Некоторые вопросы сходимости аппроксимаций Паде и аналитического продолжения функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Полюсы СТРОК ТАБЛИЦЫ ПАДЕ И ОСОБЫЕ ТОЧКИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ.

§ 1. Формулировка основных результатов.

§ 2. Доказательство теоремы 1.

§ 3. Доказательство теоремы 2.

ГЛАВА П . РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ ДИАГОНАЛЬНЫХ АППРОКСИМАЦИЙ ПАДЕ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

§ 1. Постановка задачи и формулировка основных результатов.

§ 2. Основные определения и вспомогательные результаты

§ 3. Краевая задача Римана.

§ 4. Построение "явного" решения проблемы обращения Яко

§ 5. Доказательство основных результатов.

ГЛАВА П1 . АППРОКСИМАЦИИ ПАДЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ.

§ 1. Основные понятия и результаты.

§ 2. Доказательство предложения 3.1.

§ 3. Доказательство теоремы 6.

§ 4. Доказательство предложения 3.2.

1. Задача эффективного аналитического продолжения заданной степенным рядом аналитической функции и локализации ее особенностей непосредственно по коэффициентам этого ряда является классической задачей комплексного анализа. Фундаментальные результаты в этом направлении были получены еще в конце XIX века. Наиболее известными из них являются теорема Адамара о нахождении радиусов кругов мероморфности аналитической функции по коэффициентам ее разложения в степенной ряд и теорема Фабри "об отнощении". К этому же кругу вопросов относятся исследования Чебьшюва, Маркова и Стильтьеса о непрерывных дробях, которые также строятся непосредственно по коэффициентам степенного ряда. Эти и другие задачи аналитического продолжения, как оказалось впоследствии, допускают естественную интерпретацию в терминах конструктивных рациональных приближений степенного ряда - аппроксимаций Паде. В рамках исследования сходимости таких аппроксимаций удалось разработать достаточно общий подход к проблеме эффективного аналитического продолжения функций и получить естественное обобщение некоторых классических задач.

Как известно, аппроксимации Паде - это локально наилучшие рациональные аппроксимации заданного степенного ряда. Они конструируются непосредственно по его коэффициентам и позволяют осуществлять эффективное аналитическое продолжение этого ряда за пределы его круга сходимости, а их полюсы в определенном смысле локализуют особые точки (в том числе, полюсы и их кратности) продолженной функции в соответствующей области сходимости и на ее границе. Последнее свойство аппроксимаций Паде основано на том, что все их полюсы "свободны" и определяются только условием максимальности касания заданного степенного ряда. Этим аппроксимации Паде принципиально отличаются от рациональных аппроксимаций с (полностью или частично) фиксированными полюсами, в том числе от полиномиальных приближений, в случае которых все полюсы фиксированы в одной, бесконечно удаленной, точке.

Именно указанное вьппе свойство аппроксимаций Паде - эффективно решать задачу аналитического продолжения степенного ряда - и лежит в основе их многочисленных успешных применений в анализе и при исследовании прикладных задач. В настоящее время метод аппроксимации Паде являются одним из наиболее перспективных (нелинейных) методов суммирования степенного ряда и локализации его особых точек. В том числе и по этой причине, теория аппроксимаций Паде превратилась во вполне самостоятельный раздел теории приближений, а сами эти аппроксимации нашли разнообразные применения как непосредственно в теории рациональных приближений, так и в теории чисел, теории несамосопряженных операторов, исследовании дифференциальных уравнений, зависящих от малого параметра в теории возмущений (см. [1]- [12], а также монографию [13], где имеются дальнейшие ссылки).

Для заданного степенного ряда fc=0 и произвольной пары неотрицательных целых чисел п, т аппроксимацией Паде [n/m]f типа (п, т) ряда / называется (единственная) рациональная функция, доставляющая максимально возможный порядок касания к этому ряду в начале координат в классе функций лп,т = {г £ С{г):г = (ао + -!-••• + anz'A)/^o + -Ь • • • -Ь ЬАА"А)}. Соответствующая таблица {[гг/т]/}АА0 называется таблицей Паде ряда /, последовательности ви.-да {[п/т] у},п = 0,1,2,., где т - фиксированно, называются строчными последовательностями (или "строками") в таблице Паде, а последовательность {[п/п]/},гг = 0, 1,2,.,-диагональной (или "главной диагональю").

Вопрос о мероморфпом восстановлении функции / по степенному ряду (*) в ее так называемом максимальном круге т-мероморфности £)а(/) (где / мероморфна и имеет а т полюсов) при условии, что / имеет в Пт{/) в точности ш полюсов (полюсы функций считаются с учетом их кратностей), решается классической теоремой Монтессу де Болора [14 .

ТЕОРЕМА МОНТЕССУ ДЕ БОЛОРА. Пусть функция / имеет ровно т полюсов в круге ОтЦ) 1А1 < П- Тогда:

1°. При для всех достаточно больших п аппроксимации Паде [n/m]f ряда / имеют равно ш конечных полюсов, которые при п —> ос стремятся к полюсам функции / в В-т{/), причем, каждый полюс / "притягивает" столько полюсов [n/m]f какова его кратность.

2°. Последовательность [n/m]f, п = 0,1,2,., сходится к функции / равномерно внутри (т.е. на компактных подмножествах) области О'Л, которая получается из Пт удалением полюсов функции /.

При этом в условиях теоремы скорость сходимости последовательности n/m]f к функции / характеризуется неравенством: l/n lim f{z) - [n/m]f{z) <1. R

При доказательстве своего результата Монтессу де Болор в существенной степени опирался на полученные ранее Адамаром [15] непосредственно в терминах коэффициентов ряда (*) формулы для радиусов R = Rm{f) кругов D-mif)- Точнее, пусть

Сп—т+1 полагаем Cfc = О при А; < 0).

Сп-\-т—1

Справедлива следующая

ТЕОРЕМА АДАМАРА. ДЛЯ произвольного m G N

1 1/п Rm = -ß-, где £j = lim Hn,j л0 = 1; если ii,.,imAO, im+1 = 0, mo Rm = oo).

Из теоремы Монтессу де Болора уже легко следует, что конечные полюсы рациональных функций [n/m]f стремятся к полюсам / со скоростью геометрической прогрессии.

На самом деле это свойство полюсов функций [n/m]f является характеристическим. Это вытекает непосредственно из полного описания т-меро-морфного продолжения степенного ряда / с помошью ш-й строки таблицы Наде при произвольном ш € N, полученного А. АТончаром [16 .

В терминах, связанных с асимптотическим поведением конечных полюсов т-й строки таблицы Паде в [16] получены формулы для радиуса т-го крута мероморфности и дивизора полюсов продолженной функции / внутри этого круга, а также доказана общая теорема о сходимости т-й строки таблицы Паде по (логарифмической) емкости внутри Dm{f) (результат Монтессу вытекает из нее как частный случай).

Естественным образом возникает следующий более общий вопрос: какие выводы можно сделать о функции / в целом, если известно, что конечные полюсы т-й строки таблицы Паде стремятся к некоторым точкам в комплексной плоскости без какого-либо предположения о скорости этой сходимости. Рассмотрим первую строку, т.е. случай m = 1. Если 7л о, то единственный конечный полюс Сп рациональной функции n/l]f вьгтасляется по формуле = Cn/cn+i- Таким образом, соотнощение Сп л € С* = С \ {0} эквивалентно тому, что Cn/cn+i —>• а при п л ос, и мы оказываемся в условиях классической теоремы Фабри "об отношении" [17 (см. также монографию [18]).

ТЕОРЕМА ФАБРИ. Если для коэффициентов степенного ряда (*) имеет место соотношение lim--= а, то Z = а - особая точка суммы этого ряда на границе его круга сходимости < Ro, Ro — а

Тем самым, для ш = 1 теорема Фабри фактически устанавливает связь между асимптотическим поведением конечного полюса первой строки таблицы Паде и особыми точками функции / на границе крзта голоморфности Оо{/). Исследование аналогичной проблемы для 7гЛ)оизволького т € N является одной из основных целей диссертации.

Из сказанного выше вытекает, что строчные последовательности аппрок-симащш Паде приспособлены прежде всего для описания мероморфных продолжений ряда (*) в соответствующие круги. Присутствие на границе круга сходимости этого ряда какой-либо особенности иного характера, например, точки ветвления, приводит к тому, что любая строчная последовательность оказывается не эффективной при решении задачи аналитического продолжения.

Иначе обстоит дело с диагональными последовательностями аппроксимаций Паде. Одним из первых результатов общего характера о сходимости таких рациональных аппроксимаций аналитических функций является классическая теорема Маркова [19], полученная им в терминах чебьппевских непрерывных дробей для функций вида А - А где /л - положительная борелевская мера с носителем 5 = (1 К.

ТЕОРЕМА МАРКОВА. ЛЛЯ функции Д вида (**) с носителем (ё М, состоящим из бесконечного множества точек, диагональные аппроксимации Паде [п/п]А, построенные по коэффициентам разложения Д в ряд Лорана в точке г = оо, сходятся к /2 равномерно внутри области С\[а,Ь], где [а,Ь] - минимальный отрезок вещественной оси, содержащий

Тем самым, любая марковская функция (т.е. вида (**) с б^ (Ё М) может быть восстановлена вне вьшуклой оболочки 8А = [а, Ь] носителя меры по коэффициентам своего лорановского разложения в точке г — оо (моментам меры р).

Тот факт, что в теореме Маркова речь идет о равномерной сходимости главной диагонали Паде не в С \ б'д - области голоморфности функции Д, а лишь вне вьшуклой оболочки 8А носителя меры, связан с существом дела: в наиболее типичной ситуации множество предельных точек полюсов рациональных функций [п/п]д совпадает с 5А. В общем же случае, когда носитель меры /X в (**) не лежит на прямой, предельные точки полюсов диагональных аппроксимаций Паде могут составлять аналитические дуги в области О — С \ 8А1л даже быть всюду плотными в С. Более точно, по некоторым подпоследовательностям полюсы аппроксимаций Паде могут сходиться к любой наперед заданной точке аналитической дуги или, соответственно, к произвольной точке С. В такой ситуации принципиальным становится вопрос о том, может ли какой-либо полюс аппроксимаций Паде иметь предел (а не только предельную точку) по всей последовательности п А М, отличный от полюса функции /. Этот вопрос непосредственно связан с задачей о восстановлении диагональю Паде дивизора полюсов мероморфной в С \ 5аа функции вида у = '¡l + г, (***) где г € С{г) - рациональная функция, голоморфная на [а, Ь] (/ - "рациональное возмущение" марковской функции//). Конструкция аннроксимаций Паде существенно нелинейна, поэтому исследование сходимости таких аппроксимаций для функций вида (***) - сложная задача. Положительное решение задачи о восстановления дивизора вытекает непосредственно из существования подпоследовательности главной диагонали, равномерно сходящейся в сферической метрике (расстояние в которой измеряется длиной меньшей дуги между соответствующими точками на сфере Римана) внутри С \ б'д к ме-роморфной функции /. Исследование этой проблемы для класса функций вида (***) является одной из главных целей диссертации.

В последнее время [13] в связи с некоторыми задачами математической физики естественным образом возник интерес к изучению аппроксимаций Па-де обших ортогональных разложений, прежде всего - разложений по полиномам Лежандра и Чебьппева, приводящим к представлению "заданной" функции в виде ряда Фурье по ортогональным многочленам. При этом, так же, как и в классическом случае, особый интерес представляет вычисление значений функции вне пределов "канонической" области сходимости ортогонального разложения, а коэффициенты разложения определяются по таким рекуррентным формулам, что с ростом номера коэфф1шиента резко возрастает объем вьгтаслений, а следовательно, и "стоимость" численного нахождения коэффициентов. Метод аппроксимаций Паде ортогональных разложений является хорошо проявившим себя (нелинейным) методом обработки найденных коэффициентов Фурье и эффективного аналитического продолжения соответствующего ряда за пределы его канонической области сходимости. Изучение вопросов сходимости таких рациональных аппроксимаций составляет содержание последней, третьей, части диссертации.

Наконец, прежде, чем переходить к изложению основных результатов диссертации упомянем о работах Н.У.Аракеляна и его учеников [63]-[66], в которых получили дальнейшее развитие другие классические результаты теории аналитического продолжения (см. прежде всего монографию [18]), относящиеся к задаче локализации особых точек степенного ряда (*) на границе круга сходимости, а также находящихся в вершинах главной звезды Миттаг-Леффлера, в том числе, и за пределами этого круга. Кроме того, в [63]-[66] исследуется и задача эффективного аналитического продолжения степенного ряда за границу его круга сходимости, точнее - задача продолжения в главную звезду Миттаг-Леффлера и в произвольную спиральную звезду. В качестве способа продолжения предлагается линейный метод суммирования с помощью некоторой бесконечной матрицы, элементы которой зависят от параметра. Частными случаями такого способа являются классические методы суммирования Миттаг-Леффлера и Линделёфа.

2. Диссертация состоит из введения и трех глав.

1. ГОНЧАР а. а., РАХМАНОВЕ.А. Равновесные распределения и скорость рациональной аппроксимации аналитической функции // Матем. сб. 1987. Т. 134(176). №3. С. 306-352.

2. ШтАЛЬ Г. Наилучшие равномерные рациональные аппроксимации \х\ на —1,1 // Матем. сб. 1992. Т. 183. №8. С. 85-118.

3. СОРОКИН в н. Аппроксимации Эрмита-Паде для систем Никишина и иррациональность С(3) // УМН. 1994. Т. 49. Ш2. С. 167-168.

4. ЗУДИ л ии В. В. Об оценках снизу многочленов от значений некоторых целых функций // Матем. сб. 1996. Т. 187. №12. С. 57-86.

5. ГОНЧАР а. а., НОВИКОВА Н.Н., ХЕНКИНГ.М. Многоточечные аппроксимации Наде в обратной задаче Штурма-Лиувилля // Матем. сб. 1991. Т. 182. №8. С. 1118-1128.

6. Никишин Е.М. Дискретный оператор Штурма-Лиувилля и некоторые задачи теории функций // Тр. семинара им. И.Г.Петровского. 1984. Вьш. 10 С. 3-77.

7. БиБЕРВАХ л. Аналитическое продолжение. M.: Наука, 1967.

8. ЧЕБЫШЕВ П. Л. О непрерывных дробях // Ученые записки Имп. Академии Наук. 1855. Т. III. С. 636-664 (Полное собрание сочинений. Т. П. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1948. С. 103-126.)

9. ГОНЧАР A.A. О сходимости ахшроксимадий Паде для некоторых классов мероморфных функций // Матем. сб. 1975. Т. 97(139). №4(8). С. 607-629.

10. РАХМАНОВЕ.А. О сходимости диагональных аппроксимаций Паде // Матем. сб. 1977. Т. 104(146). №2. С. 271-291.23. stahl И. Conjectures around Baker-Gammel-Willes conjecture / /J. Constr. Approx. 1997. V. 13. P. 287-292.

11. DUMAS S. Sur le développement des fonctions elliptiques en fractions continues. Thesis. Zürich, 1908.

12. БЕРНШТЕЙНС.Н. О многочленах, ортогональных на конечном отрезке // Собрание сочинений. Т.П. М.: АН СССР, 1952. С. 7-106.

13. АХИЕЗЕР Н. И. Об ортогональных многочленах на нескольких интервалах // Докл. АН СССР. 1960. Т. 134. №1. С. 9-12.29. nuttall J. Asymptotics of diagonal Hermite-Pade polynomials / /J . Approx. Theory. 1984. V. 42. P. 299-386.

14. HOLDEMANJ.T. (JR.) A method for approximation of functions defined by formal series expansion in orthogonal polynomials // Math. Comput. 1969. V. 23. №106. P. 275-287.

15. FLEISCHER J. Nonlinear Pade approximants for Legendre series // J. Math. Phys. 1973. V. 14. №2. P. 246-248.

16. СУЕТИНС.П. Вопросы сходимости аппроксимаций Паде-Фабера. Дисс. . к.ф.-м.н. Москва.: МГУ им.М.В.Ломоносова, 1981, 78 стр.

17. AGMON S. Sur les series de Dirichlet // Ann. Ее. Norm. Sup. 1949. T. 66. P. 262-310.

18. МАНДЕЛЬБРОЙТ С. Ряды Дирихле. Принцины и методы. М.: Мир, 1973.

19. ЧЕБЫШЕВ П. Л. Полное собрание сочинений. Т. II, III. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1948.

20. МАРКОВ A.A. Избранные труды по теории непрерывных дробей и теории функций, наименее уклоняющихся от нуля. М.: Гостехиздат, 1948.

21. WIDOM И. Extremal polynomials associated with a system of curves in the complex plane // Adv. Math. 1969. V. 3. P. 127-232.

22. АПТЕКAPEB A . И. Асимптотические свойства многочленов, ортогональных на системе контуров, и периодические движения цепочек Тода // Матем. сб. 1984. Т. 125 (167). №2 (10). С. 231-258.

23. АхиЕЗЕР Н.И., ТОМЧУК Ю.Я. К теории ортогональных многочленов на нескольких интервалах // Докл. АН СССР. 1961. Т. 138. №4. С. 743-746.

24. ДУБРОВИН Б. A. Тэта-функции и нелинейные уравнения // УМН. 1981. Т. 36. №2. С. 11-80.

25. СПРИНГЕР ДЖ. Введение в теорию римановых поверхностей. М.: ИЛ, 1960.

26. ФОРСТЕР О. Римановы поверхности. М.: Мир, 1980.52. krazer А. Lehrbuch der Thetafunktionen. New York: Chelsea Publishing Company, XXIV, 1970.

27. Г АХОВ Ф.Д. Краевые задачи. М.: Физматгиз, 1977.

28. ЗИГМУНД А. Тригонометрические ряды. Т. I. М.: Мир, 1965.55. safe Е.В. An extension of Montessus de Ballore's theorem on the convergence of interpolating rational functions // J . Approx. Theory. 1972. V. 6. P. 63-68.

29. ГОНЧАР A.A. О сходимости обобщенных аппроксимаций Наде мероморфных функций // Матем. сб. 1975. Т. 98(140). №4(12). С. 564-577.

30. ВАВИЛОВ В.В. О сходимости аппроксимаций Наде мероморфных функций // Матем. сб. 1976. Т. 101(143). С. 44-56.

31. РАХМАНОВ Е.А. Об асимптотике отнощения ортогональных многочленов // Матем. сб. 1977. Т. 103(145). №2(6). С. 237-252.

32. РАХМАНОВ Е.А. Об асимптотике отношения ортогональных многочленов. II // Матем. сб. 1982. Т. 118(160). №1 (5). С. 104-117.

33. СЕГЁ Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962.

34. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966.

35. ШАБАТ Б.В. Введение в комплексный анализ. Ч. II. М.: Наука, 1976.

36. АРАКЕЛЯН Н.У. Об эффективном аналитическом продолжении степенных рядов // Матем. сб. 1984. Т. 124. №1. С. 24-44.

37. АРАКЕЛЯН Н.У., МАРТИРОСЯН В.А. Локализация особенностей степенных рядов на границе круга сходимости // Известия АН Арм. ССР. Матем. 1987. Т. 22. №1 . С. 3-21.

38. СУЕТИН СП. О полюсах т-й строки таблицы Наде // Матем. сб. 1983. Т. 120(162). №4. С. 500-504.

39. СУЕТИН СП. Об одной обратной задаче для т-й строки таблицы Паде // Матем. сб. 1984. Т. 124(166). №2. С. 238-250.128

40. СУЕТИН СП. Асимптотика полиномов Ахиезера и равномернал сходимость аппроксимаций Паде для гиперэллиптических функций // УМН. 1998. Т. 53. №6. С. 267-268.

41. СУЕТИН СП . О равномерной сходимости диагональных аппроксимаций Паде для гиперэллиптических функций // Матем. сб. 2000. Т. 191. №9. С. 81-114.

42. СУЕТИН СП. О сходимости рациональных аппроксимаций полиномиальных разложений в областях мероморфности заданной функции // Матем. сб. 1978. Т. 105(147). №3. С. 413-430.

43. СУЕТИН СП. Обратные теоремы об обобщенных аппроксимациях Паде // Матем. сб. 1979. Т. 109(151). №4. С. 629-646.

44. СУЕТИН СП. О теореме Монтессу де Болора для нелинейных аппроксимаций Паде ортогональных разложений и рядов Фабера // ДАН СССР. 1980. Т. 253. №6. С. 1322-1325.

45. СУЕТИН С. П . О теореме Монтессу де Болора для рациональных аппроксимаций ортогональных разложений // Матем. сб. 1981. Т. 114(156). №3. С. 451-464.ПУБЛИКАЦИИ, ПРИМЫКАЮЩИЕ К ОСНОВНЫМ

46. БУСЛАЕВ В.И., ГОНЧАР А.А., СУЕТИН СП. О сходимости нодпоследова-тельностей т-й строки таблицы Паде // Матем. сб. 1983. Т. 120. С. 540-545.

47. ВАВИЛОВ В.В., ПРОХОРОВ В.А., СУЕТИН СП. Полюсы т-й строки таблицы Паде и особые точки функции // Матем. сб. 1983. Т. 122(164). №4(12). С. 475-480.

48. СУЕТИН СП. Об асимптотике знаменателей диагональных аппроксимаций Паде ортогональных разложений // Доклады Академии наук. 1997. Т. 3 56. №6. С. 744-746.