Постановки в усилиях задач статики упругих систем для решения методами конечных и граничных элементов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

од

г»

I У

34

и I)

САНКТ - ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДЛРСТВЕШШ МОРСКОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ЛАЛИН

Владимир Владимирович

ПОСТАНОВКИ В УСИЛИЯХ ЗАДАЧ СТАТИКИ УПРУГИХ СИСТЕМ

ДЛЯ РЕШЕНИЯ МЕТОДАМИ КОНЕЧНЫХ И ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕВТС"

01.02.04 - Механика деформируемого п ¿ого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора тэхничвскшс наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1993

.Работа выполнена на кафедре "Строительная механика и тео] упругости" Санкт-Петербургского Государственного техничесш университета.

Официальные оппоньнти:

Заслуженный деятель науки и техники РФ, доктор технических наук, профессор 'В. А. ПОСГНОВ, доктор физико-математических наук, профессор В. А. ПАЛЬЫОБ, доктор технических наук, профессор А. Н. ВАЗЙАНОВ

Ведущая организация - Всероссийский, научно-исследовате окий институт гидротехники (г. Санкт-Петербург).

Защита состоится «X?.» . ....... 1994 г

в , йН . час. на заседании специализированного сове Д 053.23.01 при Санкт-Петербургском Государственном морском т ническом университете в ауд. . по адресу

190008, Санкт-Петербург, Лоцманская ул., 3.

С диссертацией »южно ознакомиться в библиотеке СПбГМТУ.

Отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенный печат просим направлять на имя ученого секретаря специализирован! совета по указанному выше адресу.

Автореферат разослан « .

Ученый секретарь специализированного совета Д 053.23.01

С. Г. КАДЫРОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность проблемы. Прочностные расчеты деформируемых тел, т.о. определение их напряженно-деформированного состояния 37 заданных внешних воздействий, пилятся одним из основных и необходимых аспектов процесса проектирования конструкций и сооружений. В настоящее время подавляющее большинство таких расчетов выполняется на электронных вычислительных машинах (ЭВМ) и связано с использованием приближенных, численных методов решения задач.

Наиболее широко используемыми численными методами, применяемыми для решения прикладных задач механики деформируемого твердого тела, являются метод конечных элементов (МКЭ) и метод граничных элементов (МГЭ). МКЭ основан, как правило, на использовании вариационных постановок задач; МГЭ - на постановках задач в виде интегральных уравнений, которые часто называют граничными интегральными уравнениями (ГИУ).

Исходной математической формулировкой задач для решения их численными методами служит, в основном, постановка в перемеще-ях, т.е. такая постановка задач механики, в которой неизвестными функциями являются перемещения точек деформируемого тела. Постановки в перемещениях обладают рядом положительных свойств, облегчающих численное решение, что и обусловило их широкое применение в практических расчетах. Эти свойства, например, для вариационной постановки в перемещениях задач теории упругости меж но сформулировать следующим образом:

1.Функционал вариационной постановки содержит производные от неизвестных функций не выше первого порядка, что позволяет использовать простые конечные элементы, обесточивающие только непрерывность искомых функций;

2.Вариационная постановке п перемещениях является безуслпв но экстремальной вариационной задачей, т.о. задачей без дополнительных условий; ■

3.Функционал вариационной постановки является строго выпук лым (при наличии закреплений от жесткого смещония) и вариационная задача есть задача поиски точки минимума функционала, что обо опочивает положительную оирпделгмшиоть систем алгебраических уравнений MIO, для .реакция которых существуют пДОг-ктиннно алгоритмы .

ГНУ для постановок в перемещениях такно являются достаточа удобным шструментом решения задач, поскольку, комбинируя уравнения прямого и непрямого методов, удается для основных краевых задач получить интегральные уравнения второго рода, ядра которц либо имеют слабую особенность, либо являются сингулярными (в последнем случае интеграл понимается в смысле главного значения по Коши). Для решения интегральных уравнений с ядрами указанных типов разработаны достаточно простые и аффективные схемы МГЭ.

Для оценки прочности конструкций и сооружений необходимо знание полей напряжений (усилий), возникающих в точках деформируемого тела. С точки зрения определения напряжений при численных расчетах постановки задач в перемещениях обладает существе! ным недостатком. Поскольку результатом приближенного решения д таких постановок являются значения перемещений в отдельных точках (узлах сетки) тела, то вычисление напряжений сводите по существу, к численному дифференцированию поточечно задай® функций, что приводит, как правило, к снижению точное определения напряжений (усилий) по сравнению с точност определения перемещений.

Несмотря на постоянное совершенствование существуют комплексов программ для решения прикладных задач механи деформируемых тел и непрерывное повышение мощности используем эам, о вашостн проблемы повышения точности определен напряаений при численном решении задач свидетельству разнообразие предлагаемых подходов и значительное количест публикаций, о чем подробнее будет сказано далее в обзе состояния проблемы.

Одним из способов повышения точности определения напряжен при численном решении является разработка и использовах постановок задач в напряжениях (усилиях),, т.е. таких постано] задач механики деформируемых тел, в которых неизвестш функциями является непосредственно напряжения (усилия). Иш этому кругу вопросов посвящена настоящая диссертация.

Основные цели работы. В наиболее общем вида поставлен: перед работой цель заклинается в разработке и исследова (теоретическом и численном) таких постановок в усилиях (напря ниях) задач механики деформируемых тел, которые были эффективны с точки зрения вычисления напряжений при числен

решении задач методами конечных и граничных элементов.

В диссертации рассматриваются следующие классы линейных статических задач механики деформируемого твердого тела:

- стержневые системы (конечномерные задачи);

- теория упругости, кручение и изгио стержней, а также задачи стационарной теплопроводности, фильтрации (задачи о дифференциальными уравнениями второго порядка):

- изгиб тонких пластин (задачи с дифференциальными уравнениями четвертого порядка).

Для стержневых систем ставилась цель разработки варианта метода сил, сравнимого по сложности алгоритмизации и программирования с алгоритмом метода перемещения. Это подразумевает разработку такого способа построения общего решения однородных уравнения равновесия, который не требует анализа и проведения каких-либо операций с матрицей уравнений равновесия.

Для задач, описываемых дифференциальными уравнениями, ставилась цель получения таких дифференциальных, вариационных и интегральных постановок задач в усилиях, которые с вычислительной точки зрения были бы не хуже традиционных постановок задач в перемещениях. Это подразумевает:

а) для вариационных постановок - сохранения всех трех положительных свойств вариационной постановки в перемещениях: первого порядка производных в функционале, строгой выпуклости функционала, безусловно экстремального характера вариационной задачи;

б) для интегральных постановок сохранения порядка ^особенностей в ядрах интегральных уравнений, возможности получения интегральных уравнений второго рода .для всех основных типов краевых задач.

Наряду с разработкой и теоретическим анализом постановок в усилиях Ставилась задача построения новых коночных и граничных элементов для соответствующих постановок, исследования особенней их численной реализации МК9 и МГЭ. проверки зЭДяктигаостн предложенных подходов при решении модельных и практических задач.

Научная новизна. Нродложен способ явного, аналитического построения общего рвшения однородных уравнений равновесия произвольных статически ноопродадимнх сторжшшх систем. Способ основан на прямом построении уранншиа совместности доформгвдй для

таких систем, пригоден как для систем с жесткими, так и с шарнирными узлами а не требует какого-либо анализа уравнений равновесия.

Сформулирован алгоритм метода сил, в котором структура матрицы разрешающей систеьш уравнений однозначно определяется нумерацией контуров стержневой системы, что делает метод сил для стержневых систем сравнимым по трудоемкости алгоритмизации и программирования с методом перемещений.

Для плоских и пространственных задач теории упругости с произвольными граничными условиями предложены постановки задач, в которых напряжения являются непосредственно искомыми функциями.

Получены соответствующие вариационные постановки в напряжениях, обладающие всеми тремя положительными свойствами вариационных постановок в ..еремещениях. и, тем самым, позволящие применять аналогичные по сложности схемы ЖЭ для прямого получения напряжений без численного дифференцирования даремвщадиз.

Получены соответствующие интегральные постановки в напряжениях в виде ГИУ прямого метода. Предложенные ГИУ являются интегральными уравнениями второго рода для всех основных типов краевых задач и содержат сингулярные особенности. Таким образом, возможно решение полученных ГИУ стандартными для уравнений в перемещениях схемами ИГЭ, при этом обеспечивается возможность получения всех напряжений (в том числе, и тангенциальных) на границе тела с использованием только алгебраических операций.

Проведено исследование свойств постановок в напряжениях. В частности, доказано, что предложенные постановки имеют единственное решение по напряжениям для не закрепленного от жесткого смещения тела (вторая краевая задача теории упругости). Тем самым, обеспечивается возможность устойчивого численного решения таких задач без необходимости введения закреплений от жесткого смещения или использования специальных алгоритмов регуляризации.

Для задач изгиба тонких пластин с произвольными граничными условиями предложена постановка задач, в которой усилия (моменты и перерезывающие силы) являются непосредственно искомыми функциями.

Получена соответствующая вариационная постановка в усили-

чх, которая, сохраняя положительные свойства постановки в перемещениях (положительную опроделонность и безусловно экстремальный характер), в одном отношении превосходят ее: фупкционал вариационной постановки в усилиях содержит производные первого порядка от неизвестных функций. Таким образом, при численном решении задач изгиба тонких пластин МКЭ становится возможным использовать простые конечные элементы, обеспечивающие только непрерывность аппроксимируемых функций.

Проведенное исследование предложенной постановки показало, что, как и для задач теории упругости, постановка в усилиях задач изгиба тонких пластин обеспечивает единственность решения для пластин, не закрепленных от жесткого смещения, что дает возможность устойчивого численного решения таких задач без введения дополнительных связей.

Изучены вопросы численной реализации предложенных постановок в усилиях (напряжениях) методами конечных и граничных элементов. Проведено сопоставление с обычными постановками в перемещениях но точности определения напряжений и общему объему вычислительных затрат.

Практическая ценность. Методы, алгоритмы и результаты исследований, представленные в диссертации, могут быть использованы широким кругом пользователей для выполнения прочностных расчетов разнообразных конструкций.

Построенные в диссертации конечпые и граничные элементы для постановок в усилиях позволяют в практических расчетах при сравнимых с постановками в перемещениях вычислительных затратах в ряде случаев существенно повысить точность определения напряжений (усилий) по сравнению с традиционными формами МКЭ и МГЭ.

Приведенные в диссертации кошфетные применения разработанных подходов связаны с исследованиями няпряжонно-деформирован-ного состояния различных гидротехнических сооружений, выполненными для Прооктно-изыскательского института Гидропроект (г.Сяш«т -Петербург).

Предложенные в диссертации вариационные и интегральные постановки в усилиях (напряжениях:) задач механики деформируемых тол используются при выполнении научно-исследовательских, аспирантских и дипломных работ на Гидротехническом факультете Санкт-Петербургского государственного технического университета. Отдоль*

ше положения работы включены в специальные курсы гю строитель кой механике и теории упругости.

Апробация работа.Основные положения и результаты работы докладывались на УШ Всесоюзной школе-семинаре "Методы конечных я граничных элементов в строительной механике" (Нарва, 1987 г.). Всесоюзном научно-техническом совещании "Предельные состояния бетонных И железобетонных конструкций энергетических сооружений" (Нарва, 1988 г.), IX Всесоюзной школе семинаре "Методы конечных и граничных элементов в строительной механике" (Челябинск, 1989 г.), X школе-семинаре "Методы конечных и граничных элементов в строительной механике" (Одесса, 1992 г.), семинаре по строительной механике в СПбГТУ (ЛИИ) под руководством Л.А.РозиНа (1986, 1988, 1992 гг.).

По материалам диссертации опубликовано 16 печатных работ, из них - 6 в соавторстве. Соавторами являлись аспиранты, научным консультантом диссертационных работ которых был автор.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы из 224 наименований в приложения, содержащего документы о внедрении результатов работы. Изложена на 380 страницах, содержит 53 рисунка и 7 таблиц.

Автор выражает искреннюю признательность доктору физико-математических наук, профессору Л.А.Розину, плодотворные научные дискуссии с которым стимулировали и направляли работу автора, СОДШШШ РАБОТЫ.

Во введении диссертации изложено обоснование актуальности темы, дан обзор состояния проблеш, сформулированы цели работы и приведено краткое изложение содержания по главам.

Состояние проблеш. Сложности алгоритмизации и программирования метода сил для расчета статически неопределимых стержневых систем связаны с тем, что, в отличие от метода перемещений, выбор и нумерация узлов и элементов системы не определяют единственным образом структуру матрицы разрешающей системы уравнения (матрицы податливости конструкции). Это объясняется неединственность» выбора основной систвад и лишних неизвестных в методе сил. ■■••.'■:■'.■

Проблеме алгоритмизации метода сил посвящены работы P.A. Резникова, Л.А.Розина, О.Д.Тананайко, А.И.Филина, М.А.Шварца, D.

3.Юулыоша, Дз.Аргирпея«Р.Гяллахора, Р.Ливсля, и.Канако, Р.Коп-гтга, С.Пэтшйкэ, Дя.РоСзнсона, Г.Хаггеимахера и др. Всо известит способа, как правило, основаны на построении общего решения здаородных уравнения равновесия стержневой систеш путан того ми иного способа анализа матрицы узловых уравнения равновесия (или еэ логического аналога). Структура матрицы податливости сонструкции при этом оказывается зависящей от выбранного способа шализа и обеспечить ее положительные свойства (налу» зяполнзн-гость, ленточный характер, хорошую обусловленность) затруднительно. Необходимость в том или ином виде гранить в пзкяти ЭВМ патрицу узлових уравнений равновесия и проводить с пэй какко-то операции делает известные алгоритгя катода сил значительно кеиео эффективным по сравнению со стандартным алгоритмом кетода перемещений.

Проблеме повышения точности определения напряжений при численном решении ЖЭ задач теории упругости на основе постановка и перемещениях посвящены работа А.В.Вовкуиовского, .Н.М.Горского,

4. Н. Коновалова, М. Д. Никольского, Б.Е.Победрл, В.А.Постлова, Д.А.Розина, А.С.Сахарова, В.И.Сливкера, Н.Н.Шапошникова, Дж.Ар-гириса, Р.Ахмада, РС.Виллама, II.Деже, З.Лубигаака, Дк.Одэна, Дяг. Реддн, Л.Сегерякнда, Е.Стейня, Ф.Оьярло, Д.Шарпфа и др. Если негодными считать значения перемещений в узлах конэчшззлекэптпой сетки, то известные способа уточнения значений напряжопий сводятся к формированию и реке кию дополнительных систем уравнений, что при необходимости уточнения напряжений во мюпп узлах сетки требует дополнительных вычислительных затрат, сряташих с теми, которые требовались, для нахождения перемещений.

При решении задач МТО на основе 1ИУ в перемощениях одной из основных трудностей является проблема определения теигопцпялыпи напряжений па границе тела. С целью избежать прямого численного дифГяренищювкния граничных перемещений разработаны различимо способы расчета ншряжииа пп границе (работа В.Л.Адлуцкого, П.

B.Веретского, В.м.;м»к>вм!ня, М.К.Лпзярпю, С.К.Иихяйлопа, В.''. Партоия, И.И.Перлипа, П.К.П-'-бедри,' Л.Г.Угодчикшп, И.Л.Холмян СКОГО, Н.М.ХуТОряЖ'КОГо, НЛ;г-И!'рДВ1, Р.ПчтторГяльдя, К.ГСроббНЯ,

C.Краучя. Х.Окад'1, ХЛ-.чйдх':, Л.От^^'И-'да и др.). Кяк и в

эти способы приподчт к уислачоля» »шчислительчых

затрат.

Наиболее радикальным способом избегать необходимости дифференцирования перемещений при численном решении является использование постановок задач теории упругости в напряжениях.

Классическая постановка задач теории упругости в напрягших содержит девять уравнений относительно шести неизвэстнш функций.. Несовпадение числа уравнений с числом неизвестных привело к многочисленным попыткам выделать три независимых уравнения совместности деформаций н, тем сашм, уравнять число уравнений с числом неизвестных фушсций (работы Б.Ф.Власова, В.С.Калинина. А.В.Кармиашна, В.И.Малого, С.Я.Маковонко, Л.А.Розша я др.). Такие построения носят достаточно искусственный характер, значительно услоЕнявдий проблему разработки эффективных численных алгоритмов, о чем свидетельствует отсутствие в литературе примеров решения практических задач на основе таких подходов.

Последовательная постановка в напряжениях долина обеспечивать возможность решения всех типов краевых задач. Для классической постановки в напряжениях возникают затруднения при формулировании условий в напряаениях на той части границы, где заданы перемещения.

Существенным вкладом в проблему разработки постановок задач теории упругости в напряжениях явилась новая постановка задач теории упругости, предложенная Б.Е.Победрей, развитая в работах М.И.Лазарева, Н.А.Матехина, С.В.Шешешша, Т.Холматова и др. Эта постановка содэраит шесть дифференциальных уравнений второго порядка относительно шести неизвестных фушсций - напряжений и допускает формулировку соответствующих граничных условий для любых типов краевых задач.

Однако, с точки зрения удобства разработки и обоснования алгоритмов МКЭ, недостатком постановки Б.Е.Лобедри является несогласованность з вариационном смысле гра.ничных условий с уравнениями в области, что не позволяет построить классическую вариационную формулировку задачи и заставляет ограничиться вариационной формулировкой типа локального потенциала. Эта же несогласованность уравнений и граничных условий затрудняет возможность построения интегрального представления тензора напряжений и получения ГИУ прямого метода второго рода. В рамках указанной постановки удается построить ГИУ непрямого метода, являющееся интегральным уравнением первого рода (работа Б.Е.Победри, Н.А.Рад-

е

тбова).

Хорошо известна вариационная постановка задач теории упругости н напряжениях - пришдал минимума дополнительной энергии (вариационный принцип Кестилыгао). Однако, условно экстремальный ?врактор функционала Кастильяно делает построэшэ конечных алело птов и анализ сходимости ШСЭ значительно более сложным, чем для постановки в перемещениях. Поэтому практическое ггртееноштэ получили лишь схокы МКЭ, в которых функционал Кастильяно используется, по существу, как вспомогательное сродство для построения гак называемых равновесных конечных элементов метода перемэщепкй (работы А.В.Александрова. М.Д.Никольского, Б.Я.Ладанников а, P.A. Резникова, Л.М.Хазина, А.А.Чираса, H.H.Шапошникова, U.A.Шварца, Ця.Аргириса, И.Главачека, М.Кркижзка, Дя.Одепа, Т.Пиана, Дл.Ролей, П.Тонга и др.).

В работах А.Н.Коновалова предложена еще одна условно экстремальная постановка задач теории упругости в напряжениях, основанная на использовании кинематически допустимых полей напряпо-пяй (деформация, соответствующие этим напряжениям, должны удовлетворять уравнэшям совместности деформэций). Однако, отсутствие рекомендаций по построению кинематически допустишх полой напряжений оставляет вопрос о практической ценности предложенной постановки открытым.

В работах А.А.Лукашевича, М.Д.Никольского, Л.А.Розкна. В.И. Сливкера, Т.Бабушки, Р.'Гэйлорэ, О.Зинкевячв исследуется возмоз-ность получения безусловно экстремальной вариационной задачи на основе Функционала Кастильяно с помощью катода штрафа. Здесь возникают свои специфические трудности, связанные с необходимостью выбора оптимального значения парамэтра штрафа и использования разрывных аппроксимаций напряжений.

Известным способом избежать необходимости построения статически допустимых полей напряжений является использование функций напряжений. Однако, при этом в функционале появляются вторыа производные от hckoi.mx функций и требуется, строго говоря, использование достаточно сложных для построения конечных элементов, обеспечивавших непрерывность как самой функции, так и ее первых производных.

В работах Ф.де Вебоко предложена постановка задач теории упругости с функциями напряжений "первого порядка" (напрягепяи

шрахаются через первые производные от этих функций). Однако, функционал для рассматриваемой постановки на является выпуклым и ве обеспечивает положительной определенности матрицы алгебраических уравнений ШСЭ, к тому га, определение напряжений, по-првхкзку, тробуот численного дифференцирования функций напряхэ-ыий.

К постановкам задач теорш упругости в напряжениях с дополнительными взизезстшш - углаыа кесткого поворота можно отнести постановку, предложенную в работе Н.Н.Сусловой. Эта постановка содержит 12 дифференциальных уравнений первого порядка относительно девяти неизЕзстшх функций. к достоинствам постановки относится шзшжность учета произвольных граничных условий, к недостаткам - условно окстремалышй характер соответствующей вариационной формулировка.

Для основных краевых задач ¿тоской теории упругости и про-странствзнвой первой краевой задачи (на всзй граница тола задана переыэдангя) достаточно удобнве для численного рошения ГйУ в напряжениях юлучэш в работах Н.Д.Матохина, С.Г.йшшна, Н.Ф.Ш-розовз, М.В.Паукшто. Удобство этих уравнений для решения практических задач ограничено тем, что она получены для частного случая равенства нулю объемных внешних воздействий. К тому штогральЕоо представление тензора напряжений получено только для плоско! задачи и содергат производные от функций, определяемых из ГИУ, следовательно, вычисление напряженка а точках внутри тела возможно только в плоской задаче и требует даф$еровдирова-нил найденных из ГИУ фушщдЗ.

При определении напрязшно-дэформированного состояния отдельных фрагментов конструкций на практике достаточно часто приходится сталкиваться с необходимостью решения на ЭВМ второй краевой задачи теории упругости (на-всей грарице тала заданы усилия). Как известно, постановка этой задачи в перемещениях является некорректной по ¿дамару краевой задачей: решение задачи не-единствонно (шремэщения определены с точностью до произвольного хесткого смещения) и существует только при выполнении условий самоуравновешенности нагрузки, т.е. отсутствует непрерывная зависимость решения задачи от исходных данных.

Для решения таких задач в работах Е.Ф.Галба, А.Ю.Даниленко, Л.Д.Николенко, й.Н.Нолчанова, Дз.Брэмбла, У.Гхиа, Р.Рамамурти,

хо

Свита, В.Хаббарда, В.Шумана и др. предлагалось использовать эазличные регуляризирувдив алгоритма. Все такие алгоритма достаточно сложны и существенно повышают вычислительные затраты. Поэтому на практике наибольшее распространение получил способ вве-5ения в расчетную схему дополнительных' связей, обеспечивающих закрепление тела от жесткого смещения. Несмотря на простоту это-то способа, его нельзя считать полностью лишенным недостатков. Неудачное введение связей может привести к возпикновошю в них значительных реакций и существенному искажению напрлгешо-двфор-шрованного состояния.

Как и в задачах теория упругости, сорьезпне проблемы числен-аого определения усилий (моментов и перерезывающих сил) возникает при решении нкэ задач изгиба тонких пластин. Классическая постановка таких задач приводят при определении усилий к необходимости численного дифференцирования перемещений как при использовании совместных, так и несовместных коночных элементов.

Вопросы постановки задач изгиба тонких пластш в усилиях значительно менее разработаны, чем для задач теории упругости.

Из смешанных постановок задач изгиба тонких пластин наиболее привлекательной и получившей некоторое распространение в практических расчетах являзтся постановка Л.Геррмана, неизвестными Функциями в которой являются прогиб и моменты. Привлекательность этой постановки объясняется наличием в функциопале первых производных и возможностью использования простых конечных элементов. Однако, как и во всех смешанных методах, функционал Л.Геррмана не является выпуклым и но обеспечивает положительной определенности системы алгебраических уравнений, к тому го остается проблема численного дифференцирования при определении перо-резивапцап сил.

Известен способ перехода для задач изгиба тонких пластин к функционалу с производными первого порядка с помощью метода штрафа, заключающийся, по существу, в использовании теории изгиба пластин средней, толщины с: учетом деформаций поперечного сдвига (работы В.П.Болдычева, Л.В.Вопкушепского, Л.А.Гордопя. Л.А. Розина, В.И.Сливкера, Б.Л.И'оЯхота и др.). Этот способ приводит к вычислительным трудностям, пш:?:шш»м с вырождением задачи при малой толщине пластины, и но шп.-шлиет от необходимости численного даМюреяцироиания при счцчурдапаи усилий.

Проблема постановки в усилиях задач изгиба тонких пластин тесно связана с задачей сведения бигармошгческого уравнения к системе уравнений второго порядка. Известные способы такого сведения (работы Т.П.¿страхшщева, К.Бернарда, И.Мадаи, Ф.Сьярле и др.) приводят к значительным вычислительным затратам, так как сводят бигармоническую задачу но к одной задаче для уравнений второго порядка, а к бесконечной последовательности таких задач, лишь в пределе гарантирующих получение решения исходной бигар-монической задачи.

В первой главе работы дан способ построения, общего решения однородных уравнений равновесия для произвольных статически неопределимых стераневых систем и основанный на нем способ алгоритмизации метода сил.

Основная идея заключается в отказа от анализа матрицы уравнений равновесия и прямом построили уравнений совместности деформаций для стержневой системы. Пользуясь двойственностью статических и геометрических уравнений нетрудао показать, что построение матрицы уравнений совместности и матрицы общего решения уравнений равновесия - формально эквивалентные задачи.

Пусть

Ат«5 = О (I)

- однородные уравнения равновесия,

АН (2)

- геометрические уравнения. В формулах (1),(2) : - независимые усилия, £ - соответствующие им деформации (обобщенные перемещения), и - узловые перемещения. Пусть построена матрица

В уравнений совместности деформаций

В£ = о . • (3)

Из (2) и (3) следует В А = 0 . Транспонируя последнее тождество, получаем АтВт=0 , откуда А т Вт Ф = О при любых неизвестных ' и, следовательно,

<$ = ВТФ (4)

есть общее решение однородных уравнений равновесия (I).

... Таким образом, имея матрицу В уравнений совместности де-

формаций простым транспонированием можно получить матрицу Вт общего решения уравнений равновесия. Однако, трудности фактического построения этих матриц несравнимы. Как показано в диссертации, матрицу уравнений совместности для систем со статически неопределимыми контурами можно построить в явном виде (аналитически), исходя из простых геометрических соображений.

На примерах трех- и четырехстержневах контуров (как с шарнирами, так и без шарниров) демонстрируется способ построения уравнений совместности деформаций. При этом методика такого построения оказывается одинаковой и для плоских, и для пространственных стержневых систем. Физический смысл получав?,их уравнений - "циркуляция" деформаций по замкнутому контуру равна нулю.

Для шарнирно-стержневых систем (ферм), в которых нет статически неопределимых контуров, получение уравнений совместности деформаций основано па использовании связи между деформациями (удлинениями) стержней и изменением шющадя (в пространственном случае - объема) статически неопределимых "ячеек" фермы. Таким образом, уравпепия совместности деформаций для ферм по физическому смыслу - это уравнения "неразрывности" площади {в пространственном случае - "неразрывности" объема).

После получения уравнений совместности деформаций для всех независимых статически неопределимых контуров (или "ячеек") конструкции дальнейший алгоритм метода сил можно описать следующим образом. Полная матрица уравнений совместности В всей системы состоит из блочных строк, каждая их которых содержит матрицу совместности одного контура. Структура этой матрицы однозначно определяется нумерацией коотуров и стержней системы. Матрица податливости конструкции Ь вычисляется по формуле

I - В Л вт,

где Л - матрица коэффициентов податливости отдельных стержней (величины 6 и £ можно выбрать таким образом, что матрица Л будет диагональной для любой стержневой системы).

Структура матрицы Ь однозначно определяется нумерацией контуров: как только звнумертпанн контуры, так становится возможным однозначно указать расположение нулевых и ненулевых блоков в матрице Ь . Именно ото.свойство матрицы податливости делает алгоритм щшллагаемор. - плрилнта метода сил срдашмам по

сложности с алгоритмом метода перемещений, в котором структура матрицы жесткости конструкции однозначно определяется нумерацией узлов. '

Предлагаемый алгоритм также автоматически обеспечивает слабую заполненость и (при "разумной" нумерации контуров) ленточный характер матрицы податливости Ь , так как отличные от нуля внедаагональные блоки в этой матрице появляются только для соседних контуров (т.е. для контуров, имеющих общие стерши). На языке классической строительной механики это означает автоматическую локализацию эпюр вспомогательных состояний метода сил в отдельных контурах.

При реализации излагаемого алгоритма на ЭВМ необходимо иметь характеристики отдельных стержней (дайны и коэффициенты податливости), топологическую информацию о принадлежности стержней контурам и библиотеку матрн., совместности деформаций для отдельных контуров. Задавать и хранить в памяти ЭВМ какую-либо информацию об узлах стержневой системы не требуется.

В конце главы приводится способ построения частного решения уравнений равновесия и анализируется возможность использования общего решения уравнений равновесия для решения других задач, помимо прямого статического расчета стержневых систем.

Во второй главе работы на примере плоских и пространственных задач для уравнений второго порядка (уравнения Лапласа и Пуассона) излагаются способы получения и исследования новых дифференциальных, вариационных и интегральных постановок задач, применяемые в следующих главах к задачам теории упругости. Аналогом напряжений (деформаций) для уравнений второго порядка являются первые производные искомых функций. Таким образом, предлагаемые постановки уместно называть постановками относительно производных, при атом целью является получение постановок, удобных для численного решения и позволяющих находить производные от функций без предварительного определения самих функций.

Изложим основное содержание главы на примере следующей задачи для уравнения Лапласа в плоской области $ , ограниченной контуром Г - ^ + Га :

$ : ди=0 , Г, : и «и, , Г4 : ди/дп =[> , (5)

здесь й - лапласиан; Эи/дп - производная но нормали к контуру; ца ( р - заданные на соответствующих участках границы функции.

Q силу исходного уравнения и перестановочности частных производных, производные от искомой в задаче (б) функции и я = и(х4,д,) ; ^ п ди/дх^ }f яЭи/Эх, удовлетворяют сладущим уравнениям:

а^/эх, ♦ 3^/3.^=0 , э/а/эх, -a/f/э^-о. (6)

Эти уравнения естественно считать аналогами, соответственно, уравнений равновесия а уравнений совместности в задачах механики деформируемых тел.

Из уравнений (6) вытекает следушдая система двух уравнений относительно новых неизвестных функций f, } f :

S •• д f, ~0 , Aft =0 . (7)

Из граничных условий задачи (5) следуют условия на функции

Г« : U , Гг: fn = /> , (8)

где /> а ein,

МГ (производная по дуге контура); ft =f«f( + + t»fi, f„ = n4f4 + nx fr ; tt)nj - декартова проекции единичных касательного и нормального к контуру Г векторов, соответственно.

Корректная постановка краевых задач для системы (7) требует задания в каждой точке граничного контура двух граничных условий, поэтому, в дополнение к условиям (8), потребуем выполнения следующих условий:

Г,: A(f)-0 , Гг : &({) -0 , О)

где Äff), b(f)~ левые части уравнений (6),соответственно.

Система уравнении (7) с граничными условиями (8),(9) и представляет собой предлагаемую постановку задач относительно производных от решения исходной задачи (5). Соответствующая вариационная постановка заключается в минимизации функционала

<Uf„fi) = £{{И/'М.Г *ü(f„ft)}j$ сю)

на множестве функций, удовлетворяющих главным граничным условиям (8), В формуле (10): V - оператор-граднэнт на плоскости,

Л») - якобиан функций »

Граничные условия (9) являются естественными граничными условиями указанной вариационной задачи.

Существование и единственность решения сформулированной задачи в соболевском векторном пространстве [Н4Г5)3* следуют из доказательства того, что на множестве функций f^,ix из этого пространства, удовлетворяющих однородным условиям (8), функционал (10) порождает норму, эквивалентную стандартной норме пространства Соболева. При этом одновременно доказывается строгая эллиптичность задачи (7)-(9) и обосновывается возможность использования известных оценок погрешности и скорости сходимости стандартных схем МКЭ.

Отличительной особенностью предложенной постановки оказывается обеспечиваемая ею единственность решения второй краевой задачи (задача Неймана). Тем самым, обеспечивается возможность устойчивого численного решения этой задачи баз использования каких -либо рогуляризирующях алгоритмов.

По своим свойствам, важным для численного решения (безусловно экстремальный характер, выпуклость функционала, наличие в функционале производных не выше первого порядка), вариационная постановка относительно производных аналогична стандартной вариационной постановке для задачи (5) относительно функции и . Таким образом, становится возможным использование простых схем МКЭ для прямого получения значений производных без предварительного определения самой функции и ее численного дифференцирования.

Для получения интегральных постановок относительно производных выводится интегральное представление для производи! из которого получаются ГИУ прямого метода. Эти уравнения оказываются интегральными уравнениями второго рода как для первой, так и для второй краевых задач и имеют, например, для плоской задачи следующий вид:

= (II)

где М, (} - точки, принадлежащие контуру Г ; Г - функция, начисляемая по заданным граничным условиям и объемным воздейстш -

ям; Ли - единичный вектор внешней нормали к контуру Г в точке M : В afiq-£н • Ям > 3« - радиус-векторы точек M, Q ; R«ISI ; точкой между векторами обозначается скалярное произведете; f я f а для первой краевой задачи (на всем контуре Г заданы значения функции ft ); V ~ft для второй краевой задачи (на всем контуре Г заданы значения функции f„ ).

Для полученных ПИУ доказываются существование и единственность решения, что, в частности, и для интегральных постановок относительно производных обеспечивает возможность устойчивого численного решения задачи Неймана без использования каких-либо дополнительных приемов.

Ядра ГИУ относительно производных имеют такие же особенности, что и обычные ГИУ для задачи (5), что позволяет использовать хорошо разрабсданные, стандартные схемы МГЭ для прямого получения значений производных без предварительного определения функции и ее численного дифференцирования.

В конце главы на примерах задач о температурных напряжениях и кручении стержней излагаются вопросы применения разработанных постановок к задачам механики деформируемых тел.

Третья глава работы посвящена разработке и исследованию постановок в напряжениях плоских и пространственных задач теории упругости в дифференциальной и вариационной формах. Для возможности учета произвольных граничных условий и получения всех трех упомянутых вшпе положительных свойств, аналогичных свойствам постановки в перемещениях, в предлагаемую постановку задачи, помимо напряжений, вводится дополнительное неизвестное -вектор гесткого поворота, равный половине ротора вектора перемещений.

В результате, предлагаемая постановка содержит четыре дифференциальных уравнения второго порядка относительно четырех неиз вестных функций (три напряжения и один угол жесткого поворота w = 0,5v-e-u, где У вектор перемещений, g - дискриминантшй тензор на плоскости) для плоских задач и - девять уравнений второго порядка относительно девяти неизвестных (шесть напряжений и три угла жесткого поворота) для пространственных задач теории упругости. Например, для плоской задачи в области S , ограниченной контуром Г 3 Г« + Г, ,при отсутствии объемных воздействий и исходных граничных условиях Г, : и = О , Гг: л • J = р предлагаемая

постановка имеет вид:

' лт -а у да ♦ ¿е/(с

2/1 ¿ш -г.с-тг т =0 ,

Г,: - +2/*«</=0 , ^-т =о ,

Г,: с £ =р , - ¿у* с.* 0 ,

где т - тензор напряжений, <> - его первый инвариант; £ - вектор поверхностной нагрузки; - модуль сдвига; V - коэффициент Пуассона; § - единичный тензор на плоскости; cíef - операция выделения симметричной части градиента вектора; 2 » 1 - соответственно, единичные нормальный и касательный векторы к контуру Г .

Соответствутадая вариационная постановка заключается в минимизации функционала

+ 2/т^7- с.7Ы } с15

на множестве функций, удовлетворяющих следующим граничным условиям:

{у-у)2<!-з-|+2уи*ы=0 , Г,:

Приведенная вариационная задача является Оезусловно екстре-мальной задачей поиска точки минимума выпуклого функциона: Ч, содержащего производные от искомых функций не выше первого порядка. Таким образом, эта постановка сохраняет все важные для численного решения положительные свойства классической вариационной постановки в перемещениях и обеспечивает при численном решении задач возможность использования простых схем МКЭ для прямого вычисления напряжений без предварительного определения перемещений и их численного дифференцирования.

'Формально, по набору неизвестных функций предложенная постановка носит смешанный характер, но. в отличие от классической

смешанной постановки Рейсснора, обеспечивает положительную определенность матрицы алгебраической системы уравнений МКЭ и, к тому еэ, т-меет меньшее число неизвестных (четыре вместо пяти) для плоской задачи.

В отличив от постановки в перемещениях, разработанная вариационная постановка позволяет такто точно удовлетворять граничным условиям пэ только на той части границы, где заданы перемещения, но и на той, где заданы усилия, так как оба указанных вида граничных условий являются главными граничными условиями для вариационной задачи в напрязениях. Еще одним положительным свойством предложенной постановка оказывается обеспечиваемая ев единственность решения по напряжениям для второй краевой задачи теория упругости, что двет возможность устойчивого численного рещения задач для пэ закрепленных от ¡кесткого смещения тел без опасности искажения напряженно-деформированного состояния ам использования специальных регуляризирувщих алгоритмов.

Необходимость использования в постановке задачи дополнительных неизвестных - углов жесткого поворота - объясняется тем, что в задачах классической теории упругости внутренние усилия (напряжения) связаны законом Гука только с симметричной часть» градиента вектора перемещений. В заключительном параграфе главы з качества примера приводится постановка в напряжениях плоской задачи момэнтной теории упругости, где внутренние усилия (обычные н момвнтшв напряжения) связаны физическими уравнениями со всеет кошовзптамя градиента вектора перемещений и отсутствует необходимость введения дополнительных по отношению к напряжениям неизвестных.

Четвертая глава работы посвящена выводу и анализу интегральных постановок в напряжениях плоских и пространственных задач теория упругости.

Выводятся интегральные представления тензора напряжений и вектора гэсткого поворота, из которых получаются ГИУ прямого метода. Например," для плоской внутренней задачи теории упругости полученные интегральные уравнения имеют вид:

гЬ(м)-| Ом.оН^Кг = Р4(М) , (И)

г ~

где Г, ( £*д - функции, вычисляемые по заданным граничным условиям и объемным нагрузкам; К , К , - имеют тот ко смысл,

что и в уравнении (II);

ёг1м>ц'-«гг(<-у> I ~ в* Г

. Уравнение (12) - это ГИУ первой краеюй задачи относительно вектора £ = .уравнение (13) - это ГИУ второй краевой задачи относительно вектора I» В ((-V)й & - й'Е + £ <*>•

Ядра уравнений (12), (13), а также соответсгвуищпс уравнений пространственных задач, как и для обычных ГИУ для постановки в перемещениях, являются сингулярными. Для поверхностей типа Ляпунова доказывается применимость к полученным уравнениям альтернатив Фрэдгольма, на основе чего исследуются вопросы существования и единственности решения этих уравнений для основных краевых задач.

Поскольку получензше уравнения являются интегральными уравнениями второго рода как для первой,'так и для второй краевых задач теории упругости, а особенности в их ядрах аналогичны особенностям в ядрах обычных ГИУ в перемещениях, то возможно устойчивое численное решение задач с использованием стандартных схем МГЭ. При этом все напряжения на границе тела (в том числе и тангенциальные) находятся без численного дифференцирования с использованием только алгебраических операций.

Предложенные в работе ГИУ второй краевой задачи теории упругости обеспечивают возможность устойчивого численного решения задач для не закрепленных от кесткого смещения тел без использования каких-либо дополнительных приемов.

Отметим таете, что число неизвестных функций в подученных ГИУ для любых плоских задач и первой пространственной краевой задачи не возрастает по сравнению с соответствующими ГИУ в пере-

го

мощениях.

В пятой глава приводятся постановка в усилиях задач изгиба топких пластин в дифференциальной и вариационной формах.

Основннэ идеи Б1шода и анализа постановки в усилиях предварительно излагаются на примере задачи сведения ангармонического уравнения к системе уравнений второго порядка. Изложенным в работе мэтодом удается свести бигармоническое уравнение но к последовательности задач второго порядка, как в известных подходах, а к одной системе пяти уравнений второго порядка с пятью неизвестными функциями.

Для задач изгиба тонких нластип предлагаемая постановка в усилиях состоит из шести дифференциальных уравнений второго но-рядка относительно шести неизвестных функций: трех моментов, двух перерезывающих сил и одной вспомогательной функции. Существенной особенностью постановки в усилиях является необходимость учета уравнения 3 ( 9 - вектор перерезывающих сил), иг ракщого роль уравнений совместности для поререзыващих сил. В известных работах, излагающих теорию тонких пластин, это уравнение в явном виде обычно не выписывается, поскольку для традиционной постановки в перемещениях оно выполняется тоздествонно.

Введение вспомогательной функции оказалось необходимым для расчленения статических граничных условий Кирхгофа на свободной части контура пластины. Статические граничные условия для постановки в усилиях становятся главными граничными условия!.« и не должны содержать производных от искомых функций.

Если свободная от закреплений часть контура пластшш отсутствует, т.е. часть граничного контура защемлена, часть - шарнир-но оперта, то введение вспомогательной функции необязательно. В атом случав для нагруженной распределенной нагрузкой р пластины, занимающей область $ , ограниченную контуром Г =» Г, + Г, , с исходными граничными условиями

. Г, : «=0 , дъг/дп ¿Xо ; Гг : ы = 0 , Мпп=0

(здесь: и - прогиб пластаны, Мп« - изгибающий момент) постановку в усилиях можно записать в виде пяти дифференциальных уравнений второго- порядка и пяти грапчных условий в каждой точке контура Г :

(15)

(16)

- V я дг,г -(У-у'^е/О =0 + -д) + V/) ,

+ -&??. = 0 , у.с.д =о , -&) =0 ,

М«„ = 0 , Мм =0 , ч-й +Р = 0

где Г, - защемленная часть контура; Г, - шарнирш-опертая часть контура (предполагается, что шарнир имеет полигональное очертание, т.е. состоит из отрезков прямых линий; в случае шарнира 'произвольной, криволинейной форкш постановка в усилиях шеет более сложный вид); - тензор моментов, т - ого первый инвариант; И„„ , - изгибающие момента на контуре; с£ ф. 0 - произвольный постоянный мнонитель, имеющий размерность единица длины.

В работе показывается, что решение задачи (14)-(16) не зависит от конкретного значения множителя «с и дается способ априорного выбора этого значения с точки зрения эффективности численного решения задач.

Вариационная постановка для задачи в усилиях, как и для задачи в перемещениях,является безусловно экстремальной задачей поиска точки минимума выпуклого функционала. Однако, с точки зрения простоты реализации алгоритма МКЭ, постановка в усилиях превосходит классическую постановку в перемещениях: функционал задачи в усилиях содержит производные не выше первого порядке от искомых функций. Например, для задачи (14)-(15) вариационная постановка заключается в минимизации функционала

П(М,а) = || ♦ (1-¥»)д - (О -2 у.М) ♦

*

на множестве функций , 0 . удовлетворяющих следующим гро личным условиям:

Г,: И5'|-г«а0 ; Г2: М,,=0, Мм=0.

Наличие в функционале первых производных от неизвестных функций позволяет использовать для расчета тонких пластин простыв конечные элементы, обеспечивавдиэ только непрерывность функций. В результате, общее число неизвестных в системе уравнений МКЭ для постановки в усилиях оказывается сравнимым с числом неизвестных МКЭ для постановки в перемещениях при использовании совместных конечных элементов. Тек, например, простейший полиномиальный треугольный совместный элемент для постановки в перемещениях имеет 18 узловых степеней свобода, столько же степеней свобода имеет простейший треугольный конечный элемент (с линейной аппроксимацией неизвестных) для постановки в усилиях. При этом последняя постановка обеспечивает возможность прямого получения усилий (как моментов, так и перерезывающих сил) без необходимости численного дифференцирования перемещений.

Как з для задач теории упругости, еще одним положительным свойством постановки в усилиях оказывается возможность устойчивого числянного решения задач для не закрепленных от жесткого смещения пластин без использования дополнительных связей ила специальных регуляризирувдих процедур.

В шестой главе излагаются вопросы численного решения мето дами конечных и граничных элементов двумерных задач механики деформируемых тел на основе разработанных постановок в усилиях (напряжениях).

Рассматриваются основные этапы алгоритмов МКЭ и МГЭ применительно к постановкам в усилиях. Изучаются вопросы учета граничных условий в угловых точках контура, решения задач для анизотропных, нводаородных и неодносвязных тел.

Для предложенных постановок в усилиях наиболее существенные особенности возникают при рассмотрении неодносвязных тел. Это объясняется тем, что рассматриваемые постановки связаны с использованием уравнений совместности деформаций. Как известно, для неодаосвязних тел дифференциальных уравнений совместности недостаточно - для обеспечения сплошности тела необходимо к таким уравнениям добавить определенные интегральные условия. В работе анализируются различные алгоритмические способы учета дополнительных интегральных условий при численно« решении задач. Наиболее универсальным является переход к изопериметрической вариационной задаче с использованием множителей Лагранжа, которые

в этой задаче являются не функциями, а постоянными.

Переход к изопериметрической задаче особенно удобен при решении задач методом граничных элементов, так как при этом не изменяется структура матрицы системы алгебраических уравнений и не требуется изменение алгоритма решения этой системы. При малой степени неодносвязности тела увеличение числа неизвестных за счет введения множителей Лагранжа незначительно, например, для задач плоской теории упругости каждая степень неодносвяэности приводит к появлению двух дополнительных неизвестных.

Эффективность разработанных постановок в усилиях и сравнение их по точности определения усилий (напряжений) с обнчпыми постановками в перемещениях проводятся на серии модельных задач для уравнений Лапласа (Пуассона), теории упругости и изгибе тонких пластин. _

При реаюшга МКЭ использовались построенные в работе треугольные конечные элементы с линейной аппроксимацией неизвестных и прямоугольные элементы с билинейной апщхжсимацией. При решении МГЭ использовались линейные граничные элементы с кусочно--постояшюй аппроксимацией неизвестных. В главе приводятся пвныо формулы для вычисления матриц "жесткости" построенных конечных элементов и формулы точного интегрирования сингулярных интегралов для используемых граничных элементов.

Рассмотренные в работе примеры позволяют сделать вывод о том, что постановки в усилиях уже при использовании указангах простейших конечных и граничных элементов приводят, как правило, к существенному повышению точности определения усилий (напряжений) по сравнению с традиционными постановками в перемещениях при сравнимых вычислительных затратах. Особенно эффективно использование постановок в усилиях при необходимости более точного определения напряжений в точках вблизи границы тела,, а-также при решении задач для не закрепленных от жесткого смещения тел (например, при уточненном расчете напряженно-деформированного состояния в выделенном фрагменте тела),

Разработанные в диссертация конечные и граничные элементы на основе постановок в усилиях использовались при расчете различных конструкций и сооружений. В качестве примеров в главе приводятся результаты расчетов напряженно-деформированного сос-

тонния основания под фундаментной плитой здания ГЭС Вилюй - III, выполненного МКЭ, и водовода Бурейской ГЭС, выполненного МГЭ.

В заключении диссертации кратко сформулированы основные результаты работы.

Приложение состоит из документов, подтверждающих внедрение результатов работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.

1. Разработан способ аналитического построения общего решения однородных уравнений равновесия произвольных статически неопределимых стержневых систем, основанный на использовании уравнений совместности деформаций для таких систем.

2. На основе этого способа сформулирован алгоритм метода сил для стержневых систем, сравнимый по своим свойствам и сложности программирования со стандартным алгоритмом метода перемещений: структура матрицы податливости системы однозначно определяется нумерацией контуров и имеет слабозаполнешшй и ленточный характер.

3. Для задач, описываемых дифференциальными уравнениями второго порядка (уравнения Лапласа и Пуассона), предложены дифференциальные, вариационные и интегральные постановки задач относительно производных от искомых функций, позволяющие прямо определять эта производные без нахоадения самих функций. С точки зрения численного решения задач, предложенные постановки обладают свойствами, аналогичными свойствам классических постановок этих задач, что позволяет использовать стандартные схемы МКЭ и МГЭ для прямого определения производных.

4. Для плоских и пространственных задач теории упругости предложены постановки задач, неизвестными функциями в которых являются напряжения и углы жесткого поворота. Введение дополнительных, кроме напряжений, неизвестных позволяет рассматривать задачи с любыми гранитными условиями и обеспечивает наличие у вариационных и интегральных формулировок положительных свойств, облегчающих процесс численного решения задач МКЭ и МГЭ, соответственно. .

5. Получены вариационные постановки, в напряжениях задач теории упругости, обладающие свойствами, аналогичными свойствам классической вариационной постановки этих задач в перемещениях:

безусловно экстремальный характер задачи, строгая выпуклость функционала и наличие в нем производных не выше первого порядка. Тем самым, при численном решении обеспечивается возможность использования стандартных схем МКЭ для прямого определения напряжений без численного дифференцирования перемещений.

6. Получены интегральные постановки в напряжениях задач теории упругости в виде граничных интегральных уравнений прямого метода. Эти уравнения являются интегральными уравнениями второго рода для всех основных краевых задач и, как и обычные ГИУ для постановок в перемещениях, содержат сингулярные ядра. Таким образом, при численном решении возможно использование стандартных схем МГЭ, при этом обеспечивается возможность получения всех напряжений (в том числе, и тангенциальных) на границе тела с по-,мощью только алгебраических операций.

7. Для задач изгиба тонких пластин разработан способ сведения задачи к системе дифференциальных уравнений второго порядка, неизвестными функциями в которой являются пять усилий (моменты и перерезываицие силы) и одна дополнительная функция. Соответствующая вариационная постановка в усилиях является безусловно экстремальной задачей поиска точки минимума выпуклого функционала, содержащего первые производные от искомых функций. Таким образом, при численном решении задач изгиба тонких пластин становится возможным использование простых схем МКЭ, обеспечивающих только непрерывность функций. В результате, постановка в усилиях, несмотря на значительное число неизвестных функций, по общему числу неизвестных МКЭ становится сравнимой с традиционной постановкой в перемещениях, обеспечивая, при этом, прямое получение усилий без численного дифференцирования перемещений.

8. Существенной особенностью разработанных постановок для рассмотренных классов уравнений (уравнений Лапласа, теории упругости, изгиба пластин) является обеспечиваемая этими постановками единственность решения задач по усилиям (напряжениям) для не закрепленных от жесткого смещения тел. Это дает возможность устойчивого численного решения (как МКЭ, так и МГЭ) таких задач без введения дополнительных связей ила использования специальных алгоритмов регуляризации некорректных задач.

9. Построен ряд конечных и граничных элементов для решения задач механики деформируемых тел на основе постановок в усилиях,

2Ь

разработаны алгоритмы решения задач для неоднородных и многосвязных тел. Указанный элементы и алгоритмы использованы при решении различных модельных и практических задач.

10. Приведенные в работе результаты численного решения методами конечных и граничных элементов модельных и практических задач механики деформируемых тел на основе постановок в усилиях подтвэрвдаот возможность эффективного практического применения разработанных постановок для уточненного, по сравнении с тради-щюшш..л постановками в перемещениях, определения усилий (напряжений) при сравнимых вычислительных затратах.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Лаллн В.В. Формула Грина для оператора "несовместности" и ее применение для вариационных постановок задач теории упру-4 гости. - Прочность и устойчивость инженерных конструкций, Барнаул, IS8I, с.19-24.

2. Лалян В.В. Граничные интегральные уравнения для определения напряжений в задаче о кручении. - Пространственные конструкции в Красноярском крае, Красноярск, 1982, с.108-112.

3. Лалан В.В. Основные вариационные постановки задач мо-мэнтной теории упругости. - Прочность и устойчивость инженерных конструкций. Барнаул, 1983, с.3-10.

4. ЛалинВ.В., Никитин Ф.Н. Метод решения плоской задачи теории упругости в напряжениях. - Прочность и устойчивость инае-верных конструкций, Барнаул, 1985, с.3-9,

5. Бердешев Б.А., Лалин В.В. Постановка и решение одномерных задач строительной механики в усилиях, - Л., 1986, 14 с. Депонировано в ВИНИТИ 18.08.86, N 5836-В86.

6. Лвлин В.В. Вариационная постановка задачи о кручении стержней в напряжениях. - Прочность а устойчивость инженерных конструкций, Барнаул, 1987, с.3-9.

' 7. Бердешев Б.А., Лалин В.В. Постановка и решение методом конечных элементов одномерных статических задач строительной механики в усилиях (тезисы доклада). - Строительная механика а расчет сооружений, 1987, N2.

8. Бердешев Б.А., Лалин В.В. Постановка плоской задачи теории упругости в напряжениях а углах жесткого поворота. - Л.,

1988, 12 с. Депонировано В ВИНИТИ 10.02.88, N П26-В88,

9. Лалин В.В. Постановка и решение задач строительной механики в напряжениях и усилиях (тезисы доклада). - Строительная механика и расчет сооружений, 1988, N 6.

10. Лэлия В.В. О постановках задач теории упругости и теплопроводности относительно производных от перемещений и температуры. - Л., Труды ЛИИ, 1990, N 434, с.15-25.

11. Лалин В.В., Никитин Ф.Н. Граничные интегральные уравнения плоской задачи теории упругости, содержащие только производные от смещений. - Л., 1990, 12 с. Депонировано в ВШШТИ 07.05. УО, N 2406-В90.

12. Лвлин В.В. Постановка задач изгиба тонких .пластин в усилиях и моментах. - Л., Труда ЛШ1, 1990, N 434, с.25-31.

» 13. Берршев Б.А., Лалин В.В. Решение второй краевой задачи теории упругости в производных от смещений. - Методы и средства диагностики состояний гидротехнических сооружений, СПО, ВН1ЛШ', 1992, с.87-94.

14. Лалин В.В. О решении задач термоупругости в напряжениях. - Методы и средства диагностики состояний гидротехническш сооружений, СПб, ВНИИГ, 1992, с.61-66.

15. ЛаЛин В.В. Уравнения совместности деформаций как осиош алгоритмизации метода сил для стержневых систем. - Строительна» механике и расчет сооружений, СПб, СПОГТУ, 1992, с.96-111.

16. Лалин В.В. Уравнения совместности деформаций для расчета статически неопределимых ферм методом сил. - Строительная мо ханика и расчет сооружений, СПб, СИбГТУ, 1992, с.Ш-124,

га