Двумерные задачи теории упругости для областей с углами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Стр.

ВВЕДЕНИЕ 2

ГЛАВА I. ПОСТАНОВКА ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ОБЛАСТЕЙ С УГЛОВЫМИ ТОЧКАМИ

§ I. Основные уравнения плоской задачи теории упругости. 13

§ 2. Интегральные уравнения плоской задачи теории упругости для областей с углаш. 17

§ 3. Интегральные уравнения относительно производной функции . 22

§ 4. Асимптотика решений интегральных уравнений Шермана - Лауричелла в окрестности угловых точек контура . 27

§ 5. О коэффициентах асимптотики напряжений в окрестности угловых точек контура . 33

ГЛАВА II. АЛГОРИТМ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ОБЛАСТЕЙ С УГЛАМИ

§ 6. Решение интегрального уравнения Шермана -Лауричелла методом последовательных приближений . 42

§ 7. Выбор способа разбиения контура и квадратурных формул . 52

§ В. Использование кубических сплайнов и асимптотики функции при численной реализации решения интегрального уравнения . 59

§ 9. Учет симметрии решения .64

ГЛАВА III. НЕКОТОРЫЕ ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ОБЛАСТЕЙ С УГЛАМИ

§ 10. Бесконечная плоскость с прямоугольным отверстием при заданных внешних силах на границе . 70

§ II. Напряжения в бесконечной плоскости с двумя симметрично расположенными прямоугольными отверстиями .80

§ 12. Напряженно-деформированное состояние бесконечной плоскости с квадратным отверстием при заданных смещениях на границе. 85

§ 13. Плоская задача для двусвязной области, ограниченной извне и изнутри центрально и симметрично расположенными квадратами . 89

§ 14. Примеры вычисления коэффициента интенсивности напряжений в окрестности углов области. 94

Повышение надежности машин, сооружений и снижение их материалоемкости и себестоимости является одним из важнейших народнохозяйственных проблем в области машиностроения иительного дела. Решение этой проблемы в частности связано со снижением концентрации напряжений в элементах и деталях конструкций, позволяющим создавать более надежные, более легкие и удобные в эксплуатации, а также более экономичные конструкции. В этих конструкциях часто встречаются элементы, находящиеся в плоском напряженном состоянии, в которых концентрация напряжений вызвана наличием острых углов, выступов, вырезов или отверстий.

Решению плоских задач теории упругости для областей с углами (к которым сводятся вопросы определения концентрации напряжений) посвящено много исследований. Здесь неооходимо отметить методы интегральных преооразований, реализуемые в работах G.M. Белоносо-ва с11! и Я.С. Уфлянда t56]. методы сведения к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений, нашедшие применения в работах A.A. Баблояна t"^], и В.Т. Гринченко конечно-разностные методы, примененные в работе Л.А. Оганесяна и Л.А. Руховец и других, а также метод граничных интегральных уравнений. Для математического обоснования решений эллиптических краевых задач в областях с нерегулярной границей важное значение имеет фундаментальное исследование В.А. Кондратьева t36!. в котором приведено доказательство разрешимости оощих эллиптических краевых задач в областях с изолированными коническими точками или угловыми линиями и показано, что в окрестности этих точек (или линий) решение строится из регулярных и нерегулярных частей, причем, в нерегулярную часть входят решения однородных краевых задач для конуса (когда на поверхности коническая точка) или для клина (когда на поверхности угловая линия). Общие результаты,полученные в уточнены в работах И.И. Воровича И.И. Во-ровича, В.М. Александрова, В.А. Бабешко [20] применительно к случаю плоской задачи теории упругости для ооластей с угловыми точками. г 371

В недавней работе В.А. Кондратьева и O.A. Олейник [ J приводится обзор работ по дифференциальным уравнениям в областях с нерегулярной границей и подробно освещается современное состояние проблемы.

Решения однородных краевых задач для клиновидных областей представляют собственные функции соответствующей задачи, которые зависят от величины угла между полукасательными, проведенными к контуру в угловой точке и, характера краевых условий. Важная роль при решении краевых задач отводится проблеме определения коэффициентов однородных решений или коэффициентов асимптотики в окг AQ 1 рестности угловых точек контура, В работах М. Штерна [ • J, М. Штерна и M.JI. Сони , Г.Ф. Бюкнера для различных случаев однородной краевой задачи предлагаются формулы определения этих коэффициентов. Вопрос об определении коэффициентов в оощей постановке решен в исследованиях В.Г. Мазьи и Б.А. Пламеневско-r 4Т 4?1 го [ v J, в которых предложен метод определения коэффициентов асимптотики для общего случая эллиптических краевых задач. Мег ат 421 тод, развитый в [ * J, нашел последовательное применение к задачам теории упругости, в работе Н.Ф. Морозова и впервые был реализован в работе В.А. Дудникова и Н.Ф. Морозова f^J, где основное интегральное соотношение, из которого определяется искомый коэффициент асимптотики, построено на основании формулы Бетти. В работе С.С. Заргаряна конкретизируется метод предложенный в на случай бигармонической задачи и системы Ламе, а также предлагается вычислительный алгоритм по методу интегральных уравнений.

Интенсивное развитие вычислительных средств в последнее десятилетие способствовало развитию различных сеточных методов, нашедших широкое применение при численном решении многих задач теории упругости. Однако, для решения задач теории концентрации напряжений, развитые сеточные методы оказываются неэффективными из-за сильно изменяющихся полей напряжений и смещений. В зонах высоких градиентов эти методы требуют значительного увеличения степени дробления, что приводит к трудоемкости вычислительного процесса ввиду чрезмерного возрастания объема исходной информации. В этом отношении более эффективным оказывается метод граничных интегральных уравнений, представляющий собой недавно возникший вариант общего метода теории потенциала.

Первые исследования по интегральным уравнениям для областей с углами исходят к Т. Карлеману

64] и И. Радону (применительно к гармоническим задачам), где интегральные уравнения, выведенные для областей с гладкими границами, распространяются на случай областей с углами. Сложность такой модификации заключается в том, что внеинтегральные члены претерпевают конечные разрывы в угловых точках, а ядра интегральных уравнений меняют свои свойства.

Метод конформного отображения исходной области на полуплоскость и дальнейшее применение преобразования Лапласа при построении интегральных уравнений плоской задачи для областей с углами реализованы в работе С.М. Белоносова I11] . В этом исследовании получены первые примеры численной реализации решений задач теории упругости для областей с углами. Этот подход применяется также в г ^2 т работе В.Г. Романова I ], где приводится численное решение интегральных уравнений, полученных в , в предположении, что заданные граничные функции содержат более сильные разрывы, по сравнению с рассмотренными в .

В монографии Г.Н. Савина приведены многочисленные примеры решений плоских задач для областей с закругленными углами, полученные методом конформного отображения. Эти решения зависят от числа членов отображающей функции, построение которой в случае конечной области оказывается не столь эффективным, так как при этом достаточно точное отображение исходной области требует в представлении отображающей функции удерживать сравнительно большое количество членов ряда этой функции. Таким образом в случае конечных областей решение усложняется, и лишь в случае бесконечных односвязных областей удается получить практически применяемые результаты. Кроме того, при решении методом конформного отображения усло5шения возникают также в тех случаях, когда нагрузки, приложенные к границе области, не уравновешены или имеют разрывы.

В сложных задачах, требующих детального изучения напряженно-деформированного состояния в окрестности углов, возникает необходимость аналитического исследования характера определяемых функций. Это позволяет также учитывать особенности этих функций при выборе расчетной схемы численного метода. Численно-аналитический метод, предлагаемый в работах Ю.В. Верюжского использот /* ван в [ ] для решения смешанных граничных статических задач прочности и концентрации напряжений массивов, толстых плит и оболочек, двумерных панелей и некоторых объектов, лежащих на сплошном, упругом основании.

Граничные интегральные уравнения теории потенциала становятся мощным средством расчетов прочности конструкций на ЭВМ. Здесь имеется ввиду как сингулярные, так и регулярные интегральные уравнения, приближенному решению которых предшествуют, естественно, приближенные вычисления входящих в них интегралов. Вопросам вычислений регулярных и сингулярных интегралов различными квадратурными или кубатурными формулами, а также регуляризации интегральных уравнений и их приближенному решению посвящена обширная литература (см.например

14.31,48]к несмотря на это, метод граничных интегральных уравнений лишь в последнее десятилетие стал играть значительную роль в теории упругости.

Решения задач теории упругости применительно к случаю нерегулярной границы при помощи метода граничных интегральных уравнений были получены различными исследователями. Здесь следует отметить работы Т. Круза и Ф. Риццо , где интегральные тождества Бэтти успешно применены для уточнения решений вблизи нерегулярной точки (линии) границы при решении хадач пространственной теории упругости, методом конечного элемента. В работе А.Я. Александрова

О 1 ] рассматривается численное решение интегральных уравнений основных трехмерных задач теории упругости, где граничные условия задачи приводятся к системе линейных алгебраических уравнений относительно искомых компенсирующих нагрузок на границе. Эти интегральные уравнения, в принципе, могут быть использованы также при решении плоской задачи для областей с угловыми точками. Уточнение полученных при этом решений в окрестности угловых точек реализуется в где учитываются особенности компенсирующих нагрузок, эквивалентные особенностям напряжений в этих угловых точках.

В зависимости от исходных предпосылок, позволяющих строить интегральные уравнения плоской задачи, могут быть получены как сингулярные, так и регулярные интегральные уравнения. Из них наибольшего внимания заслуживают регулярные интегральные уравнения, сравнительно легко реализуемые численными методами. К числу таких уравнений относятся интегральные уравнения Мусхелишвили, Шермана-Лау-ричелла и их модификации, предложенные для областей с гладкой границей. Однако, при некоторых дополнительных условиях, их можно использовать также при решении плоской задачи для областей с кусочногладкими границами. Такой подход реализован в раооте В.З. Парто-на. П.И. Перлина I40], где методом механических квадратур решено интегральное уравнение Шермана-Лауричелла для области представляющей внешность квадрата. В работе этих же авторов приводится пример решения пространственной осесимметричной задачи, когда граничная поверхность образована вращением квадрата вокруг диагонали. Учитывая то обстоятельство, что в некоторой промежуточной области вокруг нерегулярной точки (линии) границы приближенное решение выходит на асимптотику, в работе указывается прием, позволяющий простым образом определять значения коэффициентов интенсивности напряжений в окрестности конической точки и угловой линии, а также отметить радиус действия асимптотического решения. По-сутцест-ву. такая же процедура реализуется в работе Хесса ( Heß-S J.L.l^l), где полученное приближенное решение достраивается вплоть до угловой точки непосредственно по асимптотике при численном решении интегрального уравнения для плоской задачи обтекания контура потоком идеальной несжимаемой жидкости.

Математическая теория построения асимптотики решения интегральных уравнений математической физики в окрестности угловых точек контура построена в работе G.G. Заргаряна и В.Г. Мазьи

26, на примере интегральных уравнений теории логарифмического потенциала. Асимптотика решений сингулярных интегральных уравнений плоской теории упругости, порожденной уравнениями Ламе, в окрестности угловых точек контура, получена в работе G.G. Заргаряна

В настоящей диссертации интегральные уравнения Шермана-Лауричелла, известные для гладкой границы, используются для численной реализации решения конкретных задач плоской теории упругости для , односвязных и двусвязных областей с углами. Обоснование разрешимости этих уравнений в пространстве непрерывных функций дано G.C. Заргаряном в работе где кроме этого, приводится также асимптотика решений интегральных уравнений Шермана-Лауричелла в окрестности угловых точек контура. Эта работа положена в основу настоящего исследования для создания вычислительного алгоритма исследования большого класса задач о концентрации напряжений в бесконечных областях с отверстиями, имеющими угловые точки на контуре, а также для некоторых двусвязных областей.

В исследуемой работе разработана методика решения интегрального уравнения Шермана-Лауричелла, с учетом асимптотического представления искомой функции в ходе его решения методом последовательных приближений. Выбирая способ дискретизации контура, таким образом, чтобы простейшие квадратурные формулы обеспечивали достаточно высокую точность при вычислении интегралов типа Коши и задавая асимптотику искомой функции в окрестности угловых точек непосредственно в процессе построения последовательных приближений, полученное таким образом решение проверяется путем вычисления напряжений на границе.

При этом определяются также коэффициенты асимптотики решения в окрестности угловых точек контура. Таким образом точность определения искомой функции, полученной решением интегрального уравнения, проверяется вычислением производной этой функции, входящей в формулы напряжений.

Работа состоит из введения, трех глав, в которую входят 14 параграфов и два приложения и, основных выводов. В первой главе, состоящей из пяти параграфов, дается постановка плоской задачи теории упругости и приводятся интегральные уравнения Шермана-Лауричелла. обобщенные на случай кусочно-гладкой границы (§§1-2). В третьем параграфе рассматривается интегральное уравнение, построенное относительно производной плотности интегрального представления искомых функций и показывается, что его решение, наряду с очевидными достоинствами, обладает недостатком, заключающемся в сложности контролирования точности полученного решения.

В четвертом параграфе выводится асимптотика решения интегрального уравнения Шермана-Лауричелла в окрестности угловых точек контура.

В пятом параграфе предлагается способ определения коэффициентов интенсивности напряжений в окрестности угловых точек контура методом интегральных уравнений. Получена формула для вычисления коэффициента асимптотики решения плоской задачи теории упругости в окрестности углов многосвязной области для основных типов граничных условий в окрестности угловой точки контура.

Во второй главе (§§6-9) описывается методика численной реализации плоской задачи теории упругости методом интегральных уравнений.

В шестом параграфе показывается расходимость метода последовательных приближений при решении интегрального уравнения Шермана-Лауричелла. Для применения этого метода, обладающего неоспаримым преимуществом по сравнению с другими методами, позволяющими снизить требования к объему памяти ЭВМ, предлагается вводить числовые параметры несколько видоизменяющие интегральные операторы Д.И. Шермана. С помощью этих числовых параметров появляется возможность управлять процессом сходимости последовательных приближений. Анализируя результаты численного решения задачи о бесконечной плоскости с квадратным отверстием, полученного для различных случаев дискретизации контура, в седьмом параграфе предлагается способ разбиения контура вблизи угловых точек и в зоне сближения границ области, существенным образом влияющий на точность вычисления интегралов типа Коши в указанных участках границы. При вычислении этих интегралов используются простейшие квадратурные формулы, основанные на точном вычислении интегралов от ядер, входящих в интегралы типа Коши. Значения этих интегралов вычисляются только в определенных точках контура, называемые основными опор--ными точками, а интегрирование ведется по более мелкой сетке дополнительных опорных точек, сгущающихся по мере приближения к угловой точке контура. Это позводяет повысить точность вычисления интегралов в окрестности углов и значительно сократить объем вычислений, так как значения плотности в дополнительных опорных точках определяются с помощью интерполяции, требующей значительно малый объем вычислений по сравнению со случаем, когда значения плотности определяются из интегрального уравнения. Вопросы интерполирования подинтегральной функции рассматриваются в восьмом параграфе, где указывается способ внесения асимптотики функции 60(£) в решение, а также приводятся основные формулы теории кубических сплайнов, применительно к задачам интерполирования функции комплексного переменного,

С целью оценить влияние показателя Л главного члена асимптотики искомой функции на точность выполнения граничного условия в окрестности углов, в этом параграфе приведены результаты численных экспериментов, выполненных на ЭВМ для задачи о бесконечной плоскости с квадратным отверстием, при различных значениях показателя А . Вычислениями установлено, что, когда в окрестности углов квадрата заданы симметричные граничные условия, то показатель асимптотики имеет значение Л1=0,5445, а в случае, когда заданы кососимметричные граничные условия, показатель Л имеет значение Д.£=0,У085. Эти значения показателя Л совпадают с соответствующими корнями характеристического уравнения рассматриваемой однородной краевой задачи для клиновидных областей.

Проведенные эксперименты косвенным образом показывают достоверность построенного вычислительного процесса в целом, так как многие результаты, полученные из этих экспериментов, ранее известны.

В девятом параграфе выводятся формулы соотношений симметрии для функции , при циклической и зеркальной симметрии области, а также при зеркальной кососимметрии.

В третьей главе, состоящей из пяти параграфов (§§10-14), приводятся численные решения конкретных задач плоской теории упругости для областей с угловыми точками на контуре. В §10 получено решение плоской задачи для внешности прямоугольника, при действии гидростатического давления на его сторонах. Получены также решения для случая квадратного выреза в бесконечной плоскости при различных видах нагружений, включающих в себя уравновешенные и неуравновешенные (в смысле главного вектора или главного момента внешних сил), разрывные и неразрывные нагрузки, приложенные к границе области, а также случай растяжения на бесконечности. Решение этой задачи для случая одноосного растяжения на бесконечности подробно сравнивается с решением Г.Н. Савина Для этого построены графики линий равных напряжений в области по обоим решениям, а также карты их расхождений, где в процентах указаны отклонения обоих решений друг от друга в ряде точек области и границы.

В §11 получено решение плоской задачи о бесконечной плоскости, ослабленной двумя симметрично расположенными прямоугольными отверстиями при действии гидростатического давления на сторонах прямоугольников. Найдены решения этой задачи для шести различных расстояний между границами прямоугольников, в том числе и для сближенных границ. Для этого случая построены графики линий равных напряжений в области. В этом параграфе рассматривается также случай весомой полуплоскости, ослабленной, как в предыдущем случае, двумя прямоугольными отверстиями.

В §12 получено решение второй основной задачи плоской теории упругости для внешности квадрата, причем, на границе задавались радиальные смещения точек, таким образом, чтобы квадратное отверстие перешло бы также в квадратное с коэффициентом подобия К=1,001. Значения всех трех компонентов напряжений в граничных точках приведены в таблицах. Построены также эпюры этих напряжений .

В §13 рассматривается пример конечной двусвязной области в виде квадрата с центральным квадратным вырезом. Получены решения для четырех различных отношений сторон внутреннего и внешнего квадратов, под действием двуосного растяжения. Здесь приводится прием, позволяющий строить последовательные приближения искомой функции для вычисления предельного значения плотности в угловой точке контура, независимо от того конечны или бесконечны напряжения в угловой точке.

В §14 приведены примеры вычисления коэффициентов интенсивности напряжений в угловых точках контура, используя методику, предложенную в §5.

В приложении I помещены все таблицы вычислений, а в приложении 2 - все рисунки и графики всех трех глав диссертации.

В заключение считаю своим прямым долгом выразить глубокую благодарность к.т.н., доценту G.G. Заргаряну, под руководством которого была выполнена настоящая работа.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

Приведем основные выводы и замечания, относящиеся к методике решения рассмотренных выше плоских задач для областей с углами, а также основные результаты по анализу их решений,

1. Интегральное уравнение Шермана-Лауричелла, обобщенное на случай кусочно-гладких контуров позволяет решать плоскую задачу теории упругости для достаточно широкого класса многосвязных областей, при наличии угловых точек на границе.

2. При решении интегрального уравнения задачи используется асимптотика искомой функции ШЩ в окрестности угловых точек контура, причем, когда напряжения конечны в угловых точках, в асимптотику входят только регулярные члены.

3. Так как заранее трудно определить конечны или бесконечны напряжения в углах, больших ^Г , при достаточно гладких граничных условиях, то возникает вопрос об исключении или включении нерегулярного члена в асимптотику функции Ш(1]. Этот вопрос окончательно решается при численном решении интегрального уравнения, согла-суя асимптотику ш(6) с выполнением граничного условия задачи - проверкой граничного условия посредством вычисления напряжений.

4. При определении показателя главного члена асимптотики функции СОД из характеристического уравнения (1.67), необходимо учитывать то обстоятельство, что это уравнение распадается на два, корни которых соответствуют симметричным и кососимметричным решениям в окрестности угла.

5. Интегральное уравнение Шермана-Лауричелла, численно реализованного ранее только методом механических квадратур и методом наименьших квадратов , в работе решается методом последовательных приближений, сходимость которых достигается введением новых числовых параметров I], не влияющих ни на разрешимость интегрального уравнения, ни на единственность решения плоской задачи теории упругости.

В работе указывается способ, позволяющий определить приближенные пределы изменения этих параметров.

6. Сближение границ области приводит к значительному замедлен нию сходимости последовательных приближений и ухудшению точности решения в зоне сближения контуров. Показывается, что точность решения можно улучшить путем оптимального выбора параметров дискри-тизации контура вблизи сближенных границ.

7. Анализируя процесс сходимости последовательных приближений предложена формула (§6), позволяющая опускать достаточно большое число промежуточных вычислений при проведении итерационного процесса и тем самым ускорить сходимость последовательных приближений.

8. Предложенный в работе способ разбиения контура в окрестности углов позволяет воспользоваться простейшими квадратурными формулами, основанными на точном вычислении интегралов от ядер, входящих в интегралы типа Коши.

9. Численная реализация интегрального уравнения Шермана - Лау-ричелла для областей со сложными границами, а также в случае разрывной нагрузки или при неуравновешенной внешней нагрузке осуществляется единным способом-введением несущественных (с точки зрения численной реализации) изменений в правой части интегрального уравнения, что выгодно отличает метод интегральных уравнений по сравнению с другими аналитическими методами, например, по сравнению с методом конформного отображения.

Ю. При численном решении рассмотренных выше задач широко используются формулы преобразования функции (и{-Ь) при циклической и зеркальной симметрии области и граничных условий. Причем, формула то зеркальной симметрии устанавливающая правило преобразования функции сиЩ при переходе от точки к к зеркально симметричной точке (относительно действительной оси) £ , в работе обобщена на случаи зеркальной симметрии и зеркальной кососимметрии относительно произвольной оси, проходящей через центр симметрии и составляющей угол оС с осью ОХ.

11. Показывается, что в случае, когда главный момент внешних сил, действующих на контуре отверстия бесконечной плоскости, не равен нулю, можно воспользоваться чисто мнимым функционалом I в представлении функции , взамен действительного функционала ^ я -шЩск] , входящего в это представление и обращающегося в нуль, когда главный момент внешних сил не равен нулю. Этот пример реализует высказанное Д.И. Шерср. маном в [ ] возможность выбора различных функционалов в представлениях голоморфных функций $(?:) и 4^(2) плоской задачи теории упругости.

12. Получена формула для определения коэффициентов интенсивности напряжений в окрестности угловых точек контура, которая может оказаться полезным при определении несущей способности хрупких тел при их расчете на прочность. Приведены примеры определения коэффициентов интенсивности напряжений в окрестности углов области.

13. Построен пример модельной задачи, когда заведомо известно, что в случае угла упругой области, большего , коэффициент асимптотики решения плоской задачи в окрестности угла равен нулю. Построенный алгоритм решения методом интегральных уравнений, согласно формуле (1.94), подтвердил ожидаемое решение.

14. В отличие от [^2,39,65,66] 0Пределяется предельное значение искомой подинтегральной функции в угловых точках контура

§13). Это позволяет заменить экстраполирование функции ин- -терполироэанием, при построении асимптотики решения в окрестности угловых точек контура, и, тем самым, повысить точность решения в окрестности углов области.

537

15. Известные в теории упругости решения Г.Н. Савина [ I для односвязных областей с углами, полученные методом конформного отображения, дают решения для областей с закругленными углами. В этих решениях напряжения и деформащга зависят от радиуса закругления углов, который определяется числом членов отображающей функции.

Закругление углов области приводит к сглаживанию высоких градиентов в окрестности углов и перераспределению напряжений в области, при котором уменьшается коэффициент концентрации напряжений в окрестности углов.

16. При малых значениях радиуса закругления, напряженное состояние меняется только в окрестности углов. Например, при радиусах закругления углов равных 1,4% и 2,5% от длины о/ стороны квадрата (§10), напряжения существенно меняются (больше I%) соответственно в круговых секторах, радиусов 0,14 с/ и 0,22 с/ , выделенных вокруг угловой точки контура.

17. При больших радиусах закруглений углов (больше 10% от характерного размера отверстия) напряженное состояние сильно меняется во всех точках контура и в точках области, расположенных вблизи ее границы (§11).

18. Для практически важных задач построены графики линии равных напряжений в области, характеризующие картину деформаций и зону концентраций напряжений и затуханий.

1. Алберг Дж. Нильсон Э., Уолш Дж., Теория сплайнов и ее приложения М: Мир, 1972, 316 с.

2. Александров А.Я1 Решение основных трехмерных задач теории упругости для тел произвольной формы путем оделенной реализации метода интегральных уравнений. Докл. АН GGGP, 1973, т.208, №2, с,291-294.

3. Александров А.Я., Зиновьев Б.М., Куршин Л.М. Об одном численном методе решения задач теории упругости с учетом особенностей напряженного состояния вблизи угловых точек и линий. Изв. АН GCGP, МТТ, 1980, №3, с.39-49.

4. Арсенян В.А., Заргарян C.G., Мартиросян В.Р. О решении интегральных уравнений плоской теории упругости методом последовательных приближений. Изв. АН GGGP, МТТ, 1982, №1, с.79-83.

5. Арсенян В.А. О напряжениях в бесконечной плоскости и в весомой полуплоскости, ослабленных двумя прямоугольными отверстиями. Докл. АН Арм.ССР, 1982, т.ШУ, №2, с.66-71.

6. Арсенян В.А. Об одном алгоритме численного решения плоской задачи теории упругости для областей с углами. Ереван, 1982, 29с. ил. Деп.в ВИНИТИ 01.10.82; №030-62.

7. Арсенян В.А., Заргарян G.C. Численное решение плоских задач теории упругости для областей с углами. Изв. АН ApM.CGP, Механика, 1983, Т.ХХХУ1, №1, с.47-55.

8. Арсенян В.А. Об особенностях напряжений в окрестности углов бесконечной плоскости с отверстием. Межвузовский сб."Механика", изд.Ереванск.Гос.ун-та. 1984, №3, с.193-201.

9. Арсенян В.А, Определение концентрации напряжений в окрестности угловых точек контура отверстия в бесконечной плоскости призаданных смещениях на границе. Межвузовский сб."Механика", изд.Ереванск.Гос.ун-та, 1982, №1, с.119-128.

10. Баблоян A.A. Решение некоторых парных интегральных уравнений. Изв. АН СССР, ПММ. 1964. т.28, вып.6, с.1015-1023.

11. Белоносов С.М. Основные плоские статические задачи теории упругости для односвязных и двусвязных областей. Новосибирск, Изд.СО АН СССР, 1962г. с.231.

12. Беркун В.Б. О коэффициентах в решениях задач теории упругости в окрестности угловых точек границы. Моск.инж-строит.инс-т М., 1982, 19с. Деп. в ВИНИТИ 04,02.83; ff<639-83.

13. Буйвол В.М. Бигармоническая задача для многосвязных систем с циклической симметрией. Прикл. механика, 1959. т.5, №3, с.276-287.

14. Вайндинер А.И., Москвитин В.В. Сингулярные интегральные уравнения трехмерных задач теории упругости: регуляризации, куба-турные формулы, дифференциальные свойства и приближенные методы решения. ДАН СССР, 1976, т.228, N56. с.1310-1313.

15. Верюжский Ю.В. Численные методы потенциала в некоторых задачах прикладной механики. Киев, Вища школа, 1978. 183с.

16. Верюжский Ю.В. Численно-аналитический метод потенциала в статических задачах строительной механики. В кн.: Инженерные проблемы строительной механики. М., 1980, с.16-32.

17. Вигдергауз С.Б. О плоской задаче теории упругости для многосвязных областей с циклической симметрией. Изв. АН СССР, ПММ. 1974. т.38, вып.5, с,937-941.

18. Вигдергауз С.Б. Растяжение плоскости, ослабленной кольцом одинаковых круглых отверстий. Изв. АН СССР. МТТ, 1977, №4. с.163-165.

19. Ворович И.И. О поведении решений основных краевых задач плоской теории упругости в окрестности особых точек границы. Всб."III Всесоюз. съезд по теоретической и прикладной механике". Аннот. докл. М., 1968. ЗЗбс.

20. Ворович И.И. Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. 455с,

21. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. Изд. 2-е М.: Физиматтиз, 1963, 639с.

22. Гольдштейн Р.В. Дополнение. К вопросу о применении метода граничных интегральных уравнений для решения задач механики сплошных сред. В кн: механика: Новое в зарубежной науке т.25: Метод граничных интегральных уравнений. М.: Мир, 1978, 210с.

23. Гринченко В.Т. Равновесие и установившиеся колебания упругих тел конечных размеров. Наукова думка. 1978, 264 с.

24. Дудников В.А., Морозов Н.Ф. О задачах плоской моментной теории упругости для областей с угловыми точками контура. ДАН СССР, 1975, т.225, №3. с.524-527.

25. Заппаров К.И., Перлин П.И. Численное решение плоской задачи теории упругости для областей сложной конфигурации. Прикл. механика, 1976, №. с. 103-108.

26. Заргарян С.С., Мазья В.Г. Об асимптотике решений интегральных уравнений теории потенциала в окрестности угловых точек контура. Изв. АН СССР. ПММ. 1984, т.48, М, с.169-173.

27. Заргарян С.С. Плоская задача теории упругости для односвяз-ных областей с угловыми точками при заданных на границе внешних силах. ДАН Арм.ССР, 1975, т.60, И, с.43-50.

28. Заргарян С.С. Интегральные уравнения плоской задачи теории упругости для многосвязных областей: с углами. МТТ, 1982, №3, с.87-98.

29. Заргарян G.C. Вычисление коэффициентов асимптотики решений плоских задач теории упругости в окрестности угловых точек контура. Межвузовский сб."Механика", изд.Ереванск.Гос.ун-та.1984. №3. с.77-89.

30. Заргарян С.С. Об особенностях решений системы сингулярных интегральных уравнений плоской теории упругости при заданныхна границе напряжениях. ДАН Арм.ССР, 1983, т.ХХУП, М, с.167-172.

31. Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. Киев: Наукова думка. 1968, 287 с.

32. Идельс Л. В. Об одной модификации интегральных уравнений Д.И. Шермана для первой и второй основных задач плоской теории упругости. Новосибирск. 1979, 10 с. Деп. в ВИНИТИ 13.06.79; №2148-79.

33. Идельс JI.B. Соловьев Ю.И. Один вид интегральных уравненийдля решения плоских задач теории упругости. Изв. АН СССР, МТТ, 1981, №3, с.26-30.

34. Каландия А.И. Замечание об особенности упругих решений вблизи углов. Изв. АН СССР. ПММ, 1969, т.33, вып.1 с.132-135.

35. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. Изд. 4-е М.: Гостехиздат. 1952, 695 с.

36. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими и угловыми точками. В кн: Труды Московского матем.общества, М.: МГУ, т.16, 1967. с.207-292.

37. Кондратьев В.А., Олейник O.A. Краевые задачи для уравнения с частными производными в негладких областях. Успехи матем.наук, 1983, т.38, вып.2(230). с.3-76.

38. Кублановская В.Н. Применение аналитического продолжения посредством замены переменных в численном анализе. В кн.: Труды Математич.инс-та им.Стеклова, 53. -М.: Академ, издат. 1959.с.145-185.

39. Магнарадзе Л.Г. Основные задачи плоской теории упругости для контуров с угловыми точками. Труды Тбилисского математического института. т.1У, 1938, с,43-76.

40. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач вблизи конических точек. ДАН СССР, 1974, т.219, №2, с.286-289.

41. Мазья В.И., Пламеневский Б.А. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач вблизи ребра. ДАН СССР, 1976, т.229, М, с.33-36.

42. Мендельсон А., Альберс JI. Применение метода граничных интегральных уравнений для решения упругопластических задач В кн: Механика: Новое в зарубежной науке т.15: Метод граничных интегральных уравнений М. Мир. 1978, с.68-110.

43. Минасян P.C. О смешанной задаче изгиба квадратной пластинки с квадратным вырезом. ДАН Арм.ССР, i960, т.XXX, №1, с.19-28.

44. Морозов Н.Ф. Избранные двумерные задачи теории упругости. Л.: ЛГУ, 1978, 182с.

45. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966, 707с.

46. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968, 5Пс.

47. Партон В.З., Перлин II.И. Интегральные уравнения теории упругости М.: Наука, 1977, ЗПс.

48. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. М.: Наука, 1981, 688с.

49. Постнов В.А,, Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. Л.: 1974. 341с.

50. Радон И. О краевых задачах для логарифмического потенциала. УМН. 1946. т.1. №3-4, с.96-124,

51. Романов В.Г. Приближенное решение интегральных уравнений основных плоских статических задач теории упругости для областей с углами. Новосибирск: Вычислительные системы. 1964, вып. 12, с.98-134.

52. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Наукова думка, 1968, 887с,

53. Ступак С.Ф. К решению интегральных уравнений пространственных задач теории упругости. В кн.: Механика твердого деформируемого тела и родственные проблемы анализа. М,: МИХМ, 1978. 147с.

54. Оганесян Л.А., Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. Изд. АН Арм.ССР. 1979. 235с.

55. Уфлянд Я.С, Интегральные преобразования в задачах теории упругости. М.-Л.: Наука, 1967. 402с.

56. Хациревич И.Х. Применение метода Вейля к решению плоской статической задачи теории упругости. Изв. АН СССР ПММ. 1942, т.6. вып.2, с.197-202.

57. Шафаренко Е.М., Штерншис А.З. Методы повышения эффективности решения сингулярных интегральных уравнений пространственных задач теории упругости. В кн.: Тезисы Всесоюзной конференции по теории упругости, Ереван Изд. АН Арм.ССР, 1979, 398с.

58. Шерман Д.И. К решению плоской статической задачи теории упругости при заданных на границе смещениях. ДАН СССР,, 1940, т.37,с.911-913.

59. Шерман Д.И. О напряжениях в весомой полуплоскости, ослабленной двумя круговыми отверстиями. Изв. АН СССР, ПММ, 1951, т.ХУ, вып-3, с.297-316.

60. Шерман Д.И, К решению плоской статической задачи теории упругости при заданных на границе внешних силах. ДАН СССР, 1940, т.23. №1. с.25-28.

61. Шерман Д.И. Об одном способе рассмотрения краевых задач теории функций и двумерных задач теории упругости. В кн.: Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа, М.: Наука, 1972, с.635-665.

62. Biceknex H. F. А /Weê P-tincLp^e ike Сотри,-teutcon o4 U Irtiensity F ecctozez. z?AMM,1970, Bd. 50, Ni 9, P.SZ9-S^6.

63. Сссг-Релгш-ь 77 Uéei ААеос/пбо/ьп. Робпсссъе$c/ie РгоёСеп?£ /¿¿ъ19JC.

64. CzLLse T. A. Ыитеъеса,^ soécctio/is ¿a ¿hexe- ¿¿/л&п

65. Uon&ê e-ZoLiio static s . 1 niez/Lett. 7, Soùc/s ôtnc/ ztzuciiLzes , 1369, P.

66. Hesi L. Retrieve? ¿7/ Lnte<ze,£ ^¿caitio/г ¿ecAm^ueg$Oi pote/i tiâc,^- ^-¿oas pzog^/n-è w-iéA. e/npAq

67. SiS on Ake Surface -So cc-z. ce meAAocA\ Соггъ/э . ,

68. Af>p£. M-ecA. £n<. /9Г5, ¿S. s, P.-/4S-YSÇ.

69. Rlzzo F. 7. An intacizûuê г есррюсссА. é0 lou.nelûL'i.^ pto£^ems. of eéecz-s.ica.é' -e-éecsAro-■îtcdice,, Oc4.Axé. /¡pp-ê. Ai-eéA., /46-?, /? S3

70. KiGL^mcki \х/.; Мыс/еёноп. 4¿.a. 4pp£c<zûonoctn.aia.zy ¿/Ltejza.£ /n-etAocA to eA'a.s.tic of У-noicAec/ //ASA TN p?424 . 1971, P.2*I<-2S4.

71. Siez/z M. Tfio. contoct-i ¿né^zoL^ /neihoc/tka. compu-tcciion o^ 3Ln.gu£a.tiéi-eS . Irti . Sy/n/o . Innoi>Quin?e Nu-rnex. Ana-é. £cî v ù^et. -S>6ùêé?e$ , 1377. P. 324-331.