Применение интегральных преобразований в задачах о движущихся концентраторах напряжений тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Содержание.

Введение.

Глава. 1. Применение преобразования Конторовича—Лебедева в задаче о движение винтовой дислокации в клиновидной области.

§1.1. Задачи динамической теории упругости в клиновидной области.

Основные уравнения. ;

Начальные, граничные условия. Дополнительные условия.

§1.2. Преобразование Конторовича-Лебедева.

Основные теоремы.

Применение преобразования Конторовича-Лебедева для решения волнового уравнения.

Решение плоской динамической задачи динамической теории упругости.

§1.3. Задача о движении винтовой дислокации.

Решение задачи о движении дислокации

Случай полуплоскости.

Глава 2. Преобразование Фурье. Движение полубесконечной и конечной трещины.

§2.1. Необходимые сведения из теории обобщенных функций.

§2.2. Задача Римана. Метод Винера-Хопфа.

§2.3. Постановка задачи о движении трещины.

§2.4. Движение полубесконечной трещины (модель Мардера-Гросса)

§2.5. Движение конечной трещины.

Асимптотическое поведение на бесконечности.

- з

Глава 3. Интегральное преобразование с ядром функции Грина и спектр Ко с сер а.

§3.1. Постановка задачи.

§3.2. Применение спектра Коссера в задачах термоупрутюсти.

§3.3. Определение числа собственных чисел спектра Коссера.

Сфера и эллипсоид вращения.

Произвольный эллипсоид.

Численные результаты.

Метод интегральных преобразований является одним из основных методов аналитического решения задач механики деформируемого твердого тела. Он интенсивно и весьма успешно развивался в работах Петербургской (Ленинградской) школы механики и математической физики. Работы представителей этой школы Н.Н.Лебедева [21—24], Я.С.Уфлянда [55], Л.И.Слепяна [50] тесно примыкают к теме диссертационной работы.

В данной работе метод интегральных преобразований и уравнений применяется к новым классам квазистационарных задач механики разрушения. Общие вопросы теории разрушения и теории трещин рассмотрены в различных монографиях, в частности [32, 4 9, 58].

Предлагаемая работа посвящена исследованию задач о различных концентраторах напряжений с помощью интегральных преобразований. Объект исследований выбран не случайно, так как в любом деформируемом теле можно наблюдать различные микродефекты такие как трещины, дислокации, а также различного рода вакансии и включения. Выбор того или иного интегрального преобразования связан, прежде всего, с «геометрией» задачи.

Так, в диссертации преобразование Лебедева—Конторови-ча используется для решения новой задачи о движущейся дислокации в клиновидной упругой области; обобщенное преобразование Фурье — в задаче о распространении конечной и полубесконечной трещины в решетке; интегральное преобразование с ядром функции Грина (подход С.Г.Михлина) — в задаче о стационарном тепловом потоке в окрестности включения .

В первой главе рассматривается задача об антиплоской деформации для клиновидной области, содержащей равномерно движущуюся винтовую дислокацию. Большой вклад в теорию дислокаций внесли как отечественные [43], так и зарубежные авторы [53, 57] . Для случая равномерно движущейся в плоскости винтовой дислокации 'одними из первых решений является решение полученное в работах Дж.Эшелби [66, 67]. Среди задач, представленных в более поздних работах, посвященных движению дислокации, можно отметить следующие работы: Дж.Хирт и И.Лоте [57], где изложена задача о движении винтовой дислокации в полуплоскости; в работе К.Маркенскофф [74] решена задача о нестационарном движении краевой дислокации в полуплоскости; определенный интерес также представляет задача о взаимодействии нестационарно движущейся винтовой дислокации и цилиндрического включения, которую можно найти в работе С.Прасада [78].

Задачу о движении винтовой дислокации в клиновидной области по своей природе можно отнести к задачам о распространении и дифракции волн в этой области. Такие задачи является сегодня объектом пристального внимания специалистов [12, 13, 33, 42] . Основными подходами к решению таких задач являются метод рядов [12, 42], метод Функций Грина [60], метод Зоммерфельда-Малюжинца [33, 39] и др.

В данной работе решение задачи о движении дислокации было получено с использованием преобразования Конторович-Лебедева. Это интегральное преобразование не нашло достаточного отражения в методах решения подобных задач, хотя использование функций Макдональда, на которых основано данное преобразование, является естественным для разрешающих уравнений динамической теории упругости в клиновидной области. Надо отметить, что рассматриваемая задача является динамической, что уже значительно усложняет применение любых методов решения.

В качестве немногочисленных примеров динамических задач, при решении которых использовалось преобразование Конторовича-Лебедева, можно привести следующие - задача о дифракции акустической волны на конусе [42, стр. 164], задача об антиплоском сдвиге [52] и задача о распространении волны в клине [4 0, 68].

В работе [44] были изложены основные результаты первой главы.

Вторя глава посвящена применению преобразования Фурье для решения задач об установившемся движении конечной и полубесконечной трещины в решетке.

На протяжении длительного времени для исследований, в механике деформируемого твердого тела использовалась лишь классическая континуальная модель. Во второй половине нашего века, в связи с развитием численных методов, появился интерес к дискретным моделям [36, 48, 56, 7 9] . При этом основанием, для такого интереса послужило, то что , во-первых, применение дискретных моделей предпочтительней в силу дискретности вычислительного процесса (см. например [65]). Во-вторых, в механике разрушения дискретные методы позволили обнаружить ряд эффектов, не улавливаемых континуальными методами. Во многом это можно обосновать тем, что разрушение происходит на уровне структуры материала, и соответственно континуальные модели являются лишь некоторым длинноволновым приближением рассматриваемых процессов. Дискретные модели же могут более точно мо-делировать реальную атомную структуру. Следует отметить, что кроме чисто дискретных моделей механики деформируемого твердого тела, В.В.Новожиловым была предложена гибридная модель твердого тела [38]. Данная модель оказалось более удобной для численного моделирования, так как в отличии от дискретных моделей требует меньших "машинных затрат", на что обращает внимание Р.В.Гольдштейн [9].

В данной главе рассматривается задача о движении полубесконечной трещины. Эта задача достаточно хорошо представлена в различных работах [34, 41, 48] . В основу многих задач механики трещин была взята модель Р.Томпсона [79] .

Целью автора являлось уточнение результата, полученного в работе М.Мардера и С.Гросса [73], в которой рассматривалась задача о движении полубесконечной трещины третьего типа (антиплоская деформация). Был поставлен вопрос возможно ли образование дополнительных трещин перед или за вершиной исходной трещины. С математической точки зрения автора интересовал вопрос о более строгом выводе разрешающих уравнений. Для решения данной задачи был использован метод Винера-Хопфа [7, 8, 37].

Вторая задача, которая так же рассматривается в данной главе, посвящена движению конечной трещины. Впервые, эта задача была сформулирована в работе Н.Ф.Морозова и М.В.Паукшто [76, 77]. Данная проблема является теоретической моделью эффекта аномально низкого сопротивления или эффекта Ущеренко—Козорезова—Черного, описанного в работах [16, 59] . В качестве модели была выбрана модель Р.Томпсона [7 9]. Эта задача решалась, численно в работе [26] .

В данной работе были рассмотрены вопросы связанные с возможностью применения преобразования Фурье. В результате исследований был уточнен вид интегрального уравнения, а так же установлена связь между решением дифференциально-разностного уравнения и решением интегрального уравнения .

Кроме того было изучено поведение решения разрешающего интегрального уравнения на бесконечности, что позволило ответить на вопрос о возможности появлении дополнительных трещин, т.е. об устойчивости решения.

В работе [45] были изложены результаты второй главы.

В третьей главе, исследуются некоторые свойства связанные со спектром Коссера для эллипсоида. Задачи являющиеся основополагающими в данной теории были р а с с мо трен ы в работах Эжена и Франсуа Коссера [61, 62, 64] . Проблемы связанные со спектром Коссера являются интенсивно развивающимися направлением, об этом свидетельствует публикации последних лет [15, 29, 75, 72]. В основе данных работ лежат исследования С.Г.Михлина [29], который систематизировал результаты полученные в работах Эжена и Франсуа Коссера, так же С.Г.Михлиным были доказаны основные свойства собственных функций спектра, такие как полнота и ортогональность . В дальнейшем идеи Эжена и Франсуа Коссера получили свое развитие в работах М.В.Паукшто и Х.Маркенскофф [72, 75], А.Н.Кожевникова [15, 69, 71].

В работах М.В.Паукшто и Х.Маркенскофф был найден новый вариационный принцип для задач термо- и вяз ко упруг о-сти, а также выяснен физический смысл собственных чисел и собственных функций спектра Коссера. В работе [72] было получено решение задачи о посещенном в тепловой поток сферическом включении в терминах собственных функций и чисел Коссера. Работы А.Н.Кожевникова [15, 69] посвящены доказательству различных свойств спектра Коссера, при этом задача формулируется в терминах интегральных уравнений .

В предлагаемой работе была рассмотрена задача об определении количества собственных функций спектра Коссера, лежащих вне 8-окрестности точек сгущения. Асимптотическая формула, в общем случае, для этой функции, была предложена А.Н.Кожевниковым и Т.Ю.Скубачевской [15].

В диссертационной работе рассматривается применение полученной формулы, для тел эллипсоидальной конфигурации. Была поставлена задача о возможности использования этих формул для определения характеристик рассматриваемых тел. Следует отметить, что для коэффициентов асимптотического разложения числа собственных значений оператора Лапласа имеется определенная геометрическая интерпретация. В данной работе для спектра Коссера были получены подобные результаты.

Данное исследование связано в первую очередь с приближенным решением задачи о помещенном в тепловой поток эллипсоидальном включении. Решение этой задача может быть представлено в виде ряда собственных функций спектра Коссера, но при этом количество этих функций счетно, и их число нужно ограничивать. Рассматриваемые формулы могут дать априорную оценку числа собственных функций.

В работе [47] были изложены результаты последней главы, а в [4 6] отражены основные результаты всей работы.

- 10

Заключение

В настоящей работе осуществлено дальнейшее развитие применения методов интегральных преобразований и уравнений в теории упругости.

1. Было использовано преобразование Конторовича-Лебедева для решения задачи "динамической теории упругости. С помощью этого преобразования выписано общее решение для клиновидной области.

Сформулирована и решена новая задача о движении винтовой дислокации в клиновидной области. Было получено, что в предложенной постановке задачи, преобразование Кон-торовича-Лебедева можно применять лишь для углов с раствором больше Ж .

Проанализировано решение в предельном случае - для полуплоскости. Полученное решение совпадает с ранее найденным, методом отражений, решением в работе Дж.Хирт и И.Лоте. Кроме того, найдены характеристики для определения направления движения дислокации.

2. Рассмотрено применение преобразования Фурье для решения задачи о движении трещины в дискретной постановке.

С помощью метода Винера-Хопфа исследована задача о движении полубесконечной трещины в модели Мардера-Гросса. Получены формулы поведения решения трещины на бесконечности , а так же доказано, что задача устойчива к появлению новых трещин.

С применением аппарата интегральных уравнений была исследована задача о движении конечной трещины сформулированная Н.Ф.Морозовым и М.В.Паукшто. Было обосновано применение преобразования Фурье . для дифференциальноразностного уравнения и уточнена формулировка получающегося интегрального уравнения. Кроме того было показано, что при определенном наборе параметров, интегральное уравнение, соответствующее модели с учетом упругого взаимодействия с внешней средой, имеет решение, при этом класс параметров системы значительно шире, чем в случае первоначального интегрального уравнения.

Так же были получены формулы поведения решения на бесконечности, и условия образования новых трещин перед или за рассматриваемой трещиной.

3. Рассмотрена задача о спектре интегральных уравнений теории упругости с ядром функции Грина (спектре Кос-сера). Уточнена асимптотическая формула предложенная А.Н.Кожевниковым для количества собственных чисел лежащих вне некоторой окрестности точки сгущения.

Исследовано применение этой формулы для тел эллипсоидальной конфигурации. Получено, что для подобных тел эта формула дает одинаковые ответы. Также исследована зависимость количества собственных чисел лежащих вне некоторой окрестности точки сгущения от размеров рассматривав мо г о тела.

Получено, что для тел, у. которых один из размеров много меньше или много больше других, собственные числа менее сконцентрированы вокруг точки сгущения.

1. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции,в трех томах., М.,Наука, том 2., 1973.

2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральныхпреобразований. Т. 1. М.: Наука, 1969. 343 с.

3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральныхпреобразований. Т. 2. М.: Наука, 1970. 327 с.

4. Беллман Р., Кук К.Л. Дифференциально-разностныеуравнения. М. : Мир, 1967, 548 с.

5. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математическойфизике. М.: Наука, 197 9 г., 320 стр.

6. By Ким Туан, Якубович С.Б. Интегральноепреобразование Конторовича-Лебедева в новом классе функций., ДАН БССР, т. 29, № 1, стр. 11, 1985.

7. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М. : Физматгиз, 1963,640 стр.

8. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М.:1. Наука, 1978. 236 с.

9. Гольдштейн Р.В. Некоторые вопросы микромеханики иатомистики разрушения//Атомистика разрушения. М.: Мир, 1987. 248 с.

10. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, изд.' 4-е., М., Физматгиз, 1962.

11. Дайнис Г., Пэскин А. Моделирование трещин с помощью вычислительных машин. Атомистика разрушения / под ред. Р.В. Гольдштейна. М. , 1987. С. 177-212.

12. Добрушкин В.А. Краевые задачи динамической теории упругости для клиновидных областей. Минск, Наука и техника, 1988.

13. Исраилов М.Ш. Динамическая теория упругости и дифракция волн. М., МГУ, 1992.14. .Каменский Г.А. К общей теории уравнений с отклоняющимся аргументом//ДАН СССР, т. 120, 4, 1958 г., 697-700.

14. Кожевников А.Н. Функциональные методы математической физики. М.: издательство МАИ, 1991, 46 стр.

15. Козорезов К.И., Максименко В.Н., Ущеренко С.М. Избранные вопрос современной механики. 4.1, М., 1981 г., с.27-31.

16. Конторович М.И., Лебедев H.H. Об одном методе решения некоторых задач теории дифракции и родственных ей проблем. ЖТЭФ., т.8, вып. 10-11,1938.

17. Костров Б.В. Дифракция плоской волны на жестком клине, вставленном без трения в безграничную упругую среду. ПММ., т. 30, вып. 1, стр. 198, 1966.

18. Кудрявцев Л.Д. Курс высшей математики. Том II, М.: Высшая школа, 1981 г., 584 стр.

19. Лаврентьев М.А. , Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М., 1973 с.

20. Лебедев H.H. О разложении произвольной функции в интеграл по цилиндрически функциям мнимого значка. ПММ., т. 13, вып. 5, стр. 4 65, 1949.

21. Лебедев H.H. Об одной формуле обращения. ДАН СССР., т. 52, № 8, стр. 661, 1946.

22. Лебедев H.H. Специальные функции и их приложения. МЛ., Физматгиз, 1963.

23. Лебедев H.H., Конторович М.И. О применении формул обращения к решению некоторых задач динамики. ЖЭТФ., т. 9, вып. 6, стр. 72 9, 1939.

24. Лебедев H.H., Скальская И.П., Уфлянд Я.С. Сборник задач по математической физике. М.: ГОСТЕХИЗДАТ, 1955. 420 с.

25. Леора С.Н., Пуакшто М.В. Анализ разрушения в одномерной модели // Проблемы механики разрушения. Калинин. 1987. С. 7 6-78.

26. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Гостехиздат, 1955 г. 4 91 стр.,

27. Миролюбов A.A., Солдатов М.А. Линейные однородные разностные уравнения. М.: Наука, 1981, 208 стр.

28. Михлин С.Г. Спектр пучка операторов теории упругости // Успехи мат. наук. 1973. №3 (171) . с. 43-82.

29. Михлин С.Г., Морозов Н.Ф., Паукшто М.В. Интегральные уравнения в задачах теории упругости. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1986. 88 с.

30. Михлин С.Г., Морозов Н.Ф., Паукшто М.В. Интегральные уравнения в теории упругости.—СПб., 1994. 272 с.

31. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М. : Наука. 1984. 256 с.

32. Морозов Н.Ф., Нарбут М.А. Ан т ипло с к а я деформация упругого клина при воздействии, сосредоточенном в окрестности угловой точки// Прикладная математика и механика. 1995. №2 (59). с.327-330.- 88

33. Морозов Н. Ф ., Паукшто М.В. Динамика трещин в дискретной постановке//Вестн. ЛГУ сер. 1. 1987 . Вып. 3 с. 67-71.

34. Морозов Н.Ф., Паукшто М.В. Дискретные и гибридные модели механики разрушения.—СПб.: Издательство С.-Петрбургского Университе та, 1995. 160 с.

35. Назаров С.А., Паукшто М.В. Дискретные модели и осреднение в задачах теории упругости. Л., 1984. 92 с.

36. Нобл В. Метод Винера-Хопфа / Пер. с англ. М. : Изд-во иностр. лит., 1962, 274 стр.

37. Новожилов В.В. К основам теории равновесных трещин в упругих телах // Прикл. мат. и мех. 1969. т. 33. с.7 97-812,

38. Осипов A.B. П р е о б р а з о в а н и я Малюжинца и метод интегралов Зоммерфельда в теории дифракции волн в угловых областях//Проблемы дифпакции и распространения волн. Вып 25.-СПб.: Изд-во С.-Петер бурге ко г о ун-та, 1993. с.14 8-17 3.

39. Осипов A.B. Щ методе интегралов КонторовичаО

40. Лебедева в задачах дифракции волн в секториальных средах//Проблемы дифпакции и распространения волн. Вып 25.-СПб.: Изд-во С.-Петербург с ко г о ун-та, 1993. с.173-219.

41. Паукшто М.В., Сулимов М.Г. О стационарном распространении полубесконечной трещины // Проблемы мат. анализа. СПб., 1992. С. 127-165.

42. Поручиков В.Б. Методы динамической теории упругости. М., 1986. 328 с.- 89

43. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. 744 с.

44. Сизов C.B. Движение винтовой дислокации в клиновидной области//Прикладная математика и механика. 1999. Т.63. №1. С.149-152.

45. Сизов C.B. Применение спектра Коссера в задачах тер-моупругости//XXV Гагаринские чтения. Тез. докл. Международной конф. М. 1999. Т. 1. С. 24 5.

46. Слепян Л .И. Антиплоская задача о трещине в решетке/,/ Мех. тверд, тела. 1982. №5. С. 101-115.

47. Слепян Л.И. Механика трещин. М., 1981. 296 с.

48. Слепян Л.И., Яковлев Ю.С. Интегральные преобразования в нестационарных задачах механики. Л.: Судостроение, 1980, 344 стр.

49. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том II, М.: Наука, 1976, 656 стр.

50. Суровцева И.Л. О принципе Сен-Венана для упругих угловых областей при антиплоском сдвиге // Вестн. СПбГУ. сер. 1. №1. 1996.

51. Теодосиу К. Упругие модели дефектов в кристаллах. М. : Мир, 1085. 352 с.

52. Тимошенко С.П., Гудиер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975. 576 с.

53. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Л., Наука, 1968.

54. Франк А.М., Яненко Н.Н. О свойствах усредненного дижения упругой одномерной решетки. Новосибирск, 1960. №14. 18 с.

55. Хирт Дж., Лоте И. Теория дислокаций. М.: Атомиздат, 1972. 599 с.

56. Хеллан К. Введение в механику разрушения. М. : Мир, 1988. 364 с.

57. Черный Г.Г. Механизм аномально низкого сопротивления при движении тел в твердых средах /./ Докл. АН СССР. 1987. Т. 292. №6. С. 1324-1328.

58. Шендеров Е.Л. Волновые задачи гидроакустики. Л: Судостроение, 1972.

59. Cosserat Е. et F. Sur les équations de la theorie de l'élasticité,/'/Сomptes Rendus de l'Acad. d. Sci . (Paris). 1898. vol. 126. p. 1089-1091.

60. Cosserat E. et F. Sur la déformation infiniment petite d'un ellipsode élasticité //Comptes Rendus de l'Acad. d. Sci. (Paris). 1898. vol. 127. p. 315-318.

61. Cosserat E. et F. Sur la déformation infiniment petite d'un enveloppe ellipsode elastique soumis a des forces donnees //Comptes Rendus de l'Acad. d. Sci. (Paris). 1901. vol. 133. p. 271-273.- 91

62. Cosserat E. et F. Sur la deformation infiniment petite d'un enveloppe spherique elastique //Comptes Rendus de l'Acad. d. Soi. (Paris). 1901. vol. 133. p. 326-329.

63. Dienes G.J, Paskin A. Computer Modeling of

64. Cracks//Atomic of Fracture, New York: Plenum Press, 1983. p. 671-704.

65. Eshelby J.D. The force on an elastic singularity., Phil. Trans. R. Soc., Lond. Ser. A, vol. 244, № 877, pp.87-112,1951.

66. Eshelby J.D. The equation of motion of a dislocation., Phys. Rev., Ser. 2, vol. 90, № 2, pp. 24 8-255,1953.

67. Forristall G.Z., Ingram J.D. Elastodinamics of a wedge. Bull. Seismol. Soc. Amer., vol. 61, № 2, pp. 275-287, 1971.

68. Kozhevnikov A.N. The basic boundary value problems of static elasticity theory and their Cosserat spectrum. Mathematische Zeitschrift, 213, 241-274.

69. Kozhevnikov A.N. A history of the Cosserat spectrum.Operator Theory: Advances and Applications, 109, 223-234.

70. Kozhevnikov A.N., Skubachevskaya T. Some applications of pseudo-differential operators to elasticity.Hokkaido Mathematical Journal, 26, 2 97322.- 92

71. Liu W., Markenscoff X., Paukshto M. The Cosserat Spectrum Theory in Thermoelasticity and Application to the problem of heat Flow Past a Rigid Spherical Inclusion/'/ Journal of Applied mechanics. Sept., 1998. vol. 65. pp. 614-618.

72. Marder M., Gross S. Origin of Crack Tip Instabilities, Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 1995. Vol. 43, pp. 1-48.

73. Markenscoff X., Clifton R.J. The nonuniformly moving edge dislocation // J.Mech.Phys.Solids. 1981. V.29. №3. P. 253-262.

74. Morozov N.F., Paukshto M.W. On the crack simulation and solutions in the Lattice // J. Appl. Mech. 1991.1. Vol. 58. P. 290-292.

75. Prasad S.B. Interaction between moving screw dislocation and an elastic circular cylindrical inclusion /'/ Ganita. 1995. V.46. №1-2. P. 73-80.7 9. Thomson R.M. Physics of fracture ,/,/ Atomistic of

76. Fracture. New York: Plenum Press, 1983. P. 167-204.