Алгоритмизация и численная реализация аналитических методов представления решений в задачах механики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУД

ООЗОБббВО

УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ИВАНОВА Ольга Александровна

АЛГОРИТМИЗАЦИЯ И ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ В ЗАДАЧАХ МЕХАНИКИ

01.01.09 - дискретная математика и математическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

С анкт-Петербург 2007

003056660

Работа выполнена на факультете прикладной математики-про-цессов управления Санкт-Петербургского государственного .университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Вишневский Вячеслав Эдуардович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Александров Александр Юрьевич

кандидат физико-математических наук, профессор Васильев Леонид Васильевич

Ведущая организация: Вычислительный Центр имени A.A. Дородницына Российской Академии Наук

Защита состоится " " 2007т. Jчасов на заседа-

нии диссертационного совета К-212.232.07 по защитам диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Средний пр. В.О., д. 41, аудитория 515.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. А. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199031, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан п1У-п И А РТА 2007г.

/ Ученый секретарь

диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. В математической кибернетике всегда являлось и является актуальной задачей создание, по возможности, универсальных алгоритмов решения математических задач и численной их реализации на базе широко доступных современных вычислительных средств типа ЭВМ.

В диссертации рассматривается круг вопросов из области математической теории управления, связанных с построением частных решений голоморфных систем дифференциальных уравнений для задач механики с помощью двух взаимосвязанных методов: методе Миттаг-Леффлера и аппроксимаций Паде. В основу исследований положены классические результаты основателей комплексного анализа: Вейерштрасса, Миттаг-Леффлера, Рунге, Паде, восходящие к середине 19-го и начала 20-го веков, касающиеся приближения однозначных аналитических функций полиномами и рациональными функциями. Приложением их результатов к методам построения решений дифференциальных уравнений занималось не одно поколение математиков, образованы целые школы. Однако, до сих пор, многие вопросы остались без ответа. Более того, привлекательные па первый взгляд, теоретические результаты, на практике при численной их реализации для исследования конкретных механических систем, столкнулись с такими компьютерными трудностями, что у многих вычислителей был потерян всякий интерес от безнадежности.

В области небесной механики в 60-х годах 20-го века в институте теоретической астрономии В.А. Брумберг пытался при-

менить метод Миттаг-Леффлера приближения полиномами к задаче трех тел, но на практике считая множители сходимости на вычислительной технике того времени столкнулся с большими трудностями, отказался от этой идеи, и вообще от этого метода.

На метод построения аппроксимаций Паде первыми, обратившими внимание среди русских ученых, были московские математики A.A. Гончар и С.П. Суетин из института математики им. В.А. Стеклова. При их содействии и непосредственно под их руководством в 1986 году была переведена с английского языка и издана монография Дж. Бейкера, П. Грейвс-Морриса "Аппроксимации Паде", которая вызвала интерес не только математиков, но и механиков, и физиков. Она до сих пор остается наиболее полной и содержательной монографией по методу рациональных аппроксимаций - аппроксимаций Паде.

За последние десятилетия произошли настолько грандиозные изменения компьютерной техники и программного обеспечения, что позволяет взглянуть по новому на некоторые проблемы и определить цели настоящей работы.

Целью диссертационной работы является проведение исследований, направленных на развитие математических методов построения приближений решений дифференциальных уравнений, включающих в себя следующий круг вопросов:

1. Построение эффективного аналитического алгоритма применения методов Миттаг-Леффлера и Паде для нахождения решений голоморфных дифференциальных уравнений.

2. Разработка численного алгоритма вычисления множителей

сходимости метода Миттаг-Леффлера.

3. Построение аналитического алгоритма вычисления эллиптических функций. Вычисление значений р(г)-функции Вей-ерштрасса.

4. Применение разработанных алгоритмов для проведения исследований поведения движений механических систем.

Методы исследований. В работе используются строгие методы математического анализа, теории функций комплексного переменного, численного анализа, теории дифференциальных уравнений, механики управляемого движения.

Научная новизна результатов состоит в разработке новых аналитических методов и новых вычислительных алгоритмов представления решений дифференциальных уравнения в задачах механики. Основное внимание в работе уделяется следующим направлениям исследований:

• На основе построенного аналитического алгоритма получена новая оценка погрешности метода Миттаг-Леффлера.

• Построен численный алгоритм вычисления множителей сходимости, впервые получены численные значения множителей сходимости для конечного числа слагаемых в аппроксимирующих полиномах.

• Разработан новый алгоритм вычисления значений р(г)-функщш Вейерштрасса.

• Предложен новый аналитический алгоритм решения задачи о сферическом маятнике, основанный на методах Миттаг-Леффлера и аппроксимаций Паде.

• Построено приближение решения уравнения Дуффинга методами Миттаг-Леффлера и аппроксимаций Паде как аналитическое, так и численное.

• Создан пакет программных процедур, реализующий сформированные в работе алгоритмы на ЭВМ. Работоспособность и эффективность принятого подхода и разработанных программных процедур подтверждена решением конкретных задач.

Практическая и теоретическая значимость. Полученные в диссертации результаты являются развитием теории приближений функций. Теоретическая значимость работы определяется тем, что в ней предложены математические методы и вычислительные алгоритмы, с помощью которых можно существенно повысить эффективность решения достаточно сложных задач нахождения решения голоморфных дифференциальных уравнений. При этом очевидна и практическая направленность работы, состоящая в применении полученных теоретических и численных результатов для дальнейших проведений исследований в этой области. Следует подчеркнуть, что практическая ценность работы состоит в ее изначальной ориентации на решение проблемы реализуемости, как разрабатываемых методов, так и получаемых с их помощью алгоритмов в реальных условиях применения. Практические результаты работы подтверждаются теоретически-

мн данными и совпадают с известными ранее результатами, полученными для ряда частных случаев. Разработанные в диссертации методы и алгоритмы ориентированы на решение задач на базе широко доступных вычислительных средств типа ЭВМ.

Область применения предложенных методов очень широка. Они могут быть использованы и в теоретических областях науки таких как теория функций комплексного переменного, математический анализ, механика, так и при решении практических задач, например, при решении одних из самых актуальных задач - сборки космического мусора и при расчете орбит искусственных спутников Земли. В физике могут быть использованы при исследовании механических систем, осуществляющих колебательные движения.

Апробация работы. Диссертация в целом, а также ее отдельные положения и полученные результаты докладывались на XXXIII, XXXVI и XXXVII научных конференциях <Процессы управления и устойчивость> факультета прикладной математики и процессов управления (г. Санкт-Петербург, 2002, 2005, 2006), Международной математической конференции <Еругинские чтения - б> (г. Гомель, 1999), на заседании 12-й Саратовской зимней школы < Современные проблемы теории функций и их применение > (г. Саратов, 2004), а также на семинарах кафедры математической теории микропроцессорных систем управления СПбГУ.

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано семь печатных работ, в том числе одна в журнале, входящем в список ВАК. Перечень публикаций приведен в конце автореферата.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения. Материал изложен на 118 страницах, включая перечень используемой литературы из 93 наименований. Кроме того, в диссертации имеется приложение на 146 страницах, содержащее численные значения множителей сходимости, разработанные процедуры и программы, реализующие алгоритмы, полученные в диссертации.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении описывается общий подход к решению голоморфных дифференциальных уравнений для функций заданных элементом Вейерштрасса в своих звездах и в тени звезды, основанный на методах Миттаг-Леффлера и аппроксимаций Паде, обоснована актуальность проводимых исследований, определены цели работы и приведены общие формулировки задач, рассматриваемых в работе. Также выполнен краткий обзор научных публикаций по теме диссертации.

Первая глава посвящена описанию и обоснованию метода равномерной аппроксимации полиномами голоморфных функций в своих звездах Миттаг-Леффлера.

Пусть е0 - круговой элемент Вейерштрасса в точке го. Из точки го выходят прямолинейные лучи. Построим продолжение данного элемента ео с центром в точке го по этим прямолинейным лучам. Очевидно, что на каждом луче существует начальная часть, вдоль которой продолжение возможно. Длина ее не меньше, чем радиус элемента е0. Если посредством продолжения элемента ео вдоль данного луча нельзя достичь произвольной точки этого лу-

ча, начиная от го, то на луче должна иметься точка г\, отличная от г0, такая, что продолжение элемента е0 возможно вдоль отрезка луча, начиная от го, до любой точки интервала (го, 21), и невозможно вдоль всего сегмента [го, 21]. Отметим на каждом луче, выходящем из го, соответствующую точку полагая — оо, если продолжение возможно вдоль всего луча, и рассмотрим множество точек, принадлежащим всем возможным полуинтервалам [го, г{). Это множество называется прямолинейной звездой эле-льента е0 и обозначается 5"ео (см. рис. 1).

Оно содержит все точки плоскости, которых можно достичь, аналитически продолжая элемент ео вдоль всевозможных прямолинейных отрезков с общим началом в точке го.

У - особое множество

Рис. 1. К определению звезды и тени звезды.

Множество 0 С1 \ Бео назовем тенью звезды 5ео. Миттаг-Леффлср показал, что функцию ф(г), г е Пг, голоморфную в некоторой области С С1, можно разложить в ряд

7.,

по полиномам:

со

= (1) к=О

где для любого к = 0,1,...

(2)

(к) (к) (к) в котором у}т'к > [Апк-1 > ■■■> Цтк-,к ~ множители сходимости;

атк ~ коэффициенты Тейлора в точке го.

При этом ряд (1) равномерно сходится внутри прямолинейной

звезды 5ео элемента е0:

оо

ео=^вт(г-гоГ = #), \г - г0\ < г,

т.-О

здесь г - радиус сходимости степенного ряда.

Разложение (1) носит название разложение Миттаг-Леф-флера, а область Бео - звезды Миттаг-Леффлера, и решает задачу продолжения элемента вдоль прямолинейных лучей.

Итак, по элементу Вейерштрасса ео строится ряд полиномов 'Рт(г) равномерно сходящийся к функции •ф(г) внутри звезды Миттаг-Леффлера £ео.

Вычисление множителей 113 (2)> назовем их мно-

жителями сходимости, определяют основную суть и вычислительную трудность алгоритма Миттаг-Леффлера. Предлагается способ вычисления множителей сходимости как аналитический, так и численный, представляющий основной результат работы. Здесь же рассказывается как можно применить метод Миттаг-Леффлера к решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Выводится оценка погрешности приближения полу-

ченная методом Миттаг-Леффлера, представляющая один из основных результатов работы. В заключении первой главы проводится анализ проведенных вычислений множителей сходимости на компьютере, указаны трудности вычислений.

Вторая глава описывает основные принципы построения аппроксимаций Паде. Как только функция г1>(г) выходит за пределы своей звезды Миттаг-Леффлера, т.е. попадает в тень звезды, для ее вычисления предлагается использовать метод аппроксимации Паде. Аппроксимация Паде - это рациональная дробь вида

Г Т /ДЛ = + + + +

1/1 Ъ0 + Ь1г + Ъаг^ + ... + Ъмгм'

где коэффициенты числителя ¿г, г — 0,1 и знаменателя

Ь^, з — 0,1,...,М (Ьо = 1) определяются через коэффициенты разложения в ряд исходной функции, заданной элементом Вей-ерштрасса. С помощью определителей знаменателя

аь-м+1 о-ь-М+2 аь-м+2 аь-м+з

аь-1

аь „м

аь

аь+1 ~м-1

аь

а-ь+1

аь+2

в>ь+м-2 (Ч+М1

аь+м-1 аь+м г 1

и числителя

аь-М+1

а-ь-М+2

1

аь-м+2

аь~м+з

ог+2

р[Ь/М](г)

0>ь+м-1

а^+м

строится дробь Паде

[Ь/М] =

Путем оптимального подбора числителя и знаменателя, аппроксимации Паде позволяют обходить встречающиеся особые точки функции, окружая их малыми ¿-окрестностями.

Третья глава посвящена эллиптическим функциям. Выше названные методы положены в основу разработанного алгоритма для вычисления эллиптических функций, используя тот факт, что любую эллиптическую функцию можно представить через /-функцию Вейерштрасса, которая в свою очередь удовлетворяет нелинейному дифференциальному уравнению первого порядка

где 42, Чз~ инварианты, удовлетворяющие условию с^ — 27д| ф 0.

Для решения этого дифференциального уравнения построены алгоритмы, основанные на методах Миттаг-Леффлера и Паде.

Глава 4 представляет собой приложение описанных выше методов к задачам механики. Рассматриваются модельные приме-

ры: задача о сферическом маятнике и уравнение Дуффинга. В задаче о сферическом маятнике строится решение через функцию Вейерштрасса, которая вычисляется с помощью алгоритма, основанного на методах Миттаг-Леффлера и аппроксимации Паде, в аналитическом виде. При решении уравнение Дуффинга, в первую очередь, уделено внимание важной и сложной задаче численного анализа - построению ряда Тейлора. Используя метод Миттаг-Леффлера, строится ряд полиномов, равномерно сходящийся к решению уравнения Дуффинга. Проводится анализ численных расчетов применения метода Миттаг-Леффлера к построению приближения решения уравнения Дуффинга. Далее для решения уравнения Дуффинга строятся аппроксимации Паде, проводится численный анализ полученных результатов. В заключении главы проводится анализ компьютерной реализации построения аппроксимации Паде на модельном примере - уравнении Дуффинга и сравнение численных результатов с методом Миттаг-Леффлера.

В заключении приводятся основные результаты, полученные в ходе исследования.

Приложение содержит описание и тексты программ в среде МАРЬЕ, приведены численные значения множителей сходимости.

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

Основными результатами, которые получены в итоге проведенных исследований и выносятся на защиту, являются следующие:

• Получена оценка погрешности метода Миттаг-Леффлера.

• Построен численный алгоритм нахождения множителей сходимости, впервые получены численные значения множителей сходимости для конечного числа слагаемых в аппроксимирующих полиномах.

• Предложен новый подход к вычислению р(г)-функции Вей-ерштрасса.

• Предложено решение задачи о сферическом маятнике методами Миттаг-Леффлера и аппроксимаций Паде в аналитическом виде.

• Построено приближение решения уравнения Дуффинга методами Миттаг-Леффлера и аппроксимаций Паде как аналитическое, так и численное.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Вишневский В.Э., Иванова O.A. Конформная эквивалентность и аппроксимация Паде в аналитической теории дифференциальных уравнений// Труды Международной математической конференции <Еругинские чтения - 6>, Гомель, 1999, с. 7.

2. Иванова O.A. Лучевая аппроксимация Паде-Шенкса преобразований Ли// Процессы управления и устойчивость: Труды XXXIII научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. В.Н. Старкова - СПб.: Изд-во НИИ Химии СПбГУ, 2002. С. 67-69. СПб: Изд-во СПбГУ, 2003. 112 с.

3. Вишневский В.Э., Иванова O.A. Аналитическое продолжение преобразований Ли обыкновенных дифференциальных

уравнений// Сборник <Вопросы механики и процессов управления;- Вып. 22. Динамика, оптимизация, управление. СПб: Изд-во СПбГУ, 2004. С. 45-53.

4. Вишневский В.Э., Иванова O.A. Применение преобразований Ли в задачах быстродействия// Труды 12-ой Саратовской зимней школы <Современиые проблемы теории функций и их применением Саратов, 2004, с. 4G.

5. Иванова O.A. Решение задачи Коши в звезде Миттаг-Леф-флера для аналитических дифференциальных уравнений/ / Процессы управления и устойчивость: Труды XXXVI межвузовской научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н.В. Смирнова, В.Н. Старкова.- СПб.: Изд-во СПб-ГУ, 2005. С. 53-59.

6. Иванова O.A. Приближение решения уравнения Дуффин-га в звезде/,/ Процессы управления и устойчивость: Труды XXXVII международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. A.B. Платонова, Н.В. Смирнова-СПб.: Изд-во СПбГУ, 200G. С. 39-42.

7. Иванова O.A. Равномерные приближения решения задачи Коши в теории дифференциальных уравнений// Вестник СПбГУ. СПб.: Изд-во СПбГУ, Сер. 10, вып. 4, 2006. С. 4860.

ю

Отпечатапо коппропалыю-множптельпым участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СГ161"У. Приказ Л". 571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 16.03.07 с оригинал-макета заказчика. Ф-т 30x42/4, Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз., Заказ Л» 489/с 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 428-43-00.

Введение.

Глава 1. Метод Миттаг-Леффлера.

§1. Теорема Коши о разложимости аналитической функции в ряд, понятия элемента Вейерштрасса и аналитического продолжения.

§2. Теорема Рунге.

§3. Определение прямолинейной звезды.

§4. Me год Миттаг-Леффлера.

§5. Мегод П. Пенлеве.

§6. Приближение голоморфного решения задачи Коши в звезде

Миттаг-Леффлера и оценка погрешности приближения.

§7. Вычисление множителей сходимости.

§8. Комиькнерная реализация вычисления множителей сходимости.

Глава 2. Аппроксимации Паде.

§1. Аппроксимации Паде: основные определения и принципы построения.

§2. Сходимость аппроксимаций Паде.

Глава 3. Эллиптические функции.

§1. Мероморфныс функции.

§2. Эллиптические функции.

§3. р(г)-функция Вейерштрасса.

§4. Новый подход к вычислению значений р(-г)-функции.

Глава 4. Применение аналитических методов к решению задач механики.

§1. Задача о сферическом маятнике.

§2. Уравнение Дуффинга

Данная работа основана на двух взаимосвязанных методах построения частных решений голоморфных систем дифференциальных уравнений: методе Миттаг-Леффлера и методе построения аппроксимаций Паде.

В основу исследований положены классические результаты основателей комплексного анализа: Вейерштрасса, Миттаг-Леффлера, Рунге, Паде, полученные в середине 19-го и начале 20-го веков, касающиеся приближения однозначных аналитических функций полиномами и рациональными функциями. Применением их результатов к меюдам построения решений дифференциальных уравнений в задачах механики занималось не одно поколение математиков, образованы целые школы. Однако, до сих пор, многие вопросы остались без ответа. Более того, привлекательные на первый взгляд, теоретические результаты, на практике при численной их реализации для исследования конкретных механических систем, столкнулись с такими компьютерными трудностями, что у многих вычислителей был потерян всякий интерес от безнадежности.

В области небесной механики в 60-х годах 20-го века в институте теоретической астрономии В.А. Брумберг пытался применить метод Миттаг-Леффлера приближения полиномами к задаче трех тел, но на практике рассчитывая множители сходимости на вычислительной технике того времени столкнулся с большими трудностями, отказался от этой идеи, и вообще от этого метода [16j.

В наше время метод приближения полиномами функций в своих звездах Миттаг-Леффлера встречается довольно редко в теоретических разработках как российских [47, 65, 71, 70], так и зарубежных [92, 93] ученых.

На метод построения аппроксимаций Паде первыми, обратившими внимание среди русских ученых, были московские математики А.А. Гончар и С.П. Суетин [32, 33, 34] из института математики им. В.А. Стеклова. При их содействии и непосредственно под их руководством в 1986 году была переведена с английского языка и издана монография Дж. Бейкера, П. Грейвс-Морриса "Аппроксимации Паде"[9], которая вызвала интерес не только математиков, но и механиков, и физиков. Она до сих пор остается наиболее полной и содержательной монографией по методу рациональных аппроксимаций - аппроксимаций Паде.

С развитием вычислительной техники и выходом монографии [9] метод аппроксимаций Паде находит все большее применение в теоретических и практических работах [1, 19, 20, 22, 23, 44, 51].

Диапазон применения этих методов очень широк. Они могут быть использованы и в таких теоретических областях науки как теории функций комплексного переменного, математическом анализе, механике, так и при решении практических задач небесной механики, например, при решении одних из самых актуальных задач - сборки космического мусора и при расчете орбит искусственных спутников Земли. В физике могут быть использованы при исследовании механических систем, осуществляющих колебательные движения.

В данной работе предлагается обоснование и компьютерная реализация метода равномерной аппроксимации полиномами голоморфных функций (или их ветвей в случае многозначности) в своих звездах Миттаг-Леффлера, при этом, в случае мероморфиых функций, а именно такими являются эллиптические функции, дополнительно строятся аппроксимации Паде для вычислений значений функций в точках, попадающих в тень звезды.

Исходным пунктом рассматриваемых алгоритмов является задание исследуемой функции элементом Вейерштрасса: со ео: f(z) = ^2an(z-z0)n, для Mz: \z - z0\ < р, (1)

71=0 где

- коэффициенты Тейлора, р - радиус сходимости ряда (1).

Используя метод Миттаг-Леффлера, можно функцию /(г), голоморфную

А Л в некоторой области Qz С Е (Е - расширенная комплексная плоскость), в своей звезде разложить в ряд по полиномам

00

М = £/мМ. (3) ri-0 где f{n)(z) = ц{о]ао + n^a^z -zq) + .+ ц^^г - г0Г". (4) п)

Здесь п - номер полинома, п = 0,1,2,.; величины frm'n - так называемые множители сходимости, определяемые номером полинома и тп -f 1 - количеством слагаемых в n-ом полиноме, тп = (и + 1)" — 1, и = 1,2,.; числа &тп ~ коэффициенты ряда Тейлора.

При э'юм ряд полиномов (3) равномерно сходится внутри звезды Миттаг-Леффлера элемента ео, задающего значения функции f(z).

Как только функция (1) выходит за пределы звезды Мипаг-Леффлера, т.е. функция (1) попадает в тень звезды, для вычисления ее значений предла-гаегся использовать метод аппроксимации Паде. Аппроксимация Паде - это рациональная дробь вида:

L/M] = do + d\z + d2Z2 + . + dizL

5) b0 + blz + Vlz2 + . + bMzMt где коэффициенты числителя dt, i = 0,1,2, .,L, и знаменателя Ъь, к = 0,1,2,.,М, определяются через коэффициенты разложения (2) в ряд исходной функции (1), заданной элементом Вейерштрасса. С помощью определителей знаменателя

Q^M\z) = аь-м+l QL-M+2 0-L-M+2 O'L-M+Z аь-1 dL аь аь+1

М-1 аь+1 аь+2 аь+м-1 аь+м 1 и числителя p[L/M]{z) строится дробь Паде аь-м+i аь-м+2 аь-1 аь ь-м аь-м+2 аь-м+з аь аь+i

L-M+1 atzM+l £ <4* г=0 г=0 р[Ь/М]

WW = Wщ.

M+i-1 аь+1

OL+2 fli+M-l аь+м ь z=0

Путем оптимального подбора числителя и знаменателя, аппроксимации Паде позволяют обходить встречающиеся особые точки функции f(z), окружая их малыми ^-окрестностями.

Вышеназванные методы предлагается применять для вычисления эллиптических функций, используя тог факт, что любую эллиптическую функцию можно преде 1авить через р(г)-функцию Вейерштрасса, которая в свою очередь удовлетворяет нелинейному дифференциальному уравнению первого порядка

И*)]2 = 4[р(г)]3 - q2p{z) - «73, где (ft) <7з инварианты, удовлетворяющие условию gf ~ ф 0.

Для решения этого дифференциального уравнения построен аналитический алгоритм, в основе которого лежат методы Миттаг-Леффлера и аппроксимации Паде.

На модельном примере - задаче о сферическом маятнике показано, как можно уйти от традиционных методов вычисления р(.г)-функции Вейерштрасса через ряды и, воспользовавшись Meiодами Миттаг-Леффлера и Паде, получить решение.

На другом модельном примере - уравнении Дуффинга строится общий алгоритм решения с помощью метода Миттаг-Леффлера и аппроксимаций Паде, который реализуется аналитически и численно, а затем проводится анализ полученных численных результатов.

В результате проделанной работы получены следующие результаты:

• На основе построенного аналитического алгоритма получена новая оценка погрешности метода Миттаг-Леффлера.

• Построен алгоритм нахождения множителей сходимости, впервые получены численные значения множителей сходимости для конечного числа слагаемых в аппроксимирующих полиномах.

• Разработан новый алгоритм вычисления р(г)-функции Вейерштрасса.

• Предложен новый алгоритм решения задачи о сферическом маятнике, основанный на методах Миттаг-Леффлера и аппроксимаций Паде, в аналитическом виде.

• Построено приближение решения уравнения Дуффинга меюдами Миттаг-Леффлера и аппроксимаций Паде как аналитическое, так и численное.

Работа состоит из четырех глав. Каждая глава предваряется кратким введением и разделена на параграфы. Формулы нумеруются в пределах главы: первая цифра означает номер главы, вторая - параграфа и далее непосредственно сам порядковый номер.

В главе 1 рассматривался метод Миттаг-Леффлера - аналитический метод построения приближений решения задачи Коши для систем дифференциальных уравнений, искомая функция которых задана элементом Вейерштрасса в своей звезде Миттаг-Леффлера. В начале главы напоминаются основные понятия и определения теории функций комплексного переменного, теорема Коши о разложимости аналитической функции в степенной ряд, понятия аналитического продолжения и элемента Вейерштрасса, теоремы об аналитическом продолжении и монодромии. Далее приводится теорема Рун-ге, на основании которой возможно построение последовательности полиномов, равномерно сходящейся к значению функции внутри некоторой области. Вводится понятие звезды и тени звезды функции. Подробно рассмотрен метод (алгоритм) Миттаг-Леффлера, в основе которого лежит теорема Рун-ге, приближения функции, заданной своим элементом Вейерштрасса в своей звезде, рядом полиномов. Приводится один из методов построения последовательности полиномов - метод Пенлеве. Далее рассказывается как можно применить метод Миттаг-Леффлера к решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений, используя метод Коши-Липшица в модификации Пиконе. Выводится оценка погрешности приближения, представляющая один из основных результатов работы. Главная трудность, связанная с применением алгоритма Миттаг-Леффлера, заключается в вычислении так называемых множителей сходимости. Предлагается способ вычисления множителей сходимости как аналитический, так и численный, представляющий основной результат работы. В заключении первой главы проводится анализ проведенных вычислений множителей сходимости на компьютере, указаны трудности вычислений, связанные с компьютерной реализацией разработанного алгоритма.

Глава 2 описывает метод построения аппроксимаций Паде. В начале главы дается определение аппроксимации Паде, рассказывается об основных принципах построения аппроксимации Паде, напоминаются понятия определителя Ганкеля, таблицы Паде, С-таблицы. Приводится теорема Паде о существовании аппроксимаций Паде, модернизированная Бейкером. Из теории сходимости аппроксимаций Паде приводятся основные теоремы: Монтессу, Поммеренке и теорема Зинна-Юстина для диагональных аппроксимаций.

Глава 3 посвящена эллиптическим функциям. В начале главы напоминаются определение мероморфных функций и их свойства, приводятся примеры мероморфных функций и теорема Миттаг-Леффлера. Рассказывав гея о периодических мероморфных функциях: однопериодической и двоякопериодиче-ской (эллиптической) и их свойствах, причем большое внимание уделяется эллиптическим функциям. Подробно разъясняются понятия параллелограмма периодов и решетки параллелограммов. Рассматривается р(г)-функция Вей-ерштрасса, ее свойства и традиционные методы определения р(г)-функции. Следуя одному из основных свойств эллиптических функций: любую эллиптическую функцию можно представить в конечном виде через £?(г)-функцию Вейерштрасса, в данной работе предлагаем алгоритм для вычисления p{z)-функции Вейерштрасса, основанный на методах Миттаг-Леффлера и аппроксимации Паде.

Глава 4 представляет собой приложение описанных выше методов в задачах механики. Рассматриваются модельные примеры: задача о сферическом маятнике и уравнение Дуффинга. В задаче о сферическом маятнике строится р(г)-функция Вейерштрасса и решение с помощью алгоритма, основанного на методах Миттаг-Леффлера и аппроксимации Паде в аналитическом виде. При решении уравнение Дуффинга, в первую очередь, уделено внимание важной и сложной задаче численного анализа - построению ряда Тейлора. Используя метод Миттаг-Леффлера, строится ряд полиномов, равномерно сходящийся к решению уравнения Дуффинга. Проводится анализ численных расчетов применения метода Миттаг-Леффлера к построению приближения решения уравнения Дуффинга. Далее для решения уравнения Дуффинга строятся аппроксимации Паде, проводится численный анализ полученных результатов. В заключении проводится анализ компьютерной реализации построения аппроксимации Паде на модельном примере - уравнении Дуффинга и сравнение численных результатов с методом Миттаг-Леффлера.

В приложениях приводятся численные значения множителей сходимости и листинги программ с описанием.

Заключение

В данной работе получены следующие новые результаты:

• На основе построенного аналитического алгоритма получена новая оценка погрешности меюда Миттаг-Леффлера.

• Построен численный алгоритм нахождения множителей сходимости, впервые получены численные значения множителей сходимости для конечного их числа в аппроксимирующих нолиномах.

• Разработан новый алгоритм вычисления значений р(г)-функции Вейерштрасса.

• Предложен новый алгоритм решения задачи о сферическом маятнике, основанный на методах Миттаг-Леффлера и аппроксимаций Паде, в аналитическом виде.

• Построено приближение решения уравнения Дуффинга методами Миттаг-Леффлера и аппроксимаций Паде как аналитическое, так и численное.

• Создан пакет программных процедур, реализующий сформированные в pa6oie алгоритмы на ЭВМ. Работоспособность и эффективность принятого подхода и разработанных программных процедур подтверждена решением конкретных задач.

В первой главе, применяя метод Миттаг-Леффлера, построен алгоритм приближения решения задачи Коши для систем дифференциальных уравнений, искомая функция которых задана элементом Вейерипрасса в своей звезде Миттаг-Леффлера. Здесь же на основе построенного алгоритма получена новая оценка погрешности метода Миттаг-Леффлера, представляющая основной результат работы.

Сложность применения метода Mhi таг-Леффлера заключается в вычислении множителей сходимости. Одной из главных задач, решенных в этой работе, было построение численного алгоритма и разработка программных процедур на ЭВМ нахождения значений множителей сходимости. При вычислении последних основной трудностью, с которой пришлось сюлкнуться, было время счета программы, которое резко возрастает в зависимости от количества множителей сходимости. При вычислении данных величин постоянно вставал вопрос о количествах полиномов и количествах множителей сходи мое i и в них. В данной рабою в качестве критерия выбора количества множиюлей сходимости в полиномах было взято время счет компыоюра, т.е. строились те полиномы, у которых число множителей сходимосш не превосходит примерно 1300 членов в полиноме. Все эти величины, рассчитанные с помощью программы, сохранены на компьютере в виде отдельных файлов, пригодных для дальнейшего использования. Численные значения их приведены в приложениях (см. приложение 2-23). Из анализа проделанных расчетов видно, что если задать минимальную точность е, ко юрой мы хотим достичь, строя полиномы, можно сначала провесi и вычисления при тг = 1 и различных v > 1, выбрать и, соотве1С1вующее нашей заданной минимальной точности е. А далее можно уже при полученном v веем и расчеты при различных п, пока не будет достигнута максимальная точность, которую мы хоюли бы получить. Порядок выбора количества полиномов п и множиюлей сходимости тп в них будет определяться мощностью компьютера и точностью вычислений, которую мы хоюли бы получить. Следует отметить, чю разработанные процедуры вычисления множителей сходимости были написаны с учеюм того, чтобы достаточно легко могли быть импортированы в другие программные модули.

При решении конкретых задач выполненные вычисления показали, что меюд Мит таг-Леффлера хорошо рабошет, т.е. дает хорошие оценки погрешности, когда исходные точки находятся вблизи £о, но чем дальше они отстоят от ^0) тем больше возрастает погрешность приближения.

Одним из основных результатов рабош является построение новых аналитических алгоритмов, основанных на меюдах Миттаг-Леффлера и Паде, для вычисления значений р(г)-функции Вейерштрасса, которая играет огромную роль в теории эллиптических функций, т.к. любую эллишическую функцию можно представить через р(г)-функцию Вейерштрасса. Используя тот факт, что р(2:)-функция Вейерштрасса удовлетворяет нелинейному дифференциальному уравнению первого порядка p'(z)]2 = A[p(z)f - q2p(z) - <73, где q2, <?з ~ инварианты, удовлетворяющие условию qj — 27q% ф 0, строится алгоритм решения данного дифференциального уравнения, удобный для численной реализации на компьютере. Предлагавюя использовать для численной реализации построенного алгоритма разработанные в процессе работы программные процедуры. Следует отметить, что сложная задача нахождения множителей сходимости уже решена и нет необходимости их пересчитывать.

Созданные в процессе работы алгоритмы использую! ся при решении задач механики на модельных примерах: задача о сферическом мая!нике и уравнение Дуффинга.

В задаче о сферическом маятнике строится решение системы уравнений, описывающих движение сферического маятника, через р(,г)-функцию Вей-ерштрасса, которая вычисляется с помощью алгоритмов, основанных на методах Миттаг-Леффлера и Паде, в аналитическом виде.

При решении уравнение Дуффинга, в первую очередь, уделено внимание важной и сложной задаче численного анализа - iiociроению ряда Тейлора. Используя разработанные в первой главе алгоритмы: алгоритм применения меюда Мит таг-Леффлера к решению дифференциальных уравнений и алгоритм вычисления множителей сходимости, строи 1ся приближение решения уравнения Дуффинга с помощью компьютера. Проводится анализ численных расчеюв. Затем для решения уравнения Дуффинга строятся аппроксимации Паде. В аналитическом виде построена аппроксимация Паде [3/3]. Разра-ботнный алгоритм вычисления аппроксимаций Паде реализован на ЭВМ для диагональных аппроксимаций Паде L = М > 3. Из полученных расчетов видно, что применение меюда Миттаг-Леффлера вблизи начальной точки to дает приемлемые результаты, что и подтверждав 1ся теоретическими выводами первой главы. Но как только начинаем удаляться от точки to метод Митчаг-Леффлера работет, но дает не достаточные оценки погрешности приближения в отличии от построенных аппроксимаций Паде, о чем свидетельствуют приведенные расчеты.

Полученные в диссертации результаты являююя развитием теории приближений функций. Теоретическая значимость работы определяется тем, что в ней предложены математические меюды и вычислительные алгоритмы, с иомощыо которых можно существенно повысить эффективность решения достаточно сложных задач нахождения решения голоморфных дифференциальных уравнений. При эюм очевидна и практическая направленность работы, состоящая в применении полученных теоретических и численных результатов для дальнейших проведений исследований в этой области. Основная трудность применения меюда Миттаг-Леффлера к задачам механики заключав 1ся в численных затратах (имееюя в виду время работы компьютера) при расчетах множителей сходимости. В связи с развитием компьютерной техники, можно вести расчеты на более мощных компьютерах, и попытаться распараллелить вычисления. Еще одна очень важная проблема, которая возникла в ходе работы - это вычисление коэффициешов Тейлора в силу ираиой части дифференциального уравнении. Здесь 'юже можно попытаться подобрать меюд вычисления производных высших порядков в начальной точке, чем самым сокращая время работы расчетных программ. Следует подчеркнуть, что практическая ценность работы состоит в ее изначальной ориентации на решение проблемы реализуемости, как разрабатываемых методов, так и получаемых с их помощью алгоритмов в реальных условиях применения. Практические результаты работы подтверждаются теоретическими данными. Разработанные в диссертации меюды и алгоритмы ориентированы на решение задач на базе широко доступных вычислительных средств типа ЭВМ.

Публикации но теме

1. Вишневский В.Э., Иванова О.Л. Конформная эквивалентность и аппроксимация Паде в аналитической теории дифференциальных уравнений// Труды Международной математической конференции <Еругинские чтения - 6>, Гомель, 1999, с. 7.

2. Иванова О.А. Лучевая аппроксимация Паде-Шепкса преобразований Ли// Процессы управления и устойчивость: Труды XXXIII научной конференции аспирантов и студешов / Под ред. В.Н. Старкова.- СПб.: Изд-во НИИ Химии СПбГУ, 2002. С. 67-69. СПб: Изд-во СПбГУ, 2003. 112 с.

3. Вишневский В.Э., Иванова О.А. Аналитическое продолжение преобразований Ли обыкновенных дифференциальных уравнений// Сборник < Вопросы механики и процессов управления> Вып. 22. Динамика, оптимизация, управление. СПб: Изд-во СПбГУ, 2004. С. 45-53.

4. Вишневский В.Э., Иванова О.А. Применение преобразований Ли в задачах быстродействия// Труды 12-ой Саратовской зимней школы <Современные проблемы теории функций и их применение>, Сараюв, 2004, с. 46.

5. Иванова О.А. Решение задачи Коши в звезде Миттаг-Леффлера для аналитических дифференциальных уравнений// Процессы управления и устойчивость: Труды XXXVI межвузовской научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н.В. Смирнова, В.Н. Старкова.- СПб.: Изд-во СПбГУ, 2005. С. 53-59.

6. Иванова О.А. Приближение решения уравнения Дуффиша в звезде// Процессы управления и устойчивость: Труды XXXVII международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. А.В. Платонова, Н.В. Смирнова.- СПб.: Изд-во СПбГУ, 2006. С. 39-42.

7. Иванова О.А. Равномерные приближения решения задачи Коши в теории дифференциальных уравнений// Вестник СПбГУ. СПб.: Изд-во СПб-ГУ, Сер. 10, выи. 4, 2006. С. 48-60.

1. Адуков В.М. Об асимптотическом поведении знаменателей аппроксимации Паде для предпоследней промежуточной строки// Вестн. Ю. Ур. ГУ. Сер. Мат. физ., химия. 2005, X* 2, с. 3-4.

2. Айзенберг JI.A., Южаков А.П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. М.: Наука, 1979.

3. Александров И.А., Соболев В.В. Аналитические функции комплексного переменного. М.: Паука, 1984.

4. Алферов Г.В., Бабаджаняпц J1.K., Ковригин Д.А., Сенатова С.В. Лабораторный практикум по механике управляемого движения с использованием мини-ЭВМ. (Учебное пособие). СПб.: Изд-во ЛГУ, 1989. 84 с.

5. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 304 с.

6. G. Арнольд В.И. Математические меюды классической механики. М.: Наука, 1979. 431 с.

7. Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций. М.: 1970. 304 с.

8. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука, 19G5. 407 с.

9. Бейкер Дж., Грейвс-Моррис П. Аппроксимация Паде. М.: Мир 198G. 502 с.

10. Бибербах Л. Аналитическое продолжение. М.: Паука. 19G7. 240 с.

11. Борисович Ю.Г., Близняков II.М., Израилевич 51.А., Фоменко Т.Н. Введение в топологию. М.: Наука, 1995. 41G с.

12. Боголюбов Н.Н., Митроиольский Ю.А., Самойленко A.M. Меюд ускоренной сходимости в нелинейной механике. К.: Наукова Думка, 19G9. 247 с.

13. Болтянский В.Г. Математические меюды оптимального управления. М.: Наука, 1969. 408 с.

14. Брумберг В. А. Ряды полиномов в задаче трех тел// Б юл л. ИТА, 9, 4 (107). 1963. С. 234-256.

15. Вайнберг М.М., Треногин В.Л. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М., 1969.

16. Веретенников В.Г. Устойчивость и колебания нелинейных спсчем. М.: Наука, 1984. 320 с.

17. Вишневский В.Э., Иванова О.А. Конформная эквивалентность и аппроксимация Паде в аналитической теории дифференциальных уравнений// Труды Международной математической конференции <Еругинские чтения 6>, Гомель, 1999. С. 7.

18. Вишневский В.Э., Мартыненко Г.А., Иванова О.А., Цылева И.А. Рациональная аппроксимация и интерполяция в дифференциальных уравнениях. (Учебное пособие) СПб: Изд-во ООП ПИИ Химии СПбГУ, 1999. 50 с.

19. Вишневский В.Э., Иванова О.А. Топологические свойства в проблеме построения корней алтебраических уравнений. (Учебно-методическое пособие) СПб: Изд-во ООП НИИ Химии СПбГУ, 2001. 19 с.

20. Вишневский В.Э., Иванова О.А. Функционально-аналитические представления решений в нелинейных задачах теории управления. (Учебное пособие) СПб: Изд-во СПбГУ, 2003. 112 с.

21. Вишневский В.Э., Иванова О.А. Аналитическое продолжение преобразований ЛИ обыкновенных дифференциальных уравнений// Сборник <Вонросы механики и процессов управления> Вып. 22 Динамика, оптимизация, управление. СПб: Изд-во СПбГУ, 2004. С. 45-53.

22. Вишневский В.Э., Иванова О.А. Применение преобразований Ли в задачах быстродействия// Труды 12-ой Саратовской зимней школы <Со-времениые проблемы теории функций и их применение>, Саратов, 2004. С. 46.

23. Ганнипг Р., Росси X. Аналитические функции многих комплексных переменных. М.: Мир, 1969. 390 с.27 28 [2930 3132