространении волн в клиновидных и косослоистых областях.

2. Построено новое представление общих решений динамической теории упругости для клиновидных и косослоистых областей, рассмотрены не изучавшиеся ранее в общей постановке плоские смешанные задачи динамики при установившихся колебаниях.

3. Разработаны методы сведения смешанных краевых задач динамической теории упругости в неоднородных клиновидных и косослоистых областях к системам ГИУ. Предложен новый подход для удовлетворения условиям сопряжения при наличии жесткого контакта на границах раздела сред, основанный на применении метода интегральных преобразований Конторовича-Лебедева в классах обобщенных функций, который позволяет осуществить построение аналитических решений смешанных задач теории упругости для неоднородных клиновидных и косослоистых областей. Разработана техника применения интегрального преобразования Конторовича-Лебедева для постановки и решения смешанных задач динамики неоднородных клиновидных и косослоистых сред в традиционной форме ГИУ.

4. Дано детальное аналитическое исследование классов ГИУ смешанных задач динамики клиновидных и косослоистых областей в условиях детерминированных либо стохастических колебаний.

5. Разработаны методы определения показателя сингулярности напряжений в клиновидной области с произвольным непрерывным либо

кусочно-непрерывным законами распределения модулей упругости в окрестности вершины клина. Установлено существование зависимости между углами раствора и характером распределения упругих модулей, порождающей наличие или отсутствие концентрации напряжений в угловой точке.

6. Исследованы особенности формирования волновых полей в косослоистой среде. На основе полученных новых представлений функционально-инвариантных решений динамических задач теории упругости исследованы вопросы локализации волнового процесса в рассматриваемой области. Установлена математическая корректность известного ранее факта существования поверхностных волн на гранях клиновидной среды и известного лишь эмпирически факта существования в составной клиновидной среде незатухающих интерфейсных (каналовых) волн, не имеющих дисперсии и распространяющихся вдоль линии раздела контактирующих сред. Сформулированы условия возникновения этих волн в виде соотношений между скоростями, волновыми сопротивлениями и углами раствора контактирующих сред.

7. Разработан метод описания волновых полей смещений в зонах локализации колебательного процесса при возбуждении клиновидной области внешними источниками, расположенными на её гранях. Представлены асимптотики волновых полей, причем в зонах локализации волнового процесса составляющими поля являются как продольные и поперечные волны, так и поверхностные для однородной клиновидной среды, а также интерфейсные волны, если клиновидная среда кусочно-однородна.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ а) в изданиях, рекомендованных перечнем ВАК РФ

1. Беркович В.Н. О точном решении одного класса интегральных уравнений смешанных задач упругости и математической физики. // Докл. АН СССР. 1982. Т.267. №2.С.327-330.

2. Беркович В.Н. К теории смешанных задач динамики клиновидных композитов. // Докл. АН СССР. 1990. Т.314. №1. С.172-175.

3. Беркович В.Н., Трипалин A.C. Излучение волн сдвига трещиной, выходящей на границу массивного тела. // Известия Сев.-Кавказск. научн. центра Высшей школы . Сер. ест.наук.1981. №3. С. 10-13.

4. Беркович В.Н., Трипалин A.C. Математическая модель акустической эмиссии в массивном теле с линейным дефектом // Изв.Сев.-Кавказск. научн. центра Высшей школы . Сер. ест.наук.1986. №4.С.10-16.

5. Беркович В.Н. Нестационарная смешанная задача динамики неоднородно упругой клиновидной среды. // Экол. вестник научн.центров ЧЭС. КубГУ. Краснодар. 2005. №3. С.14-20.

6. Беркович В.Н. Некоторые математические вопросы смешанных задач динамики неоднородной клиновидной среды. // Изв.вузов. Сев.-Кавк. регион. Ест.науки. 2005. №4. С.15-19.

7. Беркович В.Н. К теории смешанных задач динамики наклонно-слоистой среды. // Экол. вестник научн. центров ЧЭС. КубГУ. Краснодар. 2006. №2.С. 16-22.

8. Беркович В.Н. Плоские установившиеся колебания упругой клиновидной среды. // Экол. вестник научн.центров ЧЭС. КубГУ. Краснодар. 2008. №3. С. 27-36.

9. Беркович В.Н. О локализации волнового процесса в кусочно-однородной клиновидной среде. // Экол. вестник научн. центров ЧЭС. КубГУ. Краснодар. 2010. № 3.C.26-32.

10. Беркович В.Н. Особенности концентрации напряжений в неоднородно упругих клиновидных средах. // Изв.вузов. Сев.-Кавк. регион. Ест.науки. 2011. №.3. С.9-11.

б) в других изданиях

11. Беркович В.Н. Об одном эффективном методе в смешанных задачах динамики градиентных сред.// Тр. Междун. симпоз. "Ряды Фурье и их приложения" в г.Новороссийске (база «Моряк» Новороссийского морского пароходства). ЮФУ. Изд. ВГУ. Воронеж: 2002 . Т.10. Вып.2. С.94-98.

12. Berkovieh V.N. On the dynamic mixed boundary value problem for the elastic half-space with inclined stratification.// Abstr. of reports of Int. conf. "Analytic Methods of Analysis and differential equations" (AMADE) Minsk. Belarus. 2003. P.34.

13. Беркович В.Н. Об одном классе смешанных задач динамики наклонно-слоистой среды // Тр. IX Междун. конф.«Совр. пробл. механики сплошной среды» НИИ механики и прикл. матем. им.акад. И.И.Воровича Южного Федерального ун-та . Ростов- на-Дону. 2005 г. С.25-30.

14. Беркович В.Н. Об одном интегральном уравнении нестационарных смешанных задач динамики упругой среды. //Тез.докл. XIII Междун.конф. «Матем. Экон. Образование.» разд. «Мат. модели в ест. науках, технике, экономике и экологии» в г.Новороссийске (база «Моряк» Новороссийского морского пароходства). Южный федеральный ун-т. Ростов-на-Дону. 2005. С.97-98.

15. Беркович В.Н. Смешанная задача динамики наклонно-слоистой среды с негладкой границей. / В сб. «Математика в образовании» разд. Матем.модели в ест.науках и техн.Чув.гос.ун-т.Чебоксары. 2005.С.171-176.

16. Беркович В.Н. Смешанная задача динамики наклонно-слоистой среды.// Тр. V Российской конф.с междун. участием. «Смеш.зад.мех.деф. тела». Изд-во СГУ.Саратов.2005.С.65-67.

17. Беркович В.Н., Шварцман М.М. Анализ особенности напряженного состояния среды в смешанной задаче динамики клиновидного композита. // Tp.XIV Междун.конф. «Математика. Экономика. Образование.» в

г.Новороссийске (база «Моряк» Новороссийского морского пароходства). ЮФУ. Изд-во ЦВВР. Ростов-на-Дону. 2006.С.92-99.

18. Беркович В.Н. Смешанная задача динамики неоднородной клиновидной и косослоистой упругих сред.// Тез. докл. Всерос. конф. «Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций» Ин-т гидромеханики им. акад. М.А. Лаврентьева СО РАН. Новосибирск: 2006. С.22.

19. Беркович В.Н. Плоская смешанная задача динамики упругой клиновидной среды.// Тр.Х Междун. конф.«Совр. пробл. механики сплошной среды» НИИ механики и прикл. матем. им.акад. И.И.Воровича Южного Федерального ун-та. Ростов-на-Дону. Т.2. 2006 г. С.64-69.

20. Беркович В.Н. Особенности формирования волнового поля при плоских установившихся колебаниях клиновидной среды.// Тр. XII Междун. конф.«Совр. пробл. механики сплошной среды» НИИ механики и прикл. матем. им. акад. И.И.Воровича Южного Федерального ун-та. Ростов-на-Дону.Т.2.2008 г. С.39-43.

21. Беркович В.Н., Шварцман М.М. Особенности волновых полей при колебаниях составной клиновидной среды //Тр. XVI Междун.конф. «Матем. Экон. Образование.» разд. «Мат. модели в ест. науках и экологии». Ростов- на-Дону. 2008. С.81-88.

22. Беркович В.Н. Особенности концентрации напряжений в задачах теории упругости для неоднородных клиновидных сред. //Тр. XIII Междун. конф. «Соврем, пробл. мех. сплошной среды» НИИ механики и прикл. матем. им. акад. И.И. Воровича Южного федерального ун-та. Ростов-на-Дону. 2009.Т.2. С.36-39.

23. Беркович В.Н., Шварцман М.М. Эффекты локализации волнового процесса при колебаниях упругой клиновидной среды./ В сб. научн. тр. Морской гос.Академии им. адм. Ф.Ф.Ушакова. Вып. 13.2009.С.307-309.

24. Беркович В.Н. Вопросы концентрации напряжений в неоднородно упругих клиновидных средах.// Тез. докл. XVIII Междун. конф. «Матем. Экон. Образование.» разд. «Мат. модели в ест. науках, технике, экономике и экологии», в г.Новороссийске (база «Моряк» Новороссийского морского пароходства). ЮФУ. Ростов- на-Дону. 2010. С.116.

25. Беркович В.Н. Некоторые математические аспекты в задачах установившихся колебаний упругой кусочно-однородной клиновидной среды.// Тез. докл. Междун. семин.«Совр.методы и пробл.теории операторов и гарм. анализа и их прилож». ЮФУ. Ростов- на-Дону. 2011. С.59.

Сдано в набор 23.09.2011. Подписано в печать 23.09.2011. Формат 60x84 1/16. Цифровая печать. Усл. печ. л. 1,6. Бумага офсетная. Тираж 150 экз. Заказ 2309/02.

Отпечатано в ЗАО «Центр универсальной полиграфии» 340006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 140, телефон 8-918-570-30-30

www.copy61.ru e-mail: info@copy61.ru

ВВЕДЕНИЕ.

Научные положения, выносимые на защиту, и апробация результатов.

ГЛАВА I. Некоторые классы смешанных задач динамики упругих клиновидных областей.

§1. Постановка смешанных задач об установившихся колебаниях антиплоского сдвига однородных клиновидных областей.

1.1 Колебания однородной клиновидной области (1А).

1.2. Колебания клиновидной области с радиальным дефектом конечной длины (2А)

1.3. Колебания усеченной клиновидной области (1Б).

1.4. Колебания конической упругой области (ЗА)

§2. Постановка смешанных задач о колебаниях антиплоского сдвига неоднородных клиновидных областей.

X1.Колебания кусочно-однородной клиновидной области (2С)

2.2. Колебания градиентно-упругой клиновидной области (2Д, 2ДК)

2.3. Колебания косослоистого полупространства с негладкой границей (2Б).

§3. Постановка смешанных задач установившихся колебаний клиновидной области в условиях плоской деформации.

3.1. Колебания однородной клиновидной области (4А);(4АК)

3.2. Колебания'кусочно-однородной клиновидной области (4С,4СК)

3.3. Колебания косослоистого полупространства с негладкой границей (ЗБ)

§4. Постановка задач анализа прог^ессов формирования волнового поля в клиновидной области.

4.1. Поверхностные волны и поле смещений на границе однородной клиновидной области (4Ап) 4.2^ Интерфейсные (каналовые) волны и поле смещений на линии раздела областей кусочно-однородной' клиновидной области (4Си)

§5. Постановка нестационарных смешанных задач динамики антиплоского сдвига клиновидной области.

5.1. Колебания упругого однородного клина при стохастическом возбуждении его границы (5А)

5.2. Колебания кусочно-однородной клиновидной области при стохастическом возбуждении ее границы (5С).

ГЛАВА II. Граничные интегральные уравнения (ГИУ) смешанных задач динамики антиплоского сдвига однородных клиновидных областей.

§1. ГИУ смешанных задач о колебаниях клиновидной области.

1.1.Функция Грина и ГИУ задачи (1А)

1.2.Сведение задачи (2А) к системе ГИУ

1.3.Єведение задачи (ЗА) к системе ГИУ

§2. Базовый оператор ГИУ колебаний клиновидных областей.

-32.1. Обратимость скалярного базового оператора ГИУ (1А) 2.2. Обратимость матричного базового оператора ГИУ (2А)

§3. ГИУ смешанной задачи о стохастических колебаниях клиновидной области (5А) и вопросы его разрешимости.

§4 Методы построения решений ГИУ.

4.1. Исследование структуры решения базового ГИУ в случае установившихся колебаний

4.2. Исследование структуры решения ГИУ в случае стохастических а' колебаний.

ГЛАВА III. ГИУ смешанных задач о колебаниях антиплоского 5 сдвига неоднородных клиновидных областей.13L

§ 1. Удовлетворение условиям сопряжения на наклонных границах

раздела областей.

I §2. Смешанная задача о колебаниях 2-х компонентной клиновидной области. k

§3. Построение ГИУ смешанной задачи об антиплоских колебаниях клиновидного композита (2С,5С).

§4. Построение пропагатора для усеченной клиновидной области.

I §5. Построение ГИУ смешанной задачи о колебаниях сдвига усеченной клиновидной области(1Б). г

§6. Смегианная задача об антиплоских колебаниях косослоистой области (ЗБ).164 •

§7. Установившиеся колебания градиентно-упругой клиновидной области(2Д). rJIABArfV. ГИУ плоских смешанных задачюб установившихся колебаниях упругих клиновидных областей.

§1. Плоская смешанная задача установившихся колебаний однородной клиновидной области.л.

§2. Построение матричных пропагаторов для кусочно- однородного

I' клина в условиях плоской деформации s

§3. ГИУ плоских колебаний косослоистой области(ЗБ).

ГЛАВА* V. Метод ГИУ и вопросы концентрации напряжений а в угловых точках неоднородных клиновидных областей.

§1. Метод ГИУ в анализе концентрации напряжений неоднородной

I клиновидной области при установившихся антиплоских колебаниях(2Дк).

§2. Прямые методы при анализе концентрации напряжений i клиновидной области.

1 §3. Некоторые теоремы существования в задачах анализа 4 ! концентрации напряжений для неоднородной клиновидной \ области. г

ГЛАВА VI. Особенности формирования волнового поля кусочно-\ однородной клиновидной области в условиях плоских ^ установившихся колебаний.

§1. Построение функционально-инвариантных решений в задачах распространения упругих волн в клиновидной области.

§2. Поверхностные волны в однородной клиновидной области.

§3. Отыскание скоростей поверхностных волн и критических углов раствора однородной клиновидной области(4Лп).

§4. Интерфейсные волны в кусочно-однородной клиновидной области(4Сп).

ГЛАВА VIL Восстановление полей смещений методом ГИУ в зонах локализации волнового процесса в клиновидной области.

§1. Волновое поле смещений свободной поверхности однородной клиновидной области(4Aj.

§2. Волновое поле смещений на линии раздела материалов* кусочно-однородной клиновидной области(4€).300'

Клиновидной будем считать однородную или неоднородную упругую среду, заполняющую область плоского либо пространственного угла в полном или усеченном виде. К разряду клиновидных отнесем также и косослоистую среду, представляющую особый интерес в задачах математической и прикладной геофизики. Под косослоистой средой в настоящей работе понимается неоднородно-упругая, среда, составленная* из клиновидных и усеченно-клиновидных однородных упругих компонент с различными механическими № геометрическими характеристиками. Указанные компоненты жестко сцеплены друг с другом своими полубесконечными границами, а участки границы конечной длины образуют ломаную свободную поверхность.

Актуальность. темы теоретических исследований динамики упругих сред в клиновидных областях обусловлена следующими обстоятельствами:

1) требованием более адекватного моделирования и- анализа' процессов распространения волн в неоднородных геофизических объектах, представляющих собой сложное сочетание горизонтально-слоистых, клиновидных и косослоистых сред;

2) возрастанием научно-теоретического и практического интереса-к исследованию-волновых процессов в композиционных и функционально-градиентных материалах, используемых в машиностроении, а также при создании высокочувствительных датчиков смещений и напряжений, основанных на технологии использования свойств поверхностно активных волн (технология ПАВ);

3) необходимостью математического моделирования процессов распространения нестационарных возмущений в клиновидной среде со случайными источниками внутри среды, либо на её границе, в связи с развитием методов акустической эмиссии для целей неразрушающего контроля изделий ответственного назначения при оценке их состояний предразрушения;

4) потребностью теоретического изучения' вопросов концентрации напряжений в неоднородных клиновидных средах для оценки состояния объектов в местах стыка разнородных сред, анализа вариантов оптимального сочетания материалов в связи с развитием методов контроля прочности в механических конструкциях, содержащих ребра и угловые точки.

Долгое время в качестве наиболее распространенной модели приповерхностного фрагмента земной коры в геофизике для решения задач сейсморазведки выбиралась горизонтально-слоистая среда, представляющая собой пакет горизонтально расположенных пластов, находящихся в условиях жесткого сцепления. При этомупругие свойства изменяются только в вертикальном направлении при переходе от слоя,к слою, а внутри каждого из слоев остаются неизменными. Для большинства основных и смешанных задач; установившихся колебаний в условиях такой модели известны строгие решения, полученные с помощью метода факторизации, детально изложенного в монографии Нобл Б. [187]. Значительный вклад в исследование и решение указанного класса задач, а также развитияшетода факторизации внесли, в частности, работы Александрова В.М., Чебакова М.И.,[6,7], Бабешко-В.А. [15-26], Воровича И.И.[96-98], Ватульяна А.О. [84-86], r^yniKOBatE.B'., Глушковой Н.В. [103-106], Калинчука В:В. [143,144], Ляпина A.A., Селезнева М.Г. [168,324], Партона В.З., Перлина П.И. [191-193], Пряхиной О.Д. [98,206], и др. Исследованию волновых полей лучевым* методом в кусочно-однородных и произвольно-неоднородных средах с гладкими границами раздела посвящены работы Петрашень Г.И. [194-198], Кучера В.И., Каштана Б.М. [150] и др.

Несмотря на весьма детальную изученность основных и смешанных задач для горизонтально-слоистой« модели неоднородной» среды, возможности её использования все же ограничены, поскольку далеко не все фрагменты земной коры могут быть моделированы указанным способом.

Следующей по сложности и степени адекватности, моделью фрагмента земной; коры в геофизике, является косослоистая среда, получающаяся при расположении упругих пластов пакета под углом к свободной- поверхности. Задачи- построения и описания; моделей распространения? волн в указанных средах представляют серьезный научно-теоретический и практический интерес в вопросах математической геофизики, что отмечается, в ряде известных отечественных и зарубежных справочных руководствах и изданиях по сейсморазведке; [107,156,188, 214,23 8^ 240]?щцр Одноййиз/первых: работ в;направлениистеоретического исследования: процессов: распространения волн в описанных выше: средах, следует, по-видимому,. считать работуШётрашень Е.И!95]?, в которой* автор впервые обратил внимание на проблему математического описания процесса распространения возмущений в бесконечной ело и сто-изотропной среде, содержащей»? наклонные; пласгы. Строгое решение прямых, и тем* более, смешанных задач динамики .для' описанного выше случая до сих пор не было получено, а имеющаяся информация о характере распространения волн в таких средах содержится лишь в результатах геофизических наблюдений. Постановки краевых задач динамики в неоднородных: клиновидных средах, посвященные исследованию^ волновых, процессов в. композиционных, и? функционально-градиентных материалах; обусловлены возрастающими* требованиями к разработкам технических объектов, когда необходимо более точное, чем в традиционных инженерных подходах,, описание динамических свойств материалов^ конструкций в процессе их: эксплуатации. Это, в свою очередь, диктует необходимость постоянной, разработки; новых математических: моделей динамики неоднородных сред со сложной геометрией границ. Поиск и исследование новых типов волн в деформируемых твердых телах из различных материалов и различной геометрией границ, а также разработка новых аналитических подходов для решения этих задач относится к фундаментальным вопросам акустики. С указанными вопросами тесно связаны проблемы разработки и создания' высокочувствительных датчиков смещений № напряжений [119,160Д62;322,330] для неразрушающего контроля прочности, что, в свою очередь, требует детального изучения»характера формирования, волновых полей внутри И' на поверхности указанных выше объектов.

Несмотря на давнюю1 историю изучения вопросов концентрации напряжений в неоднородных клиновидных средах, эти вопросы по-прежнему остаются актуальными. Частичное исследование указанных вопросов5 для 8однородных и составных клиновидных сред имеется в"ряде* отечественных И'зарубежных работ [5,9Г, 169,361 и др.]. Однако, в случае произвольного характера неоднородности клиновидной среды- вопросы концентрации напряжений ранее не изучались. Исследование, проведенное в настоящей диссертации, позволяет исследовать «эти вопросы не только для кусочно-однородных, но и для. градиентно-неоднородных материалов в машиностроении и строительстве, таких как предварительно напряженные, термоупругие, растущие, стареющие, • изнашиваемые, материалы с поверхностной обработкой, различные типы грунтовки др.

В предлагаемом ниже обзоре описано • современное состояние результатов исследования всех перечисленных выше проблем динамической теории упругости для клиновидных сред.

1. Исследования основных и смешанных задач для клиновидных областей появились в начале прошлого века и были связаны преимущественно с рассмотрением задач дифракции электромагнитных волн. Одним из первых исследований в этом направлении явилась работа Зоммерфельда, в которой было построено решение задачи дифракции электромагнитных волн на клине. Детальное изложение её результатов содержалось В'монографии Франка Ф., Мизеса Р. [232], изданной в 1937 году. Аналогичным, вопросам была посвящен ряд других работ, опубликованных в этот период [274, 309,.355-357, 367].

Существенный вклад в развитие методов- решения задач математической-; физики - для клиновидных областей внести работы Конторовича М.И. и: Лебедева Н.Н. [140; 141]; и др. В этих; работах авторами была установлена теорема о разложении произвольной суммируемой с квадратом. функции в: интеграл по; функциям. Бесселя, которые интегрируются по индексу. На основе формулы.разложения: было получено1 интегральное преобразование,, позволяющее достаточно? просто получить как решение задачш Зоммерфельда, так, и решение ряда новых ранее не исследованных задач акустики клиновидных сред [287,290,305]. Дальнейшая; математическая теория, и приложения нового интегрального преобразования были развиты в работах Лебедева;? Н:Н;, Скальской И,П. [158,159]' ж др;, а также: в [116, 243], где были получены, различные; модификации основного результата- и ослаблены некоторые условия представимости произвольной функции интегралом: Конторовича-Лебедева. В работах /еташап А.М [127,369] получено обобщение теории этого интегрального преобразования; для- распределений с компактным носителем.

Несколько иной подход к решению задач акустики для;клиновидных областей был предложен Малюжинцем Г. Д. [33,173,326] при исследовании геометрической картины звукового поля в клине с заданным гармоническим режимом, возбуждения его граней. Автор отыскивает решение поставленной задачи в форме контурного интеграла Зоммерфельда и: в результате приходит к некоторому функционально-разностному уравнению, разрешимому в замкнутой форме. В полученном решении посредством; деформации контура интегрирования выделяются слагаемые, отвечающие приближению геометрической оптики и описывающие картину звукового поля в дальней зоне. В последующих работах этого же автора [174,175] вводится интегральное преобразование на основе интеграла Зоммерфельда и строится его обращение, а также показывается связь. введенного интегрального преобразования, с преобразованием Конторовича-Лебедева. Развитие теории и дальнейшие приложения метода Зоммерфельда-Малюжинца Г.Д. было продолжено в исследованиях Тужилина A.A. [226], Будаева Б.В*; [80], Бабича- В:М: j

Лялинова М.А. [33,323], Шанина' Al.B:[237],r. Budaev B.V.,Bogy D:'V. [259;260], Norris A.N.,Osipov A'.V.[333]' w в ряде последующих работ вышеперечисленных и других авторов;

В исследованиях Глушкова. Е.В. [105]- обсуждается возможность применения* интегрального преобразования- Меллина: к решению задач дифракции- упругих волн сдвига В' клиновидных областях. При» этом решение уравнения Гельмгольца сводится' к решению бесконечной, системы, интегральных уравнений1 по< угловому- параметру относительно-гладких функций с выделением' сингулярной» составляющей-* в угловой точке. Далее решение системыхтроится прямыми-численными методами.

2. Задачи- динамической, теории упругости^ для .однородных клиновидных сред в работах, отечественных и зарубежных авторов первоначально сводились к исследованию ^распространения^ упругих волн антиплоского сдвига внутри клиновидной среды. Результаты- в указанном направлении содержатся в работах Бабешко ВА., Беркович В.Н. [15], Беркович В.Н. [42,43], Уфимцев П.Я. [230], Craster R.V.,Shanin A.V.[275], Fuchs К. [287], HudsonJ.A. [305] и др: [249,307].

Рассмотрение-плоских краевых задач , установившихся колебаний однородной клиновидной среды в. основном было ранее связано с изучением вопросов дифракции плоских волн от угловых областей. Этим исследованиям посвящены работы Oberhettinger F.[355,256], Пётрашень Г.И., Николаева. Б.Г., Коузова Д.П. [196], Поручикова В:Б. [200-203], Исраилова М.Ш. [133-135] в которых использован подход, основанный на функционально-инвариантных решениях Смирнова-Соболева.

В исследованиях Babich V.M., Matskovskiy [252], Budaev B.V.[82], Kamotski I.V., Lebeau G.[311], Budaev B.V., Bogy D.B. [259,260,262], Gaustesen A.K. [294,295], Norris A.N., OsipovA.V.[333,334], Davis A.Mi [282], Shanin A.V.[247,248,275], Rawlins A.D.[341,348] рассмотрены задачи дифракции на клине методом динамических потенциалов в сочетании с использованием метода Зоммерфельда - Малюжинца и метода факторизации. В" работе Mozhaev V.G. [329] описаны результаты применения лучевого метода к изучению акустических волн в упругой клиновидной среде. Вычислительным аспектам- проблем дифракции на упругом» клине посвящена работа Babich V.M., Borovikov V.A., Fradkin L.J., Gridin D., Kamotski V., Smyshlyaev V.P. [265] и*др.

В исследовании краевых задач динамики упругого клина- следует отметить работы, где исследовалось распространение упругих волн, генерируемых нестационарным импульсом. Указанная-» проблема рассматривалась в работах Петрашень Г.И1 (см., например [195]), в которых изучались волновые поля в плоском клине на основе метода функционально-инвариантных решений Смирнова- В:И. и Соболева C.J1., а также с помощью метода контурных интегралов Меллина. Аналогичным исследованиям посвящены результаты Алексеева A.C., Михайленко Б.Г. [10]. Achenbach J.D. [246,247], Ting L. [362], основанные на сведении исходной проблемы колебаний однородного клина к граничной задаче для некоторой аналитической функции. Основная задача динамической теории упругости о распространении нестационарной волны сдвига^ в клине произвольного угла раствора- рассмотрена в работе Eorristall G.J., Ingram J.D. [288]. С помощью интегрального преобразования Конторовича-Лебедева автор сводит задачу к сингулярному интегральному уравнению, к которому затем применяет метод Мусхелишвили.

Впервые точное решение плоской задачи о дифракции нестационарной плоской упругой волны на гладком твердом клине произвольного угла раствора было получено Костровым Б.В. [145] . Похожая задача, когда на гранях клина отсутствует касательное перемещение и нормальное напряжение; была решена Капустянским С.М. [137]. Решение плоской задачи о дифракции цилиндрической, упругой; волны на гладком твердом клине было найдено в работах Поручикова В.Б. [201], Zemell S.H. [370]; на клине с импедансными граничными условиями' - в работах Budaev D.V., Bogy D.B. [269], Gaustesen А.К.[294] и др. [341,352]. Задача о? дифракции; волн, возникающих от движения? . заглубленного прямоугольного фундамента; рассмотрены в статьях Рылько M.Ai [213], Dravinski М;А., Thau S.A. [283] , Thau S.A., Umek A. [359]. Решения этих задач сводятся к решениям плоских задач дифракции на клине с прямым углом> при вершине со смешанными, граничными условиями: на' различных гранях клина заданы нормальное напряжение и касательное перемещение или касательное напряжение и нормальное перемещение. В работах Поручикова Б.В.[203], рассмотрены задачи о распространении нестационарного импульса в клиновидной среде ' для случаев, когда граничные условия для динамических уравнений теории упругости разделяются для- продольного- и поперечного потенциалов. Дальнейшее решение задачи основано на применении интегрального преобразования Лапласа и удовлетворении асимптотического поведения искомого решения на ребре условию Мейкснера [275], которое сохраняется и после применения преобразования Лапласа.

Рассмотрению плоской основной краевой задачи: теории упругости об установившихся колебаниях, прямоугольного клина при наличии гармонических источников на его- гранях посвящена: работы Wong H.L., Luco J.K. [367], Bogy D.B.& Wang K.C. [272]. Введением искусственного поверхностного ¡затухания; авторы, строят решение; задачи методом суперпозиции решений: 2-х перпендикулярно расположенных полупространств, пересечение которых формирует прямоугольный клин. При этом применяется . преобразование Фурье вдоль. 2-х взаимно перпендикулярных полуосей - границ прямоугольного клина. Задача сведена к решению интегрального уравнения Фредгольма II рода с ядром, имеющим достаточно сложную структуру. Основные (несмешанные) начально-краевые задачи динамической теории упругости для однородной среды типа квадранта, полуполосы, октанта рассматривались в работах Добрушкина В.А. [120,280,281] на основе численно-аналитического подхода в связи с аппроксимацией возникающих при этом интегро-дифференциальных операторов.

Описанию результатов исследований по распространению волн в клиновидной среде посвящена работа Parker D.F. [335]. Плоские задачи динамического нагруженияупругих областей с угловыми точками контура рассматривались также в работах Морозова Н.Ф., Суровцовой*И.Л. [184], Будаева Б.В., Морозова Н.Ф., Нарбут М.А. [81], Толипов- К.Б.[363] методом динамических потенциалов для весьма специального случая граничных условий («скользящаязаделка»). При этом нагрузка на гранях выбиралась таким образом, чтобы граничные условия- устанавливались, для продольного и поперечного»потенциалов независимо друг от друга. Плоские задачи дифракции в однородных клиновидных областях рассмотрены также в работах Исраилова MiIII [135], где построено приближенное решение на основе использования метода лучевых разложений в форме специальных рядов.

Отметим, что исследование рассмотренного в данной диссертации общего случая задания граничных условий для задач установившихся колебаний упругой клиновидной среды в условиях плоской деформации не обнаружено ни в отечественных, ни в зарубежных источниках.

3. Относительно задач динамики неоднородно-упругой клиновидной среды следует отметить, что к настоящему времени известен ряд работ, содержащих подобного рода исследования. Впервые основная задача динамической теории упругости об антиплоских установившихся колебаниях составной клиновидной среды из 2-х упругих материалов была рассмотрена в докторской диссертации Улитко А.Ф. [288]. На основе использования метода динамических потенциалов и интегрального преобразования Конторовича - Лебедева- исходная задача сведена к специальной краевой задаче относительно неизвестных аналитических в, полосе функций, граничные значения которых связаны линейно-интегральными соотношениями' (краевая задача по Векуа [84]). Проблема* рассеяния-SH - волн- на угле, составленном из 2-х. различных материалов, рассмотрена в работе Gaustesen A.K. [295]. Задача об» установившихся антиплоских колебаниях составной-, клиновидной среды, рассмотрена в работе-Ляпина-A.A., Селезнева М.Г. [168,324] на основе метода суперпозиции решений 2-х задач о колебаниях упругих полупространств, границы которых, пересекаясь под требуемым углом, формируют клиновидную среду, а гармонически осциллирующие напряжения, распределенные в некоторой области^ действуют на ребро клина. Проблема динамического «деформирования1 клина из неоднородного' материала рассмотрена также в,работах [123, 366].

Следует отметить появившиеся в последнее время работы академика РАН Бабешко BIA., например, [27,28-и др.], в которых предложен подход к решению задач динамики неоднородных сред на основе дальнейшего развития метода факторизации в связи с исследованием и приложениями теории блочных структур. Однако реализация- этого общегог подхода в случае неоднородных клиновидных областей требует весьма детальной-конкретизации.

Рассмотрение смешанных задач установившихся- колебаний с разрывными граничными условиями, в строгих математических постановках для составной упругой или градиентной клиновидной, а тем' более, косослоистой среды, не обнаружено ни в отечественной, ни в зарубежной литературе. Имеется лишь ряд работ, посвященных проблемам распространения волн в неоднородной либо стратифицированной среде

10,12,144,217,241,242], а также проблемам дифракции на упругом клине, погруженном в жидкость [320,338,339,346].

4. Исследованию процессов возникновения и распространения поверхностных и интерфейсных волн в упругих телах посвящен значительный ряд работ. По установившейся терминологии интерфейсными (или; каналовыми) называют волны в кусочно-однородной среде, распространяющиеся? вдоль границы;. раздела сред/ с экспоненциальным затуханием амплитуды-при; удалении от этой^ границы, по* нормали. В этом? случае колебательный процесс локализуется« в; окрестности линии; раздела сред, распространяясь с; незначительным-затуханием: вдоль линии- раздела: ш унося? частью энергии колебаний на? бесконечность. Указанный эффект впервые; был: обнаружен Струили [351]! при рассмотрении задачи о свободных колебаниях кусочно-однородной среды,, составленной/ из1; двух упругих» полупространств, с: различными механическими характеристиками: Возникающая- при; этом интерфейсная волна не обладает дисперсией по? частоте. Интерфейсные волны, распространяющиеся вдоль границы раздела сред при контакте упругого слоя и полупространства,. были исследованы Лявом [11,Г67]. Однако, в отличие от волн Стоунли, последние обладают дисперсией! по частоте.

Детальное исследование процессов возникновения поверхностных и интерфейсных волн на границах раздела материалов горизонтально-слоистых сред имеется в монографиях Гринченко В,Т., Мелешко В.В. [108], Бабешко В;А., ЕпушковгЕ.В!,. Зинченко Ж.Ф. [17], где приведена обширная библиография по указанным вопросам., а также в. работах Бабешко В. А., Глушкова Е.В:, Глушковой Н.В. [18], Воровича И.И., Бабешко В.А., Пряхиной О.Д. [98], Бабича В.М: [30-32] Пряхиной О.Д., Смирновой A.B. [206], Вильде M.B. [88-90J и др. [250,306,319,349,354]. В работах Калинчука В.В., Белянковой Т.И. [143], Калинчука В.В. [144], дано исследование динамических процессов на поверхностях предварительно напряженных и электроупругих сред с цилиндрическими границами. В работах академика РАН Бабешко В.А. выдвинут «принцип локализации» в задачах установившихся колебаний упругих полуограниченных однородных или кусочно-однородных сред, который нашел еще одно подтверждение в настоящей диссертации.

Вопросы прохождения и отражения поверхностных волн Релея в упругом клине представлены в работах Kane J.,Spence J.[313], Hudson J.A., Knopoff I.[304], Fujuii K. [288], Budaev B.V.,Bogy D.B. [259,260;262] и др. [293,296,298]. Этим же вопросамшосвящены работы авторов Бахрамова Б.М. [37], Бахрамова Б.М. и Филиппова И.Г. [36]1 и др. [32, 34, 332,334,338]. Вопросам рассеяния, волн Релея, и Стоунли на составном упругом« клине посвящены, в частности, работы Gaustesen A.K. [295], Budaev B.V., Bogy D.B. [261]. В последних работах применен-подход Зоммерфельда - Малюжинца* на основе использования метода динамических потенциалов при заданию на гранях клина граничных условий 1,11,ПГ рода. Исследованию процесса возникновения интерфейсных волн на границе упругой и жидкой среды при изучении дифракции волн на упругом клине, погруженном в жидкость (волны Шолтё - Стоунли [345] ), посвящены работы Duflo Н., Tinel A; Duelos J, Lebeau G. [277], Croisille J.-P., Lebeau G. [278], Piet J.F., de Billy M: [339] и др: [256,320,346] Bí этих работах на основе использования метода динамических потенциалов для- упругой и жидкой сред, а также метода Малюжинца рассмотрена плоская связанная задача дифракции.

Отметим, что постановка и исследование динамических краевых задач»для,произвольной кусочно-однородной клиновидной и косослоистой средах, а также исследование характера формирования волнового поля в указанных областях не обнаружены ни в отечественных, ни в зарубежных публикациях.

5. Задачи о концентрации напряжений в окрестности угловых точек области, занятой упругим телом, представляют значительный интерес для прогнозирования прочности конструкций при сочетании в угловой точке двух или нескольких материалов с различными упругими свойствами. Исследованию вопросов концентрации напряжений в окрестности угловой точки однородной упругой среды в условиях статического нагружения посвящены работ авторов: Александров В.М., Сметанин Б.И., Соболь Б.В. [7], Лурье А.И. [163] , Партон В.З., Перлин П.И. [192], Попов Г.ЯГ [199]; Уфлянд Я.С. [231] и др. [169, 257]'. В этих работах отмечается существование некоторого критического угла концентрации а*, начиная с которого (а>а») в вершине угла появляется' степенная особенность напряжений 0(r~ö) ,0 <ö <1. При этом? критический показатель концентрации <5' находится из- некоторого трансцендентного- уравнения. Задачи для-двухслойного клина исследованы* в работах Bogy D.V. [271],

Hein V.L., Erdogan F. [301], Theocaris P.S., Gdontos E.E., Thireos-C.G. [361] i и др., где1 проводится-подробный анализ, структуры областей* изменения параметров задачи, при которых возможны бесконечные напряжения у вершины. Вычисление и исследование критического^ показателя^ концентрации ö для кусочно-однородной клиновидной среды, дано в работах Аксентян 0:К., Лущик О.Н. [5], Лущик О.Н. [165] , Блинова В.Т., Линьковj А.М'[257], Глушков; Е.В.,. Глушкова* Н.В.,Хофф Р. [106], где определены- области изменения параметров,' для которых имеет место появление бесконечных напряжений. Отметим, что при увеличении/числа клиновидных компонент от 3 и выше методы этих работ приводят к весьма громоздким процедурам как вывода самих трансцендентных уравнений, из которых определяется показатель особенности, так и численной процедуре исследования зависимостей этих корней от параметров задачи. •

Вопросы об особенностях волновых полей в окрестности угловых точек в условиях гармонических колебаний рассмотрены» в работе Морозова Н.Ф., Суровцовой И.Л. [184], Поручикова В.Б. [203] и др. В работах Будаева Б.В., Морозова Н.Ф:, Нарбут М.А. [81,327], уделено особое внимание принципу Сен-Венана при статическом и динамическом нагружении однородной клиновидной среды. В работах Суровцовой И: Л. [223,224] показано, что принцип Сен-Вёнана в общепринятой формулировке не выполняется в задаче о нагружении граней клина антисимметричной нагрузкой ни при; каких углах раствора. В работах Вовк Л.П., Соболь Б.В. [93]: и др. рассмотрены вопросы концентрации напряжений в условиях гармонических колебаний составного призматического тела- составленного из 3-х и 4-х разнородных тел. Получено и исследовано характеристическое- уравнение, определяющее локальную« особенность напряжений: во. внутренней угловой точке сопряжения всех областей:

Исследование. критического угла- концентрации* а* в . зависимости от характера распределения; упругих; характеристик; в окрестности; вершины? угла для» произвольной- неоднородно-упругой; клиновидной- среды не обнаружено в отечественной и зарубежной литературе ни. при рассмотрении задач* статики,, ни при рассмотрении задач динамики неоднородного клина: Отметим также, что исследования вопросов? концентрации; напряжений в., произвольно* неоднородною среде приобретают большую актуальность в связи с изучением и проектированием функционально-градиентных материалов (ФГМ), заменивших во многих технических устройствах слоистые композиты. При этом в ФГМ модули упругости меняются^ гладким образом по? координатным.: переменным; в. соответствии с- заданным: технологическими процессом. Кроме того, изменение свойств материалов во: времени в связи его износом и старением может привести к изменению характера: концентрации напряжений в углах и переходу состояния материала в этой зоне к очередной стадии предразрушения, которую следует диагностировать.

7. Вопросы нестационарных и случайных воздействий на упругие классические области детально изучены, в 1 работах Болотина В.В, Волоховского В.Ю.,Чиркова В:П. [76], Чигарева А.В.[236], Пальмова В.А.

190], Сеймова В.М. [215], Диментберга М.Ф. [118]. В работе Койбина A.B. [143] изучен процесс распространения случайной вибрации в упругом стержне. В монографии Басс Ф.М., Фукс И.М. [35] рассмотрены математические вопросы дифракции волн на шероховатых поверхностях с подробной библиографией по указанному вопросу. Общие вопросы разрешимости и приближенных методов решения краевых задач теории, упругости со случайными нагрузками рассмотрены' в работах Гончаренко В.М. [114,115], Grandall S.H. [299,300] и др.[ 308,342,344,350]

Исследование вопросов* стохастической* динамики клиновидной среды- представлены лишь в нескольких' работах Budaev B:V.&Bogy D.B.[264,265,] и др., связанных с задачами дифракции на клине. В указанных работах предложен* численный алгоритм; основанный: на методах случайного блуждания. Исследование краевых задач о стохастических колебаниях в клиновидной среде при случайном^ возбуждении1 её граней не1 обнаружено^ ни отечественных, ни в зарубежных публикациях.

8. Некоторые вопросы разрешимости краевых задач 1,1ГД1Ь рода для дифференциальных уравнений эллиптического типа в областях с кусочно-гладкой границей (включая-' клиновидную и косослоистую среду) рассмотрены, в1 работах Мазьи, B.F., Пламеневского Б.А. [170,171], Назарова С.Ф., Пламеневского Б.А. [1'86]<и др.[ 13, 125,280|281]1 Вопросы разрешимости смешанных задач для неоднородной клиновидной и косослоистой среды с разрывом граничных условий (смешанные условия контактного1 типа) не представлены в работах данных, а также других отечественных и зарубежных авторов.

Целью исследований в настоящей диссертации является разработка методов анализа плоских и антиплоских смешанных задач динамики с разрывом граничных условий для однородных и неоднородных клиновидных и косослоистых упругих сред на основе метода граничных интегральных уравнений (ГИУ). Ставится задача исследования вопросов разрешимости указанных задач и разработки методов их приближенного решения. Ставятся также задачи изучения характера формирования волнового поля в клиновидных и косослоистых средах и исследования при этом вопросов концентрации напряжений в угловь1Х точках этих сред.

Научная новизна предлагаемого исследования состоит» в построении строгих математических моделей формирования волновых полей при- колебаниях неоднородных клиновидных и косослоистых сред на>основе постановки основных и смешанных задач динамики.

В частности, научную новизну составляет изучение новых классов задач- для- клиновидных и косослоистых сред, построение методов их решения, связанных с удовлетворением условиямхопряжения на границах

раздела сред, представляющих самостоятельный' научный интерес: Несмотря« на> обилие работ по изучению сейсмических границ1 косослоистых сред (отмеченных, в частности, в. монографии1 Алексеева А.С., Бессоновой.Э.Н. и др.[9]), модели указанных сред,.исследованные в предлагаемой диссертации; не обнаружены, к настоящему времени ни- в отечественных публикациях и- справочных изданиях Гурвич И.И., Боганик Г.И.[ 107],Номоконов'В.П.(ред.)[ 188] и др.[214, 240,207, 235, 156,], ни в работах зарубежных авторов Шерифф Р., Гелдарт Л. [239] и др. [331,336,354,365,366]. Имеющаяся ^ информация^ о характере распространениям волн в косослоистых средах носит в основном лишь численно-эмпирический характер и получена при обработке результатов геофизических наблюдений рассмотренных задач для указанных выше клиновидных и косослоистых сред, но и методы- их решения, основанные на удовлетворении, условиям сопряжения, в обобщенном смысле, представляющие самостоятельный научный интерес.

Научную новизну составляет теоретически установленный в работе и практически подтверждаемый результатами геофизических наблюдений факт локализации волнового процесса в кусочно-однородной клиновидной и косослоистой среде при определенных условиях. Разработана методика теоретического определения скоростей возникающих при' этом поверхностных волн в окрестности свободных границ, а также интерфейсных (каналовых) волн в окрестности линий раздела сред.

Научную новизну составляет впервые рассмотренная в настоящей диссертации смешанная задача о возбуждении клиновидной среды внешними случайными источниками» на основе сведения начально-краевой' задачи к эквивалентному ГИУ с исследованием вопросов разрешимости и аналитической-структуры его решения.

Научную новизну составляют впервые исследованные в настоящей диссертации вопросы концентрации напряжений в угловых точках неоднородных клиновидных сред в случаях произвольной« зависимости механических характеристик от полярного угла.

Методика исследований

В качестве основного подхода к исследованию'Классов-основных и смешанных задач, рассматриваемых в данной работе, выбран метод граничных интегральных уравнений (ГИУ), состоящий в сведении рассматриваемых краевых задач динамической теории упругости на основе методов интегральных преобразований' к эквивалентным граничным ГИУ, в их детальном исследовании, и на основе которых осуществляется процедура построения.решений исходных задач.

Значительный вклад в развитие математической теории ГИУ и t численных методов их решения, широко применяемых в механике сплошных сред и в инженерном1 деле, который' внесли отечественные ученые' Векуа Н.П. [87], Купрадзе В.Д. [147,148], Мусхелишвили Н.И. [185], Галин JI.A.[99], Лурье А.И. [164], Гольдштейн Р.В.[110-112], Лопатинский Я.Б. [154], Михлин С.Г. [180], Ворович И.И., Бабешко В.А., Александров В.М. [96,97], Ватульян А.О [84,86], Сметанин Б.И., Соболь Б.В. [7], Пожарский Д.А. [8], Горячева И.Г. [113], Улитко А.Ф. [231], Попов Г .Я. [199], Партон В.З., Перлин П.И. [193],

Нуллер Б.М. [189] и др. Среди исследований зарубежных ученых следует отметить работы Matezinski M. [325], Srivastav R.P. [352], Lâchât J.C., Watson J.O. [323], Cruse T.A. [279], Shaw R.P. [342], Hess J.L. [302] и др.

В данной работе метод ГИУ реализуется как на основе метода интегральных преобразований непосредственно, так и на основе построения функции или тензораТрина. В процессе построения решений используются методы, традиционно применяемые в динамической теории упругости- и теории дифракции: методы теории интегральных преобразований основных и- обобщенных функций, методы теории потенциала, вариационные методы- и методы факторизации, методы теории'аналитических функций, теории интерполяции целых функций и функциональных пространств, теории аппроксимации, теории случайных процессов, функционального и- численного анализа.

Достоверность полученных результатов определяется применением к решению рассматриваемых задач общих математических подходов; основанных на использовании динамических уравнений-, теории упругости, детально разработанной теории интегральных преобразований основных и обобщенных функций, результатов/ теории потенциала, методах теории- функций и функционального анализа. Достоверность результатов, получаемых выдвинутыми в диссертации методами детально проверяется' на основе их сравнения с решениями известных задач, полученных с помощью других подходов и методов, а также результатами численного анализа. Особое внимание в работе уделено строгим доказательствам вопросов разрешимости. Для доказательства теорем о разрешимости, связанных с рассмотренными в работе краевыми задачами, применяется метод перехода от классических их постановок к обобщенным, позволяющим применять далее методы функционального анализа.

Ниже излагается кратное содержание основных разделов диссертации.

В ГЛАВЕ I даны классические постановки основных типов смешанных краевых задач о колебаниях упругих клиновидных и косослоистых сред, рассмотренных в настоящей диссертации в условиях плоской или антиплоской деформации. Под смешанными задачами в главе понимаются задачи'при наличии разрыва нормальной производной неизвестных функций на границе. Постановка краевых задач осуществляется для следующих упругих неклассических областей: 1) однородная клиновидная среда с постоянными- значениями механических параметров; 2) кусочно-однородная среда, составленная из жестко сцепленных однородных клиньев с общей вершиной и различными механическими и геометрическими характеристиками; 3) неоднородная клиновидная среда с непрерывным распределением механических параметров (градиентные среды); 4) упругая среда в форме усеченного клина с постоянными механическими'характеристиками; 5) косослоистая среда, составленная из усеченно-клиновидных компонент, примыкающих друг к другу своими.полубесконечными границами при условиях жесткого сцепления. Для вышеперечисленных упругих областей формулируются следующие задачи:

-переход от классических постановок к граничным интегральным уравнениям (ГИУ);

-исследование^ вопросов разрешимости ГИУ и построения приближенного решения;

-исследование вопросов концентрации напряжений в рассматриваемых клиновидных областях;

-исследование характера, формированияі волновых полей в рассматриваемых неклассических областях.

В ГЛАВЕ II получены ГИУ, порождаемые смешанными задачами об установившихся колебаниях антиплоского сдвига, возбуждаемых внешними источниками, расположенными на одной из граней клиновидной или усеченно-клиновидной среды в полосе, параллельной ребру. Исследуемые задачи и получаемые при этом ГИУ не рассматривались ранее другими авторами ни при математическом моделировании волновых процессов, ни как чисто математические объекты исследования. Для получения ГИУ применены методы интегральных преобразований Фурье, Лапласа, Меллина и Конторовича-Лебедева, Крама [38]. Рассмотрены случаи наличия источников, генерирующих как установившиеся, так и стохастические' колебания на границе рассматриваемых сред. Для задач'установившихся, колебаний, в операторах ГИУ выделен базовый интегральный оператор, и изучены вопросы его обратимости в функциональных пространствах дробной гладкости» Соболева-Слободецкого* 1¥3/2(д&). Для случая стохастических колебаний в операторах ГИУ также выделен базовый интегральный оператор, и результаты, по его обратимости сформулированы в терминах осцилляции» [149,295] над пространствами дробной гладкости. Разработан метод точного обращения базовых операторов, основанный на сведении ГИУ к вспомогательным интегральным уравнениям II рода с помощью метода факторизации. Установлена структура решения ГИУ, которое выражается через решения вышеуказанных интегральных уравнений II рода. При этом искомые амплитуды смещений клиновидной среды выражаются через построенные решения ГИУ.

В ГЛАВЕ III выдвинуты 2" новых подхода, позволяющие выяснить аналитическую структуру решений смешанных задач об установившихся антиплоских колебаниях кусочно-однородных клиновидных сред с механическими характеристиками, дискретно меняющимися в зависимости от угловой координаты. Первый* из предлагаемых подходов к решению указанного класса задач связан с удовлетворением условиям сопряжения на границе раздела сред с различными упругими и волновыми характеристиками и основан на функциональных пространств средней** ограниченной получении специального соотношения, представляющего равенство нулю некоторого сингулярного интеграла, содержащего линейные соотношения между интегральными преобразованиями Конторовича-Лебедева от смещений и напряжений. На основе этого подхода получено ГИУ смешанной, (контактной) задачи« об установившихся^ колебаниях, сдвига кусочно-однородной клиновидной среды, составленной из жестко5 сцепленных, клиньев с: общей вершиной и различными: механическими характеристиками (клиновидш.ш композит).

Другой подход- является-, более общим и основан, на применении методов интегральных преобразований в классах обобщенных, функций Шрифтом?уравнения«колебанищ граничные условия и условия?сопряжения на: границах раздела; сред с различными; упругими; и волновыми . характеристиками рассматриваются как следствия вариационного принципа Гамильтона-Остроградского. Установлен . математический < результат, с помощью которого оказалось, возможным в специально выбранных пространствах обобщенных функций трансформировать условия- сопряжения, в форму линейных соотношений между интегральными ■ преобразованиями Конторовича-Лебедева от.; смещений и напряжений. '. ;

В.данной главе рассмотрен также общий случай градиентно-упругой клиновидной* средьь с произвольной зависимостью; . механических характеристик от угловой координаты. Установлен; теоретический результат, обосновывающий возможность аппроксимации градиентной клиновидной' среды с помощью рассмотренного; выше клиновидного композита.

В целях проверки проводилось сравнение обоих подходов; на примере решения: смешанной (контактной), задачи об антиплоских колебаниях кусочно-однородной- клиновидной среды. При этом оказывается^ что ГИУ относительно неизвестных контактных напряжений, полученные с помощью обоих подходов, полностью совпадают.

На основе последнего из подходов разработан метод операторных пропагаторов, позволяющий получить ГИГУ смешанных задач об антиплоских колебаниях неоднородной клиновидной среды, составленной из клина и усеченного клина с общей' вершиной, а также косослоистой неоднородной среды с негладким рельефом при установившихся' колебаниях её крайней границы.

В ГЛАВЕ IV рассмотрены, не изучавшиеся-ранее в1 общей- постановке плоские смешанные задачи установившихся' колебаний, (задачи Соболева) однородных и кусочно-однородных клиновидных областей. Результаты главы IV основаны на использовании-- представлений, общих решений^-динамической теории упругости, полученных Зильберглейтом- A.C. и Златиной И.Н:[128]. Указанное рассмотрение осуществляется с помощью полученного в. диссертации специального- представления фундаментального тензора колебаний Купрадзе В.Д. [147,148] в полярной* системе координат. Для- получения основных ГИУ плоских смешанных задач о колебаниях клиновидных областей с использованием фундаментального тензора колебаний' производится предварительное построение тензора, Грина для клиновидной и усеченно-клиновидной-упругой среды, который удовлетворяет требуемым граничным условиям. При этом оказывается, что главная составляющая оператора левой части получающихся при* этом ГИУ совпадает с базовым- оператором, изученным в главе II и допускающим точное обращение, что позволяет разработать алгоритмы для построения эффективного приближенного решения.

В качестве иллюстрации- выдвинутого подхода получены; ГИУ плоской смешанной задачи о колебаниях упругого полупространства с наклонным, излучающим разрезом, выходящим на свободную границу, получена структура его аналитического решения и построена амплитудно-частотная характеристика смещений свободной поверхности: Указанная задача детально рассмотрена в ПРИЛОЖЕНИИ. Отметим, что в более поздних работах авторов Глушкова Е.В., Глушковой Н.В., Голуб М.В. [104] и др. были рассмотрены задачи о колебаниях, возбуждаемых гармоническими источниками на границе полупространства с наклонной трещиной, но в связи проблемой локализацией энергии волнового» процесса, блокирования и эффекта резонансного захвата бегущих волн трещиной. Полученные при этом ГИУ решались приближенно по методу Бубнова-Галеркина.

С помощью выдвигаемых' подходов^ получено ГИУ смешанной-задачи о колебаниях однородной и- кусочно-однородной клиновидной среды, а также (по-видимому, впервые) ГИУ смешанной задачи* о колебаниях косослоистой среды. Ранее рассматривались лишь некоторые частные случаи постановки задач о плоских колебаниях клиновидной средьъ и их решения при весьма специальных вариантах задания граничных условий (типа "скользящей заделки") без разрыва- нормальной производной неизвестной функции на границе [184, 203]'.

В ГЛАВЕ V исследованы краевые14 задачи- о концентрации напряжений в окрестности вершины неоднородного клина с произвольным (как гладким, так и кусочно-непрерывным) законом изменения модулей-по угловой координате. Для исследования поставленных задач выдвинуты 3* подхода: 1) аппроксимация неоднородного клина кусочно^ — однородным, построение ГИУ методом интегральных преобразований и его использование при получении1 трансцендентного уравнения для определения показателя концентрации; 2) сведение исходной проблемы на основе вариационного похода к некоторой нелинейной спектральной задаче для квадратичного пучка.операторов и последующее использование прямых методов (Бубнова-Галеркина, Ритца) для получения приближенного трансцендентного уравнения относительно^ показателя концентрации; 3) непосредственное сведение исходной проблемы к нелинейной спектральной задаче для системы интегральных уравнений Фредгольма второго рода и последующая конечномерная'аппроксимация интегральных операторов уравнения для получения приближенного трансцендентного уравнения относительно показателя концентрации.

На основе 1-го подхода рассмотрена' задача о концентрации напряжений в неоднородной клиновидной среде при наличии колебаний антиплоского сдвига. Получено подтверждение известного ранее факта о том, что наличие колебательного процесса в клине не влияет на величину показателя концентрации, который остается, таким же, как и в случае статического нагружения. Указанное обстоятельство позволяет для-исследования вопросов, концентрации рассматривать соответствующие уравнения статики с теми же граничными условиями:

На основе 2-го, подхода дано теоретическое обоснование факта существования1 критических углов раствора а. неоднородной клиновидной среды, начиная^ с которых появляется бесконечная особенность напряжений* в вершине.

Рассмотрены задачи о концентрации? напряжений в- окрестности вершины неоднородного упругого клина с произвольным- законом изменения упругих модулей по угловой координате. В рамках указанных подходов с помощью численного анализа методами 1) - 3) исследованы особенности появления концентрации напряжений, получены величины критических углов раствора клина,, отделяющих области с наличием и отсутствием концентрации- в угловой« точке. ■ Проводилось тестирование предлагаемых алгоритмов на задачах с известными аналитическими решениями. Сравнение результатов обнаруживают удовлетворительное совпадение.

Численный анализ проводился,для-кусочно-постоянной, линейной и квадратичной'зависимости упругих модулей- от угловой координаты в 2-х случаях - антиплоской' и плоской задачи о- равновесии упругого неоднородного клина. В зависимости от закона неоднородности в окрестности угловой точки определялся показатель концентрации и критический угол, при котором появляются бесконечные напряжения

-29в вершине. При этом, как и следовало ожидать, значения показателя концентрации <5 оказываются в интервале 0<§ <1 .

На основе анализа результатов установлено, что показатель концентрации, а, следовательно, и критический угол а* неоднородной клиновидной среды существенно, зависит от характера распределения упругих свойств материала в окрестности вершины неоднородной клиновидной среды.

В ГЛАВЕ VI изучен характер формирования волнового поля смещений свободной поверхности упругого клина. Дается аналитическое исследование условий возникновения поверхностных волн при плоских установившихся колебаниях клиновидной среды. В рамках модели линейной динамической теории упругости теоретически установлены факты локализации волнового- процесса в- окрестности-свободной поверхности однородной клиновидной среды? (существование поверхностной волны Релея) и локализации волнового процесса в* клиновидном композите в окрестности- границы раздела* сред (существование интерфейсной* волны типа Стоунли) при возбуждении в этих средах установившихся-колебаний.

Вопросы локализации волнового процесса в многослойных горизонтально-слоистых средах детально рассматривались в работах Бабешко.В.А. [19], Пряхиной О.Д1. [98], Глушкова Е.В:, Глушково&Н.В.

103] и др: Для клиновидных сред исследования в указанном направлении, как отмечалось выше, имеют эмпирический характер и обнаружены автором настоящей диссертации» лишь в руководствах по вибросейсморазведке; например, в [156, 188] и др.

В данной главе на основе построения функционально-инвариантных решений специального вида для динамических уравнений теории упругости и использования вариационного принципа Гамильтона-Остроградского в форме Трефтца предложен метод изучения характера формирования волнового поля* смещений при установившихся плоских колебаниях, как однородной клиновидной среды, так и кусочно-однородной, составленной из 2-х упругих клиньев с общим ребром. Исследована форма колебаний, описывающих поверхностную волну в однородной клиновидной среде и интерфейсную волну, локализованную в окрестности линии раздела клиновидных компонент составного клина. Получены соотношения между механическими параметрами сред и формулы^ для расчета фазовых скоростей волн локализации и критических углов раствора, при- которых эти волны появляются^ клиновидной!среде.

Описаны результаты численной реализации предложенного1 выше метода. Численный* анализ проводился для однородных и составных клиновидных сред. В качестве характеристик материалов клиновидных компонент выбирались параметры реальных геологических пород приповерхностного слоя земной коры таких, как песчано-глинистые, известковые, мерзлота и>др. На основе результатов' численного анализа составлена таблица фазовых скоростей поверхностных волн и значений», критических углов раствора, вычисленных по предложенной методике для некоторых клиновидных геологических пород. Составлена также таблица контактного соответствия геологических пород клиновидной формы с критическими углами раствора сред, на границах раздела которых появляется» интерфейсная* волна. Как следует из справочных материалов [156,188], полученные результаты согласуются с имеющимися данными геофизических наблюдений.

ГЛАВА VII посвящена' описанию методики теоретического восстановления волновых полей смещений в зонах локализации колебательного процесса при возбуждении' клиновидной среды, с критическим углом раствора внешними источниками, расположенными на её гранях. При этом задача восстановления волнового поля сводится к решению граничных интегральных уравнений, относящихся к классу, детально изученному в главах II,III, где указан метод построения их эффективного приближенного решения.

С помощью решений, полученных в главе VI для сплошной и составной клиновидной среды с критическими углами раствора, удается построить тензор Грина, удовлетворяющий заданным граничным условиям. Тензор Грина позволяет с помощью формул Бетти получить решение задачи о возбуждении колебаний в клиновидной среде внешними источниками. При этом построенное решение вне области задания источников колебаний удовлетворяет динамическим! уравнениям теории упругости и граничным условиям и условиям, сопряжения.

Рассмотрены случаи появления поверхностных волн на свободной границе однородного клина и интерфейсных волн на границе раздела сред кусочно-однородной среды. При этом- восстановленные волновые поля амплитуд смещений в указанных зонах в качестве составляющих содержат продольные и поперечные волны, а также незатухающие на-бесконечности поверхностные волны типа Релея, локализованные в окрестности свободной границы, и незатухающие каналовые волны типа Стоунли, локализованные в*окрестности-границы раздела сред.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ содержит перечень выдвинутых и разработанных в диссертации^ подходов и методов, вынесенных на защиту, а также полученные с помощью этих методов основные результаты, представляющие научную« новизну.

ПРИЛОЖЕНИЯ содержат вспомогательные сведения и промежуточные результаты, облегчающие чтение основного текста, а также строгие математические доказательства ряда теорем, сформулированных в тексте диссертации.

В ПРИЛОЖЕНИИ I приведены основные понятия и результаты теории интерполяции банаховых пространств, некоторые сведения из теории пространств Харди [149]. На их основе дано построение эквивалентной нормы пространства дробной гладкости Соболева

Слободецкого Wj (di2), о < у < 1 в терминах преобразования Конторовича-Лебедева, представляющее самостоятельный математический интерес. Результат является обобщением частного случая для у = ]/2, полученного другим методом в главе II.

В ПРИЛОЖЕНИИ II осуществлена детальная проверка основного результата главы II, §3. Дается построение решения ГИУ смешанной задачи о колебаниях сдвига упругого полупространства 2-мя методами: 1) с помощью формул §3 точного решения- ГИУ смешанной задачи ' колебаний однородной клиновидной- среды; 2) с помощью метода Рвачева В.М. Показано, что оба метода приводит к одному и«- тому же результату. Приведены также основные формулы преобразования Крама.

В ПРИЛОЖЕНИИ III приведены подробные доказательства основных теорем, сформулированных в главе III, §1,2 и обосновывающих выдвигаемые в этой главе методы) решения смешанных задач динамики для кусочно-однородных, клиновидных сред. Дано математическое обоснование сходимости метода дискретизации в смешанных задачах установившихся колебаний градиентно-неоднородной клиновидной среды.

В ПРИЛОЖЕНИИ IV приведены формулы для- смещений и напряжений* плоской динамической, теории упругости; полученные из общих представлений Зильберглейта A.C., Златиной И.Н и-используемые в основном тексте. Здесь же дано*детальное рассмотрение иллюстративной задачи о плоских установившихся-'колебаниях упругого полупространства с излучающим разрезом.

В пунктах ПРИЛОЖЕНИЯ V приведены доказательства вспомогательных результатов главы V , вспомогательные сведения1 для численного исследования вопросов концентрации напряжений в клиновидной среде, а также результаты численного анализа.

-33В ПРИЛОЖЕНИИ VI приведено исследование вопросов существования действительных нулей детерминанта матрицы ядра ГИУ смешанной задачи о колебаниях однородной клиновидной среды, а также существования решения ГИУ в рассматриваемом случае .

В ПРИЛОЖЕНИИ VII приведена таблица, содержащая результаты расчета фазовых скоростей интерфейсных волн и критических углов раствора клиновидных компонент.клиновидной среды, составленной из. различных геологических пород, для которых эти волны могут появиться на границе раздела 2-х компонентной клиновидной среде.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ содержит 370 источников: отечественных -243 и зарубежных - 127.

••'.'. По? теме: диссертации опубликовано 25 работ, в том числе 10 в изданиях для публикаций по докторским: диссертациям: из:, списка*, рекомендованного в перечне: ВАК РФ. Работы 47,48 выполнены в-, соавторстве с Трипалиным A.C., а< работы. 63,66,68 выполнены в; соавторстве со Шварцманом М.М. В указанных выше работах соискателю принадлежит математическая4 постановка, смешанных: задач на основе их сведения к ГИУ, исследование вопросов разрешимости и разработка алгоритма построения решения. Работа 70 выполнена в соавторстве с Вагульяном А.О. и Шварцманом М.М;, где автору принадлежит постановка задачи и ее исследование , методом ГИУ с: использованием метода дискретизации, а также решение вопросов обоснования при вариационном подходе к исследованию проблемы концентрации напряжений в клиновидной среде.

НА УЧНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Исследован новый класс смешанных задач динамики для неоднородной упругой среды со сложной геометрией клиновидного типа на основе сведения к системам граничных интегральных уравнений.

-342. Получены новые функционально-инвариантные и интегральные представления общих решений динамической теории упругости.

3. Сформулированы условия локализации волнового процесса в окрестности свободной поверхности однородной клиновидной среды;-а также в окрестности линий раздела? кусочно-однородной? клиновидной среды.

4. Разработана-методика расчета волновых нолей смещении в-зонах локализации- колебательного* процесса» однородной, кусочно-однородной клиновидной и косослоистой среды.

5; Представлены« методы: определения показателя; сингулярности напряжений- в вершине клина и- критических углов концентрации^ с произвольным (непрерывным и кусочно-непрерывным) распределением! механических характеристик среды.

АШОВЩИЯРЕЗ¥ЛШШОШ

Излагаемые в диссертации научные результаты докладывались на V Всероссийской конференции с международным участием «Смешанные задачи механики деформируемого тела» (Саратов, 2005г.), на IX,X,XII,XIII Международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов н/Д;-2005,2006,2007,2009 гг.), на Всероссийской конференции Института гидромеханики им: акад. М.А.Лаврентьева СО РАН «Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций» (Новосибирск, 2006г.), на VIII Международной конференции AMADE-2003 «Аналитические методы анализа: и дифференциальных уравнений» (Беларусь, Минск, 2003- г.), на. Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти акад. ■Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2002 г.), на X, XII- XIV, XVI, XVIII, Международных конференциях «Математика. Экономика. Образование»

Новороссийск, 2002, 2004, 2006,2008, 2010 гг.), на семинарах кафедры теории упругости и кафедры дифференциальных и интегральных уравнений Южного федерального университете (Ростов н/Д,2004-2010гг.), на семинаре «Механика сплошной среды» им. Л.А. Галина в Институте проблем механики РАН (Москва), в Центре Южного отделения РАН при Кубанском госуниверситете по математическому моделированию и прогнозированию чрезвычайных ситуаций, экологических и техногенных катастроф (Краснодар, 2011г.), на семинаре «Дифракция и распространение волн» лаборатории математических проблем геофизики Петербургского отделения Математического института им. В.А.Стеклова РАН (Санкт-Петербург, 2011), на Международном семинаре «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения»(Ростов-на-Дону, 2011).

БЛАГОДАРНОСТИ

Автор диссертации выражает глубокую признательность своему учителю, академику РАН, проф. Бабешко В.А. за постоянный интерес, внимание и поддержку настоящей работы, а также благодарит коллектив кафедры теории упругости Южного федерального университета за ценные замечания при обсуждении полученных результатов.

Основные результаты, полученные в настоящей диссертации сводятся к следующему:

1. Дано аналитическое исследование методом ГИУ нового класса смешанных задач об установившихся колебаниях и распространении волн в клиновидных и косослоистых областях.

2. Построено новое представление общих решений динамической теории упругости для клиновидных областей. На* их основе рассмотрены* не изучавшиеся ранее в общей постановке плоские смешанные задачи динамики для указанных областей при установившихся колебаниях.

3. Разработаны методы сведения' смешанных краевых задач динамической- теории упругости в неоднородных клиновидных и косослоистых областях к системам ГИУ. Предложен новый подход для V удовлетворения'условиям! сопряжения при* наличии-жесткого контакта на границах раздела сред помощью вариационного^ принципа1 Гамильтона-Остроградского и основанный, на применении метода интегральных-, преобразований Конторовича-Лебедева, в классах обобщенных функций. Указанный подход позволяет осуществить построение аналитических решений смешанных задач теории упругости для неоднородных клиновидных и косослоистых областей. На основе доказанного в диссертации специального математического результата разработана особая техника применения интегрального преобразования Конторовича-Лебедева для постановки и решения смешанных задач динамики неоднородных клиновидных и косослоистых сред в традиционной форме ГИУ.

4: Даног детальное аналитическое исследование классов ГИУ;

•г смешанных задач динамики клиновидных и косослоистых сред в условиях детерминированных либо стохастических колебаний. Главная составляющая оператора левой части получающихся при этом граничных интегральных уравнений совпадает с оператором, детально изученным в данной диссертации и допускающим точное обращение, что позволило разработать алгоритм построения эффективного приближенного решения. Ранее были известны лишь некоторые частные случаи решения аналогичных задач для клиновидной среды при весьма специальных вариантах задания граничных условий без разрыва нормальной' производной неизвестной функции на границе.

5. Разработаны методы определения показателя концентрации напряжений- в клиновидной области с произвольным» непрерывным либо; кусочно-непрерывным распределением модулей упругости в окрестности вершины клина. Установлено существование зависимости между показателями концентрации; углами раствора и характером? распределения- упругих модулей в окрестности угловой точки, порождающей наличие или* отсутствие в ней концентрации напряжений.

6. Исследование особенности* формирования, волновых полей в клиновидных средах. На основе полученных новых представлений функционально-инвариантных решений динамических задач теории упругости исследованы вопросы локализации^ волнового процесса в рассматриваемой^ среде при линейной постановке задач теории установившихся колебаний в клиновидной и косослоистой среде. Установлена математическая- корректность известного ранее факта существования поверхностных волн на гранях однородной клиновидной среды и известного лишь эмпирически- факта существования-незатухающих интерфейсных (каналовых) волн в составной- клиновидной среде, распространяющихся вдоль линии раздела контактирующих сред. При этом оказывается, что все указанные выше типьь волн не имеют дисперсии по частоте и возникают при соблюдении определенных соотношений между скоростями, волновыми сопротивлениями и углами раствора контактирующих сред. При этом появление поверхностных волн в однородной клиновидной среде наблюдается лишь при фиксированных критических значениях углов раствора. Появление интерфейсных волн на границе раздела составной клиновидной- среды наблюдается в случае, когда критические углы раствора клиновидных компонент меняются в некоторых диапазонах. На основе полученных результатов построена таблица контактного соответствия клиновидных компонент с реальными геофизическими характеристиками материалов, для которых на границе раздела могут возникнуть интерфейсные явления.

7. Разработан метод описания волновых полей смещений в зонах локализации колебательного процесса, возбуждаемого в клиновидной среды внешними источниками, расположенными на её гранях. Задача описания волнового поля сводится к решению граничных интегральных уравнений, детально изученных в данной диссертации (см.п.З). При этом в зонах локализации волнового процесса составляющими восстановленного поля являются как продольные и поперечные волны, так и поверхностные для однородной клиновидной среды, а также интерфейсные волны, если клиновидная среда кусочно-однородна.

- 307

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Авсянкин О.Г., Карапетянц Н.К. Многомерные интегральные операторы с однородными степени (-п) ядрами. // Докл. РАН. 1999. Т.368. №6.С.727-729.

2. Авсянкин О.Г. Многомерные интегральные операторы с ядрами, имеющими-смешанный характер однородности // Изв. вузов. Матем. 2007. №8.С.66-69.

3. Агранович М.С. Спектральные свойства задач дифракции./ В кн.: Войтович и» др. Обобщенный метод собственных колебаний, в теории дифракции. М.(: Наука. 1977. С.289-390.

4. Азизов Т.Я, Иохвидов И.С. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной'метрикой. М.:Наука.1986. 352с.

5. Аксентян O.K., Лущик О.Н. Об условиях ограниченности напряжений у ребра составного клина. // Изв. АН СССР МТТ. 1978. С. 102-108:

6. Александров В.М., Чебаков М.И. Об одном методе решения парных интегральных уравнений. // Прикл. матем.и механ. 1973. Т. 37. №6. С.1087-1097.

7. Александров В.М., Сметанин Б.И., Соболь Б.В. Тонкие концентраторы напряжений в упругих средах. М. Наука. 1993. 221с.

8. Александров В.М., Пожарский Д.А. Неклассические пространственные задачи механики контактных взаимодействий упругих тел. М.: Факториал. 1998. 175с.

9. Алексеев A.C., Бессонова Э.Н., Матвеева Н.М. и др. Обратные кинематические задачи взрывной, сейсмологии. Тр.ин-та физики Земли' АН СССР им. О.Ю.Шмидта. М.: Наука. 1979. 232с.

10. Алексеев A.C., Михайленко Б.Г. Решение задачи Лэмба для вертикально-неоднородного упругого полупространства.//Изв.АН СССР. Физика Земли. 1976. №12.

11. Амензаде Ю.А. Теория упругости. Баку: Азерб. гос. изд-во учебно-пед. лит. 1968. 259с.

12. Ананьев И.В., Бабешко В.А. Вибрация штампа на слое с переменными по глубине свойствами.// Изв.АН СССР.МТТ.1978.№1

13. Андрян А. А. Корректные граничные задачи на плоскости и в двугранных углах для уравнений и систем уравнений в частных производных произвольного типа : Дис. . д-ра физ.-мат. наук : 01.01.02 М., 1999.

14. Артюшин А.Ш Вариационные неравенства для волнового уравнения с ограничением на решетке. // Докл. АН СССР. 1990.Т.311.№5.С.1033-1035

15. Бабешко В А., Беркович В.Н. К теории смешанных задач для пространственного клина. // Прикл.матем. и механ. 1972.Т.36. № 5. С. 943-947.

16. Бабешко В.А., Румянцев А.М. Динамическая контактная задача для.упругой полосы. // Прикл.матем. и-механ. 1978. Т. 42. № 6. С. 10851092.

17. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. М.: Наука, 1989. 343с.

18. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Методы построения функции Грина стратифицированного упругого полупространства. // ЖВМ и МФ. 1987. Т.27.№1.

19. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Анализ волновых полей, возбуждаемых в упругом стратифицированном полупространстве, поверхностными источниками. //Акуст.журн. 1986. Т.32. Вып.З.

20. Бабешко В.А., Ворович И. И., Образцов И.И. Явление высокочастотного резонанса в полуограниченных телах снеоднородностями. //МП. 1990. №3.с.74-83.

21. Бабешко В.А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических задачах теории упругости. М.: Наука. 1984. 254с.

22. Бабешко В.А., Бабешко О.М. К исследованию краевых задач сейсмологии. //Экол. вестн. научн. центров ЧЭС. 2004.№З.С.5-10.

23. Бабешко В.А., Бабешко О.М. О представлении решений в методе факторизации.//Экол. вестн. научн. центров ЧЭС. 2004.№1.С.5-91

24. Бабешко > В.А., Бабешко О.М., Евдокимова» О.В. О методе дифференциальной'факторизации в неоднородных задачах. // Докл. РАН.1 2008.Т.418. №3. С.321-323.

25. Бабешко В. А., Евдокимова О. В., Бабешко О.М., Зарецкая М.В., Павлова A.B. Дифференциальный метод факторизации в смешанных задачах для анизотропных сред. // Докл. РАН. 2009. Т.424. №1. С.36-39:

26. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова. О.В. Интегральный метод факторизации в смешанных задачах для анизотропных сред. // Докл. РАН. 2009: Т.426. №4. С.471-475.

27. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. О проблеме блочных структур академика М. А. Садовского. // Докл. РАН. 2009. Т.427. №4. С.480-485.

28. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. К теории блочного элемента. // Докл. РАН. 2009. Т.427. №2. С. 183-186.

29. Бабич В.М.у Капилевич М.Б и др. Линейные уравнения математической' физики. Серия*СМБ. М.: Наука. 1964. 368с.

30. Бабич.В.М.у Лялинов М.А., Грикуров В.Э. Метод Зоммерфельда-Малюжинца. СПб.: ВВМ.2004. 103с.

31. Бабич В.М. Распространение волн Релея вдоль поверхности однородного упругого тела произвольной формы.// Докл. АН СССР. 1961. Т.137. С. 1263-1266.

32. Бабич В.М., Русакова Н.Я. Распространение волн Релея по поверхности неоднородного упругого тела произвольной формы.//ЖВМ и МФ.1962.Т.2.№4.С.652-665.

33. Бабич В.М., Молотков И.А. Применение асимптотических методов в теории поверхностных волн. Tp.V Всесоюзн. симп. по дифр.и распр. волн. Л.: Наука (Ленингр. отд.). 1971. С.4-13.

34. Бабич В.М., Поскряков А.В. О квазифотонах волн Релея (случай анизотропного упругого тела).// Зап. научн.сем. ПОМИ. GH6.2006.T.332. С.7-18.

35. Басс Ф.М„ Фукс И.М. Рассеяние волн на статистически неровной поверхности. М.: Наука. 1972. 318с:

36. Бахрамов Б.М., Филиппов И.Г. Об одной задаче по определению поверхностных волн для клиновидного слоя. // Тр.сем. по краев, задачам. Казанский' гос.ун-т. Казань. 1970; №7.

37. Бахрамов Б.М. Об одной динамической задаче для клиновидного упругого слоя. // Изв.АН Уз.СР. Сер.физ.-мат. 1970.- № 2. С.88-89:

38. Беккенбах 3., Беллман Р. Неравенства: М. Мир. 1965. 276с. (Beckenbach Е., Bellman R. Inequalities.Berlin: Sprinder. 1961.)

39. Бейтмен Г., Эрдейи А: Высшие трансцендентные функции Л\: 1,2,3. (Таблицы интегральных преобразований. Т.1).Сер.Оправ.матем.библ.

40. М.: Наука.1966,1973,1977(1969). 293с.(343с.)

41. Берг Й., Лёфстрём Й. Интерполяционные пространства. Введение. М.: Мир. 1980. 264с.

42. Бейтмен Г., Эрдейи А Таблицы интегральных преобразований. ТЛ.Оер.Справ.матем.библ.М1.: Наука. 1969. 343с.

43. Беркович В.Н. Некоторые контактные задачи для пространственного клина с конечным числом областей контакта. // Прикл. матем. и механ. 1974. Т. 38. № 2. С. 373-377.

44. Беркович В.Н. Чистый сдвиг упругого полупространства на системе щелей.//Прикл. матем. и механ. 1974. Т. 38. № 5. С. 953-957.

45. Беркович В.Н. Метод факторизации в смешанных задачах теории упругости для тел с углами: Дис. . канд. физ.-мат. наук : 01.02.04. Ростов-на-Дону, 1974.

46. Беркович В.Н. О точном решении одного класса интегральныхtуравнений смешанных задач упругости и математической физики. // Докл. АН СССР. 1982. Т.267. №2.С.327-330.

47. Беркович В.Н. К теории смешанных задач динамики клиновидных композитов. //Докл. АН СССР: 1990: Т.314. С.172-175

48. Беркович В.Н., Трипалин A.C. Излучение волн сдвига трещиной; выходящей на границу массивного тела. // Известия Сев.-Кавказск. центра Высшей школы . Сер. ест.наук.1981. №3. С.10-13

49. Беркович В.Н.,, Трипалин A.C. Математическая модель акустической эмиссии в массивном теле с линейным дефектом // Изв.Сев.-Кавказского центра Высшей школы . Сер. ест.наук.1986. №4.С.10-16.

50. Беркович В.Н. Нестационарная смешанная задача динамики неоднородно упругой клиновидной среды. // Экол.вестник научн.центров ЧЭС. КубГУ .Краснодар. 2005. №3. С. 14-20.*

51. Беркович В.Н. Об одном классе* смешанных задач динамики наклонно-слоистой среды. //Тр. IX Междун. конф.«Совр. пробл. механики сплошной среды» НИИ механики и прикл. матем. Южного Федерального* ун-та. Ростов н/Д. 2005 г. С.25-30.

52. Беркович В.Н. Некоторые математические вопросы смешанных задач динамики неоднородной клиновидной среды. // Изв;вузов. Сев.-Кавк. регион. Ест.науки. 2005. №4. С.15-19.

53. Беркович В.Н. К теории смешанных задач динамики наклонно-слоистой среды. // Экол. вестник научн. центров ЧЭС. КубГУ. Краснодар. 2006. №2.С. 16-22.

54. Беркович В.Н. Плоская смешанная задача динамики упругой клиновидной среды.// Тр. X Междун. конф.«Совр. пробл. механики сплошной среды» НИИ механики и прикл. матем. Южного Федерального ун-та. Ростов н/Д. 2006 г. С.64-69.

55. Беркович В.Н. Плоские установившиеся колебания упругой; клиновидной среды. // Экол. вестник научн.центров ЧЭС. КубїїУ. Краснодар. 2008: №3. С. 27-36.

56. Беркович В.Н. О локализации волнового процесса в кусочно-однородной клиновидной среде. // Экол. вестник научн. центров ЧЭС. КубГУ. Краснодар, 2010. № 2.С.26-32.

57. Беркович В.Н. Особенности концентрации напряжений5 в неоднородно упругих клиновидных средах. // Изв.вузов. Сев.-Кавк. регион. Ест.науки. 201*1. №.2 С.9-11

58. Беркович ВІН., Бабкин А.В. Об одной математической модели акустической эмиссии в, массивном теле. //Тез.докл. XVIII Междун.конф. «Матем.Экон.Образ.» Новороссийск, (база «Моряк» Новороссийского морского пароходства). ЮФУ. 2010. С.117.

59. Беркович. В.Смешанная задача динамики наклонно-слоистых сред в неклассических областях.// Тез.докл. XI Междун.конф. «Матем. .Экон.Образ.» Изд.ВГУ.Воронеж: 2004.С. 105.

60. Беркович В.Н. Смешанная* задача динамики наклонно-слоистой среды.// Тр. V Российской конф.с междун. участием. «Смеш.зад.мех.деф. тела». Изд-во СГУ.Саратов.2005.С.65-67

61. Беркович В.Н., Шварцман М.М. Особенности волновых полей при колебаниях составной клиновидной среды //Тр. XVI Междун.конф. «Матем: Экон. Образование.» разд. «Мат. модели в ест. науках- и экологии». Ростов/Д. 20081 С.81-88.

62. Бесов О.В. Теорема Вложения. Соболева для-, области с нерегулярной границей. // Докл. РАН. 2000iT.373.С.151-154.

63. Бестужева Н.П., Чигарев A.B. К применению марковского приближения в динамике стохастических сред. // ПММ.1977.Т.41. №

64. Бестужева Н.П., Чигарев A.B. Распространение поверхностных волн в стохастически неоднородной упругой среде. //ПММ.1979. Т.43 .№3.

65. Беллмаш Р. Введение в теорию матриц. (Пер. с англ. Под ред. Лидского В.Б.стр:89) М.: Наука. 1976. 351с.

66. Бирман М.Ш., Виленкин Н.Я., Крейн С.Г. и др. Функциональный анализ. Серия «Справочная математическая библиотека» М.: Наука. 1972. 544с.

67. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.Наука. 1973. 237с.

68. Брычков Ю.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования обобщенных функций. М.: Наука. 1977. 286с.

69. Будаев Б.В. Волны в упругих: клиновидных, областях. Дис. . д-ра физ.-мат. наук-: 01.02.04 СПб., 1995

70. Будаев Б.В.,, Морозов Н.Ф., Нарбут М.А: Принцип Сен-Венана в задачах; о«-, возбуждении упругих: волн в. клине и в< конусе. // Вестн.С.т-Иётерб; унтта; 1996.Сер. 1 .№1.С.81-84;.

71. Будаев, Б.В. Дифракция; упругих волн на* свободном клине. Сведение к. сингулярному интегральному уравнению. Зап.научн.сем. Лёнингр.отдоматем; ин-ташм;Стеклова АНCCCPL1989Ж K79IC37-45:

72. Варга Р. Функциональный анализ и* теория аппроксимации; в численном анализе. М.Мир: 1974.126с.

73. Ватульян А. О: © граничном» интегральном уравнении I рода; в динамических задачах анизотропной теории упругости. Докл. АН СССР. 1993.Т.333.№3:с.312-314.

74. Ватульян А. О., Чебакова Е.М. Фундаментальные решения для ортотропной' упругой! среды в условиях установившихся колебаний: Прикл.мат. и тех. физ.2004. Вып.45.№5. С. 131-139.

75. Ватульян А. О., Гусева И.А. О колебаниях ортотропной полосы с полостью // ПМТФ, 1993 .№2.с. 123-127.

76. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи. М.: Наука. 1970. 379с.

77. Войтович Н.Н., Каценелеибаум Н.З., Сивов А.Н; Обобщенный метод собственных колебаний 1в теориищифракции;Ж:: Наука; 19771-416с.

78. ВовкЛ.П., Соболь Б.В. Особенности динамических напряжений в окрестности-точки стыка трех упругих- среде// Приют, матем.и мех. 2005. Т. 69. Вып. 2. С. 279-289: .

79. Вовк И.В.у Гомилко А.М., Городецкая Н.С. Об особенностях применения метода частичных областей в волновых задачах.// Акуст.журн. 1995. №12. С.399-404.

80. Воеводин В,В„ Кузнецов Ю.А: Матрицы и вычисления. Сер. Справ.матем.библ. М.: Наука. 1984. 318с

81. Ворович И.И.у Александров В.М.у Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачштеории упругости:.М1: Наука: 1974; 455с;

82. Ворович И.Ш, Бабешко* В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука. 1979. 320с.

83. Ворович И.И., Бабешко В.А., Пряхина ОЩ1 Динамика массивных тел и резонансные явления- в. деформируемых средах. М.: Научный мир. 1999. 246с.

84. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости. М.: Наука. 1980: 352с

85. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука. 1977. 640с.

86. Гихман И.И., Скороход A.B. Стохастические дифференциальные уравнения. Наукова Думка. Киев: 1968 353с.

87. Гихман И.И., Скороход A.B. Введение в теорию случайных процессов. М.Наука. 1977. 564с.

88. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Еремин A.A., Кривонос A.C.

89. Влияние анизотропии на распространение упругих волн в многослойных-композитных материалах с неоднородностями. // Тр. XIII Междун. конф. НИИМ и ПМ ЮФУ "Современные проблемы механики сплошной среды". Ростов-на-Дону. 2009.Т.1. С.82-86

90. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Голуб М.В. Блокирование бегущих волн- и локализация энергии упругих колебаний при дифракции на трещине. //Акуст. журн. 2006.Т.52.Вып.З.С.314-325.

91. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Хофф Р. Сингулярность • напряжений в многогранных угловых точках упругих разномодульных соединений. Докл. АН СССР. 2000. Т.370. С. 181-185.

92. Гетман И.П., Устинов Ю.А. Математическая теория твердых нерегулярных волноводов. Ростов-на-Дону: Изд. РГУ. 1993". 144с.

93. Гурвич И.И., Боганик Г.И. Сейсмическая разведка. М.: Недра. 1980. 541с.

94. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наукова Думка. 1981. 284с.

95. Гольдштейн Р.В., Клейн И.С., Эскин Г.И. Вариационно-разностный метод решения некоторых интегральных и интегро-дифференциальных уравнений трехмерных задач теории упругости. ИПМ АН СССР. Препринт. М.: 1973. №33.С.

96. Гольдштейн Р.В., Ентов В.М., Зазовский А.Ф. Решение смешанных краевых задач прямым вариационным методом. В- сб. : «Численные методы механики сплошной-среды» 1976. Т.7. №5. С.5-13.

97. Горячева И.Г.у Добычин М.Н. Контактные задачи в трибологии. М.: Машиностроение. 1988.253с.

98. Гончаренко В.М. Разрешимость и приближенные методы решения краевых задач пластин и оболочек при случайных нагрузках-. // ПМ'. 1977.Т. 13 .№3.

99. Гончаренко В.М. Некоторые классы векторнозначных обобщенных функций и их приложения к краевым задачам относительно случайных функций. //Укр.матем.журн.1975.Т.27.№2.С.158-166.

100. Гомилко A.M. Об интегральном представлении Конторовича-Лебедева. //Дифф.ур-ния. 1993. Т.29. №7. С.1261-1271

101. Данилюк И.И. Нерегулярные граничные задачи на плоскости. М.Наука. 1975.295с.

102. Добру шкин В. А. Численно-аналитический метод решения начально-краевых задач нестационарной теории упругости для клиновидных областей. Автореф. дис. . докт. физ.-мат. наук : 01.02.04. Беларусь. Минск, 1992.

103. Дынкин Е.Б. Марковские процессы. М.:Физматгиз.1963. 859с.

104. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции. М.: Наука. 1979. 320с.

105. Задоян М.А., Сафарян А.Б. Динамическое деформирование клина из неоднородного упрочняющегося материала. // ПМТФ.1987. С.160-165.

106. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1. М.: Мир. 1965.615с.

107. Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций. М.: Наука. 1574. 398с.

108. Зильберглейт A.C., Златина И.Н. О некоторых общих представлениях решения динамических уравнений теории, упругости. // Докл. АН,СССР. 1976. Т.227.№1.С.71-74.

109. Зильберглейт А. С., Копилевич Ю.И. Математическая теория волноведущих систем, связанных с квадратичными операторными пучками. Л.: ФТИ .1980.-320130. Зильберглейт A.C., Копилевич Ю.И. Спектральная теория регулярных волноводов. Л.: ФТИ .1983.

110. ИосидаК. Функциональный анализ. М.: Мир. 1967. -512с

111. Исаев Г.А. О полноте некоторой части собственных и присоединенных векторов полиномиальных операторных пучков. // Успехи матем. наук. 1973. T. XXVIII. Вып.1(169).С.241-242.

112. Исраилов М.Ш. Дифракция произвольной упругой волны на клине. // ДАН СССР. 1980. Т.253. №1. С.57-61.

113. Исраилов М.Ш. Точные решения трехмерных задач дифракции плоских упругих волн на клине. // ДАН СССР. 1979. Т.247. №4. С.815-818.

114. Исраилов М.Ш. Динамическая теория упругости и дифракция волн. М.: Изд. МГУ. 1992. 204с.136., Камне де Ферье, Кемпбелл Р.,Петьо Г.,Фогель Т. Функции математической физики. М.: Физматиз, 1963. -102с.

115. Капустянский С.М. Об одном точном решении задачи дифракции упругих волн на клине.// ПММ.1976. Т.40. Вып.1" С. 190-196.

116. Крейн М.Г. О колебаниях вязкой жидкости в- сосуде. // ДАН СССР. 1964. Т.159.№2. С.262-265.

117. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир. 1972. 740с. (Kato T. Perturbation Theory for Linear Operators. Berlin, Heidelberg, New York: Springer. 1966)'

118. Конторович М.И., Лебедев H.H. Об одном методе решения задач теории дифракции и родственных ей проблем. Журн. эксп. и теор.физики. 1938.Т.8. Вып.10-11.

119. Конторович М.И., Лебедев H.H. О применении формул обращения к решению некоторых задач электродинамики. Журн. эксп. и теор. физики. 1939.Т.9. Вып.6.

120. Койбин A.B. Распространение случайной вибрации в упругом стержне при наличии сухого трения. ПМ. 1975.№3.С. 101-105.

121. Калинчук В.В., Белянкова Т. А. Динамика поверхности неоднородных сред. М.: Физматлит. 2009. 312с.

122. Калинчук В.В. Динамика неоднородных сред. Состояние, проблемы, перспективы. //Известия РАН. Механика твердого тела (МТТ). 2008. №3. С.219. •

123. Костров Б.В. Дифракция плоской волны на жестком клине, вставленном: без трения; в безграничную упругую среду.// ПММ.1966. Т.ЗО.Вып.1. С. 198-203.

124. Комеч А.И. Уравнения с однородными ядрами и преобразования Меллина обобщенных;функций.// Теор. и матем. физ. 1976.Т.27.№2. С.149-162 ,

125. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. М.: Физматгиз. 1963. 472с. V

126. Купрадзе В.Д. Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения. М.: ГИТТЛ. 1958. 280с.

127. Кусис^/7}.Введение;в теорию пространств; Яр ; Ml: Мир. 1984. 264с

128. Кучер В.И., Каштан Б.М. Лучевой метод для изотропной неоднородной упругой среды. Изд. С.-Петерб. ун-та. 1999. 165с.

129. Кондратьев В.А1 Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими и угловыми точками // Тр. Моск. мат.об-ва. Mi: 1967. тЛб.с.209-292.

130. Крейн С.Г., Петунин Ю.И., Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов: М-: Наука; . 1978^400с.

131. Ланкастер П. Теория матриц.(Пер с англ. Демушкина С.П. стр.98) М.: Наука. 1982. 269с.

132. Лёвшин А.Л. Поверхностные и каналовые сейсмические волны. М.: Наука. 1973. -233с.

133. Ломакин В.А.Теория упругости неоднородных тел. М.: Изд. МГУ. 1976. 368с.

134. Лебедев H.H., Скальская И.П. Некоторые задачи теплопроводности для клиновидных тел. Журн.тех.физ. 1964.Т.34.Вып.5,9.

135. Лебедев H.H. Специальные функции и их приложения. M.-JL: Наука. 1963. 358с.

136. Молотков И.А. Распространение приповерхностных нормальных волн в среде случайно и регулярно неоднородной по двум координатам. Изв. вузов. Радиофизика. 1969. Т.12.№5. С.706-716.

137. Лионе Л.Ж. О неравенствах в частных производных. // Успехи матем. наук. 1971. T.XXVI.Bbin. 2(158). С.205-263.

138. Лунев А. Г. Вариации скорости волн Релея при деформации и оценка механических свойств металлов и сплавов : Дис. канд.техн.наук : 01.04.07. Томск.: 2004.

139. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука. 1970. 940с.

140. Лурье А.И. Обобщение решения акад. Галеркина Б.Г. на случай динамических уравнений теории упругости. В сб.: «Тезисы докл. к Всесоюзн. конф. по строит. Мех.» M.-JL: Изд-во АН СССР. 1938. с.60-61.

141. Ляв А. Математическая теория упругости . М.- Л.: ОНТИ НКГиП' СССР. 1935.

142. Ляпин A.A., Селезнев M.F. Метод изучения процесса возбуждения гармонических» колебаний в композите в форме клиновидной области.//Прикл.матем. и механ. 1985. Т. 49: вып.51 С.667-670.

143. Мавлютов Р.Р. Концентрация напряжений в элементах авиационных конструкций. М.: Наука.1981.143с.

144. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. Об эллиптических краевых задачах в областях с кусочно-гладкой границей. Тр. симп: по мех. сплошн. среды и родственным пробл. анализа. Мицниереба. Тбилиси: 1973. T.lf. С.171-18К

145. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. Оценки функций Грина1 и шаудеровские оценки решений эллиптических краевых задач в двугранном угле. Сибирск. матем.журн.1978. Т. 19. №5. С. 1065-1082.

146. Мак-Лахлан H.B. Теория и приложения функций1 Матье. Пер. с англ. Братановского В.А., (под. ред. Денисюка И.Н1)* М'.: Наука. Изд. иностр.лит. 1953. 474с.

147. Малюжинец Г.Д. Излучение звука колеблющимися* гранями произвольного клина: Акуст.журн. 1955 .Т. 1 .Вып.2.№3.

148. Малюжинец Г.Д. Формула обращения для. интеграла Зоммерфельда. Докл. АН СССР:1958.Т.118. Вып.6.

149. Маркушевич А.И. Избранные главы теории аналитических функций. М.: Наука. 1978. 191с.

150. Мишин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука. 1979. 512с.

151. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М.: Наука. 1966. 432с.180: Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы* и интегральные уравнения. М.: Наука. 1962. 254с.

152. Михлин С.Г. О сходимости, одного прямого метода. // УМН.1960. Т.15. вып.1(91) С.221-223

153. Мишина А.П., Проскуряков И.В. Высшая, алгебра (под ред. Рашевкого П.К.).серия СМБ. М.: Наука. 1965.300с.

154. Молотков Л.А., Смирнова Н.С. К вопросу о колебании пачки тонких слоев между двумя упругими полупространствами. // Вопросы динамики распространения сейсмических волн. Л. 1971.

155. Морозов Н.Ф., Суровцова И.Л. Задача о динамическом нагружении плоских упругих областей с угловыми точками контура. // Прикл.матем. и мех. 1997. Т.61. №4. С.654-659".

156. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука. 1966. 432с.

157. Назаров С.Ф., Пламеневский Б.А. Эллиптические задачи в областях с кусочно-гладкой границей. М.: Наука. 1991. 336с.

158. Нобл Б. Метод Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных. М.: Изд-во иностр. лит. 1962. 279с.

159. Номоконов В.П. (ред.) Сейсморазведка: справочник геофизика, (в 2-х книгах). М.: Недра. 1990. 333с.

160. Нуллер Б.МІ, Лащенов В.К. О стационарной динамической задаче расщепления упругойшолосы. СПб.: СПГУ .ВК.2002. 16с.

161. Натансон И.П. Теории функций вещественной переменной; М.: Наука. 1974.480с.

162. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости.Ж;: Наука; 1977. 311с.192: Партон В:3!, Перлин П.ИІ Методы/теории упругостш Ш: Наука; 1981. 688'с:

163. Партон ВІЗ!,, Борисковский В,Г. Динамическая механика разрушения? М{: Машиностроение: 1985; 263?с.194: Петраиіень Г.И. Распространение волн в анизотропных упругих средах. Л.: Наука. 1980. 121с

164. Петрашень Г.И. Распространение волн в¡анизотропных упругих средах^ содержащихнаклонныепласты.Учен.зап.ЛГУ,№177.Л::1954.

165. Петрашень Г.И., Николаев Б.Г., Коузов Д.П. О методе рядов в теории дифракции от плоских угловых областей; Учен, зат ЛГУ. Т.32.1. Л.: 1958.

166. Петрашень Г.И., Молотков Л.А., Крауклис П.В. Волны в слоисто-изотропных упругих средах. Л;: Наука; 1982!. 288с.

167. Петрашень Г.И. Распространение волновых полей сигнального типа в упругих сейсмических средах. Изд.С.-Петерб.ун-та. СПб.: 2000.

168. Поручиков В.Б. Решение динамических смешанных задач теории упругости для угловых областей со смешанными граничными условиями.// ПММ.1978. Т.42. Вып.5. С. 908-919.

169. Полиа Г., Сегё Г. Задачи и теоремы из анализа. М.: Гостехиздат. 1956. Т. 1.396с.205., Привалов И.И. Граничиые свойства аналитических функций; М.: Гостехиздат, 1950: -336 с.

170. Пряхина О.Д., Смирнова А.В. К исследованию динамики пакета упругих слоев с совокупностью жестких включений // Докл. РАН: 2006. Т.411: №3. Є.1-4.

171. Пузырев Н.Ы., Бродов Л.Ю., Ведерников Г.В. Развитие метода поперечных волніи проблема многоволновошсейсморазведки: /(Геология и-геофизика: 1980!№ 1:0'; Є. 13-26:

172. Радзиевскиш Г.В. О полноте части корневых векторов? пучкаоператоров • L(¿) = I ;гА'В - л"А .//Успехи матем. наук. 1973.T.XXXIV. Вып. 1(205). С.241-242.

173. Рассоха А.А., Еременко Є.Ю. Особенности собственных колебаний композитных материалов.// Мех.композ.матер. 1989. №2. G.262-268.

174. Рвачев В.М. Давление на упругое полупространство штампа, имеющего в плане форму полосы. // Прикл.матем. и механ.1956. Т. 20. №•2: G.248-254.

175. Ромалис Н.Б. Об эффективном коэффициенте интенсивности напряжений в вершине, трещины в стохастически неоднородном теле.// ПМ.1975.№11. 99.

176. Саваренский Е. Ф. Сейсмические волны. М.: Недра, 1972.

177. Сеймов В.М. Динамические контактные задачи. Киев: Наукова Думка. 1976.283с.

178. Сег'е Г. Ортогональные- многочлены. (Перевод с англ.)- Mi: Физматгиз. 1963. 500 с.

179. Скубачевский АЛ. О разрешимости нелокальных задач для эллиптических систем в бесконечных углах. // Докл.РАН. 2007 .Т.412. №З.С.317-320.

180. СкучикЕ. Основы»акустики.Т.1.(пер. с англ.). М. Мир. 1976.520с.

181. Соболев СЛ. Некоторые применения» функционального анализа» в математической физике. М.: 1988. 333с.

182. Соболев СЛ. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука. 1974.808с

183. Собчик К. Распространение волн в стохастически неоднородных средах.// Механика. Сб. переводов. 1974. Вып.6.

184. Суровцова ИЛ. О принципе Сен-Венана для упругих угловых областей при антиплоском • сдвиге.// Вестн.С.-Петерб. ун-та: 1996.Сер.Г. №1 С.95-101.

185. Тужилин A.A. Новые представления дифракционных полей в клиновидных областях с идеальными границами. Акуст. журн. 1-963.Т.9.Вып.2.

186. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. M.-JI.: ОГИЗ 1948. 429с

187. Улитко А.Ф. Метод собственных вектор-функций в; задачах теории упругости. Докт. дис. Киев, 1971.-300с.

188. Уиттекер 3iT., Ватсон Д(Н. Курссовременного анализа; ч.2. М.: Мир. 1963. 515с.

189. Уфилщев П.Я. Поперечная диффузия при дифракции на клине. Радиотехника'иэлектроника; 1965. Т.9. №6:231: Уфлянд Я.С. Интегральные, преобразования в;> задачах теории упругости; изд. 2-е, доп.,Л1: Наука1 (Ленингр.отд;)Л9681 402с.

190. Франк Ф., Мизес Р. Дифференциальные и интегральные: уравнения математической физики. М.:ОНТИ.1937. 532с.233; Черепанов Г.П. Механика хрупкого, разрушения. М;: Наука; 1974. 640с.

191. Черепанов Г.П. Механика разрушения композиционных материалов; М.: Наука, 1983. 296 с.

192. Чичинин И.С. Вибрационное излучение сейсмических волн. М.: Недра. 1984. 192с.

193. Чигарев А.В, Вычисление динамического тензора Грина стохастически неоднородной упругой среды.// HMM.1979iT.43 .№5.

194. Шанин A.B. Распространение и рассеяние упругих волн в клиновидных областях . Дис. . канд. физ.-мат. наук : 01.04.06 М. 1997.-329238. Шевляков Ю.А. Матричные алгоритмы в теории упругости неоднородных сред. Киев-Одесса: Вища Школа. 1977.

195. Шерифф Р., Гелдарт Л. Сейсморазведка (в 2-х томах) М.: Мир. 1987. (Пер. с англ. Ефимовой Е. А. ред. проф. Калинина. А. В. Электронная версия Антипова А. А.)

196. Шнеерсон М.Е., Майоров В.В. Наземная невзрывная сейсморазведка. М.: Недра. 1988. 210с.

197. Шульга H.A. Распространение волн в стратифицированных средах с периодическими свойствами.// ПМ.1984.Т.20.№З.С.116-119.

198. Энгельбрехт Ю.К. К теории нелинейных волн деформации в неоднородной среде. // Изв. АН СССР. МТТ. 1979.№4.

199. Якубович С.Б. Общий подход к теории интегральных преобразований по индексу. Изв. вузов. Математика. 1986.№6.С.77-79.

200. Abrahams, I.D.& Lawrie, J.B. Travelling waves on a membrane — reflection and transmission at a corner of arbitrary angle. // Part 1. Proc. R. Soc.Lond. 1996. A.451 .N. 1943.P.657-683.

201. Abrahams I.D. &, Lawrie, J.B. Travelling waves on a membrane -reflection and transmission at a corner of arbitrary angle. // Part 2. Proc. R. Soc.bond. 1996. A.452.N. 1950.P: Г649^1677.

202. Achenbach J.D. Shear waves in an elastic wedge. // Int: J. Solids and Structure: 1970: V.6. N.4. P:379-388.

203. Achenbach J:D., Khetan R.P. Elastodynamic response of a-wedge to* surface pressures /Ant. J. Solids and Struct., 1977.V.13. Issue 1 l.P.l 157-1171

204. Auld B.A. Acoustic fields of waves in solids. New York. Wiley. 1973.V.2

205. Babich V.M., Borovikov V.A.,Fradkin L.J., GridinD., Kamotski V, Smyshlyaev V.P. Computati onab aspects of the problem'of diffraction of a plane wave by a traction-free elastic wedges // Int.Seminar Day of Diffraction:"97". St.Petersburg. 1997.

206. Babich V.M., MatskovskiyA.A.Dffir&ctionof plane wave by a transparent wedge: Sommerfelf-Malyuzhinets approach.// IntSeminar Day of Diffraction'"2008". St.Petersburg.2008.

207. Beckenbach. E., Bellman R. Inequalities.Berlin: Sprinder. 1961. 273pp. / (Имеется перевод: Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. Пер. с англ. Г.И. Басса . М.: Мир. 1965. 276с.)

208. Berkovich V.N. On One Dynamic Mixed Boundary Value Problem for the Elastic Half-Space with Inclined Stratification // Rep.Int.conf. "AMADE-2003". Belarus. Minsk: 2003.C.34.

209. Bernard J.M.L. On the diffraction of an electromagnetic skew incident wave by a non-perfectly conducting wedge.//Ann.Telecom. 1990. No.45.P.30-39.

210. Bernard JiM.L. On the time domain- scattering by a classical, frequency dependent wedge-shaped'regiondn a longdispersive medium. // Ann. Telecom. 1994.No.49.P.673-683'.

211. Budaev B. V., Bogy D.B. Scattaring of Rayleigh and Stonely waves by two adhering elastic wedges.// Wave Motiom 2001.V.33. Issue 4. P:321-337'

212. Budaev B. V., Bogy D;B. Reyleigh wave scattering by a wedge.Part I. //Wave Motion. 1995. V.23. No.5. P:239-257.

213. Budaev B. V., Bogy D.B. Reyleigh wave scattering by a wedge.Part II. //Wave Motion. 1996. V.24. No.3. P.307-314.

214. Budaev B. K, Bogy D:B. Reyleigh5 wave scattering by two adhering wedge: //Proc. R: Soc.Lond. 1998. A 454. No. 1979. P.2949-2996.

215. Budaev B. V.& Bogy D.B. Reyleigh wave scattering in a wedge with mixed boundary conditions. // Proc. R. Soc.Lond. A 1999:(Submitted on^ leave from Steklov Mathematical Institute, St.Petersberg, Russia.)

216. Budaev B. V.& Bogy D.B. Random walk methods and wave diffraction. // IntJ.Solids. Struct. 2002. V.39. Issue 21-22. P.5547-5570.

217. BudaevB. V.,BogyD.B. Diffraction by a plane sector. //Proc.Roy.Soc.A. 2006. P.3529-3546.

218. Budaev B. V., Bogy D.B. Diffraction of a plane skew electromagnetic wave by a wedge with general anisotropic impedance boundary conditions.

219. Antennas and Propagation. // IEEE Trans. 2006. V.54. N.5. P. 1559-1567.

220. Budaev B. V., Morozov N. F., Narbui M. A. Saint Venant's Principle in Statical and Dynamical Problems for an Elastic Wedge and a Cone. // St. Petersb. Univ. Department of Math, and Mech. 1995.

221. Bogy, D.B. Two edge-bonded elastic wedges of different materials and wedge angles under surface tractions. // J.Appl. Mech. 1971.V.38.P.377-385.

222. Bogy, D.B., Wang K.C. Plane steady vibrations of an orthogonal elastic wedge.// J.Elasticity. 1974.V.4. N.l.

223. Bowman J.J.,& Senior T.B.A. Electromagnetic and acoustic,scattering by simple shapes. // Chap.6.The Wedge. North-Holland. 1969.

224. Carslow H.S. Diffraction of waves by a wedge of any angle. // Proc. Math. Soc. Sec.Ser. .1920.No.18.

225. Craster R.V., A.V.Shanin. Embedding formula for diffraction by wedge and angular geometries // Proc.Roy.Soc.Lond.A .2005. V.461, 2227-2242 (PDF file)

226. Forrislall George Z., Ingram John D. // Evaluations of distributions useful in Kontorovich-Lebedev transform theory. SIAM J. Math. Anal. 1972. No.3. P.561-566.

227. Duflo H., Tinel A, Duclos J, Lebeau G. Scholte wave diffraction by a dihedral study at oblique incidence. // J.Acoust.Soc.Am.1995. V.98.No.6. P.3493-3500.

228. Croisille J.-P., Lebeau G. Diffraction by an immersed elastic wedge. Theory and numerical computation. // Univ.de Paris-Sud.Math.1998.

229. Cruse T.A. An improved boundary-integral equation method for three-dimensional elastic stress analyses. //Comp.Struct. 1974. No.4. P.741-754.

230. DobrushkinV.A. The second boundary value problem of the theory of elasticity for a wedge. // Dokl.Akad.Nauk USSR. 1984.V.279.No. 11 .P.77-79.

231. Dobrushkin V.A. The boundary value problems of the dynamic theory of elasticity for the wedge-shaped domains. // Minsk. Nauka I Tehnika.1988.

232. Davis, A.M. Two-dimentional acoustical diffraction by a penetrable wedge. //J.AcoustSoc.Am. 1996. V.100: No.3.P:1316-1324.

233. Dravinski M.A., Thau S.A. Multiple diffractions of elastic waves by a rigid rectangular foundation. 11 Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Mech. 1976.V.43. No.2(June) P. 291-299.

234. Dunkin J. W. Computations of modal solutions in layered elastic media at high friquences. //Bull.Seism.Soc.Amer.l965.V.55.P.335-358.

235. Frenssens G.R. Calculation of the elastodynamic Green's function in laered memia by means of a modified propagator matrix method'. // Geophys J. Royal Astron Soc.1983. V.75.P.669-679.

236. Farnell G.W., Adler E.L. Elastic wave propagation in thin-layer acoustics. // Principles and Methods. 1972.N.9. P.35-127

237. Fuchs K. Investigation of wave propagation in wedge-shaped media. //Z. Geophys. 1965. V.31.N0.2.

238. Forristall George J., Ingram John D. II Elastodynamic of a wedge. Bull. Seism. Soc. Amer. 1971. V.61. No.2. P.275-287.

239. Fridman A., Shinbrot M. Nonlinear eigenvalue problems. // Acta. Math. 1968. V.121. N.l/2. P.77-125.

240. Gaier D. Vorlesungen uber approximation in komplexen. Basel, Boston, Stuttgart: Birkhauser.1980: 215pp. / (Имеется перевод: Гайер Д. Лекции по теории аппроксимации в комплексной« области./ Пер. с нем. Л.М.Карташова. М.: Мир. 1986.216с.)

241. Gautesen А.К. Diffraction of plane waves by a wedge with impedance' boundary conditions //Wave Motion;. 2005. V.41. Issue 3. P. 239-246

242. Gautesen A.K. On scattering of an SH-wave by a corner comprised of two different elastic materials//Mechanics of Materials. 2003 .V. 35.Issues 3-6. p. 407-414

243. Gautesen A.K. Scattering of a Rayleigh wave by an elastic wedge// Wave Motion. 1987. V. 9. Issue 1. P.' 51-59

244. Getoore R.K., Sharpe M.J. Gonformal martingales. // Inventions math. 1972. V.16. P. 271-308.

245. Gilbert F., Backus G.F. Propagator matrices in elastic and vibration problems. // Geophysics. 1965. V.31. P.17-34.

246. Gregory R.D. The propagation of Rayleigh waves over curved surface with high frequency.// Proc.Camb.Phil.Soc.1971. No.70. p.193-121.

247. Grandall S.H: (editor). Random vibration. Technology Press. Cambridge^ 1963. 322p.

248. Grandall S.H. Perturbation* techniques for random vibrations of nonlinear systems. J.Acaust.Soc.Amer. 1963. V.35. No.12/

249. Hein V.L., Erdogan F. I I Stress singularities in a two-material wedge. //IntJ.Fract.Mech. 1971. V.7. N.3. P. 317-330.

250. Hess J.L. Review of integral-equation techniques for solving potential-flow problems with emphasis on the surface-source method. Comp. Meth.Appl.Mech.Eng.1975. No.5. No.5.P.145-196.

251. Hudson? J.A. SH-waves in a wedge-shaped medium: // Geophys J.Roy. Astron.Soc. 1963.V.7.No.5.306:Hay man W.K., Kennedy P.B. Subhiarmonic functions. Academic Press. Volume 1. London-New York- Sun Francisco. 1976. 302p.

252. IshwHiroshil,Ellis Robert^/¿' Multiple refliectiomof plane S№ by a dipping layer. // Bull SeismoKSoc.Amer. 1970.V.60: No.l.P. 15-28.

253. Iwan W.D., Lutes L.D. Response of a bilinear hysteretic systems to stationary random exitation. II J.Acaust.Soc.Amer. 1968. V.43. No.3. ;

254. Jones D.S. Note on diffraction- by a wedge. // Quart. J; Mech. and.Appl.Math. 1950.V.3. P.420-434.

255. Karnopp D., Scharton T.D. Plastic deformation in random vibration. // J.Acaust.Soc.Amer. 1961. V.9. No.2

256. Kamotski I. V., Lebeau G. Diffraction waves on an elastic angle with free stress boundary. // Proc. Roy. Soc. Sec: A. London. 2004, v. 460:

257. Kamotski I. V. Surface wave running along the edge of an elastic . wedge. II St: Petersburg Math. Ji 2009: Nov20K P'59-63:

258. Kato T. Perturbation Theory for Linear Operators. Berlin, Heidelberg, New York: Springer. 1966.740рр.(Имеется^ перевод: Kamo Т. Теория возмущений линейных операторов./ Пер. с англ. Г.А.Воропаева и др. под ред.В.П.Маслова.М.: Мир. 1972. 740с.)

259. Keller J.B. Wave propagation in random media. // Proc. Sympos. Appl: Math. 1962. V. 13

260. Kiselev А. P. Nondispersive edge modes // Wave Motion. 1999: V. 29. Issue 2. P. 111-117

261. Krey Т. C. Channel »waves as a toot'of* appliedgeophysics in coal' mining // Geophysics. 1963 .V. 28.P: 701-714.

262. Matezinski M. Elastic wedge with discontinues boundary conditions. // Arch.Mech.Stosow. 1963. V. 15. No.6.

263. Mozhaev, KG. Ray theory of wedge acoustic waves. // Proc.Moskow State University (Phys., Astrom) 1989:V.30. P.40-45.

264. Mozhaev, KG. Application of the perturbationmethod for calculating the characteristics of surface-waves in anisotropic and isotropic solid with curved boundaries.// Sov.Phys.Acoust.l981.No.30.P.394-400.

265. Neidell N. S. & Poggiagliolmi F. Stratigraphic modeling and interpretation in Seismic Stratigraphy. Applications to Hydrocarbon Exploration, (ed C. E. Payton): Tusla, AAPG Memoir 26. 1977. P. 389^416

266. Norris, A.N & Osipov, A. V. Structural and acoustical wave interaction at a wedge-shaped junction of fluid loaded plates. // J.Acoust.Soc.Am. 1997. V.I01.No.2.P.867-876.

267. Norris, A.N & Osipov, A. V. Far-field analysis of the Malyuzhinets solution for plane and surface waves diffraction by an impedance wedge. // Wave Motion. 1999.No.30.P.69-89.

268. Osipov, A.V.& Norris, A.N. Acoustic diffraction by a fluid-loaded membrane corner. 11 Proc.R.Soc.Lond.A.1997.V.453.P.43-64.P.2179-2196.

269. Parker, D.F. Elastic wedge waves. // J.Math.Phys.Solids. 1992.V.40. P.1583-1593.

270. Payton С. E., ed. Seismic Stratigraphy. Applications to Hydrocarbon Exploration: Tusla, AAPG Memoir 26, 1977. / Имеется перевод: Сейсмическая стратиграфия (Под ред. Ч. Пейтона. М.: Мир,, 1982)

271. Peetre J. Espaces d'interpolation, generalization; Rend. Sem.Mat.Fiz. Milano, 1964. v.34.p.l33-164.

272. Piet J.F., de Billy M. Experimental! study of the scattering? of a. compressionallwave by anielastic wedge: // J;Appl.Phys. 199 l.V.69.No. 10.P

273. Shaw R.P: Boundary integrals equation?methods appliedito?transienti wave scattering in an inhomogeneous medium: // J.Appl.Mech. 1975: No.42.P. 147-152.

274. Silt I.S. Some elastodynamic problems of cracks. II J. Fract. Mech., 1968. V.I. No.4. P. 2014-2018.

275. Shanin,A. V&Krylov, V. V. An approximate theory for waves in a slender elastic wedge immersed in liquid. // Proc.R.Soc.Lond.A.2000. V.456.P.2179-2196.

276. Shanin, A.V. On wave excitation in a wedge-shaped region. //Acoust. Phys. 1996. V.42. No.5. P.612-617.

277. Shanin A. V. Application of the theories of representations to the problems of the excitation and reflection of wedge waves.// J. Appl. Math, and Mech. 1994.V. 58, Issue 3. P. 531-537

278. Shaw P. A. On the resonant vibrations,of Rayleigh and Stonely waves. //Roy. Astron. Soc. Lond. Monthly Notices. Geophys. Suppl. 1947.V.5. N.3.1. P.120-126.

279. Stassen H.G. Random lateral motions of railway vehicles. Thesis Technol. Univ.: Delft. 1967.

280. Stonely R. The elastic waves at the interface of separation of two solids. // Proc. Roy. Soc. Lond. A.1924.V.106.No. 732. P.416-429.

281. Qwen T.I. Surface wave phenomena in ultrasonics. //Progr.Mater.Res. 1964.N.8. P. 69-87.

282. Oberhettinger F. Diffraction of waves by wedge. // Com.Pure and Appl'.Math. 1954. V.7. No.3356., Oberhettinger F. On the diffraction and reflection< of waves and pulses by wedges and corners. //J.Res.Nat. Standarts. 1958. V.61.No.5.

283. Oberhettinger F. On asymptotic series for functions occurring in,the theory of diffraction of waves by wedges. // J.Math.Phys. 1956.V.34.No.l

284. Thau S.A. Motion of finite rigid strip in an elastic half-space subjected to blast wave loading.// Int.J.Sok.and Struct.1971. V.7.No.2.P.193-211.

285. Turner R.E.L. A class of nonlinear eigenvalue problems. // 1968. J.of Funct. Analysis. V.7, 2/3. P.297-322.

286. Ting L.On the diffraction of an arbitrary pulse by a wedge or a cone. // Quart.Appl.Math. 1960.V.18.No.l.P.89-92.

287. Tolipov Kh.B. A dynamical problem of the theory of elasticity for angular domains witlv homogeneous boundary conditions. I I J. Appl.Math.and Mech. 1993.V. 57. Issue 5. P.879-885.

288. Walton G. G. Three-dimensional seismic method. // Geophysics. 1972. V.37. P.417-430

289. Walton J. R. Vibrations of neo-Hookean elastic wedge. // Int. J. NonLinear Mech. 2003 .V.38, Issue 9. P. 1285-1296

290. Williams, W.E. Diffraction of polarized plane wave by an imperfectly conducting wedge. // Proc. Roy. Soc. Lond. A 1959.V.952. No.2. P.376-393.

291. Wong H.L., Luco J.E Dynamic response of rectangular foundations to obliquely incident seismic waves. //Earthquake Eng. And Struct. Dyn. 1978. V.6.N0.I. P.3-16.

292. Woodhouse J.H. Efficient and stable methods for performing seismic calculations in stratified media. // N.Y.: Dziewonski A.M., Boschi E. Elsevier. 1981.

293. Zemanian A.N. The Kontorovich-Lebedev Transformations for Distributions of the Compact Support and Its Inversion // Math.Proc.Camb. Phil.Soc.l975.v.77.No:l. pp. 139-143.

294. Zemell S.H. Diffraction of elastic waves by a rigid smooth wedge. SIAM. //J. Appl. Math. 1975. V.29. No.4 (December).P. 582-596.