Исследование напряженно-деформированного состояния оболочек статическим методом тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ

ГЛАВА 1 СТАТИЧЕСКАЯ ВАРИАЦИОННАЯ ПОСТАНОВКА

ПЛОСКО - НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ МЕТОДОМ

КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.

1.1 ВАРИАЦИОННОЕ УРАВНЕНИЕ КАСТИЛЬЯНОДЛЯ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ.

1.2 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ПРИ РЕШЕНИИ ВАРИАЦИОННОГО УРАВНЕНИЯ КА СТИЛЬЯНО.

1.3 ФОРМИРОВАНИЕ МЖЭ и МЖС.

1.4 ПОСТРОЕНИЕ АНСАМБЛЯ.

1.4.1 Учет заданных перемещений.

А.2Учет заданных устий.

ГЛАВА 2 РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ СТАТИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ С ПРИМЕНЕНИЕМ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.

2.1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ МКЭ ПРИ СТАТИЧЕСКОМ РАСЧЕТЕ КОНСТРУКЦИЙ.

2.2 РАСЧЕТ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ОБОЛОЧЕК.

2.3 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ РАСЧЕТЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК МКЭ.

ГЛАВА 3 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МКЭ ПРИ РАСЧЕТЕ ИЗГИБА

ПЛАСТИН СТАТИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ.

3.1 ПОСТАНОВКА ЗАДА ЧИ.

3.3 КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНАЯ ПОСТАНОВКА ВАРИАЦИОННОЙ

ЗАДАЧИ.

3.3 УЧЕТ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ.

ГЛАВА 4 РАСЧЕТ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК СТАТИЧЕСКИМ

МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.

4.1 ПОСТАНОВКА ЗАДА ЧИ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.

4.2 РАСЧЕТ ПОЛОГОЙ ОБОЛОЧКИ, ЖЕСТКО ЗАКРЕПЛЕННОЙ ПО

ВНЕШНЕМУ КОНТУРУ.

Большинство конструкций, применяемых в технике, работают в условиях, при которых напряженно-деформированное состояние не выходит за пределы упругости. Однако, большинство задач упругости сводятся к системе дифференциальных уравнений, которые аналитическими методами не могут быть решены. Распространенные приближенные методы решения основываются на вариационных принципах упругости, среди которых наибольшее применение получили кинематический принцип Лагранжа и статический принцип Кастильяно [4, 14,24,26].

Кинематические методы расчета получили наибольшее распространение в связи с тем, что в общем случае на три основные переменные накладываются ограничения, которые могут быть удовлетворены с достаточной степенью вероятности. В статических вариационных принципах не только присутствует большее количество ограничений и переменных, но и сами ограничения, накладываемые на них, имеют более сложный характер. Это объясняет предпочтение, которое отдают исследователи кинематическим методам.

К универсальным, эффективным методам решения кинематических вариационных уравнений необходимо отнести метод конечных элементов, теоретическая разработка которого заложена в работах [2, 3, 5, 9, 10, 11, 12,14, 19,20, 22,24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 38, 42].

В этих работах при расчете напряженно-деформированного состояния упругих тел перемещения аппроксимируются на множестве конечных элементов и в результате решения задачи определяются кусочно-лоскутные поля деформаций и напряжений. Поле напряжений при этом оказывается разрывным на границе элементов и граничные условия для напряжений выполняются не строго. При расчете оболочечных конструкций и пластин аппроксимации перемещений вводятся в виде несогласованных функций формы [1,5, 11,20, 26, 42].

В большинстве задач при расчете напряженно-деформированного состояния конструкций требуется определить как раз напряженное состояние. В связи с указанными трудностями решения вариационных статических уравнений количество таких попыток в настоящее время незначительно, тем не менее, они есть и эта проблема начинает привлекать внимание исследователей [15, 16].

Одной из наиболее важных в теории оболочек является задача определения напряжений, по величине и характеру распределения которых можно составить представление о "работоспособности" оболочечной конструкции (расчет на прочность). На стадии формирования разрешающих уравнений теории оболочек, исходя из концепции сведения последней как трехмерного тела к ее двумерной модели (срединной поверхности), в качестве характерик напряженного состояния были введены усилия и моменты [6, 17, 18,21].

В работе [9] предпринята попытка расчета плоской задачи методом конечных элементов в напряжениях, где в качестве основной переменной принимается вторая смешанная производная касательных напряжений.

Настоящая работа посвящена применению метода конечных элементов к решению статических вариационных уравнений, в качестве основных искомых функций рассматриваются функции напряжений, с помощью которых автоматически удовлетворяются уравнения равновесия, а поле напряжения в теле при соответствующих аппроксимациях искомых функций оказывается непрерывным и уравновешенным с внешними нагрузками.

Целью настоящей работы является применение статических вариационных уравнений к расчету упругих конструкций и применение метода конечных элементов к их решению: выбор формы используемых элементов и аппроксимирующих функций для конкретных типов оболочек; вычисление функционала Кастильяно через вектор узловых параметров функций напряжения; получение системы для определения узловых параметров. Глава 1.

В классической теории оболочек закон Гука принимается в виде, аналогичном закону Гука для плоского напряженного состояния. В первой главе рассматривается постановка плоской задачи в напряжениях. Вариационный принцип Кастильяно выписывается относительно функций напряжений, которые при конечно-элементной аппроксимации представляется с помощью полиномов Эрмита. Получены матрицы жесткости элементов, описан метод формирования матрицы жесткости системы и рассмотрены различные граничные условия, с учетом которых вариационный принцип Кастильяно дает систему линейных уравнений для узловых параметров функций напряжений.

Полученная задача может быть использована при расчете пластин, нагруженных в своей плоскости.

В качестве численного примера рассмотрено поперечное нагружение защемленной по всему контуру прямоугольной пластины под действием равномерно распределенной нагрузки. В ПРИЛОЖЕНИЯХ 9,10 приведены графики изгибающих моментов, проведено сравнение с известными результатами [39]. Глава 2.

Глава 2 посвящена расчету тонких оболочек статическим методом. В качестве метода вычислений выбран метод конечных элементов, который позволяет разработать алгоритм решения задачи, универсальный для различных граничных условий и нагружений оболочки. При использовании статических методов, уравнения равновесия выполняются строго для каждого элемента и могут быть точно учтены статические граничные условия. Для оболочек статически допустимые решения могут быть получены с помощью функций напряжения с использованием статико-геометрической аналогии [6, 17, 40]. Это позволяет выразить все статические величины через функции напряжений. Последние могут быть получены, если в вариационное уравнение Кастильяно ввести усилия и моменты, выраженные через три функции напряжения. Анализируя характер функционала, выбирается для каждой функции напряжения свой тип аппроксимирующего полинома в зависимости от того, какие производные функции напряжения входят в функционал. Две из этих функций напряжения входят вместе со своими производными первого порядка и аппроксимируются полиномами Лагранжа, третья функция входит вместе с производными второго порядка и аппроксимируется полиномом Эрмита. Ввиду сказанного следует, что в качестве конечного элемента нужно выбрать четырехугольный элемент, ограниченный двумя парами близких координатных линий на срединной поверхности. С помощью локальных изопараметрических координат этот элемент может быть преобразован в прямоугольный.

После введения локальных координат для построения аппроксимирующих функций используются стандартные полиномы Лагранжа и Эрмита.

Элементарные вклады в функционал Кастильяно вычисляются для каждого элемента через его узловые параметры. После суммирования получаем функционал Кастильяно как квадратичную функцию второго порядка относительно узловых параметров системы. В параграфе 2.2 приведены подробные выкладки для осесимметричных оболочек и обсуждаются варианты граничных условий.

Постановка задач несимметричного напряженного состояния оболочек содержится в параграфе 2.3, где поводится расчет незамкнутых цилиндрических оболочек методом конечных элементов. В этом случае рассматриваются двумерные полиномы Лагранжа и Эрмита. Получено выражение усилий и моментов через узловые параметры элементов.

Кроме того, рассмотрено осесимметричное нагружение незамкнутой цилиндрической оболочки, на примере которой обсуждается учет граничных условий и формирование ансамбля задачи. Глава 3.

Задача поперечного изгиба пластин не допускает наличия безмоментного состояния, ее особенности обсуждаются в главе 3. Дается конечно-элементная постановка вариационной задачи, исследуются контактные усилия на сторонах элементов пластины при разбиении области ее срединной поверхности на прямоугольные элементы. Показано, что на граничных сторонах элементов изгибающие моменты непрерывны, а сдвиговые усилия разбиваются на две части: заданные через аппроксимирующие полиномы и через частные решения уравнений равновесия. Суммарные поперечные усилия, соответствующие общему решению уравнения равновесия на сторонах элементов равны 0, а частные решения, заданные аналитически, обеспечивают непрерывность сдвиговых усилий на границе элементов. Рассмотрены различные варианты граничных условий и выписаны ограничения на узловые параметры, которые позволяют удовлетворить статические граничные условия. Глава 4.

Глава 4 диссертации посвящена расчету пологих оболочек статическим методом конечных элементов. Пологими считаем оболочки, внутренняя геометрия срединной поверхности которой совпадает с геометрией плоскости, что позволяет ввести в срединной плоскости прямолинейные координаты и упрощает уравнения равновесия. Для пологих оболочек выписаны зависимости усилий и моментов от функций напряжения, "вектора напряжений" через узловые параметры прямоугольного элемента, получено выражение элементного вклада. В качестве примера приведен расчет жестко закрепленной пологой оболочки и проведено сравнение результатов с напряженным состоянием жестко закрепленной прямоугольной пластины.

На защиту выносятся следующие научные положения и результаты: постановка плоской задачи упругости методом конечных элементов, формулировка основных матриц элементов, формирование ансамбля для определения основных параметров; расчет поперечного изгиба пластины методом конечных элементов, исследование особенностей рассматриваемой задачи в постановке метода конечных элементов; постановка статического расчета оболочек с помощью функций напряжений, применение метода конечных элементов к подобным задачам; расчет напряженного состояния цилиндрических оболочек методом конечных элементов; расчет пологих оболочек методом конечных элементов.

Актуальность темы данной диссертации определяется необходимостью прочностных расчетов упругих конструкций. Развитие вычислительной техники и численных методов сделало возможным использование статических вариационных методов, которые до этого редко были доступны для практических расчетов.

Научная новизна работы заключается в следующем: создана методика расчета напряженного состояния упругих тел с использованием функции напряжений; разработан алгоритм решения задач методом конечных элементов; сформулирована статическая задача метода конечных элементов для плоской задачи упругости; сформулирована статическая постановка расчета напряженного состояния пластин и оболочек методом конечных элементов.

Методы исследования:

Теоретические исследования выполнены с использованием методов теоретической упругости, теории пластин и оболочек, метода конечных элементов. При решении конкретных задач использовалась вычислительная схема метода конечных элементов.

Практическая значимость работы:

Предложенная методика расчета напряженного состояния приводит к более точной оценке прочности конструкций, в дальнейшем может быть использована в ряде технологических задач.

Достоверность полученных результатов обеспечена корректной постановкой задачи, использованием строгого аппарата теории упругости, выбором наиболее надежных и эффективных методов математического моделирования, основанных на применении функции напряжений как способа получения равновесного и непрерывного поля напряжений.

Апробаиия работы. Основные положения диссертационной работы были представлены в виде докладов и обсуждались: на Международной конференции «Математика. Образование. Экология. Тендерные проблемы» (Воронеж, май 2003 г.). на V Российской конференции с международным участием «Смешанные задачи механики деформируемого тела» (Саратов, август 2005 г.). на международной школе-семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронеж, сентябрь 2005 г.). на научной сессии ВГУ (Секция механики сплошных сред, Воронеж, 2005 г.); на международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж, декабрь 2005 г.).

Публикаиии. Результаты диссертации опубликованы в 7 работах.

Объем и структура диссертаиионной работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, 15 приложений и списка литературы, включающего 42 наименования. Объем диссертации составляет 139 страниц и включает в себя: 94 страницы основного текста, 40 страниц с приложениями, 5 страниц списка литературы.

Выход

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты и выводы диссертационной работы:

1. В представленной работе предлагается использование статического вариационного принципа Кастильяно для расчета оболочек с введением функции напряжения для определения общего решения однородной системы уравнений равновесия.

2. Статически допустимые обобщенные усилия определяются в виде суммы общего решения однородной системы и частного решения неоднородной системы уравнений равновесия. Рассмотрены различные варианты выбора частного решения в зависимости от постановки задач с учетом возможности или невозможности применения в качестве частного решения безмоментного напряженного состояния.

3. Рассмотрен вариант решения вариационного уравнения методом конечных элементов. Потенциал Кастильяно вычисляется через функции напряжений и частные решения; выбираются для каждой функции аппроксимирующие полиномы, формы элемента и узловые параметры.

4. Предлагается использовать изопараметрические элементы, что приводит к возможности введения локальных координат. Это, в свою очередь, позволяет провести на уровне элементов интегрирование в локальных системах координат и построение матрицы жесткости элементов через универсальные матрицы, вычисленные в работе.

5. Показано, что на границе элементов, форма аппроксимации обобщенных усилий обеспечивает не только равновесие элемента, но и непрерывность контактных напряжений на границе элементов.

6. Рассмотрена постановка задач плоско-напряженного состояния деформации оболочки, изгиба пластин, расчета пологих оболочек. Обсуждается учет граничных условий на краях пластины или оболочки.

7. Проведены расчеты для жестко защемленной по краям пологой оболочки и прямоугольной пластины. Проведены сравнения полученных результатов с результатами, известными ранее.

Расчет пологой оболочки показывает чувствительность полученной системы к особенностям напряженного состояния оболочки. Например, наличие усилий деформации срединной поверхности выявляется, даже если частное решение не учитывает их.

1. Александров А.В. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы / А.В. Александров, Б.Я. Лащеников, Н.Н. Шапошников - М.: Стройиздат, 1983. - 488 с.

2. Аргирис Дж.Г. Вычислительные машины и механика/ Дж.Г. Аргирис // Теоретическая и прикладная механика: Труды XIV Международного конгресса IUTAM. 1979. - С. 15-100.

3. Бате К. Численные методы анализа и метод конечных элементов / К. Бате, Е. Вилсон. М.: Стройиздат, 1982. - 448 с.

4. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности: Пер. с англ. / К. Васидзу. М.: Мир, 1987. - 542 с.

5. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы / Р.Галлагер. -М.: Мир, 1984.-428 с.

6. Гольденвейзер А.Л. Уравнения теории тонких оболочек / А.Л. Гольденвейзер // ПММ. 1940. - Т. 4, вып. 2. - С. 35-42.

7. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек / А.Л. Гольденвейзер. Главная редакция физ-мат литературы изд-ва «Наука», 1976.-512 с.

8. Демидов С.П. Теория упругости: Учебник для вузов / С.П.Демидов. М.: Высш. школа, 1979. - 432 с.

9. Друмев В. Едно решение на рабнинната задача по метода на крайните елементи в напряжения / В.Друмев // Строительство. 1996. - Т. 43, №4.-С. 13-19.

10. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. М.: Мир, 1975. - 544 с.

11. Зенкевич О. Конечные элементы и аппроксимация: Пер. с англ. / О.Зенкевич, К.Морган. М.: Мир, 1986. - 318 с.

12. Зенкевич О. Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред / О.Зенкевич, И.Чанг. М. : Недра, 1974. -238 с.

13. Колкунов Н.В. Основы расчета упругих оболочек / Н.В.Колкунов. М.: Высшая школа, 1972. - 296 с.

14. Лейбензон Л.С. Вариационные методы решения задач теории упругости / Л.С.Лейбензон. М.: Л., 1943. - 287 с.

15. Леонтьев В.Л. Метод конечных элементов. Смешанные вариационные формулировки / В.Л. Леонтьев. Ульяновск: Изд-во Средневолжского научного центра, 1998. - 168 с.

16. Леонтьев В.Л. Сеточные методы расчета криволинейных стержней / В.Л. Леонтьев, Мелентьев // Математическое моделирование,. -2003. Т. 15, № 10. - С. 95-104.

17. Лурье А.И. Общая теория упругих тонких оболочек / А.И.Лурье // ПММ. 1940. - Т. 4, вып. 2. - С. 7-34.

18. Новожилов В.В. Линейная теория тонких оболочек / В.В. Новожилов, К.Ф. Черных, Е.И. Михайловских. Л. : Политехника, 1991. — 656 с.

19. Норри Д. Введение в метод конечных элементов / Д. Норри, Ж. де Фриз. М.: Мир, 1981.

20. Образцов И.Ф. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов: учеб. пособие для студентов авиац. спец. вузов / И.Ф. Образцов, Л.М. Савельев, Х.С. Хазанов. М.: Высш. шк., 1985. - 392 с.

21. Огибалов П.М. Пластины и оболочки / П.М. Огибалов, М.А. Колтунов. М.: Изд-во МГУ, 1969.

22. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред / Дж. Оден. М.: Мир, 1976. - 464 с.

23. Пискунов В.Г. Расчет неоднородных пологих оболочек и пластин методом конечных элементов / В.Г. Пискунов, В.Е. Вериженко, В.К. Присяжнюк, B.C. Сипетов, B.C. Карпиловский. Киев : Изд-во при Киев, ун-те ИО Вища школа, 1987. - 199 с.

24. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела / Ю.Н. Работнов. М.: - Наука, 1988. - 711 с.

25. Рикардс Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин / Р.Б. Рикардс. Рига: Зинатне, 1988. - 284 с.

26. Розин Л.А. Задачи теории упругости и численные методы их решения / JI.A. Розин. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1998. - 532 с.

27. Сабоннадьер Ж.-К. Метод конечных элементов и САПР / Ж.-К. Сабоннадьер, Ж.-Л. Кулон. -М.: Мир, 1989.

28. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов / Л. Сегерлинд. М.: Мир, 1979.

29. Смирнов А.Ф. Расчет сооружений с применением вычислительных машин / А.Ф. Смирнов, А.В. Александров, Н.Н. Шапошников, Б.Я. Лащеников. М.: Стройиздат, 1964. - 380 с.

30. Современные методы расчета сложных статически неопределимых систем : сб. статей Дж. Г. Аргироса, С. Келси и др. / под ред. А.П. Филина. Л.: Судпромгиз, 1961. - 876 с.

31. Стрельникова С.Н. Использование МКЭ при расчете изгиба пластин статистическими методами / Т.Д. Семыкина, С.Н. Стрельникова // Вестн. Чувашского Гос. пед. ун-та им. И.Я. Яковлева. — Чебоксары, 2006. — № 1 (48).-С. 134-138.

32. Стрельникова С.Н. Использование статических вариационных уравнений при расчете оболочек методами конечных элементов / Т.Д. Семыкина, С.Н. Стрельникова // Математика. Образование. Экология. Тендерные проблемы : международ, конф.,

33. Воронеж, 26-30 мая 2003 г.: материалы конф. — Воронеж, 2003. — Т. 2. — С. 86-91.

34. Стрельникова С.Н. К применению МКЭ при использовании статистических вариационных принципов расчета конструкций / С.А.Вульман, Т.Д. Семыкина, С.Н. Стрельникова // Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика, математика. — 2003. — № 2. — С. 132-135.

35. Стрельникова С.Н. Расчет пологих оболочек статическим методом конечных элементов / Т.Д. Семыкина, С.Н. Стрельникова // Теоретическая и прикладная механика : межведом, сб. науч.-метод. статей. -Минск, 2005.-Вып. 19.-С. 145-149.

36. Стренг Г. Теория метода конечных элементов / Г. Стренг, Дж. Фикс. М.: Мир, 1977. - 349 с.

37. Тимошенко С.П. Пластины и оболочки / С.П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер. М.: Физматгиз, 1963. - 636 с.

38. Чернина B.C. Статика тонкостенных оболочек вращения / B.C. Чернина. М.: Наука, 1968.-452 с.

39. Черных К.Ф. Линейная теория оболочек : в 2-х т. / К.Ф. Черных. Л.: Изд-во ЛГУ, 1962. - Т. 1. - 272 с.

40. Шапошников Н.Н. Расчет машиностроительных конструкций на прочность и жесткость / Н.Н. Шапошников, Н.Д. Тарабасов, В.Б. Петров, В.И. Мяченков. М.: Машиностроение, 1981. - 333 с.