Операторы интерполирования и аппроксимация непрерывных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

005059<э<* •

На правах рукописи

ТРЫНИН 'Александр Юрьевич

ОПЕРАТОРЫ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И АППРОКСИМАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ

01.01.01 - Вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

16 ПАП ¿013

Воронеж 2013

005059641

Работа выполнена в Саратовском государственном университете имени Н.Г. Чернышевского

Официальные оппоненты:

• доктор физико-математических наук, профессор Новиков Игорь Яковлевич, Воронежский государственный университет, профессор кафедры функционального анализа и операторных уравнений

• доктор физико-математических наук, профессор Дьяченко Михаил Иванович, Московский государственный университет, профессор кафедры теории функций и функционального анализа

• доктор физико-математических наук, профессор Скопнна Мария Александровна, Санкт-Петербургский государственный университет, профессор кафедры высшей математики

Ведущая организация Московский физико-технический институт (государственный университет)

Защита состоится 10 сентября 2013 г. в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 333

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета

Автореферат разослан и%5~ О^ 2013 р.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.038.22 доктор физико-математических наук,

профессор Ю.Е. Гликлих

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

'АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Впервые Бтс-приближения появились в работах Плэйна в качестве инструмента приближённого вычисления корней многочленов. Позднее, в связи с развитием теории кодирования сигналов, Э. Борель и Э.Т. Уиттекер ввели понятие кардинальной функции и усечённой кардинальной функции, сужение на отрезок [0,7г] которых выглядят так:

К настоящему времени достаточно фундаментально исследована проблема синк-аппроксимации аналитической в полосе, содержащей действительную ось, функции, экспоненциально убывающей на бесконечности (смотрите, например, публикации В.В. Жука, A.C. Жука, Ф. Стенжера, Г. Шмайс-сера и многих других специалистов по теории кодирования сигналов). Наиболее полный обзор результатов, полученных в этом направлении до 1993 года, а также большое количество важных приложений синк-аппроксимаций можно найти в монографии Ф. Стенжера. Интересные исторические обзоры исследований в этой области содержатся также в статьях П.Л. Бутце-ра, П. Феррейра, Ж.Р. Хиггинса, Г. Шмайссера, P.JI. Стенса. Кроме того, появился ряд исследований, например, Ж.Ж Восса, Г. Хинсена, К. Сеипа, P.M. Юнга, восходящих к теореме отсчётов, или как её ещё называют теореме дискретизации Уиттекера-Котельникова-Шеннона, в которых получены различные представления целых функций рядами по сивкам с узлами интерполирования, удовлетворяющими некоторым условиям "равномерности распределения".

Серьёзный вклад в теорию информации внёс А.Н. Колмогоров со своими учениками, определив порядки скорости изменения верхней и нижней е—энтропии и е-ёмкости на единицу длины. Начиная с известной работы Крамера изучается также связь между теоремами отсчётов и интерполяцией Лагранжа по узлам из спектра задачи Штурма-Лиувилля, например,

(—l)fcsinna; /' пх — klг Ч

(1)

в трудах П.Л. Бутцера, Г Хинсена, А.И. Заеда, А. Боуменира.

Синк приближения нашли широкое применение при построении различных численных методов математической физики и теории приближения функций как одной так и нескольких переменных, в теории квадратурных формул н математической статистике. Синк-аппроксимации представляют собой классический пример вейвлст-преобразовшшй или всплесков. Смотрите, например, работы И.Я. Новикова, С.Б. Стечкина, B.C. Кашина, A.A. Саакяна, И. Добеши. Специалисты в области компьютерных наук O.E. Ливне и А.Е. Брандт используют результаты работы [1] для исследования сходимости алгоритмов многоуровневых синк-аппроксимаций функций с минимальной гладкостью.

Есть цикл работ, содержащих аналоги теоремы отсчётов, в которых вместо преобразования Фурье используется преобразование Гильберта, или преобразования с другими ядрами.

Доказать наличие сходимости на оси для менее гладких функций удалось в 1985г. П.Л. Бутцеру и Р.Л. Стенсу \ Правда, для этого пришлось несколько модифицировать оператор (1). Ими установлено, что для равномерно непрерывных, ограниченных на R функций /, принадлежащих классу Дини-Липшица и, кроме того, удовлетворяющих условию f(x) = 0(\x\~s) при X ±оо для некоторого 5 > О, равномерно на й. для любых теКиО<а<1 справедливо равенство

lim f ^МГ^^П^ИЪ-Ц

Wl J AWx-k) -f{x>-

Интересный признак равномерной сходимости на оси самих кардинальных функций Уиттекера приводится в работе 2005 года П.Л. Бутцера, Ж.Р. Хиггинса и Р.Л. Стенса2. Для функций из класса Fp = {/ : / <=

'Butzer P.L., Stems Ri. A modification of the Whittaker-Kotelnikov-Shannon sampling series // Aequationes Mathematicae, 28:1, 1985, p. 305-311

2Butzer P.L., Higgins J.R., Stens RX. Classical and approximate sampling theorems: studies in the £p(R) and the uniform norm. // Journal of Approximation Theory, 137. 2005, p. 250-263

L"(R) П C(R); f 6 LJ(R) П L«(R)} (здесь 1 + 1 = 1, 1 ^ p < oo, a / обозначает преобразование Фурье функции /) имеет место равномерная сходимость синк-аппроксимаций на действительной оси. В 1974г. А.И. Шмуклер и Т.А. Шульман3 получили не менее важное достаточное условие сходимости синк-аппроксимаций. Ими установлено, что для некоторых подклассов абсолютно непрерывных вместе со своими производными на интервале (0,7г) и имеющих ограниченную вариацию на всей оси R функций кардинальные функции Уиттекера сходятся равномерно внутри интервала (0,7г). В.П. Скляровым получена оценка сверху наилучшего приближения непрерывных, исчезающих на концах отрезка [0, я], функций линейными комбинациями синков.

Договоримся под термином „равномерная сходимость внутри интервала (а, 6)" понимать равномерную сходимость на любом компакте, содержащемся в (а, Ь). Через Со [а, 6] = {/:/£ С[а, 6], /(а) = ДЬ) = 0} обозначим снабжённое чебышёвской нормой пространство непрерывных на [а, 6] функций, исчезающих на концах отрезка. А словосочетание „аппроксимативная сходимость" означает, что значения оператора сходятся именно к приближаемой функции.

Цель работы.

• Расширение класса функций, приближаемых с помощью синк-аппрок-симации, с аналитических в полосе, содержащей действительную ось, экспоненциально убывающих на бесконечности, до существенно менее гладких, заданных на ограниченном отрезке.

• Получение необходимых и достаточных условий поточечной и равномерной сходимости на отрезке [0,7г] синк-аппроксимаций (1) функций из пространства С[0,7г]. Решние вопроса о полноте систем функ-ЧИЙ {^^И^ U {1,*} и {bi^}^ в пространствах

3Шмуклер А.И., Шульман Т.А. О некоторых свойствах рядов Котельникова // Известия вузов. Математика., № 3, 1974, с. 93-103

С[О, тг] и С0[О, тг] = {/:/€ С[0, тг], /(0) = /(тг) = 0}.

• Построение примера непрерывной на отрезке [0,7г] функции, исчезающей на концах отрезка, для которой значения операторов Ln неограниченно расходятся всюду на интервале (0,7г).

• В целях построения обобщений изучаемых синк-приближений, получение асимптотических формул для значений дифференциальных операторов, являющихся решениями задачи Коши, с дифференциальным выражением в виде линейного уравнения второго порядка у" + [А — дд(а:)] у = 0, где потенциал q\ может меняться в зависимости от А.

• Исследование аппроксимативных свойств операторов S\ типа Лагран-жа (8), построенных по решениям задачи Коши. Подбирая соответствующим образом функции qx, получаем единое представление в виде оператора S\ различных конструкций лагранжева типа таких, как классические интерполяционные многочлены, кардинальные функции Уиттекера, интерполяционные процессы Лагранжа, построенные по специальным функциям математической физики.

• Получение необходимых и достаточных условий поточечной и равномерной на отрезке [0, тг] сходимости к приближаемой функции / 6 С0[0,тг] значений операторов S\. В случае аппроксимации элементов пространства С[0,тг] получение критерия поточечной и равномерной внутри интервала (0, тг) сходимости S\ к приближаемой функции.

• Получение необходимых и достаточных условий поточечной и равномерной на отрезке [0,7г] сходимости к приближаемой функции / 6 С [0,7г] значений операторов Тд, компенирующих явление Гиббса вблизи концов отрезка [0,тг].

• Предложение ряда модификаций АТ\, ВТ\, СТ\, АТХ, &Г\ и СТ\

операторов £д и Т\. Эти модификации не обладают интерполяционным свойством как или 7д, но зато менее чувствительны к отсутствию гладкости аппроксимируемой функции. С их помощью можно приближать любой элемент пространства Со[0,7г], или даже С[0,7г].

• Для приближения произвольной, не обязательно гладкой, непрерывной на отрезке [0,7г] функции получение модификации Тд и Тд оператора 7д. Эти модификации обладают интерполяционным свойством как 5Л или Тд.

• Исследование, в качестве приложений предложенного обобщения синк-аппроксимаций 5д, аппроксимативных свойств интерполяционных многочленов Лагранжа-Якоби с\?*А\р,х) с узлами в нулях ортогональных многочленов -Якоби. При этом каждая строка матрицы узлов интерполирования состоит из нулей многочлена с параметрами оп,Рп, зависящими от п. Получение критерия равномерной внутри интервала (0, п) и поточечной сходимости интерполяционных процессов Лагранжа-Якоби С^"'13"^ (Г, соя в) при ограничении на скорость роста последовательностей |а„|, |/Зп\.

• Получение достаточных условий равносходимости значений операторов вида 5д и классических интерполяционных многочленов Лагран-жа с матрицей узлов, состоящей из нулей многочленов Якоби

• Получение дифференциальных соотношений в терминах дифференциала Гато для функционалов, ставящих в соответствие потенциалу д € Ь[0,7г] к—ый нуль п—ой собственной функции задачи Штурма-Лиувилля. Исследование с их помощью устойчивости задачи представления непрерывной функции с помощью интерполяционного процесса Лагранжа-Штурма-Лиувилля при незначительном изменении потенциала </.

Методика исследований. Основными средствами решения постав-

ленных задач являются методы теории функций действительного переменного, теории функций комплексного переменного, функционального анализа и спектральной теории дифференциальных операторов.

Научная новизна результатов исследований. Научные результаты, полученные в диссертационной работе, являются новыми. Перечислим эти результаты.

1. Расширен класс функций, приближаемых с помощью синк-аппрокси-мации, с аналитических в полосе, содержащей действительную ось, экспоненциально убывающих на бесконечности до существенно менее гладких, заданных на ограниченном отрезке. Полностью описан класс непрерывных на отрезке функций, допускающих возможность приближения усечёнными кардинальными функциями Уиттекера (1) в терминах необходимых и достаточных условий поточечной и равномерной внутри интервала (0,7г) сходимости синк-приближений (1). Установлены необходимые и достаточные условия поточечной и равномерной сходимости на отрезке [0,7г] синк-аппроксимаций (1) функций из пространства С[0,7г]. Решён вопрос о полноте систем синков в пространствах С[0,7г] и Со[0,7г].

2. При изучении аппроксимативных свойств сннк приближений впервые получен результат отрицательного характера. Построен пример непрерывной на отрезке [0, тг] функции, исчезающей на концах отрезка, для которой значения операторов Ln неограниченно расходятся всюду на интервале (0,7г).

3. В целях построения обобщений изучаемых синк-приближений, получены асимптотические формулы для значений дифференциальных операторов, являющихся решениями задачи Коши, с дифференциальным выражением в виде линейного уравнения второго порядка у" + [А — <7а(я)]у = 0, где потенциал q\ может меняться в зависимости от А. Впервые показано, что требование ограниченности вариации

потенциала существенно, в отличие от его непрерывности, для сохранения полученного в этой работе порядка аппроксимации асимптотики, а также порядка погрешности классических асимптотических формул.

4. Автору работы не известны публикации в мировой научной литературе, кроме собственных, касающиеся исследований аппроксимативных свойств операторов S\ типа Лагранжа (8), построенных по решениям задачи Коши. Подбирая соответствующим образом функции <7а, получаем единое представление в виде оператора S\ различных конструкций лагранжева типа таких, как классические интерполяционные многочлены, кардинальные функции Уиттекера, интерполяционные процессы Лагранжа, построенные по специальным функциям математической физики. Установлены необходимые и достаточные условия поточечной и равномерной на отрезке [0,7г] сходимости к приближаемой функции / € Со[0,7г] значений операторов S\. В случае аппроксимации элементов пространства С[О,7г] получен критерий поточечной и равномерной внутри интервала (0,7г) сходимости (8) к приближаемой функции.

5. Показано, что для равномерной и поточечной аппроксимации непрерывных функций, обладающих достаточным запасом гладкости, на всём отрезке [0,7г] следует применять вместо оператора S\ его новую модификацию 7д. Впервые предложен ряд модификаций операторов S\ и Т\. Эти модификации не обладают интерполяционным свойством как S\ или 2д, но зато менее чувствительны к отсутствию гладкости аппроксимируемой функции. С их помощью можно приближать любой элемент пространства Со[0, т], или даже С[0,7г]. Для приближения произвольной непрерывной на отрезке [0,7г] функции получены новые модификации оператора Т\. Эти модификации обладают интерполяционным свойством как S\ или Т\. Правда, значения

новых операторов могут оказаться менее гладкими, чем результаты действия операторов 5д и Т\.

6. В качестве приложений предложенного обобщения синк-аппроксима-ций 5л, в частности, впервые проводится исследование аппроксимативных свойств интерполяционных многочленов Лагранжа-Якоби с узлами в нулях ортогональных многочленов Якоби. При этом каждая строка матрицы узлов интерполирования состоит из нулей многочлена с параметрами ап,/Зп, зависящими от п. В случае, когда значения параметров ап < — 1 или (Зп < — 1 такие, что функции вообще говоря, не являются многочленами, в качестве интерполяционного процесса Лагранжа-Якоби рассматривается последовательность значений операторов, аналогичных операторам 5д вида (8). Получены критерии равномерной внутри интервала (0,7г) и поточечной сходимости интерполяционных процессов Лагранжа-Якоби £па"'^"'(^соз0) при ограничении на скорость роста последовательностей |ап|, \Рп\. Также впервые получено достаточное условие равносходимости значений операторов (32) и классических интерполяционных многочленов Лагранжа с матрицей узлов, состоящей из нулей многочленов Якоби

7. В качестве ещё одного варианта возможных приложений предложенного обобщения синк-аппроксимаций 5д в работе рассматриваются интерполяционные процессы Лагранжа вида (38), построенные по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля (39). В терминах дифференциала Гато для функционалов, ставящих в соответствие потенциалу q € Ь[0,7г] к—ый нуль п—ой собственной функции задачи Штурма-Лнувилля, получено новое дифференциальное соотношение. С его помощью впервые установлено отсутствие устойчивости задачи представления непрерывной функции с помощью интерполяционного процесса Лагранжа-Штурма-Лиувилля вида (38)

при незначительном изменении потенциала д задачи (39).

Вклад автора в проведенное исследование. Все результаты исследований, содержащиеся в диссертационной работе, получены автором самостоятельно и опубликованы в открытой печати отечественных и зарубежных изданий.

Теоретическая и практическая значимость результатов исследований. Диссертационная работа носит в основном теоретический характер. Результаты, полученные в ней, могут быть применены в теории приближения функций, вычислительной математике, теории кодирования сигналов. Проведённые исследования могут использоваться в учебном процессе при чтении спецкурсов и проведении спецсеминаров по теории интерполирования функций для студентов естественнонаучных специальностей и направлений подготовки. Вместе с тем результаты работы могут иметь и прикладное значение. Так при оцифровке сигналов фрактального вида использование операторов, предложенных в работе, даст возможность исключить появление нежелательного резонанса. Такие методы кодирования сигналов могут позволить отказаться от использования аппаратных фильтров, что приведёт к повышению экономичности и отказоустойчивости вычислительного оборудования.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международной конференции „Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего. 30 марта - 02 апреля 2009 года, на международной конференции „Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвящённой 105-летию С.М. Никольского. 17 - 19 мая 2010 года, на международной конференции „Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвящённой 90-летию С.Б. Стечкина. 23 - 26 августа 2010 года, на международной конференции „Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвящённой 110-летию И.Г. Петровского. 30 мая - 4 июня 2011 года, на Саратовских зимних школах „Современ-

ные проблемы теории функций и их приложения" с восьмой (1996 года) по шестнадцатую (2012 года), на международных Казанских летних научных школах-конференциях „Теория функций её приложения и смежные вопросы" (1999г., 2005г., 2007 г., 2009 г., 2011 г.), на Воронежских зимних математических школах „Современные методы теории функций и смежные вопросы" (1995г., 1999г.), на ряде других конференций и семинаров, имеющих региональный статус. В целом работа докладывалась на семинаре Московского государственного университета им. М.И. Ломоносова под руководством академика РАН Б.С. Кашина, на семинаре Московского физико-технического института (государственного университета) под руководством профессора Е.С. Половинкина, на семинаре Воронежского государственного университета под руководством профессора Е.М. Семёнова, на семинаре Института математики п механики Уральского отделения Российской Академии Наук под руководством чл.-корр. РАН Ю.Н. Субботина.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1 -41]. Работы [1 - 11] опубликованы в журналах из перечпя рецензируемых научных журпалов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ. В статье [11] вторым соавтором строились контрпримеры, указывающие на неулучшаемость установленного порядка аппроксимации аналитических функций значениями рассаматриваемых операторов. В работах [17] и [18] вторым соавтором были получены некоторые следствия из основных утверждений. Эти результаты в диссертационной работе не рассматриваются.

Структура и объём работы. Диссертационная работа объёмом 251 страницы состоит из введения, пяти глав и списка литературы, содержащего 275 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ.

Для обобщения операторов (1) в главе 1 получены асимптотические формулы для значений дифференциальных операторов, являющихся реше-

ниями задачи Коши, с дифференциальным выражением в виде линейного уравнения второго порядка у" + [А — дх(х)]у = 0, где потенциал дл может меняться в зависимости от А, то есть является функцией двух переменных х и А. Показано, что требование ограниченности вариации потенциала существенно, в отличие от его непрерывности, для сохранения полученного в главе 1 порядка аппроксимации, а также классических асимптотических формул.

В предположении рх ^ 0, при каждом неотрицательном А считаем, что функция «д есть произвольный элемент из шара Урх[0,7г] радиуса р\ = °(ег!) в пространстве функций с ограниченным изменением, исчезающих в нуле, то есть такая, что

В случав задачи Коши (5), кроме того, потребуем отличие от нуля функции Л(А), то есть

ЦГЫ < РА, Рх = о , при А —> оо, </л(0) = О, Л(А) ф 0. (3)

Тогда для любого потенциала дЛ 6 УРх [0, тт], при А —♦ +оо, нули решения задачи Коши

попадающие в [0, тг] и перенумерованные в порядке возрастания, обозначим

о < х0л < ж1.а < ... < хп(л),а ^ 7г (х_1,л < 0, г„(а)+1,а > т). (6)

(Здесь х_1,а < 0, хп(а)+1,а > п обозначают нули продолжения решения задачи Коши (4) или (5), после доопределения каким-либо образом функции

ЧГЬа] < ра, ра = о , при А —> оо, 9а(0) = 0. (2)

2/"+(А-<?а(*))у = 0, 2/(0, А) = 0, 1^(0, А) = Л(А), (5)

Я\(х) = <

дх вне отрезка [0,7г] с сохранением ограниченности вариации). В дальнейшем, если не оговорено иное, для краткости будем обозначать п = п(А). Задачи Коши (4) и (5) в случае, когда дЛ 6 ¿[0,7г], имеют единственное обобщённое решение. При каждом А > 0 доопределим функцию

дл(х) при х е [0,7г],

9а(7г) при х > я, (7)

О при х < 0.

Через хьх> к € 2 будем обозначать нули решения у(х, А) задачи Коши (4), или (5), рассматриваемой на всей действительной оси, перенумерованные в порядке возрастания, таким образом, чтобы выполнялись неравенства (6).

В главе 2 исследуются аппроксимативные свойства операторов типа Лагранжа, построенных по решениям задачи Коши вида (4) или (5) и ставящих в соответствие любой, определённой на отрезке [0,7г] функции /, интерполирующую её в узлах {х*,а}£=о непрерывную функцию таким образом

*</.*> = ± у^х-х^М - /<*М>. (3)

Подбирая соответствующим образом функции получаем единое представление в виде оператора (8) различных конструкций лагранжева типа таких, как классические интерполяционные многочлены (с точностью до весового множителя), кардинальные функции Уиттекера, интерполяционные процессы Лагранжа, построенные по специальным функциям математической физики. Так, например, с точностью до преобразования Лиувил-ля многочлены Чебышева. и многочлены Якоби, в случае а = ±|, /? = ±| являются решениями дифференциальных уравнений задач (4), (5), с потенциалом, удовлетворяющим условию (2). Если взять д\ = 0, А„ = п2, то операторы (8) превращаются в усечённые кардинальные функции Уиттекера (!)•

В главе 2 приведены необходимые и достаточные условия аппроксимативной сходимости в точке значений операторов (8) для непрерывных

функций. Информация о функции / может быть ограничена только её значениями в узлах хь,л> находящихся в окрестности точки, в которой исследуются аппроксимативные свойства (8). А также получен критерий равномерной сходимости значений операторов (8) для непрерывных функций.

Исключив из рассмотрения тривиальный случай / = О, возьмём фиксированную положительнозначную функцию т?(А), удовлетворяющую условиям

= о(1), lim fj^l . = оо; положим е(А) = ехр/--f^l

А—оо U)(J, ^д) (_ U>(/,^)J

Для любого положительного А и X є [0, 7г] обозначим через Р, ТП\ и 77і2 такие целые числа, что

2

mi = — + 1, m2 =

Хр, а <х < Хр+ід, (10)

где номера нулей к\ и определяются из неравенств a:t,-i,a < х — е(А) < Xki,А> 2Tfc2,A < х + е(А) < Xk,+1,\.

Теорема 1 (Критерий сходимости в точке]. Пусть f € Со[0,7г], и функции qx и h{А) удовлетворяют условию (2) в случае задачи Kölau (4), или (3) — в случае задачи (5). Доопределим функцию f(x) — 0 для всех х £ [0, 7г]. Тогда для операторов вида (8), построенных с помощью решений задачи Коши (4), равномерно по х на [0,7г], а также равномерно по всем qx € тг] и h(А) € R справедливо равенство

lim

а-+00

f(x)-Sx(/,x)

väi/(x, a) >f(x2ш+1,а) - 2/(х2ш,а) + f{X2m-l,\)

А для операторов вида (8), построенных с помощью решений задачи Коши (5), равномерно по х на [0, тг], а также по qx 6 [0,7г] и Л(А) € К \ {0} справедливо равенство

lim

А—»oo

f(x)-Sx(f,x) 15

\Ду(х,Х) ^ //(Ж2т+1,л) ~ 2/(х2шЛ) + /(Ж2т-1,Л)

2тгЛ(А) ^ р - 2т

4 ' гп=т1 г

= 0. (12)

Где штрих у сумм в (11) или (12) означает отсутствие слагаемого со знаменателем, равным нулю. Еслит2 < т\ (смотрите (10)), то суммы в (11) и (12) равны нулю.

Предложение 17 [Критерий равномерной сходимости]. Пусть / 6 Со[0,тг], и функции дд и Л(Л) удовлетворяют условию (2) в случае задачи Коши (4), или (3) — в случае задачи (5). Тогда, для того чтобы значения оператора (8), построенного по решениям задачи Коши (4) или (5), равномерно на [0,7г], а также равномерно по всем д\ £ 1^,х[0,7г], аппроксимировали функцию / 6 Со[0,7:]:

л1ип||5л(/,-)-/||Со[м =0, (13)

необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

Нт тах

/(Д2т+1,л) ~ 2/(х2т,л) + /(^2т-1,л) _

р — 2т ~~ '

т=7П1 ^

иди эквивалентное ему условие [а?11

Иш тах

А—>оо 0".-р';':п

Г

/(Д2т+1,л) ~ 2/(х2т,Л) + /(Х2т-1,л)

р — 2т

0, (15)

где штрих у сумм означает отсутствие слагаемого со знаменателем, равным нулю. Если тг < ту (смотрите (10)), то сумма в (14) равна нулю.

Определение 1. Определим оператор, ставящий в соответствие любой, принимающей конечные значения на отрезке [0,7г], функции /, непрерывную функцию по правилу

7г

В параграфе 2.6 показано, что для равномерной и поточечной аппроксимации непрерывных функций, обладающих достаточным запасом гладкости, на всём отрезке [0,тг] следует применять вместо оператора (8) его модификацию (16). Отметим, что значения оператора Гд, как п S\, обладают интерполяционным свойством:

7а(/, xkiX) = f(xk,\), для всех к = 0,1,2,... п, Л > О,

по лишены такого недостатка как „явление Гиббса" вблизи концов отрезка [0,7Г].

Исключив из рассмотрения тривиальный случай, когда / линейна, возьмём фиксированную положительнозначную функцию i?(A), удовлетворяющую условиям

t?(A) = о( 1), lim -I-—^-г = оо,

положим ё(А) = ехр<---„ /ff.-V г •

Для любого положительного А и X е [0,7г] обозначим через р, nil И Ш2 такие целые числа, что

mi =

+ 1, ñi2 = jyj, хр,А < х < жр+1д, (18)

где номера нулей Ai и определяются из неравенств х~к1_х л < х — ё(А) íC

хки\< хк2,\ + ё(А) < ^jtj+i.A-

Предложение 20 [Критерий равномерной сходимости значений операторов Зд]. Пусть / € С[0,7г], и функции q\ и /г(А) удовлетворяют условию (2) в случае задачи Коши (4) или (3) — в случае задачи (5). Доопределим функции

f(x) = /W ~ /(°)х + до) всех х £ [0,7г] (19)

7г

« 9а как в (7). Тогда, для того чтобы значения оператора (16), построенного по решениям задачи Коши (4) или (5), равномерно на [0,7г], а также

равномерно по всем q\ 6 V^JO, -к], аппроксимировали функцию f е С[0,7г]:

л1йп||Гл(/,.)-/||с[М=0,

необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (14) (где границы изменения индекса суммирования определяются с помощью (18)), или эквивалентное ему условие (15). Если т2 < mlt то сумма в (14) равна нулю.

Определение 2. Пусть параметры задачи Коши (4) удовлетворяют условию (2), а параметры задачи (5) условию (3). Определим операторы, ставящие в соответствие любой функции f е С[0,тг], интерполирующие её непрерывные функции Тд(/, х) и Та (/, х) по следующим правилам. Доопределим функции f и q\ как в (19) и (7).

Тогда в случае задачи Коши (4), для каждого х е [arPlA, Жр+м), 0 < р < п, положим

+¡satim,+m

7г '

, V,/(д2т+1|А) - 2/(ж2т,л) + /(х2щ-1,л) f9m

+ р — 2т • ^

7г

M

I VÂy(x.A) ул //(Д2ш+1,л) - 2/(ж2т,л) + /(*2т-1.л) ,

2тгУл + Щ) р — 2т •

А в случае задачи Кошн (5), для каждого х 6 Хр-^д), 0 ^ р ^ п, положим

y'(xk,\)(x - xk,\) { 7Г J

+MiMI+/(0)

7г

A) Ä //(Д2т+1,л) ~ 2f(x2m,x) + f(x2m-l,x) .„„ч

2nh!\) ^ р — 2т ' 1 ;

^ У (Xk,x)(x - Xk,\) I TT J

+Л1ЬЛ0):с + /(0)

. у/*у(х,\) 1^У(х2т+1,л) - 2/(ж2т,л) + f(x2 т— + 27гЛ(А) ¿j Р — 2т ■ 1 ;

Здесь штрих у сумм означает отсутствие слагаемого со знаменателем, равным нулю, а границы изменения индекса суммирования m в (20) и (22) определяются с помощью (18). Если 77t2 < mi, то соответствующие суммы в (20) и (22) равны нулю.

Значения операторов (20) и (21) с ростом А равномерно аппроксимируют произвольный элемент пространства С[0,7г]. Конструкция этих операторов обладает интерполяционным свойством, таким же как у S\ или 7д ((8) или (16)), то есть ТЛ(/, хм) = f(xk,\) к = 0,1, 2,..., га, А 6 К.

Следствие 3 Пусть параметры, задачи Коши (4) удовлетворяют условию (2), uf£ С[0,7г]. Тогда для операторов Тд(/, х) и Тд(/, х), определённых соотношениями (20) и (21), равномерно по q\ £ [0, 7г] и h(А) € К справедливы равенства

lim |!/-Тд(/,.)||с[о,.] = 0, (24)

А—»оо

11т ||/ — Тд(/, -)11с[о,1г] = 0.

А—»оо 1 1

Следствие 4 Пусть параметры задачи Коши (5) удовлетворяют условию (3), и / € С[0,7г]. Тогда для операторов ТА(/, х) и ТА(/, х), определённых соотношениями (22) и (23), равномерно по б [0,7г] и Л(А) ф 0 справедливы равенства (24) и (25).

Параграф 2.7 посвящён конструированию операторов, приспособленных для аппроксимации произвольных непрерывных на отрезке [0,7г] функций и представляющих собой линейные комбинации з^л и линейных функций. Значения операторов 5Л (8) и 7\ (16) интерполируют аппроксимируемую функцию, но зато, как видно из теоремы 1 и предложений 16-20, достаточно чувствительны к гладкостным свойствам приближаемой функции. Значения операторов ТА(/, х) и ТА(/, х), определённых соотношениями (20) - (23), интерполируют приближаемую функцию, но могут потерять гладкость в узлах интерполяции. Поэтому для приближения "плохих" функций с сохранением гладкости аппроксимирующей функции можно пользоваться лишёнными интерполяционного свойства Лагранжа операторами (26)-(29). На пространстве непрерывных на [0,7г] функций / определим операторы

АТХ(/1Х) = У^Г/(**+1А) + Л**.А) _ (/(?г) ~ 1(0)) (хк+1Л + Хк,\)

1

М1, х) = 2 ]£(в*-м(*) + (26)

(28)

7г

-ДО) + /(?г) тх + /(0). (29)

Предложение 21. Пусть } 6 Со[0, тг], и функции д\ и h(А) удовлетворяют условию (2) в случае задачи Коши (4) или (3) — в случае задачи (5). Тогда равномерно по х на отрезке [0, тг] и по q\ на шарах Vpx [0, тт]

lim ЛА(/,х) = lim 1Л(/, х) = f(x), (30)

Л—»oo А—кх>

Если f € С[0,7г], то сходимость в (30) равномерная внутри интервала (0,Тг).

Предложение 22. Пусть f 6 С[0,7г], и функции q\ и h(X] удовлетворяют условию (2) в случае задачи Коши (4) или (3) — в случае задачи (5). Тогда равномерно по х на отрезке [0,7г] и по q\ на шарах VPx [0, тг]

lim ATx(f, х) = lim ATx(f, x) = f{x). (31)

A—»oo A—»oo

Глава 3 посвящена описанию класса непрерывных функций допускающих равномерное приближение на отрезке [0,7г] с помощью операторов (1).

Параграф 3.1 содержит исследование полноты системы синков в пространствах С[0, 7г] И Со[0,7г]. Кроме того, здесь получены необходимые и достаточные условия равномерной сходимости синк-приближений (1) на всём отрезке [0, тг].

В параграфе 3.2 построен пример функции, / € Со[0,7г], для которой имеет место неограниченная расходимость синк-приближений (1) всюду на интервале (0, тг).

Теорема 2. Существует / € Со[0,7г], для которой всюду на интервале (0, тг) справедливо равенство

lim|Ln(/,x)| = оо,

п—>оо' 1

где оператор Ln определён (1).

Глава 4 посвящена некоторым приложениям операторов (8), рассмотренных в главе 2 к теории интерполирования функций многочленами Ла-гранжа-Якоби. В главе 4, в отличие от порядка многочлена номер

наибольшего го нулей решений задач Коши (4) или (5), согласно нормировке (6), будем обозначать п = п(А). Поэтому определение оператора (8) выглядит так

ВД*> 't^ll^fM-¿M.1W (32)

В главе 4 получены критерии равномерной внутри интервала (0,7г) и поточечной сходимости интерполяционных процессов Лагранжа-Якоби /^"^(F, cos в) (после стандартной замены х = cos 0), а также аналогичные критерии сходимости значений введённых в главе 2 операторов (32) в случае, когда в качестве у(х, А) берутся функции

«„(»)= (cosy p(*«A>(cos0). (33)

Для краткости будем называть функции ип(в) "взвешенными" МИОГОЧле-

сЛа Ап

нами Якоби. Такие операторы будем обозначать

Договоримся считать, что функция pjf"^"1 При ап > —1, /3„ > —1 есть классический многочлен Якоби, а в случае, когда выполняется хотя бы одно из условий а„ ^ —1 или (Зп ^ —1 РІ""''3"' — есть гипергеометрический ряд.

Считаем, что последовательности {an}íüi, {Aj}£Li удовлетворяют соотношениям

опеМ, Д,єК, = /?п = 0(\/^) ПРИ"-"00- (34)

Пусть/Є С[а, 6],где [а, Ь] С (0, тг). Доопределим функцию/на отрезок [0,7г] до непрерывной функции F следующим образом

' № при 9 Є [а, Ь],

F(0)=^O nPH[0,w]\(f,^), (35)

линейная при в € а) и (b,

Параграф 4.1 посвящён переносу некоторых результатов главы 2 на случай операторов ¿"д"""0"' при уловии (34).

В параграфе 4.2 получено достаточное условие равносходимости значений операторов (32) и классических интерполяционных многочленов Лагран-жа с матрицей узлов, состоящей из нулей многочленов Якоби РІ™"'^"'. Сде-

лаем линейную замену переменной <р(0) : [§,7г —

тг-ЬТ

[0,7г]. Рассмот-

рим круг К в комплексной плоскости переменной т с центром на действительной оси и границей дК, проходящей через точки т — —

2(п+Ь-а)

її и

т = Положим

maxf m ах

\ veto,»]. \ теак

i £íll

.m

, max

veto,«І,

т £дК

COS

fíli

COS

m

max

velo,»],

тЬ&К

,ÊM

, max

V»eIO,w|, т£дК

eos

ІМ

= Mo(a, b).

Определение 3. Будем говорить,что функция f € C[a,b\, где [а, 6] С (0,7г) и пара последовательностей {ап}^!, {/3,,}^! связаны между собой условием равносходимости, если после доопределения функции f до F на отрезок [0,7г] как в (35) найдутся константа u ^ 0 и ограниченная последовательность {/-í„}5Jí2> каждый член которой удовлетворяет неравенству jj^ ^ р.п ^ р. < оо, такие, что для функции F и последовательностей {«n}ÍS=2> {A»}Í5=2 одновременно справедливы соотношения

limw

п—* оо

К)

¡jLn ln n = О

Теорема 3 [Равносходимости]. Пусть функция / 6 С[а, 6], [а, 6] С

(0,7г) и пара последовательностей {/?п}^=і связаны между собой

условием равносходимости. Продолжим функцию / до Р на отрезок [0,7г] как в (35). Тогда для классических интерполяционных процессов Лагран-жа-Якоби соэС) (в случае ап ^ —1 или /Зп < —1 интерполяци-

онных процессов по гипергеометрическим рядам) и значений операторов (8), построенных с помощью функций ^(в) вида (33), имеет место равномерно по в на [a, fe] соотношение

|4«„А>(F)COS0) _ s£»a>(F,0)| = 0(1), при rwoo,

где о-символ зависит только от а, Ъ, f, выбора константы v и последовательности {¿ín}n==2 в определении 3.

В тесной связи с синк-приближениями находятся интерполяционные процессы Лагранжа, построенные по собственным функциям задачи Штур-ма-Лиувилля. Глава 5 посвящена изучению аппроксимативных свойств этих операторов. Положим

bf(/,*) = p(xk¡n)m-^L—} = ±f(xk,n)l!^ (38)

где Un есть ti—ая собственная функция регулярной задачи Штурма-Лиу-вилля

U"+[X-g]U = 0, £/'(0) — hU(0) = 0, U'(ir) + HU(n) = 0 (39)

с фиксированным потенциалом q ограниченной вариации на [0,7г], нормировкой и граничными условиями вида {/„(0) = 1, /г / ±оо, Н ф ±оо. Здесь через 0 < х1>п < x2¡„ < ■ ■ ■ < ЖП)„ < 7т обозначены нули функции ип. Г.И. Натансон в предположении непрерывности потенциала q ограниченной вариации получил признак Дини-Липшица равномерной сходимости внутри интервала (0,7г) процессов Лагранжа-Штурма-Лиувилля (38).

Решения задачи Коши (4) при q\ = q и А = Ап представляют собой, нормированные условием у(0,An) = 1 собственные функции у(х, An) = Un(x), ГДе Ап - собственные значения задачи Штурма-Лиувилля (39). Поэтому в предположении ограниченности вариации фиксированного (не обязательно непрерывного) потенциала q\ = q все результаты главы 2 остаются справедливыми для операторов (38).

Параграф 5.1 посвящён изучению дифференциальных свойств, в терминах дифференциала Гато функционалов, ставящих в соответствие потенциалу q € L[0,7г] к—ый нуль п—ой собственной функции задачи Штурма-Лиувилля.

В параграфе 5.2 установлено отсутствие устойчивости задачи представления непрерывной функции с помощью интерполяционного процесса Ла-гранжа-Штурма-Лиувилля (38).

Теорема 4. Пусть h и Н- произвольные действительные числа, q -потенциал ограниченной вариации задачи Штурма-Лиувилля (39), тогда для любого положительного е существуют множество Е С [0,7г] и потенциал q с ограниченным изменением такие, что

(q-q)eVe[0,7T],

Е плотно в отрезке [0,7г], и для каждой точки Xg £ Е найдётся функция f 6 Со[0,7г], для которой выполняются соотношения

~Ш\ь3п1и,х0)\ = ж

71—»ОО 1

U

lim \mL(f, х) — fix)I = 0, равномерно на [0,7г],

п—»ОО '

где L%L и LsnL — процессы Лагранжа-Штурма-Лиувилля (38), построенные по собственным функциям задач (39) с потенциалами q и q соответственно.

Публикации по теме диссертации

Публикации в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

1. Трынин А.Ю., Критерии поточечной и равномерной сходимости синк-приближений непрерывных функций на отрезке / А.Ю. Трынин // Математический сборник. - 2007. - Т. 198. - № 10. - С. 141-158.

2. Трынин А.Ю., Обобщение теоремы отсчётов Уиттекера-Котельникова-Шеннона для непрерывных функций на отрезке / А.Ю. Трынин // Математический сборник. - 2009. - Т. 200. - № 11. - С. 61-108.

3. Трынин А.Ю., Об операторах интерполирования по решениям задачи Коши и многочленах Лагранжа-Якоби / А.Ю. Трынин // Известия Российской Академии Наук. Серия математическая. - 2011. - Т. 75. - № 6. -С. 129-162.

4. Трынин А.Ю., Оценки функций Лебега и формула Неваи для sinc-приближений непрерывных функций на отрезке / А.Ю. Трынин // Сибирский математический журнал. 2007. Т. 48. № 5. С. 1155 1166.

5. Трынин А.Ю., Об асимптотике решений и узловых точек дифференциальных выражений Штурма-Лиувилля / А.Ю. Трынин // Сибирский математический журнал. - 2010. - Т. 51. - № 3 Май-июнь. - С. 662-675.

6. Трынин А.Ю., О расходимости синк-приближений всюду на (0,7г) / А.Ю. Трынин // Алгебра и анализ. - 2010. - Т. 22. - № 4. - С. 232-256.

7. Трынин А.Ю., Об отсутствии устойчивости интерполирования по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля / А.Ю. Трынин // Известия высш. уч-ых заведений. Математика. - 2000. - X' 9(460) - С. 60-73.

8. Трынин А.Ю., Критерий равномерной сходимости sinc-приближений на отрезке / А.Ю. Трынин // Известия высш. уч-ых заведений. Математика. - 2008. - № 6. - С. 66-78.

9. Трынин А.Ю., О расходимости интерполяционных процессов Лагран-жа по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля / А.Ю. Трынин // Известия высш. уч-ых заведений. Математика. - 2010. - № 11. - С. 74-85.

10. Трынин А.Ю., Дифференциальные свойства нулей собственных функций задачи Штурма-Лиувилля / А.Ю. Трынин // Уфимский математический журнал. - 2011. - Т. 3. - № 4. - С. 133-143.

11. Trynin A.Yu. Error of sine approximation of analytic functions on an interval / A.Yu. Trynin, V.P. Sklyarov // Sampling Theory in Signal and Image Processing. - 2008. - V. 7. - № 3, Sep. - P. 263-270.

Другие публикации

12. Трынин А.Ю., Об оценке аппроксимации аналитических функций

интерполяционным оператором по синкам / А.Ю. Трынин // Математика. Механика. - 2005. - Т.7. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. - С. 124-127.

13. Трынин А.Ю., Принцип локализации для процессов Лагранжа-Штур-ма-Лиувилля / А.Ю. Трынин // Математика. Механика. - 2006. - Т.8. -Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. - С. 137-140.

14. Трынин А.Ю., Об одном интегральном признаке сходимости процессов Лагранжа-Штурма-Лпувилля / А.Ю. Трынпн // Математика. Механика. - 2007. - Т.9. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. - С. 94-97.

15. Трынин А.Ю., Существование систем Чебышёва с ограниченными константами Лебега интерполяционных процессов / А.Ю. Трынин /,/ Математика. Механика. - 2008. - Т.10. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2008. - С. 79-81.

16. Трынин А.Ю., Пример системы Чебышёва с почти всюду сходящейся к нулю последовательностью функций Лебега интерполяционных процессов, / А.Ю. Трынин // Математика. Механика. - 2009. - Т.Н. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2009. - С. 74-76.

17. Трынин А.Ю. Об одном признаке типа Дини-Липшица сходимости обобщённых интерполяционных процессов Уиттекера-Котельникова-Шеннона / А.Ю. Трынин, И.С. Панфилова // Математика. Механика. -2010. - Т. 12. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2010. - С. 83-87.

18. Трынин А.Ю. О расходимости интерполяционных процессов Лагран-жа по узлам Якоби на множестве полной меры, / А.Ю. Трынин, И.С. Панфилова // Математика. Механика. - 2010. - Т. 12. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2010. - С. 87-91.

19. Трынин А.Ю., О необходимых и достаточных условиях равномерной и поточечной сходимости интерполяционных процессов по "взвешенным" многочленам Якоби / А.Ю. Трынин // Математика. Механика. - 2011. -Т. 13. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2011. С. 96-100.

20. Трынин А.Ю., О равномерной сходимости интерполяционных процессов Лагранжа-Штурма-Лиувилля / А.Ю. Трынин // Деп. в ВИНИТИ 26.04.91, Ш763-В91. Саратовский ун-т. - 1991. - С. 1-32.

21. Трынин А.Ю., Об одном признаке сходимости интерполяционных

процессов Лагранжа-Штурма-Лиувилля / А.Ю. Трынин // Деп. в ВИНИТИ 27.05.91, ДО2201-В91. Саратовский ун-т. - 1991. - С. 1-33.

22. Трынин А.Ю., О полноте линейных комбинаций синков в С[0,7г] / А.Ю. Трыннн // Материалы международной конференции „Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвящённой 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего. - 2009. - Москва: Изд-во Московского ун-та, 2009. - С 98-99.

23. Трынин А.Ю., Об асимптотических формулах для значений некоторых линейных дифференциальных операторов второго порядка / А.Ю. Трынин // Материалы международной конференции „Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвящённой 105-летию С.М. Никольского. - 2010. - Москва: Изд-во Московского ун-та, 2010. - С. 38.

24. Трынин А.Ю., О расходимости синк-приближений всюду на (0,7г) / А.Ю. Трынин // Тезисы международной конференции „Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвящённой 90-летию С.Б. Стечкина. - 2010. - Москва: Изд-во Московского ун-та, 2010. - С. 75-76.

25. Трынин А.Ю., Дифференциальные свойства нулей собственных функций задачи Штурма-Лиувилля / А.Ю. Трынин // Сборник тезисов международной конференции „Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвящённой 110-летию И.Г. Петровского. - 2011. - Москва: Изд-во Московского ун-та, 2011. - С. 370-371.

26. Трынин А.Ю., Об интегральных признаках сходимости интерполяционных процессов Лагранжа по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля / А.Ю. Трынин // Тез. докл. 8 Саратовской зимней школы „Современные проблемы теории функций и их приложения". - 1996. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1996. - С. 113-114.

27. Трынин А.Ю., Дифференциальные свойства нулей собственных функций задачи Штурма-Лиувилля / А.Ю. Трынин // Тез. докл. 9 Саратовской зимней школы „Современные проблемы теории функций и их приложения".- 1997. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1997. - С. 156.

28. Трынин А.Ю., Об аппроксимации аналитических функций опера-

торами Лагранжа-Штурма-Лиувилля /' А.Ю. Трынин // Тез. докл. 10 Саратовской зимней школы „Современные проблемы теории функций и их приложения". - 2000. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. - С. 140-141.

29. Трынин А.Ю., Асимптотическая формула для потенциала с ограниченным изменением / А.Ю. Трынин // Тез. докл. 11 Саратовской зимней школы „Современные проблемы теории функций и их приложения", посвя-щённой памяти выдающихся профессоров МГУ Н.К. Бари и Д.Е. Меньшова. - 2002. - Саратов: Изд-во „Колледж", 2002. - С. 211-212.

30. Трынин А.Ю., Критерии равномерной сходимости синк-приближений на отрезке / А.Ю. Трынин // Тез. докл. 13 Саратовской зимней школы „Современные проблемы теории функций и их приложения". - 2006. - Саратов: Изд-во „Научная книга", 2006. - С. 176-178.

31. Трынин А.Ю., Одно обобщение теоремы дискретизации / А.Ю. Трынин // Тез. докл. 14 Саратовской зимней школы „Современные проблемы теории функций и их приложения", посвящённой памяти академика П.Л. Ульянова. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2008. - С. 189-190.

32. Трынин А.Ю., Об одном обобщении теоремы Уиттекера-Котельни-кова-Шеннона / А.Ю. Трынин // Тез. докл. 15 Саратовской зимней школы „Современные проблемы теории функций и их приложения", посвящённой 125-летию со дня рождения В.В. Голубева и 100 летию СГУ. - 2010. - Изд-во Сарат. ун-та, 2010. - С. 175-176.

33. Трынин А.Ю., О равносходимости операторов интерполирования по решениям задачи Коши и многочленов Лагранжа-Якоби / А.Ю. Трынин // Материалы 16 Саратовской зимней школы „Современные проблемы теории функций и их приложения". - 2012. - Саратов: Изд-во „Научная книга", 2012. - С. 178-179.

34. Трынин А.Ю., Функция Грина интерполяционного оператора Лагранжа-Штурма-Лиувилля / А.Ю. Трынин // Труды мат-го центра им. Н.И. Лобачевского. Материалы школы-конференции, посвящённой 130-летию со дня рождения Д.Ф. Егорова „Теория функций её приложения и смежные вопросы". - 1999. - Казань: Изд-во Казанского мат. общества, 1999. -С. 228.

35. Трынин А.Ю., Об оценке аппроксимации аналитических функций одним интерполяционным оператором / А.Ю. Трынин // Труды мат-го центра им. Н.И. Лобачевского. - Т. 30. - Материалы Седьмой международной Казанской летней научной школы-конференции „Теория функций её приложения и смежные вопросы". - 2005. - Казань: Изд-во Казанского мат. общества, 2005. - С. 155-156.

36. Трынин А.Ю., О константах Лебега интерполяционных процессов по системам Чебышёва / А.Ю. Трынин // Труды мат-го центра им. Н.И. Лобачевского. - Т. 35. - Материалы Восьмой международной Казанской летней научной школы-конференции „Теория функций её приложения и смежные вопросы". - 2007. - Казань: Изд-во Казанского мат. общества, 2007. -С. 248-249.

37. Трынин А.Ю., О расходимости почти всюду процессов Лагранжа-Штурма-Лиувилля / А.Ю. Трынин //Труды мат-го центра им. Н.И. Лобачевского. - Т. 38. - Материалы Девятой международной Казанской летней научной школы-конференции „Теория функций её приложения и смежные вопросы". 2009. Казань: Изд-во Казанского мат. общества, 2009. С. 284-285.

38. Трынин А.Ю., Критерии равномерной сходимости процессов Лагран-жа по "взвешенным" многочленам Якоби / А.Ю. Трынин // Труды мат-го центра им. Н.И. Лобачевского. - Т. 43.^^Материалы Десятой международной Казанской летней научной школы-конференции „Теория функций её приложения и смежные вопросы". - 2011. - Казань: Изд-во Казанского мат. общества, 2011. - С. 341-344.

39. Трынин А.Ю., О необходимых и достаточных условиях сходимости синк-аппроксимаций на отрезке / А.Ю. Трынин // Тез. докл. „VII Международный симпозиум Ряды Фурье и их приложения". - Ростов-на-Дону: Изд-во Южного федерального университета, 2012. С. 36-37.

40. Трынин А.Ю., Об устойчивости задачи интерполирования по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля / А.Ю. Трынин // Тез. докл. Воронежской зимней математической школы „Современные методы теории функций и смежные вопросы". - Воронеж: Изд-во Воронеж, ун-та,

1995. - С. 231 <

41. Трынин А.Ю., Оценки снизу функций и констант Лебега интерполяционных процессов Лагранжа-Штурма-Лиувилля / А.Ю. Трынин // Тез. докл. Воронежской зимней математической школы „Современные методы теории функций и смежные вопросы". - Воронеж: Изд-во Воронеж, ун-та, 1999. - С. 190.

Подписано в печать 19.04.2013. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Times New Roman. Печать RISO. Объем 2,0 печ. л. Тираж 100 экз. Заказ № 145.

САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н.Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО

05201351370 На правах рукописи

ТРЫНИН Александр Юрьевич

ОПЕРАТОРЫ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И АППРОКСИМАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ.

/

01.01.01 - Вещественный, комплексный и функциональный анализ

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Саратов 2013

Оглавление

1 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ 61

1.1 Асимптотика решений задачи Коши..............................63

1.2 Асимптотические формулы для нулей и производных решений задачи Коши........................................................70

1.3 Точность по порядку асимптотических формул..................75

2 ОБОБЩЕНИЕ СИНК-ПРИБЛИЖЕНИЙ 80

2.1 Приближение аналитических функций............................91

2.2 Оценки фундаментальных функций s¡c,\..........................96

2.3 Оценки функций и констант Лебега операторов S'a и А\ . . . . 101

2.4 Главная часть погрешности приближения непрерывных функций ..................................108

2.5 Критерии равномерной и поточечной сходимости значений операторов S\ в пространстве Со[0,7г]................129

2.6 Критерии равномерной и поточечной сходимости значений операторов интерполирования Т\ в С[0,7г] .............140

2.7 Равномерное и поточечное приближение непрерывных функций с помощью линейных комбинаций функций Sk.x......146

3 ПРИБЛИЖЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ КОМБИНАЦИЯМИ СИН-

КОВ 150

3.1 Исследование полноты системы синков в Со[0, 7г] и С[0,7г] . . . 151

3.2 Расходимость синк-приближений всюду на (0,7г)........153

4 МНОГОЧЛЕНЫ ЛАГРАНЖА-ЯКОБИ 170

4.1 Критерии равномерной и поточечной сходимости интерполяционных процессов по "взвешенным" многочленам Якоби . . . 173

4.2 Теорема равносходимости.....................182

5 ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ ЛАГРАНЖА-ШТУР-

МА-ЛИУВИЛЛЯ 199

5.1 Дифференциальные свойства нулей собственных функций задачи Штурма-Лиувилля......................200

5.2 Исследование устойчивости задачи представления непрерывной функции процессом Лагранжа-Штурма-Лиувилля .... 207

ЛИТЕРАТУРА.............................217

Введение

Впервые sinc-приближения появились в работах Плэйна [181] в качестве инструмента приближённого вычисления корней многочленов. Позднее, в связи с развитием теории кодирования сигналов, Э. Борель [96] и Э.Т. Уит-текер [227] ввели понятие кардинальной функции и усечённой кардинальной функции, сужение на отрезок [0,7г] которых выглядят так:

£ ^ х\ — ктг) ^/к7Г\ у^ (-l)fcsiima; /Ьг\

п ' пх — кж \ п J пх — ктг V п )

к=0 к=О

= ¿ (i)

к=0

К настоящему времени достаточно фундаментально исследована проблема синк-аппроксимации аналитической в полосе, содержащей действительную ось, функции, экспоненциально убывающей на бесконечности (смотрите, например, [16], [211], [140], [193], [128], [82]). Наиболее полный обзор результатов, полученных в этом направлении до 1993 года, а также большое количество важных приложений синк-аппроксимаций можно найти в [206]. Интересные исторические обзоры исследований в этой области содержатся также в [102], [103], [136].

Кроме того, появился ряд исследований, восходящих к теореме отсчётов, или как её ещё называют теореме дискретизации Уиттекера-Котельникова-Шеннона [22], [196], [103], [35], [36],[206], [14], в которых получены различные представления целых функций рядами по синкам с узлами интерполирования, удовлетворяющими некоторым условиям "равномерности распределения" , например, [223], [99], [105], [137], [139]. [195], [229]. Серьёзный вклад в теорию информации внёс А.Н. Колмогоров со своими учениками (смотрите,

например, [20, §8], [64]), определив порядки скорости изменения верхней и нижней е-энтропии и е—ёмкости на единицу длины. Начиная с известной работы Крамера [150] изучается также связь между теоремами отсчётов и интерполяцией Лагранжа по узлам из спектра задачи Штурма-Лиувилля, например, [234], [182], [233], [99], [100].

Синк-приближения нашли широкое применение при построении различных численных методов математической физики и теории приближения функций как одной так и нескольких переменных [71], [72], [73], [74], [75], [76], [77], [78], [79], [80], [81], [83], [85], [86], [87], [90], [92], [93], [94], [95], [97], [98], [101], [107], [109], [111], [ИЗ], [116], [117], [118], [119], [120], [121], [124], [126], [127], [129], [131], [134], [135], [138], [141], [142], [143], [145], [146], [147], [148], [155], [158], [159], [160] [163], [167], [169], [170], [171], [172], [173], [174], [175], [177], [178], [179], [183], [184], [185], [186], [187], [188], [189], [190], [191], [192], [194], [197], [198], [200], [205], [207], [208], [209], [210], [211],[212], [213], [214], [216],[217], [218], [219], [220], [221], [222], [225], [228], [230], [231], [232], в теории квадратурных формул [91], [110], [112], [122], [144], [153], [176], [206], [209], теории вейвлет-преобразований или всплесков [35], [36], [18, Гл. 7, §4, п.2], [62], [14, Гл.2, §2.1, 2.2], [224], [115], [215] и математической статистике [114], [166], [202], [226]. Авторы статьи [156] используют результаты работы [235] для исследования сходимости алгоритмов многоуровневых синк-аппроксимаций функций с минимальной гладкостью.

Есть цикл работ, содержащих аналоги теоремы отсчётов, в которых вместо преобразования Фурье используется преобразование Гильберта, или преобразования с другими ядрами, например, [112], [125], [153], [186], [209].

В работе [154] получен аналог теоремы отсчётов, использующий интерполяцию типа Эрмита.

Доказать наличие сходимости на оси для менее гладких функций уда-

лось авторам статьи [106]. Правда, для этого пришлось несколько модифицировать оператор (1). Ими установлено, что для равномерно непрерывных, ограниченных на Ж функций /, принадлежащих классу Дини-Липшица

{/: ШпЦ/,«).п± = о},

где и;(/,£) — модуль непрерывности функции /, и, кроме того, удовлетворяющих условию /(х) = 0(|гс|-5) при х —±оо для некоторого 5 > 0, равномерно на М. для любых теМи0<а<1 справедливо равенство

БШ 7г(— —->-) I 81П7г(ИЛг — к)

Нш

1У->оо

к=—оо

= т.

а{Шх-к) ( ~ к)

ту

Кроме того, для этих аппроксимаций ими получены теоремы типа Джексона при IV —У оо. Конструкция обобщений операторов, рассмотренных в [106], численно исследовалась в [133], [151].

Интересный признак равномерной сходимости на оси самих кардинальных функций Уиттекера приводится в [104]. Для функций из класса

ЬР(Ш) П С(М); / € ^(К) П

(здесь ^ + ^ = 1, сю, а / обозначает преобразование Фурье

функции /) на действительной оси имеет место оценка

Ж>~ /(^апс(тх-к) ^ J |/(£)| сИ, х е Ж. к=~°° \t\2m»

В этой же работе получены достаточные условия сходимости в Ьр кардинальных функций Уиттекера в случае аппроксимации функций, локально интегрируемых по Риману на К.

Не менее важное достаточное условие сходимости синк-аппроксимаций получено авторами статьи [68]. Ими установлено, что для некоторых подклассов абсолютно непрерывных вместе со своими производными на интервале (0,7г) и имеющих ограниченную вариацию на всей оси М функций ряды

Котельникова (или кардинальные функции Уиттекера) сходятся равномерно внутри интервала (0,7г). Методами, подобными тем, которые применяются в работе [68], но, по-видимому, независимо автор статьи [130] исследовал сходимость в пространстве ЬР(Ж), 1 < р < оо кардинальных функций Уиттекера на различных функциональных классах.

До появления работ [262], [246], [238], [88], [235], [199], [242], [245], [89], [240], насколько мне известно, приближение кардинальными функциями Уиттекера на отрезке, или ограниченном интервале осуществлялось только для некоторых классов аналитических функций [203], [211], [206], [167], [159], [219], [168], [220] сведением к случаю оси с помощью конформного отображения. В [199] получена оценка сверху наилучшего приближения непрерывных, исчезающих на концах отрезка [0,7г], функций линейными комбинациями синков.

Эта краткая историческая справка, конечно, ни в коей мере не претендует на полноту обзора всех работ, посвященных теореме отсчётов или дискретизации и её обобщений. Тем более, мы здесь не цитируем статьи, из трудно обозримого цикла работ, содержащих большое количество приложений этого направления исследований математического анализа в смежных областях естествознания.

На протяжении всей работы договоримся под термином „равномерная сходимость внутри интервала (а, 6)" понимать равномерную сходимость на любом компакте, содержащемся в (а, Ь). Через Co[a,b] = {f : f 6 С[а, b], f(a) = f(b) = 0} обозначим снабжённое чебышёвской нормой пространство непрерывных на [а, 6] функций, исчезающих на концах отрезка. А словосочетание „аппроксимативная сходимость" означает, что значения оператора сходятся именно к приближаемой функции.

Настоящая работа посвящена изучению следующих, на мой взгляд, ак-

туальных вопросов фундаментальной теории функций, имеющих важное прикладное значение.

• Расширен класс функций, приближаемых с помощью синк-аппрокси-мации, с аналитических в полосе, содержащей действительную ось, экспоненциально убывающих на бесконечности до существенно менее гладких, заданных на ограниченном отрезке. Полностью описан класс непрерывных на отрезке функций, допускающих возможность приближения усечёнными кардинальными функциями Уиттекера (1) в терминах необходимых и достаточных условий поточечной и равномерной внутри интервала (0,7г) сходимости синк-приближений (1).

• Установлены необходимые и достаточные условия поточечной и равномерной сходимости на отрезке [0,7г] синк-аппрокимаций (1) функций из пространства С[0,7г]. Решён вопрос о полноте систем функций

( 1 1 • 1 П, ОО Г , л\к ■ 1 П, ОО

И Со[0,*•] = {/:/£ С[0,ж], т = /о) = 0}.

• Предложен ряд модификаций операторов Ьп, не обладающих интерполяционным свойством как Ьп, но зато менее чувствительных к гладкости аппроксимируемой функции. С их помощью можно приближать любой элемент пространства Со[0, тг] = {/ : / 6 С[0,7г], /(0) = /(7г) = 0}, или даже С[0,7г].

• Построен пример непрерывной на отрезке [0,7г] функции, исчезающей на концах отрезка, для которой значения операторов Ьп неограниченно расходятся всюду на интервале (0,7г).

• В целях построения обобщений изучаемых синк-приближений, получены асимптотические формулы для значений дифференциальных опе-

раторов, являющихся решениями задачи Коши, с дифференциальным выражением в виде линейного уравнения второго порядка у" + [Л — qx{x)]y = 0, где потенциал q\ может меняться в зависимости от Л. Характер зависимости потенциала от параметра Л обусловлен лишь тем, что при каждом Л функция q\ принадлежит шару с центром в нулевом элементе и радиусом, растущим медленнее л/Х, в пространстве функций ограниченной вариации, исчезающих в нуле.

Показано, что требование ограниченности вариации потенциала существенно, в отличие от его непрерывности, для сохранения полученного в этой работе порядка аппроксимации асимптотики, а также порядка погрешности классических асимптотических формул. Кроме того, приводится асимптотика узловых точек и производных значений этих дифференциальных операторов.

Опираясь на полученные асимптотические формулы, в работе исследуются аппроксимативные свойства операторов S\ типа Лагранжа, построенных по решениям задачи Коши. Подбирая соответствующим образом функции дд, получаем единое представление в виде оператора S\ различных конструкций лагранжева типа таких, как классические интерполяционные многочлены, кардинальные функции Уиттекера, интерполяционные процессы Лагранжа, построенные по специальным функциям математической физики.

Установлены необходимые и достаточные условия поточечной и равномерной на отрезке [0, тг] сходимости к приближаемой функции / G Со[0.7г] значений операторов S\. В случае аппроксимации элементов пространства С[0,7г] получен критерий поточечной и равномерной внутри интервала (0,7г) сходимости S\ к приближаемой функции.

Показано, что для равномерной и поточечной аппроксимации непрерывных функций, обладающих достаточным запасом гладкости, на всём отрезке [0,7г] следует применять вместо оператора бд его модификацию Т\. Особо отметим, что значения оператора Х\, как и обладают интерполяционным свойством. Получены необходимые и достаточные условия поточечной и равномерной на отрезке [0,7г] сходимости к приближаемой функции / € С[0,7г] значений операторов Т\.

Предложен ряд модификаций АТ\, ВТ\, СТ\, АТ\, ВТ\ и СТ\ операторов и Т\. Эти модификации не обладают интерполяционным свойством как 5д или Т\, но зато менее чувствительны к отсутствию гладкости аппроксимируемой функции. С их помощью можно приближать любой элемент пространства Со[0,7г] = {/:/€ С[0,7г], /(0) = /(я-) = 0}, или даже С[0,7г].

Для приближения произвольной непрерывной на отрезке [0,7г] функции получены модификации Т\ и Тд оператора Т\. Эти модификации обладают интерполяционным свойством как ¿д или Тд. Правда, значения новых операторов могут оказаться менее гладкими, чем результаты действия операторов 5д и Тд, или АТ\, ВТ\, СТд, АТ\, ВТ\ и СТд.

В качестве приложений предложенного обобщения синк-аппроксима-ций 5д, в частности, проводится исследование аппроксимативных свойств интерполяционных многочленов Лагранжа-Якоби х) с уз-

лами в нулях ортогональных многочленов Якоби. При этом каждая строка матрицы узлов интерполирования состоит из нулей многочлена с параметрами ап, /Зп, зависящими от п. В случае, когда зна-

/ о ^

чения параметров ап ^ —1 или ¡Зп ^ —1 такие, что функции Рп п ,

вообще говоря, не являются многочленами, в качестве интерполяционного процесса Лагранжа-Якоби рассматривается последовательность значений операторов, аналогичных операторам S\. Получены критерии равномерной внутри интервала (0,7г) и поточечной сходимости интерполяционных процессов Лагранжа-Якоби £i?n,fj'l\F, cos в) при ограничении на скорость роста последовательностей |а-п|, \/Зп\.

Получено достаточное условие равносходимости значений операторов вида S\ и классических интерполяционных многочленов Лагранжа с матрицей узлов, состоящей из нулей многочленов Якоби Это условие содержит соотношение между гладкостными свойствами аппроксимируемой функции и скоростью роста последовательности + Показано, что равносходимость значений операторов

S\ и классических многочленов Лагранжа, вообще говоря, не имеет места, даже в случае, когда узлы этих интерполяционных процессов совпадают.

В качестве ещё одного варианта возможных приложений предложенного обобщения синк-аппроксимаций S\ в работе рассматриваются интерполяционные процессы Лагранжа построенные по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля. В терминах дифференциала Гато для функционалов, ставящих в соответствие потенциалу q G L[0,7г] к—ъш нуль п—ой собственной функции задачи Штурма-Лиувилля, получено дифференциальное соотношение.

С его помощью установлено отсутствие устойчивости задачи представления непрерывной функции с помощью интерполяционного процесса Лагранжа-Штурма-Лиувилля при незначительном изменении потенциала q задачи Штурма-Лиувилля. Величина изменения потенци-

ала д оценивается в терминах нормы пространства функций ограниченной вариации, исчезающих в нуле. Здесь рассматривается случай произвольного, не обязательно непрерывного, фиксированного потенциала д ограниченной вариации.

Для обобщения операторов синк-аппроксимаций нам потребуется асимптотика значений некоторых дифференциальных операторов. В главе 1 получены асимптотические формулы для значений дифференциальных операторов, являющихся решениями задачи Коши, с дифференциальным выражением в виде линейного уравнения второго порядка у" + [А — д\(х)]у = 0, где потенциал может меняться в зависимости от Л, то есть является функцией двух переменных ли А. Характер зависимости потенциала от параметра Л обусловлен лишь тем, что при каждом Л функция принадлежит шару с центром в нулевом элементе и радиусом, растущим медленнее \/А, в пространстве функций ограниченной вариации, исчезающих в нуле.

Рассматриваемая задача тесно связана с исследованиями свойств оператора Штурма-Лиувилля в спектральной теории дифференциальных операторов и тонких исследований асимптотических свойств специальных функций математической физики, связанных с ортогональными многочленами, [63], [55], [3], [4], где потенциал или мера фиксированы. Несмотря на то, что эта проблематика достаточно хорошо изучена в классической литературе (смотрите, например, [27], [54], [23], [10], [69], [70]), и по сей день в этой области активно ведутся интересные исследования.

В [10] для фиксированного суммируемого потенциала получены асимптотические формулы для собственных функций и собственных значений классической задачи Штурма-Лиувилля с помощью современной трактовки

метода Лиувилля-Стеклова [55, Гл.УШ, §8.61].

♦

Работы [51], [50] посвящены изучению асимптотики собственных функций и собственных значений оператора Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом, являющимся обобщённой функцией первого порядка, q(x) = и'(х), где и Е L/2 [0,7г].

К исследованиям, в которых оценки изучаемых параметров операторов Штурма-Лиувилля равномерны по потенциалу q в шаре пространства Соболева, можно отнести работы [52], [53].

В фундаментальных работах [41], [42], [43] строится аналог осцилляци-онной теории Штурма распределения нулей собственных функций на пространственной сети или графах.

Статья [25] посвящена изучению асимптотики решений задачи Штурма-Лиувилля с потенциалом и спектральным параметром, терпящими разрыв первого рода внутри области определения решения.

В работах [2], [9] проведены оценки норм в пространствах Чебышёва и Соболева соответственно, некоторых обобщений операторов Штурма-Лиувил