Метод граничных состояний в задачах теории упругости для анизотропной среды тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Иванычев Дмитрий Алексеевич

МЕТОД ГРАНИЧНЫХ СОСТОЯНИИ В ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЫ

Специальность 01.02.04 — Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

~ 2 ЛЕК 2010

Тула 2010

004614892

Работа выполнена на кафедре «Теоретическая механика» в ГОУ ВПО «Липецкий государственный технический университет.

Научный руководитель:

доктор ф.-м. наук, профессор Пеньков Виктор Борисович

Официальные оппоненты:

доктор т.н., доцент

Трещев Александр Анатольевич

доктор ф.-м.н., доцент Петрова Вера Евгеньевна

Ведущая организация:

ГОУ ВПО «Воронежская государственная технологическая академия»

Защита диссертации состоится «2/»д&касРря 2010 г. в «-/У» часов на заседании диссертационного совета Д.212.271.02 в Тульском государственном университете по адресу: 300600, г. Тула, пр. Ленина, 92 (12-303).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тульского государственного университета.

Автореферат разослан « ТУ» НОЯБРЯ 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Л.А. Толоконников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация посвящена развитию метода граничных состояний на класс задач линейной механики для анизотропных тел. При разработке метода широко использовался формализм гильбертовых пространств и теорема взаимности для среды. Вводятся понятия граничного и внутреннего состояний для анизотропной среды, показывается их взаимно однозначное соответствие. В пространствах внутренних и граничных состояний определяются скалярные произведения.

Разработана методика построения базисов для исследуемых пространств и доказана сходимость ряда коэффициентов Фурье для разложения функций механических характеристик по выбранному базису. Показана методика решения основных задач механики деформируемого твердого тела; построены решения конкретных задач.

Актуальность. Все разработанные к настоящему времени методы решения задач МДТТ имеют свои достоинства и недостатки. Метод граничных состояний (МГС) является новым, эффективным, компьютерно-ориентированным методом решения краевых задач уравнений математической физики. Он обеспечивает возможность построения решения основных задач механики для тел разнообразных конфигураций простыми средствами. Кроме этой особенности МГС имеет еще достоинство - он является общим.

К настоящему времени его применение в механике касалось узкого круга задач: кручение призматических стержней (A.A. Харитоненко), гидродинамика идеальных жидкостей (A.A. Харитоненко), статические задачи теории упругости изотропных тел, как при отсутствии массовых сил (В.В. Пеньков), так и при их наличии (Д.В. Викторов), линейная несвязанная термоупругость (JI.B. Саталкина), задачи линейной теории упругости для неоднородных тел (Л.В. Саталкина). Появились первые результаты в области динамических задач: МГС применен для исследования вынужденных колебаний упругих тел (И.Н. Стебенев).

Естественным развитием сферы применения МГС является усложнение свойств среды, в частности, — рассмотрение сред с анизотропными свойствами.

Цель работы. Развитие метода граничных состояний на класс задач теории упругости для анизотропных тел и построение решений конкретных задач.

Задачи исследования. Для достижения поставленных целей в данном исследовании необходимо решить следующие задачи:

-сформулировать понятия пространств внутренних и граничных состояний анизотропного тела;

- обеспечить свойства гильбертова изоморфизма обоих пространств;

-сформировать счетный базис пространства состояний анизотропной среды, на основе общего решения определяющих уравнений;

-провести ортогонализацию базиса внутренних состояний; построение «тела в смысле МГС»;

- сформулировать краевые задачи теории упругости в терминах МГС; -разработать вычислительные алгоритмы;

- теоретически обеспечить разрешимость задач для анизотропных сред; -провести решение конкретных задач как для односвязных так и для

двусвязных областей.

Практическая ценность заключается в возможности использования нового метода для решения задач анизотропной упругости; в использовании вычислительных алгоритмов в инженерных целях.

Научная новизна раскрывается следующими положениями:

1) МГС, который является новым «энергетическим» методом механики, применен для решения задач для анизотропных тел;

2) построен новый способ выделения базиса пространства состояний, использующий общие решения для анизотропной среды;

3) решены оригинальные задачи для тел различных геометрических конфигураций.

Достоверность полученных результатов обеспечена:

1) строгим математическим обоснованием МГС;

2) тестированием результатов в отношении точности;

3) тестированием метода на известных решениях (результаты тестирования показали абсолютное совпадение с известными точными решениями).

Публикации. По материалам диссертации опубликованы 8 научных работ. Одна работа опубликована в издании, рекомендованном ВАК.

Апробации. Положения диссертации докладывались: на международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (Воронеж, 27-29.06.2009, 2022.0.9.2010), на международной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, 27-29.06.2009), на совещании-семинаре заведующих кафедрами теоретической механики Южного федерального округа (25.04.2009), на конференции «Научные исследования и разработки в области авиационных, космических и транспортных систем» (АКТ - 2010, Воронеж, 14.05.2010, 29.10.2010), на научном семинаре имени Л.А. Толоконникова (Тула, 29.09.2010).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти разделов, заключения, списка литературы из 79 названий и 2 приложений. Объем работы составляет 81 страницу основного текста, включая 51 рисунок, 4 таблицы и 16 страниц приложения.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируется цель и задачи работы, показаны ее научная новизна и практическая ценность. Здесь же кратко сформулированы основные положения разделов и параграфов диссертации.

В первом разделе дано сравнение МГС с другими методами решения задач теории упругости; также приведен обзор по имеющимся результатам и методов решения задач для анизотропных тел.

Методы механики, использующие аппарат теории гильбертовых пространств, исходят из необходимости разрешения того или иного операторного уравнения относительно некоторой неизвестной функции или их наборов. Так метод Галеркина решает через базис пространства, в котором определено решение, непосредственно само уравнение; метод наименьших квадратов минимизирует невязку граничного соотношения; метод Ритца ищет минимум квадратичного функционала, построенного для положительно определенного оператора; метод Канторовича осуществляет процедуру поиска минимума квадратичного функционала. С.Г. Михлин рассматривал ранее «пространство тензоров упругих напряжений». Для этого пространства было указано скалярное произведение, основанное на энергии внутренней деформации. Метод Филоненко-Бородича исходит из понятия общего решения для среды относительно обобщенных кинематических напряжений. Этот метод хорошо приспособлен для решения задач для нелинейных сред.

Большее внимание в рамках теории упругости уделяется методам расчета напряженно-деформированного состояния анизотропных тел. Одним из методов решения рассматриваемой задачи является метод граничных интегральных уравнений, который позволяет привести систему дифференциальных уравнений в частных производных к системе интегральных уравнений относительно неизвестных функций, заданных на границе рассматриваемой области. Данная методика позволяет снизить размерность задачи на единицу, но аналитические решения интегральных уравнений можно получить только для тел простой формы. Для решения задач для анизотропных тел сложной формы использовался непрямой метод граничных элементов.

При исследовании дефектов (трещин, включений) применялся метод разрывных решений, который позволяет вводить скачки в напряжения, в перемещения и деформации. Эти скачки сил, перемещений и деформаций считаются фиктивными компенсирующими нагрузками, благодаря которым выполняются любые краевые задачи. Недостатком является повышение порядка особенностей в ядрах интегральных уравнений, они становятся суперсингулярными.

Для решения плоских задач для анизотропных тел с отверстиями применялся метод сингулярных интегральных уравнений (СИУ). Этот метод позволяет существенно снизить размерность разрешающей системы уравнений. Актуальными в решении таких задач остаются методы,

5

использующие теории функции комплексного переменного (методом комплексных потенциалов С.Г. Лехницкого).

Существенный вклад в развитие математических методов статической теории упругости анизотропного тела своими трудами внесли: С.Г. Лехницкий, Ю.И. Соловьев, А .Я. Александров, Г.Н. Савин, Л.Я. Галин, Д.В. Грилицкий, Я.С. Космодамианский, С.А. Колоеров, Г.Л. Мартынович, А.И. Уздалев, A.A. Трещев, В.Е. Петрова, Л.А. Толоконников, Н.М. Матченко и др.

Второй раздел диссертации посвящен обоснованию МГС для анизотропной среды. В этом разделе приводятся основные положения для пространства внутренних состояний области, занятой линейно-упругой анизотропной средой. Для данной области записано уравнение равновесия (1) и линейное выражение деформаций через обобщенный закон Гука (2):

0)

Eij =a*kl(Tki; ау=(2-3у)ау, i,j,k,le{\,2\. (2)

Обозначим через £ произвольное внутреннее состояние среды, удовлетворяющее линейным определяющим соотношениям, уравнениям движения, геометрическим соотношениям (2). Конкретно, под этим будем понимать согласованный набор полей перемещений, деформаций, напряжений:

4 = {uheij,aij}.

Каждая из фигурирующих здесь величин является функцией пространственного положения. Совокупность всевозможных состояний среды образует пространство Е внутренних состояний среды, линейное относительно операций суммирования состояний (суперпозиций) и умножения на число. Для двух произвольных внутренних состояний применяем теорему взаимности Бетти как основу определения скалярного произведения:

V V

В построенном таким образом евклидовом пространстве S вводим норму и метрику:

Введенная метрика позволяет строить всевозможные фундаментальные последовательности состояний среды. Замыкание пространства S образует полное пространство. Таким образом, пространство Е является гильбертовым.

Для области V в каждой точке границы можем указать внешнюю нормаль п = {и,,и2,п3} и определить в ней внешнее усилие, соответствующее внутреннему состоянию по линейной зависимости:

pi=aijnj. (4)

Назовем граничным состоянием набор функций точек границы

Г = {",-,/>/}.

Совокупность всех допустимых граничных состояний образует пространство граничных состояний Г, линейное в силу линейности соотношений (4) относительно операций суммирования состояний и умножения на число. Принцип возможных перемещений позволяет формулировать теорему Бетти в терминах граничных состояний:

\p\ufds = \pju\ds ) (5)

дУ ЗУ

Определим скалярное произведение элементов У\. У2 на пространстве Г, принимая за него значение левого интеграла в (5). В силу принципа возможных перемещений справедливо равенство:

(Г1./2)г=(#1.6)з- (6)

В случае гладкой границы, по определению, каждому элементу # е Е соответствует единственный элемент /еГ. Соответствие # ->г не является односторонним. При заданных согласованных поверхностных усилий и перемещений поле внутренних перемещений однозначно восстанавливается по теореме Сомильяны: ■ Через формулы Коши и обобщенный закон Гука также однозначно восстанавливаются поля деформаций и напряжений. Следовательно, между элементами пространств внутренних и граничных состояний установлен изоморфизм. Благодаря соответствию:

<г>сеуг «еЯ1

и равенству (6) можно сделать заключение о гильбертовом изоморфизме.

Последнее позволяет изучение внутреннего состояния деформируемого тела свести к изучению соответствующего граничного состояния. Базисному набору элементов пространства Н соответствует базисный набор элементов пространства Г.

Третий раздел посвящен методологии выбора базиса пространства внутренних состояний для односвязной и двусвязной плоской области и решению конкретных плоских задач.

Формы общих решений для различных конфигураций тел различаются в нюансах; им соответствуют ограничения, накладываемые теоремами единственности. Определенные коррективы могут вносить сингулярности в решении, обусловленные физическими и геометрическими причинами.

Общее решение выражает характеристики поля через набор функций, принадлежащих некоторым классам. Геометрия области и параметры нагрузки определяют конкретную форму представления каждой функции в рамках своего класса. Учет этих факторов позволяет назначать искомый базис.

Для плоских задач анизотропной упругости используем базис, построенный на формулах комплексного представления Лехницкого:

=2яе[ф'1(21) + ф2(^2)]; (7)

т^ =-2Ке[^1Ф1(г1)+//2Ф2(г2)];

« = 2Ке[/7,Ф,(21)+р2Ф2(г2)];

у = 2Яе[91Ф,(г,)+92Ф2(22)].

А = «1+ «12 -10)6^1; Р2 = «11Й. + «12 - «1бАг;

«1 =«12^1+022^1-«2692 =«12/<2 +«22/>"2 ~а26> где = х^ г2 = х2 + /¿2у - обобщенные комплексные переменные;

/<2 - комплексные корни характеристического уравнения; Ф^), Фг^г) -аналитические функции; константы интегрирования м0, отвечают за смещение и поворот тела как целого.

Общий вид аналитических функций в случае одиосвязной ограниченной области таков:

Ф (г = 1.2).

У=0

Базис для двух аналитических функций следующий:

Ф2{22\

О

о

ък)

л

'о 4

м

:к = 1,2,... (8)

Считая известным ортонормированный базис пространства Г и соответствующий ему по изоморфизму ортонормированный базис пространства Е. Решение первой основной задачи состоит в вычислении коэффициентов Фурье. Соответственно, при заданных на границе перемещениях и0, у0 либо усилиях рх0, ру0 коэффициенты Фурье рассчитываются так:

су = {(РЛо + /уЧ )<И; с] = \(р* + Руо^ У1. (9) ВО дБ

где и3, р1 определяет вектор соответственно перемещения и усилия в

базисном элементе у^ = |р/,и/}.

Решение есть ряд Фурье, который можно переписать в явной форме:

Рх = I с]Р{ , и, = I суи/ . (10)

М М

Поля напряжений и деформаций определяются идентичными по структуре выражениями:

00 со

= I С ]С>\к , £1к = X С у 4 . (11)

Тестирование метода граничных состояний для плоских задач анизотропной упругости заключалось в расчете полей механических характеристик и сопоставлении их с заданными граничными условиями.

Решение основных задач проводилось для тел различной конфигурации. Например, для кругового в плане тела (рис. 1). Задавались следующие упругие характеристики (принята безразмерная форма изложения): модули Юнга £х = 1-105, Еу = 0,42 • 105; модуль сдвига

С = 0,075 IО5; коэффициент Пуассона /¿ = 0,1; коэффициенты взаимного влияния первого рода г]^^ =0,07, ^ у =0,04.

На границе кругового тела задавалось одноосное растяжение при

[Рх =С08[9] + С08[Я-/4],Р =0, воздействии на сектор: р(а] = \

[Р, =со8[г]-со8[*/4],^ =0, «¡-е^.

На рис. 2 приведены изолинии различных характеристик напряженно-деформированного состояния (здесь и далее компоненты перемещения приведены с точностью до жесткого поворота).

а б в

Рис. 2. Изолинии: а - компоненты вектора перемещения и, б -компоненты вектора перемещения V, в - компоненты напряжения ахх

В тексте диссертации приведены также результаты для тел иных форм: прямоугольной, овальной.

В случае двухсвязной области, если главный вектор усилий на внутреннем контуре равен нулю, общий вид функций Лехницкого следующий:

Фг(гг)= £ (г = 1,2).

з=-00 9

Методика решения данной задачи аналогична той, что описана выше для плоской односвязной области.

Решение плоской задачи для двухсвязной области проводилось для тела прямоугольной формы с круговым отверстием в условиях всестороннего сжатия (рис. 3).

Граничные условия следующие:

Рх =1> py=0,{x,y)eSi; рх = 0, ру = 1, (х,у)е S3;

Рх = -!> Ру = °> ix>y) eS2> Рх=й>Ру = -!> (х>У) е s4'> Рх = -«»Ы, Ру = -sin[íl, {х,у)е S5.

У

т тт т тттг

— ЩГ щ. - X

ШЬл

—•

им tfit

Рис. 3. Граничные условия для тела прямоугольной форы

На рис. 4 приведены изолинии различных характеристик напряженно-деформированного состояния.

а б в

Рис. 4. Изолинии: а - компоненты вектора перемещения и,б-компоненты вектора перемещения сгху, в - компоненты напряжения ахх

Также выполнены расчеты для анизотропного кругового кольца.

В этом же разделе рассмотрены задачи изгиба анизотропных пластинок, в каждой точке которой имеется плоскость упругой симметрии, параллельная срединной плоскости. На боковой поверхности заданы усилия, приводящие к скручивающим и изгибающим моментам. Объемные силы отсутствуют.

Общее решение данной задачи имеет вид:

и* = 2 Ле[и< 1 )+ и'2 (¿2)];

Мх р2м>"2(г2)]-, ых = -2ЯеСы^) (г,) + (22)];

Му = -2 Яе^ и*, (г!)+д2™"2 (г2)]; Ыу = 2 Яф] (г,)+ ¿2 >"2 (г2 )]; Яда = Пух = -2 ) + г2 (^2 )];

12Мх А3 -г; о у = 12 Му 12Нху , г; Гху = , г А А

6Хх ( 1 Л л

А3 4 \ >

дм> дм> и = -г-; у = -г-, дх ду

(12)

где р/, £7,-, ц, - комплексные постоянные, определяемые параметрами анизотропии, и» - функция прогиба; ц\у, г2=х2 + МгУ - обобщенные

комплексные переменные; , цг - комплексные корни векового уравнения: Мх, Му - изгибающие моменты; Н9 НуХ - скручивающие моменты; Ых, Ыу - перерезывающие силы; И - толщина пластинки.

Методика формирования базиса пространств состояний, вычисления скалярных произведений в этих пространствах, построения решения аналогична той, что описана выше для плоских односвязных задач теории упругости. Только базис формируется для функций и ^{¿г).

Простейшим случаем нагружения однородной прямоугольной пластинки являются изгиб (рис. 5).

Граничные условия следующие:

Рх =г> ру=0,(х,у)в81\ Рх=0, Ру=г,

Рх = _2> Ру =0,(х,у)б52; рх= 0, ру = -г, (х.^еЗ4.

Вид сверху

в!

-2 -1 2 5з

а б

Рис. 5. Всесторонний изгиб анизотропной пластины: а — общий вид, б - вид сверху

Полученные поля перемещений и напряжений: и = - 0.088 х ъ - 0.012 у г\ V = - 0.012 х г - 0.028 у г;

= 0.044 х2 + 0.012 х у + 0.014 у2; <тх = - г; ау = г\ о^ = 0, ахг = 0, а^ = 0. На рис. 6 приведены поверхность и изолинии компоненты вектора перемещения и».

а б

Рис. 6. Компонента вектора перемещения w: а - поверхность, б - изолинии

Четвертый раздел посвящен постановке и решению обобщенной задачи Сен-Венана. Рассматривалось равновесие упругого однородного тела (рис. 6), ограниченного цилиндрической поверхностью, обладающего анизотропией общего вида, под действием усилий, распределенных по поверхности тела. Область поперечного сечения конечна и односвязная, длина тела конечна. Усилия, распределенные по боковой поверхности, действуют в плоскостях, нормальных к образующей и однородны по длине. На торцах цилиндра действуют усилия, приводящиеся к изгибающим моментам, скручивающим моментам и осевым (продольным) сипам; массовые силы отсутствуют. Так как на боковой поверхности распределены усилия, то эту задачу можно интерпретировать как обобщенную задачу Сен-Венана.

С. Г. Лехницким было получено общее решение данной задачи: сгх = 2 Re[/íf (z¡ ) + (z2) + Л3^Ф2 (z3)];

ау =2 Re[®i (г,) + Ф2[г2) + Я}Ф2 (г3)];

Ту, = -2 Re[l ,Ф! (Zl) + Я2Ф2 (z2 ) + Ф2 (z3 )] - ;

дх

т^ = 2 1Л1Ф[(г1) + /12Л2 ЦЪФ2 (*з)] +

<уг =— (Ах + Ву + С)--—(«13^ + а2Ъау + а34*> +«35«"«

д33 «33

и = ~22 -9уг + и + и\ v = -yZ2+йcz + F + v,; = (уЬс + Ву + С)г + Ж + ™'; У = 2Ке|ргФг(2г)+С/0; К = 211е £дгФг(гг)+Г0; ^ = 2Яе ¿ггФГ(гг)+Г0,

г=1 г=1 /•=!

где: РьЧьПЛ ~ комплексные постоянные, определяемые параметрами

I I I

анизотропии; и - составляемые вектора перемещения как жесткого целого, щ - частное решение неоднородной системы дифференциальных уравнений;

^ _ -2Д + (ЛД34 +Ваъ5)\р^ +2РухУ + РуУ1). ° 4"зз \рмР5Ь-/1452)

и0, К0, Щ - компоненты вектора перемещения, соответствующие ц/0; /9у = ац - а¡2 а^ / (¡,_/ = 1,2,4,5,6) - приведенные коэффициенты деформации; г,- = xi + /и¡у (г = 1,2,3) - обобщенные комплексные переменные;

- комплексные корни характеристического уравнения; Ф, (г,) - функции Лехницкого; А, В, С, 9 - определяются из условий равновесия на торцах: СБ-Я(а13стх +а23ау + а36тху)ск<1у = Ргаъ 3;

Щ - + а21°у + «35т*г + «36= Мха33;

АН ~ Я(а13°";с + 023°> +«34^ +азбтоУ)з;Л4' = ^2азз; Я{руг* ~ тх2У]^у = Л/,, здесь /ь 1г - главные моменты инерции поперечного сечения (относительно осей х и у); Рг, М\, М2, М, - сила и моменты, к которым приводят усилия на торцах (рис. 6).

Базис пространств внутренних состояний для ограниченного односвязного тела составляют наборы:

ГФ^Г (г О 'о 4 Го , (■ к\ Щ 'о ^ г° ]

е ■ 0 *2к 0 0 0

чфз(*з)> 0 V у 0 V У и*, 0 Ч У 0 • к 1<23 ;

Переход к пространству граничных состояний осуществляется в соответствии с соотношениями между атрибутами пространств состояний на границе тела. Скалярные произведения в пространстве внутренних и граничных состояний вычисляются по формулам (3) и (5) соответственно. Восстановление характеристик осуществляется по формулам (10) и (11).

В качестве примера решения конкретной задачи методом граничных состояний реализована задача для кругового цилиндра (рис. 7).

Функции внешних усилий заданы по законам: на боковой поверхности: рх = ««[д], Ру= 0, д е [0,2л-],

кругового цилиндра

Полученные поля перемещений и напряжений: и = - 0.0018 х - 0.002 х2 - 0.002 х у + 0.003 у2 + 0.016 у г - 0.003 г2; V = 0.002 х - 0.00014 х2 - 0.006 у - 0.00315522 х у - 0.0006 у2 - 0.016 х ъ -0.004 г2;

у» = 0.002 х - 0.002 х2 + 0.002 у - 0.002 х у + 0.003 у2 + 0.0112319 г + 0.007 х г + 0.00766694 у г;

сгх = 1; оу = 0; сг2 = 2 + х + у, а^ = -х, <тхг = у,стху= 0.

На рис. 8 приведены изолинии компонент вектора перемещения.

Рис. 8. Изолинии компонент вектора перемеш;ения в плосб:ости поперечного сечения: а - компонента м>, б — компонента м>

В диссертации также приведены результаты решения различных задач для тел ограниченных цилиндрической поверхностью в поперечном сечении: прямоугольной, овальной, сложной формы.

Пятый раздел посвящен анализу влияния сингулярности границы на сходимость решения. В ходе решения некоторых задач для тел с сингулярной границей механическое наращивание базиса влияет на устойчивость решения вблизи сингулярных точек. Как правило, такой характер поведения восстановленных на границе усилий или перемещений характерен для сложно нагруженных тел. Это является не ошибкой, но особенностью решения задач методом граничных состояний для таких тел. Преодоление

14

трудностей такого характера следует искать на пути включения в базис состояний специальных решений, «схватывающих» реакцию упругого поля на наличие сингулярности.

В заключении сформулированы основные выводы по диссертации.

В приложениях приведены сопутствующие материалы по решению конкретных задач - сравнение полученных граничных условий с заданными, эпюры.

ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Для решения анизотропных задач применен новый общий «энергетический» метод для решения задач линейного континуума. Метод опирается на аппарат теории гильбертовых пространств и использует понятия пространств внутренних и граничных состояний.

2. Разработана методология построения базисов пространств состояний, исходящая из наличия общего решения для анизотропной среды. Разработаны базисы пространств внутренних состояний для объектов различных геометрических очертаний и физических свойств.

3. Строго обоснован метод граничных состояний в части решения первой и второй основных задач для анизотропных тел. Решение строится с точностью до жесткого движения, которое является «нулем» пространства состояний. Процесс решения сводится к рутинному вычислению квадратур.

4. Выписаны базисы пространств состояний для анизотропных тел.

5. Проведено решение конкретных задач. Тестирование МТС на классических задачах для анизотропных тел показало абсолютные результаты. Построены (в аналитическом виде) конкретные решения задач о равновесии сплошных тел.

6. Проведен анализ влияния сингулярности границы на сходимость решения.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих

работах:

1. Иванычев Д.А. Развитие метода граничных состояний на класс анизотропных тел [текст] / Пеньков В.Б., Иванычев Д.А. // Сборник докладов совещания-семинара заведующих кафедрами теоретической механики Южного Федерального Округа, 22-25 апреля 2009 г. - Новочеркасск: ЮРГТУ (НПИ), 2009.-57-60.

2. Иванычев Д.А. Решение анизотропных задач теории упругости методом граничных состояний [текст] / Пеньков В.Б., Иванычев Д.А. // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики. Ч. 2 : сборник трудов Международной конференции. - Воронеж: Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета, 2009. -106-108 с.

3. Иванычев Д.А. Решение обобщенной задачи Сен-Венана методом граничных состояний [текст] / Пеньков В.Б., Иванычев Д.А. // Научно-методический семинар преподавателей теоретической механики ВУЗов России. Тезисы докладов 05 октября 2009 г. / Юж. - Рос. гос. техн. ун-т. -Новочеркасск: ЮРГТУ, 2009. - 40.

4. Иванычев Д.А. Решение задачи Сен-Венана для анизотропного цилиндра методом граничных состояний [текст] / Пеньков В.Б., Иванычев Д.А. // Материалы международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула: Изд-во Тул-ГУ, 2009.-250-251 с.

5. Иванычев Д.А. Исследование равновесия анизотропного цилиндра методом граничных состояний [текст] / Пеньков В.Б., Иванычев Д.А. // Вестник Тульского государственного университета. Серия. Актуальные вопросы механики. - Тула, 2009- Вып.5. - С.118-122.

6. Иванычев Д.А. Решение осесимметричных задач анизотропной упругости методом граничных состояний [текст] / Пеньков В.Б., Иванычев Д.А. // Вестник Тульского государственного университета. Серия. Актуальные вопросы механики. - Тула: ТулГУ, 2010 - Вып.6. - С.88-91.

7. Иванычев Д.А. Решение плоских задач анизотропной упругости методом граничных состояний [текст] / Пеньков В.Б., Иванычев Д.А. //Вести высших учебных заведений Черноземья. Научно-технический и производственный журнал. - №2 (20). Липецк: ЛГТУ, 2010. - С.31-35.

8. Иванычев Д.А. Решение второй основной задачи методом граничных состояний для транстропного упругого цилиндра [текст] / Пеньков В.Б., Иванычев Д.А. // «Научные исследования и разработки в области авиационных, космических и транспортных систем» (АКТ—2010): тезисы 11 Всерос. науч.-техн. конф. и школы молодых ученых, аспирантов и студентов. - Воронеж: ООО фирма «Элист», 2010- С.74-75.

Подписано в печать 27.10.2010 . Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Ризография. Объем 1,1 п.л. ТиражЮО экз. Заказ № 998 Полиграфическое подразделение Издательства Липецкого государственного технического университета. 398600 Липецк, ул.Московская, 30.

Содержание.

Введение.

Раздел 1. Обзор результатов и методов решения задач механики.

1.1. Сравнение метода граничных состояний с другими методами механики.

1.2. Обзор решений задач для анизотропных тел.

Раздел 2. Обоснование метода граничных состояний для анизотропной среды.

2.1. Пространство внутренних состояний.

2.2. Пространство граничных состояний.

2.3. Изоморфизм пространств состояний.

Раздел 3. Плоские задачи анизотропной упругости.

3.1. Обоснование решения.

3.1.1. Общее решение.

3.1.2. Формирование базиса пространств.

3.1.3. Скалярные произведения в пространствах состояний.

3.1.4. Ортогонализация базисов пространств.

3.2. Метод решения основных задач.

3.2.1. Первая основная задача.

3.2.2. Вторая основная задача.

3.2.3. Основная смешанная задача.

3.3. Решение задач для односвязной плоской области.

3.3.1. Решение первой основной задачи.

3.3.2. Решение второй основной задачи.

3.4. Решение задач для двусвязной плоской области.

3.5. Изгиб анизотропных пластинок.

3.5.1. Решение первой основной задачи.

3.5.2. Решение второй основной задачи.

3.6. Выводы по разделу.

Раздел 4. Обобщенная задача Сен-Венана.

4.1. Постановка задачи.

4.1.1. Общее решение.

4.1.2. Формирование базисов пространств.

4.1.3. Ортогонализация базисов пространств.

4.2. Метод решения основных задач.

4.3. Решение задач для односвязной трехмерной области.

4.4. Выводы по разделу.

Раздел 5. Особенность решения задач для тел с сингулярностями.

В современных конструкциях часто используются анизотропные материалы, у которых наблюдается различие в упругих свойствах для разных направлений. Примером таких материалов может служить натуральная древесина и синтетические материалы, применяемые в самолетостроении: дельта-древесина, текстолит, армированные стеклопластики и др. В последние десятилетия большое внимание уделяется созданию новых перспективных композитов, как то радиально-армированных материалов на базе эпоксоидаль-ных связующих и стеклянной арматуры. Анизотропией упругих свойств обладают кристаллы и некоторые горные породы.

Расширение сферы применения и усложнение структуры композитных материалов требуют создания надежных общих методов отыскания напряженно-деформированного состояния анизотропных материалов или развития существующих.

Все разработанные к настоящему времени методы решения задач механики деформируемого твердого тела имеют свои достоинства и недостатки. Метод граничных состояний (МГС) является новым, эффективным, компьютерно-ориентированным методом решения краевых задач уравнений математической физики.

К настоящему времени его применение в механике касалось узкого круга задач: кручение призматических стержней (A.A. Харитоненко), гидродинамика идеальных жидкостей (A.A. Харитоненко), статические задачи теории упругости изотропных тел, как при отсутствии массовых сил (В.В. Пеньков), так и при их наличии (Д.В. Викторов), линейная несвязанная термоупругость (J1.B. Саталкина), задачи линейной теории упругости для неоднородных тел (JI.B. Саталкина). Появились первые результаты в области динамических задач: МГС применен для исследования вынужденных колебаний упругих тел (И.В. Стебенев).

Естественным развитием сферы применения МГС является усложнение свойств среды, в частности, — рассмотрение сред с анизотропными свойствами.

Целью настоящей диссертации является развитие метода граничных состояний на класс задач МДТТ для анизотропной упругой среды и построение решений конкретных задач.

Для достижения поставленных целей необходимо:

- сформулировать понятия пространств внутренних и граничных состояний для анизотропного тела;

- обеспечить свойства гильбертова изоморфизма обоих пространств; -сформировать счетные базисы пространств состояний для анизотропной среды на основе общего решения определяющих уравнений;

- провести ортогонализацию базиса внутренних состояний; -сформулировать краевые задачи теории упругости в терминах

МГС;

- разработать вычислительные алгоритмы;

- провести решение конкретных задач.

Практическая ценность заключается в возможности использования нового метода для решения задач анизотропной упругости.

Научная новизна раскрывается следующими положениями:

1) МГС, который является новым «энергетическим» методом механики, применен для решения задач для анизотропных тел;

2) построен новый способ выделения базиса пространства состояний для анизотропной среды, использующий общее решения;

3) решены оригинальные задачи для тел различных очертаний.

Достоверность полученных результатов обеспечена:

1) строгим математическим обоснованием МГС;

2) тестированием результатов в отношении точности;

3) тестированием метода на известных решениях.

В первом разделе дано сравнение МГС с другими методами решения задач теории упругости; также приведен обзор по имеющимся результатам и методов решения задач для анизотропных тел.

Во втором разделе проводится обоснование метода граничных состояний для анизотропной среды. В первом и втором параграфах вводятся понятия внутреннего и граничного состояний среды, формируются гильбертовы пространства внутренних и граничных состояний с теоремой взаимности для среды как основой скалярного произведения в пространствах; показывается изоморфизм сформированных пространств.

Третий раздел посвящен решению плоских задач. В первом параграфе выписано общее решение плоской задачи для анизотропной среды; приведена методика формирования базиса пространства внутренних состояний (на основании формул комплексного представления Лехницкого [25]); приведены выражения для скалярных произведений в пространствах внутренних и граничных состояний. Во втором параграфе показана методика формирования решения первой и второй основных задач механики методом граничных состояний. В третьем параграфе решены конкретные задачи для односвязной плоской области. В четвертом параграфе приведена методика формирования базиса пространства внутренних состояний для двусвязной области и, как итог, решены конкретные задачи. В пятом параграфе решены конкретные задачи изгиба и кручения анизотропных пластинок. В шестом параграфе пред-ставены основные выводы.

В четвертом разделе проведено решение обобщенной задачи Сен-венана. В первом параграфе выписано общее решение задачи о равновесии цилиндра из материала обладающего прямолинейной анизотропией общего вида. Также здесь строится базис пространства состояний. Во втором параграфе приведены особенности решения данной задачи. В третьем параграфе проведено решение конкретных задач для тел прямоугольной, круглой, овальной форм.

В пятом разделе проведен анализ точности построенных решений для тел сложной конфигурации и обсуждены способы преодоления этих трудностей.

Заключительная часть работы содержит основные результаты и общие выводы, сформулированные на основе проведенных исследований.

В приложениях приведены сопутствующие материалы, по решению конкретных задач - эпюры, изолинии.

4.4. Выводы по разделу

1. Разработана методология построения базисов пространств состояний, исходящая из наличия общего решения для анизотропного цилиндра.

2. Решение задач подтвердило тезисы о сходимости решения в среднем. Решение тестовых задач показало абсолютное совпадение полученных результатов с ранее известными.

3. Построены конкретные решения основных задач статики. Решения выписаны в аналитическом виде. Обнаружено полное совпадение с результатами, полученными в монографии [25].

4. Интегральные условия на торцах входят в ортонормированный базис, поэтому варьировать граничные условия возможно только на боковой поверхности.

5. Если на торцах присутствуют усилия, приводящие к скручивающему моменту, то при решении задач они в общем случае не восстанавливаются, но удовлетворяются в интегральном смысле.

6. В случае второй основной задачи в общем решении не рассматриваются задачи со свободно закрепленньши торцами. Перемещения задаются для внутренних точек тела, а на поверхности определяются как предельные значения этих величин. Однако перемещения необходимо задавать такими, чтобы восстановленные усилия на боковой поверхности действовали в плоскости поперечного сечения (Рг = 0), что не представляется возможным.

7. При решении простых задач с однородными граничными условиями и отсутствии скручивающего момента достаточен «короткий» (до 16 элементов) ортонормированный базис.

8. Решение задач для областей ограниченных сложным контуром характерно тем, что даже при простом нагружении возникает необходимость использовать большое число (до 500) элементов ортонормированного базиса.

Раздел 5. Особенность решения задач для тел с сингулярностями

В ходе решения некоторых задач для тел с сингулярной границей механическое наращивание базиса влияет на устойчивость решения вблизи таких точек.

Рассмотрим плоскую задачу (рис. 5.1). Упругие характеристики такие же, как и в ранее решенных плоских задачах для тела прямоугольной формы (п. 3.3.1). Зададим на контуре тела усилия или перемещения по функции, эквивалентной функции параболы.

Функции внешних усилий: рх=-\ + у2,ру =0, (x,y)<=S{; Px=l-y\ py=0,(x,y)eS2; Рх=Ру=0> (x,y)eS3vS4.

S4 f У 1 hv<a W

Si

-2

S2

S3

A —ы, V

Рис. 5.1. Задачи о нагружении прямоугольника

На рис. 5.2 представлены восстановленные в ходе решения усилия на границе при 150 удержанных коэффициентах ряда Фурье.

0 02

-0.23 J -0.49

-0 745

0.0001 б

Рис. 5.2. Восстановленные усилия при 150 удержанных коэффициентах ряда Фурье: а- на нагруженной границе; б - на свободной границе

На графиках: им. заданные значения; . - восстановленные значения.

На рис. 5.3 представлены восстановленные в ходе решения усилия на границе при 400 удержанных коэффициентах ряда Фурье.

-3. -I. 0 1. 2 -1 -1. 0 1 1 б

Как видно из графиков, при наращивании используемого отрезка базиса в окрестности сингулярных точек восстановленные характеристики осциллируют и устремляются в бесконечность. Это расхождение в окрестности точек с сингулярной границей, растет («наползает к центру границы») при наращивании базиса. При этом коэффициенты Фурье постоянно убывают. Аналогичная ситуация возникает и во второй основной задаче, если вместо усилий задать перемещения. Следует отметить, что подобные явления для тел с особенностями границы характерны и для других видов распределения усилий или перемещений.

Рассмотрим тело сложной формы, например в форме двутавра (рис. 5.4). Зададим следующие упругие характеристики: модули Юнга Ех= 23, Е = 14; модуль сдвига С = 6; коэффициент Пуассона ; коэффициенты взаимного влияния первого рода г/ху х =0.2, т]хуу =0.12. На гранях зададим единичные растягивающие усилия. п в2 X

Щ 111 Щ 1 ш

Рис. 5.4. Граничные условия к задаче о нагружении тела в форме двутавра Решение задач для плоских областей ограниченных сложным контуром характерно тем, что даже при простом нагружении, возникает необходимость использовать большое число (до 600) элементов ортонормированного базиса. В данной задаче также при наращивании используемого отрезка базиса в окрестности сингулярных точек восстановленные характеристики осциллируют и устремляются в бесконечность (рис 5.5). а

1 1 ( I I I I I §

2.5 У

1111111 б

Рис. 5.5. Восстановленные усилия при 300 удержанных коэффициентах ряда Фурье: а — на границе Б1; б — на границе Бг

Восстановленные характеристики осциллируют и на других участках границы.

Подобная ситуация возникает и в обобщенной задаче Сен-Венана, но только по боковой поверхности цилиндра (если боковая поверхность имеет сингулярность).

Такое поведение восстановленных на границе усилий или перемещений характерно для сложно нагруженных тел с сингулярной границей. Это является не ошибкой, особенностью решения задач методом граничных состояний для нерегулярных тел. Преодоление трудностей такого характера следует искать на пути включения в базис состояний специальных решений, «схватывающих» реакцию упругого поля на наличие сингулярности.

В качестве окончательного решения, записываются восстановленные характеристики, максимально соответствующие заданным на границе.

73

Заключение

В заключение отметим основные результаты работы.

1. Для решения задач для анизотропных сред выбран новый общий «энергетический» метод для решения задач линейного континуума. Метод опирается на формализм гильбертовых пространств и использует понятия пространств внутренних и граничных состояний.

2. Сформулированы понятия пространств внутренних и граничных состояний для анизотропной среды; обеспечены свойства гильбертова изоморфизма этих пространств.

3. Разработана методология построения базисов пространств состояний, исходящая из наличия общего решения для анизотропной среды. Разработаны базисы пространств внутренних состояний для объектов различных геометрических очертаний и физических свойств.

4. Строго обоснованчметод граничных состояний в части решения первой и второй основных задач. Решение строится с точностью до жесткого движения, которое является «нулем» пространства состояний. Процесс решения сводится к рутинному вычислению квадратур. Наращивание базиса для гладких тел не влияет на устойчивость решения.

5. Выполнена постановка основных задач для ограниченного тела в терминах МГС.

6. Разработаны вычислительные алгоритмы.

7. Решены конкретные задачи: плоские задачи для односвязных и дву-связных ограниченных областей, задачи изгиба анизотропных пластин, обобщенной задачи Сен-Венана.

8. Проведен анализ влияния сингулярности границы тела на сходимость решения.

9. Тестирование МГС на классических задачах для анизотропных тел показало абсолютные результаты. Построены (в аналитическом виде) конкретные решения задач о равновесии сплошных тел.

1. Александров А.Я., Соловьев Ю.И. Пространственные задачи теории упругости (применение методов теории функций комплексного переменного). М.: Наука, 1978. - 464 с.

2. Амбарцумян С.А., Общая теория анизотропных оболочек. // Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», М., 1974.

3. Аржаных И.С. Интегральные уравнения основных задач теории поля и теории упругости. Ташкент: Изд-во АН УзбССР, 1954.

4. Баблоян A.A., Об одной задаче осесимметричной деформации круглого цилиндра конечной длины из трансверсально-изотропного материала. ДАН Арм. ССР 32, В 4, 1961, 189-196.

5. Башелешвили М.О. Об одном методе решения задач статики трансверсально-изотропного упругого тела. "Некоторые задачи теории упругости", Тбилиси, Тбилис. ун-т, 1975, 7 — 20.

6. Башелешвили М.О. Общие представления решений уравнений статики трансверсально-изотропного тела и некоторые их применения. Сообщ. АН Груз. ССР, 76, № 3, 1974, 565-568.

7. Башелешвили М.О. О дифференциальных свойствах потенциалов трансверсально-изотропного тела. Сообщ. АН Груз. ССР, 82, № 2, 1976, 325 -328.

8. Башелешвили М.О., Натрошвили Д.Г. О теоремах существования решений основных задач статики трансверсально-изотропного тела. "Докл. АН СССР", 231, № 1, 1976, 53 56.

9. Гурьянов И.Н. Метод разрывных решений в задачах исследования деформации анизотропных пластин сложной формы Текст. / И.Н. Гурьянов //Дисс. канд. физ.- мат. наук. — Казань, 1997. — 212 с.

10. Демидов С.П. Теория упругости: Учебник для вузов. М.: Высшая школа, 1979.-432 с.

11. Емельянов Е.Ф. Гармонический многочлен // Математическая энциклопедия. — т.1. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — с. 886-887.

12. Ионов В.Н. Напряжения в коническом теле при статическом на-гружении // Известия ВУЗов. Машиностроение. 1965. — №7.

13. Ионов В.Н. О равновесии тел вращения // Научные доклады высшей школы. Сер.: Физико-математические науки. — 1960. — №3.

14. Ионов В.Н. Равновесие упругого цилиндра конечной длины // Исследования по теории сооружений. — М.,1957. — Вып.7

15. Ионов В.Н. Расчет напряжений в телах сферических и близких по форме к сферическим // Известия ВУЗов. Машиностроение. 1961. — №4.

16. Ионов В.Н. Расчет напряжений в цилиндрических телах произвольного сечения // Известия ВУЗов. Машиностроение. 1959. — №11.

17. Ионов В.Н., Введенский Г.А. О возможных формах общего решения уравнений равновесия в криволинейных координатах // Известия ВУЗов. Математика. 1964. - №6.

18. Кононенко Е.С. Напряжения в упругом параллелепипеде при осевом сжатии // Исследования по теории сооружений. М.,1954. — Вып.6.

19. Космодамианский A.C., Напряженное состояние анизотропных сред с отверстиями или полостями. // Издательское объединение «Вища школа», 1976.-200 с.

20. Крутков Ю.А. Тензор функций напряжений и общие решения в статике теории упругости. М.: Изд. АН СССР, 1949.

21. Купрадзе В.Д., Гегелия Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости. — М.: Наука, 1976. -664 с.

22. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. М.: ГИТТЛ, 1957.463 с.

23. Лехницкий С.Г. О некоторых вопросах, связанных с теорией изгиба тонких плит // Прикладная математика и механика. — 1938. — Т.П. — Вып. 2. -С.181 -210.

24. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977.-416 с.

25. Ли А.П. О смешанных задачах трансверсально-изотропного тела в сферической системе координат. "Тр. Семинара кафедры теор. мех. и высш. мат. Джамбул, технол. института легкой и пишевой пром-ти", вып. 3, 1973, 85-89.

26. Ли А.П. Некоторые первые краевые задачи трансверсально-изотропного тела в сферической системе координат. "Тр. Семинара кафедры теор. мех. и высш. мат. Джамбул, технол. института легкой и пишевой пром-ти", вып. 3, 1973, 67-83.

27. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. - 940 с.

28. Ляв А. Математическая теория упругости. — М.,1936.

29. Мальцев Л.Е. Некоторые свойства решений пространственных задач теории упругости методом Ритца /Дисс:-МГУ, 1968.

30. Мирошниченко Е.Р. Задача о сжатии цилиндра между жесткими плитами без скольжения. — М.: Моск. лесотехнич. ин-т, 1957.

31. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. -М.: Наука, 1966. — 707 с.

32. Нетребко В.П. Задача о кручении стержней переменного сечения // Вестник МГУ. 1958. - №6.

33. Нетребко В.П. Кручение параллелепипеда торцевыми нагрузками // Вестник МГУ. 1954. - №12.

34. Нетребко В.П. Кручение стержней, имеющих входящие углы // Вестник МГУ. 1960. - №4.

35. Нетребко В.П. Стесненное кручение упругого параллелепипеда // Вестник МГУ. 1956. - №6.

36. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир,1975. - 872 с.

37. Новацкий В. Функция напряжений в простанственных проблемах упругого тела с трансверсальной изотропией. Бюллетень Поьской АН (отд. 4) 2, №1, 1954.

38. Олехова Л. В. Кручение неоднородного анизотропного стержня Текст. / Л.В. Олехова //Дисс. д. т. н. Моска, 2009. - 115 с.

39. Пеньков В.Б., Иванычев Д.А. Решение плоских задач анизотропной упругости методом граничных состояний текст. //Вести высших учебных заведений Черноземья. Научно-технический и производственный журнал. №2 (20). Липецк: ЛГТУ, 2010. - С.31-35.

40. Пеньков В. Б., Иванычев Д.А., Решение осесимметричных задач анизотропной упругости методом граничных состояний текст. Вестник Тульского государственного университета. Серия: Актуальные вопросы механики. — Тула, 2010. Вып.6.

41. Пеньков В. В. Метод граничных состояний в задачах линейной механики. Текст. / В.В. Пеньков //Дисс. к. ф-м. н. — Тула, 2002. — 83 с.

42. Пеньков В.Б., Пеньков В.В. Метод граничных состояний для решения задач линейной механики // Материалы международного симпозиума по теории упругости, посвященного памяти A.A. Ильюшина. — М.: МГУ, 2001.-c.363.

43. Пеньков В.Б., Пеньков В.В. Пространства состояний в задачах механики континуума // Международная конференция "Теория приближений и гармонический анализ": Тезисы докладов (Россия, Тула, 26-29 мая 1998 г).

44. Пеньков В.В. Метод граничных состояний для упругого параллелепипеда// Зимняя школа по механике сплошных сред (двенадцатая) (Пермь, 25 31. 01.99). Тезисы докладов. - Пермь: 1999. - С.250.

45. Пеньков В.В. Метод граничных состояний: формирование базиса пространства внутренних состояний среды // Известия ТулГУ. Серия: Математика. Механика. Информатика. — 1998. Т.4. - Вып.2. — С.128—134.

46. Подружин Е. Г. Приложение метода сингулярных интегральных уравнений к задачам изгиба анизотропных пластин с многосвязным контуром Текст. / Ё.Г. Подружин //дисс. канд. физ.- мат. наук. Новосибирск, 2007. - 272 с.

47. Прусов И.А., Комаров Г.В., Об одном представлении общих формул теории упругости для трансверсально-изотропного полупространства. "Изв. АН БССР. Сер. физ-мат. Н.", В 5, 1981.

48. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. - 744 с.

49. Сен-Венан Б. Мемуар о кручении призм. М.: Физматгиз, 1961.

50. Слободянский М.Г. Общие формы решений уравнений упругости для односвязных и многосвязных областей, выраженных через гармонические функции // ПММ. 1954. - Т.18. - С.55-74.

51. Сунчелеев Р.Я., Некоторые краевые задачи теории упругости для трансверсально-изотропного цилиндра. "Доклады АН Уз. ССР", В 9, 1966. 16-20.

52. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела. -М.: Высшая школа, 1979. 320 с.

53. Тренин С.И. Построение метода решения ряда осесимметричных задач теории упругости // Вестник МГУ. 1952. - №6.

54. Трещев A.A., Пеньков В.В. Оценка точности метода граничных состояний для тел сложной конфигурации. // Известия ТулГУ. Серия: Математика. Механика. Информатика. — 2000. Т.6. - Вып.2. - С. 153-159.

55. Угодчиков А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела. Казань, КГУ, 1986. — 295 с.

56. Филоненко-Бородич М.М. Две задачи о равновесии упругого параллелепипеда // ПММ. 1951. - T.XV. - Вып.5.

57. Филоненко-Бородич М.М. Задача о равновесии упругого параллелепипеда при заданных нагрузках на его гранях // ПММ. 1951. - T.XV. -Вып.2.

58. Филоненко-Бородич М.М. Теория упругости. — М.: Физматгиз,1959.

59. Хуторянский Н.М. Нестационарный динамический тензор Грина для трехмерной трансверсально изотропной упругой среды // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Нижний Новгород: НГУ, 1990. — С.30-34.

60. Хуторянский Н.М. Тензор Грина нестационарной динамической1теории упругости для анизотропной однородной безграничной среды // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Статика и динамика деформируемых систем. Горький: Горьк. Ун-т, 1985. — С.23-31.

61. Черных К.Ф. Введение в анизотропную упругость. // М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. лит., 1988. - 192 с.

62. Elliot H.A., Three-dimensional strees distributions in bexagonal aeo-tropic crystals. Proc. of the Canbridge philos. soc. 44, part 4, 1948, 522-533.

63. Finzi B. Integrazione della equazione della Meccanica dei sistemi con-tinui // Rendiconti d. Lincei. Ser.VI 1934. - V. 19.

64. Hu Hei-chang., On the three-dimensional problems of the theory of elasticity of a transevsely isotropic body. "Acta physica ainica (Chiness journal of physics) 9, N 2, 1953, 130-147.

65. Kasano Hideaki, Tsuchiya Hiroyuki, Matsumoto Hiroyuko, Nakahara Ichiro, Trans, Jap.Sos. "Mech.Eng.".A 47, N 418, 1981, 635-640 (Трансверсаль-ный изотропный полый цилиндр под действием кольцевой радиальной нагрузки)

66. Kasano Hideaki, Matsumoto Hiroyuko, Nakahara Ichiro, A transversely isotropic circular cylinder under concentraded loads. "Bull.JSME.", 23^ N 176, 1980, 170-176

67. Neuber H. Ein neuer Anzatz zur I^sung rabmlicher Probleme der Elas-tizitetstheorie // Zeith. fur angew. Math, und Mech; 1934. - V.14. -N 4.

68. Nowacki W. Theoria niesymetrycney sprezystosci. Warszawa: PWN,1971.

69. Pan J.-C., Chou T.-W. Greens functions for two-phase transversely isotropic materials. "Trans. ASME J.Appl.Mech." 46, № 3, 1979, 551-556.