Проблемы конструктивного комплексного анализа и спектральный анализ несимметричных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

р V Б ОА 1 А М\Р 1995

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи

•УДК 517.5

КАЛЯГИН Валерик Александрович

ПРОБЛЕМЫ КОНСТРУКТИВНОГО КОМПЛЕКСНОГО АНАЛИЗА И СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ НЕСИММЕТРИЧНЫХ ОПЕРАТОРОВ

01.01.01. • "Математикесхий анашто*

Автореферат диссертацхж Еа соискание ученой стелена доктора фиоихо-матемаппеских наук

МОСКВА -1995

Работа выполнена ва кафедре теории функций механико-математического факультета Нижегородского государственного университета им. Н.И. Ло бачевского

Научный консультант: доктор физико-математических наук А.И.Алтекарев

Офидшигьтле оппоненты:

доктор фиаико-математкческих наук, профессор В.ИБеяыи

доктор фиталго-матеиатических наук, профессор П.К.Суетин

доктор физико-математических наук, профессор А.А.ТПкядиков

Ведущая организация: Математический институт км.В.А.Стеишвд.

Защита состоит« 1995 Г. в 16 час. 05 пин.

ва заседании специализированного Совета Д 053.05.04 при Московской государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу:

119 899, ГСП Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитора* 16-24.

С диссертацией можно оонакомхтьсс в библиотеке механико-матемаг тического факультета МГУ (Пивное оданве, 14 етах).

Автореферат разослан /¿^¿пгГс>< 1995 р.

Ученый секретарь специалиоированного совета Д 053.05.04 при МГУ доктор физико-математических наук Т.П.Лухашеню

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Рациональные аппрохсимации марховсхих функций и связанные с ними ортогональные многочлены впервые появились в работах П.Л.Чебышева и Т.Стилтьеса в связи с проблемой моментов и о&дачей представления функций непрерывными дробями. В настоящее время ортогональные многочлены ахтивно используются в оадачах рациональных аппроксимации аналитических функций. Этому посвящены ассдздоаалня А.А.ГЬич»ра, Б.А.Рксизлсза, Г.ПГгадя, В.Тотиха, Е.Саффа, Г.Лопеса н других. С другой стороны, с развитием функционального анализа, в начале нашего века М.Стоуном 1 было помечено, что проблема моментов связана со спектральным анализом симметричных операторов с простым спектром. Этот подход был развит в работе М.Г.Крейна и М.А.Красносельсхого J, где для решения проблемы моментов рассматривались самосопряженные расширения симметричных операторов. При этом использовались операторы с вещественной трехдиагональной симметричной матрицей (так называемая матрица Якоби). С матрицей Яхоби связана последовательность многочленов, ортогональных по спектральной мере оператора. Теория ортогональных многочленов оказалась, таким образом, включенной в спе1традь-ную теорию операторов Эта связь окапалась плодотворной^и в настоящее время имеется достаточно большое количество работ, где ортогональные многочлены исследуются с позиций теории операторов и наоборот. Этими вопросами занимались Ю.М.Верезансхий, Я.Л.ГЬронимус, Е.М.Нимпшш, А.И.Адтекарев, Ж.Домбровсхая, Ж.ГЬровимо, К.Кейо, В.Ван Ассе, П.Неваи и другие (см. обзор 4).

'Stone М.Н. Linear transformation« in Hilbert Space« and their application» to analyùa, Am. Math. Soc., Providence, 1932.

'Креян M.Г. Кр&сяоселъсхии M.A. Основные теоремы о расширениях эршгго-вых операторов в некоторые их прииенеям к теория ортогональных пошшоиоа ■ проблеме иоиентов, УМН, 2 (1М7), 60-106.

,Ахлеоер II.И. Кдасагчесаа* пробаеиа иоиентов, М., Фтоиатгто, 1961.

4Nevai P. Orthogonal polynomial», recurrence», Jacobi matrice* and meaiuret, в сбор-

-А-

В последние годы в задачах аппроксимации существенно возрос интерес х изучению, тах наоываемых^совыестных аппроксимаций, когда ищется приближение набора функций рациональными с общим знаменаг телем. Соответствующая конструкция носит наование аппроксимации Эрмита-Паде или векторных аппроксимаций Паде и впервые использовалась Ш.Эрмитом в его доказательстве трансцендентности числа е *. Б.М.Никишиным была поставлена оадача исследования совместных аппроксимации с точки зрения теории функций ¡Это привело к открытию новых интересных объектов исследований т. 1кк сходимость совместных аппроксимаций оказалась тесно связанной с поучением асимптотических свойств многочленов совместной ортогональности *, * а формальные свойства аппроксимаций связаны с исследованием векторных непрерывных дробей 10, п.

Актуальной являет«, таким образом, оадача о нахождении содержательных связей совместных аппроксимаций, многочленов совместной ортогональности и векторных непрерывных дробей со спектральной теорией операторов. Эта оадача решается в диссертации. До сих пор результатов в этом направлении известно не было, хотя такой вопрос ставился неод нократно и. В диссертации предложен класс несимметрич-

внхе Progreu in approximation theorj (редакторы АЛ.ГЪячар a Е-Б.Слфф), Springer Serie* in Сотр. Matb., 19 (1992), 78-104.

'Hermite C. Sor U fonction exponentielle, Oeurra complété», 1873, t.3, 150-180.

'Нжжшшш E.M. О састеие нарщвсхнх фунхцка, Вестнвх МГУ, сер. катей., 1979, 4,60-63.

'Нжхюпян ЕМ. Сороквя В.Н. Ршриаииш чшрожежиятуп я ортогод» дыгость, М., Науха, 198«.

'ГЪнчар А.А. Рахиааов В.А. О сяэдашосгн совместных аппрогашацяа Паде яд» систем ыарховсхих фувхцш, ТЬуды МИАН, 1S7 (1981), 31-48.

'АптехаревА .И. Асимптотах» мяаготаиов совместной ортоготглл-ьноств ж случав Анжеаесхо, Матеи. Сб., 136 (1988), 56-84.

"de Bruin М.в. Convergence of generalixed C-fraction, Joam. Appt. Theory, 24 (1978), 177-207.

"Парусников В.И. Апгорити Яхоба-Перрона а совместные прабаижеахх фунхцна, Матеи. Сб., 114 (1981), 322-333.

"Аптехарев А.И. Левитан Б.М. Днсхретнын оператор Штуриа-Лаувизах а твори ортогональных иногочлевов, Доклады во математике а ее приложениям, т.З, вып.1,1990,421-429.

ных операторов, спектральные характеристики которых тесно связаны с исследованием многочленов совместной ортогональности и совместными рациональными аппроксимациями Эрмита-Паде, и проведено систематическое исследование наиденных связей. Это пооволило, с одной стороны, установить новые факты о рациональных аппроксимациях на исследования операторов, и, с другой стороны, получить результаты о спектральных характеристиках несимметричных операторов то анализа совместных рациональных аппроксимации их резольвентных фунщш.

Цель работы. Целью диссертация является определение и слстоматическое исследование связей совместных аппроксимаций со спектральным анализом несимметричных разностных операторов. Получение новых результатов о сходимости совместных аппроксимаций из исследования спектров соответсвующих операторов. Описание спектров операторов, резольвентные функции которых образуют известные в теории рациональных приближений системы. Исследование асимптотических свойств ортогональных и экстремальных многочленов в пространствах с мерой, имеющей дискретную часть, что соответствует компактным возмущениям операторов.

Общая методика работы. В работе используются различные методы теории функций комплексного переменного, теории операторов, линейной алгебры, теории Я* пространств аналитических функций.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и опубликованы в работах автора. Впервые установлены содержательные связи совместных аппроксимаций со спектральным анализом несимметричных разностных операторов. Получено описание спектра оператора в терминах совместных аппроксимаций. Доказана общая теорема о сходимости совместных аппроксимаций на резольвентном множестве оператора. Исследованы операторы, резольвентные функции которых образуют известную в теории рациональных аппроксимаций систему Анжелеско. В качестве примера, изучены некоторые специальны«

системы многочленов совместной ортогональности и выписаны соответствующие ям операторы. Установлена теорема о сходимости для рациональных аппроксимаций резольвентных функций операторов, полученных компактными возмущениями чисто периодических. Выписана в общей ситуации экстремальная задача и установлена асимптотическая формула доя много членов ортогональных по мере имеющей дискретную часть.

Приложения. Работа носит теоретический характер. Методы и результаты могут найти применение в теории аппроксимаций, теории операторов, теории чисел.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на заседаниях научного семинара по комплексному анализу МИ РАН под руководством академика А.А.ГЬнчара, ва семинаре по теории функций действительного переменного под руководством чденаг-корреспондента РАН П-Л.Уяьянова и профессоров М.К.Потапова и Б.С.Калшна, на семинаре по избранным вопросам теории функций под руководством докторов физико-математических наук А.И.Аптекарева я Е.А.Рахманова и доцента В.В.Вавилова, на семинаре по теории операторов под руководством профессоров А.Г.Костюченко н А.А.Шкалихова в МГУ, на научных семинарах университетов Франции: г.Марселя (Ьшпшу) под руководством профессора Ж.М.Комба, г.Парижа (Раш VI) под руководством профессора П.Марони, г.Руава под руководством профессора К.Деллашери, г.Лядяя под руководством профессора К.Бреоинского, на семинаре католического университета г.Намюра (Бельгия) под руководством профессора Ж.П.Ъфапа, на всесоюзных конференциях по теории функции в г.Саратове (1984, 1986), в г.Воронеже (1991, 1995), на конференциях по комплексному анализу и теории приближений в международном математическом институте им.Л.Эйлера, Ленинград (1991, 1994), ва международных конференциях по теории приближений и ортогональным многочленам в г.ТЬмпа (США, 1990), в г.Ткнерифе (Испания,

-т-

1992), в г.Антверпене (Бельгия, 1993), в г.Дельфте (ГЬлландия, 1994).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в ра^ ботах автора [1]-[8] бео соавторов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит ио введения, четырех глав и списка литературы. Принята схвоовах нумерация теорем, лемм и формул. Объем диссертации — 163 страницы текста, наг бранного в редакторе математических текстов ЬаТЕХ (формат машинописного текста). Библиография содержит 136 вишепл»«"™.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИСБРТАЦИИ

Во введении содержатся исторические сведения, общая характеристика рассматриваемых оадач и полученных результатов, а так же краткий обоор литературы.

В главе 1 диссертации докапываются основные утверждения о связи спектральных характеристик некоторого класса операторов и совместных аппроксимаций ЭрмитагПаде их резольвентных функций. В первых двух параграфах изложены необходимые предварительные сведения по вещественным матрицам Якоби, многочленам совместной ортогональности, совместным аппроксимациям, векторным непрерывным дробям и доказаны некоторые вспомогательные утверждения. В §3 рассматривав юте* операторы, определенные в некотором ортонормированием базисе {еп} гильбертова пространстваР равенствами: (п = 0,1,2,...)

Аеп = + + а»+1,,,еп+1 +... +

Матрицей оператора является несимметричная (р+2) диагональная мае трица. С оператором евзано разностное уравнение

а^п-тУп-г + +... + а^пУп + о^я+^.+х = Ау„

которое получается ио формальной задачи на собственные значения. Пусть Я* - резольвента оператора. При фиксированных г, у 6 Р ком-

ддехсная функция /«¿(А) (Д»г, у) называете« резольвентной функцией оператора. Среда решений разностного уравнения выделяй многочлены ?я(Л) заданием начальных условий

ч

д.,-о, = ... г_1 = о, ?0 = 1

Рассмотрим резольвентные функции ^(А) = где — каео +

Л1в1+-Многочлены у« окапываются многочленами совместной ортогональности но отношению х набору из р функционалов, порожденных функциями ф,. Именно, для резольвентных функций имеем разложение в бесконечности

Положим «¡¡Я = (Л"«/, во) и дм многочлена Р = «о+«хА+.. .+«ЖЛ'" определим функционалы = «о»о' + «1»?' + • • • + «т«!?» 3 — 1,2,,.., то. 1Ъгда справедлива

'Георема 1. Для п = кр+» многочлен ?„(А) удовлетворяет системе соотношений ортогональности:

1,(д»А")=0 и = 0,1,...,к ] = 1,2,...,«

Теорема 2 утверждает, что для заданного набора резольвентных функций ф можно подобрать начальные условия так, чтобы для определенных из рекуррентных соотношений многочленов вектор рациональных функций (р^/?*) Двваа аппроксимацию Эрмита-Паде для набора ф. В теореме 4 устанавливается, что модифицированный алгоритм Якобя-Перрона, примененный к системе ф дает векторную непрерывную дробь, коэффициентами которой служат элементы матрицы оператора. Это позволяет сопоставить любому регулярному набору аналитических функции некоторый оператор описанного класса. Более подробно этот вопрос (т.н. операторная проблема моментов) обсуждается в §6. В §4 приводится полное описание спектра оператора в терминах совместных

аппроксимаций его резольвентных функций. Доказательство критерия использует известное в методе конечного элемента и сплайн аппроксимаций утверждение о геометрическом убывании элементов матриц обратных ленточным. В §5 подученный критерий используется для получения информации об асимптотическом поведении многочленов совместной ортогональности на резольвентном множестве оператора. Здесь доказана

Теорема 8.В точках резольвентного множества оператора для многочленов совместной ортогональности сг, (Л) ««»«>•■;;

Цштр^Л)!1''> 1

Этот факт и анализ критерия спектра приводят к следующей теореме о сходимости

Теорема 9. В каждой точке резольвентного множества оператора имеется сходимость совместных аппроксимаций по некоторой подпоследовательности индексов.

Это утверждение является достаточно общим, так как в §б главы 1 показано (теорема 10), что любой невырожденный набор из р функций есть набор резольвентных функций некоторого оператора описанного класса. В диссертации утверждение теоремы сформулировано в терминах операторной проблемы моментов, для решения которой исполпуется векторная непрерывная дробь, определенная в §3.

Во второй главе диссертации рассматривются операторы, резольвентные функции которых являются марковскими функциями с непересекающимися носителями мер. ТЬкие системы функций принято называть системами Анжелеско. В §1 с системой Анжелеско связывается некоторая алгебраическая функция и для случая р = 2 полностью определяются ее параметры. В §2 доказывается основной результат главы 2:

Теорема 13: Операторы, резольвентные функции которых образуют систему Анжелеско являются асимптотически периодическими с периодом р.

Дил доказательства »того утверждена! устанавливаете* асимптотика через период р функции второго рода. Другим »талом доказательства является применение теоремы, обратной теореме Пуанкаре об асимптотике отношение решении разностных уравнений с асимптотически периодическими коэффицветами. Доказательство самой обратной теоремы проводится в §4 павы 3 диссертации. Для систем Анжелесхо хорошо изучена сходимость совместных аппроксимаций н асимптотические свойства многочленов совместной ортогональности. Это дает возможность применения общих результатов главы 1 для определения спектров операторов. Результатом является

ТЬорема 14. Пусть А оператор, резольвентные функции которого образуют систему Анжелеско. Тогда справедливо

1. Спектр оператора не имеет изолированных точек в области сходимости совместных аппроксимаций.

2. Резольвентное множество оператора имеет вид

ЩА) = Х> Л {|Фо| < 1, |^|>1}

где через 27 обозначена область сходимости совместных аппроксимаций, Ф0, Фу однозначные в £ ветви некоторой алгебраической функции, однозначно определяемой входными данными системы Анжелеско.

В последнем параграфе главы 2 рассмотрены некоторые специальные системы многочленов совместной ортогональности, для которых найдены рекуррентные соотношения и вычислены пределы коэффициентов рекуррентных соотношений через период. Это позволяет явно определить алгебраическую функцию теоремы 14 в достаточно общем случае.

В главе 3 диссертации изучаются периодические и асимптотически периодические операторы и связанные с вими аппроксимации. В §1 исследуются комплексные периодические матрицы Якоби. Спектр вещественных симметричных периодических матриц Якоби был определен

Я.Л.Г^ронимусом г® В §1 показано, на основе результатов главы 1, что в случае комплексных матриц Яхоби картина спектра меняется, причем »то изменение возможно при пюбьпе, пусть слабых, комплексных возмущениях вещественной матрицы. В §2 на основе изучена* спектра исследуется сходимость аппроксимаций Паде резольвентной функции асимптотически периодической матрицы Яхоби. Как результат (теорема 18) получается, что аппроксимации сходятся всюду на резольвентном множестве оператора, хроме явно описанного конечного множества тчеж, в которых сходится половина ыптроксимадазг. Уже я часто периодическом случае отсюда следует, что вывод о сходимости по подпоследовательности в теореме 9 главы 1 нельзя улучшить. В §3 эти результаты распространены на многодиагональные несимметричные операторы и совместные аппроксимации Эрмита-Паде. В целом, полученные результаты являются уточнением известной теоремы Ван Флеха об асимптотически периодических непрерывных дробях 14. В юнце §3 приведены различные примеры операторов, резольвентные функции которых образуют изученные в теории аппроксимаций Эрмита-Паде системы. В §4 главы 3 обсуждается задача об обращении теоремы Пуанкаре. Теорема Пуанкаре об асимптотике отношения решений разностных уравнений позволяет по асимптотике коэффициентов уравнений определять асим-птотичесхое поведение его решений. В »той части главы мы исследуем возможность обратного: по асимптотическим свойствам решений ра> постного уравнения определить асимптотики его коэффициентов. Результат, теорема 21, использован в главе 2 при исследовании операторов с системой резольвентных функций типа Анжелесхо.

В четвертой главе диссертации изучаются асимптотические формулы для ортогональных и //-экстремальных многочленов в простран-

"ГЬронимус Я.Л. О некоторых уравнениях в конечных раоностхх н соответствующее системах ортогональных многочленов, Записки мат. отд. ф-м ф-та ХГУ и харьк. матем. об-ва, 1957, т.25, 88-100.

"Wall Н. Analytic theory of continued fractionj, New-York, Van Noetrand, 1948.

ствах с мерой имеющей дискретную часть. Эта задача для ортогональных многочленов воонихла при исследовании сходимости аппроксимаций Паде рациональных возмущений марковских функций 15, а так же при изучении задачи рассеяния разностного оператора второго порядка В диссертации рассматривается задача в общей постановке для двух случаев: основной носитель меры контур и основной носитель меры - дуга в комплексной плоскости. В первом случае, в теореме 22 установлены асимптотические формулы ¿'-экстремальных многочленов для О < р < оо, здесь для доказательства теоремы нам потребовалось некоторая модификация известной леммы М.В. Келдыша. Во втором случае получены асимптотичекие формулы ортогональных многочленов. В обоих случаях асимптотическая формула имеет достаточно стандартный вид

где С[Е) - емкость контура или дуги, Ф(г) - функция, конформно ото браг жающая внешность Е на внешность единичного круга, а функция имеет минимальную норму среди всех функций пространства Нг(П,р), имеющих значение 1 в бесконечности и значение 0 во всех точках дискретного спектра меры. Эти результаты есть развитие работ Я.Л.Геро-нимуса и Х.Видома на случал пространств с мерой имеющей дискретную часть. >

"ГЪкч&р Л.А. О сходимости аппроксимаций Паде некоторых классов мероыорфных функции, Матеи. Сб., 97 (1975), 607-629.

"Никитин Е.М. Дискретный оператор Штуриа-Лвувидля я некоторые оадачи теория функции, Тр. сей. И.Г.Петровского, 10 (1984), 3-77.

- -

Основные реоультаты диссертации опубликованы в работах автора

1. Характеристики спектров разностных операторов высших порядков я сходимость совместных рациональных аппроксимаций, Доклады РАН, 340 (1995), п.1.

2. Аппроксимации Эрмита-Паде и спектральный анализ несимметричных операторов, Математик. Сборник, 185 (1994), вып. 6, 79-100.

3. О рациональных аппроксимациях резольвентной функции раоно-гтяого «n^pïTOpa второго порядка, УМН, 40 (1ÖÖ4), пып.З, 181-182.

4. О совместных приближениях Паде двух логарифмов, Теория функций и приближения, Т^уды Саратовской школы по теории функций,

1986, том 2, стр.126-130.

5. Об асимптотике Lp экстремальных на контуре многочленов, Journ. of Арргох. Theory, 74 (1993)^.4, 226-236.

6. Замечание об асимптотике многочленов ортогональных на дуге (случай меры с дискретной составляющей), Jonr. of Аррг. Theory, 80 (1995), n.l, 138-145.

7. Ортогональные многочлены размерности d и приближения Эрмита Паде, Т^уды семинара AMS, Universite de Rouen, France, 1993, 4553.

8. Спектр комплексной матрицы Якоби и сходимость диагональных аппроксимаций Паде, Воронежская зимняя пшола по теории функций, январь 1995, тезисы докладов.

Кроме того по теме диссертация опубликованы следующие работы:

9. Аналитические свойства функций представимых Р^™' дробями с периодическими коеффициентами, ИПМ им. М.В.Келдыша, препринт 57,1986, (совместно с А.И.Алтсхаревым).

10. Асимптотика корня n-ой степени из полиномов совместной ортогональности и алгебраические функции, ИПМ им. М.В.Келдьппа, препринт 60,1986, (совместно с А.И.Аптекаревым).

11. Analytic properties of two dimentiona] continued P-fraction expantions and their Pade-Hermit approximants, Lect. Notes in Math. , т.1237,

1987, стр.145-160, (совместно с А.И.Алтекаревым),

12. Sur la formule asymptotique des polynomes orthogonaux associes a une mesure concentree sur un contour plus une partie discrete finie , BulL Soc. Math. Belgique, 41, 1089, стр.29-46, (совместно с R.Benzin).

13. Совместные аппроксимации Паде, в книге Б.М.Никшпина "Избранные вопросы математического анализа", Наука, 1991, стр. 412-420, (совместно с А.И.Аптехаревым).

14. On the definition and normality of a general table of simultaneous Pade approximants, Jour, of Apprca. Theory, 77(1994), n.l, 65-73 (совместно с J.Gilewicz и B.Beckennann).

15. On algebraic computation of number of poles of meromorphic functions in the unit disk, в A.Cuyt (Editor), труды международной конференции "Nonlinear methods and rational approximations", Антверпен, Белым, сентябрь 1993, Kluwer Academic Publisher, 1994, стр.241246 (совместно с B.Gleyse).