Теплиц-плюс-ганкелевы матрицы и равномерная сходимость аппроксимаций Паде - Чебышева тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Ибряева Ольга Леонидовна

ТЕПЛИЦ-ПЛЮС-ГАНКЕЛЕВЫ МАТРИЦЫ И РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ АППРОКСИМАЦИЙ ПАДЕ - ЧЕБЫШЕВА

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа - 2008

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений и динамических систем Южно-Уральского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Адуков В.М.;

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Мусин И.Х.;

доктор физико-математических наук, профессор Суетин С.П.

Ведущая организация: Институт математики и механики Уральского отделения РАН, г. Екатеринбург.

Защита состоится «28» ноября 2008 года в 15 часов на заседании совета по защите кандидатских и докторских диссертаций Д 002.057.01 в Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН по адресу: 450077, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН.

Автореферат разослан « _» октября 2008 года.

Ученый секретарь совета по защите кандидатских и докторских диссертаций Д 002.057.01

кандидат физико-математических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Диссертация посвящена исследованию равномерной сходимости некоторой строчной последовательности линейных аппроксимаций Паде - Чебышева, которые являются обобщением классических аппроксимаций Паде на случай рядов по многочленам Чебышева.

В последнее время заметно возрос интерес к аппроксимациям Паде ортогональных разложений, в том числе и к аппроксимациям Паде - Чебышева. Тем не менее, в области равномерной сходимости таких аппроксимаций имеется лишь один серьезный результат, принадлежащий С.П. Суетину - аналог классической теоремы Монтессу де Болора для линейных1 и нелинейных2 аппроксимаций Паде ортогональных разложений. В этих работах С.П. Суетин рассмотрел вопросы равномерной сходимости последовательности аппроксимаций типа (п, Д), п —>оо, для мероморфной функции, имеющей А полюсов в некотором эллипсе В\ с фокусами в —1,1. Если, по аналогии с понятием таблицы Паде3 в классической теории, считать, что аппроксимация типа. (п, т) содержится в п—м столбце и т—й строке таблицы, то можно полагать, что рассмотренная С.П. Суетиным последовательность образует строку таблицы с номером А.

Как показано в диссертации, линейные аппроксимации Паде - Чебышева типа (п, А — 1) для мероморфной функции определяются (также, как и аппроксимации типа (п, А)) единственным образом. В связи с этим естественно поставить задачу о построении полной теории равномерной сходимости строчной последовательности аппроксимаций типа (п, А — 1). Под полной теорией равномерной сходимости мы понимаем следующее. Необходимо найти пределы всех сходящихся подпоследовательностей знаменателей аппроксимаций, т.е. все предельные точки множества полюсов этих аппроксимаций. В случае как классических аппроксимаций Паде, так и аппроксимаций Паде ортогональных разложений, это множество предельных точек полюсов лишь для строки с номером А будет состоять только из А полюсов аппроксимируемой функции. При рассмотрении же сходимости других строчных последовательностей появляются «лишние» предельные точки, которые являются препятствием для равномерной сходимости всей строки и поэтому при построении областей равномерной сходимости их требуется предварительно найти.

1 Суетин, С.П. О сходимости рациопалышх аппроксимаций полиномиальных разложений в областях мероморфности заданной функции // Мат. сб.- 1978.- Т.105, №3.- С.413-430.

2Суетин, С.П. О теореме Монтессу де Болора для рациональных аппроксимаций ортогональных разло- , жепий // Мат. сб.- 1981- ТЛИ, №3.- С.451-464.; \/

3Бсйкер Дж., мл., Грейвс-Моррис П. // Аппроксимации Паде.- М.: Мир, 1986. •

В теории сходимости аппроксимаций Паде ортогональных разложений весьма актуальным является до сих пор нерешенный вопрос о нахождении лишних предельных точек для хотя бы одной строчной последовательности аппроксимаций. Эта задача для строки с номером А — 1 полностью решена в диссертационной работе.

Цель работы.

Целью диссертации является построение полной теории равномерной сходимости линейных аппроксимаций Паде - Чебышева типа (п, Л — 1) мероморф-ной функции, имеющей Л полюсов в некотором эллипсе с фокусами в —1,1.

Методы исследования.

В работе применяются методы линейной алгебры, функционального анализа и комплексного анализа. В первой главе диссертации для создания алгебраических основ метода изучения сходимости, используются методы, разработанные научным руководителем В.М. Адуковым4.

Результаты, полученные лично автором, и выносимые на защиту.

1. Построение теории существенных индексов и многочленов для (Т -(-■.Непоследовательности; критерий существенности; теоремы об обращении и обобщенном обращении теплиц-гшюс-ганкелевых матриц (далее (Г + 7/)-матриц).

2. Теоремы о параметризации числителя и знаменателя линейной аппроксимации Паде - Чебышева для правильной рациональной дроби; критерий единственности знаменателя и достаточное условие единственности самой аппроксимации; достаточное условие корректности решения задачи нахождения линейной аппроксимации Паде - Чебышева.

3. Теорема о предельном поведении знаменателей линейных аппроксимаций Паде - Чебышева типа (п, А — 1) в случае правильной рациональной дроби; теорема о сближении знаменателей аппроксимаций для мероморфной функции и ее рациональной части; теорема о предельном поведении знаменателей в случае мероморфной функции; теорема об областях равномерной сходимости линейных аппроксимаций Паде - Чебышева типа (п, А — 1) мероморфной функции.

Научная новизна.

Все результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1. В первой главе диссертации описана структура ядра блочных (Т 4- Н)-матриц, решена задача их обращения и обобщенного обращения.

2. Во второй главе диссертации получена параметризация числителя и знаменателя линейной аппроксимации Паде - Чебышева. Найден критерий единственности знаменателя и получено достаточное условие единственности са-

4Адуков, В.М. Факторизация Винера-Хопфа и аппроксимации Паде матриц-функций. Диссертация на соискание ученой степени д.ф.-м.н. - Челябинск, 2006.

мой аппроксимации Паде - Чебышева. С помощью данного критерия доказана единственность знаменателя аппроксимации Паде - Чебышева типа (п, Л — 1) для рациональной функции. Решен вопрос корректности рассматриваемой задачи.

3. В третьей главе диссертации получена явная формула для знаменателей аппроксимаций Паде - Чебышева типа (п, Л — 1) и найдены предельные точки нулей знаменателей аппроксимаций для рациональной дроби. Показано, что асимптотическое поведение знаменателей аппроксимаций для мероморф-ной функции будет таким же, как и поведение знаменателей аппроксимаций для рациональной части этой функции. Построена полная теория равномерной сходимости строчной последовательности линейных аппроксимаций Паде - Чебышева типа (п, А — 1) мероморфной функции. Описаны области равномерной сходимости этой последовательности.

Теоретическая и практическая ценность.

Результаты диссертации носят теоретический характер. Они могут применятся при построении линейных аппроксимаций Паде - Чебышева и областей их равномерной сходимости. Результаты могут быть использованы в научной работе специалистами по теории аппроксимаций и по их применению в приближенных вычислениях, работающими в Институте математики РАН имени В.А. Стеклова, Институте математики и механики УРО РАН, Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН, Московском госуниверситете, Смоленском госуниверситсте, Белорусском госуниверситете, а также при чтении спецкурсов в указанных университетах.

Апробация результатов диссертации.

Результаты работы докладывались на всероссийской конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач», г. Екатеринбург, 2004 г.; международной математической конференции «Теория функций, дифференциальные уравнения, вычислительная математика», г. Уфа, 2007 г.; международной конференции Института математики с ВЦ УНЦ РАН «Комплексный анализ и дифференциальные уравнения», г. Уфа, 2007 г.; международной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения», г. Смоленск, 2008 г.; на научных семинарах отделов дифференциальных уравнений и комплексного анализа Института математики с ВЦ УНЦ РАН, г. Уфа и на ежегодных научное технических конференциях Южно-Уральского государственного университета, г. Челябинск.

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [11], список которых приведен в конце автореферата. Работы [2], [8]-[10] выполнены

лично автором, остальные - в соавторстве с научным руководителем. Из них в диссертацию были включены результаты, полученные самостоятельно.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Объем диссертации составляет 119 страниц, включая библиографический список из 44 ссылок.

Краткое содержание работы. Введение содержит обзор литературы по рассматриваемым в диссертации вопросам и постановку задач. Первая глава посвящена блочным теплиц-плюс-ганкелевым матрицам, их обращению и описанию структуры ядра. Связь этих задач с проблемой равномерной сходимости линейных аппроксимаций Паде - Чебышева указывается во второй главе, где построена формальная теория аппроксимаций, решены вопросы их единственности и корректности. Третья глава содержит основные результаты по равномерной сходимости. Список всех решенных в диссертации проблем приведен в заключении.

Перейдем к более детальному изложению содержания диссертации.

В первой главе рассматриваются блочные теплиц-плюс-ганкелевые матрицы, описывается структура их ядра и решается задача обращения таких матриц.

Поясним, почему возникает необходимость изучения таких задач. В отличие от классических аппроксимаций Паде, линейные аппроксимации Паде -Чебышева находятся неединственным образом, что усложняет исследование их сходимости. Для того, чтобы установить причину их неединственности, необходимо изучить структуру ядра теплиц-плюс-ганкелевой матрицы. Несмотря на то, что нас интересует ядро (и обращение) одной конкретной матрицы, удобнее включить ее в целое семейство похожих матриц и рассматривать все это семейство. Подобный подход был использован в работах В.М. Адукова, в которых он таким образом изучил структуру ядра и задачу обращения блочных теплицевых матриц.

В §1.1 вводится понятие (Т + .Непоследовательности, ее существенных индексов и многочленов, в терминах которых и решается задача описания структуры правого и левого ядра блочных тегшиц-плюс-ганкелевых матриц:

Пусть ам, ам+1,... ,ак и 6ц, ..., Ьы_ки (М < И) произвольные конечные последовательности комплексных матриц размером р х <7. Упорядоченную пару этих двух последовательностей будем называть (Т-Ь Н)-последовательностью. Составим из элементов (Т +-Непоследовательности семейство блоч-

ных теплиц-плюс-ганкелевых матриц:

Sk = Тк + Нк = \\a,i-j + bi+j-tW i = k,k+ ,,....„ , М < к < N.

Для описания структуры правых kerR Sk и левых kerL Sk ядер семейства матриц Sk нам потребуются понятия индексов и существенных многочленов (Т + Л/)-послсдователыюети.

Определим пространства МЦ и производящих векторных многочленов, изоморфные пространствам kerR Sk и kerL Sk- Эти пространства оказываются связанными между собой, точнее говоря, почти всегда верно равенство: =

tXiU + (t +

Однако для некоторых номеров к = fr (это и есть правые существенные индексы) пространство tN^-i + (i + l)vV/f необходимо дополнить до всего Лfk+i, т.е. верно равенство: = (tA/^-i + (t + 1)^) Базис допол-

нения Ti-^i и образуют так называемые правые существенные многочлены. Левые индексы и существенные многочлены определяются аналогично. Правые щ и левые щ индексы оказываются связанными между собой соотношением Vi = Hi — 1. В случае скалярной (Т + Непоследовательности имеем четыре существенных индекса. Структуру ядра матрицы S^+i описывает следующая теорема (ограничимся так называемым регулярным случаем).

Теорема 1. Пусть ..., - правые индексы, а Ri(t),..., Ri(t) - правые существенные многочлены скалярной (Т + Н)-последовательности.

Тогда для k € [/Xj,/ij+i), 1 < i < 4, векторные многочлены:

{(<*""' + 1 )Rj(t), (i*-«"1 + t)Rj(t),..., + it^

являются производящими многочленами по t для элементов базиса пространства ker„ Sfc+1. Для удобства считаем, что щ — N.

Для к € [М, ¡1\) пространство kerB Sk+i является нулевым.

§1.2 содержит так называемый критерий существенности, позволяющий проверить, что заданные числа и многочлены являются существенными индексами и многочленами (Т + Непоследовательности. Этот результат используется в §1.3, где получена обратная к блочной теплиц-плюс-ганкслевой матрице. В §1.4 указан способ нахождения обобщенной обратной к теплиц-плюс-ганкелевой матрице, который в случае ее обратимости позволит найти и обратную. Таким образом, в этом параграфе еще раз (другим методом) решена задача обращения (Т + Я)-матрицы.

Наконец, в §1.5 содержится достаточное условие устойчивости индексов скалярной (Т 4- Непоследовательности. Оно потребуется для получения достаточного условия Корректности решения задачи нахождения линейной аппроксимации Паде - Чебышева.

Во второй главе диссертации с помощью результатов первой главы построена формальная теория линейных аппроксимаций Паде - Чебышева, которая используется далее в третьей главе при изучении их сходимости. Дадим определение линейной аппроксимации Паде - Чебышева. Пусть функция a{z) разложена в ряд по многочленам Чебышева Tk(z):

со

Ф) = akTk{z) = |а0 + ахТх{г) + a2T2{z) + .... «=о

Здесь и далее штрих у суммы означает, что первый коэффициент во следует заменить на Также всюду в диссертации под многочленами Tn(z) понимаются многочлены Чебышева первого рода, которые на отрезке [—1,1] определяются по формуле: Тп(х) = cos(n arceos :г).

P(z)

Определение 1. Рациональная дробь Rn,m(z) — п'™ (v\' (*)

- многочлены, такие, что deg Pn,m{z) < п, degQ„jI71(2) < т, Qn^m{z) ф О, и выполняется следующее соотношение

■ оо

Q„,m(z)a(z) - Pn,m(z) = £ akTk{z), (1)

k=n+m+1

называется линейной аппроксимацией Паде - Чебышева типа (п,т) функции a(z).

В §2.1 приведен хорошо известный результат о том, что задача нахождения знаменателя линейной аппроксимации Паде - Чебышева сводится к задаче о структуре ядра теплиц-плюс-ганкелевой матрицы. Коэффициенты qj знамена-

т

теля Qnm{z) — Т! qfl){z) принадлежат ядру матрицы:

j=о ■ •■•■

' <W1 + an+l ап + Йп+2 • • • Q-n-m+1 + ®n+m+l ^

а Яц+2 + Оп+2 Оп+1 + ап+з ... ап-т+2 + ап+т+2

n+1 = : : •. :

\ О-п+т + ®п+т. ап+т-1 + ап+т+1 ■■■ ап + ап+2т /

Включим матрицу Sn+1 в семейство (Т + Я)-матриц {Sk}, М < k < N, порожденное (Т + Непоследовательностью, являющейся упорядоченной парой двух последовательностей: {а

n-m+Ъ ап-т+2> ■ ■ ■ ! ßn+m-li On+m} (тСПЛИЦева часть) и {on+i, ап+2, ■ ■ ■, an+2m-i,an+2m) (ганкелева часть). Будем дальше говорить, что эта (Т + Непоследовательность соответствует матрице Sn+i.

Ясно, что для того, чтобы разобраться с причиной неединственности аппроксимаций, требуется изучить структуру ядра теплиц-плюс-ганкелевых матриц, что и было сделано в первой главе. С использованием этих результатов далее в §2.1 мы получаем более удобное в теории аппроксимаций Паде - Чебы-шева описание структуры ядра матрицы Sn+1 в терминах производящих многочленов по многочленам Чебышева Tn(z), а не по степеням г.

Это позволяет в §2.2 найти параметризацию знаменателя и числителя линейной аппроксимации Паде - Чебышева:

Теорема 2. Пусть матрице Sn+\ в задаче нахождения линейной аппроксимации Паде - Чебышева типа (п, т) соответствует (Т + Н)-последовательность с индексами /хi, /42, /хз, .

Тогда произвольный знаменатель этой аппроксимации представляется в виде:

[паа] [гыа]

Q(z)^Ql^](z) t жВД + Q£ АВД + Q^{z) £ 7¡ад,

1 2 J г=0 L 2 J 1 2 J t=0

m-n+iij / \

где Q^-p-^z) = Eq А" \ |---„,|(,г) + Г{| p-f,j+ij(z)j , коэффициенты вектора из ядра S^+i, образующего соответствующий существенный многочлен.

Числитель линейной аппроксимации Паде - Чебышева типа (п,т) представляется в виде

v(z) = p[4±](z) ± 1<ад+t дад+pm(z) t \m(z),

где - числитель аппроксимации со знаменател.ем Q^n-^z).

Здесь Q;, Pi, тi - произвольные константы. Пустая сумма считается нулевой.

Далее в §2.3 с помощью параметризации числителя и знаменателя получено достаточное условие единственности -линейной аппроксимации Паде - Чебышева.

Теорема 3. Пусть datia (Т + Н)-последовательность, соответствующая матрице Sn+1 в задаче нахоэ/сдеиия линейной аппроксимации Паде - Чебышева типа (п,т).

Если индексы (Т + Н)- последовательности удовлетворяют условию

Ц1<П<Ц2,

то линейная аппроксимация Паде - Чебышева является единственной.

При изучении сходимости важной окажется не столько единственность аппроксимации, сколько ее знаменателя. Дело в том, что используемый далее подход основан на изучении асимптотического поведения знаменателя и требует его единственности с точностью до постоянного множителя. Критерий единственности знаменателя также получен в §2.3.

Теорема 4. Пусть дана (Т + Н)-последовательность, соответствующая матрице 5п+х в задаче, нахождения линейной аппроксимации Паде - Чебышева типа (п,т)..

Тогда знаменатель аппроксимации находится единственным образом с точностью до постоянного множителя тогда и только тогда, когда индексы (Т + Н) - последовательности г)довлетворяют условию

т = п < ц2-

В §2.4 построенная формальная теория линейных аппроксимаций Паде -Чебышева применяется к случаю, когда аппроксимируемой функцией является правильная рациональная дробь, имеющая Л полюсов внутри некоторого эллипса с фокусами в —1,1. Показано, что знаменатель аппроксимации типа (га, А — 1) в этом случае находится единственным образом (с точностью до постоянного множителя). Тот же результат справедлив и в случае мероморфной функции с Л полюсами, однако доказать это мы сможем только в следующей главе.

В §2.5 показано, что условие Ц1<п < (12 обеспечивает устойчивость решения задачи нахождения аппроксимации Паде - Чебышева (и ее знаменателя) и является, таким образом, достаточным условием корректности рассматриваемой задачи. Важность этого условия в том, что оно гарантирует возможность приближенного вычисления аппроксимаций Паде - Чебышева.

Наконец, третья глава диссертации посвящена вопросам равномерной сходимости линейных аппроксимаций Паде - Чебышева.

Единственный результат в теории равномерной сходимости строчных последовательностей аппроксимаций Паде ортогональных разложений принадлежит С.П. Суетину. В применении к линейным аппроксимациям Паде - Чебышева он позволяет утверждать следующее. Пусть мероморфная функция а{х) имеет Л полюсов внутри эллипса Ц\ с фокусами в —1,1. Тогда последовательность Дп.х аппроксимаций Паде - Чебышева типа (п, Л) сходится к а(г) равномерно внутри с выброшенными полюсами функции а(г).

В третьей главе рассматриваются линейные аппроксимации Паде - Чебышева типа (п, А — 1) мероморфной функции а(г). Поскольку, как будет показано, они находятся единственным образом, можно ставить задачу об иссле-

довании равномерной сходимости последовательности аппроксимаций Rn,x-¡ мероморфной функции a(z).

Вначале изучается случай, когда аппроксимируемая функция является правильной рациональной дробью. Для получения явной формулы для знаменателя аппроксимации Паде - Чсбышева рациональной дроби в §3.1 прежде всего вводятся так называемые уравнения Везу и устанавливается связь между их решениями и знаменателями рассматриваемых аппроксимаций.

Пусть r(z) — - правильная рациональная дробь и zi,...,z¡ - корни знаменателя D(z) = d\zx +... 4-do кратностей s1;..., s¡, si 4-... + s¡ = Л. Многочлены N(z), D(z) будем считать взаимно простыми. Предполагаем также, что полюсы zi,...,zi не лежат на отрезке [—1,1].

Всюду в диссертации под эллипсом m-мероморфности функции понимается эллипс Dm с фокусами в —1,1, внутри которого функция имеет не более т полюсов (с учетом их кратностей). Границу эллипса Dm будем обозначать Гт. Рассмотрим отображение с помощью функции w — z + y/z2 -1, обратной к функции Жуковского. Ветвь этой функции такая, что w(oo) = 0, переведет Zi в Wi, |w¡| < 1, i = 1,...,/, а ветвь, соответствующая условию ш(оо) оо, даст образы При этом все клежат в кольце ¿ < |ги| < R, где R - радиус окружности, в которую переходит Гд при отображении w = z + \Jz1 — 1, iu(oo) — оо (ветвь с условием w(oo) = 0 переведет Гл в окружность |ги| — ~).

Будем считать полюсы z\,... ,z¡ пронумерованными так, что:

^ < |wi| - \w2\ = ... = I< Iw^JI < ... < |w¡| < 1 <

1 1 1 1 1

< — < ... < < - — ... — —

w¡ W/Í+1 Wfj, w2 Wi

Составим многочлен 7(и>) = (ю — "ШхУ1 (и; — и>2)"2 ■■■(т — ш;)5' = 70 + 71^ + ----К 7А^Л-

Уравнением Везу назовем диофантовое уравнение вида

М{2)Уп(2) + й{г) ип{г) = 7о ВД + ъЫ^) + • • ■ + ТаМ*), (2)

где 7; - коэффициенты многочлена 7(ш).

Очевидно, что в силу взаимной простоты и О(г) решение уравнения (2) всегда существует и, вообще говоря, не является единственным. Решение уравнения (2), удовлетворяющее условию йе^Уп(г) < Л — 1, назовем минимальным. В диссертации показано, что минимальное решение уравнения (2) всегда существует и единственно.

Следующая теорема является основным результатом §3.1 и устанавливает важную связь между минимальным решением уравнения Безу (2) и линейной аппроксимацией Паде - Чебышева типа (п, А — 1) для г (г).

Теорема 5. Пусть (Уп,ип) - минимальное решение уравнения Безу (2). Тогда

ф)Уп(г) + ип{г) = а0Тп+х{г) + а{Гп+х+1{г) +....

Пусть дополнительно п > А — 1. Тогда — = Лпд_1(г) - линейная аппроксимация Паде - Чебышева типа (п, А — 1) для г (г).

Поскольку аппроксимация Паде - Чебышева типа (п, А — 1) для г(г) находится единственным образом, то она совпадает с Д^д-!^) = ^Щт}- Знаменатель в этом случае также находится единственным образом с точностью до постоянного множителя и поэтому далее считаем, что он равен Уп(г).

В §3.2 с помощью уравнения Безу для Уп(г) получена явная формула для знаменателей в рациональном случае (теорема 3.4 диссертационной работы) в терминах последовательности старших коэффициентов многочленов Уп(г). Для этих коэффициентов имеем:

Теорема 6. Для старшего коэффициента уп многочлена Уп(г) — у^"1 + ... справедливо представление:

Уп^Р1(п)^- + ...+Р1{п)~, (3)

Щ

гдср1 = СЧ + С}п+... + С1>-1ф-1.

Коэффициент С/'-1 = С; вычисляется по формуле:

' ~ - 1)1 N(7;- (вдг-)и^'"1 Ц- Щ) '

Здесь 74(ги) = (цЗУ)«- и №(ги) - функция, полученная из Л^(г) при замене

« = Н«+±).

Явная формула для Уп (г) вместе с представлением (3) позволяет изучить асимптотическое поведение знаменателя в рациональном случае. Это делается в §3.3, к краткому изложению которого мы и перейдем.

В формуле для ьп выражения ..., имеют максимальный модуль. Далее будем считать их кратности такими, что «Ев] = ... = 5„> 5„+1 > ... > «/!> 1 < V < ц.

Полюсы z\,...,zv, соответствующие образам wi,...,wv, будем называть доминирующими полюсами функции r(z). Именно они, как показано в §3.3, и определяют асимптотическое поведение Vn(z).

Пусть ¿т = pe2"V.., ^ = ре2^.

Определим монотетическую подгруппу F тора Т" как замыкание циклической группы, порожденной элементом (е2тв\... /е21"9"). Способ явного вычисления группы F приведен в работе В.М. Адукова5.

Фиксируем произвольную точку т = (ti, ... ,т„), принадлежащую группе F, и пусть Л,- - любая последовательность номеров щ, щ,. ■., tij < tij+1, такая, что Jim^ (e2,rinij,..., eimn0") — r, n £ Ат. Любую такую последовательность номеров Лг будем называть соответствующей точке т.

Обозначим Sj(r) = CiT\Tj{z\) + ... + GvTvTj(zv). Можно доказать, что для любого п среди чисел 5„(т), Sn_, ^г),..., S^-iir) найдется хотя бы одно, отличное от нуля. Наименьшее число S = <5(т), 0 < 5(т) < v — 1, такое, что $б(т) Ф 0 будем называть дефектом точки т £ F.

Будем также говорить, что многочлен X(z) — x0To(z) + x{T\(z) + ... + xnTn(z) является d-нормированным, если x,i = 1 для некоторого d, 0 < d < п.

Асимптотическое поведение Vn(z) полностью описывает следующая теорема, являющаяся основным результатом §3.3.

Теорема 7. Пустпь т - произвольная точка группы F, Лг - соответствующая ей последовательность номеров, и 6 - дефект этой точки. Тогда для всех достаточно больших п £ Лт многочлен Vn(z) допускает (Л—<5— 1)-нормировку и существует предел

= W(z, т), пе Лт.

Здесь через мы обозначаем (Л — 5 — 1)-нормированный много-

член Vn{z) и

W(z, т) = A5w(z, t)(z - zt)*'-1... (z - zv)t'~1(z - ...(z- (4)

где w(z, т) = Д A,'(z) = Ш = (z-zi)---(z- *„),

, J 2>-3Si\ MA-1, A5-\ 2^SJ\ 5 = A — 1.

Итак, множество пределов сходящихся подпоследовательностей нормированных многочленов есть семейство многочленов W(z, г), параметризованное

5Adukov, V.M. The uniform convergence of subsequences of the last intermediate row of the Pade table //

J. Approx. Tliem-y.- 2003,- Vol.122, №2.- P. 160-207.

точкой г, принадлежащей монотетичсской подгруппе Ж тора Т". Семейство многочленов IV(г, т), т 6 Р, исчерпывает все частичные пределы сходящихся подпоследовательностей Уп (г).

Множество нулей многочленов г), т.е. множество предельных точек нулей знаменателей аппроксимаций Паде - Чебышева типа (п, А — 1) рациональной функции г(г), состоит из полюсов исходной функции г (г) (кратность каждого из доминирующих полюсов уменьшается на 1, а кратность остальных полюсов не меняется) и нулей семейства многочленов т), г £ 1, не содержащих точек ..., 2„. Множество Л/р нулей этого семейства мы будем называть дополнительными предельными точками.

Далее в диссертации рассматривается случай мероморфной в Д\ функции а(г) с полюсами 21 не лежащими на [—1,1]. Мы покажем, что пове-

дение аппроксимаций для мероморфной функции полностью определяется ее

рациональной частью г (г) — = £' г^ТЦг), т.е. суммой главных частей ее

* ' 1=0

лорановских разложений в окрестностях полюсов.

А-1 А—1

Пусть <3„д_1 (;>:) = (г) и = - знаменатели ап-

проксимаций Паде - Чебышева типа (п, А — 1) для а(г) и г (г) соответственно. Коэффициенты % , <7] , 7 — 0,..., А — 1, принадлежат ядрам теплиц-плюс-ганкелевых матриц Ба и 5Г. Обозначим с^5гА-г (сМ5'аА"'5) - минор матрицы, полученной из 5Г (5а) вычеркиванием столбца с номером А — 8. Из теоремы 6 легко получаем, что для любого т е Г и любой последовательности номеров п £ Ат минор отличен от нуля для достаточно больших п, п € Лг.

В §3.4 показано, что тот же результат справедлив и для минора Основной результат этого параграфа заключается в следующем: знаменатель аппроксимации Паде - Чебышева типа (п, А — 1) для а(г) находится единственным образом также, как и знаменатель аппроксимации для г(2).

Далее в §3.5 доказано, что знаменатели аппроксимаций Паде - Чебышева типа (п,А — 1) мероморфной функции а(г) и ее рациональной части г (г) неограниченно сближаются с ростом п.

Теорема 8. Пусть т - произвольная точка группы Р, Лг - соответствующая ей последовательность номеров и 6 - дефект этой точки. Тогда для всех достаточно больших п € Лт знаменатели С^гп ^(г) аппроксимаций

Паде - Чебышева типа (п, А—1) мероморфной функции а(г) и ее рациональной части г(г) допускают (А — 8 — 1 )-нормировку и

Нт [б^г1^) - дЦ-?-1^)] = О, П е К.

Таким образом, знаменатели аппроксимаций для мероморфной функции и се рациональной пасти имеют одинаковое асимптотическое поведение.

Геометрия множества предельных точек полюсов аппроксимаций для мероморфной функции а(г) изучается в §3.6. Наконец, в §3.7, мы, опираясь на работу С.П. Суетина6, находим области равномерной сходимости последовательности -Дп.А-ъ

Теорема 9. Пусть т - произвольная точка группы Р и АТ - соответствующая ей последовательность номеров. Пусть КТ - любой компакт, лежащий в эллипсе Д\-1 и не содержащий нулей многочлена IV(г, т). Если йпд-\{г) -аппроксимация Паде - Чебышева типа (п,Х — 1) для а(г), то

— а{г)\\с{кТ) = 0, п € Лт.

Обозначим через Ц? открытое множество, которое получено го 0\ \ удалением полюсов функции а(г) и той части множества которая лежит в этом эллипсе.

Теорема 10. Последовательность ¡(г) линейных аппроксимаций Паде -Чебышева сходится равномерно к а(£) внутри иГ.

Таким образом, как и для классических аппроксимаций Паде, единственным препятствием для равномерной сходимости внутри области Од-1 линейных аппроксимаций Паде - Чебышева типа (п, Л — 1) является наличие в этой области предельных точек множества полюсов аппроксимаций Паде - Чебышева.

6Сустин, С.П. О сходимости рациональных аппроксимаций полиномиальных разложений в областях мероморфности заданной функции Ц Мат. сб.- 1978.- Т.105, №3 - С.413-430.

Работы автора по теме диссертации

1. Адуков В.М., Ибряева O.JI. О структуре ядра теплиц-плюс-ганкелевых матриц// Вестник Южно-Уральского государственного университета. Сер. Математика, физика, химия.- 2001.- Вып.1, №7 - С.3-12.

2. Ибряева О.Л. Достаточное условие единственности линейной аппроксимации Паде - Чебышева // Известия Челябинского научного центра - 2002-Вып.4- С. 1-5.

3. Адуков В.М., Ибряева О.Л. О единственности и устойчивости решения задачи линейной аппроксимации Паде - Чебышева // Тезисы докладов всероссийской конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач», Екатеринбург, 2-6 февр. 2004.- Екатеринбург, 2004.- С.6-7.

4. Адуков В.М., Ибряева О.Л. Обобщенное обращение теплиц-плюс-ган-келевых матриц // Известия Челябинского научного центра- 2004.- Вып.4-G.6-10.

5. Adukov V.M., Ibryaeva O.L. Generalized inversion of Toeplitz-plus-Hankel matrices // http://arxiv.org/abs/math/0503037 - 2005.

6. Адуков B.M., Ибряева О.Л. Об единственности и устойчивости решения задачи линейной аппроксимации Паде - Чебышева // Вестник ЮжноУральского государственного университета. Сер. Математика, физика, химия.

- 2005.- Вып.5, №2.- С.10-19.

7. Адуков В.М., Ибряева О.Л. Асимптотическое поведение знаменателей аппроксимаций Паде - Чебышева для последней промежуточной строки. Рациональный случай // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Сер. Математика, физика, химия. - 2005 - Вып.6, №6.- С.11-18.

8. Ибряева О.Л. Аппроксимации Паде - Чебышева // Тезисы докладов Уфимской международной математической конференции «Теория функций, дифференциальные уравнения, вычислительная математика», Уфа, 1-5 июня 2007.- Уфа, 2007.- С.7.

9. Ибряева О.Л. Об асимптотическом поведении аппроксимаций Паде -Чебышева мероморфной функции // Известия Челябинского научного центра.

- 2007.- Вып.4- С.8-13.

10. Ibryaeva O.L. Uniform convergence of Pade - Chebyshev approximations of a ineromorphic function // East J. on Approx - 2008 - Vol.14, №1,- P.103-129.

11. Адуков B.M., Ибряева О.Л. О вычислении аппроксимаций Паде и Паде

- Чебышева в системе Maple // Тезисы докладов международной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения», Смоленск, 19-21 мая 2008 - Смоленск, 2008.- С.17-19.

Ибряева Ольга Леонидовна

ТЕПЛИЦ-ПЛЮС-ГАНКЕЛЕВЫ МАТРИЦЫ И РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ АППРОКСИМАЦИЙ ПАДЕ - ЧЕБЫШЕВА

01.01.01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 14.10.2008. Формат 60 х 90/16. Бумага офсетная. Гарнитура «Тайме». Усл.печ.л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ №375. Цена свободная.

Отпечатано в типографии Уральского государственного университета физической культуры. 454091, г. Челябинск, ул. Российская, 258.

ВВЕДЕНИЕ

1 СТРУКТУРА ЯДРА И ОБРАЩЕНИЕ (Г + #)-МАТРИЦ

1.1. Блочные (Т + .£Г)-матрицы и структура их ядра.

1.2. Критерий существенности.

1.3. Обращение (Т + Я)-матриц.

1.4. Обобщенное обращение (Т 4- Я)-матриц.

1.5. Устойчивость индексов скалярной (Т + ^-последовательности

2 ПРИМЕНЕНИЕ (Т + #)-МАТРИЦ К ФОРМАЛЬНОЙ ТЕОРИИ АППРОКСИМАЦИЙ ПАДЕ - ЧЕБЫШЕВА

2.1. Связь линейных аппроксимаций Паде - Чебышева с задачей нахождения ядра (Г + Н)-матрицы.

2.2. Представление знаменателя и числителя линейной аппроксимации Паде - Чебышева.

2.3. Достаточное условие единственности аппроксимации Паде -Чебышева и критерий единственности ее знаменателя.

2.4. Единственность знаменателя аппроксимации Паде - Чебышева типа (п, Л — 1) для правильной рациональной дроби r{z)

2.5. Достаточное условие корректности задачи нахождения линейной аппроксимации Паде - Чебышева.

3 РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ АППРОКСИМАЦИЙ ПАДЕ - ЧЕБЫШЕВА

3.1. Уравнения Безу и их минимальные решения.

3.2. Явное представление знаменателей аппроксимации Паде - Чебышева типа (п, Л — 1) для r(z).

3.3. Асимптотическое поведение знаменателей аппроксимации Паде - Чебышева типа (п, Л — 1) для r(z)

3.4. Единственность знаменателя аппроксимации Паде - Чебышева типа (п, Л — 1) для мероморфной функции a(z)

3.5. Асимптотическое поведение знаменателей аппроксимации Паде - Чебышева типа (п, Л — 1) для a(z).

3.6. Геометрия множества предельных точек.

3.7. Области равномерной сходимости аппроксимаций Паде - Чебышева типа (п, А — 1) для a(z) .•.

Основной целью диссертационной работы является изучение равномерной сходимости некоторой строчной последовательности линейных аппроксимаций Паде - Чебышева, являющихся одним из обобщений классических аппроксимаций Паде. Хорошо известно, что аппроксимации Паде — это локально наилучшие рациональные аппроксимации заданного степенного ряда оо a(z) = anzn. Они легко находятся по коэффициентам ряда ап и дают возтг—О можность эффективного аналитического продолжения степенного ряда за пределы круга сходимости.

В последнее время появилось множество работ по обобщенным аппроксимациям Паде [18, 22, 23, 26, 31, 32, 33, 42, 44]. Речь идет о так называемых аппроксимациях Паде ортогональных разложений, которые строятся для функций, заданных разложением в ряд по ортогональным многочленам оо a(z) = X} anMz) и позволяют, в частности, приближенно представить a(z) п=о за пределами канонической области сходимости ее ряда.

Исследователи отмечают улучшение сходимости [32] и аппроксимацион-ных свойств [33] при использовании такого вида аппроксимаций. В зависимости от конкретного вида многочленов (pn(z) - многочлены Чебышева, Jle-жандра - мы получаем аппроксимации Паде - Чебышева, Паде - Лежандра и т.д.

Сразу отметим, что всюду в этой работе мы используем многочлены Чебышева первого рода. Эти многочлены на отрезке [—1,1] определяются формулой Тп{х) = cos{n arccosrr) и старший коэффициент Тп(х) равен 2n1. Среди всех многочленов степени п с единичным старшим коэффициентом многочлены Тп(х) наименее уклоняются от нуля на [—1,1]. Как отмечает К.О. Гедцес [33], ввиду важных экстремальных свойств многочленов Чебышева, можно ожидать лучших результатов именно от аппроксимаций Паде - Чебышева.

Поскольку далее в диссертации нам постоянно придется иметь дело с разложениями функций в ряд по многочленам Чебышева, укажем условия такой разложимости. Любая функция a(z), аналитическая внутри некоторого эллипса с фокусами в —1, 1, разлагается в ряд по многочленам Чебышева, абсолютно и равномерно сходящийся внутри области, ограниченной этим эллипсом, причем разложение единственно (см., например, [19]).

В теории аппроксимаций Паде ортогональных разложений принято уточнять, о каких аппроксимация - линейных или нелинейных - идет речь. В случае классических аппроксимаций Паде необходимости в таком разделении не возникает. Так, аппроксимацией Паде типа (п, т) называют рациональную

Ю (Z) функцию Fnim(z) = degpn,mO) < п, degqn,m(z) < т, такую, что a(z)-Fn,m(z) = 0(zn+m+1). Умножая это уравнение на знаменатель qn,m{z), мы получаем дП>т(*)Ф) -Pn,m(z) = 0(zn+m+1).

Аппроксимацию Паде, определяемую первым из этих двух уравнений следовало бы назвать нелинейной, а определяемую вторым — линейной. Однако ясно, что они совпадают, если ?гг,т(0) 0. Если же qn}Tn(0) = 0, то при переходе от второго уравнения к первому может понизиться порядок аппроксимации, т.е. рациональная функция Fn,m(z) может не аппроксимировать функцию a(z) до порядка n + га включительно. В этом случае иногда принято считать, что аппроксимации Паде (нелинейной) не существует [10].

Отметим, что, несмотря на неединственность знаменателя, сама аппроксимация Паде находится единственным образом. Допуская некоторую вольность речи, в дальнейшем будем говорить, что знаменатель единственнен, если он находится с точностью до постоянного множителя.

Если теперь потребовать совпадения начальных отрезков разложения функций a(z) и Fn)Tn(z) в ряд не по степеням zk, а по ортогональным многочленам 4>k(z), то мы придем к естественному обобщению аппроксимаций Паде на случай ортогональных разложений. Полученная при этом аппроксимация будет называться нелинейной. Если же совпадут начальные отрезки ортогональных разложений функций qn,m(z)a(z) и pn,m(z) Д° члена cpn+m(z) включительно, мы получим линейную аппроксимацию.

В случае ортогональных многочленов линейные и нелинейные аппроксимации являются различными рациональными конструкциями (см., например, [25]) и их нужно рассматривать отдельно. Заметим, что линейная аппроксимация Паде ортогонального разложения всегда существует, но, вообще говоря, не единственна, нелинейная же аппроксимация может не существовать. Что касается ее единственности, то об этом будет сказано чуть ниже.

Причина такого несовпадения кроется в специфическом правиле умножения для ортогональных многочленов, которое, например, для многочленов Чебышева имеет вид: Ti(z)Tj(z) = ^ можно сказать, что именно это правило оказалось во многом определяющим построенную теорию линейных аппроксимаций Паде - Чебышева. Оно, в частности, обуславливает важную связь задачи определения линейной аппроксимации Паде - Чебышева и задачи нахождения ядра теплиц-плюс-ганкелевой матрицы (см., например, [10] или параграф 2.1 настоящей диссертации). Далее для краткости будем использовать для таких матриц обозначение Т -f Н.

Таким образом, наряду с линейными аппроксимациями Паде - Чебышева, в этой работе естественным образом появляется еще один объект исследования — это (Т + #)-матрицы. Как будет показано ниже, многие вопросы формальной теории линейных аппроксимаций Паде - Чебышева (единственность знаменателя, самой аппроксимации, устойчивость этой задачи) успешно решаются только после предварительного изучения структуры ядра (Т + 77)-матриц. Обращение таких матриц также имеет прямое отношение к этой теории.

Начнем поэтому обзор литературы с основных сведений и результатов в теории теплиц-плюс-ганкелевых матриц.

1. Теплиц-плюс-ганкелевы матрицы. Теплицевы матрицы, по определению, это матрицы, в которых на диагоналях, параллельных главной (и на главной в том числе), располагаются равные элементы. В ганкелевых матрицах равные элементы располагаются параллельно побочной диагонали.

Главную в этой работе роль будут играть матрицы следующего вида: которые и называют теплиц-плюс-ганкелевыми матрицами. Практически все

S = Т+ Н = работы, в которых рассматриваются такие матрицы, посвящены задаче их обращения. Дело в том, что использование специфической структуры теплиц-плюс-ганкелевых матриц позволяет сильно упростить их обращение. Так, например, для нахождения обратной к скалярной (Т 4- #)-матрице достаточно решить лишь четыре системы линейных уравнений [34].

Одной из первых работ по обращению (Т + #)-матриц была статья [43], где использовалось сведение этой задачи к обращению блочной матрицы, составленной из теплицевых блоков (так называемой мозаичной матрицы). Недостатком этого подхода являлось то, что для обращения (Г + ^-матрицы требовалась дополнительно обратимость (Т — #)-матрицы. Это же условие использовалось в работе Нерсесяна, Папояна [20] и в монографии [36].

В дальнейшем (см., например, [37]) от этого условия удалось избавиться. Кроме того, Гохбергом и Шаломом [34] была получена обратная к тсплиц-плюс-ганкелевой матрице в блочном случае, т.е. когда элементы матрицы в свою очередь тоже являются матрицами.

Таким образом, задача обращения (блочных) (Т + #)-матриц исследована достаточно полно. Однако для нужд формальной теории аппроксимаций Паде - Чебышева большее значение имеет неизученная задача описания структуры ядра таких матриц. Кроме того, случай теплицевых матриц показывает, что эти две задачи тесно связаны между собой (см., например, [7]). По этой причине прежде всего в диссертации необходимо разработать метод, позволяющий одновременно исследовать структуру ядра блочных (Т + Я)-матриц, решить задачу их обращения и обобщенного обращения.

Отметим, что структура ядра блочных теплиц-плюс-ганкелевых матриц была исследована в 2002 году Г. Хайнигом [39]. Однако эта работа появилась позже наших результатов в этой области [1].)

Решение первой поставленной в диссертации задачи будет применяться в дальнейшем для построения формальной теории линейных аппроксимаций Паде - Чебышева. Рассмотрим основные результаты, имеющиеся в этой области.

2. Формальная теория аппроксимаций Паде ортогональных разложений. К такой теории мы относим работы, которые изучают вопросы существования, единственности, устойчивости, построения этих аппроксимаций, но не исследует вопросы их сходимости.

Понятие аппроксимаций Паде ортогональных разложений впервые появилось в работе Д. Холдемана [40], в которой предложен рекуррентный алгоритм их отыскания. Числитель и знаменатель аппроксимации предполагались разложенными по различным системам ортогональных многочленов.

Д. Флейшер [32] рассмотрел нелинейные аппроксимации Паде - Лежанд-ра (в более ранней работе и линейные). Автор отметил увеличение скорости сходимости при использовании аппроксимаций Паде - Лежандра и очень хорошее приближение к заданной функции на всем отрезке ортогональности [—1,1] многочленов Лежандра.

Линейные аппроксимации Паде - Чебышева изучались А.П. Голубом в [11]. В этой статье разработан подход к применению обобщенных момент-ных представлений к построению и исследованию линейных аппроксимаций Паде - Чебышева. Автор изучил некоторые свойства линейных аппроксимаций Паде - Чебышева для частного класса функций, являющихся аналогом класса марковских функций.

Остановимся подробнее на статье К.О. Геддеса [33], в которой наиболее полно были исследованы нелинейные аппроксимации Паде - Чебышева. В ней показано, что задача нахождения этих аппроксимаций может быть при некоторых условиях сведена к задаче нахождения классической аппроксимации Паде. Этот результат, помимо того, что дает возможность найти нелинейные аппроксимации Паде - Чебышева, важен еще и с точки зрения вопроса единственности. Действительно, поскольку нелинейная аппроксимация Паде - Чебышева может быть сведена к Паде аппроксимации, она естественно будет единственна. (В связи с этим отметим результаты А. Сиди [44], который доказал единственность нелинейной аппроксимации Паде ортогональных разложений при некоторых ограничениях на ее знаменатель - предполагается, что он является вещественной функцией, не меняющей знак на [—1,1], т.е. не имеющей нулей на этом отрезке.)

Работа К.О. Геддеса основана на следующем факте, который часто будет использоваться в диссертации. Рассмотрим преобразование Жуковского г — | (w + и обратное к нему w = z + л/ z1 — 1 (берется, например, ветвь, для которой ги(оо) = 0, т.е. |ги| < 1). Тогда для многочленов Чебышева справедливо представление (см., [19, 21]):

Это дало возможность представить аппроксимируемую функцию a{z) = оо

Y^'akTk(z) в виде: к=о

1 00 1 00 / 1 00 / аН = 2 a\k\wk = 2 afc™* + 2 ttfcUr* = + к=-оо к=0 /с=0

Далее для функции у?(ги) автор нашел аппроксимацию Паде rnim(w), а затем рассмотрел функцию Rn,m(w) = rnjm(w) +rn)Tn(w~l).

Как показано в [33], эта функция (после обратного преобразования w = z + z2 — 1) будет нелинейной аппроксимацией Паде - Чебышева для a(z) при условии отсутствия полюсов в единичном круге у соответствующей аппроксимации Паде rn^rn(w).

Отметим также, что именно этот алгоритм К.О. Геддеса реализован в пакете Maple (команда \chebpade для вычисления нелинейной аппроксимации Паде - Чебышева). Возможности вычисления линейных аппроксимаций Паде - Чебышева Maple не предоставляет.

В области формальной теории линейных аппроксимаций Паде — Чебышева не были выяснены причины их неединственности. Не решен также вопрос, почему, в отличие от случая классических аппроксимаций Паде, где неединственность знаменателя не приводит к неединственности самой аппроксимации, в случае линейных аппроксимаций Паде — Чебышева не наблюдается похожей ситуации. Кроме того, нахождение знаменателя аппроксимации приводит к неустойчивой задаче решения системы линейных уравнений, но вопрос корректности рассматриваемой задачи не был рассмотрен. Изучение этих вопросов и является второй задачей диссертации.

Решение этой задачи необходимо для достижения основной цели диссертации - исследования равномерной сходимости аппроксимаций Паде -Чебышева. Рассмотрим основные результаты в теории сходимости.

3. Равномерная сходимость аппроксимаций Паде ортогональных разложений. В диссертационной работе предполагается построить полную теорию равномерной сходимости некоторой строчной последовательности линейных аппроксимаций Паде - Чебышева типа (n,m). Поясним,что подразумевается под строчной последовательностью.

Набор классических аппроксимаций Паде принято записывать в виде таблицы Паде, располагая в ее т-й строке и п-м столбце аппроксимацию Паде типа (п, т). Для линейных аппроксимаций Паде - Чебышева было бы ие совсем корректно говорить о таблице Паде - Чебышева, поскольку такая аппроксимация находится, вообще говоря, неединствснным образом и в одной ячейке таблицы оказалось бы несколько рациональных дробей. Однако если зафиксировать т и считать п —» оо, то соответствующий набор линейных аппроксимаций Паде - Чебышева типа (п, т) для некоторых номеров т будет определяться единственным образом и может рассматриваться как строка с номером т.

Основы теории сходимости аппроксимаций Паде ортогональных разложений были заложены С.П. Суетиным в [22]—[26]. В частности, им был полностью решен вопрос сходимости по емкости любой строчной последовательности аппроксимаций Паде ортогональных разложений. Что касается равномерной сходимости, то С.П. Суетиным был получен первый серьезный результат в этой области - аналог классической теоремы Монтессу де Болора для линейных и нелинейных аппроксимаций Паде ортогональных разложений [22, 23]. Позже аналог теоремы Монтессу был доказан и Д.С. Любинским и А. Сиди в [42], но при более сильных ограничениях. Отметим, что некоторые вопросы сходимости диагональных аппроксимаций Паде ортогональных разложений изучены в работах [14], [24], [35].

Таким образом, на сегодняшний день единственным результатом в теории равномерной сходимости строчных последовательностей линейных аппроксимаций Паде - Чебышева является результат С.П. Суетина, полученный им в более общей ситуации аппроксимаций Паде ортогональных разложений (как линейных, так и нелинейных) [22, 23]. Номер т в работе С.П. Суетина равен числу Л полюсов аппроксимируемой мероморфной функции a(z) в некотором эллипсе с фокусами в —1,1.

Приведем наиболее существенные для нас результаты С.П. Суетина. Для любого Л через D\ обозначим максимальную каноническую область, в которую a(z) продолжается как мероморфная функция, число полюсов которой < Л. Пусть Rn,\{z) - линейная и Fn}\(z) - нелинейная аппроксимации Паде ортогональных разложений для функции a(z).

Теорема 0.1. Если функция a(z) имеет в области D\ ровно А полюсов, то

Rn,\{z) a(z), n оо, равномерно в сферической метрике внутри D\.

Теорема 0.2. Если функция a(z) имеет в области D\ ровно А полюсов, то при любом достаточно большом п существует аппроксимация Fn,\(z) типа (п, Л) для функции a(z) и

Fn,\(z) a(z), п оо, равномерно в сферической метрике внутри D\.

Заметим, что в сформулированных теоремах можно говорить и о равномерной сходимости по обычной метрике в С, но в этом случае из множества D\ необходимо выбросить полюсы аппроксимируемой функции.

Приведенные теоремы являются аналогами теоремы Монтессу де Боло-ра, которая применяется к функции a(z) мероморфной в круге D\ и имеющей внутри него А полюсов. В таком случае теорема Моитессу утверждает, что строка аппроксимаций Паде с номером А сходится равномерно на компактах в круге D\ с выброшенными полюсами функции a(z).

Таким образом, в случае как классических аппроксимаций Паде, так и аппроксимаций Паде ортогональных разложений, для строки с номером А наблюдается «идеальная» ситуация. Полюсы аппроксимаций стремятся к полюсам функции a(z), причем каждый полюс a(z) «притягивает» столько полюсов аппроксимаций, какова его кратность. Предельными точками множества полюсов аппроксимаций Паде являются полюсы a(z) и «лишних» предельных точек не появляется.

Ситуация усложняется при переходе к другим строкам уже даже в случае классических аппроксимаций Паде. Оказывается, что предельные точки полюсов аппроксимаций Паде могут не совпадать с множеством полюсов аппроксимируемой функции. Ясно, что для построения полной теории равномерной сходимости необходимо описать это множество «лишних» предельных точек.

Для строки с номером Л — 1 эта задача была успешно решена В.М. Аду-ковым [28, 29]. Как оказалось, асимптотическое поведение полюсов классических аппроксимаций Паде для данной строки полностью определяется рациональной частью (т.е. суммой главных частей лорановских разложений в окрестностях полюсов) аппроксимируемой мероморфной функции a(z). Для рациональной же функции автору удалось явно вычислить предельные точки полюсов аппроксимаций.

Как будет показано в настоящей работе линейные аппроксимации Паде

- Чебышева типа (п, Л — 1) для мероморфной функции также определяются единственным образом. В связи с этим естественно поставить вопрос о равномерной сходимости последовательности аппроксимаций в строке с номером га = А — 1.

Итак, основной задачей диссертации является построение полной теории равномерной сходимости строчной последовательности линейных аппроксимаций Паде - Чебышева типа (n, Л — 1) мероморфной функции. Это означает, что необходимо явно в терминах аппроксимируемой функции найти все сходящиеся подпоследовательности аппроксимаций данной строки, найти все предельные точки полюсов этих аппроксимаций и явно указать множества равномерной сходимости всей строки.

Как будет показано в диссертации, для линейных аппроксимаций Паде

- Чебышева справедливы аналоги результатов В.М. Адукова. Будет установлено, что и в этом случае картина сходимости полностью определяется рациональной частью аппроксимируемой функции. Удивительно, что для таких разных вообще-то конструкций, как аппроксимация Паде и линейная аппроксимация Паде - Чебышева, геометрия множества предельных точек оказалась абсолютно одинаковой.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации решены основные задачи теории блочных (Т + //^-матриц с использованием нового в этой области метода существенных многочленов. Разработанный аппарат успешно применен к решению вопросов формальной теории линейных аппроксимаций Паде - Чебышева. Построена полная теория равномерной сходимости строчной последовательности аппроксимаций типа (п, X — 1) для мероморфной функции, имеющей А полюсов в некотором эллипсе.

Получены следующие результаты.

• Описана структура ядра блочных теплиц-плюс-ганкелевых матриц, решена задача обращения и обобщенного обращения блочных (Т + Н)-матриц.

• Получена параметризация числителя и знаменателя линейной аппроксимации Паде - Чебышева. Найден критерий единственности знаменателя и получено достаточное условие единственности самой аппроксимации Паде - Чебышева. С помощью данного критерия доказана единственность знаменателя аппроксимации Паде - Чебышева типа (n, А —1) для мероморфной функции. Решен вопрос корректности рассматриваемой задачи.

• Получена явная формула для знаменателей аппроксимаций Паде - Чебышева тина (n, А — 1) и найдены предельные точки полюсов аппроксимаций для рациональной функции. Показано, что асимптотическое поведение знаменателей аппроксимаций для мероморфной функции будет таким же, как и поведение знаменателей аппроксимаций для рациональной части этой функции. Построена полная теория равномерной сходимости строчной последовательности линейных аппроксимаций Паде - Чебышева типа (n, А — 1) мероморфной функции. Описаны области равномерной сходимости этой последовательности.

1. Адуков, В.М. О структуре ядра теплиц-плюс-ганкелевых матриц / В.М. Адуков, O.JI. Ибряева // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Сер. Математика, физика, химия 2001.- Вып.1, W1-С.3-12.

2. Адуков, В.М. Обобщенное обращение теплиц-плюс-ганкелевых матриц / В.М. Адуков, O.JI. Ибряева // Известия Челябинского научного центра 2004 - Вып.4,- С.6-10.

3. Адуков, В.М. Задача аппроксимации Паде как краевая задача Римана / В.М. Адуков // Весцг НАН Беларусг. Сер. Фгзгка-матэм. навук.- 2004.-№4.- С.55-61.

4. Адуков, В.М. Об единственности и устойчивости решения задачи линейной аппроксимации Паде Чебышева / В.М. Адуков, О.Л. Ибряева // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Сер. Математика, физика, химия.- 2005.- Вып.5, №2.- С.10-19.

5. Адуков, В.М. Факторизация Винера-Хопфа и аппроксимации Паде матриц-функций. Диссертация на соискание степени д.ф.-м.н. / В.М. Адуков Челябинск, 2006.-314 с.

6. Адуков, В.М. О вычислении аппроксимаций Паде и Паде Чебышева в системе Maple / В.М. Адуков, О.Л. Ибряева // Тезисы докладов международной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения», Смоленск, 19-21 мая 2008 - Смоленск, 2008.- С.??-??.

7. Березин, И.С. Методы вычислений, Т.1 / И.С. Березин, Н.П. Жидков.-М.: Физматгиз, 1962 464 с.

8. Бейкер, Дж., мл. Аппроксимации Паде / Дж. Бейкер, мл., П. Грейвс-Моррис,- М.: Мир, 1986.- 502 с.

9. Голуб, А.П. Обобщенные моментные представления и аппроксимации Паде-Чебышева / А.П. Голуб// Укр. мат. журн- 1990 Т.42, №6.-С.762-766.

10. Гохберг, И.Ц. Введение в теорию одномерных сингулярных операторов / И.Ц. Гохберг, Н.Я. Крупник Кишинев: Штиинца, 1973. - 427 с.

11. Гончар, А.А. О сходимости обобщенных аппроксимаций Паде мероморф-ных функций / А.А. Гончар // Мат. сб. 1975. - Т. 98, №4.- С. 564 -577.

12. Гончар, А.А. О сходимости аппроксимаций Паде ортогональных разложений / А.А. Гончар, Е.А. Рахманов, С.П. Суетин // Тр. МИАН- 1991— Т.200.- С. 136-146.

13. Ибряева, O.JI. Достаточное условие единственности линейной аппроксимации Паде Чебышева / О.Л. Ибряева // Известия Челябинского научного центра.- 2002.- Вып.4.- С.1-5.

14. Ибряева, O.J1. Аппроксимации Паде Чебышева / О.Л. Ибряева // Тезисы докладов Уфимской международной математической конференции «Теория функций, дифференциальные уравнения, вычислительная математика», Уфа, 1-5 июня 2007.- Уфа, 2007.- С.7.

15. Ибряева, O.JI. Об асимптотическом поведении аппроксимаций Паде Чебышева мероморфной функции / О.Л. Ибряева // Известия Челябинского научного центра.- 2007.- Вып.4.- С.8-13.

16. Книжнерман, JI.A. Выделение полюсов потенциальных полей с помощью разложения в ряды Фурье Чебышева / Л.А. Книжнерман // Изв. АН СССР, сер. «Физика Земли»- 1984.- №11.- С. 119-123.

17. Маркушевич, А.И. Теория аналитических функций, Т.2 / А.И. Марку-шевич.- М.: Наука, 1968.- 623 с.

18. Нерсесян, А.В. Построение матрицы, обратной сумме матриц Теплица и Ганкеля / А.Б. Нерсесян, А.А. Папоян // Изв. АН Арм. ССР, Математика1983.- Т.18, №2 С.441-463.

19. Суетин, П.К. Классические ортогональные многочлены / П.К. Суетин.-М.: Физматлит, 2005 480 с.

20. Суетин, С.П. О сходимости рациональных аппроксимаций полиномиальных разложений в областях мероморфности заданной функции / С.П. Суетин // Мат. сб- 1978 Т. 105, №3.- С.413-430.

21. Суетин, С.П. О теореме Монтессу де Болора для рациональных аппроксимаций ортогональных разложений / С.П. Суетин // Мат. сб.- 1981.-Т.114, №3.- С.451-464.

22. Суетин, С.П. Об асимптотике знаменателей диагональных аппроксимаций Паде ортогональных разложений / С.П. Суетин // Докл. РАН-1997.- Т.356, №6.- С.744-746.

23. Суетин, С.П. Некоторые вопросы сходимости аппроксимаций Паде и аналитического продолжения функций. Диссертация на соискание ученой степени д.ф.-м.н. / С.П. Суетин Москва.: Математический Институт им. В.А. Стеклова- 2001 - 129 с.

24. Суетин, С.П. Аппроксимации Паде и эффективное аналитическое продолжение степенного ряда / С.П. Суетин // Успехи мат. наук 2002.-Т.57, вып.1- С.45-142.

25. Adukov, V.M. Generalized inversion of block Toeplitz matrices / V.M. Adukov // Linear Algebra Appl- 1998.- Vol.274.- P.85-124.

26. Adukov, V.M. The uniform convergence of subsequences of the last intermediate row of the Pade table / V.M. Adukov // J. Approx. Theory.-2003.- Vol.122, №2.- P.160-207.

27. Adukov, V.M. On the set of uniform convergence for the last intermediate row of the Pade table /V.M. Adukov // East J. on Approx.- 2005 Vol.11, т.- P.375-380.

28. Adukov, V.M. Generalized inversion of Toeplitz-plus-Hankel matrices / V.M. Adukov, O.L. Ibryaeva I j http://arxiv.org/abs/math/0503037.- 2005.

29. Asvadurov, S. Application of the difference gaussian rules to solution of hyperbolic problems / S. Asvadurov, V. Druskin, L. Knizhnerman // J. Сотр. Phys- 2002,- Vol.173, Ш.- P. 24-49.

30. Fleischer, J. Nonlinear Pade Approximation for Legendre series / J. Fleischer 11 J. Math. Phys- 1973.- Vol.14, №2.- P. 246-248.

31. Geddes, K.O. Block Structure in the Chebyshev Pade Table / K.O. Geddes // J. Numer. Anal.- 1981.- Vol.18, №5.- P. 844-861.

32. Gohberg, I. On inversion of square matrices partitioned into non-square blocks / I. Gohberg, T. Shalom // Integral Equations and Operator Theory .- 1989.-Vol.12 P.539-566.

33. Gonchar, A. A. On the rate of convergence of Pade approximants of orthogonal expansions / A.A. Gonchar, E.A. Rakhmanov, S.P. Suetin // Progress in Approximation Theory: ed. A.A. Gonchar et al.- New York: Spinger-Verlag, 1992.- P. 169-190.

34. Heinig, G. Algebraic Methods for Toeplitz-like Matrices and Operators / G. Heinig, K. Rost.- Berlin: Academia-Verlag, 1984 212 p.

35. Heinig, G. On the inverses of Toeplitz-plus-Hankel matrices / G. Heinig, K. Rost // Linear Algebra Appl- 1988.- Vol.106.- P.39-52.

36. Heinig, G. Toeplitz-plus-Hankel matrix inverses / G. Heinig, K. Rost // Linear Algebra Appl- 1989.- Vol.113 P.65-78.

37. Heinig, G. Kernel structure of Toeplitz-plus-Hankel Matrices / G. Heinig // Linear Algebra Appl.- 2002,- Vol.340.- P. 1-13.

38. Holdeman, J.T. A method for the approximation of functions defined by formal series expansions in orthogonal polynomials / J.T. Holdeman // J. Math. Comput.- 1969.- Vol.23, №106.- P. 275-287.

39. Ibryaeva, O.L. Uniform convergence of Pade Chebyshev approximations of a meromorphic function / O.L. Ibryaeva // East J. on Approx.- 2008.-Vol.14, т.- P.103-129.

40. Lubinsky, D.S. Convergence of linear and nonlinear pade approximant from series of orthogonal polynomials / D.S. Lubinsky, A. Sidi // Transaction of the american mathematical society- 1983.- Vol.278, JVel.- P. 333-345.

41. Merchant, G.A. Efficient solution of a Toeplitz-plus-Hankel coefficient system of equations / G.A. Merchant, T.W. Parks // IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Processing.- 1982.- Vol.30.- P.40-44.

42. Sidi, A. Uniqueness of Pade approximants from series of orthogonal polinomials / A. Sidi j j J. Math. Comput.- 1977.- Vol.31, №139.- P. 738-739.