Теоремы равносходимости для операторов со степенными особенностями в краевых условиях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

Глава I Теорема равносходимости для дифференциальных операторов.

§ I Краевые условия со степенными особенностями

§ 2 Некоторые вспомогательные утверждения

§ 3 Асимптотика собственных значений

§ 4 Теорема равносходимости

Глава П Теорема равносходимости для операторов интегродифференцирования порядка О^бС^- /.

§ 5 Формула резольвенты.

§ 6 Асимптотика собственных значений.

§ 7 Случай абсолютной непрерывности dT^.

§ 8 Теорема равносходимости.

§ 9 Частный случай.

§ 10 Контрпример.

Весьма широко применимой в различных областях современной математики, механики, физики является спектральная теория несамосопряженных операторов. Она включает в себя задачи определения собственных значений, собственных и присоединенных функций, разложения функций в ряд по собственным и присоединенным функциям, в частности, вопросы равносходимости таких разложений с разложениями по известным системам функций и т.д. Интерес к спектральной теории операторов велик, и успехи в ее развитии за последние десятилетия значительны.

Настоящая работа посвящена спектральному анализу операторов, которые объединяет одна общая черта: их краевые условия записываются при помощи интегралов, содержащих степенные особенности. Для таких операторов устанавливается асимптотика собственных значении, доказываются теоремы равносходимости разложений по собственным и присоединенным функциям этих операторов и по тригонометрической системе.

Вопросом о разложении по собственным и присоединенным функциям оператора на отрезке [0 /] , порожденного дифференциальным выражением и линейно-независимыми краевыми условиями

J"' i"' Г 1 одним из первых занимался Дж. Биркгоф [к, 17j. В предположении регулярности паевых условий (0.2) (см.[з], с. 66-67) он решил вопросы о распределении собственных значений, асимптотике собет

- 4 венных функций, сходимости разложения по собственным и присоединенным функциям оператора (0.1)—(0.2) функции ограниченной вариации. Основным средством решения этих вопросов была асимптотика системы решений уравнения (/[ijJ'Al^- 0 цри , полученная Биркгофом в [l2] .

В дальнейшем результат Биркгофа был усилен Я.Д.Тамаркиным, который показал в , что при условии регулярности (0.2) и суммируемости функции ее разложение в ряд по собственным и присоединенным функциям оператора (0.1)-(0.2) равносходится внутри отрезка [О, i] с тригонометрическим рядом Фурье этой функции. Аналогичный результат независимо от Тамаркина получил М.Стоун [б] . Теорема Тамаркина (Стоуна) обобщала теоремы равносходимости, доказанные ранее для краевых задач второго порядка Е.Гобсоном [ie], В.А.Стекловым [19] и А.Хааром [20, 2l].

Интерес к спектральной теории значительно возрос в последние годы. Относительно недавно В.А.Ильин [22-24] доказал равномерную равносходимость с тригонометрическим рядом Фурье разложений в би-ортогональный ряд по собственным и присоединенным функциям несамосопряженного дифференциального оператора, порожденного дифференциальным выражением » с краевыми условиями, обеспечивающими некоторое асимптотическое поведение собственных значений. Теоремы В.А.Ильина, сформулированные в терминах условий на коэффициенты 1[у] и функции биортогональной системы, охватывают ранее известные результаты, касающиеся равносходимости, в частности, случай регулярных краевых условий.

А.П.Хромов [l4,I5] распространил теорему о равносходимости Тамаркина на интегральные операторы, ядра которых обобщают свойства функций Грина оператора (0.1)-(0.2) с регулярными краевыми условиями. А.П.Хромов показал, что такие операторы в определенном смысле являются каноническими в классе интегральных операторов, для которых имеет место равносходимость разложений по собственным и присоединенным функциям с тригонометрическим рядом Фурье.

Все перечисленные выше результаты относятся к случаю, когда краевые условия оператора, будучи записаны с помощью интегралов Стилтьеса от производных функции ^ , включают такие интегралы, где мера имеет скачки на концах рассматриваемого отрезка. Другой случай рассмотрел А.М.Седлецкий [э-Il]. Его результат относится к оператору дифференцирования с краевым условием вида

•У®??®*'0где - функция ограниченной вариации, имеющая предельные значения на концах отрезка^/-^ Ct/J отличные от нуля. Т.е., если записать с помощью интеграла Стилтьеса, то мера не имеет скачков на концах (frj » но ее производная неогра-ничена вблизи этих концов и имеет при подходе к ним степенной рост. В [э] А.М.Седлецкий доказал теорему равносходимости разложений по собственным и присоединенным функциям таких операторов и интегралов Фурье любых суммируемых функций. В [io], усовершенствовав метод доказательства, А.М.Седлецкий установил также асимптотику собственных значений. В отличие от результатов, упоминавшихся выше, доказанная им теорема утверждает равносходимость не внутри промежутка^/-^ dj » а больше: равносходимость на всем отрезке с весом (Z 'Xj . В работе(г^А.М.Седдецкий показал, что если усилить требования к разлагаемой функции, а именно: предположить, что она из Lsp (р>0 » т0 понадобится вес, имеющий меньший, чем в общем случае, порядок стремления к нулю при подходе к концам отрезка.

- 6

Краевое условие (0.3) может быть записано с использованием операторов интегро-дифференцирования дробного порядка в смысле Римана-Лиувилля (см.Щ, с. 567-569), иначе говоря, производных дробного порядка. Это наводит на мысль, что рассматривая краевые условия типа (0.3), естественно рассмотреть дифференциальные операторы не только целого, но и дробного порядка. Наиболее известными работами, касающимися спектрального анализа таких операторов, являются работы М.М.Джрбашяна и А.Б.Нерсесяна [13,14]. В последней из них, в частности, показано для интегро-дифференциального оператора определенного вида, что теорема равносходимости с тригонометрическим рядом Фурье внутри отрезка/^ j] имеет место, если производная порядка от разлагаемой функции суммируема и ограничена вблизи концов отрезка; ft определенным образом вычисляется по параметрам данной краевой задачи. Для доказательства используется метод Пуанкаре-Коши [l5], т.е. метод контурного интеграла, но он применяется не к резольвенте.

В данной диссертации устанавливаются теоремы равносходимости для дифференциальных операторов целого порядка с краевыми условиями, имеющими степенные особенности, а также оператора интегро-дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля порядка /J с краевым условием того же типа.

В первой главе рассматривается дифференциальный оператор на отрезке jj , определенный дифференциальным выражением к)

0.4) и краевыми условиями ^ о, 0<а<

0.5)

- 7

В ней показывается, что к виду (0.5) приводится весьма широкий класс краевых условий со степенными особенностями и устанавливается для оператора (0.4)-(0.5) асимптотика собственных значений и теорема равносходимости с тригонометрическим рядом Фурье на отрезке j] с весом /-/(/ при определенном условии на (0.5) типа условия регулярности Биркгофа. Здесь же показано, что если разлагаемая функция не только суммируема, но принадлежит Z^ то утверждение теоремы можно усилить, требуя от весовой функции меньший порядок отрешения к нулю на концах отрезка. Использованный метод доказательства отличается от методов, использованных А.М.Седлецким при доказательстве подобных утверждений для случая 71 ~ / в [Э-Il]. Он применим и к дифференциальным выражениям более общего, чем (0.4), вида.

Во второй главе изучается интегродифференциальный оператор порядка сс

0.6) с краевым условием У

0.7) где UCWs ЩХ/< ОО, -/<ув 1н+0)1(1-0) ф О,

-/, /У 6(0+0) +1(0-0

Для него также устанавливается асимптотика собственных значений и теорема равносходимости, которая оказывается справедливой в предположении абсолютной непрерывности (^ ~ разлагаемая функция). Здесь же приводится контрпример, который подтверждает точность данной теоремы, т.е. невозможность отбросить уело

- 8 вие абсолютной непрерывности или заменить его более слабым условием такого же типа. Рассмотренный случай - оператор (0.6) -(0.7) - отличается от рассмотренного М.М.Джрбашном и А.Б.Нерсе-сяном в [l4j; в результатах можно проследить аналогию. Что касается методов доказательства, они различны. Возможно приложение метода главы Пик более общему случаю (случаю сС>/ , а также к возмущениям таких операторов).

Перейдем теперь к более подробному изложению диссертации. Она состоит из двух глав. Нумерация параграфов в диссертации сквозная; при этом для формул, определений, лемм, теорем и следствий используется единая нумерация, состоящая из двух чисел, заключенных в круглые скобки: первое число - номер параграфа, второе число - номер формулы, леммы и т.д. в этом параграфе.

Первая глава состоит из четырех параграфов - §§ 1-4. В § I показывается, что краевые условия (0.5) таковы, что к ним приводится весьма широкий класс краевых условий, записываемых с помощью интегралов со степенными особенностями. В § 2 доказывается ряд лемм, дающих асимптотические формулы или оценки для некоторых интегралов вида

Эти леммы широко используются как в первой главе, так и во второй. В § 3 для краевых условий (0.5) определяется понятие регулярности и доказывается теорема (3.2) об асимптотике собственных значений оператора (0.4)-(0.5). Вместе с асимптотикой собственных значений получается оценка снизу характеристического определителя . Эта оценка используется далее в § 4 при доказательстве теоремы равносходимости. § 4 посвящен доказательству основной в первой главе диссертации теоремы (4.13) - теоремы равносходимости дою оператора (0.4)-(0.5): пусть L - оператор (0.4)-(0.5), краевые условия (0.5) регулярны, Щг,Ц>7 t) ' (У(x^yt) - разность мезду частной суммой разложения функции р в рад по собственным и присоединенным функциям оператора Ls , взятую по всем собственным значениям оператора, попадающим в круг //?/< , и частной суммой ( (У) тригонометрического ряда Фурье функции р с номером А* таким, что (fyf)*^ /C<{(£+/)ff)n' . Тогда, если t , принимая значения из некоторой подходящей последовательности (см. определение (4.9)), то

1) при равномерно по

2) при faLH, J fcfa, = 0 О равномерно по / i]для любого у>jL Вторая глава состоит из шести параграфов - §§ 5-10. В § 5 находится выражение резольвенты оператора (0.6)-(0.7) и конкретный вид функции Д(Л) » нули которой являются собственными значениями оператора (0.6)-(0.7). В § 6 после доказательства леммы (6.1) и следствия из нее, дающих асимптотическую формулу для А(Л) при ро , доказывается теорема (6.9). Она дает асимптотику собственных значений оператора и необходимые в дальнейшем оценки /\(А) снизу. В § 7 делаются заготовки для последующего доказательства теоремы равносходимости. В нем находятся асимптотические формулы для составных частей выражения резольвенты ^ оператора (0.6)-(0.7), наиденного в § 5, справедливые в той или иной части комплексной плоскости. Они устанавливаются в предположении абсолютной непрерывности . В § 8 все эти формулы применяются к доказательству основной теоремы данной главы - теоремы (8.28): Пусть jftzL , /) » JfPf абсолютно непрерывна на/-^ 1].

Тогда равномерно по /. В качестве Щ и CV^ могут быть взяты любые положительные числа, но Щ сс^</

Здесь 5п, •) - соответственно, частные суммы разложения ^ по собственным и присоединенным функциям оператора (0.6)-(0.7) и по тригонометрической системе (точное определение $тъ> см. в начале § 8).

Смысл данной теоремы проясняют два следствия из нее:

1) Пусть Jf^Lfy абсолютно непрерывна на js^ i] .

4 - «. (b')) мравномерно по хе /У1 <?)■

В качестве СО можно взять любое число в интервале /J, то же касается .

2) Пусть L('-/y абсолютно непрерывна на /7 . равномерно по X// (в нуле функция доопределена нулем). В качестве у можно взять любое положительное число.

В § 9 доказывается ряд формул, нужных для построения контрпримера. Здесь изучается поведение составных частей формулы резольвенты ^Ар » где % т.е. ^ - та самая функция, которая рассматривается в контрпримере. В § 10 доказывается, что для нее разность между jS^ и (см. выше) не стремится к нулю ни при каком X из отрезка^у^^ ^н]' т,е* теорема равносходимости неверна. Этот пример показывает, что в теореме (8.28) условие абсолютной непрерывности од т собственно

Тогда

- II к его нельзя ни отбросить, ни заменить более слабым такого же типа.

Основные результаты диссертации опубликованы в [25-27] и докладывались на семинаре кафедры дифференциальных уравнений и прикладной математики (под руководством цроф. А.П.Хромова) и на объединенном семинаре кафедр дифференциальных уравнений, вычислительной математики, математического анализа и теории функций (под руководством проф. Н.П.Купцова) Саратовского государственного университета, на конференции молодых ученых СГУ в феврале 1984 г., на ХХШ Научно-технической конференции Пермского политехнического института в феврале 1983 г., на 2-й Саратовской зимней школе по теории функций и приближений в январе-феврале 1984 г.

- 12

1. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. - М.: Наука, 1966. - 672 с.

2. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974. - 480 с.

3. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. - 528 с.

4. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. - 744 с.

5. У. Л Яы- fiowti Ш<У(1& det hzAatumиьЬаШб жг&шилЩ Utx- fa аёжяаfa ^илге^. —р. ЗУ^-ЗЯ^Ь. 6- Stone, тЛ сопгрмлги??^ of t/k- matш гяб.м, p.

6. Хромов А.П. 0 равносходимости разложений по собственным и присоединенным функциям интегральных операторов. В кн.: Функциональный анализ. Ульяновск, 1980, вып. 14, с. 187-189.

7. Хромов А.П. Теоремы равносходимости для интегро-дифференциаль-ных и интегральных операторов. Матем, сборник, 1981, т. 114 (156), В 3, с. 378-405.

8. Седлецкий A.M. 0 равносходимости и равносуммируемости негармонических разложений Фурье с обычными тригонометрическими рядами. Мат. заметки, 1975, т. 18, № I, с. 9-17.- 121

9. Седлецкий A.M. Биортогоналъные разложения функций в ряды экспонент на интервалах вещественной оси. Успехи мат. наук, 1982, т. 37, вып. 5 (227), с. 51-95.JP

10. Седлецкий A.M. Базисы из экспонент в пространствах —Апаг.77Ш*? /Ш, t.2,к. Buc&tofyOn- tAe. aiMfHftfotcc, eAavat1ж- &P Ш. w&Uims ШуЬгщ/ dcWkenttot efua&wii cenitiUtUtg a. ewuwideK-- З&щ. irtl. 9, p. 1/9-13/.

11. Джрбашян M.M., Нерсесян А.Б. Разложения по специальным биор-тогональным системам и краевые задачи для дифференциальных уравнений дробного порядка.!^ Докл. АН СССР, I960, т. 132,4, с. 747-750.

12. Ильин В.А. 0 равномерной равносходимости разложений по собственным и присоединенным функциям несамосопряженного обыкновенного дифференциального оператора и в тригонометрический ряд Фурье. Докл. АН СССР, 1975, т. 223, Ш 3, с. 548-551.

13. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений. I. Дифференц. уравнения, 1980, т. 16, № 5, с.771-794.

14. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений. П. Дифференц. уравнения, 1980, т. 16, № 6, с. 980

15. Амвросова О.И. Асимптотика собственных значений и теоремы равносходимости для операторов со степенными особенностями в краевых условиях. В кн.: Функциональный анализ. Ульяновск, 1983, вып. 21, с. 3-II.

16. Амвросова О.И. Теорема равносходимости для дифференциального оператора со степенными особенностями в краевых условиях. -Саратов, 1984, 14 с. Деп. в ВИНИТИ II декабря 1984 г.,7901-84 Деп.