Приближение рациональными операторами с предписанными полюсами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ргв од

£»1 'г'"'!

"Ой -Белорусский государственный университет

УДК 517.5

Агафонова Нелли Константиновиа

ПРИБЛИЖЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ С ПРЕДПИСАННЫМИ ПОЛЮСАМИ

Специальность 01.01.01 — математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Минск - 1997

Работа иыполнена па кафедре высшей математики и математической физики Белорусского государственного университета.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук профессор Русак В.Н.

Официальные оппоненты:

главный научный сотрудник Института математики, член-корреспондент HAH Беларуси, доктор физико-математических наук Янович Леонид Александрович (г. Минск, Беларусь);

ведущий научный сотрудник Института математики МЛН Украины, доктор физико-математических наук Шевчук Игорь Александрович (г. Киев, Украина).

Оппонирующая организация: Гродненский государственный университет (г. Гродно, Беларусь).

• Защита состоится 24 декабря 1997 г. в 10 часов на заседании Совета по защите диссертации в Белорусском государственном университете по адресу 222050, г. Минск, пр. Скорииы 4, ауд. 206.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке БГУ.

Автореферат разослан ^fc/SJ 1997 г.

Ученый секретарь специализированного Совета

доктор физико-математических наук

профессор J^o^t/orf^ Килбас A.A.

Актуальность темы. Прямые теоремы современной теории рациональной аппроксимации интенсивно создавались и создаются на протяжении последних 30 лет. В 19664969 годах усилиями П.Турана, А.А.Гончлра, Г.Фройда, А.П.Буланова были найдены классы функций, на которых рациональная аппроксимация существенно меньше полиномиальной.

В 1976 году болгарским математиком В.А.Поповым был определен точный порядок наилучшей рациональной аппроксимации на классе функций, имеющих г-ую производную ограниченной вариации. В скором времени самим В.А.Поповым, а также П.П.Петрушевым и А.А.Пекарским были установлены окончательные порядковые оценки для наилучших рациональных приближений на ряде других важных классов функций, заданных на конечном отрезке. Доказательство этих результатов базируется на использовании ньюменовской оценки рациональной аппроксимации |дс| и является технически довольно сложным: существование приближающих рациональных функций устанавливается посредством некоторого итеративного процесса.

В.Н.Русаком в 1984 году был предложен новый подход к доказательству прямых теорем рациональной аппроксимации, основанный на построенных им специальных интегральных операторах и рациональных функциях, наименее уклоняющихся от нуля на круге или на вещественной оси. На этом пути удалось получить новые классы аналитических и 2/г-периодических функций, на которых рациональная аппроксимация имеет неоспоримые преимущества, и найти точные порядки наилучших рациональных приближений на классах функций, представимых в виде свертки.

В данной диссертации названный операторный подход применяется для рациональной аппроксимации дифференцируемых функций на конечном отрезке.

Связь работы с -крупными научными программами, темами. Исследования проводились в рамках госбюджетных научных тем Белгосуни-верситета.

1. Исследование полиномиальных и рациональных приближений и их приложений к решению уравнений.» гос.регистрации 01910055076 ;27.25.

2. Исследование аппроксимационных и асимптотических методов и их приложений к динамически;.! системам и краевым задачам. Ктос.регистрации 19963661 ;27.25.

Цель н задачи работы. Цель диссертационный работы состояла в разработке прямых рациональных методов приближения дифференцируемых функций из пространства С[а,Ь\.

Научная новнзна полученных результатов :

1. Построены рациональные операторы типа Фурье в пространстве непрерывных функций и найдены оценки их уклонений при подходящем выборе полюсов на классах дифференцируемых функций.

2. Построены специальные интегральные рациональные операторы в пространстве С[а,Ь], осуществляющие при предписанных полюсах приближение порядка наилучшего на классах функций с производными ограниченной вариации.

3.Найдены точные порядки наилучшей рациональной аппроксимации на классах функций с заданной степенной мажорантой интегральных модулей гладкости.

Практическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Построенные рациональные операторы и технология получения порядковых оценок их уклонений могут найти приложения при исследовании скорости приближения на других функциональных классах, а также при чтении специальных курсов на математических факультетах университетов.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1. Конструкция рациональных операторов типа Фурье и оценки их уклонений для предписанных полюсов на классах функций с производными ограниченной вариации.

2. Конструкция специальных рациональных операторов типа Балле Пуссена и теорема о точных порядках их уклонений при подходящих полюсах на тех же классах функций.

3. Точные порядки наилучших рациональных приближений на классах функций с заданной мажорантой интегральных модулей гладкости.

Публикации, апробация работы, личный вклад. По теме диссертационной работы опубликовано 12 печатных работ, из которых шесть написаны без соавторов и шесть в соавторстве с научным руководителем. Все основные результаты, приводимые в выносимой на защиту диссертационной работе, получены ее автором лично. Отдельные результаты получены в соавторстве, что отмечено в тексте работы.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научном семинаре имени Ф.Д.Гахова (руководитель профессор Э.И.Зверович) и на научном семинаре по теории аппроксимации (руководитель профессор В.Н.Русак), а также на международных и республиканских научных конференциях.

Структура и объём работы.

Диссертация состоит из перечня условных обозначений, введения, общей характеристики, трех глав, выводов и списка использованных источников, содержащего 77 наименований.

В диссертации принята отдельно для каждой главы нумерация параграфов и отдельно для введения и каждой главы нумерация формул, лемм и теорем. Общий объем работы 89 страниц машинописного текста.

Содержание диссертации

Во введении дана краткая оценка современного состояния исследований в теории рациональных приближений.

Первая глава содержит обзор литературы по прямым теоремам рациональной аппроксимации и по методам построения аппроксимирующих рациональных операторов с предписанными полюсами.

Вторая глава посвящена исследованию уклонений усеченных рациональных операторов типа Фурье на классах функций 1УУм ,ге N. которые определены на отрезке [о.Ь], имеют (г-1)-ую абсолютно непрерывную производную/*^*) и г-ую производную ограниченной вариации, т.е.

Всякая функция/(х)е 1УУи может быть продолжена с сохранением свойств на более широкий отрезок [а,6], а/<а<Ь<Л/ , поэтому справедливо

представление

/М - -А{х - г)'<Г"(г), (1)

1-0 к\ г!ц

В параграфе 2.1 по заданной системе параметров }"кш],1т2к >0, определяются рациональные операторы типа Фурье и исследуются их свойства Через тЦх) будем обозначать произведение Бляшке с нулями в точках хк * полюсами в точках гк, т.е.

к-\Х-2к

Введем ядро Кя(1,х), полагая

Кп0,х)=—-—~ т—*/0*п(х) 1. 2яц1-х) + / /-1 . J

Всякой функции Дх) из пространства C[a¡,bi\ непрерывных на отрезке [а/,Ь/] функций с обычной нормой |/|= тах|/(*)| поставим в соответствие

функцию из этого пространства с помощью равенства

defh

On(*J) = \f(t)Kn(t,x)dt,

которое и определяет усеченные рациональные операторы типа Фурье.

Далее в этом параграфе доказывается, что операторы ajx.f) отображают функцию f(t) eC[a¡,bi] в правильную рациональную функцию с полюсами в точках {zt,ít} и выполняется тождество

*\K¿t,x)dt~ 1,*€[<>, А].

—оо

В лемме 2.1.3. дается оценка нормы операторов ajx.f) как операторов из пространства С[а/,6/] в пространство C[ai,bi\

p,8= max

\Kn{t,xp,

состоящая в том, что

^ I Iя Тт 7

тах фп(х)- 3>л (*) = Г-Ц- + 21--Т^-г-у

а&аь, 1 + х л-1 (х -zj(x -zk)

Параметры {г4 или, что то же самое, предписанные полюса операторов ая(х,/) необходимо в дальнейшем выбирать некоторым специальным образом в зависимости от свойств индивидуальной аппроксимируемой функции.

В параграфе 2.2 изложены леммы, на основании которых к происходит выбор полюсов. В качестве леммы 2.2.1 взята известная лемма Д.Ньюмена о

том, что при N¿5 на отрезке ех/^-л/^)£ V£1 для произведения

*=0У + р* 4

выполняется неравенство

В следующей лемме 2.2.2 устанавливается существование такого набора параметров {х, ,гк }, 1тгк > 0, что при N¿5 на луче выполняется неравенство

' -Я

/П 0 к-0

(¡V

2-гк у2*!

' В процессе исследования уклонения операторов типа Фурье от аппроксимируемой функции возникает необходимость оценивать интегралы от произведений Бляшке, умноженных на некоторую аналитическую функцию. В этой связи нужна следующая лемма.

Лемма 2.2.4. Если функция g(x) аналитична в замкнутом полукруге

И ¿г,1тг£0, то существует такой набор параметров {гк ,гк}, что

"УХ-21

Ы*)П

Чх

к-о х - гк

Ясно теперь, что если [а,р\ произвольный отрезок действительной оси и функция аналитична в замкнутом верхнем полукруге

а + Р

то можно так выбрать нули произведения Бляшке {г^, что будет справедлива оценка

Ых) п

а А-0 X - гг

$4М//3-а)е

Добавим, что при тех же параметрах {ц} выполняется и двойственное неравенство

/» 1ЛМ х

1в(х) П

а X -2к

<.Шг(Р-а)е

■ЛТ/г

если g(z) аналитична в замкнутом нижнем полукруге

2 —

а + Р

2

В целом параметры {г*}^., приходится распределить на некоторой

системе лучей г=х+1у, у20, по правилу леммы 2.2.2 и на некоторой системе полуокружностей

ь

а + /3

по правилу леммы 2.2.4.

В лемме 2.2.7 даны достаточные условия, чтобы при таком распределении норма операторов типа Фурье имела логарифмический рост, или иначе чтобы выполнялось соотношение

тахФ 'я(х) = 0(пс*).

хшЯ

В параграфе 2.3 непосредственно проводится оценка уклонения усеченных рациональных операторов типа Фурье от аппроксимируемых функций иэ класса в равномерной метрике

|/(х) - а„(х,/) 8 = тах|/(*) - <*„(*./)! •

а1г,<3>

Теорема 2.3.1. Для любой функции f(x)e ,re N, существует та-

кой набор параметров ,, JmzK20, и усеченный рациональный оператор типа Фурье a„(xj), что на отрезке [а,Ь] выполняется соотношение

Доказательство начинается с представления уклонения в форме

f(x)-an(xj)= ][/(*) -f(t)]Kn (t,x)dt + f(x) \Kn{t,x)dt = /, +12.,

ai<a<b<bi.

Поскольку ядро K„(t,x) есть аналитическая функция по переменной t всюду за исключением точки t=x и полюсов {zrf и {zk} произведений Бляшке, и имеет на бесконечности нуль не ниже второго порядка, то при оценке /2 можно перейти к интегрированию соответственно по одному из четырех лучей, выходящих из точек а/ и bj и параллельных мнимой оси, а затем воспользоваться леммой 2.2.2. В итоге устанавливается, что с помощью

4W = 4[(r + l)Jln2/i+l] параметров {г* } достигается порядковая оценка

Остальные n-4N параметров не ухудшают данной оценки при любом подборе.

В свою очередь с учетом представления (1) из интеграла выделяются сперва некоторые аналитические компоненты и устанавливается, что они

имеют нужный порядок о)

Наиболее трудоемким является нахождение нужной оценки для интеграла

1 »1»!

I г

Имеющийся интеграл по треугольной области V необходимо снова разбивать на совокупность интегралов по некоторым меньшим специально выбранным областям Г/, Г/,..., Уч\ И17. Здесь выполнены включения

и равенство

Через Уу =ип;у обозначена усеченная треугольная область, состоящая из к

полосок, соответствующих З-тому разбиению отрезка [а/, А/], ГЦ> = {(г,г)ы/ 5 г £ *' *

Считается, что для фиксированного леМ п>1, взято такое натуральное д, что 1<1пчп£е, где

л = ]п 1п- • • 1пп я

Разбиение отрезка [а^ЬЦ на меньшие отрезки различных рангов проводится с учетом распределения вариации г-ой производной/г\х) с помощью леммы 2.2.6, принадлежащей Ю.Н.Субботину и Н.И.Черных.

Такое многошаговое разбиение области V и соответственно интеграла ¡2 необходимо в связи с тем, что при ¡=х происходит нарушение аналитичности функции

= Ь—~

1-х

Кроме того, для внутреннего интеграла максимум модуля подынтегральной функции зависит от расстояния точки л: до континуума интегрирования, что учитывается соответствующим образом при выборе параметров {г*} на каждом шаге; т.е. при оценке интегралов по областям

В целом параметры {г4} распределены таким образом, что выполняется соотношение

- х| £ С, / лг+| ,х е[о,б],С5 > О Это означает, что полюса аппроксимирующих рациональных операторов не могут располагаться слишком близко к континууму, на котором происходит аппроксимация, хотя с другой стороны, эффект рационального приближения достигается именно за счет приближения полюсов к действительной оси, по крайней мере некоторых из них, при возрастании п.

Третья глава диссертации посвящена исследованию уклонений рациональных операторов типа Валле Пуссена и наилучшим рациональным приближениям на классах функций.

Как и выше, пусть \гк }^ ,1т > 0, есть заданная система параметров, яя(х) — произведение Бляшке с нулями в точках и полюсами в тачках гк. Считая, что 0<а^(ггх)<я для хеЯ, введем функцию

к-1

Нетрудно убедиться, что Фя(х) есть возрастающая функция для хеЯ, по скольку производная

"у* м>О.

С помощью произведений Бляшке я„(х) и яп[х) определим ядро

/

Всякой функции /(х) из пространства поставим в соответствие функ-

цию из этого же пространства с помощью равенства

которое определяет усеченные рациональные операторы типа Валле Пуссена.

В параграфе 3.1 доказываются леммы , отражающие свойства введенных операторов. В частности устанавливается, что образами функций Дх)еС[а,,Ь,] при отображении операторами К4п_2(*./) являются правильные рациональные функции порядка 4п-2 с полюсами в точках {гк ,гк и в нулях функции Ф'п(х).

В лемме 3.1.3 устанавливается, что норма рациональных операторов типа Валле Пуссена К4„_2 (.*,/)

При исследовании уклонений |/(х)-К4^2(х,/)| возникает потребность в верхней оценке для модуля функций

и для нее при всех neN справедлива оценка

А„((,х)=:

соответственно для хе [а/, bj\ и Im t ¿0 при специальном выборе (zt . В лемме 3.1.4 даны достаточные условия на расположения параметров {z*}*«i* ПРИ выполнении которых в полуплоскости Im t ¿0 и для хе [а/,bj] выполнено неравенство

Наряду с An(t,x) используется двойственная функция

(,-х)Ф>(х)

и для нее верна аналогичная оценка в полуокружности 1т г <! О и для хе [а,.Ь,].

В параграфе 3.2 найдена порядковая оценка для уклонения рациональных операторов У4л.2{х>/) на классе равномерной метрике.

Теорема 3.2.1. Для любой функции/(х)е IVУм, ге^ существует тако{ набор параметров {г*}^.,. 1т г* > 0, и усеченный рациональный оператор типа Балле Пуссена , что на отрезке [а,6] выполняется соотноше

ние

Доказательство данной теоремы проводится примерно по той же схе ме, которая была изложена выше в применении к операторам типа Фурье.

Сравнивая заключения теорем 3.2.1 и 2.2.1, скажем, что за счет услож нения конструкции рациональных операторов типа Балле Пуссена по сран нению с операторами типа Фурье удается снять логарифмический множи тель в оценке уклонений.

Через /?„(/) обозначим наилучшее приближение функции_/[*) е[а,А] пс средством алгебраических рациональных функций порядка не выше и, т.е.

r«(O = ¡nf|[/(x)-r„(x);|

M1)

где нижняя грань берется по всевозможным рациональным функциям г„(х) порядка не выше п.

Из теоремы 3.2.1 непосредственно находится точный порядок наилучших рациональных приближений на классе

sup Rn{f)<P)/ х.

f&'Vu ' "

Следовательно, теорему 3.2.1 можно рассматривать как новое доказательство теоремы В.А.Попова о точном порядке наилучших рациональных приближений класса WVM. Добавим,что здесь удается проследить за расположением предписанных полюсов аппроксимирующих операторов Kje-aí*»/)- Эта полюсы не должны приближаться к действительной оси быстрее, чем пг'*б> стремится к нулю.

В параграфе 3.3 исследуются наилучшие рациональные приближения функциональных классов, имеющих заданную мажоранту интегральных модулей гладкости.

Пусть Ls=L£a,b] есть пространство интегрируемых в s-ой степени функций f(x), s¿l, и

i

i л^Цт*]'-

Под La, будем понимать пространство С[а, 6] непрерывных функций с обычной нормой.

Через W rQM, reN. обозначаем классы функций из Lm, которые подчинены ограничениям

ft—(í-+l)r

J \Агы/(хУхйМт'*\ Vr>0,

на конечные разности порядка г+1 с шагом т

у-0

Через и обозначаем соответственно наилучшее полино-

миальное и рациональное приближения функции/(х) в метрике , т.е.

КШ' ш/|/(х)-ф! .гя(х)=Ря{х)/ч„{х). Ф)

где р„(х) и дп(х) алгебраические полиномы порядка не выше п, и

Точный порядок наилучших рациональных приближений на классе Я^А/найден в следующей теореме. Теорема 3.3.1.

ыр (-1

/чуаи

Для наилучших полиномиальных приближений данного класса функций выполняется соотношение

вир £„(/,!,)

которое в сравнении в заключении теоремы 3.3.1 означает, что при 5-1 полиномиальная и рациональная аппроксимация на классах IV гПц имеют одинаковый степенной порядок. При переходе к более сильной метрике ;>7, обнаруживается преимущество рациональной аппроксимации в сравнении с

полиномиальной и максимальный выигрыш достигается для случая равномерной метрики

Доказательство теоремы 3.3.1 базируется на промежуточном приближении класса УУ функциональным классом }У "Уи . Здесь используется теорема 3.2.1 и аппарат усредненных функций Стеклова.

выводы

1. Построены рациональные операторы типа Фурье в пространстве непрерывных функций и найдены оценки их уклонений при подходящем выборе полюсов на классах дифференцируемых функций.

2. Построены специальные интегральные рациональные операторы в пространстве С[а,Ь], осуществляющие при предписанных полюсах приближения порядка наилучшего на классах функций с производными ограниченной вариации.

3. Найдены точные порядки наилучшей рациональной аппроксимации на классах функций с заданной степенной мажорантой интегральных модулей гладкости.

Список печатных работ автора, выполненных по теме диссертации

1. Русак В.Н., Филипович Н.К. Положительные операторы и аппроксимация рациональными функциями со свободными полюсами// Конф.математиков Беларуси (21 сентября- 2 октября 1992 года) Тезисы докладов. Часть 2. Гродно. 1992. С.63.

2. Филипович Н.К. Применение рациональных операторов Фурье при решении дифференциальных уравнений // Всеукраинская научная конф. "Новые подходы к решению дифференциальных уравнений" (25-27 января 1994 года). Тезисы докладов. Дрогобыч. 1994. С.107.

3. Русак В.Н., Агафонова Н.К. Интегральные модули гладкости и наилучшая рациональная аппроксимация //Констр.теория функций и ее приложения. Махачкала. 1994. С.98-99.

4. Русак В.Н., Агафонова Н.К. Скорость приближения рациональными операторами с подходящими полюсами//Проблемы математики и информатики. Часть 1. (Материалы междунородной математической конф.). Гомель, 1994.С.166.

5. Русак В.Н., Агафонова H.K. Точный порядок наилучших рациональных приближений для одного класса функций //Вестник БГУ. Серия 1. 1994. №3. С.71-73>

6. Агафонова Н.К. Об эффективном рациональном приближении дифференцируемых функций // Материалы республиканской научно-методической конференции (10-14 апреля 1995 года). Часть 2. Минск, 1995. С. 3.

7. Русак В.Н., Агафонова Н.К. Точные порядки наилучших рациональных приближений на классах функций в интегральной и равномерной метрике // Докл. АН РБ. 1995.T.39. №4. С.18-21

8. Русак В.Н., Агафонова Н.К. Интегральные модули гладкости и рациональная аппроксимация на классах функций// Воронежская зимняя математическая школа. Современные методы теории функций и смежные проблемы прикладной математики и механики. 25 января-1 февраля 1995. Тезисы докладов. Воронеж. 1995. С.202.

9. Агафонова Н.К. Скорость приближения рациональными операторами типа Фурье с подходяще выбранными полюсами функций, заданных в виде свертки// Редакция журнала "Вестник БГУ". Деп.в ВИНИТИ 18.10.95. №2765-В95. 22 с.

Ю.Агафонова Н.К. Об оценке уклонений усеченных рациональных операторов // Международная конференция посвященная 90-летию со дач рождения академика Ф.Д.Гахова. Минск, 1996. С.9.

П.Агафонова Н.К. Аппроксимация рациональными операторами с предписанными полюсами // 2 школа "Ряды Фурье: теория и приближения." Каменец-Подольский, 30 июня-5июля 1997. Тезисы докладов, 1997, С 3.

12.Агафонова Н.К. О скорости приближения дифференцируемых функций рациональными операторами с предписанными полюсами // Вестник БГУ. Серия 1. 1997. № З.С.66-68.

РЕЗЮМЕ Агафонова Нелли Константиновна

Приближение рациональными операторами с предписанными полюсами

Ключевые слова: рациональные операторы, оценки уклонений, наилучшее приближение, предписанные полюсы, вариация, пространство.

Построены рациональные операторы типа Фурье и Балле Пуссена в пространстве непрерывных функций на отрезке.

Получены оценки уклонений построенных рациональных операторов с предписанными полюсами на классах функций с производными ограниченной вариации.

Найдены точные порядки наилучшей рациональной аппроксимации на классах функций с заданной степенной мажорантой интегральных модулей гладкости.

РЕЗЮМЭ Агафонава Нел1 Канстанцшауна Набл1жанне рацыянальным! аператарам! з названым! палюсам!

Ключавыя словы: рацыянальныя аператары, ацэнм адхЬенняу, най-лепшае набл!жанне , названыя палюсы, варыяцыя, прастора.

Пабудаваны рацыянальныя аператары тыпу Фур'е i Балле Пуссена у прасторы непарыуных функций на одрэзку. .

Атрыманы ацэню адхшенняу пабудаваных рацыянальных аператарау з названым! палюсам! на кланах функцый с вытворным1 абмежаванай варыя-ЦЫ1.

Знойдзены дакладныя парадк! найлепшай рацыянальнай апраксшацьа на класах функцый з дадзенаю ступяневаю мажарантай ¡нтэграпьных моду-ляу гладкасщ.

SUMMARY Agafonava Nelli Konstantinovna Approximation by rational operators with preassigned poles

Key words: rational operators, estimates for deviations, best approximation, preassigned poles, variation.

Rational operators of Fourier and of Valle-Poussin type in the space of continuous functions on interval are constructed.

The estimates for deviations of constructed rational operators with preassigned poles on the classes of functions with derivatives of bounded variation are proved.

Sharp orders of best rational approximations on the classes of functions with suitable integral smoothness modulas upper boundary are found.