Асимптотические формулы и теоремы равносходимости для одного класса дифференциальных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова

факультет Вычислительной Математики и Кибернетики

Швейкина Ольга Александровна

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ И ТЕОРЕМЫ РАВНОСХОДИМОСТИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

01.01.02. — Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

АВТОРЕФЕРАТ

1 ^ ^ 1 г

II ¿и1Э

Москва, 2014

005557650

005557650

Работа выполнена на кафедре общей математики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского Государственного Университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: Садовничая Инна Викторовна

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры общей математики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского Государственного Университета имени М.В. Ломоносова.

Официальные оппоненты: Макин Александр Сергеевич

доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Высшая математика» факультета информатики Московского государственного университета приборостроения и информатики (МГУПИ); Артамонов Никита Вячеславович кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой «Эконометрика и математические методы анализа экономики» факультета международных экономических отношений Московского государственного института международных отношений (Университета) МИД России (МГИМО(у)).

Ведущая организация: Башкирский государственный университет (Уфа).

Защита состоится 11 февраля 2015 г. в 15 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.43 ФГБОУ ВПО "Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова" по адресу: г. Москва, ГСП-1, Ленинские горы, МГУ, д. 1, стр. 52, 2-й учебный корпус, факультет вычислительной математики и кибернетики.

С диссертацией и авторефератом можно ознакомиться в Научной библиотеке ФГБОУ ВПО "Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова а также на официальном сайте факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова: http://cs.msu.ru в разделе "Диссертации".

Автореферат разослан « » 201 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.43,

доктор физико-математических наук, профессор Е. В. Захаров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Настоящая диссертация является исследованием спектральных свойств операторов Штурма-Лиувилля, порождаемых на конечном интервале (а, 6) 6® дифференциальным выражением

1(у) = ~у" + 9(х)у. (1)

В классической теории обычным условием на функцию д{х) является условие д{х) 6 1а,¡ос(а, Ь), т.е. функция предполагается суммируемой на любом отрезке, компактно вложенном в (а, Ь), а сингулярные операторы Штурма-Лиувилля характеризуются тем, что либо функция д(х) не суммируема на отрезке [а, 6] (имеется неиитегрируемак особенность по крайней мере на одном из концов отрезка), либо интервал (а, Ь) бесконечен. В диссертации изучаются операторы с потенциалами ц € И^-1 [а, Ь] из пространства Соболева с отрицательным «показателем гладкости». В частности, потенциал может иметь неинтегрируемые особенности внутри интервала. Например, в качестве д(х) можно взять функцию (х — с)°, где с е (а, Ь), а > -3/2 или д(х) = 6(х - с). Такие функции мы будем понимать в смысле теории распределений.

Задачи об изучении оператора Штурма-Лиувилля и его многомерных аналогов —Д+<7(:г) с потенциалами короткого взаимодействия (типа ¿-функции) возникли в физической литературе. Математические исследования соответствующих физических моделей были инициированы в начале 60-х годов в работах Ф. А. Березина, Л. Д. Фаддеева и Р. А. Минлоса. В этих работах основной идеей была подходящая регуляризация потенциала. Эта тематика интенсивно развивалась в последние четыре десятилетия. Имеются монографии С. Альбеверио, Ф. Гештези, Р. Хоэг-Крона и X. Хольдена, В. Д. Кошманен-ко, С. Альбеверио и П. Курасова, где можно познакомиться с подробностями теории Березина-Минлоса-Фадцеева в ее современном состоянии и другими новыми направлениями, возникшими на основе этой теории. Там же можно познакомиться с обширной библиографией.

Другой подход к изучению операторов Штурма-Лиувилля с неклассическими потенциалами д(х), являющимися производными от функций ограниченной вариации (зарядами), был предпринят М. Г. Крейном, И. С. Кацем, Ф. Аткинсоном и В. В. Жиковым. На этом пути в работе В. А. Винокурова и В. А. Садовничего получены асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций такого класса операторов. Из потенциалов, не принадлежащих последнему классу, изучался кулоновский потенциал

q(x) — \/x на отрезке [—1,1] или на прямой R, например, в работах Я. Гунсо-на, П. Курасова, Ф. Аткинсона, В. Эверитта и А. Зеттла. Вопросы базисности и асимптотические формулы для потенциалов подобного и более высоких порядков сингулярности изучались также в работах Л. В. Крицкова, И. С. Ломова, О. В. Белянцева.

В работе А. М. Савчука и А. А. Шкаликова 1 (см. также работу М. И. Неймана-заде и А. А. Шкаликова) было показано, что оператор Штурма-Лиувилля можно корректно определить для всех потенциалов q{x), являющихся сингулярными распределениями первого порядка. Вскоре появились работы Р. Гринива и Я. Микитюка, где этот подход получил существенное развитие, в особенности при решении обратной задачи Штурма-Лиувилля с неклассическими потенциалами.

В последнее время эти операторы активно изучаются. Так, в работах А. М. Савчука и А. А. Шкаликова исследованы различные аспекты решения обратных задач для операторов с такими потенциалами. В работах Б. Митя-гина и П. Джакова рассмотрены вопросы равносходимости, базисности и т.п. для операторов с периодическими и антипериодическими краевыми условиями. Изучались потенциалы вида £fceZct<5(x - afc) на всей оси и на полуоси (см., например, работу М. М. Маламуда и А. С. Костенко). В работах К. А. Мирзоева и Н. Н. Конечной рассматривались ¡вопросы об индексах дефекта операторов с сингулярными потенциалами на полуоси.

Задача равносходимости разложений по собственным функциям возмущенного и невозмущенного операторов хорошо известна в классической теории операторов Штурма-Лиувилля (в случае, когда потенциал q локально суммируем). Первые работы по ее решению принадлежат У. Дини, В. А. Стеклову,

A. Хаару, М. Стоуну. В монографии В. А. Марченко доказана равномерная равносходимость в случае, если раскладываемая функция / е L2[0,7г], a q — комплекснозначная суммируемая функция. В. А. Ильин показал, что равносходимость имеет место на любом компакте, лежащем внутри отрезка, в случае, когда / £ Li[0, п], q — комплекснозначная суммируемая функция. Вопрос о скорости равносходимости для классических потенциалов изучался в статьях В. А. Ильина, И. С. Ломова, А. М. Гомилко и Г. В. Радзиевского,

B. С. Рыхлова, В. М. Курбанова. Вопросы равносходимости для операторов с сингулярными потенциалами изучались в работах В. А. Винокурова и

'Савчук A.M., Шкаликов A.A. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами // Ма~ тем. заметки, Т. 66. №6,1999, С. 897-912.

В. А. Садовничего, Б. Митягина и П. Джакова, И. В. Садовничей 2.

Цель работы.

• Изучить асимптотическое поведение (при больших значениях спектрального параметра) собственных значений операторов Штурма-Лиувилля (1) с различными краевыми условиями, получить соответствующие асимптотические формулы.

• Выяснить асимптотическое поведение собственных и присоединенных функций этих операторов.

• Установить факты равносходимости по системам собственных и присоединенных функций возмущенного и невозмущенного операторов для различных типов краевых условий.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

• Получены асимптотические формулы для собственных значений операторов Штурма-Лиувилля (1) для различных видов граничных условий.

• Получены асимптотические формулы для собственных и присоединенных функций операторов Штурма-Лиувилля (1) для различных видов граничных условий.

• Найдены в явном виде первые и вторые члены асимптотик для собственных и присоединенных функций операторов Штурма-Лиувилля (1) с граничными условиями различных типов, а также для функций биорто-гональной системы.

• Доказаны теоремы равносходимости разложения в ряд по системе синусов/косинусов и по собственным функциям операторов Штурма-Лиувилля (1) для различных видов граничных условий и получена оценка на ее скорость.

Методы исследования. В работе применяются методы функционального и комплексного анализа, спектральная теория дифференциальных операторов, а также теория рядов Фурье. »_

2Садовничая И.В. О равносходимости разложений в ряды по собственным функциям операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами — распределениями // Матем. сборник, Т. 201, №3,2010, С. 61-76.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Её результаты вносят вклад в изучение операторов Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами и могут найти применение в дальнейших исследованиях спектральных свойств дифференциальных операторов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались автором на следующих конференциях:

• 4-я Международная конференция «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования». Доклад: «О равносходимости разложений в ряды по собственным функциям оператора Штурма-Лиувилля». 2013г.;

• Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Доклад: «Теоремы о равносходимости для операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами - распределениями». 2012г.;

• Научная конференция «Ломоносовские чтения — 2011». Доклад: «Об асимптотике собственных функций операторов Штурма-Лиувилля». 2011г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы ? пяти работах автора, список которых приведен в конце автореферата, из них две работы [1], [2] опубликованы в журналах перечня ВАК.

Во всех работах автором постановки задач является научный руководитель, доцент И. В. Садовничая. Поставленные задачи были успешно решены автором диссертации в статьях [1], [2]. В работе [1] автором диссертации проведены аналитические исследования поведения собственных значений и собственных функций оператора Штурма-Лиувилля. В работе [2] эти результаты были обобщены на различные типы краевых условий. Далее полученные данные применялись в доказательстве теорем равносходимости.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых в общей сложности на 16 параграфов. Объем диссертации 110 страниц. Список литературы включает 71 наименование.

б

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан обзор по теме диссертации, раскрыты актуальность, цели и задачи, сформулированы рассматриваемые в диссертации вопросы и изложены основные результаты.

Глава 1 посвящена поиску асимптотик собственных значений операторов Штурма-Лиувилля. В разделе 1 приведены предварительные сведения о рассматриваемых операторах, а также описаны подходы к их определению. В разделе 2 введены типы исследуемых операторов, подробно изученные в разделе 3, где доказаны асимптотические формулы для собственных значений операторов с различными граничными условиями. Далее в разделе 3 сформулирована основая теорема первой главы, обобщающая полученные результаты.

Теорема 1.4. Для собственных значений {А,,}^ оператора Ь — —¿Р/йх2 — д(х), д(х) = и'(х), и(х) 6 Ьъ, выполнено:

где в случае граничных условий

• Дирихле (у(0) = 0, у(п) = 0) : т = п, с — О,

• Неймана (*/[1](0) = 0, у^я") = 0): тп = п - 1, с = тг/2,

• Дирихле-Неймана (у(0) = 0, уМ(я-) = 0): тп = п - с — 0,

• Неймана-Дирихле (у^(0) = 0, у (к) = 0): тп = п — с = тг/2,

А }/2 = тп--и(с, 7Г, тп2) + р(А„), ,п£№

1

7Г

ГЦ II ГХ

7(с, X, А) = / и(4) ап(2с + 2\1/ЧЩ + / и(«) соз(2с + 2\Щ)<И Мо I |Уо

+2|/ / и(«)и(в)сов(2с + 2А1^)вш(2с + 2А1/ав)ЛЛ + Цо Уо

А"1/2 ['¿®соа(2е + 2\1<3№ + И^НИ, + ||«(с,х, А)||£а. Jo

1 +2

/о

В главе 2 рассматривается асимптотическое поведение собственных и присоединенных функций, а также функций биортогональной системы операторов Штурма-Лиувилля для различных видов краевых условий. В разделе 1 даны определения собственных и присоединенных функций, а в разделе 2 с помощью результатов главы 1 в явном виде получены первые и вторые члены их асимптотик. Основным результатом второй главы является следующая теорема:

Теорема 2.4. Рассмотрим оператор Ь, порожденный дифференциальным выражением -у" 4- д{х)у, где д(х) - и'(х) в смысле распределений, а ком-плекснозначная функция и(х) € Ь2. Обозначим через. {г/п(я)}5£=1 систему собственных и присоединенных функций оператора Ь, через —

биортогональную систему (причем собственные функции мы нормируем условием ЦупН^з = 1Л Тогда

1) Для граничных условий Дирихле (у(0) = 0, у(тг) = 0): тп = п, п € N и справедливы следующие формулы:

уп(х) = ат(пи) + ^ У (я- - г)ид(г) газ(2т*)<Й-~У иЦ) соз(2тг)е^ + 8т(тпх) J и2(г) Бт(2тЬ)(И+

+п!о - аш(2п*)л) + (2)

+ соэ(тя)^У и{Ь) вт(2т4)<Й + 2 J У и(£)и(з) соз(2тг) вт(2тв)йаЛ-

х Г* 2х Гж [* \

— / иф 8т(2т*)£Й--/ / и(4)и(з)с(»(2т4)8т(2тз)сЫ* ) +

"" Л т Л Л /

-~соз(тх)^У и2(£)Л - у и2{Ь)соз{2т£)(И~

+-г

-- f u2(t)dt + — [ u2(i) cos(2mi)di | + p(x, An), 7Г Jo к Jo J

где sup ^¡JLj \p{x, A„)| < C; ur(x) и щ{х) обозначают вещественную и

0<Х<7Г

мнимую части функции и( х) соответственно.

Соответствующие функции биортогональной системы имеют вид:

vn(x) = sin(m:r) + ~ J 4- 2iuj(t)) cos(2mt)dt—

— f uit)cos(2mt)dt] + ■^—sin(mx)(— / u2(t)sin(2m<)di+ Уо J 2m \ Jo

Jo ^ ~ ~ + sin(2mt)dtj + (3)

+ cos(ma;)( / й(£) sin(2mt)di 4- 2 / / Ti(t)Ti(s) cos(2mi) sm(2ms)dsdt-\Jо Jo Jo

x Г 2x Г f% - \

— / u(i) sin(2mi)di--/ / u{t)u{s) cos(2mi) sin(2ms)dsdi ) +

7Г Л к Jo Jo J

+—cos(mx)[ [ u2(t)dt - f tt2(i) cos{2mt)dt— 2m \./o Л

-- [ u2(t)dt + - f u2{t) cos(2mt)dt] + p(x,Xn); к Jo к Jo J

2) Для граничных условий Дирихле-Неймана (у(0) = 0, yW(7r) = 0): т = п— п € N и выполнены равенства (2) и (3);

3) Для граничных условий Неймана (yW(0) = 0, у'1) (л-) = 0): т = п — 1, п € N и верны формулы:

yj^ Уп{х) = cos(mz) - i j (ff - t)uR{t) cos(2mt)dt+

+ J u(t) cos{2mt)dtj + ^cos(ma;)^y u2(t) sm{2mt)dt-

~nJo ^ ~ ~ sm(2mt)dt^ + (4)

+ sin(mx)(j u{t) sm(2rnt)dt - 2 J J u{t)u(s)cos(2mi) sm(2ms)dsdt-

х Г* 2х П Р \

~~JQ «(*) 8ш(2т*)Л + — у J и(£)ф) соз(2т^ 8т(2тз)(18(И]

[ и2{г)(И + - [ и2(г)со5(2тг)<а\+р(х,\п). ' Jo 7Г Уо /

а; +-

7Г .

Яри этом соответствующие функции биортогоналъной системы имеют вид:

£ = соз(тх) - ^ у (тг - г){иц(г) 4- 2ш/(г)) сов(2т«)А+ + J й(г) + соэ(тх)^ й2({) 8т(2т<)<й-

~ + 4™я(*М*)) зт(2т£)л) + (5)

+ Бт(тж)^у Я(4)8т(2т£)сй^ й(г)й(з)соз(2т€)вш(2тз)(1з<И-

х С* _ 2х Г* Г* \

— / и{Ь) вт(2т£)йЬ + — / / й(£)й(б) соз(2т^ 8т(2тз)«Ы4 ) + ^ Уо я Jo Jo )

+- / й2(«)<Й + - / й2(4) ссе(2т*)А) +р(аг,А„).

Т ./О я" Уо /

^ Для граничных условий Неймана-Дирихле (у^(0) = 0, у(7г) = 0): т = п~ п € N и имеют место равенства (4) и (5).

В Главе 3 показывается, как можно применять полученные ранее асимптотики для решения вопроса о равносходимости разложений в ряды по системам собственных и присоединенных функций возмущенного и невозмущенного операторов. Также получены оценки скорости равносходимости. Основным результатом третьей главы является

Теорема 3.4. Рассмотрим оператор Ь, порожденный дифференциальным выражением -у" + ц{х)у, где д(х) = и'(х) в смысле распределений,

а комплекснозначная функция и(х) 6 0,7г]. Пусть ~ систе-

ма собственных и присоединенных функций оператора Ь, причем для собственных функций Нз/п^Нгз = 1, а {ип(я)К5=1— биортогоналъная к ней. Для произвольной функции / € £г[0,7г] обозначим через сп = (/(х),ип(х)), Сп,о = \/2/тг(/(а;), Р[тх)). Тогда имеет место равномерная на всем отрезке [0,7г] равносходимость разложения функции / б ряд по системе {2/п(я0}^1 и по системе {F(ma;)}. При этом скорость равносходимости характеризуется следующим выражением

1 1 [2

11 СпУпЮ - £ V ~СпАР(ТПХ) I \с ^

п=1 п=1 (б)

<си( £ Ко!2)1/2 + ||/||£,Ы[11/2"]) + су-'),

где е € (0,1/2) — произвольное малое положительное число, 11!2~е > Ми, а последовательность {«и(/с)} определяется функцией и(х) и стремится к нулю при к —>• +оо.

Здесь в случае граничных условий

• Дирихле (у{0) = 0, у{ж) = 0) Г(а) = зт(а), т = п, п е К,

• Неймана (г/!1'(0) = 0, = 0) Р{а) = соз(а), т = п - 1, п б N.

• Дирихле-Неймана (у(0) = 0, уМ(7г) = 0) Е(а) = 5т(а), т = п — п е N.

• Неймана-Дирихле (^'(О) = 0, у(-к) = 0) F(а) = соз(а),т = п — п в N.

Благодарности. Автор от всей души благодарит своего научного руководителя Садовничую Инну Викторовну за постановку задачи, постоянное внимание к работе и советы по оформлению научных трудов.

Список литературы

[4] Швейкина О. А. Об асимптотике собственных функций операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами — распределениями // Дифф. уравнения, Т. 49, №8, 2013, С. 985-992.

[2] Швейкина О. А. Обобщенные теоремы об асимптотиках собственных функций операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами — распределениями // Дифф. уравнения, Т. 50, №5, 2014, С. 623-632.

[3] Швейкина О. А. Об асимптотике собственных функций операторов Штурма-Лиувилля // Тезисы докладов на научной конференции «Ломоносовские чтения — 2011», 2011, С. 84-85.

[4] Швейкина О. А. Теоремы о равносходимости для операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами — распределениями // Тезисы докладов на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, 2012, С. 181.

[5] Швейкина О. А. О равносходимости разложений в ряды по собственным функциям оператора Штурма-Лиувилля // Тезисы докладов на международной конференция, посвященной 90-летию Л.Д. Кудрявцева, 2013, С. 260.

Напечатано с готового оригинал-макета

Подписано в печать 15.12.2014 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печл. 1,0. Тираж 70 экз. Заказ 299.

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N00510or01.12.99 г. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 527 к. Тел. 8(495)939-3890/91. Тел./факс 8(495)939-3891.