Конечномерные возмущения интегральных операторов с ядрами, имеющими скачки производных на диагоналях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ.Н .Г.ЧЕРНЫШЕВСКОГО

На правах рукописи

Халова Виктория Анатольевна

КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ЯДРАМИ, ИМЕЮЩИМИ СКАЧКИ ПРОИЗВОДНЫХ НА ДИАГОНАЛЯХ

01.01.01 - математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов - 2006

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений и прикладной математики механико-математического факультета Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Хромов Август Петрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Мирзоев Карахан Агаханович

кандидат физико-математических наук, Назарова Екатерина Викторовна

Ведущая организация: Воронежский государственный

университет

Защита состоится « р7» 006 года в /5 ч. 5*0 мин.

на заседании диссертационного совета К ll2.243.02 при Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83, С ГУ, механико-математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Саратовского государственного университета.

Автореферат разослан ¿^^¿-¿з "У^ООб года.

Ученый секретарь диссертационного совета

канд. физ.- мат. наук, доцент С^у ВЛЗ.Корнев

/

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Исторические сведения. Спектральный анализ несамосопряженных дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных операторов играет фундаментальную роль в различных разделах математики и имеет много приложений. Так, например, данная теория традиционно применяется в граничных задачах математической физики, квантовой механике, в обратной задаче спектрального анализа и т.п. Исследования в этой области предполагают изучение вопросов обращения указанных операторов, асимптотического представления резольвенты при больших значениях спектрального параметра, расположения спектра, суммируемости разложений по собственным и присоединенным функциям (с.п.ф.), равносходимости разложений по с.п.ф. и по известным системам функций, базисности, полноты систем из с.п.ф. и т.п.

Исследование равносходимости спектральных разложений представляет собой интенсивно развивающееся направление, начало которого было положено в работах В.А. Стеклова [1], Е. Гобсона [2], А. Хаара [3] для случая дифференциального оператора Штурма-Лиувилля и Я.Д. Тамаркина [4], М. Стоуна [5] для дифференциального оператора произвольного порядка

п—2

*Ы = У{п) + р*(*) 6 С[0,1], (1)

к=О

с произвольными краевыми условиями п — X

^Ы = Е[альУ(Ч(0) + ^»(к)(1)] = 0, 7 = 1,...,п, (2)

к=О

удовлетворяющими условию регулярности Биркгофа ([6], с. 66-67). Эти условия заключаются в отличие от нуля некоторых определителей, составленных из коэффициентов при старших производных в 11 2[у] (после приведения их к нормированному виду ([6], с. 65-66)). Вообще говоря, условия регулярности снять нельзя.

Приведем один из результатов Я.Д. Тамаркина.

Теорема. Для оператора (1) с регулярными краевыми условиями (2) существует такая последовательность номеров {&!}, что для всякой /(г) 6 Ь[0,1] и любого 5 € (0,1/2)

1йп НЖЯ - 01(/)Нср,1-Ч = °> (3)

где Sk(f) и _ частичные суммы рядов Фурье функции f(x) по

с.гг.ф. и обычной тригонометрической системе (к - число членов).

Исследованием равносходимости разложений по с.п.ф. занимались многие математики, в том числе такие крупные ученые как В.А. Ильин, A.M. Седлецкий, A.A. Шкаликов. Но все эти исследования касались дифференциальных операторов.

Теорема равносходимости для интегрального оператора впервые была получена А.П. Хромовым [7]. Рассматривая оператор 1

Af = f A(x,t)f(t)dt он установил, что для равносходимости необ-о

ходимо, чтобы Л"1 существовал. Кроме того, было показано, что условие существования скачка у ядра оператора, или его некоторой производной, дает некий канонический вид интегрального оператора, для которого имеет место рассматриваемая равносходимость.

В связи с отсутствием конструктивного перехода к каноническому виду встал вопрос о поиске других классов интегральных операторов, для которых имеет место указанная равносходимость. И такие классы были найдены. Начиная с 1998 года (см. [8]), стали исследоваться интегральные операторы, ядра которых или некоторые их производные имеют скачки не только на линии t = х, но и на линии i = 1 — х. В общем виде такие операторы записываются следующим образом:

г 1

Af(x) =ai J A1(x,t)f(t)dt + a2 J A2(x,t)f(t) dt +

° (4)

1-х 1 v ;

+ °з j A3{l-x,t)f{t)dt+ J AA{\-x,t)f{t)dt.

0 1-х

Одним из основных требований (см. [7]) теоремы равносходимости является регулярность краевых условий, получающихся при обращении оператора. Но чаще всего коэффициенты краевых условий в явном виде получить не удается и поэтому проверить их регулярность затруднительно. Например, Е.В.Назаровой [9] была получена теорема равносходимости для оператора (4) в случае, когда скачок имеет само ядро, но при этом регулярность краевых условий лишь предполагается. Поэтому вызывает интерес рассмотрение частных случаев оператора (4), когда возможна проверка регулярности краевых условий. Так в [10] А.П. Хромовым совместно с

В.В. Корневым была получена теорема равносходимости для оператора (4) в случае, когда Ai(x,í) = а два других слагаемых отсутствовали:

1-Х X

Af{x) = J A(l-x,t)f(t)dt + a f A(x,t)f{t)dt. (5) о 0

Отметим, что полученное ими основное соотношение теоремы равносходимости отличается от обычного, а именно, впервые сравнение разложений в ряд по с.п.ф. идет не с одним, а с двумя тригонометрическими рядами.

В диссертационной работе рассматривается оператор вида:

X 1-я:

Af[x) =«i J A(x,t)f(t) dt + аг j A[l-x,t)f[t)dt +

о о (6)

m

+ £(/>*Ы*). *e[o,i],

i

где (f,vk) = J f(t)vk(t)dt, vk(t) £ Cn[0,1], gk(x) £ Cn[0,1], системы о

функций и {^"'(í)}™ линейно независимы, fi — а\—а\ф

-ф- 0, ядро A(x,t) непрерывно дифференцируемо п раз по х и один раз по í, причем ^-j4(a:,í)|t=a; = ¿л,п-1 (s = 0,... ,n, ¿¡j - символ Кронекера).

Оператор (6) является одним из частных случаев оператора (4) (выделив главную часть, оставшееся возмущение записали в виде интеграла от 0 до 1 и заменили его на частный случай - конечномерное возмущение). Этот оператор замечателен тем, что в данном случае условия регулярности выписываются в явном виде, хотя и имеют более сложный вид, чем в случае оператора (5). Отметим также, что рассматривать четыре слагаемых нет необходимости, так как

llxl 1 1-г 1 т

/ = / — / я / =/- /, а/ можно добавить к Y,(f,vk)gk{x).

г О 0 1-® ООО fc=1

Теоремы равносходимости для оператора (6) при = 1 и

а* = 1, t*2 = 0 были получены А.П. Хромовым в [14]. Но для обобщения этого результата нами был использован другой метод, развитый в [10].

Что касается вопроса суммируемости, то для интегрального оператора

1

А/{х)= I «)/(«) Л, г 6 [0,1],

о

в случае, когда <) - функция Грина дифференциального оператора п-го порядка с регулярными по Биркгофу краевыми условиями, М. Стоун [5] исследовал средние по Риссу спектральных разложений, представимых в виде

-¿7 / (*,>0' <7)

|А|=г

и показал, что на каждом [а, 6] С (0,1) имеет место равносуммируе-мость их с такими же средними обычных тригонометрических разложений в ряды Фурье. Далее, А.П. Хромовым в [12] было установлено, что данный результат имеет место при достаточно больших /ив том случае, когда условия регулярности не выполняются, по ядро (?(£,<, А) резольвенты при больших |А| имеет рост, не выше некоторой степени |А|. В работах [13], [14] В.В. Тихомировым данный результат был перенесен на случай дифференциаьных операторов, для которых основные требования не связаны с краевыми условиями, а формулируются в терминах ограничений на спектр и систему с.п.ф. такого же вида, что и в известных исследованиях В.А. Ильина по равносходимости спектральных разложений. В [15] А.П. Гуреви-чем и А.П. Хромовым были найдены необходимые и достаточные условия на /(¡с), обеспечивающие равномерную сходимость к ней на всем отрезке [0,1] средних вида

-¿т / <?(А,г)ЛЛ/^А, (8)

|А|=г

где функция д(А, г) удовлетворяет следующим условиям:

а) <7 (А, г) непрерывна по А в круге |А| < г и аналитична по А в круге |А| < г при любом г > 0;

б) существует такая константа С > 0, что |д(А, г)| < С при всех г > 0 и |А| < г;

в) существуют положительные ß, ß\ и h такие, что

ИМ").

если \<р\ < Л, п = 4по, если \<р - 7г| < h, п = 4п0 4- 2, если — f | < Л, п — нечетное, если \<р + §• | < Л, п — нечетное

(оценки равномерны по г);

г) при фиксированном Л lim g(\,r) = 1.

Отметим, что (8) обобщают средние по Риссу (7). Для оператора (6) в случае ядра А(х, t) — 1 результаты по суммируемости по Риссу были получены А.П. Гуревичем и А.П. Хромовым

Цель работы.

Настоящая работа посвящена получению теорем равносходимости разложений по с.п.ф. конечномерных возмущений интегральных операторов, некоторая производная ядра которых имеет разрыв на линиях < = I и < = 1 -1, и разложений в обычный тригонометрический ряд Фурье, а также вопросу суммируемости обобщенных средних Рисса этого класса операторов.

Методика исследования.

В работе используется метод, основанный на методе контурного интегрирования резольвенты Фредгольма оператора А по расширяющимся контурам в комплексной плоскости спектрального параметра.

Научная новизна.

Основные результаты, полученные в диссертации.

1. Полностью решена задача обращения оператора (6) с ядром

2. Сформулированы и доказаны теоремы о равносходимости разложений произвольной суммируемой функции по с.п.ф. оператора (6) с ядром Ао(г,<) и разложений в тригонометрический ряд Фурье. Получено обобщение этих теорем на случай оператора (б), когда только известно, что (п — 1)-я производная ядра имеет скачок на линиях t = xw.t—1— х.

3. Найдено необходимое и достаточное условие на /(г), обеспечивающее равномерную сходимость к ней на всем отрезке [0,1] обобщенных средних Рисса.

в [16].

Практическая и теоретическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в спектральной теории несамосопряженных операторов, теории интегральных операторов.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на объединенном научном семинаре математических кафедр СГУ (под руководством профессора А.П. Хромова); на 10-13 Саратовских зимних школах "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 2000, 2002, 2004, 2006), на конференциях сотрудников механико-математического факультета СГУ (Саратов, 2000-2003, 2005, 2006).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 13 работах [17]-[29].

Структура диссертации.

Работа состоит из введения, трех глав, разделенных на 7 параграфов, и списка литературы (33 названия). Общий объем диссертации - 123 страницы.

Содержание работы

Для получения основных результатов равносходимости и равно-суммируемости спектральных разложений интегрируемой на отрезке [0,1] функции удобнее исследовать обратный оператор.

Вся первая глава посвящена изучению оператора

/ Л + °2 / ^Г-'/Г1^) Л +

О 0 (9)

т

+ ]С (■/>*)<?*(*), *€[0,1], к = 1

Оператор (9) является простейшим оператором вида (6) и замечателен тем, что именно в этом случае условия существования оператора Ад 1 выписываются в явном виде.

В § 1 полностью решена задача обращения оператора (9): найдены условия существования оператора 1 и выписан его явный вид.

Обозначим Д = det где

Tjk = 0"*Тдк{0), j = 1,... , m0, 0 < < яг < • • ■ < < « - 1. rjk = huj + (Lgk, vVj), j = m0 + 1, -.. , m, 1 < vmo+i < ... < vm < m,

D = -j-, T — a\E — a2S, E - единичный оператор, Sf(x) = /(1-х).

L — ~DnT, mo - фиксированное целое число, 0 < mo < m, 6jtk -

символ Кронекера.

Теорема 1. Если Д ф 0, то оператор 1 имеет вид:

Ао1У(Х) = Ых) ~

- m mo m

-¿EL^(*)[ED*iT2/(°)Ai* + Е u-w3^]» (ю)

¿=1

¿=i

i=m0+l

где А¡к ~ алгебраические дополнения элементов Д. Причем у(х) удовлетворяет следующим краевым условиям:

]£[в.-*Ло) + Ь.-к¥<*>(1)] = (VM *' = 1> ■ • • i "i

(11)

fc=0

где

a»fc = - V'ifc(O)) - (-l)fca2fe(l), bik = ax^fc(l) - (-l)*a2(cifc - ^fc(0)), 1 m

p 3=1

i=l

Шо

i'=l,...,m0,

i=i TTJo

£ djSknj — Skfti, i = m0 + 1,... ,n, 3=1

n

X) Cirfki*, — ¿kvi, » = 1.....m0,

l=mo+l

Cik =

<i,j =

cuSk„t,

« = m0 + 1,. -. , n,

1 т

-д + 1 = 1,... ,га0,

Д*=1

1

<5,^- - символ Кронекера. Далее, вводятся операторы:

¿о: Ьу{х), иДу) = £[а^)(0) + 6>Ау('!)(1)] = 0, ; = я;

¡1=0

¿1 : У,-(у) = и,-(у) - (у, = 0, з = 1,... , п.

где 1/](у) - краевые условия (11) после приведения линейных форм к нормированному виду.

В §§ 2-3 при больших значениях спектрального параметра изучается поведение резольвенты /?о,а = (¿о — АЕ)-1 простейшего дифференциально-разностного оператора Ьо-

Весь § 2 посвящен построению резольвенты До,А- С этой целью вводится краевая задача в пространстве вектор-функций:

*<">(*) - ЛЯоф) = к=0

где Бо - неособая постоянная матрица 2x2, составленная из а,-, Р°к> - матрицы из коэффициентов Ц;(у), А - спектральный параметр, Р(х) = (Дх),Д1 — аг))т, т - знак транспонирования. После диагонализации матрицы Во и приведения краевой задачи к виду

гДп>(а:) - Юь(х) = ВР(х), (12)

= + = 0, з = 1,... ,„, (13)

гл, » = г-аг^Г' Ч. = Ф = (1* 1*)'

= Я°кг = ((-1)%^ (-1 )*+1Р?к)'= +

Р]к — азк ~ 1 Г = ^ , получена (теорема 2) формула

для резольвенты Яо,л:

Яо.л/И = + г2(я:,Л),

гдег;(я,А) = {vi(x, А), v2(x, Л))т -решение задачи (12)-(13), имеющее вид:

1

®(®,A) = -(Vi(x,A)>...,Vn(x,A))AJ1(A) J Ux(g(x,t,X))BF(t) dt +

о

1

+ J g(x,t,X)BF(t)dt.

о

Здесь {V^-(ar, А)}" - матрицы 2x2, которые образуют фундаментальную систему однородного матричного уравнения

v<n>(x) - XDv{x) = О,

До (А) - матрица п х п, состоящая из элементов Ujk — Uj(V^),

Ur(p) =| : I (условия (14) применяются по переменной х).

\Vn(g)J

Входящая в формулу квадратная матрица д(х, t, А) неоднозначна. Ее компоненты выбираются так, чтобы при больших значениях |А| они были ограничены.

В § 3 резольвента Л0,л исследуется при больших значениях |А|. Для этого выполняется замена рп = A(c*i + аг) и вводятся обозначения uij - корни n-й степени из 1, d = v'|,|do|c,s:»JL> do =

27Г

(О < argdo < 27г). Сектор 0 < argp < — разбивается на секторы

п

2тг

7,-1 < argр < 7,- (»" = 1,... ,£0; 0 = 7о < 71 < ••• < Но = —) таким образом, чтобы каждый сектор обладал следующим свойством: числа u>i,... ,и>п, d,... , w„d можно перенумеровать через Cij (j = 1,... ,2п) так, чтобы при любых р из рассматриваемого сектора выполнялось

Repüj < 0, j = п + 1,... , 2п, 1

причем на одной из границ сектора Re р&п = Re/JÔ}n+1 = 0, а в случае arg do = 0 на этой же границе выполняется еще и ïtep£)n_i = = Re/xIin+2 = 0.

Пусть

6 = det \pjk^V\ ф 0, (15)

где Pjk = pjOJi если шк = w,-, и р,к = р}„., если ük = w,-rf, pjCTi и р^. - коэффициенты матриц -Р^ , т.е. матриц, стоящих при старших производных в условиях (13).

Замечание 1. Условие (15) не зависит от выбора сектора, в котором производится нумерация шк ■

Из сектора 0 < arg р <f i удалим все нули функции вида:

а0 + tue-3*3" + аае-р(®—+ азе-8"®-« + «це-"*5—1+,3">,

(ак (к = 0,... ,4) ~ постоянные числа, не зависящие от р, причем ао = ±Э2, Ü4 — ±02), асимптотически приближающиеся к соответствующим корням п-й степени из собственных значений оператора Л-1, вместе с их круговыми окрестностями одного и того же достаточно малого радиуса ¿¡¡- Обозначим через Ss0 объединение всех областей, полученных аналогичным образом из секторов 7j_1<argp<7i (j = 1,... ,4).

Теорема 3. В области S&0 при больших значениях |р| имеют место следующие оценки:

||£>"Л0,аЛ|оо = 0(M1_"+î)||/III> ИД'До. а/Иоо = 11/Ноо,

¡¡^Й0,лЛК = о(и1-п+^(р))||/|1ь

1Р,Лоах|1оо = О(И-»+')|

п 1 _ е-у

где s — 0,... ,п - ф(р) = £ ae(RepWj), ае(?/) = -, у > 0,

j=1 У

х(я) - характеристическая функция отрезка [%>> t?i] С (0,1).

Здесь и далее || • ||оо, || • ||i - нормы в пространствах Loo[0,l] и Li [0,1] соответственно.

В § 4 аналогичным образом рассматривается резольвента Я^д = = (¿1 — АЕ)~г дифференциально-разностного оператора Ь\.

Сначала устанавливается связь между резольвентами Д^д и До,а, а затем для резольвенты /¿^д получаются оценки, аналогичные оценкам теоремы 3. И наконец, устанавливается равносходимость спек-тральпых разложений операторов Ьо и Ь\.

В § 5 рассматривается резольвента Фредгольма Дг,д — —АЛо)-1Ао оператора Ао. Доказывается существование и единственность решения уравнения для Лг.д, а также справедливость представления:

Д2,а/(«) = ЛЫ{х) - Л1глЛ/В-1Рп-1Л1,А/(«) + 0(р-п)||/||ь

где В = Е + Dn~1Rl¡xNl, Е - единичный оператор, ТУ/ - интегральный оператор.

В теореме 6 доказывается равносходимость спектральных разложений операторов Ь\ и Ьо. Затем последовательными приближениями в теореме 7 устанавливается равносходимость спектральных разложений операторов Ао и Ьо-

Теорема 7. Для любой /(х) 6 £[0,1] имеет место

Бт НПг.г/Нрд-«] = 0,

г—+СО ь '

где

п2,г/ = ~ I (Д2,а-ДО,А)/(*)<*А (16)

|Д|=г

и г таково, что {р : \р\п = г, 0 < argp < 2?г/п} С

Здесь и далее || • Нрд-л] - норма пространства С[5,1 - ¿]. Основные результаты диссертации содержатся в главах 2 и 3. Глава 2 посвящена получению теорем равносходимости для операторов (9) и (6).

В первом параграфе этой главы изучается равносходимость разложений произвольной суммируемой функции по с.п.ф. оператора Ао и разложений в обычный тригонометрический ряд Фурье. Для этого вводится вспомогательная краевая задача в пространстве вектор-функций размерности 2:

и(пЦх)-Юи{х) = ВР{х), (17)

«О>(0)= «<«(!), ,7=0,... — 1, (18)

где V, В, F(x)~ те же, что и в задаче (12)-(13), и(х) = («i(x), U2(®))T.

Из области S¡0 удаляем рк (к = 1,2,...) вместе с круговыми окрестностями одного и того же малого радиуса Jo, Для которых Hk (рк = Рь{аi + а2) или рк — i — «г)) являются собственными значениями задачи

у(п^(х) — ру(х) = 0, г/У)(0) = ^>(1), j = 0,... ,п-1.

(Эта задача - скалярный эквивалент задачи (17)-(18) при F(x) ~ 0.) Получившуюся облаять обозначим через S¡0. Все оценки, полученные в области Ssa, остаются справедливыми и для области S¡a.

Теорема 8. Для любой функции f(x) & L[0,1] н любого S £ £ (0,1/2) имеет место

lim НПг/Ирд-ч = 0, (19)

где

Пг/=2^7 / ¿Ы*»А)-и*(г'А))<,А (20)

и г таково, что {р : |р|" = г, 0 < ал^/> < 2ж/п} С

Здесь г>*(х, А) - компоненты решения задачи (12)- (13), м*(г, А) -компоненты решения задачи (17)-(18).

Теорема 9. (Теорема равносходимости.) Пусть п - четное и выполняются следующие условия: 1) Д ф 0; 2) 6 ф 0; 3) <7^ (к = 1,... ,т) - непрерывные функции ограниченной вариации. Тогда для любой функции /(ж) £ ¿[0,1] и любого 6 Е (0,1/2) имеет место соотношение:

lim шах

Г-ИОá<I<l-í

Sr(f,x)~ (f + g,x)~ ~<rr\d3\(f -g,x)

= 0,

где 5Г(/,ж) - частичная сумма ряда Фурье функции /(х) по с.п.ф. оператора Ао для тех характеристических чисел для которых < г; ау(/, х) - частичная сумма тригонометрического ряда Фурье функции /(аг) для тех номеров к, для которых (2&7г)" < г; д(х) - /(1 — х); = ах + аг, ¿2 = — а2 «г таково, что {р : \р\" = г, 0 < аг8р < 2п/п} с §в0.

В случае, когда п - нечетное, условие 2) заменяется на ©102 ф О, где 01 = det \qjk^V\j,k=v 02 = det IPj.nIj.fc=1 >

Pjk = aj + (-l)CTj'7ibj, qjk + (-1)^71^, если wk - w,-,

Pjk = aj + (-1)^72^, qjk = bj + если ык - -w,-,

on -y/p Qi +л/б

aj=aj,°j> bj = b3,°i> 71 = -—-. 72=-—-

Кроме того, в нечетном случае d\ — = и, следова-

тельно, в основном соотношении теоремы вместо частичных сумм двух тригонометрических рядов будет частичная сумма одного тригонометрического ряда <TT^^(f,x).

В § 2 главы 2 этот результат обобщается на. случай оператора

(6).

Сначала доказывается существование и единственность решения уравнения для резольвенты Фредгольма R\ = (Е — АЛ)-1Л оператора А, а также справедливость представления:

Rxi{x) = Ri,xf(x) - iiliAiVt'5-1£>n-1ii1,x/(x) + 0(p-")||/||i,

где В = E + Dn~1Ri3\N(, N( — интегральный оператор.

Далее последовательно устанавливается равносходимость разложений по с.п.ф. оператора А с разложениями по с.п.ф. операторов L\ и L0. Затем, воспользовавшись уже доказанной равносходимостью разложений по с.п.ф. оператора Lq и разложений в тригонометрический ряд Фурье, получаем главный результат диссертации по равносходимости.

Теорема 13. (Теорема равносходимости.)

Пусть п - четное и выполняются следующие условия: 1) А ф 0; 2) 0 ф 0; 3) А ф 0/ 4) W2(x,0) и N2(z,l) - непрерывные функции ограниченной вариации. Тогда справедливо заключение теоремы 9 с заменой оператора Ао на оператор А.

Здесь

Д = det 15jk + (Е+ K)Lgk{x) |£fc=1,

N2(x,t) = -N2(x,t) + ^-{E+Bi)K[x,0), a(0) = ait o(l) = -a2,

К = (Е + Кг)-1 - E, Kif(x) = jfeA{x,t)f(t)dt,

о

N2(x,t) = ¿r £ Tvj(t)(E + K)Lgk(x)Ajk,

1 m

BJ(x) = -x (/,Dj)(S + Jf)£,*(®)Ait>

Д^ - алгебраические дополнения элементов Д. Для нечетного случая п в формулировке теоремы выполняются те же замены, что и для оператора А0.

В главе 3 найдены необходимые и достаточные условия на /(ж), обеспечивающие равномерную сходимость к ней на всем отрезке [0,1] обобщенных средних Рисса вида:

~~ j g(X,r)RxfdX,

|Л|=г

где функция д(Х,г) как и ранее (см. с.6-7) удовлетворяет условиям а), б), г), а условие в) имеет вид:

в) для каждого сектора < arg р < jj (j = !,... ,¿o) области

S¡a существуют положительные числа hj, ßj, такие, что при J^-t-a— < hj имеет место оценка

где ip = argp, а = argü„ (оценки равномерны по г).

Примерами таких функций могут служить функции вида

g(X,r)=z gi(X,r)g2(X,r),

ЫА,г)=(1--) (1 + 7) х

.....

ßj >0,7k> 0, fk(X) целые по Л, Mr(f) = max|/(А)|.

1А|=Г

Лемма 33. Пусть г таково, что образ окружности |А| = г при отображении р

принадлежит Ssa. Тогда имеют место

оценки

И

\Р\ J \g{rein*,r)\rp(p)dlp = 0(l), (21)

is-1

/ Ь(А,г)|||Ла1л/|и IdA^OflJH/IU. (22)

|А|=г

Теорема 16. Для того чтобы выполнялось соотношение lim fir(/)= lim ||/(х) + ~ f 9(\r)R2,xf(x)d\Il =0, (23)

r—KXI I—ICO II ¿m J lloo

m=r

необходимо и достаточно, чтобы f(x) G D°.

Здесь D° - множество всех непрерывных функций, удовлетворяющих тем краевым условиям Vj, которые не содержат производных.

Аналогичная теорема формулируется и для оператора А, нужно только Н-2,\ заменить на R\.

Список литературы

[1] Стеклов В.A. Sur les expressions asymptotyques de certaines functions définies par des équations différentielles linéaires du deuxime ordre, et leur applications an problème du developpment d'une function arbitraire en séries procédant suivant les dites functions [Текст] / В.A. Стеклов // Харьков, Сообщ. матем. об-ва (2). - 1907-1909.

- Т.10, № 2/6. - С. 97-199.

[2] Hobson E.W. On a general convergence theorem, and the theory of the representation of a function by a series of normal functions [Текст] / E.W. Hobson // Proc. London Math. Soc. 2. - 1908. - Vol. 8.

- P. 349-395.

[3] Haai A.T. Theorie des ortogonalen Funktionen systeme [Текст] / A.T. Haar // Math. Ann. - 19Ю. - Vol. 69. - P. 331-371; - 1911.

- Vol. 71. - P. 38-53.

[4] Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений [Текст]./ Я.Д. Тамаркин. - Петроград, 1917.

[5] Stone M.H. A comparison of the series of Fourier and BirkhofF / M.H. Stone // Trans. Amer. Math. Soc. - 1926. - Vol.28, № 4.

- P. 695-761.

[6] Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы [Текст] / М.А. Наймарк. - М.: Наука, 1969. - 528 с.

[7] Хромов А.П. Теоремы равносходимости для интегро-дифференциальных и интегральных операторов [Текст] / А.П. Хромов // Матем. сб. - 1981. - Т. 114(156). - № 3. - С. 378-404.

[8] Хромов А.П. Об обращении интегральных операторов с ядрами, разрывными на диагоналях [Текст] / А.П. Хромов // Матем. заметки. - 1998. - Т. 64, вып. 6. - С. 932-942.

[9] Назарова Е.В. Теоремы равносходимости для интегральных операторов с ядрами, разрывными на диагоналях [Текст]: Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук / Е.В. Назарова. - Саратов, 2003.

- 14 с.

[10] Корнев В.В. О равносходимости разложений по собственным и присоединенным функциям интегральных операторов с ядрами, допускающими разрывы производных на диагоналях [Текст] / В.В. Корнев, А.П. Хромов // Матем. сб. - 2001. - Т. 192. - № 10.

- С. 33-50

[11] Хромов А.П. О равносходимости разложений по собственным функциям конечномерных возмущений оператора интегрирования [Текст] / А.П. Хромов // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. - 2000. - № 2. - С. 21-26.

[12] Хромов А.П. Разложение по собственным функциям обыкновенных линейных дифференциальных операторов на конечном интервале [Текст] / А.П. Хромов // Доклады АН СССР. - Т. 146, № 6.

- 1962. - С. 1294-1297.

[13] Тихомиров В.В. О рисовских средних разложений в тригонометрический ряд Фурье и по собственным функциям пучка М.В. Келдыша обыкновенных несамосопряженных дифференциальных операторов [Текст] / В.В. Тихомиров // Доклады АН СССР. - 1976.

- Т. 226, № 5. - С. 1015-1017.

[14] Тихомиров В.В. О средних Рисса разложений по собственным и присоединенным функциям несамосопряженного обыкновенного дифференциального оператора [Текст] /В.В. Тихомиров // Матем. сб. - 1977. - Т. 102, № 1. - С. 33-55.

[15] Гуревич А.П. Суммируемость по Риссу спектральных разложений одного класса интегральных операторов [Текст] / А.П. Гуревич, А.П. Хромов // Дифференциальные уравнения. - Т. 37, № 6. -2001. - С. 809-814.

[16] Гуревич А.П. Суммируемость по Риссу спектральных разложений для конечномерных возмущений одного класса интегральных

опертаоров [Текст] / А.П. Гуревич, А.П. Хромов // Известия вузов. Сер. Математика. - 2003. - Xs 2(489). - С. 24-35.

Печатные работы автора по теме диссертации

[17] Халова В. А. Об обращении оператора n-кратного интегрирования [Текст] / В. А. Халова / Деп. в ВИНИТИ 29.10.99 X« 3227-В99. -7 с.

[18] Халова В.А. Задача обращения одного класса интегральных one раторов [Текст] / В.А. Халова. Математика. Механика: Сб. науч. тр. / Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. - Вып. 2. -С. 125-127.

[19] Халова В.А. представление резольвенты одного класса интегральных операторов [Текст] / В.А. Халова. Математика. Механика: Сб. науч. тр. / Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 2001. - Вып. 3.

- С. 138-141.

[20] Халова В.А. О резольвенте одного класса интегральных операторов [Текст] / В.А. Халова. Математика. Механика: Сб. науч. тр. / Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002. - Вып. 4. - С.149-152

[21] Халова В.А. Теорема равносходимости для одного класса интегральных операторов [Текст] / В.А. Халова. Математика. Механика: Сб. науч. тр. / Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. - Вып. 5.

- С.126-129.

[22] Халова В.А. Теорема равносходимости для одного класса интегральных операторов [Текст] / В.А. Халова / Деп. в ВИНИТИ 15.07.04 № 1241-В2004. - Саратов, 2004. - 63 с.

[23] Халова В.А. О равносходимости разложений по собственным функциям интегральных операторов с ядрами, допускающими разрывы производных на диагоналях [Текст] / В.А. Халова. Математика. Механика: Сб. науч. тр. / Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. - Вып. 7. - С. 127-130

[24] Халова В.А. Суммируемость по Риссу спектральных разложений для конечномерных возмущений одного класса интегральных операторов [Текст] / В.А. Халова // Современные методы теории краевых задач: Материалы Воронежской математической школы "Понтрягинские чтения-XVlI". -Воронеж: Изд-во ОАО "Цетрально-Черноземное книжное издательство", 2006. - С. 190-191.

[25] Халова В.А. Об обратимости оператора n-кратного интегрирования [Текст] / В.А. Халова // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 10-й Саратовской зимней школы. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. - С. 146-147.

[26] Халова В.А. Резольвента для одного класса интегральных операторов [Текст] / В.А. Халова // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 11-й Саратовской зимней школы. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002. - С. 220-221.

[27] Халова В.А. О резольвенте Фредгольма для одного класса интегральных операторов [Текст] / В.А. Халова // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 12-й Саратовской зимней школы. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. - С. 190-191.

[28] Халова В.А. Разложение по собственным функциям одного класса интегральных операторов [Текст] / В.А. Халова // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы конференции. - Воронеж: Изд-во ВГУ, 2005. - С. 239-240.

[29] Халова В.А. Теорема равносходимости для конечномерного возмущения одного класса интегральных операторов [Текст] / В.А. Халова // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 13-й Саратовской зимней школы. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. - С.183-184.

Подписано в печать 16.06.2006 Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Times. Печать RISO. Объем 1,0 печ. л. Тираж 100 экз. Заказ № 027.

Отпечатано с готового оригинал-макета Центр полиграфических и копировальных услуг Предприниматель Сериал Ю.Б. Свидетельство № 3117 410600, Саратов, ул. Московская, д.152, офис 19, тел. 26-18-19,51-16-28

Введение.

Глава 1. Резольвенты простейших операторов и их свойства.

Щ § 1. Обращение конечномерного возмущения простейшего интегрального оператора А0.

§ 2. Построение резольвенты простейшего дифференциальноразностного оператора L0.

§ 3. Свойства резольвенты оператора L0.

§ 4. Резольвента дифференциально-разностного оператора Ц и ее свойства.

§ 5. Резольвента Фредгольма оператора А0 и ее свойства.

Глава 2. Теоремы равносходимости.

§ 1. Теоремы равносходимости для оператора А0.

§ 2. Теорема равносходимости для оператора А.

Глава 3. Суммируемость по Риссу спектральных разложений операторов А0 и А.

Спектральный анализ несамосопряженных дифференциальных, инте-^ тральных и интегро-дифференциальных операторов играет фундаментальную роль в различных разделах математики и имеет много приложений. Так, например, данная теория традиционно применяется в граничных задачах математической физики, квантовой механике, в обратной задаче спектрального анализа и т.п. Исследования в этой области предполагают изучение вопросов обращения указанных операторов, асимптотического представления резольвенты при больших значениях спектрального параметра, расположения спектра, суммируемости разложений по собственным и присоединенным функциям (с.п.ф.), % равносходимости разложений по с.п.ф. и по известным системам функций, базисности, полноты системы из с.п.ф. и т.п.

Настоящая работа посвящена получению теорем равносходимости разложений по с.п.ф. конечномерных возмущений интегральных операторов, некоторая производная ядра которых имеет разрыв на диагоналях, и разложений в обычный тригонометрический ряд Фурье, а также вопросу суммируемости обобщенных средних Рисса этого класса операторов.

Исследование равносходимости спектральных разложений предста-* вляет собой интенсивно развивающееся направление, начало которого было положено в работах В.А. Стеклова [1], Е. Гобсона [2], А. Хаа-ра [3] для случая дифференциального оператора Штурма-Лиувилля и Я.Д. Тамаркина [4], М. Стоуна [5] для дифференциального оператора произвольного порядка п-2

1[у] = У{п) + 5>(*)Л Vk(x) G С[0,1], (0.1) к=0 с произвольными краевыми условиями п-1

Щу) = Т,1^у{к)(0) + W4)(1)] = 0, i = l,. (0.2) к=О удовлетворяющими условию регулярности Биркгофа ([6], с. 66-67). Эти условия заключаются в отличие от нуля некоторых определителей, составленных из коэффициентов при старших производных в Uj (у) (после приведения их к нормированному виду ([6], с. 65-66)). Вообще говоря, условия регулярности снять нельзя.

Приведем один из результатов Я.Д. Тамаркина1. Теорема. Для оператора (0.1) с регулярными краевыми условиями (0.2) существует такая последовательность номеров {к{]} что для всякой f(x) Е £[0,1] и любого 8 6 (0,1/2) 4 im\\Skl(f)-ai(f)\\c[5,i-S] = 0, (0.3) где Sk(f) и &k(f) ~ частичные суммы рядов Фурье функции f(x) по с.п.ф. и обычной тригонометрической системе (к - число членов).

Развитию спектральной теории операторов послужили многочисленные работы В.А. Ильина (основополагающие статьи [7]-[9]). Он разработал новый метод получения теорем равносходимости, когда дифференциальный оператор не привязывается к граничным условиям, а лишь используется дополнительная информация о поведении собственных значений и собственных функций.

Теорема равносходимости для интегрального оператора впервые была получена А.П. Хромовым [10]. Рассматривая оператор 1

Af = f A(x,t)f(t) dt, он ввел следующие требования на ядро A(x,t): о

В [5] М. Стоуном получен схожий результат при Рк(х) € L[0,1].

Qa+j а) производные Ах.»(х, t) = t) (s,j = 0,. , n) непрерывны при t < x и t > x 2; б) Psj(t) = AAxstj(x,t)\x=t = AxUi(x,t)\x=t+0 - Ax.tj(x,t)\x=t-o e ecn~l~j[ 0,1] (j = 0,. , n — 1; 5 = 0,.,n); в) A~l существует; г) AAxs(x,t)\t=x = Axs(x,t)\t=x-o-Ax,(x,t)\t=x+o = 5s>ni (5 = 0,. ,n, ^ij - символ Кронекера).

В работе [10] было показано, что условие в) необходимо для равносходимости, условия а) и б) точны, а условие г) говорит о каноническом виде интегрального оператора, для которого имеет место рассматри ваемая равносходимость.

В связи с отсутствием конструктивного перехода к каноническому виду встал вопрос о поиске других классов интегральных операторов, для которых имеет место указанная равносходимость. И такие классы были найдены. Начиная с 1998 года (см. [11]), стали исследоваться интегральные операторы, ядра которых или некоторые их производные имеют скачки не только на линии t = х, но и на линии t = 1 — х. В общем виде такие операторы записываются следующим образом: х 1

Af{x) =«! J Ai(x,t)f(t) dt + a2 j A2(x,t)f(t)dt +

0-4) A3(l-x,t)f{t) dt+ J A4(l-x,t)f{t) dt.

0 1-х

Одним из основных требований (см. [10]) теоремы равносходимости является регулярность краевых условий. Но чаще всего коэффициенты краевых условий в явном виде получить не удается и поэтому проверить

23десь и в дальнейшем в аналогичных ситуациях под непрерывностью f(x,t) при t < х понимаем следующее: f(x,t) непрерывна при t < х в обычном смысле, f(x,x — 0) существует, и если доопределить f(x,t) на линии t — х как f(x,x — 0), то f(x,t) становится непрерывной в обычном смысле в замкнутом треугольнике 0 < t < х < 1. Аналогично понимаем непрерывность f(x,t) при t > х. их регулярность затруднительно. Например, Е.Н.Назаровой [12] была получена теорема равносходимости для оператора (0.4) в случае, когда скачок имеет само ядро, но при этом регулярность краевых условий лишь предполагается. Поэтому вызывает интерес рассмотрение частных случаев оператора (0.4), когда возможна проверка регулярности краевых условий. Так в [13] А.П. Хромовым совместно с В.В. Корневым была получена теорема равносходимости для оператора (0.4) в случае, когда Ai(x,t) = Аз(х,Ь), а два других слагаемых отсутствовали:

1-х X

Af(x) = J A{l-x,t)f(t)dt + a JA(x,t)f(t)dt. (0.5) о 0

Отметим, что полученное ими основное соотношение теоремы равносходимости отличается от обычного, а именно, впервые сравнение разложений в ряд по с.п.ф. идет не с одним, а с двумя тригонометрическими рядами.

В диссертационной работе рассматривается оператор вида:

X 1-я

Af(x) =с*11 A(x,t)f{t) dt + a2 J A(l - x,t)f(t)dt + о о (0.6) m J2(fivk)gk(x), x 6 [o, l], k=i i где (/, t/fc) = f f(t)vk(t)dt, vk(t) e Cn[0,1], gk{x) € Cn{0,1], системы о функций (я)}™ и линейно независимы, /3 = a\ - ф 0, ядро А(х, t) непрерывно дифференцируемо п раз по х и один раз по t и выполняется условие г).

Оператор (0.6) является одним из частных случаев оператора (0.4). Этот оператор замечателен тем, что в данном случае условия регулярности выписываются в явном виде, хотя и имеют более сложный вид, чем в случае оператора (0.5). Отметим также, что рассматривать че llxl 1 1-х тыре слагаемых нет необходимости, так как f = f — f и f = f — f , x 0 0 1-х о о

1 171 a f можно добавить к J2(fivk)9k(x).

О к~1

Теоремы равносходимости для оператора (0.6) при A(x,t) = 1 и = 1, = 0 были получены А.П. Хромовым в [14]. Но для обобщения этого результата нами был использован другой метод, развитый в [13].

Что касается вопроса суммируемости, то для интегрального оператора 1

Af(x) = J A(x,t)f(t)dt, ®е[0,1], о в случае, когда A(x,t) - функция Грина дифференциального оператора 71-го порядка с регулярными по Биркгофу краевыми условиями, М. Стоун [5] исследовал средние по Риссу спектральных разложений, представимых в виде а|=г и показал, что на каждом [а, Ъ] С (0,1) имеет место равносуммируе-мость их с такими же средними обычных тригонометрических разложений в ряды Фурье. Далее, А.П. Хромовым в [15] было установлено, что данный результат имеет место при достаточно больших I ив том случае, когда условия регулярности не выполняются, но ядро G(x, t, Л) резольвенты при больших |А| имеет рост, не выше некоторой степени |А|. В работах [16], [17] В.В. Тихомировым данный результат был перенесен на случай дифференциальных операторов, для которых основные требования не связаны с краевыми условиями, а формулируются в терминах ограничений на спектр и систему с.п.ф. такого же вида, что и в известных исследованиях В.А. Ильина по равносходимости спектральных разложений. В [18] А.П. ГУревичем и А.П. Хромовым были найдены необходимые и достаточные условия на f(x), обеспечивающие равномерную сходимость к ней на всем отрезке [0,1] средних вида J g(\,r)Rxfd\, (0.8)

А|=г где функция <?(А, г) удовлетворяет следующим условиям: а) д(А, г) непрерывна по Л в круге |Л| < г и аналитична по А в круге |А| < г при любом г > 0; б) существует такая константа С > 0, что |#(А,г)| < С при всех г > 0 и |А| < г; в) существуют положительные /3, и h такие, что

0(\(pf), если |</>| <h,n = 4тг0,

0(\(р — irf), если \(р — 7г| < h,п = 4щ + 2,

- 11^), если \<р — 11 < h, п — нечетное,

0(\(р + 11^1), если \ц> + 11 < h, п — нечетное g(rettp,r) = < оценки равномерны по г); г) при фиксированном A lim g(\,r) = 1. г-> 00

Отметим, что (0.8) обобщают средние по Риссу (0.7).

Для оператора (0.6) в случае ядра А(х, t) = 1 результаты по суммируемости по Риссу были получены А.П. Гуревичем и А.П. Хромовым в [19].

Целью данной диссертационной работы является получение теорем равносходимости и исследование вопроса суммируемости по Риссу для оператора (0.6).

В работе используется метод, основанный на методе контурного интегрирования резольвенты Фредгольма оператора А по расширяющимся контурам в комплексной плоскости спектрального параметра.

Диссертация содержит 123 страницы, состоит из введения, трех глав, разделенных на 7 параграфов, и списка литературы.

1. Hobson E.W. On a general convergence theorem, and the theory of the representation of a function by a series of normal functions Текст] / E.W. Hobson // Proc. London Math. Soc. 2. 1908. - Vol. 8. - P. 349395.

2. Haar A.T. Theorie des ortogonalen Funktionen systeme Текст] / A.T. Haar // Math. Ann. 1910. - Vol. 69. - P. 331-371; - 1911.- Vol. 71. P. 38-53.

3. Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений Текст] / Я.Д. Тамаркин.- Петроград, 1917.

4. Stone М.Н. A comparison of the series of Fourier and Birkhoff / M.H. Stone // Trans. Amer. Math. Soc. 1926. - Vol.28, № 4. - P. 695761.

5. Наймарк M.A. Линейные дифференциальные операторы Текст] / М.А. Наймарк. М.: Наука, 1969. - 528 с.

6. Ильин В.А. О равномерной равносходимости разложений по собственным и присоединенным функциям несамосопряженного дифференциального оператора и в тригонометрический ряд Фурье Текст] / В.А. Ильин // Доклады АН СССР. 1975. - Т. 223, № 3.- С. 548-551.

7. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений. I Текст] / В.А. Ильин // Дифференц. уравнения. 1980.- Т. 16, № 5. С. 771-794.

8. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений. II Текст] / В.А. Ильин // Дифференц. уравнения. 1980.- Т. 16, № 6. С. 980-1009.

9. Хромов А.П. Теоремы равносходимости для интегро-дифференци-альных и интегральных операторов Текст] / А.П. Хромов // Ма-тем. сб. 1981. - Т. 114(156). - № 3. - С. 378-404.

10. Хромов А.П. Об обращении интегральных операторов с ядрами, разрывными на диагоналях Текст] / А.П. Хромов // Матем. заметки. 1998. - Т. 64, вып. 6. - С. 932-942.

11. Назарова Е.В. Теоремы равносходимости для интегральных операторов с ядрами, разрывными на диагоналях Текст]: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук / Е.В. Назарова. Саратов, 2003. - 14 с.

12. Корнев В.В. О равносходимости разложений по собственным и присоединенным функциям интегральных операторов с ядрами, допускающими разрывы производных на диагоналях Текст] / В.В. Корнев, А.П. Хромов // Матем. сб. 2001. - Т. 192. - № 10.- С. 33-50

13. Хромов А.П. О равносходимости разложений по собственным функциям конечномерных возмущений оператора интегрирования Текст] / А.П. Хромов // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2000. - № 2. - С. 21-26.

14. Хромов А.П. Разложение по собственным функциям обыкновенных линейных дифференциальных операторов на конечном интервале Текст] / А.П. Хромов // Доклады АН СССР. Т. 146, № 6. - 1962.- С. 1294-1297.

15. Тихомиров В.В. О средних Рисса разложений по собственным и присоединенным функциям несамосопряженного обыкновенного дифференциального оператора Текст] / В.В. Тихомиров // Ма-тем. сб. 1977. - Т. 102, № 1. - С. 33-55.

16. Гуревич А.П. Суммируемость по Риссу спектральных разложений одного класса интегральных операторов Текст] / А.П. Гуревич, А.П. Хромов // Дифференциальные уравнения. Т. 37, № 6. - 2001.- С. 809-814.

17. Гуревич А.П. Суммируемость по Риссу спектральных разложений для конечномерных возмущений одного класса интегральных опер-таоров Текст] / А.П. ГУревич, А.П. Хромов // Известия вузов. Сер. Математика. 2003. - № 2(489). - С. 24-35.

18. Халова В.А. Об обращении оператора гс-кратного интегрирования Текст] / В.А. Халова / Деп. в ВИНИТИ 29.10.99 № 3227-В99. 7 с.

19. Халова В.А. Задача обращения одного класса интегральных операторов Текст] / В.А. Халова. Математика. Механика: Сб. науч. тр. / Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. Вып. 2. - С. 125-127.

20. Халова В.А. Представление резольвенты для одного класса интегральных операторов Текст] / В.А. Халова. Математика. Механика: Сб. науч. тр. / Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2001. Вып. 3.- С. 138-141.

21. Халова В.А. О резольвенте одного класса интегральных операторов Текст] / В.А. Халова. Математика. Механика: Сб. науч. тр. / Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002. Вып. 4. - С.149-152

22. Халова В.А. Теорема равносходимости для одного класса интегральных операторов Текст] / В.А. Халова. Математика. Механика: Сб. науч. тр. / Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып. 5.- С.126-129.

23. Халова В.А. Теорема равносходимости для одного класса интегральных операторов Текст] / В.А. Халова / Деп. в ВИНИТИ 15.07.04 № 1241-В2004. Саратов, 2004. - 63 с.

24. Халова В.А. Об обратимости оператора n-кратиого интегрирования Текст] / В.А. Халова // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 10-й Саратовской зимней школы.- Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. С. 146-147.

25. Халова В.А. Резольвента для одного класса интегральных операторов Текст] / В.А. Халова // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 11-й Саратовской зимней школы.- Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002. С. 220-221.

26. Халова В.А. О резольвенте Фредгольма для одного класса интегральных операторов Текст] / В.А. Халова // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 12-й Саратовской зимней школы. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. - С. 190191.

27. Халова В.А. Разложение по собственным функциям одного класса интегральных операторов Текст] / В.А. Халова // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы конференции. Воронеж: Изд-во ВГУ, 2005. - С. 239-240.

28. Белман Р. Дифференциально-разностные уравнения Текст] / Р. Белман, К. Кук. М.: Мир, 1967.