Численно-аналитическое исследование проблемы Штурма-Лиувилля в задачах МДТТ тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи

Промыслова Анна Сергеевна

Численно-аналитическое исследование проблемы Штурма-Лиувилля в задачах МДТТ

Специальность 01 02 06 — Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание у ченой степени кандидата физико-математических паук

Москва 2008

003444914

Работа выполнена на кафедре механики композитов механико-математического факультета МГУ им М В Ломоносова

Научный руководитель: Доктор физико-математических наук,

профессор Д В Георгиевский

Официальные оппоненты: Доктор технических наук,

профессор С Н Сухинин Доктор технических наук, профессор С А Лурье

Ведущая организация: Институт проблем механики

Российской Академии Наук

Защита состоится 12 сентября 2008 года в 16 часов на заседании специализированного совета Д 501 001 91 по механике при Московском государственном университете им M В Ломоносова по адресу 119992, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 1610

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан июля 2008 i ода

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501 001 91 профессор

С В Шешенин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

В механике деформируемого твердого тела и волновой динамике чрезвычайно важны методы и алгоритмы, представляющие решение задачи в виде разложения по некоторой системе функций К таким методам относятся мегод Фурье, мегод интегральных преобразовании и другие Данные разложения хорошо изучены, когда каждая из функции, участвующая в них, зависит только от одной из переменных (пространственных либо временной), входящих в задачу Для нахождения естественной системы функции, по которой можно осуществить разложение, обычно решается определенная граничная задача для обыкновенного дифференциального уравнения, в широком смысле называемая задачей Штурма-Лиувилля

Математически» аппарат аналитического нахождения собственных значений, собственных функций и разложения по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля хорошо развит и излагается, например, в классических учебниках по математической физике И Г Петровского, С Г Михлина, Н С Котлякова, В С Владимирова Для анализа обобщенных задач Штурма-Лиувилля, задач с особыми точками и сингулярными возмущениями в механике используются приближенные аналитические и численные методы

С появлением современных мощных компьютеров и суперкомпьютеров возникает необходимость создания и апробации новых методов исследования, в том числе и проблемы Штурма-Лиувилля, приспособленных именно для такого рода вычислительных средств Поиск алгоритмов, оптимизирующих вычисления в той или иной задаче на компьютерах с наперед заданными свойствами (быстродействием, памятью, архитектурой), является важной составляющей частью вычисчительной механики - науки, сформировавшейся на стыке классической механики сплошной среды и методов вычислений и развиваемой в настоящее время в работах Б Е Победри, А С Кравчука, Г VI Кобелькова, С В Шешенина и других механиков

и математиков

Одним из новых меюдов, о которых шла речь выше, служит метод ускоренной сходимости, предложенный в 90-е годы Т Д Акуленко и С В Нестеровым для анализа задач на собственные значения С помощью этого мех ода с достаточно точной оценкой собственного числа за несколько итераций получается искомое решение Одним из достоинств этого метода является поиск каждого собственного значения по отдельности Кроме того, одновременно численно определяются собственные функции, соответствующие каждому собственному числу

В настоящей диссертации данный метод развивается на класс задач Штурма-Лиувилля с комплексными коэффициентами, моделирующих многие явления и процессы в механике сплошной среды, динамике и прочности машин, приборов и аппаратуры, что является актуальным как с позиций теоретического так и практического интереса

Цель работы.

1 Разработка численно-аналитического метода решения обобщенной проблемы Штурма-Лиувилля с комплексными коэффициентами

2 Численно-аналитическое решение задачи о продольных и крутильных колебаниях упругих стержней переменного поперечного сечения (концентраторов) для различных форм концентраторов, типов граничных условий и областей частот колебаний

3 Ассимптотический анализ при малых безразмерных пределах текучести любого дискретного собственного значения вблизи границы области устойчивости в обобщенной задаче Рэлея, представляющей собой задачу Штурма-Лиувилля с комплексными коэффициентами

Научная новизна.

1 Разработан метод численно-аналитического решения обобщенной проблемы Штурма-Лиувилля с комплексными коэффициента-

мп, являющийся развитием метода ускоренной сходимости

2 В 'задаче о продольных и крутильных колебаниях упругих стержней переменного поперечного сечения (концентраторов) для рассмотренных профилси построенные графики коэффициентов усиления показывают, чю с увеличением номера собственного значения кривые стремятся к некоторой кривой, которая является их предельной Данное утверждение справедливо как для условии первого, так и второго рода

3 Разработан аналитический метод получения первого члена асимптотического разложения по малому безразмерному пределу текучести любого дискретного собственного значения обобщенной задачи Рэлея По знаку зтого члена можно судить об устойчивости того или иного профиля скорости относительно возмущения материальной функции среды - предела текучести при сдвиге

Достоверность предложенного метода и результатов обеспечивается строгостью постановок задач и математических методов их решения, анализом различных модельных и тестовых задач, сопоставлением полученных результатов с теоретическими и экспериментальными данными других авторов

Используемые методы В работе используются методы вычислительной механики, методы функционального анализа, вариационного исчисления, методы теории дифференциальных уравнений в частных производных

Практическая ценность работы определяется тем, что рассмотренные в диссертации расчетно-теоретические схемы позволяют анализировать динамическое поведение материалов при продольных и крутильных колебаниях стержней переменною поперечного сечения Подход к описанию процессов деформирования материалов и конструкции, предложенный в диссертации, позволяет существенно сократить материальные затраты на дорогостоящие лабораторные экспериментальные исследования

Полученные результаты могут служить научно-методическим

основанием для обоснования рациональных конструктивно-технологических решении при проектировании и изготовлении акустических концентраторов различного назначения

Диссертационная работа выполнена при поддержке гранта Российского фонда фундаментальных исследований проект 08-0100231

Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации, докладывались автором и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях

- Аспирантский семинар и научно - исследовательский семинар кафедры механики композитов механике - математического факультета МГУ им М В Ломоносова под руководством проф Б Е Победри

- Научно - исследовательский семинар "Актуальные проблемы геометрии и механики"на механико - математическом факультете МГУ им М В Ломоносова под руководством проф Д В Георгиевского и д ф -м н М В Шамолина

- Научно - исследовательский семинар "Задачи механики сплошной среды "в ИПМех РАН под руководством проф С В Нестерова и проф Д В Георгиевского

- Научно - исследовательский семинар кафедры теории упругости механико - математического факультета МГУ им М В Ломоносова под руководством проф И А Киико

- Научно - исследовательский семинар кафедры волновой и газовой динамики механико - математического факультета МГУ им М В Ломоносова под руководством академика РАН Е И Шемякина

- Научная конференция Ломоносовские чтения, МГУ им Ломоносова, 2007, 2008 г г

- Научная конференция Помоносов-2008, МГУ им Ломоносова, 2008г

Структура работы Диссертционная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка лшературы из 110 наименовании Работа содержи г 59 рисунков Общий об ьем диссертации - 108 с границ

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится общая характеристика раГкиы, включающая в себя обоснование актуальности и научной новизны Изло-гается содержание диссертации и проведен обзор литературы, связанной с темой диссертации

В первой главе дается краткий обзор численно-аналитических методов решения проблемы Штурма-Лиувилля Приводится метод Рэлея-Ритца, с помощью которого можно получить верхнюю оценку первого собственного значения на основе пробной функции, удовлетворяющей граничным условиям задачи Обсуждается метод ускоренной сходимости в случае граничных условий первого рода и третьего рода Этот метод основан на сочетании вариационного подхода, теории краевых задач и методов возмущении и приводит к рекуррентному алгоритму последовательного уточнения собственных чисел и функций Как и "метод касательных" Ньютона, о и обладает ускоренной (квадратичной) сходимостью

Ряд проблем классической механики, теории упругости, теории колебаний приводит к обобщенной задаче Штурма-Лиувилля, в которой коэффициенты уравнения - произвольные нелинейные функции искомого параметра Поэтому исследуется задача конструктивного определения собственных частот и форм колебании распределенных систем с существенно изменяющимися параметрами В отличие от классического случая самосопряженной краевой задачи допускается произвольная нелинейная зависимость коэффициентов уравнения от числового параметра, собственные значения которого требуется найти

В рассмотренных методах не учитывается то обстоятельство, что коэффициенты уравнения могут быть комплекснозначными В виду того, что в механике деформируемого твердого тела довольно часто встречаются задачи с комплексными коэффициентами, был разработан численно-аналитический метод, развивающий метод ускоренной сходимости, дающий решение обобщенной задачи Штурма-

Лиувилля с комплекснозначными коэффициентами и допускающий нелинейную зависимость ко¡ффициентов уравнения от собственною значения

Рассматривается следующая задача с граничными условиями первого рода

где и = и(х) - координатная функция, г 6 [0,1] е К - аргумент, А = А1 + «А2 6 С - постоянная разделения пространственной и временной переменных Функции р(х), д(х), г(х, А) считаются достаточно гладкими и отделенными от нуля, р(х)^(х) £ К, и(х,Х),г(х,\) Е С

Ставится задача наити такие вещественные или комплексные значения А, при которых существуют нетривиальные решения уравнения с краевыми условиями (1)

Выбирается некоторое А0 и рассматривается задача Коши

Аналитически или численно строится решение ь(х,А0) задачи (2) и рассматривается нахождение первого собственного числа А[ и функции и(х) Введем числовой параметр г = 1 — где £ - первый корень уравнения у(х,Х°) = 0 Малость величины е характеризует относительную близость А к А0, {А0, у(х, А0)} - точное решение обобщенной задачи (1) на известном промежутке 0 < х < £ = £(А) Будем считать его приближенным решением для исходного интервала Процедура уточнения порождающего решения {А°,г>(а,, А0)} основана на введении возмущенного аргумента у = £ х и представлении задачи (1) в виде возмущенной В результате преобразований получим для искомою А1

(р(аК)' + [г(х,А)-ф.)]и = 0 и(0) = и(1) = О

(1)

(р{х)у'У + (г(х, \°)-я(х))у = 0 1,(0) = 0, г/(0) = 1

(2)

/

./о

А1 = А° - е + 0(£2)' МЫ2 = ^ <3>

Процедура взятия интеграла в знаменателе может быть заменена процедурой совместного интегрирования задачи Коши для функции и и функции ш = ду/дХ В результате получим

Г^г'АШ\2(1у = р(0Ж)и((1) (4)

/о

Используем вновь соотношения (2) - (4) для построения уточненного значения Л на основе найденного А1 и рассматриваемого как начальное приближение (аналогично А0) В итоге, получим рекуррентную процедуру уточнения приближенного решения исходной задачи (1), обладающую свойством ускоренной сходимости, то есть приводящую к погрешности е^ = О^сле)6'*') , |г| <С 1, сА ~ 1, Щк) = 2к

Проводится тестирование данного метода с помощью различных примеров

Во второй главе диссертации рассматривается задача МДТТ о продольных колебаниях упругих стержней переменного поперечного сечения (концентраторов) Показано, что постановки задач о продольных и крутильных колебаниях упругих стержней сводятся к задаче Штурма-Лиувилля

+ ! у' + к2у = 0, к2 = ~ (5)

где и — частота колебаний, — соответствующая скорость волн в стержне Принимаются два типа граничных условий (первого и второго рода)

и(0) = 0, и(1) = 0 (6)

1/(0) = 0, «'(1) = 0 (7)

для трех классических профилей продольного сечения и получаются аналитические выражения для коэффициента усиления (N1 =

|г>(1)А'(())| при граничных условиях второго рода и N2 = ^'(^/^'С^)! при [раннчных условиях первою рода), распределения колеба1ель-ной скорости и деформаций в случае граничных условий первого (на 1ранице заданы скорости) и в юрою рода (на [ранице заданы напряжения) Приводятся результаты численных исследовании поставленной задачи при разчичных формах концентратора Проводится сравнение полученных коэффициентов усиления в зависимости о г профиля поперечною сечения, выбора [раннчных условий и номера собственного значения

Для граничных ус ловий второго рода поставленная задача аналитически исследовалась в классических работах Л Г Меркулова Показано, что для конического, экспоненциального и катеноидального профилей в случае I раннчных условий второю рода наибольший коэффициент усиления достигается при катеноидальном профиле В случае граничных условий первого рода, коэффициенты усиления совпадают, то есть выбирая профиль из предложенных, необходимо брать тот, который проще в изготовлении

Кроме того, замечается, что с увеличением номера собственного числа кривые для коэффициента усиления как для первого, так и для второго рода стремятся к предельным кривым

Рис 1 Коэффициент усиления для коническою концентратора $ = — ах)2

МП.М2 д

2 род, 1 соб число

Рис. 2: Коэффициент усиления для катеноидального концентратора .9 = 52сЬ2(а(1 -*))

Рис. 3: Коэффициент усиления для концентратора с профилем продольного сечения 5 = ^ сЬ3(а(1 — х))

Одновременно с вычислением коэффициентов усиления были получены распределения амплитуд колебательной скорости и деформаций по длине концентратора для всех рассмотренных профилей, двух типов граничных условий, каждого собственного значения и различных N - отношениях радиусов поперечных сечений широкого и узкого концов концентратора. На рис.4 показаны характерные графики амплитуд колебательной скорости и деформаций.

П-1-г

О 02 0J 0 6 0 8

Рис 4 Распределение ко тебателыюй скорости (сплошная линия) и скорости деформаций (пунктирная) по калепоидальному концентратору (1 род, 1 соб число, N=1, N=10)

В третьей главе рассматривается задача Штурма-Лиувилля с комплексными коэффициентами - обобщенная задача Рэлея об устойчивости сдвигового течения плоского идеальножесткопласти-ческого слоя

{а + 1зь°)(>р" - й2^) + ) - гзг)°"<Р = 0, 0 < х < 1 (8)

у?(0) = ^(1) = 0 (9)

Невозмущенное течение характеризуется профилем продольной скорости v° G С2{0,1], sup|y°'(x)| <q< оо Область изменения х в sup, inf, а также интегралах по х по умолчанию принимается от 0 до 1 В (8) а = а, + ia,t - частота колебании, s > 0 - волновое число, - амплитуда возмущения функции тока Часто вместо параметра устойчивости a(s) вводится комплексная фазовая скорость c(s) = га/s, т = Ts/(pV2) - безразмерный предел текучести, rs -размерный предел текучести, pV2 - динамически!! напор

При г = 0 эта задача совпадает с классической задачей Рэлея об устойчивости сдвигового течения идеальной несжимаемой жидкости в плоском слое

Дискретный спектр задачи Рэлея для того или иного профиля сдвиговой скорости может либо лежать на границе области устойчивости, либо состоять из пар собственных значений, одно из которых принадлежит полуплоскости неустойчивости При изучении вопросов возмущения физической модели идеальном жидкости малым пределом текучести т и связанных с этим стабилизационных и дестабилизационных эффектов представляет интерес исследование первого, в определенном смысле пограничного, случая

Дана интегральная оценка и выведено явное выражение для первого члена асимптотического разложения по т любого дискретного собственного значения задачи Рэлея, принадлежащего границе области устойчивости

По знаку этого члена можно судить об устойчивости того или иного профиля скорости при возмущении материальной функции среды -предела текучести при сдвиге

Основные результаты и выводы

1 Разработан численно-аналитический метод решения обобщенной проблемы Штурма-Лиувилля с комплексными коэффициентами, являющийся развитием метода ускоренной сходимости С помощью этого метода с выведенной оценкой собственного числа за несколько итераций получается искомое решение Одним из достоинств этого метода является поиск каждого собственного значения по отдельности Одновременно численно определяются собственные функции, соответствующие каждому собственному числу

2 Аналитические исследования показывают, что наибольшим усиливающим действием из рассмотренных концентраторов для граничных условий второго рода (на границе заданы напряжения) обладает катеноидальныи концентратор, а наименьшим конический Для граничных условий первого рода (на границы заданы скорости) кривые во всех случаях совпадают с кривой для экспоненциального

(10)

концентратора

3 Для рассмотренных профилем показано, чюс увеличением номера собственного значения кривые коэффициентов усиления стремя гея к некоторой кривой, коюрая является их предельной Это стремление может бьпь как снизу, так и сверху Это означает, что с точки зрения получения наибольших усилии имеет смысл рассматривать или первое собственное значение (в случае, когда стремление к предельной кривой происходит сверху) или максимально возможное (если стремление к предельной кривой происходит снизу) Данное утверждение справедливо как для условии первого, так и второго рода

4 Разработан аналичическии метод получения первого члена асимптотического разложения но малому безразмерному пределу текучести любого собственного значения обобщенной задачи Рэлея, принадлежащего границе облас ги устойчивости По знаку этого члена можно судить об устойчивости того или иного профиля скорости относительно возмущении материальной функции среды - предела текучести при сдвиге

По теме диссертации опубликованы следующие работы.

1 Акуленко Л Д, Георгиевский Д В , Нестеров С В , Промыслова А С Возмущение собственных значений в обобщенной задаче Рэлся//Докл РАН 2008 Т 422 №5

2 Георгиевский Д В, Промыслова А С Анализ спектральных кривых в обобщенной задаче Рэлея методом ускоренной сходимости// Тезисы докладов Научная конференция "Ломоносовские чтения" Секция механика М Издательство Московского Университета, 2007 С 56

3 Георгиевский Д В, Промыслова А С Задачи на собственные значения, моделирующие продольные колебания упруг их стержней переменного сечения// Тезисы докладов Научная конференция "Ломоносовские чтения" Секция механика М Издательство Московского Университета, 2008

4 Промыслова А С Продольные колебания упругих стержней переменного сечения (концентраторов)//Известия РАН МТТ 2008 №6 В печати

5 Промыслова А С Решение обобщенной задачи Штурма-Лиувилля с комплексными коэффициентами методом ускоренной сходимости//Вестник МГУ 2008 №2 С 59-61

6 Промыслова А С Метод ускоренной сходимости в задаче о продольных колебаниях упругих стержней переменного сечения (концентраторов)// Тезисы докладов Научная конференция "Ломоносов-2008" Секция механика 2008

Подписано в печать 14 07 2008 Формат 60x88 1/16 Объем 1 25 пл Тираж 100 экз Заказ № 724 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119991 г Москва, Ленинские горы, д 1 Главное здание МГУ, к А-102

Введение

1 Классическая проблема Штурма-Лиувилля

1.1 Итерационные методы и оценки сходимости.

1.1.1 Методы Рэлея-Ритца, конечно-разностный метод отыскания собственных значений.

1.1.2 Метод ускоренной сходимости.

1.1.3 Обобщенная краевая проблема Штурма-Лиувилля.

1.2 Развитие метода ускоренной сходимости на задачи с комплексными коэффициентами.

1.2.1 Граничные условия первого рода.

1.2.2 Граничные условия третьего рода.

1.3 Тестовые примеры.

1.3.1 Задача о колебаниях струны.

1.3.2 Задача с нелинейным вхождением собственного значения

1.3.3 Задача с неизвестным аналитическим решением

1.3.4 Задачи с комплексными коэффициентами.

2 Продольные и крутильные колебания в концентраторах напряжений и скоростей

2.1 Постановки задач с краевыми условиями первого и второго рода

2.1.1 Постановки задач с краевыми условиями первого и второго рода для продольных колебаний.

2.1.2 Постановки задач с краевыми условиями первого и второго рода для крутильных колебаний.

2.2 Аналитические решения задач о концентраторах.

2.2.1 Конический концентратор.

2.2.2 Экспоненциальный концентратор.

2.2.3 Катеноидальный концентратор

2.3 Численное решение прямых задач при различном выборе формы концентратора.

2.3.1 Коэффициент усиления в случае граничных условий первого рода.

2.3.2 Коэффициент усиления в случае граничных условий второго рода.

2.3.3 Колебательная скорость и скорость деформаций в случае граничных условий первого рода.

2.3.4 Колебательная скорость и скорость деформаций в случае граничных условий второго рода

3 Обобщенная задача Рэлея об устойчивости сдвигового течения идеальнопластического слоя

3.1 Основные свойства задачи Рэлея.

3.2 Обобщенная задача Рэлея

3.2.1 Интегральная оценка устойчивости.

3.2.2 Возмущение собственного числа.

1. Предметная область.

Диссертация посвящена разработке численно-аналитических методов решения проблемы Штурма-Лиувилля в задачах МДТТ. Проблема нахождения собственных значений возникает во многих задачах, встречающихся в различных областях механики и физики, поэтому присутствует необходимость в разработке новых численно-аналитических методов решения задач такого типа.

Существуют различные методы в теории задач на собственные значения. Три важнейшие из них используют дифференциальные уравнения, интегральные уравнения и вариационное исчисление.

Каждый из этих методов имеет свои особые преимущества [35]. Классическая теория интегральных уравнений Фредгольма, Гильберта и др. с одинаковым успехом приводит к цели как в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, так и в случае уравнений с частными производными. Трудности при этом переносятся на предварительную стадию, а именно на составление уравнений. В теории предполагается существование функции Грина, а следовательно, и ядра интегрального уравнения, но на вопрос о существовании решения эта теория в общем виде ответа не дает.

Вариационное исчисление использует минимальные свойства собственных значений. В этом случае дифференциальные уравнения и краевые условия выступают в качестве необходимых условий Эйлера для минимума. Эти минимальные свойства являются основой для численного решения задач на собственные значения.

Метод дифференциальных уравнений, согласно Камке [30], является наиболее эффективным для обыкновенных дифференциальных уравнений. В случае самосопряженной pi полностью определенной общей задачи на собственные значения можно непосредственно обосновать минимальные свойства собственных значений [35].

К минимальным свойствам примыкает метод последовательных приближений, в котором приводится фундаментальная формула, применение которой связано с небольшими дополнительными условиями. Но если это условия выполнены, то во многих прикладных случаях можно получить достаточно точные верхнюю и нижнюю границы первого собственного значения.

В работе решение задачи Штурма-Лиувилля проводятся на основе метода ускоренной сходимости [98], с помощью которого при достаточно точной оценки собственного числа за несколько итераций получаем искомое собственное значение задачи. Но в задачах механики имеется множество постановок задач, в которых коэффициент уравнений являются комплексными функциями. Поэтому особое внимание в работе уделяется обобщению данного метода на случай комплекснозначных коэффициентов [69].

В качестве задачи на собственные значения, встречающейся в приложениях МДТТ, рассматривается задача о продольных колебаниях упругих стержней переменного сечения (концентраторов) или, как их иногда называют, трансформаторов скорости.

В данной работе рассматриваются различные формы концентраторов напряжений и скоростей в случаях, когда на концах упругого стержня заданы скорости или напряжения (граничные условия первого или второго рода). Основной характеристикой является коэффициент усиления - модуль отношения функций в единице и в нуле (для граничных условий второго рода) или модуль отношения производных собственной функции в единице и в нуле. Для трех классических форм концентратора еще пятьдесят лет были получены аналитические выражения для коэффициента усиления, распределения скоростей и деформаций, но только для граничных условий второго рода. В работе получены выражения для коэффициентов усиления и в случае граничных условий первого рода.

2. Обзор работ по теме по теме диссертации.

Задача Штурма-Лиувилля возникает в совершенно различных областях ме: ханики. Здесь будет дан лишь краткий обзор работ по данной тематике, которые имеют отношение к задачам, рассматриваемых в диссертации. Более подробные обзоры можно найти в работах [35],[98].

Аналитическое исследование ультразвуковых концентраторов (трансформаторов скорости) конического, экспоненциального и катеноидального профилей при граничных условиях второго рода (на границах концентратора заданы производные функции) проведено в работе [49]. Поведение упругих концентраторов может моделироваться задачей о продольных колебаниях стержней с переменным поперечным сечением. Предполагается, что при прохождении волн напряжения волновой фронт остается плоским, а напряжение равномерно распределяется по сечению. В статье выведены уравнения для расчетов резонансных размеров концентраторов и коэффициентов усилений по колебательной скорости. Показано, что наиболее выгодным с точки зрения получения больших усилий, является катеноидальный концентратор (из рассмотренных). Проведенные в статье расчеты были проведены без учета радиальных смещений, поэтому проведено вычисление поправки для учета поперечных деформаций.

В статье [50] автор переходит от рассмотрения классических типов концентраторов к составным концентраторам, которые образованы соединением стержней постоянного и переменного сечений. Составные концентраторы позволяют получать значительно большие коэффициенты усиления по сравнению с концентраторами простейших типов (при одинаковых размерах оснований), поэтому их целесообразно применять в ультразвуковых установках, где требуются большие амплитуды колебаний и деформаций, при исследовании пластических свойств материалов, исследовании поглощения ультразвуковых воли больших амплитуд в твердых телах и т.д. В статье в общем виде получены выражения для условия резонанса, коэффициента усиления и входного сопротивления. Численно проанализированы практически важные частные случаи и найдены оптимальные формы концентраторов. Построены характеристики вдоль входных сопротивлений различных концентраторов вблизи частоты резонанса. Показано, что с точки зрения получения наибольших усилений наиболее выгодными являются ступенчатый концентратор и концентратор, состоящий из конического профиля с цилиндрическим стержнем на узкой части. Приведены некоторые результаты экспериментальных исследований.

Первоначально для указанных целей использовались концентраторы, работающие только на продольных колебаниях. В работе [94] показано, что для расчета крутильных концентраторов можно использовать результаты анализа концентраторов, работающих па продольных колебаниях.

В работе [55] исследовано уменьшение коэффициента усиления фокусирующих систем и излучателей, обусловленное нелинейными искажениями формы волны. Получено выражение для параметра, позволяющее оценивать фокусирующие системы с точки зрения влияния нелинейных эффектов на их коэффициенты усиления.

В ряде работ, преимущественно Розенбергом [72], были рассчитаны коэффициенты усиления звукового давления и колебательной скорости в фокусе различных звуковых фокусирующих систем, характеризуемых неравномерным распределением амплитуды по волновому фронту. Полученные функциональные зависимости коэффициентов усиления от отдельных параметров этих систем позволили найти их оптимальные величины и сравнить между собой различные фокусирующие системы по их предельно-возможным коэффициентам усиления. В [80] описывается приближенный метод вычисления зависимости коэффициентов усиления фокусирующих систем от неравномерности распределения амплитуды по волновому фронту. Суть метода заключается в том, что в начале численно рассчитывается распределение амплитуды по волновому фронту. Затем эти числовые функции приближенно заменяются суммой членов ряда, для которого выполнено интегрирование и вычислены соответствующие таблицы. Это позволяет с необходимой для практики точностью определить коэффициент усиления любой радиально-симметричной звуковой фокусирующей системы и оценить его зависимость от отдельных параметров системы.

В [46] исследуется рассеяние плоской монохроматической звуковой волны на тонком ограниченном упругом стержне кругового сечения с учетом продольных и изгибных колебаний стержня. Найдено, что колебания стержня могут приводить, к изменению угловой характеристики рассеяния. Установлено, что при некоторых углах падения звуковой волны на стержень наблюдается сильное рассеяние в направлении, противоположном направлению падающей звуковой волны, так называемое незеркальное отражение. Отмечается, что при рассмотрении вопроса о колебаниях тонкого стержня (так же как и тонкой пластинки) под действием поперечной силы важно учитывать не только поперечные изгибные колебания, но и поперечные колебания сжатия (продольные колебания) . Приводится неоднородное волновое уравнение при продольных колебаниях стержня с учетом поперечных внешних сил, действующих на стержень, а также эквивалентное ему уравнение для поперечных колебаний стержня (ставится задача Штурма-Лиувилля).

Концентраторы колебаний широко применяются для увеличения амплитуды колебательной скорости. Наибольший коэффициент усиления имеет ступенчатый концентратор. Однако он часто не может быть использован из-за чрезмерной концентрации напряжений, приводящей к его разрушению. Концентраторы с плавным распределением напряжений, как правило, имеют небольшой коэффициент усиления, но зато они прочные, так как напряжение по длине распределено плавно. Другие типы используемых концентраторов также имеют определенные достоинства,, по ни один из них достаточно полно не удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к концентраторам. Это объясняется тем, что все используемые концентраторы получены путем анализа уравнения колебаний для отдельных случаев. Автор статьи [88] считает, что лучшие результаты могут быть получены путем синтеза. Рассматривается следующая постановка задачи синтеза концентраторов. Для заданного отношения площадей входного и выходного торцов концентратора требуется получить максимальный коэффициент усиления по амплитуде смещения, при условии, что напряжения в концентраторе не превосходят предельно допустимое значение.

Интенсивное и разнообразное использование концентраторов в технике и научных исследованиях приводит к необходимости выбора формы концентратора с учетом целого ряда требований. Раньше для проектирования концентраторов использовались традиционные методы перебора вариантов, сопровождающиеся расчетом или, более того, экспериментальным исследованием каждого из них. После этого на основании одного или группы критериев производился выбор "наилучшего"варианта. Зачастую рассмотрение ограничивается лишь теми конфигурациями стержней переменного сечения, для которых возможно аналитическое решение уравнения собственных форм, или их комбинаций - составными концентраторами. В [15] рассмотрены задачи оптимального проектирования концентраторов по критериям максимума коэффициента усиления, минимума максимальных напряжений и пкомпромиссное"проектирование по обоим критериям. Варьируются длина и форма концентратора при заданной его собственной частоте.

В [11] изучается спектральная задача Штурма-Лиувилля —и" + q(x)u(x) = Аи(х), и'(0) = 0, и'(тт) = m\u(ir), где А - спектральный, am- физический параметры. При m < 0 задаче ставится в соответствие самосопряженный оператор в пространстве Понтрягина П1. Используя этот факт и развивая аналитические методы теории операторов Штурма-Лиувилля, в работе находится динамика собственных значений и собственных функций задачи при m —» 0.

В [31] рассмотрены особенности оптимизации высокоамплитудных ультразвуковых стержневых волноводов-инструментов (ВИ) продольных колебаний, применяемых при аспирации мягких тканей, обработки инфицированных ран. Для ВИ с тремя типами рабочих окончаний поставлена и решена задача оптимизации геометрии при ограничениях на фазовые переменные и управление. Использовалась модель продольных колебаний бруса переменного сечения с учетом внутреннего трения и поправкой Рэлея на радиальные колебания. В результате решения задачи нелинейного программирования определялась форма продольного стержневого ВИ, при которой для заданной резонансной частоты, добротности и коэффициента усиления фактор формы волновода максимален.

В [90] рассматриваются стационарные задачи конвекции изотермически несжимаемой жидкости в горизонтальном слое. Границы слоя могут быть свободными недеформируемыми или абсолютно твердыми. В данной работе показано, что возникающие спектральные задачи принадлежат классу осцилляционных, откуда следует существование счетного числа простых положительных собственных значений. В рассматриваемых задачах роль собственных значений играют числа Рэлея, таким образом, строго доказано существование порога монотонной неустойчивости.

В статье [28] рассматривается известное в гидродинамике дифференциальное уравнение Орра-Зоммерфельда и предлагается новый алгоритм вычисления комплексных собственных значений, основанный на идеях теории операторов в гильбертовом пространстве. Приведены некоторые числовые результаты. В [37] рассматриваются вопросы получения приближенных аналитических решений линейных и нелинейных задач тепломассопереноса, теплового воспламенения и термоупругости для однослойных и многослойных конструкций, а также улучшения сходимости рядов Фурье-Ханкеля на основе спектральных задач Штурма-Лиувилля в теории интегральных преобразований в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат. Приводятся практические таблицы интегральных преобразований в конечных и бесконечных областях, позволяющие по стандартной схеме выписать аналитические решения краевых задач нестационарной и стационарной теплопроводности в одно-, двух- и трехмерном случаях при общем виде краевых условий. Рассматриваются аналитические методы решения краевых задач нестационарной теплопроводности в областях с движущимися границами, новые интегральные соотношения для аналитических решений гиперболических моделей переноса, проблема теплового удара и динамическая термоупругость, новый подход к определению собственных чисел краевой задачи Штурма-Лиувилля.

В нанотехнологиях при облучениях кристаллов (диэлектриков) жестким рентгеном возникают протяженные структуры. Поперечный размер которых имеет порядок в несколько ангстрем. Простейшей моделью такой структуры в трехмерном пространстве является бесконечная тонкая цилиндрическая трубка. В работе [10] построены быстроосцилирующие решения уравнения Шредин-гера в тонких цилиндрических трубках. Длина волн волновой функции предполагается сравнимой с диаметром трубки. Рассмотрены две задачи: специальная задача Коши и спектральная задача. В первом случае решение описывает движение по трубке, во втором - стационарные и квазистационарные состояния. Ответ выражается с помощью одномерного канонического оператора Маслова.

Используя асимптотический метод в статье [109] автор исследует задачу Штурма-Лиувилля, получает некоторые факты, относящиеся к собственным значениям и собственным функциям, к расположению нулей собственных функций и др. С использованием теории расходящихся рядов получены также некоторые числовые результаты, в частности, дана таблица первых 20 собственных значений с 6 десятичными знаками. В работе [59] рассматривается задача по определению собственной частоты при кручении бруса прямоугольного поперечного сечения. Описывается брус постоянного прямоугольного поперечного сечения с цементированным поверхностным слоем, на одном конце которого закреплен диск, другой конец имеет жесткую заделку.

В [100] рассматривается задача Штурма-Лиувилля с граничными условиями третьего рода и при помощи теоремы Котельникова-Шеннона об отсчетах разработан очень эффективный вычислительный алгоритм для вычисления собственных значений с большой точностью. Метод не требует никаких интегрирований и позволяет получить аппроксимации для собственных значений с очень малой ценой машинного времени. В работе [13] рассматриваются некоторые частные случаи трансцендентных уравнений для определения собственных чисел задачи Штурма-Лиувилля при расчете магнитного поля. Предлагаются аналитические решения этих уравнений.

В [2] проводится исследование собственных частот и форм поперечных колебаний стержня, вращающегося вокруг фиксированной на его конце оси. Рассматриваются случаи малых, умеренно больших и асимптотически больших угловых скоростей вращения. Детальный анализ проводится в случае однородного стержня с защемленным левым и со свободным правым концом. С помощью оригинального алгоритма построены зависимости собственных частот и форм от скорости вращения для низших мод колебаний. Установлена эволюция к модели, соответствующей колебаниям быстро вращающейся нити под действием центробежных сил инерции. Показано, что при увеличении угловой скорости вращения собственные частоты возрастают практически линейно. Результаты представляют интерес для технических приложений применительно к исследованию колебаний чувствительных элементов высокоточных приборов, быстро-вращающихся протяженных элементов механизмов (лопаток турбин, лопастей воздушных винтов и др.).

В статье [20] предложен метод решения уравнения Шредингера с анизотропным потенциалом конечной глубины для связанных состояний Е < 0. Одноча-стичная волновая функция представлена как суперпозиция собственных волновых функций задачи Штурма - Лиувилля. Проблема учета влияния непрерывного спектра на связанные состояния решается автоматически.

3. Содержание.

Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов и списка литературы.

Результаты работы опубликованы в [1], [69], [68].

Заключение

1. Акуленко Л.Д., Георгиевский Д.В., Нестеров С.В., Промыслова А. С. Возмущение собственных значений в обобщенной задаче Рэлея//Докл. РАН. 2008. Т.422. №5.

2. Акуленко Л.Д., Коровина Л.И., Нестеров С.В. Собственные поперечные колебания вращающегося стержня //Изв. РАН. МТТ. 2007. №. 1. С. 3-14.

3. Акуленко Л.Д., Нестеров С.В. Эффективное решение задачи Штурма-Лиувилля//Докл. РАН. 1996. Т.347. №1. С. 44-46.

4. Акуленко Л.Д., Нестеров С.В. Эффективный метод исследования колебаний существенно неоднородных распределенных систем//ПММ. 1997. Т. 61. вып. 3. С.466-478.

5. Акуленко Л Д., Нестеров С. В. Собственные колебания распределенных неоднородных систем, описываемых обобщенными краевыми задачами// ПММ. 1999. Т. 63. вып. 4. С. 645-654.

6. Акуленко Л.Д., Нестеров С.В. Эффективный метод исследования колебаний существенно неоднородных распределенных систем //ПММ. 1997. Т. 61. вып. 3. С. 466-478.

7. Арутюнян Н. X., Абрамян Б. Л. Кручение упругих тел. М.: Физматгиз, 1963.

8. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. Москва-Санкт-Петербург: Физматлит, 2000. 622 с.

9. Бахвалов Н. С., Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984. 352 с.

10. Белов В.В., Доброхотов С.Ю., Сииицын С.О. Асимптотические решения уравнения Шредингера в тонких трубках //УрО РАН. Труды института механики и математики. Екатеринбург, 2003. Т. 9. №1. С. 15-25.

11. Бен Амара Ж., Шкаликов А.А. Задача Штурма—Лиувилля с физическим и спектральным параметрами в граничном условии //Мат. заметки. 1999. Т. 66. №2. С. 163-172.

12. Бетчов Г., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости. М.: Мир, 1971. 352 с.

13. Бланк А.В., Свинцов А.А. Определение собственных чисел задачи Штурма-Лиувилля при аналитическом расчете магнитного поля в электрических машинах//Доклады Академии наук высшей школы РФ. 2006. Т.7. №2.

14. Бобровницкий Ю.И. Законы сохранения в акустике//Акустический журнал. 2005. Т. 51. №1. С.59-67.

15. Богомолов С.И., Симеон Э.А. Оптимальное проектирование концентраторов ультразвуковых колебаний //Акустический журнал. 1981. Т. 24. №4.

16. Болотин В. В., Новичков Ю. Н. Механика многослойных конструкций. М.:• Машиностроение, 1980. 376 с.

17. Буров А.К. Получение ультраакустических колебаний высокой интенсивности для воздействия на злокачественные опухоли у животных и человека// Докл. АН СССР. 1956. Т.106. №2. С. 239-241.

18. Васильев В. В. Механика конструкций из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1988.

19. Владимиров B.C., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. М.: Физматлит, 2000. 399 с.

20. Гареев Ф.А., Иванова С.П., Ширикова Н.Ю. Применение функций Штур-маЦЛиувилля для решения уравнения Шредингера с анизотропным потенциалом Саксона Вудса //ТМФ. 1971. №8. Т.1. С. 97 - 108.

21. Георгиевский Д. В. Устойчивость процессов деформирования вязкопласти-ческих тел. М.: УРСС, 1998. 176 с.

22. Георгиевский Д-В. О единственности исследуемых на устойчивость решений некоторых задач МСС //Вестник МГУ. Сер. 1. Математика. Механика. 2007. №5. С. 48-52.

23. Георгиевский Д.В., Промыслова А. С. Анализ спектральных кривых в обобщенной задаче Рэлея методом ускоренной сходимости //Тезисы докладов. Научная конференция Ломоносовские чтения. Секция механика. М.: Издательство Московского Университета. 2007. С.56.

24. Георгиевский Д.В., Промыслова А. С. Задачи на собственные значения, моделирующие продольные колебания упругих стержней переменного поперечного сечения// Тезисы докладов. Научная конференция Ломоносовские чтения. Секция механика. 2008.

25. Голъдберг З.А. О взаимодействии плоских продольных и поперечных упругих волн//Акустический журнал. 1960. Т. 6. JY°3. С. 307-310.

26. Гутин Л.Я. К теории параболического концентратора звука//ИЭСТ. 1935. №9. с. 9-25.

27. Динариев О.Ю., Николаевский В.Н. Колебания с высокой добротностью в слоистой упругой среде//Акустический журнал. 2005. Т. 51. №5. С. 623-627.

28. Дубровский В.В., Кадченко С.И., Кравченко В.Ф., Садовничий В.А. Новый метод приближенного вычисления первых собственных чисел спектральной задачи Орра-Зоммерфельда//Докл. РАН. 2001. 378. С. 443-446

29. Зарембо Л.К., Красильников В.А., Шкловская-Корди В.В. О распространении ультразвуковых волн конечной амплитуды в жидкостях//Акустический журнал. 1957. Т.З. №1. С. 29-36.

30. Камке. Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1965. 703 с.

31. Квашнин С.Е. Оптимизация формы ультразвуковых стержневых концентраторов продольных колебаний для хирургии//Биомедицинская радиоэлектроника. 2001. № 2. С. 54-61.

32. Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике. М.: Мир, 1978. 518 с.

33. Кийко И.А., Чарухчев А.Д. Устойчивость упругопластического стержня переменного поперечного сечения//Изв. РАН МТТ. 1992. №5. С. 170-174.

34. Козырев О. Р., Степанянц Ю. А. //ВИНИТИ, Итоги науки и техники. Сер. Механика жидкости и газа. 1991. Т. 25. С. 3-89.

35. Коллатц Л. Задачи на собственные значения. М.: Наука, 1968. 503 с.

36. Крылов Н.М. Методы приближенного решения задач математической физики// Избр. труды. АН УССР. Киев, 1961.

37. Кудииов В.А., Карташов Э.М., Калашников В.В. Аналитические решения задач тепломассопереноса и термоупругости для многослойных конструкций. М.: Высшая школа, 2003. 467 с.

38. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики, Т.1. Москва-Санкт-Петербург: Гостехиздт, 1951. 476 с.

39. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. М.: ГИТЛ, 1954.

40. Лейбензон Л. С. Курс теории упругости. М.: Гостехиздат, 1947.

41. Лехницкий С. Г. Кручение анизотропных и неоднородных стержней. М.: Наука, 1971.

42. Ломакин В. А. Теория упругости неоднородных тел. М.: МГУ, 1976. 367 с.

43. Ломакин В. А., Шейнин В. И. О применимости метода малого параметра для оценки напряжений в неоднородных упругих средах//МТТ. 1973. №3. С.33-39.

44. Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 940 с.

45. Ляв А. Математическая теория упругости. M-JL: ОНТИ НКТП СССР, 1935. 676 с.

46. Лямшеу Л.М. Рассеяние звука тонким ограниченным стержнем//Акустический журнал. 1959. Т. 6. №1. С. 351-58.

47. Макаров Л. О■ О работе стержневого концентратора в нагруженном режиме//Акустический журнал. 1959. Т. 5. №3. С. 373-374.

48. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев: На-укова Думка, 1977. 331 с.

49. Меркулов Л.Г. Расчет ультразвуковых концентраторов//Акустический журнал. 1957. Т. 3. №3. С. 230-238.

50. Меркулов Л.Г., Харитонов А.В. Теория и расчет составных концентраторов//Акустический журнал. 1959. Т. 5. №2. С. 183-190.

51. Михлин С.Г. Курс математической физики. М.: Наука, 1968. 576 с.

52. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.

53. Нарайкин О. С., Борисов В.П. Динамическая устойчивость ультразвуковых инструментов. М.: Труды МВТУ им.Н.Э.Баумана, 1974.

54. Наугольных К.А.,Романенко Е.В. К вопросу о распространении волн конечной амплитуды в жидкости//Акустический журнал. 1958. Т. 4. № 2. С. 200202.

55. Наугольных К.А.,Романенко Е.В. О Зависимости коэффициента усиления фокусирующей системы от интенсивности звука//Акустический журнал. 1959. Т. 5. №2. С. 191-195.

56. Наугольных К.А.,Розенберг Л.Д. Об оптимальном режиме работы мощного концентратора//Акустический журнал. 1960. Т. 6. №3. С. 352-355.

57. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

58. Пирс А.Д. Колебания сферических включений в упругих твердых телах// Акустический журнал. 2005. Т. 21. №1. С. 9-23.

59. Победря Б. Е. Лекции по тензорному анализу. 2-е изд. М.: МГУ, 1979. 207 с.

60. Победря Б. Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: МГУ, 1981. 344 с.

61. Победря Б. Е. Механика композиционных материалов. М.: МГУ, 1984. 336 с.

62. Победря Б. Е., Горбачев В. И. О статических задачах упругих компози-тов//Вестник МГУ, сер. математика и механика. 1975. №5. С. 101-111.

63. Победря Б. Е., Горбачев В. И. Концентрация напряжений и деформаций в композитах//Механика композитных материалов. 1984. №2.

64. Победря Б. В., Горбачев В. И. Об упругом равновесии неоднородных по-лос//Известия АН СССР. МТТ. 1979. №5. С. 111-118.

65. Победря Б.Е., Георгиевский Д. В. Лекции по теории упругости. М.: Эдито-риал УРСС, 1999. 206 с.

66. Промыслова А. С. Метод ускоренной сходимости в задаче о продольных колебаниях упругих стержней переменного сечения (концентраторов) // Тезисы докладов. Научная конференция Ломоносов-2008. Секция механика. 2008.

67. Промыслова А.С. Продольные колебания упругих стержней переменного сечения (концептраторов)//МТТ. 2008. №6.

68. Промыслова А. С. Решение обобщенной задачи Штурма-Лиувилля с комплексными коэффициентами методом ускоренной сходимости//Вестник МГУ. 2008. №2. С. 59-61.

69. Раппопорт Р. М. К вопросу о построении решений осесимметричной и плоской задач теории упругости многослойной среды//ВНИИГ. 1963. Т. 73. С. 193-204.

70. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985. 592 с.

71. Розеиберг Л.Д. Об условиях получения наибольшей концентрации ультра-звука//Докл. АН СССР. 1954. Т. 94. №5. С. 845-848.

72. Романенко Е.В. Экспериментальное исследование распространения сферических волн конечной амплитуды//Акустический журнал. 1959. Т. 5. №1. С. 101-105.

73. Лорд Рэлей Теория звука, Т.1. М.:Гос.издательство технико-теореритической литературой, 1955. 504 с.

74. Лорд Рэлей Теория звука, Т.2. М.:Гос.издательство технико-теореритической литературой, 1955. 475 с.

75. Седое Л. И. Механика сплошной среды. М.:Наука, 1973.

76. Сорокин Е.С. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем. М.: 1960.

77. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.:Гостехиздат, 1953. 486 с.

78. Тарнопольский Ю. М. Инженерная механика композитов. Обзор//Прикладная механика композитов. Серия "Новое в зарубежной механике". 1989. вып. 44. №1. С. 342-357.

79. Тартаковский Б.Д. Метод расчета коэффициента усиления сходящихся звуковых волновых пучков//Акустический журнал. 1959. Т. 5. №4. С.450-458.

80. Тартаковский Б.Д. О переходе звуковых волн через границы твердых и жидких сред//Ж. техн. физ. 1951. Т. 21. №10. С. 1194-1201.

81. Теумин И. И. Коэффициент полезного действия ультразвуковых концен-траторов//Акустический журнал. 1963. Т. 9. №2. С. 205-207.

82. Теумин И.И. Измерение мощности упругих колебаний, вводимых в нагрузку//Акустический журнал. 1962. Т. 8. №3. С. 372-373.

83. Теумин И.И. Ультразвуковые колебательные системы. М.:Машгиз, 1959.

84. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. Москва-Санкт-Петербург: Гостехиздат, 1946. 532 с.

85. Тимошенко С.П., Яиг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле. М.:Наука, 1967. 444 с.

86. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.:Наука, 1966. 724 с.

87. Тихонравов А.В. Об оптимальной форме концентраторов ультразвуковых колебаний//Акустический журнал. 1980. Т. 26. №2. С. 274-280.

88. Троицкий В.А. Оптимальные процессы колебаний механический систем. JL Машиностроение, 1976.

89. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа, часть 2. Трансцендентные функции. М.:Физматгиз, 1963. 515 с.

90. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. Киев:Наукова думка, 1970. 734 с.

91. Хаминов Д.В. Зависимость коэффициента усиления звуковой фокусирующей системы от интенсивности ультразвука в воде//Акустический журнал. 1957. Т. 3. №3. С. 294-296.

92. Харитонов А.В. Крутильные ультразвуковые концентраторы//Акустический журнал. 1961. Т. 3. №3. С.387-389.

93. Шапиро Г. С. О распределении напряжений в неограниченном слое//ПММ. 1944. Т. 8. вып. 2. С. 167-168.

94. Шемякин Е.И. (ред.), Смирнов Н.Н. (ред.), Натяганов В.Л. (ред.) Газовая и волновая динамика. М.:Айрис-пресс, 2005. 378 с.

95. Шлихтинг Г. Возникновение турбулентности. М.:Ил, 1962. 204 с.

96. Akulenko L.D., Nesterov S.V. High-precision methods in eigenvalue problems and their applications. USA, CHAPMAN and HALL/CRC, 2005. 239 p.

97. Anastassiou G. Handbook of Analitic Computational Methods in Applied Mathematics. CRC Press, Boca Raton, 2000.

98. Chanane Bilal Computation of the eigenvalues of Sturm — Liouville problems with parameter dependent boundary conditions using the regularized sampling method//Math. Comput. 2005. Vol. 74. p. 1793-1801

99. Chehil D.S., Heaps H.S. Effect of Lateral Motion on Longitudial Vibration of Tapered Bars// Journal of the Acoustical society of America. Vol. 43. №3. 1968. p. 540-544.

100. Eisner ^.Design of sonic amplitude transformers for high magnification// Journal of the Acoustical society of America. Vol. 35. №9. 1963.

101. Eisner KTorsionally Resonant Amplitude Transformers for High Magnification// Journal of the Acoustical society of America. Vol. 36. №1. 1964. p. 3-11.

102. Hinton D.,Schaefer P. W. (Editors) Special Teory and Computational Methods of Sturm-Liouville Problems. New York: Marcel Dekker, 1997.

103. Hunt F. KStress and Strain Limits of the Attainable Velocity in Mechanical Vibration// Journal of the Acoustical society of America. Vol. 32. №2. 1960.

104. Kleesattel C. Vibrator Ampullaceus//Acustica. Vol. 12. №5. 1962.

105. Kurant R., Hilbert D. Methods of Mathematical Phisics, Volsl and 2. USA, New York, 1989.

106. Pryce J.D. Numerical Solution of Sturm-Liouville Problem. Oxford:Clarendon Press, 1994.

107. Tai Trinh Due On the Sturm-Liouville problem for the complex cubic oscillator.// Asymptotic Anal. 2004. Vol. 40. p. 211-234.

108. Thuras A.L., Jenkins R.T., О'Neil H. T.Extraneous frequencies generated in air carrying intense aound waves.// Journal of the Acoustical society of America. 1934. p. 173-180.