Рекуррентные соотношения и рациональные аппроксимации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Буслаев Виктор Иванович

Рекуррентные соотношения и рациональные аппроксимации

01 01 01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2007

003066552

Работа выполнена в Математическом институте им В А Стеклова РАН

Официальные оппоненты

член-корреспондент РАН, профессор Кашин Борис Сергеевич, доктор физико-математических наук, профессор Аптекарев Александр Иванович,

доктор физико-математических наук, профессор Калягин Валерий Александрович

Ведущая организация Институт вычислительной математики РАН

Защита состоится " Р£/Зи)р$?_2007 года в часов

на заседании диссертационного совета, Д 002 022 001 при Математическом институте им В А Стеклова РАН по адресу 117966, Москва, ул Губкина, 8

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Математического института им В А Стеклова РАН

Автореферат разослан

II

/Я

2007 года

Ученый секретарь диссертационного совета Д 002 022 001, доктор физико-математических наук, профессор

В А Ватутин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Понятие непрерывной дроби, возникшее как результат использования алгоритма Евклида, было известно еще в древности, но не потеряло своей актуальности и в наше время Разложения в непрерывные дроби, содержащие вместо числовых элементов функции комплексного переменного, впервые появились в работах Эйлера Многочисленные приложения нашли введенные Гауссом разложения в непрерывную дробь отношений гипергеометрических функций Исследования по теории непрерывных дробей таких крупных математиков, как Лагранж, Пуанкаре, Риман, Стилтьес, Фробениус, Чебышев, Эрмит, Якоби, оказали далеко идущее влияние на дальнейшее развитие математики В рамках теории непрерывных дробей Стилтьесом был введен интеграл Стилтьеса и решена проблема моментов, общие ортогональные многочлены впервые были открыты Чебышевым как знаменатели подходящих дробей чебышевской непрерывной дроби, разложения в непрерывные дроби, применяемые Стилтьесом и Пуанкаре в связи с расходящимися рядами, привели к появлению асимптотических разложений

С 60-х годов прошлого века наблюдается новый рост интереса к непрерывным дробям и обобщающим их конструкциям рациональных аппроксимаций аналитических функций Эти конструкции впервые появились в конце 19-го века в работах Фробениуса и Паде и получили общее название аппроксимаций Паде Аппроксимации Паде являются удобным вычислительным инструментом при обработке данных, определяющих аналитическую функцию Качественно новый уровень вычислительных средств, достигнутый к 60-м годам прошлого века, и востребованность аппроксимаций Паде в прикладных исследованиях объясняют бурное развитие теории рациональных аппроксимаций аналитических функций

- степенной ряд, пят- целые неотрицательные числа По определению рациональная функция \njm\f = Рп,т/Яп,т называется аппроксимацией Паде типа (п,т) степенного ряда (1), если degPn|m < п, с^<5п,т < тп, <Э„,т ф 0 и имеет место равенство

Нетрудно показать, что аппроксимация [n/m}f существует при всех целых неотрицательных п и т и единственна как рациональная функция Кроме того, непосредственно из определения следует, что коэффициенты

Пусть

оо

(1)

Ргг,ш)(г) = Агп+т+1 +

многочлена Qn,m(z) = Чо,п,т + + Ят,п,т2т, являющегося знаменателем аппроксимации [n/m]f, удовлетворяют линейной системе равенств

""t~ * ~Ь Qm,rL,mfn+l—m = О

(2)

^ Q0,n,7nfn+m. Qm,n,mfn О

И наоборот, если коэффициенты не тождественно равного нулю многочлена Q„,m удовлетворяют системе равенств (2), то [n/m]f — Pn,m/Qn,m, где P„im - п-я частичная сумма степенного ряда Qn,mf Таким образом аппроксимация Паде [n/m]f определяется непосредственно по первым п + т + 1 коэффициентам /о, , fп+т степенного ряда (1), и основной вычислительный момент в ее нахождении - это решение линейной системы равенств (2)

Востребованность аппроксимаций Паде к практическим нуждам дала импульс дальнейшему развитию теории конструктивных рациональных аппроксимаций Среди многочисленных работ, внесших существенный вклад в развитие теории за последние 50 лет, отметим работы А Аптека-рева, В Буярова, А Гончара, В Дзядыка, В Калягина, Е Никишина, В Прохорова, Е Рахманова, В Русака, В Сорокина, А Старовойтова, С Суетина, Г Вейкера, Б Беккермана, К Брезински, В Ван Аше, Р Варги, X Воделанда, П Грейвс-Морриса, П Дейфта, У Джоунса, А Куэларса, Г Jloneca, JI Лорентсен, Д Любински, А Мартинеса, Д Наттола, Э Саффа, В Тотика, В Трона, Г Шталя

Одной из типичных ситуаций, возникающих в прикладных исследованиях, является следующая Требуется описать поведение и особенности аналитической функции, имея в своем распоряжении значения коэффициентов ряда Тейлора или Фурье (или значения функции в узлах интерполяции и т п ) Полиномиальные аппроксимации, а также рациональные аппроксимации с заранее фиксированными полюсами не всегда пригодны для решения этой задачи, так как область их сходимости обычно ограничивается "первой" особой точкой функции Более приспособленными к решению поставленной задачи являются рациональные аппроксимации со свободными полюсами Свобода полюсов аппроксимаций позволяет им локализовать не только ближайшие особенности приближаемой функции, но и последующие особенности Проиллюстрируем этот факт следующей теоремой Суетина Пусть функция / голоморфна в некоторой окрестности точки z = 0 Обозначим через Rm(f) радиус га-го круга мероморфности функции /, т е радиус максимального открытого круга с центром в точке г = 0, в который функция мероморфно продолжается и имеет не более т полюсов

Теорема (Суетин1). Пусть коэффициенты степенного ряда (1) таковы, что при фиксированном m G N и всех достаточно больших п G N рациональные функции [n,m}f имеют ровно m конечных полюсов Л„д, , ^п,т, стремящихся к пределам lim^oo Anj = \3 ф 0 (j = 1, , m) Тогда

1° Степенной ряд (1) определяет функцию f, голоморфную в круге \z\ < rnni<j<m |Л_,|

2° Rm-lif) = maxi<,<m |Aj|

3° Все точки Ai, , Ат являются особыми точками функции f, причем те из них, которые лежат строго внутри круга \z\ < Rm-i(f) являются полюсами и других полюсов функция f в этом круге не имеет

Из равенств (2) при m = 1 следует, что полюс аппроксимации Па-де [п/1]у равен fn/fn+1 Это означает, что при m = 1 теорема Суетина совпадает с одной из самых глубоких теорем в теории степенных рядов - классической теоремой Фабри2 "об отношении" Теорема Суетина дает положительный ответ на ранее высказанную гипотезу Гончара о возможности распространения теоремы Фабри на случай строк таблицы аппроксимаций Паде В диссертации дается положительный ответ на эту же гипотезу Гончара для наиболее естественных обобщений конструкции классических аппроксимаций Паде, а именно для многоточечных аппроксимаций Паде, аппроксимаций Паде ортогональных разложений и аппроксимаций Паде-Фабера Доказательство гипотезы Гончара для этих обобщений аппроксимаций Паде дается на основе нетривиального усиления теоремы Пуанкаре о рекуррентных соотношениях с предельно постоянными коэффициентами

В теории аппроксимаций Паде центральную роль играют вопросы сходимости, и в частности, равномерной сходимости диагональных аппроксимаций Паде Для широкого класса аналитических функций, в частности, для марковских функций, определяемых как преобразование Коши некоторой борелевской меры, носителем которой является отрезок, равномерная сходимость диагональных аппроксимаций Паде имеет место во всей области голоморфности функции (т е вне носителя меры)3

1 Суетин С П Об одной обратной задаче для т-й строки таблицы Паде// Матем сб , 1984, т 124 (166), 238-250

2Fabry Е Sur les points singuliers d'une fonction donnée par son développement de Taylor j I Ann ее norm sup Pans 1896, t 13, №3, 367-399

3Марков A A , Избранные труды по теории непрерывных дробей и теории функций, наименее уклоняющихся от нуля 1948 M Гостехиздат Два доказательства сходимости некоторых непрерывных дробей, 106-119

Это неверно для произвольных аналитических функций В частности, Г Валлин4 указал пример целой функции, диагональные аппроксимации Паде которой не сходятся ни при каком z ф 0 Однако и в этом примере Валлина, и в многих других ранее известных примерах из последовательности диагональных аппроксимаций Паде можно выбрать подпоследовательность, равномерно сходящуюся к / на компактах, лежащих в круге ее голоморфности Это позволило Бейкеру, Гаммелю и Уиллсу высказать в 1961 году следующую гипотезу

Гипотеза (Бейкер—Гаммель—Уилле5). Пусть функция / голоморфна в некоторой окрестности точки z = 0 и мероморфна в круге D = {\z\ < 1} Тогда найдется бесконечная подпоследовательность А = Л(/) натуральных чисел такая, что \njn\f —> f при п —оо; п € Л, равномерно на компактах, лежащих в D и не содержащих полюсов f

Некоторые недостаточно четкие высказывания, близкие к гипотезе Бейкера-Гаммеля-Уиллса, можно найти уже в работах самого Паде, опубликованных им в начале 20 столетия Впоследствии гипотеза Бейкера-Гаммеля-Уиллса приобрела широкую известность под названием Па-де-гипотезы (Pade conjecture)

С 1961 по 2001 годы Паде-гипотезу не удавалось ни доказать, ни опровергнуть Результаты положительного характера были получены за этот период времени только лишь для некоторых специальных классов функций В 2001 году Д Любински на докладе на Международной конференции анонсировал (обоснование опубликовано Д Любински6 в 2003 году) отрицательный ответ на Паде-гипотезу, предъявив в качестве опровергающего примера мероморфную функцию Hq(z), определяемую непрерывной дробью Роджерса-Рамануджана

каком q) голоморфный (в определенном смысле самый интересный) вариант Паде-гипотезы В диссертации приводится и обосновывается пример (анонсированный автором в 2001 году в [11] и опубликованный в

4Wallm Н The convergence of Pade approximants and the size of the power series coefficients// Appl Anal 4, 1974, 235-251

5Baker G A , Gammel J L Wills J G An investigation of the applicability of the Pade approximant method J Math Anal Appl, 1961, 2, 405-418

6Lubmsky D S Rogers-Ramanujan and the Baker-Gammel-Wills (Pade) conjecture// Ann of Math , 157, 2003, 847-889

Однако функция Hq не опровергает (ни при

2002 году в [6]), одновременно опровергающий как голоморфный вариант Паде-гипотезы, так и гипотезу Шталя (вариант Паде-гипотезы, в котором наряду с мероморфностью на функцию накладывается дополнительное условие гиперэллиптичности) Найденный контрпример задается гиперэллиптической функцией

, . -27 + 6z2 + 3(9 + Qz3 + ^81(3 - (3 + Qz3)2 + 4ze f{Z) 2z(9 + 9z + (9 + Qz2) '

где С = л/l = 1 + гл/Щ/2, и выбрана та ветвь функции, для которой /(0) = 0 Указанная функция обладает тем свойством, что в круге ее голоморфности имеются три точки Zi, Z2 = Czh z3 = C2z2 такие, что [Зп + з/Зп + 3]f(Zj) = f(zj) ф f(z3) (n = 0,1, ,j = l, 2, 3), где / -другая ветвь гиперэллиптической функции /

Ранее, в 1983 году автором был указан контрпример к гипотезе Бей-кера-Грейвс-Морриса (аналог Паде-гипотезы для строк таблицы Паде)

Контрпример Любински основывается на весьма любопытных свойствах сходимости непрерывной дроби Роджерса-Рамануджана После работы Любински остались открытыми некоторые интересные вопросы, связанные с множеством сходимости этой классической непрерывной дроби В диссертации показывается, что при всех q = ехр(27ггт), г - иррационально, функция Hq мероморфна в круге \z\ < 1, окружность \z\ = 1 является ее естественной границей мероморфности, непрерывная дробь Роджерса-Рамануджана сходится к функции Hq равномерно на компактах, принадлежащих множеству {¡z| < 1} \ f2g, где Clq - объединение окружностей с центрами в точке z = 0, проходящих через полюсы функции Hq, при этом множество ftq в высказанном утверждении не может быть заменено никаким меньшим замкнутым подмножеством При q = ехр(27ггт), т - рационально, непрерывная дробь Роджерса-Рамануджана достаточно легко исследуется как периодическая непрерывная дробь

Цель работы Целью работы является

О доказательство гипотезы Гончара о возможности распространения теоремы Фабри на случай т-й строки таблицы обобщенных аппроксимаций Паде,

•О нахождение контрпримеров к голоморфному варианту Паде-гипотезы и к гипотезе Шталя,

О нахождение при всех q = ехр (2тггт), т - иррационально, области сходимости непрерывной дроби Роджерса-Рамануджана,

О получение некоторых новых критериев сходимости числовых непрерывных дробей, распространение теоремы Ван Флека на случай непрерывных Т-дробей с предельно периодическими коэффициентами, доказательство двухточечного аналога теоремы Пойя

Основные методы исследования В основе проведенного в диссертации исследования лежит теорема Пуанкаре о рекуррентных соотношениях с коэффициентами, имеющими предел, и полученные в диссертации ее усиления

Научная новизна Все приведенные в диссертации результаты являются новыми Основные полученные результаты таковы

1) теорема Фабри распространена на случай строк таблицы обобщенных аппроксимаций Паде,

2) построен контрпример к голоморфному варианту Паде-гипотезы, который одновременно является и контрпримером к гипотезе Шталя,

3) при всех q = ехр (2тггт), т - иррационально, найдена область сходимости непрерывной дроби Роджерса-Рамануджана,

4) доказаны некоторые новые критерии сходимости числовых непрерывных дробей, доказан двухточечный аналог теоремы Пойя, доказан аналог теоремы Ван Флека для непрерывных Т-дробей с предельно периодическими коэффициентами

Практическая и теоретическая ценность Работа носит теоретический характер Ее методы и результаты могут найти применение в научно-исследовательской работе специалистов по теории непрерывных дробей и аппроксимаций Паде Математического института им В А Сте-клова РАН, Московского государственного университета им М В Ломоносова, Института прикладной математики им М В Келдыша РАН, Института вычислительной математики РАН Результаты диссертации уже используются другими авторами в их исследованиях Результаты диссертации могут быть использованы при чтении спецкурсов для студентов и аспирантов университетов

Апробация работы Результаты работы докладывались и обсуждались в Математическом институте им В А Стеклова РАН на семинаре Отдела комплексного анализа под руководством академика А А Гончара, члена-корреспондента РАН Е М Чирки и д ф -м н А И Аптекарева, в Московском государственном университета им М В Ломоносова на семинаре кафедры теории функций под руководством академика П Л Ульянова и члена-корреспондента РАН Б С Кашина, в Киевском институте математики HAH Украины на семинаре Отдела теории функций под ру-

ководством члена-корреспондента НАН Украины А И Степанца, на семинаре прикладной математики факультета математики в университете Южной Каролины под руководством профессора Р А ДеВора, на семинаре факультета математики в университете Южной Флориды под руководством профессора Э Б Саффа, на семинаре факультета математики в университете Карлос III в Мадриде под руководством профессора Г Jloneca, а также на следующих международных конференциях

О Международная конференция "Harmonie analysis and approximation, II", Армения, 2001 г

О Украинский математический конгресс, Киев, 2001 г <0> Международная конференция "Колмогоров и современная математика", Москва, 2003 г

•О Международная конференция "Sixth International Workshop on Orthogonal Polmomials Orthogonal Polinomials m Mathematical Physics", Испания, Мадрид, 2004 г

<0> Международная конференция " Functional Methods m Approximation Theory, Operator Theory, Stochastic Analysis and Statistics II", Украина, Киев, 2004 г

О Международная конференция "Геометрический анализ и его приложения", Волгоград, 2004 г

Международная конференция "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ", посвященная столетию академика Сергея Михайловича Никольского, Москва, 2005 г

О Международная конференция "Fejer-Riesz conférence", Венгрия,

2005 г

О Международная конференция "Analysis and Related Topics", Украина, Львов, 2005 г

О Международная конференция "Entire and subharmonic fonctions and related topics", посвященная 100-летию со дня рождения Б Я Левина, Украина, Харьков, 2006 г

ф Международная конференция "Recent Trends m Constructive Approximation Theory", Satellite Conférence of ICM06, Испания, Мадрид,

2006 г

Частично полученные в диссертации результаты вошли в прочитанный автором спецкурс "Введение в аналитическую теорию непрерывных дробей"для студентов Научно образовательного центра при Математическом институте им В А Стеклова РАН

Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1]—[8], список которых приведен в конце автореферата

Объем и структура диссертации Диссертация изложена на 194 страницах и состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы, содержащего 71 наименование

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении рассказывается об истории вопроса, приводится обзор классических и современных результатов по теме диссертации, дается краткое изложение работы

В первой главе обсуждается теорема Пуанкаре о рекуррентных соотношениях, приводятся обобщающие ее утверждения, доказываются теоремы 1 и 2, являющиеся усилениями теоремы Пуанкаре в двух различных направлениях Основные результаты первой главы опубликованы в работах автора [2], [3]

К рекуррентным соотношениям

связывающим между собой элементы последовательности {/п}^=о> приводят многие задачи анализа и теории чисел В частности, индукцией по п легко проверяется, что последовательности числителей {рп}^| и знаменателей числовой непрерывной дроби

связаны между собой соотношениями

Рп = ЬпРп-1 + апРп-2 , Чп = Мп-1 + ОпЧп-2 , П = 1,2, , (7)

и удовлетворяют следующим начальным условиям р_ 1 = 1, ро = а0 и 1-1 = 0, = 1

Нетрудно проверить, что всякая последовательность, удовлетворяющая рекуррентному соотношению

с постоянными коэффициентами может быть записана в следующем явном виде

/п + <*1,п/п-1 + +ак,п1п-к = о, п = к,к + 1,

(5)

/га + 0!1/п-1 + + (Хк1п-к = 0 , П>Щ

т

где Ai, , Xm - корни многочлена h(z) = zk+aizk~l+ + а.ъ кратностей ¿i, ,lm соответственно, Ii + + lm = к (Многочлен h(z) называется характеристическим многочленом)

Из явного вида (8) последовательности следует, что если кор-

ни характеристического многочлена h{z) различны по модулю, то существует предел lim^oo fn+i/fn, и этот предел равен одному из корней характеристического многочлена Оказывается, что это утверждение имеет место не только для рекуррентных соотношений с постоянными коэффициентами, но и для рекуррентных соотношений с предельно постоянными коэффициентами, когда найти явный вид последовательности не представляется возможным Соответствующее утверждение составляет содержание теоремы Пуанкаре - одной из самых тонких в теории рекуррентных соотношений

Теорема (Пуанкаре7). Пусть последовательность {/nJ^Lo удовлетворяет рекуррентному соотношению (5) с предельно постоянными коэффициентами, корни характеристического многочлена

h(z) = hm (zk + ai.n-z*-1 + + ak,n) (9)

ra—»00 4 '

которого различны по модулю Тогда либо fn = 0 при всех п > щ, либо существует предел Ьп^^ос fn+i/fn> и этот предел равен одному из корней характеристического многочлена

Простые примеры показывают, что условия теоремы Пуанкаре нельзя ослабить, не нарушив утверждающей части теоремы, а утверждающую часть нельзя усилить, не потребовав дополнительных предположений В диссертации будет исследован ряд задач, при решении которых весьма полезным оказывается то или иное усиление теоремы Пуанкаре

Весьма важное уточнение теоремы Пуанкаре было сделано Перроном для невырожденных рекуррентных соотношений Напомним, что рекуррентное соотношение (5) называется невырожденным, если аь,п Ф 0 при всех п = к, к + 1, Невырожденность соотношений (5) означает возможность их решения в "другую сторону", то есть возможность однозначного определения значения /„ при известных значениях fn+i, , fn+k

Теорема (Перрон8). Пусть корни характеристического многочлена невырожденного рекуррентного соотношения (5) с предельно посто-

7Рошсаге H Sur les equations lineaires aux différentielles et aux differences finies// Amer J Math , 1885, v 7, 203-258

8Perron О , Uber einen Satz des Herrn Porneare// J Reme Angew Math , 1909, v 136, 17-37 // Uber die Pomcaresche lineare Differenrengleichung// J Reme Angew Math , 1910, v 137,6-64

янными коэффициентами различны по модулю Тогда для всякого корня А характеристического многочлена найдется последовательность {/„}^=0; удовлетворяющая рекуррентным соотношениям (5) такая, что

—>оо /га+1/ /и — А

Заметим, что соотношения (5) можно переписать в виде соотношений

[/ОН (г)]п = 0, п = к,к + 1, (10)

где [ ]„ - п-й коэффициент ряда Тейлора (или Лорана), стоящего в квадратных скобках, /(г) = Х^о/™2™' = 12р=оар,™гР Заметим также, что условие существования предела ¡ип^оо/п+х//п эквивалентно тому, что для коэффициентов /„ последовательности {/п}^=о выполняются соотношения

/» + 0п/п-1 = 0 , п = 1, 2,

первого порядка с предельно постоянным коэффициентом (Зп В связи с этими замечаниями частный случай гп = 1 следующей теоремы можно считать усилением теоремы Пуанкаре, в котором, во-первых, многочлены ап(г) в соотношениях (10) заменяются рядами Лорана и, во-вторых, в предположениях отсутствуют условия различности по модулю корней функции = Ьшп-,« 01п(г) Перед формулировкой теоремы введем

следующее обозначение Если j(z) = Х^-оо ~ РЯД Лорана такой, что 11тп_00|/п|1/п < и /*(-г) = ~~ ег0 правильная часть, то

ПОЛОЖИМ Дте(/) = Дт(/*)

Теорема 1. Пусть т € М, 5 > 0 и пусть /(г) = Х^-оо/"-2™ ~ Ря& Лорана такой, что имеют место неравенства

о < До(/) < Дп_1(/) < 00 , Е5^оо|/-»|1/П < До(/)

и равенства

Шап(г)^(г)]п = 0 , 7=0, , т - 1, (11)

где <р(г) - функция, голоморфная и однолистная в некоторой окрестности кольца

Тб,М = е с е"%(/) < И < е'Д,^/)} ,

скп(^) (ть — 1,2, ^ - функции, голоморфные в окрестности и

имеющие равномерный 8 (У) предел 11Ш.П^.СЮ

«„(л) = а(гг) ф 0 Тогда 1° Функция сх(г) имеет в кольце То1ТО(/) не менее т нулей

2° Нули Ai, , Ak (к > m) функции a(z) в кольце ToiTn(f) можно перенумеровать таким образом, что |А,| = R3-i{f) при j = 1, , то и Ai, , Ат - особые точки функции f*(z) = Z«-2™

3° Если нули \т, , A i, (т < I < к) функции a(z) лежат на окружности {\z\ = Rm-i(f)}, а нули A;+i, , Ak не лежат на этой окружности, то элементы последовательности удовлетворяют системе т соотношений 1-го порядка

fn+l + ßl,njn + + ßl,nfn+l-l — О,

п = 1,1 + 1, , (12)

„ fn+m + ßl,nfn+m-\ + + ßl,nfn+m-l = О ,

с предельно постоянными коэффициентами такими, что lim,,-»^! + ßi,nz + + ßi,nzl) = n'=i(l - -г/А,)

4° Если l — m, то при любых целочисленных р\, ,pm,qi, ,Ят существуют пределы

n™ det(fn+l+J)ij=Q¡ (det(Ai-).^x, J

Обратим внимание на то, что равенства (11) не являются рекуррентными соотношениями даже при гтг = 1 Полагая в теореме 1 т = 1 и = 1 + «i¡nz + + аПгПгп получим прямой аналог теоремы Пуанкаре для рекуррентных соотношений неограниченного порядка, причем без предположений о различности по модулю корней функции a (z) = lmv^oo an(z) Очевидно, что если предположения теоремы 1 дополнить предположениями о различности по модулю корней функции a(z), то число I в утверждении 3° всегда будет равно т В этом случае сравнение системы соотношений (12) с системой (2) показывает, что полюсы т-й строки таблицы аппроксимаций Паде функции f*(z) имеют пределы, равные Ai, , Am Нетрудно видеть, что этот же факт является простым следствием равенств (13) Обратное утверждение, а именно, что из наличия пределов полюсов т-й строки следуют равенства (13) при произвольных целочисленных pi, ,Pm,h> Лт достаточно сложно доказывается и составляет содержание утверждения 4° В чуть более сильном виде это утверждение сформулировано в диссертации как следствие 1 теоремы 1 Отметим также, что теорема Суетина включается в теорему 1 как частный случай, в котором tp(z) = z~x, an(z) = H^L^l — z/\J¡n)

Как следствие теоремы 1 во второй главе диссертации будет доказана гипотеза Гончара о возможности распространения теоремы Фабри на случай т-Й строки таблицы обобщенных аппроксимаций Паде

В следующей теореме 2 дается развитие теорем Пуанкаре и Перрона в другом направлении

Теорема 2. Пусть невырожденная линейная система рекуррентных соотношений 2-го порядка

= 7„Ü£_1 + <5„W£_i

такова, что при всех п = 1,2, имеют место неравенства

|<*п| + 1Д.1 + |7„| < q\6n\

где q < 1 Тогда

1° Существует единственное (с точностью до постоянного множителя) нетривиальное решение {vn}%Lo = {(^h, ^п)}^ системы (14) такое, что > при всех п = 0,1, При этом если linv^ 7п/5п = 0, то lim^oc vilv\ = 0

2° Для всякого решения = {(м^, и^)}^, отличного от ис-

ключительного решения {Vn}^=o> найдется индекс по такой, что при всех п>щ выполняются неравенства

\u2n\>\ui\ U

При этом если lim„_^00ßn/5„ = 0, то lim^oo = 0

Приведенную теорему можно рассматривать как уточнение двухмерного векторного варианта теорем Пуанкаре и Перрона9, так как общий случай двухмерной теоремы Пуанкаре-Перрона линейной заменой сводится к случаю, когда существуют пределы

lim ап — а , lim ßn = lim 7„ = 0 , lim 5п = S и |а| <

n—+ OO 71—> OO П—»OO 72—»OO

Применительно к рекуррентным соотношениям (7) второго порядка, играющим важную роль в теории непрерывных дробей, как следствия теоремы 2 отметим следующие утверждения

Следствие 1 Пусть ап 0 при всех п = 1,2, и корни А

п,1 'а Ап 2

многочленов z2 — i^z — ап таковы, что lim^oo Ап1 = Л и кт^^А,^! < |А| Тогда для всякого решения {fn}^L-1 разностного уравнения (7) за исключением единственного (с точностью до постоянного множителя)

9Фрейман ГА О теоремах Пуанкаре и Перрона Усп маг наук, 1957, т 12 в 3, 241-246

решения {/гп}^=-1 существует предел limre_»oo fn+i/fn — А При этом ¡mn-^oo\hn+i/hn ~ А| > 0 и lim„

—»oo //n = 0

Следствие 2 Пусть ап ф О при всех п = 1, 2, w корни Апд Ап 2 многочленов z2 — bnz — ап таковы, что lim^oo А„д = А и lim^oJAn^l > |А| Тогда существует единственное (с точностью до постоянного множителя) решение {/in}55=-i разностного уравнения (7) такое, что существует предел lim^oo hn+\/hn = А При этом для всякого другого решения {/n}^L_i имеет место неравенство lim,wool/«+i//ra — А| > 0 и равенство lim^oo у — О

В третьей главе главе диссертации как следствие теоремы 2 будут получены утверждения о сходимости непрерывных дробей и композиций дробно-линейных преобразований с предельно периодическими коэффициентами

Во второй главе диссертации доказывается гипотеза Гончара для т-й строки таблицы обобщенных аппроксимаций Паде функции, голоморфной в некоторой окрестности континуума Е со связным дополнением Одними из наиболее естественных обобщений классической конструкции Паде являются многоточечные аппроксимации Паде, аппроксимации Паде ортогональных разложений и аппроксимации Паде-Фабе-ра Для каждого из перечисленных трех типов обобщений при соответствующих предположениях условие существования предела полюсов аппроксимаций удается записать в виде равенств (11) для коэффициентов Лорана функции / = _F(V>_1), где ф - функция, голоморфно и однолистно отображающая дополнение к Е на внешность единичного круга, ф(оо) = оо Таким образом гипотезу Гончара удается свести к теореме 1 Приведем формулировку полученного результата (аналога теоремы Суетина) для многоточечных аппроксимаций Паде

Многоточечной аппроксимацией Паде типа (п,т) функции F, построенной по таблице {zk n} С Е (k = 1, , п, п = 1, 2, ) узлов интерполяции, называется рациональная функция Pn,m/Qn,m такая, что выполняются условия deg Рщт < п, deg Qn,m < rn-, Qn,m ^ 0 и функция Qn,mF - Pn,m обращается в ноль в узлах zljn+m+1, , z„+m+i,n+m+i таблицы интерполяции

Хорошо известно10, что существуют таблицы узлов интерполяции такие, что

lim \Ljn(z)\1/n = c\iP(z)\,zeG = C\E, (15)

п—>оо

где wn{z) = Y\^=1{z — Zk,n), с - некоторая положительная постоянная (емкость континуума Е) Если таблица узлов интерполяции удовлетворяет

:0Лебедев Н А , Смирнов В И , Конструктивная теория функций, М Наука, 1964

условию (15) и если функция F голоморфна в некоторой окрестности континуума Е, то последовательность многочленов Рп, интерполирующих функцию F в узлах zj.,n+1 таблицы, сходится к F равномерно на Е

Известно также, что существуют таблицы узлов интерполяции, для которых выполняется более сильное, по сравнению с (15), условие

lim z&G = C\E (16)

Если Е = {|z| < 1}, то в качестве примера многочленов ип, удовлетворяющих условию (16), можно привести многочлены un(z) = zn — 1, п = 1,2, Если wn(z) = zn, то многоточечные аппроксимации Паде совпадают с классическими Если Е = [—1,1], то условию (16) удовлетворяют любые классические ортогональные многочлены и, более того, ортогональные многочлены, построенные по мере а, удовлетворяющей условию Сеге ^ dx > — оо

Пусть Г - контур, охватывающий Е и лежащий в области голоморфности функции F(z) А Гончар показал (в устной форме), что для таблиц интерполяции, удовлетворяющих условию (16), имеет место следующий аналог формулы Коши-Адамара

Pz\F) = с lim

L

J^Ldz

U„+l(z)

1/п

(17)

где ро(^) ~~ максимальное из чисел р > 1 таких, что функция Р(г) допускает голоморфное продолжение в каноническую область Бр = Е\_){[ф(г)\ <Р}

В диссертации доказывается гипотеза Гончара для многоточечных аппроксимаций Паде

Теорема 3. Пусть Р - функция, голоморфная в окрестности ограниченного континуума Е со связным дополнением, и пусть полюсы т-й строки таблицы многоточечных аппроксимаций Паде функции Р, построенных по удовлетворяющим условию (16) многочленам шп (с нулями на Е), стремятся к пределам т\, ,тт Тогда 1° = ,т

2° рт-1(Р) = тах^кт где рт-\{Р) - максимальное из чисел

р > 1 таких, что функция Р(г) допускает голоморфное продолжение в каноническую область Ир и имеет там не более т — 1 полюсов

3° Все точки Гх, ,гт являются особыми точками функции Р1, причем те из них, которые лежат строго внутри области

являются полюсами и других полюсов функция Р в этой области не имеет

Отметим, что условие (16), накладываемое на таблицу узлов интерполяции, существенно Теорема 3 и, более того, формула (17), становятся неверными, если условие (16) заменить более слабым условием (15) Соответствующий пример приводится в диссертации Теоремы 3 2 и 3 3 второй главы диссертации представляют собой гипотезу Гончара для аппроксимаций Паде ортогональных разложений и аппроксимаций Паде-Фабера Основные результаты второй главы опубликованы в работах [2],

И

В третьей главе диссертации получены некоторые утверждения о сходимости числовых непрерывных дробей, доказан двухточечный аналог теоремы Пойя об оценке сверху ганкелевых определителей меро-морфной функции посредством трансфинитного диаметра множества ее особенностей, доказан аналог теоремы Ван Флека для непрерывных Т-дробей с предельно периодическими коэффициентами, при всех q = ехр (2тт), г - иррационально, найдена область сходимости непрерывной дроби Роджерса-Рамануджана, указан контрпример к голоморфному варианту Паде-гипотезы, который одновременно является и контрпримером к гипотезе Шталя

В первом параграфе третьей главы теорема 2 переформулируется в виде теоремы о сходимости композиций дробно-линейных преобразований и приводятся некоторые ее следствия

Во втором параграфе доказываются некоторые утверждения о сходимости числовой непрерывной дроби (6) Среди этих утверждений отметим следующее

Пусть непрерывная дробь (6) такова, что

йт \Ъп — 1| + 2 Ьт |ап + Ъп- 1|1/2 < 1

П—»ОО 71—» ОО

Тогда непрерывная дробь (6) сходится

Основные результаты первого и второго параграфов опубликованы в работе автора [3]

Третий параграф главы 3 посвящен теореме, распространяющей теорему Ван Флека на случай Т-дробей с предельно периодическими коэффициентами Как известно, непрерывной дроби

Й12

а0 +--(18)

(называемой правильной С-дробью) можно поставить в соответствие степенной ряд такой, что последовательность подходящих дробей непрерывной дроби (18) - это диагональ и наддиагональ таблицы Паде степенного ряда

Одной из самых красивых теорем в аналитической теории непрерывных дробей является теорема Ван Флека о сходимости правильной С-дроби (18) с предельно постоянными коэффициентами

Теорема (Ван Флек11). Пусть коэффициенты правильной С-дроби (18) имеют предел 1ш1п_>00ап = а ф 0 Тогда С-дробь (18) сходится к мероморфной функции равномерно на компактах, лежащих в С \ Г, геС г=-г

функции

где Г = {z G С z = —t > 1}, и не содержащих полюсов предельной

А Гончар дополнил (в устном виде) теорему Ван Флека следующим важным замечанием, показывающим, что предельная функция не может иметь мероморфного продолжения ни через какой интервал разреза Г

Дополнение Гончара к теореме Ван Флека В предположениях теоремы Ван Флека функция, к которой сходится непрерывная дробь (18), не может быть мероморфной функцией ни в какой области вида (С \ Г) и-|> - -го| < £}, где еТ, е > О

Известно, что непрерывной Т-дроби

ао +--(19)

т. а2г

1 + м + --;-

1 + Ь2г +

можно поставить в соответствие два степенных ряда с центрами в точках 2 = 0 и г = оо таких, что последовательность подходящих дробей непрерывной дроби (19) - это диагональ таблицы двухточечных аппроксимаций Паде этих рядов (половина соотношений интерполяции в точке г = Ои половина - в точке г = оо) Для Т-дробей с предельно периодическими коэффициентами в диссертации доказывается следующий аналог теоремы Ван Флека и дополнения Гончара к ней

Теорема 4. Пусть т € N и пусть коэффициенты Т-дроби (19) имеют периодические пределы Ьш^оо апт+1 = а1 ф 0, \\т.п^00Ъпт+1 = Ь1, 1 = 1, ,т Тогда Т-дробь (19) сходится к мероморфной функции /(г) равномерно на компактах, лежащих в (С \ Г) \ Е и не содержащих

nVan Vleck E V On the convergence of algebraic continued fractions whose coefficients have limiting values, Trans Amer Math Soc 5, 1904, v 5, 253-262

полюсов функции /(г), где

г=|гес ^((г^,)*

ТгС - след матрицы С, А - отрезок [0,4(—1)™га1 ат\, Е - конечное множество, содержащее не более т(т — 1) точек (не более [т(т— 1)/2] точек, если Ь1 = = Ьт = 0) При этом функция /(г) мероморфно продолжается в С \ Г и не может быть продолжена как однозначная мероморфная функция ни в какую область вида (С \ Г) и — г0\ < где г0 6 Г, е > О

Доказательство сходимости Т-дроби (19) с предельно периодическими коэффициентами и нахождение множества Г и Е, на котором нет сходимости, осуществляется единым образом для непрерывных дробей любого вида с предельно периодическими голоморфными по г коэффициентами А доказательство утверждения, аналогичного дополнению Гончара к теореме Ван Флека, для случая Г-дробей потребовало использования двухточечного аналога известной теоремы Пойя12 об оценке сверху ган-келевых определителей голоморфной функции посредством трансфинитного диаметра множества ее особенностей В третьем параграфе определен двухточечный аналог трансфинитного диаметра, сформулирован и доказан двухточечный аналог теоремы Пойя и с его помощью завершено доказательство теоремы 4

Теорема 5 (двухточечный аналог теоремы Пойя). Пусть Е - замкнутое множество комплексной плоскости, не содержащее точек О и оо, /(г) - функция, мероморфная в компонентах С \ Е, содержащих точки 0 и оо, и пусть f(z) = , = А^™ е

- разложения функции в ряд Лорана в окрестностях точек 0 и оо соответственно Тогда

lim^lН^2 <

где

Н„ =

(ап - ßn) (а0 - ßo)

(а0 - Ро) (а-п ~ /З-п)

¿(Е) и й{Е~г) - трансфинитные диаметры компактов Е и Е~г = {г £ С г~г 6 Е}, д(Е) = 0, если точки 0 и оо лежат в разных компонентах дополнения С \ Е, и д(Е) = 5(0, оо) в противном случае, где д(г, £) - функция Грина компоненты С \ Е, содержащей точки 0 и оо

12Polya G Uber gewisse notwendige Determmantkntenen für die Forsetzbarkeit einer Potenzreihe //Math Ann , v 99, 1928, 687-706

Основные результаты второго и третьего параграфов опубликованы в работах [4], [5]

Четвертый параграф посвящен нахождению множества сходимости непрерывной дроби (3) Роджерса-Рамануджана при q = ехр(27ггт), г - иррационально Случай |д| <1 был исследован независимо друг от друга Роджерсом и Рамануджаном13 А именно, они показали, что при |g| < 1 непрерывная С-дробь (3) сходится во всей комплексной плоскости к мероморфной функции

оо п2 п

Hg(z) = Gq(z)/Gg(qz), где Gg(z) = Е T^f

71=0

(q) о = 1, (q)n = (1 — q) (1 — qn), n € N, равномерно на компактах, не содержащих полюсов функции Нд

При |ç| = 1 радиус Rg = R(Gg) голоморфности функции Gg равен limn^00|(ç)„|1/'n и, как показали Харди и Литтлвуд14, совпадает с ~ Я"I1/"- Д Любински показал, что радиус голоморфности Rg может принимать любое наперед заданное значение 7 € [0,1] и при почти всех |g| = 1 принимает значение, равное 1 Более того, опираясь на указанные M Хиршхорном15 явные формулы для числителя Pn(z,q) и знаменателя Qn(z,q) п-й подходящей дроби непрерывной дроби (3), Д Любински доказал, что при q = ещ>{2тт), г - иррационально, равномерно внутри круга \z\ < Rq имеют место равенства

lim Pn(z,q)=Gg(z)Gg(ß^) , Qn(z, q) = Gg(qz)Gg(ß^), (20)

пбЛР

где А" - любая подпоследовательность натуральных чисел, для которой ЬтпбЛ/з qn = ß Отсюда следует, что непрерывная дробь Роджерса-Рамануджана сходится к функции Hq равномерно на компактах, принадлежащих множеству {\z\ < Rq} \ где Og - объединение окружностей с центром в точке г = 0, проходящих через полюсы функции Нд (или, что то же самое, через нули функции Gg) При этом множество С1д в теореме Любински нельзя заменить никаким меньшим замкнутым его подмножеством

13Adiga С , Berndt В С , Bhargava S , Watson G N , Chapter 16 of Ramanujan's Second Notebook Theta Functions and g-Series// Mem Amer Math Soc , 53, 1985

14Hardy G H , Littlewood J E Notes on the theory of series XXIV A curious power-series// Math Proc Cambridge Philos Soc , v 42, 1946, 85-90

15Hirschhorn M ,D Partitions and Ramanujan's continued fraction// Duke Math J , 1972, v 39, 789-791

После работы Д Любински остался открытым им же и указанный вопрос о возможности мероморфного продолжения функции Нд за пределы круга \z\ < Rg при тех q, при которых Rq < 1 Если Rq = 1, то такое продолжение невозможно по теореме Пойя Если Rq < 1/4, то такое мероморфное продолжение гарантируется критерием Ворпицкого16 по крайней мере в круг \z\ < 1/4 Используя вместо критерия Ворпицкого фундаментальные неравенства17, Д Любински показал, что функция Hq имеет мероморфное продолжение в круг \z\ < 2+|i+g| Вопрос о меро-морфном продолжении функции Нд в круг \z\ < 1 при всех q = ехр(27ггт), г - иррационально, оставался открытым (при q = ехр(2-7тгт), т - рационально, непрерывная дробь Роджерса-Рамануджана является периодической и легко исследуется, например, при помощи теоремы 4) Кроме того, в случае положительного ответа на вышепоставленный вопрос возникает следующий вопрос сходится ли непрерывная дробь Роджерса-Рамануджана к функции Нд равномерно на компактах, лежащих в {\z\ < 1} \ Ü,q В четвертом параграфе дается положительный ответ на оба эти вопроса При этом получено представление функции Нд в виде отношения двух голоморфных в круге \z\ < 1 функций Точнее, в диссертации доказана следующая теорема

Теорема 6. Пусть

Vg(z) = 1 + f; *"(-!)'v"^4 J^J^ (21)

^ Wn-iWn

Тогда

1° Радиус сходимости степенного ряда Vq равен нулю, если |д| ф 1, равен 1 при всех q ~ ехр(2тггт), где т - иррационально, и равен 4-1/7™ при q = exp(2irik/m), где целые числа кит, взаимно просты 2° Hg(z) = ад^М , ВД = Gg{z)Gq-,{z)

3° При всех q — ехр(27пт), т - иррационально, непрерывная дробь Роджерса-Рамануджана сходится к функции Hq равномерно на компактах, лежащих в области {|z| < l}\ilg, где Q.q - объединение окружностей с центром в точке z = 0, проходящих через полюсы функции

Hq

Отметим, что в отличие от функции Gq, не определенной при q — ехр(27гit), т - рационально, функция Vq при таких q определена, так как

16Worpitsky J , Untersuchungen über die Entwickelung der monodromen und monogenen Funktionen durch Kettenbruche В книге Friedrichs-Gymnasium rund Realschule Jahresbericht, Berlin, 1865, 3-39

17 Wall H S , Analytic theory of Continued Fractions Chelsea, New York, 1973, p 41-42

определено отношение (g)^2"("g)n (по непрерывности) Как и в теореме Лю-бински, множество сходимости, указанное в утверждении 3° теоремы б расширить нельзя На факте существования семейства окружностей flq, на котором нет сходимости непрерывной дроби Роджерса-Рамануджана (точнее, на равенствах (20)) основан контрпример Любински к Паде-гипотезе Доказательство теоремы б, составляющей основное содержание четвертого параграфа, опубликовано автором в [7]

Пятый параграф третьей главы посвящен обсуждению Паде-гипотезы и обоснованию контрпримера (4) к ней Как уже отмечалось, Паде-гипо-теза была высказана Бейкером, Гаммелем и Уиллсом в 1961 году, и до 2001 года эту гипотезу не удавалось ни доказать, ни опровергнуть

В 1981 году Бейкер и Грейвс-Моррис высказали гипотезу, аналогичную Паде-гипотезе, но не для диагонали, а для т-й строки таблицы Паде

Гипотеза (Бейкер — Грейвс-Моррис18). Пусть функция / голоморфна в круге D = {\z\ < R} Тогда для всякого m £ N найдется бесконечная подпоследовательность А = А(/, т) натуральных чисел такая, что [n/m]f —> / при п —> оо, п Е А, равномерно на компактах, лежащих в D

В ослабленном варианте гипотеза Бейкера—Грейвс-Морриса доказана А Гончаром и С Суетиным19 в 1983 году А именно они показали, что для всякого m € N существует постоянная ст, зависящая только от m и такая, что для всякой голоморфной в круге D функции / найдется подпоследовательность A С N, для которой [n/m]f —> / при п —> оо, п Е А, равномерно внутри круга \z\ < Cm В частности, если / - целая функция, то найдется подпоследовательность А такая, что \n/m\f —> / при п —> оо, п Е А, равномерно на любом компакте комплексной плоскости

В общем случае гипотеза Бейкера — Грейвс-Морриса была опровергнута автором в 1983 году при m = 2 на примере следующей простой функции f(z) = ; голоморфной в круге \z\ < 1 и такой, что каждая

из аппроксимаций Паде [n/2]f имеет полюс, лежащий в круге \z\ < -щ

В 1997 году Г Шталь высказал два новых варианта Паде-гипотезы В одном из этих вариантов на функцию / накладывается дополнительное условие ее алгебраичности, а во втором - еще более сильное условие ее гиперэллиптичности Напомним, что гиперэллиптической называется алгебраическая функция вида f(z) = n (z) +г2(.г) \Jh{z), где h - многочлен

18Вейкер Дж , Грейвс-Моррис П Аппроксимации Паде M Мир, 1986

19Буслаев В И , Гончар А А , Суетин СП , О сходимости подпоследовательностей т-й строки таблицы Паде// Матем сб , 1983, т 120, №4, с 540-545

четной степени, Г\, г2 - рациональные функции Приведем формулировку второй (с более сильным дополнительным условием и, следовательно, казавшейся более достоверной) гипотезы Шталя

Гипотеза (Шталь20). Пусть функция f гиперэллиптична и мероморф-на в единичном круге D = {\z\ < 1} Тогда найдется бесконечная подпоследовательность А = А (/) натуральных чисел такая, что [n/n] у —> / при п —> оо, п € А, равномерно на компактах, лежащих в D и не содержащих полюсов f

Заметим, что Г Шталь, высказывая свои гипотезы, имел серьезные аргументы в их поддержку Один из веских аргументов в пользу гипотез - это доказанная Г Шталем21 в 1986 году теорема о сходимости по (логарифмической) емкости диагональных аппроксимаций Паде алгебраических функций Еще более веский аргумент заключается в том, что вышеприведенная гипотеза была доказана Г Шталем22 в 1996 году в ситуации "общего положения" многочлена h и при некотором дополнительном условии на нули и полюсы рациональных функций г\ и г2

(Atti \ ——~-j= J , предъявленная Любински в качестве контрпримера к Паде-гипотезе, не является алгебраической, и следовательно, не опровергает ни одну из гипотез Шталя Более того, контрпример Любински основан на равенствах (20) Из этих равенств видно, что если точка z0 является полюсом функции Hq (т е нулем функции Gq, то полюсы подходящих дробей, совпадающих с диагональю и наддиагональю таблицы Паде, по подпоследовательности А" имеют своей предельной точкой кроме zq еще и точку ßzo Таким образом наличие по крайней мере двух полюсов является необходимым условием того, чтобы функция Hq являлась контрпримером к Паде-гипотезе Другими словами, функция Hq ни при каком q не может опровергнуть голоморфный (в определенном смысле самый интересный) вариант Паде-гипотезы

В пятом параграфе показывается, что гиперэллиптическая функция (4) голоморфна в круге \z\ < 1 и раскладывается в периодическую (с

20Stahl Н Conjectures around the Baker-Gammel-Wills conjecture// Constr Approx , 1997, v 13, 287-292

21Stahl H , Orthogonal polynomials with complex valued weight function I,II// Constr Approx , v 2, 1986, 225-240, 241-251

22Stahl H , Diagonal Pade approximants to hyperelliptic functions// Ann Fac Sei Toulouse Math 6, Special Issue, 1996, 121-193

периодом 3, так как = 1) непрерывную дробь

иг) = -!-----—--1------1-------I-

-1 V ; |3 - ЗС2г |3 - ЗС4^ |3 - 3(6г |3 - ЗС8г

последовательность подходящих дробей которой совпадает с диагональю таблицы Паде функции / Далее, при помощи утверждения, аналогичного теореме 4 из параграфа 3, показывается, что в круге голоморфности \г\ < 1 функции / имеются три точки — г3 = такие, что

[Зп+з/Ъп+з]^) =!(г]) ф /(^) (п = 0,1, ,3 = 1,2,3), где/-другая ветвь гиперэллиптической функции /

Отметим, что для обоснования контрпримера Любински необходимо вычислить полюсы функции Нд Это достаточно трудоемкая вычислительная задача была решена Д Любински при помощи пакета вычислительных программ МаЛета^са/МаЙаЬ А именно, его компьютерные

4т

,99 + л/5,

в круге \г\ < 0 46 ровно два полюса, различных и по модулю, и по аргументу В контрпримере же (4) вычисления не слишком трудоемки (они состоят в вычислении корней квадратных уравнений с комплексными коэффициентами) и могут быть проведены вручную без использования компьютера Результаты пятого параграфа третьей главы опубликованы в работе [6]

вычисления показывают, что функция Нд при д = ехр ( —--у= ) имеет

Работы автора по теме диссертации

Основные публикации

1 Буслаев В И , О полюсах т-й строки таблицы Паде, Матем сб , 1982, т 117, № 4, с 435-441

2 Буслаев В И , Соотношения для коэффициентов и особые точки функции, Матем сб , т 131 (173), № 3 (11), 1986, с 357-384

3 Буслаев В И , О теореме Пуанкаре и ее приложениях к вопросам сходимости цепных дробей, Матем сб , т 189, №12, 1998, с 13-28

4 Буслаев В И , О теореме Ван Флека для правильных С-дробей с предельно периодическими коэффициентами, Изв РАН Сер матем , 2001, т 65, 4, с 35-48

5 Буслаев В И , О сходимости непрерывных Т-дробей, Труды МИАН, 2001, т 235, с 36-51

6 Буслаев В И , О гипотезе Бейкера-Гаммеля-Уиллса в теории аппроксимаций Паде, Матем сб , т 193, №6, 2002, с 25-38

7 Буслаев В И , О сходимости непрерывной дроби Роджерса-Рама-нуджана, Математический сборник, 2003, т 194, №6, с 43-66

8 Буслаев В И , О теореме Фабри об отношении для ортогональных рядов, Труды МИАН, 2006, т 253, с 14-29

Публикации, примыкающие к основным

9 Буслаев В И , Гончар А А , Суетин С П , О сходимости подпоследовательностей т-й строки таблицы Паде, Матем сб , 1983, т 120, №4, с 540-545

10 Буслаев В И , Remarks оп Рогпсаге and Van Vleck theorems, Industrial Mathematics Institute, Preprmt Senes 1999 14, Department of Mathematics University of South Carolina

11 Буслаев В И , Simple counterexample to the Baker-Gammel-Witts conjecture, East J on Approx , v 7, N 4, 2001, p 515-517

12 Буслаев В И , Буслаева С Ф , О периодической непрерывной дроби Роджерса-Рамануджана, Математические заметки, 2003, т 74, вып 6, с 827-838

Введение

1 Рекуррентные соотношения, теорема Пуанкаре и ее уточнения

1.1 Теоремы Пуанкаре и Перрона для разностных уравнений с предельно постоянными коэффициентами.

1.2 Аналог теоремы Пуанкаре для систем соотношений неограниченного порядка.

1.2.1 Замечания к формулировке основной теоремы

1.2.2 Доказательство основной теоремы при т =

1.2.3 Доказательство основной теоремы при т >

1.2.4 Видоизмененный вариант основной теоремы

1.3 Уточнение двумерного векторного варианта теоремы Пуанкаре-Перрона

2 Гипотеза Гончара для строк обобщенных аппроксимаций Паде

2.1 Гипотеза Гончара для строк таблицы многоточечных аппроксимаций Паде.

2.2 Гипотеза Гончара для строк таблицы аппроксимаций Паде ортогональных разложений.

2.3 Гипотеза Гончара для строк таблицы аппроксимаций Паде-Фабера

2.4 Эквивалентность гипотез Гончара для различных типов обобщенных аппроксимаций Паде.

3 Сходимость непрерывных дробей

3.1 Сходимость композиций дробно-линейных преобразований

3.2 Сходимость числовых непрерывных дробей.

3.3 Сходимость непрерывных Т-дробей.

3.3.1 Круговая сходимость Т-дробей

3.3.2 Аналог теоремы Ван Флека для Т-дробей с предельно периодическими коэффициентами.

3.3.3 Двухточечный аналог транс финитного диаметра и двухточечный аналог теоремы Пойа

3.4 Сходимость непрерывной дроби Годжерса-Рамануджана 166 3.4.1 Представление функции Hq в виде отношения двух голоморфных в единичном круге функций.

3.4.2 Множество сходимости непрерывной дроби Роджерса-Рамануджана.

3.5 Контрпример к Паде-гипотезе.

Понятие непрерывной дроби, возникшее как результат использования алгоритма Евклида, было известно еще в древности, но не потеряло своей актуальности и в наше время. Разложения в непрерывные дроби, содержащие вместо числовых элементов функции комплексного переменного, впервые появились в работах Эйлера. Многочисленные приложения нашли введенные Гауссом разложения в непрерывную дробь отношений гипергеометрических функций. Исследования по теории непрерывных дробей таких крупных математиков, как Лагранж, Пуанкаре, Риман, Стилтьес, Фробениус, Чебышев, Эрмит, Якоби, оказали далеко идущее влияние на дальнейшее развитие математики. В рамках теории непрерывных дробей Стилтьесом был введен интеграл Стилтьеса и решена проблема моментов; общие ортогональные многочлены впервые были открыты Чебышевым как знаменатели подходящих дробей чебы-шевской непрерывной дроби; разложения в непрерывные дроби, применяемые Стилтьесом и Пуанкаре в связи с расходящимися рядами, привели к появлению асимптотических разложений.

С 60-х годов прошлого века наблюдается новый рост интереса к непрерывным дробям и обобщающим их конструкциям рациональных аппроксимаций аналитических функций. Эти конструкции впервые появились в конце 19-го века в работах Фробениуса и Паде и получили общее название аппроксимаций Паде. Аппроксимации Паде являются удобным вычислительным инструментом при обработке данных, определяющих аналитическую функцию. Качественно новый уровень вычислительных средств, достигнутый к 60-м годам прошлого века, и востребованность аппроксимаций Паде в прикладных исследованиях объясняют бурное развитие теории рациональных аппроксимаций аналитических функций.

- степенной ряд, пит- целые неотрицательные числа. По определению рациональная функция [п/т]^ = Рп,т/Яп,т называется аппроксимацией Паде типа (п, т) степенного ряда (0.1), если

Пусть оо

0.1)

С^ Рщт < П , С^ С^^т < 7П

0.2) и имеет место равенство тг,т/ Рп,гп){%) А-Х + . . .

Нетрудно показать, что аппроксимация [n/m]f существует при всех целых неотрицательных п и т и единственна как рациональная функция. Кроме того, непосредственно из определения следует, что коэффициенты многочлена Qn,m(z) = 5о,п,тН-----Ьqm,n,mzm, являющегося знаменателем аппроксимации [n/m]f, удовлетворяют линейной системе равенств

QO,n,mfn+l ' ' ' Qm,n,mfn-¡r 1—m = О

0.3) qm

И наоборот, если коэффициенты не тождественно равного нулю многочлена Qn^m удовлетворяют системе равенств (0.3), то \njm\f = где РП;Ш - 72-я частичная сумма степенного ряда Qn,mf ■ Таким образом аппроксимация Паде [п/га]/ определяется непосредственно по первым п + т+ 1 коэффициентам /о, • • •, fn+m степенного ряда (0.1), и основной вычислительный момент в ее нахождении - это решение линейной системы равенств (0.3). (Подробнее об аппроксимациях Паде см. [1], [38].)

Востребованность аппроксимаций Паде к практическим нуждам дала импульс дальнейшему развитию теории конструктивных рациональных аппроксимаций. Среди многочисленных работ, внесших существенный вклад в развитие теории за последние 50 лет, отметим работы А. Ап-текарева, В. Буярова, А. Гончара, В. Дзядыка, В. Калягина, Е. Никишина, В. Прохорова, Е. Рахманова, В. Русака, В. Сорокина, А. Старовойтова, С. Суетина, Г. Бейкера, Б. Беккермана, К. Брезински, В. Ван Аше, Р. Варги, X. Воделанда, П. Грейвс-Морриса, П. Дейфта, У. Джоун-са, А. Куэларса, Г. JIoneca, JI. Лорентсен, Д. Любински, А. Мартинеса, Д. Наттола, Э. Саффа, В. Тотика, В. Трона, Г. Шталя.

Одной из типичных ситуаций, возникающих в прикладных исследованиях, является следующая. Требуется описать поведение и особенности аналитической функции, имея в своем распоряжении значения коэффициентов ряда Тейлора или Фурье (или значения функции в узлах интерполяции и т.п.). Полиномиальные аппроксимации, а также рациональные аппроксимации с заранее фиксированными полюсами не всегда пригодны для решения этой задачи, так как область их сходимости обычно ограничивается "первой" особой точкой функции. Более приспособленными к решению поставленной задачи являются рациональные аппроксимации со свободными полюсами. Свобода полюсов аппроксимаций позволяет им локализовать не только ближайшие особенности приближаемой функции, но и последующие особенности. Проиллюстрируем этот факт следующей теоремой Суетина [33]. Пусть функция / голоморфна в некоторой окрестности точки z = 0. Обозначим через Rm{f) радиус га-го круга мероморфности функции /, т. е. радиус максимального открытого круга с центром в точке z — 0, в который функция мероморфно продолжается и имеет не более т полюсов.

Теорема (Суетин). Пусть коэффициенты степенного ряда (0.1) таковы, что при фиксированном т G N и всех достаточно больших п G N рациональные функции [n,m)¡ имеют ровно т конечных полюсов Ara,i, ■ ■ ■, стремящихся к пределам lim^oo \n¿ — Aj ф 0 (j =

1,., т) . Тогда

Io. Степенной ряд (0.1) определяет функцию J, голоморфную в круге \z\ < min!<¿<m |A¿|.

2o. (/) = maxi<i<m |A¿ |.

3o. Все точки Ai. Am являются особыми точками функции f, причем те из них, которые лежат строго внутри круга \z\ < Rm-i(f) являются полюсами и других полюсов функция / в этом круге не имеет.

Из равенств (0.3) при т = 1 следует, что полюс аппроксимации Паде [n, 1]/ равен fn/fn+1- Это означает, что при т = 1 теорема Суетина совпадает с одной из самых глубоких теорем в теории степенных рядов

- классической теоремой Фабри "об отношении"[40].

Теорема (Фабри). Пусть коэффициенты степенного ряда (0.1) таковы, что существует предел limn>oo fn/fn+i = A 0. Тогда ряд сходится равномерно внутри круга \z\ < |А|; и А - особая точка функции

Первая часть теоремы Фабри о сходимости ряда является очевидным следствием формулы Коши-Адамара для радиуса круга сходимости степенного ряда fnZn- Вторая часть теоремы Фабри об особой точке

- очень глубокое и трудно доказываемое утверждение. Доказательство теоремы, предложенное Фабри, опирается на переразложение исходного степенного ряда в ряд Х^о {z ~~ °)п с центром в некоторой точке a G (0, А) и простое наблюдение, состоящее в том, что радиус сходимости переразложенного ряда всегда больше или равен |А| — |а|, и в точности равен |А| — |о| только лишь в случае, когда А - особая точка функции f(z). Однако доказать, что Ишп^^/а^1^72 = (| А| - |а|) , используя лишь существование предела lim^oo fn¡ fn+1 = А - очень тяжелая задача. Излагая доказательство Е.Фабри, Л.Бибербах [2] подчеркнул, что "это, конечно, немалый труд - проникнуть в работы Фабри настолько, чтобы получать от них удовольствие и полностью понимать всю гениальную простоту хода мысли этого мастера своего дела".

Теорема Суетина дает положительный ответ на ранее высказанную гипотезу Гончара о возможности распространения теоремы Фабри на случай строк таблицы аппроксимаций Паде. Напомним, что множество {[тг/т]^}П1ТП=о!1,. называется таблицей Паде степенного ряда Х^о /п^-, множество {{п/т\}}п=^ (га фиксировано) - т-й строкой таблицы Паде, а множество {[^/^]/}п=о,1,. ~~ диагональю таблицы Паде. В диссертации дается положительный ответ на гипотезу Гончара о возможности распространения теоремы Фабри на случай строк таблицы наиболее естественных обобщений конструкции классических аппроксимаций Паде, а именно: на случай строк таблицы многоточечных аппроксимаций Паде, аппроксимаций Паде ортогональных разложений и аппроксимаций Паде-Фабера. Доказательство гипотезы Гончара для этих обобщений аппроксимаций Паде имеет в своей основе нетривиальное усиление теоремы Пуанкаре о рекуррентных соотношениях с предельно постоянными коэффициентами.

К рекуррентным соотношениям п + а1,п/п-Н----+ ак>п/п-к = 0, п = к,к + 1,. , (0.4) связывающим между собой элементы последовательности {/п}^=07 приводят многие задачи анализа и теории чисел. В частности, индукцией по числу п легко проверяется, что последовательности числителей {Рп}^=1 и знаменателей {фгеКЛх числовой непрерывной дроби а1 а0 +----(0.5) связаны между собой соотношениями

Рп = ЬпРп-\ + апРп-2 , Яп = ^>пЯп-1 + апЯп-2 , п = 1,2,. .

Другими словами последовательности {Рп}™= \ и {Яп}™=1 являются решениями одного и того же разностного уравнения

Хп = 6ПХП1 + апХп2 , п = 1, 2,. (0.6) со следующими начальными условиями Рх = 1, Ро = а0 & Я-1 = <Эо = 1

Легко видеть, что всякое решение разностного уравнения (0.4) однозначно определяется своими начальными условиями /о,., fk-1 и может быть найдено шаг за шагом из соотношений (0.4). Нетрудно проверить, что общее решение разностного уравнения (0.4) с постоянными коэффициентами = olí (п > п0, г = 1,., к) имеет следующий вид т • •' + СЫпЧ~1) ' п > щ — к , (0.7)

3=1 где Лх,., Ат - корни характеристического многочлена h(z) = zk + ai2;fe1-|-----кратностей . ,lm соответственно, ^ -|-----b lm = к. Из явного вида (0.7) решений разностного уравнения (0.4) с постоянными коэффициентами следует, что если корни характеристического многочлена h(z) различны по модулю, то существует предел limn^.00 /n+i//n, и этот предел равен одному из корней характеристического многочлена. Оказывается, что это утверждение имеет место не только для разностных уравнений с постоянными коэффициентами, но и для разностных уравнений с предельно постоянными коэффициентами, когда найти решения в явном виде не представляется возможным. Соответствующее утверждение составляет содержание теоремы Пуанкаре [60] - одной из самых тонких в теории разностных уравнений.

Теорема (Пуанкаре). Пусть последовательность {/п}^=о является решением разностного уравнения (0.4) с предельно постоянными коэффициентами, корни характеристического многочлена h(z) = lim (zk + ai,nzk~x + • • • + aKn) (0.8) n—i-OO которого различны по модулю. Тогда либо fn — 0 при всех п > щ, либо существует предел limn>00 fn+i/fm и этот предел равен одному из корней характеристического многочлена.

Простые примеры показывают, что условия теоремы Пуанкаре нельзя ослабить, не нарушив утверждающей части теоремы, а утверждающую часть нельзя усилить, не потребовав дополнительных предположений. В диссертации будет исследован ряд задач, при решении которых полезным оказывается то или иное уточнение теоремы Пуанкаре.

Весьма важное уточнение теоремы Пуанкаре было сделано Перроном [56] для невырожденных разностных уравнений. Напомним, что разностное уравнение (0.4) называется невырожденным, если akj7l ^ 0 при всех ti = k, к + 1,. Невырожденность уравнения (0.4) означает возможность его решения в "другую сторону", т.е. возможность однозначного определения значения fn при известных значениях /n+i, • • •, fn+k

Теорема (Перрон). Пусть корни характеристического многочлена невырожденного разностного уравнения (0.4) с предельно постоянными коэффициентами различны по модулю. Тогда для всякого корня А характеристического многочлена найдется решение разностного уравнения (0.4) такое, что Пт^оо /га+1//п = Л.

Заметим, что условие существования предела Нт^—юо fn-j.ilэквивалентно тому, что для последовательности {/№}^=о выполняются соотношения п+1 + Рп/п = 0 , 71 = 0,1,. первого порядка с предельно постоянным коэффициентом /Зп. Поэтому теорему Пуанкаре можно трактовать как теорему о переходе от соотношений к-го порядка с предельно постоянными коэффициентами к соотношениям первого порядка с предельно постоянным коэффициентом. С этим наблюдением связан естественный вопрос - можно ли в теореме Пуанкаре отказаться от условия различности по модулю корней характеристического многочлена, если в качестве порядка возникающих соотношений в утверждающей части теоремы взять максимальное число равных по модулю корней характеристического многочлена (легко видеть, что в предположениях теоремы Пуанкаре это число равно 1).

Заметим также, что соотношения (0.4) можно переписать в виде соотношений 0 , п = М+1,. , (0-9) гДе [ ]п~ коэффициент степенного ряда, стоящего в квадратных скобках, оо f(z) = П ' агь(2) = 1 + а1,пг Н----+ ак,пгк •

71=0

Из этого наблюдения возникает другой естественный вопрос - можно ли в теореме Пуанкаре соотношения (0.4) заменить соотношениями (0.9), в которых ап{г) - многочлены неограниченной степени или даже произвольные ряды Лорана. В последнем случае соотношения (0.4) перестают быть рекуррентными и, очевидно, должны возникнуть некоторые условия существования величины [¡(г)ап(г)]п.

Положительные ответы на оба поставленных вопроса содержатся в частном случае т — 1 следующей теоремы. Перед формулировкой теоремы введем следующее обозначение. Если /(¿) = Х^-оо - ряд Лорана такой, что Ит^«,!/«!1/71 < оо, и /*(г) = $пгп - его регулярная часть, то положим Ят{1) — Йт{1*)

Теорема 1. Пусть т е £ > 0 и пусть ¡{г) = ~ Ряд

Лорана такой, что имеют место неравенства

0<До(/)<Дт-1(/)<оо , 1п^п-,оо|/-п|1/т1 < До(/) (0.10) im[f(z)an(z)anJ(z^(z)]nRl1(f)e6n^0 , j = 0,.,m-l , (0.11) и равенства п—>оо где cp(z) - функция, голоморфная и однолистная в некоторой окрестности кольца

TS,m(f) = е~5Яо(/) < N < eSRm-i(f)} , an(z), otj,n{z) (п — 1,2,. 7 j = 0,., т — 1) - функции, голоморфные в окрестности кольца T^m(f) и имеющие равномерные в Т^т(/) пределы lim an{z) = a(z) ф 0 , lim aj}n(z) = 1 (j = 0,., m - 1) . n—»oo n—¥co

Тогда:

1°. Функция a(z) имеет в кольце T0jm(f) = {Ro(f) < \z\ < Rm-i(f)} не менее m нулей.

2°. Все нули Ai,.,Afc (k > m) функции a(z) в кольце To>m(/) можно перенумеровать таким образом, что

А 1\=R0(f) , |А2| = -Rl(Z) , . , |А m\ = Rm-l(f) и Ai,., Ага - особые точки функции f*(z) = Y^Lo fnZn

3°. Если нули \m,.,\i, (т < I < к) функции a(z) лежат на окружности {|z| = Rm-i(f)}, а нули Az+i,., А* не лежат на этой окружности, то элементы последовательности {fn}^= о удовлетворяют системе т соотношений 1-го порядка fn+l + ßl,nfn Н-----Ь ßl,nfn+l-l = О п = 1,1 + 1,.) fn+m + ßl,nfn+m-l ■■■ + ßl ,nfn+m—l — О

0.12) с предельно постоянными коэффициентами такими, что limn^oo(l + l,nZ + • • • + ßl,nZl) = n^li1 - z/\j).

4°. Если l = m и если фп±,. ., фп,т, фщ1,., фщт - функции; голоморфные и имеющие равномерные пределы ф\,., фт, ф\,., фт в кольце ТТ;ГП(/)7 т > 0, то существуют пределы det ШФп,гФп,3]п)^=1т = det (^r(A,))a>r=lt.„>Tndet (0r(Aa))a>r=1>.„>m fm,n W2(Xi, . . . , Хт)

0.13) где fn ■ ■ ■ fn—m+l fm,n= . , m,ne N, (0.14) fn—m+1 • ■ ■ fn — 2m+2

W(Ai,.,Am) = det (Ag1) - определитель Вандермонда чисел SjT*«— L^.уТТЪ

Ai,., Am. В частности, при любых целочисленных pi,. ,рт, qi,. ,qm существуют пределы

ШП ^ det(XsPr)s,r=l,.,mdet s,r=l,.,m n—>00 fm,n W2{ АЬ.,Ате)

0.15)

Обратим внимание на то, что ни равенства (0.11), ни их упрощенный вариант и{г)ап(г)ап^{г)(р3(г)]п = 0 , п = щ, п0 + 1,. , ] = 0,., т - 1 ,

0.16) не являются рекуррентными соотношениями даже при т = 1. Полагая в теореме т = 1, ап(г) = 1 + +•••-(- = 1 и замечая, что в этом случае соотношения (0.16) являются рекуррентными соотношениями п + а1,п/п-1 Н-----Ь 0!П)Г,/о = 0, п = щ, п0 + 1,. неограниченного порядка, получаем прямой аналог теоремы Пуанкаре для рекуррентных соотношений неограниченного порядка, причем без предположений о различности по модулю корней функции а (г) = Ит^оо ап(г) (см. предложение 3 главы 1 на стр. 31).

Из сравнения равенств (0.12) и (0.3) видно, что многочлен 1 + /Зх

----1- Р1,п21 из утверждения 3° теоремы является при I = т знаменателем аппроксимации Паде [п/т]^. Следовательно, при I = т утверждение 3° теоремы означает, что полюсы ш-й строки таблицы аппроксимаций Паде имеют пределы, равные Ах,., Ато. Нетрудно видеть, что этот же факт является простым следствием равенств (0.15). Обратное утверждение, а именно, что из наличия пределов полюсов ш-й строки следуют равенства (0.15) (а также равенства (0.13)) достаточно сложно доказывается и составляет содержание утверждения 4°. Это утверждение имеет самостоятельный интерес и формулируется отдельно на странице 34 как следствие 1 теоремы 1.

Отметим, что равенство I = т всегда будет выполнено, если, например, предположить, что корни функции а(2) различны по модулю.

Отметим также, что теорема Суетина включается в теорему 1 как частный случай, в котором ip(z) = an(z) = njLi(l — an,j{z) =

1 0' = 0,.,m-l).

Как следствие теоремы 1 во второй главе диссертации будет доказана гипотеза Гончара о возможности распространения теоремы Фабри на случай строк таблицы обобщенных аппроксимаций Паде.

В следующей теореме 2 (и в двух ее следствиях) теоремы Пуанкаре и Перрона уточняются в ином направлении.

Теорема 2. Пусть невырожденная линейная система рекуррентных соотношений 2-го порядка

4 = ^1-1+^.-! „=12) (017) 7п^п-1 + опип-1 такова, что при всех п = 1,2,. имеют место неравенства

KI + \/Зп\ + Ы < Фп\ , где q < 1. Тогда:

1°. Существует единственное (с точностью до постоянного множителя) нетривиальное решение = системы (0.17) такое, что > при всех п = 0,1,. . При этом если lim^oo ^ = г/2 П

0, то limn^oo -f = 0. п

2°. Для всякого решения {z7n}^L0 = {{uln)u^)}^LQ, отличного от исключительного решения найдется индекс щ такой, что при всех п > щ выполняются неравенства

I 2i ill /--

К > KI и ЬИ < 0 п I - I -ш - I -¡f2 I I 1/2 I • га ап0

При этом если limn>oo Ф1 = 0. то lim^oo Ц- = 0.

Приведенную теорему можно рассматривать как уточнение двумерного векторного варианта теорем Пуанкаре и Перрона (формулировка ^-мерного векторного варианта теоремы Пуанкаре-Перрона приводится в первой главе диссертации на стр. 29), так как общий случай двумерной теоремы Пуанкаре-Перрона линейной заменой сводится к случаю, когда существуют пределы lim ап = а , lim = lim = 0 , lim Sn = ^ и |а| < |<5| . п—¡-оо п—>00 71—>-оо п—»оо

Применительно к рекуррентным соотношениям (0.6) второго порядка, играющим важную роль в теории непрерывных дробей, как следствия теоремы 2 отметим следующие утверждения.

Следствие 1 теоремы 2. Пусть ап ф 0 при всех п = 1,2,. и корни Атед и Хп>2 многочленов г1 — Ьпг — ап таковы, что Нт^оо -^пд = А и Нт^о^А^г! < 1^1- Тогда для всякого решения {/п}^-! разностного уравнения (0.6) за исключением единственного (с точностью до постоянного множителя) решения существует предел

Шпп-юо ¡п+1/1п = А. При этом Дт^^!^1 - А| > 0 и К//п = 0.

Следствие 2 теоремы 2. Пусть ап ф 0 при всех п = 1,2,. и корни Апд и АП;2 многочленов г2 — Ьпг — ап таковы, что Нт^^ Апд = Л и >ооI1 > |А|. Тогда существует единственное (с точностью до постоянного множителя) решение 1 разностного уравнения

0.6) такое, что существует предел Нт^^ Ь,п+\11гьп = А. При этом для всякого другого решения г имеет место неравенство

Нт„ — А| >0 и равенство Нт^оо —ъ'п хг = 0 . п—ГШ I I 1п + 1 —П

В третьей главе главе диссертации как следствие теоремы 2 будет получен ряд утверждений о сходимости непрерывных дробей и композиций дробно-линейных преобразований с предельно периодическими коэффициентами.

Одним из наиболее часто используемых способов задания аналитической функции является ее разложение в ряд (степенной, интерполяционный, ряд по ортогональным многочленам и т.д.) или в непрерывную дробь (С-дробь, Т-дробь, чебышевскую непрерывную дробь и т.д.). В этой связи большой интерес представляют вопросы сходимости рядов и непрерывных дробей, а также вопросы описания свойств аналитической функции непосредственно по коэффициентам разложения. И наоборот, зная те или иные свойства функции, хотелось бы иметь информацию о поведении коэффициентов соответствующего ряда или дроби. Понятно, что чем больше имеется информации о коэффициентах разложения, тем более точно можно описать поведение функции, и наоборот. Например, информация о коэффициентах /п разложения функции в степенной ряд, заключенная в знании верхнего предела крайне скудна.

Соответственно минимальна и имеющаяся информация о функции: кроме радиуса круга голоморфности функции ничего нельзя утверждать ни о числе особых точек функции, ни об их расположении, ни об их характере. Знание предела Ншп>.00 /п//п+1 — ^ позволяет уточнить имеющееся знание о функции /, а именно, теорема Фабри утверждает, что А - особая точка функции, лежащая на границе круга голоморфности.

Отметим некоторые полученные в этом направлении фундаментальные результаты.

Пусть l0(f) = 1, lm{f) - limra^oo|/m,w|1/n, где /т)П при т,п € N определены равенством (0.14). При помощи величин lm(f) Адамар [44] указал формулу для нахождения радиусов кругов мероморфности функции /.

Теорема (Адамар). Пусть Y^Lq fnZn - разложение в степенной ряд голоморфной в окрестности точки z — 0 функции f{z). Тогда

Rm(f) = U/)/im+i(/) > rn е Z+ . (0.18)

Определители fm>n называются ганкелевыми определителями функции /. Частным случаем формул (0.18) при т = 0 является формула Коши-Адамара

МЛ = 1/*1 = (n^ool/np771)"1 (0.19) для радиуса круга голоморфности функции /. Из теоремы Адамара следует также, что если limra>00|/m+i,n|1//rl = 0, то функция / мероморф-на во всей комплексной плоскости и имеет не более т полюсов. Если fm+i,n = 0 при всех п > по, то в этом случае последнее утверждение уточняется критерием Кронекера [48] рациональности функции.

Критерий Кронекера. Пусть Y^Lo fnZn ~ разложение в степенной ряд голоморфной в окрестности точки z = 0 функции f(z). Тогда следующие утверждения эквивалентны.

1°. Функция f(z) является рациональной функцией; имеющей не более т полюсов.

2°. fm+i,n = 0 при всех п>щ.

Напомним, что трансфинитным диаметром компакта Е комплексной плоскости называется число d(E) = lim max Y[\zi - , (0.20) n—>0О (zi,.,Zn)aE j где максимум берется по всем наборам (zi,., zn) точек, принадлежащих Е. Понятие трансфинитного диаметра было введено М.Фекете [41] и оказалось весьма полезным при исследовании многих вопросов комплексного анализа. Многочисленные приложения имеет следующая теорема Пойа [61].

Теорема (Пойа). Пусть fnZ~n ~ разложение в степенной ряд голоморфной в окрестности точки z — оо функции f(z), допускающей мероморфное продолжение в область G. Тогда limre>oo \fn+i,in^n < d , где fn+i^n определены равенством (0.14), d, - трансфинитный диаметр компакта К = С \ G.

К этому же кругу вопросов относятся теорема Фабри "об отноше-нии"и обобщающая ее теорема Суетина, которая дает положительный ответ на гипотезу Гончара для строк таблицы классических аппроксимаций Паде. А.Гончар высказал свою гипотезу также и для наиболее естественных обобщений классической конструкции Паде для функций, голоморфных в некоторой окрестности ограниченного континуума со связным дополнением. При дополнительном условии сходимости полюсов аппроксимаций со скоростью геометрической прогресии гипотеза Гончара для аппроксимаций Паде ортогональных разложений и аппроксимаций Паде-Фабера была доказана С.Суетиным [31], а для многоточечных аппроксимаций Паде - А.Гончаром (в устной форме).

Для каждого из трех вышеуказанных типов обобщений аппроксимаций Паде при соответствующих предположениях условие существования предела полюсов аппроксимаций удается записать в виде равенств (0.11) для коэффициентов Лорана функции / = F(?/>1). где ф - функция, голоморфно и однолистно отображающая дополнение к Е на внешность единичного круга, ф(оо) = оо. Так как функция F голоморфна в некоторой окрестности континуума Е, то функция / голоморфна в некотором кольце {1 < \z\ < р}, где р > 1.Таким образом гипотезу Гончара удается свести к теореме 1. Приведем формулировку полученного результата (аналога теоремы Суетина) для многоточечных аппроксимаций Паде.

Многоточечной аппроксимацией Паде типа (п, т) функции F, построенной по таблице {zkjn} С Е (к = 1,., гг; тг = 1,2,.) узлов интерполяции, называется рациональная функция Pn,m/Qn,m такая, что выполняются условия (0.2) и функция Qn,mF — Рщт обращается в ноль в узлах zi>n+m+i,., zn+m+1;n+m+i таблицы интерполяции (с учетом крат-ностей).

Пусть Е - ограниченный континуум со связным дополнением, ф -функция, определенная выше. Хорошо известно, что существуют таблицы узлов интерполяции такие, что lim Ы^)Г/П = с\ф(г)\ , z е G — С \ Е , (0.21) п—» оо где Lon(z) = YYk=i(z ~ zk,n)i с - некоторая положительная постоянная (емкость континуума Е). В качестве узлов z1>n,., zn>n можно взять, например, точки, реализующие максимум в формуле (0.20), определяющей трансфинитный диаметр Е, или нули многочлена Чебышева (с нулями на Е), наименее уклоняющегося от нуля на Е (см., например, [26]).

Если таблица узлов интерполяции удовлетворяет условию (0.21) и если функция F голоморфна в некоторой окрестности континуума Е, то последовательность многочленов Рп, интерполирующих функцию F в узлах Zk,n+1 таблицы, сходится к F равномерно на Е (см. [26]).

Известно также, что существуют таблицы узлов интерполяции, для которых выполняется более сильное, по сравнению с (0.21), условие . (0.22) п-юо Cnipn{z)

Если Е — {|,г| < 1},тов качестве примера многочленов ооп, удовлетворяющих условию (0.22), можно привести многочлены (jn(z) = zn — 1. Если Un(z) = zn, то многоточечные аппроксимации Паде совпадают с классическими. Если Е = [—1,1], то условию (0.22) удовлетворяют любые классические ортогональные многочлены и, более того, ортогональные многочлены, построенные по мере ст, удовлетворяющей условию Сеге г 1 W(s) 7

J-1 ^

-1 УГ^

-оо.

Пусть Е - функция, голоморфная в некоторой окрестности континуума Е, Г - контур, охватывающий Е и лежащий в области голоморфности функции Т. А.Гончар показал (в устной форме), что для таблиц интерполяции, удовлетворяющих условию (0.22), имеет место следующий аналог формулы Коши-Адамара p01(F)= clim n—too

F(z)

I ( \dz

1 /п

0.23) где ро(Е) - максимальное из чисел р > 1 таких, что функция F допускает голоморфное продолжение в каноническую область Бр = Е и < рУ

Обозначим через рт(Е) максимальное из чисел р > 1 таких, что функция Е(г) допускает голоморфное продолжение в каноническую область Вр и имеет там не более т полюсов. В диссертации будет доказана гипотеза Гончара для многоточечных аппроксимаций Паде.

Теорема 3. Пусть Е - функция, голоморфная в окрестности ограниченного континуума Е со связным дополнением, и пусть полюсы т-й строки таблицы многоточечных аппроксимаций Паде функции F7 построенных по удовлетворяющим условию (0.22) многочленам шп (с нулями на Е), стремятся к пределам т\,., тт. Тогда: 1°. 7} £ € \ Е, з = 1,., т.

2°. рт 1(Т) = тах1<^<т \Ф{т5)\.

3°. Все точки Т\. тт являются особыми точками функции F; причем те из них, которые леэюат строго внутри области являются полюсами и других полюсов функция F в этой области не имеет.

Отметим, что условие (0.22), накладываемое на таблицу узлов интерполяции, существенно. Теорема 3 и, более того, формула (0.23), становятся неверными, если условие (0.22) заменить более слабым условием (0.21). Соответствующий пример приводится во второй главе диссертации. Теоремы 3.2 и 3.3 второй главы аналогичны теореме 3 и представляют собой гипотезу Гончара для аппроксимаций Паде ортогональных разложений и аппроксимаций Паде-Фабера. Кроме того, в теореме 3.4 будет показано, что свойство функции, состоящее в том, что полюсы т-й строки обобщенных аппроксимаций Паде имеют предел, является инвариантом для всех трех видов обобщений.

Наряду с разложениями аналитических функций в ряды (степенные, интерполяционные, ряды по ортогональным многочленам и т.д.) часто используются разложения функции в непрерывные дроби. Так, например, функция /(г) = >/1 + 2г при помощи следующей цепочки равенств

М = 1+(л/ГП-1) = 1

2 + VI + 2 - 1 -г

2 +-;-

2 + у/Т+1-1 раскладывается в непрерывную дробь г) = 1 +- . (0.24)

2 +2

В отличие от ряда Тейлора функции /(¿) = \fl-\-z, сходящегося только лишь в круге до ближайшей особой точки (в данном случае в круге \г\ < 1, так как г = —1 - точка ветвления), непрерывная дробь (0.24) сходится к функции ¡{г) во всей комплексной плоскости за исключением разреза Г = [—оо,—1]. Такое существенное расширение области сходимости (а также и ускорение скорости сходимости) связано с тем, что в отличие от последовательности многочленов Тейлора, представляющих собой нулевую строку таблицы аппроксимаций Паде функции, последовательность подходящих дробей непрерывной дроби (0.24) - это диагональ (точнее, диагональ и наддиагональ) таблицы аппроксимаций Паде функции /(г) = л/1 + г. Наличие разреза Г, на котором нет сходимости непрерывной дроби (0.24) необходимо. Если сходимость подходящих дробей (которые являются рациональными функциями) была бы и на некотором интервале, принадлежащем [—оо, — 1], то функция г) = у/1 + г оказалась бы однозначной аналитической функцией в окрестности некоторой окружности {\г\ = Я}, В > 1, что противоречило бы тому, что г = —1 - точка ветвления. В определенном смысле разрез Г = [—оо, —1] - это наиболее естественный разрез среди всех, соединяющих точки ветвления г = —1жг = оои превращающих функцию = у/1 + г в однозначную аналитическую функцию.

Таким образом конструкция разложения функции в непрерывную дробь обладает весьма существенными преимуществами по отношению к конструкции разложения функции в ряд Тейлора. К недостаткам непрерывной дроби по всей видимости можно отнести факт нелинейности конструкции.

Одной из самых красивых теорем в аналитической теории непрерывных дробей является теорема Ван Флека [68] о сходимости непрерывной дроби такая непрерывная дробь называется правильной С-дробью) с предельно постоянными коэффициентами. Рассмотренная выше непрерывная дробь (0.24)легко приводится эквивалентным преобразованием к виду (0.25) (с постоянными коэффициентами).

Теорема (Ван Флек). Пусть коэффициенты правильной С-дроби (0.25) имеют предел Итп>00 ап = а ф 0. Тогда С-дробь (0.25) сходится к ме-роморфной функции равномерно на компактах, лежащих в С \ Г; где Г = {г 6 С : г = ^ > 1}, и не содержащих полюсов предельной функции.

Опираясь на вышесформулированную теорему Пойа, А.Гончар дополнил (в устном виде) теорему Ван Флека следующим интересным замечанием.

Дополнение Гончара к теореме Ван Флека. В предположениях теоремы Ван Флека функция, к которой сходится непрерывная дробь (0.25), не может быть мероморфной функцией ни в какой области (С\ Г) и {\г - г0\ < г}, где г0 е Г; £ > 0.

Отметим, что разностное уравнение (0.6) применительно к непрерывной дроби (0.25) приобретает следующий вид а множество тех точек комплексной плоскости, для которых корни характеристического многочлена А2 — А — аг разностного уравнения (0.26)

0.25) а0 +

Хп — Хга1 + апгХп2 > п — 1,2,.

0.26) равны по модулю совпадает с разрезом Г, на котором нет сходимости непрерывной дроби (0.25). Это совпадение не случайно, так как теорему Ван Флека можно доказать при помощи теоремы Перрона. При помощи следствий 1 и 2 теоремы 2 в диссертации будет получено уточнение этой теоремы Ван Флека, а также и некоторых других известных теорем

0 сходимости числовых непрерывных дробей. Кроме того, при помощи теоремы 2 будет получено распространение теоремы Ван Флека и дополнения Гончара к ней на случай Г-дробей щг а0 +----(0.27)

1 + М + --г

1 + Ъ2г + . с предельно периодическими коэффициентами.

Как известно, Г-дроби сходятся в окрестностях точек г = 0 и г = оо. Например, простейшая Г-дробь + + . сходится при < 1 к функции /1(2) = г, а, при > 1 - к функции /2(2) = —1. Каждая из этих функций допускает голоморфное продолжение на всю комплексную плоскость, но при этом /1(2:) ^ /2(2)• На этом примере видно, что мероморфная функция f(z), к которой сходится Т-дробь + +.; не может быть однозначной мероморфной функцией ни в какой области вида (С \ = 1}) и — 2о| < е}, где |г0| = 1, е > 0. Аналогичное утверждение справедливо и для произвольных Т-дробей с предельно периодическими коэффициентами. Точнее, имеет место следующая теорема.

Теорема 4. Пусть т £ N и пусть коэффициенты Т-дроби (0.27) имеют периодические пределы Нп^-к» апт+1 = а1 ^ 0, Мт^оо Ьпт+1 = Ь1,

1 = 1,., т. Тогда Т-дробъ (0.27) сходится к мероморфной функции /(г) равномерно на компактах, лежащих в С \ (Г и К) и не содержащих полюсов функции /(^), где К - конечное множество, содержащее не более т(т— 1) точек (не более [т(т— 1)/2] точек, если Ь1 = • • • = Ът = оА

Тг( ) - след матрицы, стоящей внутри скобок, Е - отрезок [0,4(—1)та} . ат]. При этом функция /(г) мероморфно продолжается в С \ Г и не может быть однозначной мероморфной функцией ни в какой области (С \ Г) и — 20| < £}, где 2о ^ Г, е > 0.

При т — 1 множество К пусто. Для С-дробей множество К пусто и при т = 2. На непустоте множества К при т > 2 и фактическом отсутствии сходимости в точках множества К будет построен ниже контрпример к известной Паде-гипотезе.

Доказательство сходимости Т-дроби (0.27) с предельно периодическими коэффициентами и нахождение множества Г и К, на котором нет сходимости, осуществляется единым образом для непрерывных дробей любого вида с предельно периодическими голоморфными по ^ коэффициентами. А доказательство утверждения, аналогичного дополнению Гончара к теореме Ван Флека, для случая Т-дробей помимо известных формул (см. [23], стр.255), выражающих коэффициенты Т-дроби через модифицированные ганкелевы определители Нп (определяемые ниже равенством (0.28)), потребовало использования следующего двухточечного аналога теоремы Пойа.

Теорема 5 (двухточечный аналог теоремы Пойа). Пусть Е -замкнутое множество комплексной плоскости, не содержащее точек 0 и оо, / - функция, мероморфная в компонентах С \ Е, содержащих точки 0 и оо, и пусть /(¿) = , /(*) = (п1>2 £ Ъ)

- разложения функции / в ряд Лорана в окрестностях точек 0 и оо соответственно. Тогда d(E) и d(E- трансфинитные диаметры компактов Е и Е~х = {z Е С : z'1 6 Е}, 'f(E) = 0, если точки 0 и оо лежат в разных компонентах дополнения С \Е, и 'у(Е) = д{0, оо) в противном случае, где g(z,£) - функция Грина компоненты С \ Е, содержащей точки 0 и оо.

Как уже отмечалось, конструкция непрерывных дробей нелинейна. Поэтому вопрос об исследовании свойств функции, коэффициенты разложения которой в непрерывную дробь удовлетворяют разностному уравнению сложен даже в случае постоянных коэффициентов и вряд ли уместен в общей постановке. Простейший случай, когда коэффициенты ап С-дроби (0.25) задаются равенством ап = qn, был исследован независимо друг от друга Роджерсом и Рамануджаном [36]. А именно, они показали, что при \q\ < 1 непрерывная С-дробь linv^oltfnp2 < где ап - ßn) . (о;0 - А))

Нп —

0.28) а0 -ßo) . (an - ßn)

0.29) сходится во всей комплексной плоскости к мероморфной функции Нд(г) = где лп2 7П »=0 о = 1, (я)п = (1 — я) ■ ■ ■ (1 — Яп) (п £ КЬ равномерно на компактах, не содержащих полюсов функции Н(}.

Их доказательство опирается с одной стороны на факт сходимости непрерывной дроби (0.29) при всех г е С и |</| < 1. Этот факт следует из неравенства \цпх\ < 1/4 (п > по(г)) и известного критерия Ворпицкого [71] сходимости числовой непрерывной дроби. а\

Критерий Ворпицкого. Непрерывная дробь-сходится, еели |ата| <1/4 при всех п = 1,2,. .

С другой стороны доказательство Роджерса и Рамануджана опирается на непосредственным образом проверяемое функциональное равенство

ЭД = + (0.31) для функции определенной равенством (0.30), и вытекающую из него цепочку равенств

Другое доказательство сходимости непрерывной дроби (0.29) к функции Ня при |<?| < 1 было дано в 1972 году М.Хиршхорном [46] на основе найденных им явных формул для числителя Рп{г\ (¡) и знаменателя п-й подходящей дроби непрерывной дроби (0.29)

К«+1)/2] ( ч

Р„(г;?) = £ ( 19 Т~к > ЯпМ = Рп-1(я*\я) • (0-33)

Очевидно, что при |д| < 1 существует предел

Нт д}п+1~к = Ит ТТ(1 - = 1 п\ г.т Л-Л. к

Я)п+1~2к -=1 и следовательно, pJz-q) lim Pn(z-, q) = Gq(z), lim Qn(z; q) = Gq{qz), lim w ' = Hq(z) . n—>00 n->00 71—>-00 ц/ге( z;

При \q\ = 1 радиус Rq = R{Gq) голоморфности функции Gq равен ДШп-^ооКо')«!1^ из как показали Харди и Литтлвуд [45], совпадает с limn,eo[ 1 — qn|1//n. Д.Любински [51] показал, что радиус голоморфности Rq при почти всех \q\ = 1 принимает значение, равное 1. Д.Любински [52] и Петруска [58] показали, что Rq может принимать любое наперед заданное значение 7 € [0,1]. Кроме того, Д.Любински [51] доказал, что при q = ехр(27ит), где т - иррационально, равномерно внутри круга {\z\ < Rq} имеют место равенства (0.34) пеА? где А^ - любая подпоследовательность натуральных чисел, для которой Нтпед/з дп = /3. Так как модуль любого нуля функции при любом

3\ — 1 равен модулю некоторого полюса функции то из равенства

0.34) следует, что непрерывная дробь Роджерса-Рамануджана сходится к функции На равномерно на компактах, принадлежащих множеству {\г\ < \ 0(/! где - объединение окружностей с центром в точке г = 0, проходящих через полюсы функции Нч (или, что то же самое, через нули функции (?д). При этом множество в теореме Любински нельзя заменить никаким меньшим замкнутым его подмножеством.

Любопытно, что радиус голоморфности КС1 функции и радиус мероморфности рч функции Нд(г) = могут не совпадать, несмотря на тот факт, что окружность \г\ = является естественной границей голоморфности функции Сд (этот факт нетрудно получить из функционального уравнения (0.31) для функции С,/). После работы Д.Любински [51] остался открытым им же и отмеченный вопрос о возможности мероморфного продолжения функции Нд за пределы круга \г\ < при тех д, при которых < 1. Если Rq = 1, то такое продолжение невозможно по теореме Пойа (и рассуждений, используемых при доказательстве дополнения Гончара к теореме Ван Флека). Если 1/4, то такое мероморфное продолжение гарантируется критерием Ворпицкого по крайней мере в круг \г\ < 1/4. Используя вместо критерия Ворпицкого фундаментальные неравенства (см., например, [70]), Д.Любински показал, что функция Нч имеет мероморфное продолжение в круг \г\ < 2+|1+д|'- Вопрос о мероморфном продолжении функции в круг < 1 при всех д = ехр(27ггт), где т - иррационально, оставался открытым. Кроме того, в случае положительного ответа на вопрос о возможности мероморфного продолжения функции Нд в круг

1 возникает следующий вопрос: сходится ли непрерывная дробь Роджерса-Рамануджана к функции Нд равномерно на компактах, лежащих в {\г\ < 1} \ В диссертации даются положительные ответы на оба эти вопроса. При этом наряду с представлением (0.32) функции Ня(г) в виде отношения (^(^/С^ф?) двух голоморфных в круге

Вч функций найдено представление функции в виде отношения двух функций, голоморфных в единичном круге \г\ < 1. Точнее, в диссертации доказана следующая теорема.

Теорема 6. Пусть

0.35)

Тогда:

1°. Радиус сходимости степенного ряда (0.35) равен нулю, если |д| ф I, равен 1 при всех д = ехр(27ггт), где т - иррационально, и равен 41/т при д = ехр(2-7ггк/гп), где целые числа кит взаимно просты.

2°. Имеют место равенства ад Ды -1"= '

3°. При всех ц = ехр(27ггт)7 г - иррационально, непрерывная дробь Роджерса-Рамануджана сходится к функции Ня равномерно на компактах, лежащих в множестве {\х\ < 1} \ где Пд - объединение окружностей с центром в точке z = 0, проходящих через полюсы функции Нд.

Отметим, что в отличие от функции Ст9, не определенной при д = ехр(27ггт), г - рационально, функция \гч при таких д определена, так как определено отношение (по непрерывности).

Как и в теореме Любински, множество сходимости, указанное в утверждении 3° теоремы 6 расширить нельзя. На факте существования семейства окружностей , на котором нет сходимости непрерывной дроби Роджерса-Рамануджана (точнее, на равенствах (0.34))основан контрпример Любински к Паде-гипотезе, которую сейчас обсудим.

В теории аппроксимаций Паде центральную роль играют вопросы сходимости, и в частности, равномерной сходимости. Из результатов положительного характера отметим следующие две хорошо известные теоремы.

Теорема (Монтессу де Болор [54]). Пусть функция f мероморфна и имеет ровно т полюсов (с учетом кратностей) в круге D = {\z\ < R}. Тогда:

1°. При всех достаточно больших п аппроксимации Паде [n/m]f функции f имеют ровно т конечных полюсов, которые при п —У оо стремятся к полюсам функции f в круге D, причем каждый полюс / "притягивает "столько полюсов [n/m]j, какова его кратность.

2°. Последовательность [n/m]f, п = 0,1,., сходится к функции f равномерно на компактах, лежащих в D и не содержащих полюсов функции /.

Отметим, что если функция / имеет в круге \z\ < Rm(f) к полюсов, где к < т, то к полюсов аппроксимаций [n/m]f будут стремиться к этим полюсам функции, а т — к полюсов аппроксимаций [n/m]j, как показывают простые примеры, могут быть всюду плотны во всей комплексной плоскости.

Теорема (Марков [27]). Пусть ц - положительная борелевская мера с носителем, принадлежащим отрезку [—1,1], и пусть p,{z) = Jj^ • Тогда диагональные аппроксимации Паде функции jj, (с центром в точке z = оо) равномерно сходятся к (1 на компактах, лежащих в С\ [—1,1].

В дальнейшем аналоги теоремы Маркова для функций вида jj,(z) + г, где г - рациональная функция, были получены в работах А.Гончара [20] и Е.Рахманова [29].

Заметим, что теорема Маркова, как и теорема Монтессу де Боло-ра, предполагает кроме голоморфности функции определенное дополнительное условие на нее. В общем случае, когда дополнительные условия отсутствуют, ожидать такой хорошей сходимости аппроксимаций Паде не приходится. Легко видеть, что, сохраняя значение верхнего предела, lim^oo | fn \1//п, достигаемого по некоторой подпоследовательности Г = Г(/) С N, нетрудно построить примеры функций с каким-угодно поведением полюсов аппроксимаций Паде при п ^ Г. Очевидно, что наличие полюсов у приближающих функций в исследуемой области несовместимо с их равномерной сходимостью в этой области. В частности, Г.Валлин [69] построил пример целой функции такой, что lim^ool[n,n]f{z)\[ = оо при всех z ф 0. Однако этот пример Валли-на, как и многие другие ранее известные примеры, не опровергает того утверждения, что из последовательности диагональных аппроксимаций Паде можно выбрать подпоследовательность равномерно сходящуюся к / на компактах, лежащих в круге ее голоморфности. Это позволило

Гипотеза (Бейкер—Гаммель-Уиллс). Пусть функция f голоморфна в некоторой окрестности точки z = 0 и мероморфна в круге D = {\z\ < 1}. Тогда найдется бесконечная подпоследовательность А = Л(/) натуральных чисел такая, что [n/n]f —> / при п —У оо, п G А, равномерно на компактах, лежащих в D и не содержащих полюсов /.

Некоторые недостаточно четко сформулированные высказывания, близкие к гипотезе Бейкера-Гаммеля-Уиллса, можно найти уже в работах самого Паде, опубликованных им в начале 20 столетия. Впоследствии гипотеза Бейкера-Гаммеля-Уиллса приобрела широкую известность под названием Паде-гипотезы (Pade conjecture).

С 1961 по 2001 годы Паде-гипотезу не удавалось ни доказать, ни опровергнуть. Результаты положительного характера были получены за этот период времени только лишь при некоторых дополнительных условиях на функцию.

В 1981 году Бейкер и Грейвс-Моррис высказали гипотезу, аналогичную Паде-гипотезе, но не для диагонали, а для т-й строки таблицы Паде.

Гипотеза (Бейкер—Грейвс-Моррис). Пусть функция f голоморфна в круге D = {\z\ < R}. Тогда для всякого m £ N найдется бесконечная подпоследовательность А = А(/, ш) натуральных чисел такая, что [n/m]f —> f при п —> оо7 п £ А, равномерно на компактах, лежащих в D.

В ослабленном варианте гипотеза Бейкера-Грейвс-Морриса доказана А. Гончаром и С. Суегиным [4] в 1983 году. А именно они показали, что для всякого m G N существует постоянная ст, зависящая только от m и такая, что для всякой голоморфной в круге D функции / найдется подпоследовательность A С N, для которой [n/m]f —> / при п —> оо, ne А, равномерно внутри круга \z\ < ст. В частности, если / - целая функция, то найдется подпоследовательность А такая, что [n/m]f —» / при п —У оо, n Œ А, равномерно на любом компакте комплексной плоскости.

В общем случае гипотеза Бейкера-Грейвс-Морриса была опровергнута автором [4] в 1983 году при m — 2 на примере следующей простой функции f(z) = , голоморфной в круге {|,г| < 1} и такой, что каждая из аппроксимаций Паде [n/2]f, n = 1, 2,., имеет полюс, лежащий в круге \z\ < -щ.

В 1997 году Г. Шталь [66] высказал два новых варианта Паде-ги-потезы. В одном из этих вариантов на функцию / накладывается дополнительное условие ее алгебраичности, а во втором - еще более сильное условие ее гиперэллиптичности. Напомним, что гиперэллиптической называется алгебраическая функция вида f{z) = г\{г) + Г2(г)л/1г(2), где Ъ, - многочлен четной степени, г\, г2 -- рациональные функции. Приведем формулировку второй (с более сильным дополнительным условием и, следовательно, казавшейся более достоверной) гипотезы Шталя.

Гипотеза (Шталь). Пусть функция / гиперэллиптична и мероморф-на в единичном круге И = \\z\ < 1}. Тогда найдется бесконечная подпоследовательность А = А(/) натуральных чисел такая, что [п[п\$ —> / при п —оо, п £ А, равномерно на компактах, лежащих в И и не содержащих полюсов f.

Заметим, что Г. Шталь, высказывая свои гипотезы, имел серьезные аргументы в их поддержку. Один из веских аргументов в пользу гипотез - это доказанная Г. Шталем [64] в 1986 году теорема о сходимости по (логарифмической) емкости диагональных аппроксимаций Паде алгебраических функций. Еще более веский аргумент заключается в том, что вышеприведенная гипотеза доказана Г. Шталем [65] в 1996 году в ситуации "общего положения" многочлена /г и при некотором дополнительном условии на нули и полюсы рациональных функций г\ и гг- В 2000 году С.Суетин [34] доказал Паде-гипотезу при том же дополнительном условии, что и у Г.Шталя, и также в ситуации "общего положения", но для функций более общего, по сравнению с гиперэллиптическими, вида, а именно, для функций вида р(г) = -—> гДе ^ ~ многочлен четной степени, а "симметричный"компакт в комплексной плоскости и весовая функция р(() удовлетворяют некоторым достаточно естественным требованиям.

В 2001 году Д. Любински на докладе на Международной конференции анонсировал (полное доказательство опубликовано в [51] в 2003 году) отрицательный ответ на Паде-гипотезу, предъявив в качестве опровергающего примера мероморфную функцию Нч при q = ехр (-—-¡= ).

99 + у5/

Так как функция Нд не является алгебраической, то контрпример Любински не опровергает ни одну из гипотез Шталя. Более того, контрпример Любински основан на равенствах (0.34). Из этих равенств видно, что если точка Zo является полюсом функции Нд(г) (т.е. нулем функции (7д(д,г), то полюсы подходящих дробей (совпадающих с диагональю и наддиагональю таблицы Паде) по подпоследовательности А? имеют своей предельной точкой кроме го еще и точку /З^о- Так как = при ¡3 = то наличие по крайней мере двух полюсов является необходимым условием того, чтобы функция Ня являлась контрпримером к Паде-гипотезе. Другими словами, функция Нд ни при каком д не может опровергнуть голоморфный (в определенном смысле самый интересный) вариант Паде-гипотезы.

В 2001 году сразу после доклада Д. Любински автор анонсировал в [10] и опубликовал в [11] в 2002 году простой пример, одновременно опровергающий как голоморфный вариант Паде-гипотезы, так и гипотезу Шталя. Найденный контрпример задается гиперэллиптической функцией г, V -27 + б,?2 + 3(9 + СУ + л/81(3 - (3 + 0-г3)2 + № т т ~ 2*(9 + 9* + (9 + С)*2) ' 1 } где С = = (—1 + \/Зг)/2 и выбрана та ветвь функции /, для которой /(0) = 0. Обоснование этого контрпримера опирается на разложение функции / в непрерывную периодическую (с периодом 3, так как С3 = 1) дробь

А С*21 С2^21 С3-?2! /(2;) = |з-зс2-г + |з-зс4^ + |з - зс6^ + |з - зс8г + "'' (аз7) последовательность подходящих дробей которой совпадает с диагональю таблицы аппроксимаций Паде функции /, и на утверждение, аналогичное вышесформулированной теореме 4 о сходимости Т-дробей с предельно периодическими коэффициентами. Напомним, что в этой теореме имеется конечное множество К, про сходимость на котором ничего не утверждается, но в каждую точку которого (не лежащую на Г) предельная функция мероморфно продолжается. Ответить на вопрос о сходимости или расходимости дроби в точках исключительного множества К в общем предельно периодическом случае довольно затруднительно. Однако, в чисто периодическом случае все может быть просчитано явным образом, и оказывается, что в точках множества Я", которое непусто при т > 3, действительно нет сходимости. Точнее, для непрерывной дроби (0.37) множество К состоит из трех точек г1, г2 = С^т, = и

Зп + + = !{г3) Ф , 71 = 0,1,., ¿ = 1,2,3 , где / - другая ветвь гиперэллиптической функции (0.36).

Отметим, что для обоснования контрпримера Любински необходимо вычислить полюсы функции Нд. Это достаточно трудоемкая вычислительная задача решена Д.Любински при помощи пакета вычислительных программ МаЛетайса/МаЫаЬ. А именно, его компьютерные вычисления показывают, что функция Нд при д = ехр ^ ——имеет в круге \г\ < 0.46 ровно два полюса, различных и по модулю и по аргументу. В контрпримере же (0.36) вычисления не слишком трудоемки (они состоят в вычислении корней квадратных уравнений с комплексными коэффициентами) и могут быть проведены вручную без использования компьютера.

1. Буслаев В.И., О теореме Фабри об отношении для ортогональных рядов// Труды МИАН, 2006, т. 253, с.14-29.

2. Вавилов В.В. Об особых точках мероморфной функции, заданной своим рядом Тейлора ДАН СССР, 1976, т. 231, 6, 1281-1284.

3. Вавилов В.В., Лопес Г., Прохоров В.А. Об одной обратной задаче для строк таблицы Паде Матем. сб., 1979, т. 110 (152), 117-129.

4. Вавилов В.В., Прохоров В.А., Суетин С.П. Полюсы т-й строки таблицы Паде и особые точки функции Матем. сб., 1983, т. 122 (164), 475-480.

5. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1967.

6. Голузин Г.М., Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966.

7. Гончар A.A., О сходимости аппроксимаций Паде некоторых классов мероморфных функций// Матем. сб., 1975, т. 97 (139), 4, 607-629.

8. Гончар A.A., Полюсы строк таблицы Паде и мероморфное продолжение функций// Матем. сб., 1981, т. 115 (157), 4, 590-613.

9. Гончар A.A., Рахманов Е.А.Равновесная мера и распределение нулей экстремальных полиномов// Матем. сб., 1984, т.125, 117-127.

10. Джоунс У., Трон В., Непрерывные дроби М., Мир, 1985.

11. Евграфов М.А., Новое доказательство теоремы Перрона Изв. АН СССР, серия матем., 1953, 17, 77-82.

12. П.П.Коровкин Асимптотическое представление полиномов, минимизирующих интеграл// Исследования по современным проблемам конструктивной теории функций, Москва, Физматгиз, 1961.

13. Лебедев H.A., Смирнов В.И., Конструктивная теория функций, М.: Наука, 1964.

14. Wallin H., The convergence of Pade approximants and the size of the power series coefficients// Appl. Anal. 4, 1974, 235-251.

15. Wall H.S., Analytic theory of Continued Fractions. Chelsea, New York, 1973, p. 41-42.

16. Worpitsky J., Untersuchungen über die Entwicklung der monodromen und monogenen Funktionen durch Kettenbruche. В книге FriedrichsGymnasium rund Realschule Jahresbericht, Berlin, 1865, 3-39.