Приближение рациональными функциями с предписанными полюсами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ.4

ВВЕДЕНИЕ.6

ГЛАВА I. Рациональная аппроксимация функций, дифференцируемых в смысле Римана-Лиувилля . 23-

§1. Рациональная аппроксимация функций, имеющих дробную производную в смысле Римана-Лиувилля ограниченной вариации. Оценка сверху .23

§2. Рациональная аппроксимация функций, имеющих дробную производную в смысле Римана-Лиувилля ограниченной вариации. Оценка снизу .42

§3. Аналоги неравенств С.Б.Стечкина в рациональной аппроксимации на конечном отрезке . 48

§4. Рациональная аппроксимация функций с выпуклой дробной производной .61

ГЛАВА II. Рациональная аппроксимация с заданным числом полюсов.69

§1. Аппроксимация кусочно-аналитических функций в С ©о. 69

§2. Аппроксимация стандартных функций .79

§3. Аппроксимация непрерывных функций с ограниченным изменением.82

ГЛАВА III. Рациональная интерполяция на отрезке . . . 88-

§1. Дроби Чебышева-Маркова, интерполирование по Лагранжу, константы Лебега .88

§2. Оценка нормы оператора интерполирования .90

§3. Рациональная интерполяция функций класса Гончара 102

Диссертационная работа посвящена вопросам аппроксимации рациональными функциями в равномерной метрике.

Актуальность такой тематики обусловлена как потребностями развития самой теории приближений, так и ее приложениями в различных смежных областях математики, в том числе и численном анализе. Доказательством этому является появление работ указывающих на тесную связь рациональной аппроксимации с теорией сплайн-приближений (см. ^ 45 Д , [52^ ), аппроксимациями Па-де [211 .

Постановка задач о наилучших приближениях ( н.п. ) рациональными функциями ( дробями ) непрерывных функций действительного переменного принадлежит П.Л.Чебышеву. Им был получен и ряд принципиальных результатов в этом направлении: установлено характеристическое свойство действительной рациональной функции н.п. ( теорема П.Л.Чебышева об альтернансе ), построены рациональные дроби наименее уклоняющиеся от нуля в равномерной метрике ^77^ . В классическом мемуаре Е.И. Золотарева [28^ найдено точное выражение рациональных дробей н.п. для некоторых конкретных функций.

Однако, начало систематических исследований в аппроксимации рациональными функциями ( со свободными полюсами ) приходится на вторую половину 50-х годов и связано с появлением фундаментальных работ А.А.Гончара и Е.П.Долженко. Как отмечено в обзорном докладе А.А.Гончара на Международном конгрессе математиков в Москве ( 1966 год ) £ 17^ интерес к таким исследованиям в Советском Союзе возник под влиянием А.Н.Колмогорова и

С.Н.Мергеляна.

Пусть рг\ - множество полиномов РпС3^) » имеющих степень не выше П . Тогда под 1R n,<jj- будем понимать класс рациональных дробей вида имеющих не более С^ геометрически различных полюсов в € Для icCCQ определим ( (^-ОД,.,(■) )

- наилучшие приближения рациональными дробями из R П, fy При и $ = П » соответственно,

Rn,o(n = En 0П , R

Ш - R

CD, где En (Л и RnU) - н.п. ^(P^) многочленами и рациональными функциями степени не выше Y\ Очевидно, что

RnCn * Rn.^W ^ ЕПСГ> $=1,2,."> п.

Первоначально объектом исследований в рациональной аппроксимации стала зависимость структурных свойств функции от скорости стремления к нулю RnCO ( обратные теоремы ) ( см. [ 131 - [ 17 ] , [23^ - ^27 ). Здесь выяснилось принципиальное различие н.п. рациональными дробями в сравнении с н.п. полиномами. Так,в работе £ХЗА. А. Гончаром было показано, что в той постановке, которая характерна для н.п. полиномами, обратные теоремы о н.п. рациональными функциями не верны. В частности, если исходить из скорости стремления к нулю R n W ) » то невозможно получить никакой оценки для модуля непрерывности ^ С^4) .

Тем не менее, А.А. Гончар и Е.П. Долженко установили ряд свойств функций, которые гарантируются соответствующей скоростью убывания к нулю их н.п. рациональными дробями: дифференциру-емость почти всюду ( п.в. ), аппроксимативная дифференцируемость определенное число раз, наличие производной в смысле Пеано ( локального дифференциала К -го порядка ), абсолютная непрерывность и др. (см. [l3*]-[l5^ , j^23"]-[25~\ ). Например, абсолютная непрерывность ^-Сх4) гарантируется выполнением следующего условия [ 23 : оо vuo

Анализ обратных теорем позволил А.А. Гончару ( 1959 год ) сделать следующие выводы [ 14 :

1. Существуют функции, для которых порядок стремления к нулю R п не выше, чем порядок стремления к нулю n .

2. Существуют функции, для которых En ("О стремится к нулю сколь угодно медленно, в то время как Rr\ W) стремится к нулю сколь угодно быстро.

Из первого вывода следует, что расширение множества аппроксимирующих функций от многочленов ( Рп ) до рациональных дробей ( Pin s !R т\>п ) не позволяет усилить прямые теоремы о н.п. на всем классе С Cq; & 1 . Немного позже Е.П.Долженко было доказано [ 27\\ , что этого нельзя добиться даже для классов функций, имеющих модуль непрерывности любого наперед заданного порядка роста. Второй вывод естественным образом приводит к задаче описания классов функций, отражающих особенности рациональной аппроксимации, т.е. классов функций, для которых прямые теоремы о н.п. можно усилить при переходе от полиномов к рациональным дробям.

Первый результат в этом направлении был получен в 1964 году Д.Ньюменом f 82"\ . Ньюмен исследовал н.п. функции \х \ на отрезке £-1,1"} рациональными функциями ( А.А.Гончар 191 в 1967 году заметил, что другое решение этой задачи по существу содержится в уже упомянутом мемуаре Е.И.Золотарева [28 ). Приведем здесь более поздний точный результат:

FUtw.H.n} X (i)

Оценка сверху в (I) получена Н.С.Вячеславовым , а нижняя оценка установлена А.П.Плановым 17 1 . В полиномиальном случае хорошо известно ( см., например, £ 38^ , стр. 213 ), что

Начиная с середины 60-х годов, появляется ряд исследований П.Турана и П.Сюс С87! ~ I » А.А.Гончара [ 18 ^ , Г.Фройда £ 80 "] , Е.П.Долженко и А.А.Абдугаппарова ( доклад на Международном конгрессе математиков в Москве, 1966 год ), А.П.Буланова [ 4 ^ , В.Н.Русака [56*] ,[57 *] , Е.А.Ровбы [ 64 ^ , А.А.Пекар-ского С 44 3 » в которых находятся достаточно широкие классы функций ^(.эс.-) , характеризующиеся тем, что

Первыми такие классы функций выделили П.Туран и П.Сюс. В их совместных работах \ 87 - 89^, получены оценки скорости убывания R г* ($-) для функций, имеющих Г- -ую непрерывную выпуклую производную, принадлежащую классу LLjpl , и кусочно-аналитических функций. В [89~^ впервые изучалась скорость убывания для функций класса WrV[oMl> А, 2.• • • ( определение см. далее ). Продолжая исследования П.Турана, Г.Фройд получил [ 80 1

Sup{RnCf)'- VTVLcum] - 0(Wn/nm),

I"*= 1, j Z ^ 3 ^ • • •

В 1977 году В.А.Попов f 85 ^ установил здесь точную по порядку оценку.

А.А.Гончар в [ 18^ предложил общий метод исследования н.п. рациональными дробями функций с характерными особенностями ( класс & 1 ). Им доказана следующая

Теорема. Пусть G~i t т.е. ^Сх) непрерывна на отрезке [0?1"][ и допускает ограниченное аналитическое продолжение в круг

О \2-l\< .

Тогда

Rniсол!) = о ^ щ (Ml ЭД. (2)

В работе £ 19 ^ построена непрерывная шкала препятствий Для RhW) в зависимости от характера особой точки функции -J С^) » и исследована скорость рациональной аппроксимации кусочно бесконечно дифференцируемых функций.

Наилучшие рациональные приближения выпуклых функций и функций, имеющих Г -ую ( Г-1,2.,3,. ) выпуклую производную, изучались, соответственно, в работах А.П.Буланова и

А.А.Абдугаппарова [ I . Окончательные порядковые оценки для этих классов функций были получены А.А.Пекарским 146 ] , В.А. Поповым и П.П.Петрушевым , А.П.Булановым и А.Хатамовым 78 , П.П.Петрушевым .

В 144^\ А.А.Пекарский рассмотрел аппроксимацию рациональными дробями абсолютно непрерывных функций с производной из пространств Орлича.

Новые классы аналитических t 56 и 2ЛГ -периодических функций t 57 , для которых рациональная аппроксимация дает существенный выигрыш в скорости в сравнении с полиномиальной аппроксимацией, обнаружены В.Н.Русаком. В работах , было начато исследование скорости рациональной аппроксимации 21Г -периодических функций, имеющих производную дробного порядка ( в смысле Вейля ). В [ 59 \ найдены точные порядки наилучших рациональных приближений и оценки уклонения от операторов типа Валле-Пуссена на классах 2ЛГ -периодических функций, пред-ставимых в виде свертки функции ограниченной вариации и ядра Вейля ( сопряженного ядра Вейля ) ( см. также

Настоящая диссертация посвящена доказательству прямых теорем о н.п. рациональными функциями. Найдены новые классы функций, для которых Rn Ю = О (En *)» и исследованы их точные порядки убывания Rn (js*) . Изучена скорость сходимости рациональной интерполяции и частных рациональных сумм фурье для некоторых классов непрерывных функций.

Работа состоит из трех глав.

1. Абдугаппаров А.А. О рациональных приближениях функций с выпуклой производной.- Матем. сб., 1974, т. 39(135), №4, с.612-621.

2. Андриянчик А.Н. Об интерполировании рациональными дробями.-Изв. АН БССР, сер. физ.-матем. н., 1971, М, с.16-20.

3. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации.- М., 1965, 408с.

4. Буланов А.П. О порядке приближения выпуклых функций рациональными функциями.- Изв. АН СССР, сер. матем., 1969, т. 33, №5, C.II32-II48.

5. Буланов А.П. Асимптотика для наименьших уклонений \X \ от рациональных функций.- Матем. сб., 1968, т. 76(118), №2, с.288--303.

6. Берман Д.Л. Приближение интерполяционными полиномами функций, удовлетворяющих условию Липшица.- ДАН СССР, 1952, т. 85, №2, с.461-462.Бернштейн С.Н. (ЦшЛ^лъ шшхл^лл% 5 l! Lnibrpo&Uion .- Харьков. Сообщения матем. об-ва (2), 1916,т.15.

7. Вячеславов Н.С. О равномерном приближении функции \эс\ рациональными функциями.- ДАН СССР, 1975, т. 220, №3, с.512-515.

8. Вячеславов Н.С. Скорость аппроксимации кусочно-аналитических функций рациональными дробями в метрике LpМатем. сб., 1979, т. 108(150), №2, с.218-228.

9. Вячеславов Н.С. Об аппроксимации эс рациональными функциями.» Изв. АН СССР, сер. матем., 1980, т. 44, ЖЕ, с.92-110.

10. Гончар А.А. О наилучших приближениях рациональными функциями.-ДАН СССР, 1955, т. 100, №2, с.13-16.14* Гончар А.А. Обратные теоремы о наилучших приближениях на замкнутых множествах.- ДАН СССР, 1959, Ж, с.25-28, т. 128.

11. Гончар А.А. Скорость приближения рациональными дробями и свойства функций.- В кн.: Труды Международного конгресса математиков. 1966,- М., 1968, с.329-356.

12. Гончар А.А. О скорости рациональной аппроксимации непрерывных функций с характерными особенностями.- Матем. сб., 1967, т. 78(115), М, с.630-638.

13. Гончар А.А. Оценки роста рациональных функций и некоторые их приложения.- Матем. сб., 1967, т. 72(114), №3, с.489-503.

14. Гончар А.А. Об одной теореме Саффа.- Матем. сб., 1974, т. 94, Ж, с. 152-157.

15. Гончар А.А. Полюсы строк таблицы Паде и мероморфные продолжения функций.- Матем. сб., 1981, т. 115(157), М, с.590-613.

16. Гахов Ф.Д. Краевые задачи,- М., Наука, 1977, 640с.

17. Долженко Е.П. Скорость приближения рациональными дробями и свойства функций.- Матем. сб., 1962, т. 56(98), М, с.403--432.

18. Долженко Е.П. О свойствах функций нескольких переменных достаточно хорошо приближаемых рациональными дробями.- Изв. АН СССР, сер. матем., 1962, т. 26, №5, с.641-652.

19. Долженко Е.П. Равномерные аппроксимации и глобальные функциональные свойства.- ДАН СССР, 1966, т. 166, №3, с.526-529.

20. Долженко Е.П. О зависимости граничных свойств аналитических функций от скорости ее приближения рациональными функциями.-Матем. сб., 1977, т. 103, М, с.131-142.

21. Долженко Е.П. Сравнение скоростей рациональной и полиномиальной аппроксимации.- Матем. сб., 1967, т. I, №3, с.313-320.

22. Золотарев Е.И. Полное собрание сочинений, т. 2 Л. Из-во АН СССР, 1932, с.1-59.

23. Загиров Н.Ш. Приближение функций рациональными дробями с ограничениями на рост числа полюсов.- В сб.: Функциональный анализ,теория функций и их приложения. Махачкала, вып.1, 1974, с. 96-100.

24. Зигмунд А. Тригонометрические ряды, т. I . М., 1965, 480с.

25. Ибрагимов И.И. О наилучшем приближении функции, S -я производная которой имеет разрывы первого рода.- ДАН СССР, 1953, т. 89, №6, с.973-975.

26. Крылов В.И. Сходимость алгебраического интерполирования покорням многочленов Чебышева для абсолютно непрерывных функций и функций с ограниченным изменением.- ДАН СССР, 1956, т. 107,ЖЗ, с.362-365.

27. Лунгу К.Н. О наилучших приближениях рациональными функциямис фиксированным числом полюсов.- В кн.: Труды Московского института электронного машиностроения., IS75, вып. 53, с.67-85.

28. Марков А.А. Избранные труды.- М.-Л., 1948, с.244-292.

29. Мергелян С.Н. Джрбашян М.М. О наилучших приближениях рациональными функциями.- ДАН СССР, 1954, т. 99, №5, с.673-675.38« Натансон И.П. Конструктивная теория функций.- М.-Л., Гостех-издат, 1949, 690с.

30. Никольский С.М. О наилучшем приближении функции, S -я производная которой имеет разрывы первого рода.- ДАН СССР, 1947,т. 55, №, с.99-102.

31. Привалов А.А. Аппроксимативные свойства полиномиальных операторов.- В кн.: Труды Саратовской зимней школы по теории функций и приближений. Саратов, 1983, с.32-58.

32. Пекарский А.А. О скорости рациональной аппроксимации с фиксированными полюсами.- ДАН БССР, 1977, т. 21, М, с.302-304.

33. Пекарский А.А. Рациональная аппроксимация непрерывных функций с заданным модулем непрерывности и модулем изменения.-Изв. АН БССР, сер. физ.-матем. н., 1978, №5, с.34-39.

34. Пекарский А.А. Рациональная аппроксимация абсолютно непрерывных функций.- Изв. АН БССР, сер. физ.-матем. н., 1978, №6,с.22-26.

35. Пекарский А. А. Рациональные приближения абсолютно непрерывных функций с производной из пространства Орлича.- Матем. сб., 1982, т. 117(159), М, с.114-139.

36. Пекарский А.А. Рациональные приближения класса Н р> , О ^ р оо .-ДАН БССР, 1983, т. 27, №1, с. 9-12.

37. Пекарский А.А. Рациональные приближения абсолютно непрерывных функций с производной из пространства Орлича.- ДАН БССР, 1980, т. 24, JM, с.301-304.

38. Полиа Г. Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа.- М., 1978, т.1, с.392.

39. Попов В.А. Петрушев П.П. Точный порядок наилучшего равномерного приближения выпуклых функций рациональными функциями.-Матем. сб., 1977, т. 103, №, с.285-292.

40. Петрушев П.П. О рациональной аппроксимации функций.- Докл. Болг. АН, IS76, т. 29, МО, с.1405-1408.

41. Петрушев П.П. О рациональной аппроксимации функций с выпуклой производной.- Докл. Болг. АН, 1976, т. 29, №9, с.1249-1252.

42. Петрушев П.П. Равномерные рациональные аппроксимации функций класса \/Г Матем. сб., 1979, т. 108(150), №3, с.419--432.

43. Петрушев П.П. Связи между наилучшими рациональными и сплайн-приближениями.- Плиска Бълг. матем. студ., 1983, т. 5, с. 68-83.

44. Русак В.Н. Рациональные функции как аппарат приближения.-Минск, Из-во БГУ им. В.И.Ленина, 1979, Г76с.

45. Русак В.Н. Об интерполировании рациональными функциями с фиксированными полюсами.- ДАН БССР, 1962, т. 4, №9, с.548-550.

46. Русак В.Н. Об одном методе приближения рациональными функциями.- Изв. АН БССР, сер. физ.-матем. н., 1978, №3, с.15-20.

47. Ровба Е.А. Приближение выпуклых функций интерполяционными рациональными функциями с фиксированным числом полюсов.- ДАН БССР, 1977, т. 21, №9, с.781-783.

48. Ровба Е.А. Приближение выпуклых функций класса Li pet рациональными функциями с фиксированным числом полюсов.-Минск, 1976.- 15 е.- Рукопись представлена ред. журнала "Изв. АН БССР", сер. физ.-матем. н., Деп. в ВИНИТИ 1976, №4205-76.

49. Ровба Е.А. О приближении рациональными функциями с заданным числом полюсов.- В кн.: Труды Всесоюзной школы по теории функций. Баку, 1977, Из-во Азерб. ГУ им. С.М.Кирова, 1980, с.234--239.

50. Ровба Е.А. О приближении периодических функций рациональными функциями.- Вестник ЕГУ им. В.И.Ленина, 1973, №3, с.15-22.64* Ровба Е.А. О приближении дифференцируемых периодических функций рациональными функциями.- ДАН БССР, 1974, т. 18, Ш, с.586

51. Старовойтов А.П. О приближении рациональными функциями с заданным числом геометрически различных полюсов,- В кн.: Тезисы докл. У Республиканской конференции математиков Белоруссии. Гродно, 1980, ч.2, с.127-128.

52. Старовойтов А.П. 0 рациональной интерполяции функций класса Гончара.- Минск, 1980.- 8 с.- Рукопись представлена ред. журнала "Вестник НУ им. В.И.Ленина". Деп. в ВИНИТИ 1980, №4966-80.

53. Старовойтов А.П. 0 рациональной интерполяции с фиксированными полюсами.- Изв. АН БССР, сер. физ.-матем. н., 1983, №6, с.105-106.

54. Старовойтов А.П. 0 рациональной аппроксимации функций, имеющих производную ограниченной вариации.- ДАН БССР, 1984, т.28, №2, с.104-109.

55. Старовойтов А.П. Аппроксимация рациональными функциями с заданным числом полюсов.- Минск, 1984.- 23 с.- Рукопись представлена ред. журнала "Вестник ЕГУ им. В.И.Ленина". Деп. в Бел. НИИНТИ 1984, № 689-Бел Д84.

56. Стечкин С.Б. О порядке наилучшего приближения непрерывных функций.- Изв. АН СССР, 1951, т. 15, с.219-242.

57. Стечкин С.Б. Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике.- М., Наука, 1976, 241с.

58. Субботин Ю.Н. Черных Н.И. Порядок наилучших сплайн-приближений некоторых классов функций.- Матем. заметки, 1970, т.7, М, с.31-42.

59. Тиман А.Ф, Теория приближения функций действительного переменного.- М., Физматгиз, I960, 685о.

60. Турецкий А.Х. Теория интерполирования в задачах.- Шнек, Вы-шэйшая школа, 1977, ч.2, 250с.

61. Уолш Дж.Л. Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области,- М., 1961, 508с.

62. Чантурия З.А. Модуль изменения функции и его применение в теории рядов Фурье,- ДАН СССР, 1974, т. 214, №1, с.63-66.

63. Чебышев ПЛ. Полное собрание сочинений, т. 2 ,- М.-Л., Из-во АН СССР, 1947, с.151-235.

64. Bulanov А.P. and Hatamov A. On rational approximation of convex functions with a given modulus of continuity.- Ana-lusis Mathematice, 1978, t.4, p.237-246.

65. Freud G., Szabados J. On rational approximation.- Studia Sci, Math. Hung., 1967, N 1-2, p.215-219.

66. Newman D.J. Rational approximation to \ОС | .- Mich. Journ., 1964, v.11, N1, p.11-14,

67. Newman D.J., Reddy A.R. Rational approximation to\x|^(l+on (-00,00) .- Journ. Approx. Theory, 1977, v.19,N3, p.231-238.

68. Popov V.A. On theconnection between rational and spline approximation.- Coraptes Rendus de 1 Acad. bulg. Sci., 1974,v.27, N5, / p.623-626.

69. Sztisz P. Turan P. On the constructive theory of functions.-Maguar tud. Acad. Math. Kutato into Kozl, 1965-1964, v.9, N3, p.495-501.

70. Szusz P., Turan P. On the consructive theory of functions ii.-Stud. Sci. Math. Hung., 1966, v.1, N3-4, p.65-69.

71. Szusz P., Turan P. On the constructive theory of functions ii.- Stud. Sci. Math. Hung., 1966,v.1, N3-4, p.315-322.