Некоторые условия обратимости разностных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ
|
Колесников, Игорь Александрович
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Воронеж
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2000
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.01
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
РГ5 ОД
- 6 СЕН Ш
КОЛЕСНИКОВ Игорь Александрович
НЕКОТОРЫЕ УСЛОВИЯ ОБРАТИМОСТИ РАЗНОСТНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Специальность 01.01.01 - математический анализ
АВТОРЕФЕРАТ
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Воронеж - 2000
Работа выполнена в Воронежском государственном университете
Научные руководители: доктор физико-математических
наук, профессор Баскаков А.Г. кандидат физико-математических наук, доцент Азарнова Т.В.
Официальные оппоненты: доктор физико-математических
наук, профессор Курбатов В.Г. доктор физико-математических наук, профессор Сапронов Ю.И.
Ведущая организация: КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ
Защита состоится 27 сентября 2000 года в 15.20 час. на заседании диссертационного совета К 063.48.09 в Воронежском государственном университете по адресу: 394693, г. Воронеж. Университетская пл., 1, ВГУ, математический факультет, ауд. 314.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.
Автореферат разослан 2-4 2000 года.
Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук
Задорожний В.Г.
В1в 2
)
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальности темы. Настоящая диссертация посвящена вопросам обратимости разностных операторов, а также матричному анализу некоторых классов ограниченных операторов, в том числе и интегральных, тесно связанных с разностными.
Теория разностных операторов находит разнообразные приложения во всех областях современной науки, в том числе, в биологии, экономике, химии, физике. Особое внимание к разностным операторам и уравнениям их содержащим обусловлено, прежде всего, применением аппарата разностных операторов в исследованиях разрешимости различных дифференциальных. интегральных и функциональных уравнений. Подобные исследования различных классов уравнений осуществлялись в работах многих авторов, в частности, в работах А.Г. Баскакова, Р. Беллмана и К.Л. Кука, И.Ц. Гохберга и И.А. Фельдмана, П.П. Забрейко и Нгуен Ван Миня, С.Г. Крейна, В.Г. Курбатова, Б.М. Левитана и В.В. Жикова, Х.Л. Массера и Х.Х. Шеффера, В.М. Тюрина, Д. Хенри.
Среди всех разностных операторов отдельный интерес представляют часто возникающие в приложениях операторы взвешенного сдвига. Первые исследования, посвященные этим операторам, появились еще в конце прошлого - начале нашего столетия. Так, в работах О. Перрона и X. Пуанкаре изучались вопросы поведения на бесконечности некоторых типов разностных операторов, относящихся к операторам взвешенного сдвига.
Спектральные свойства операторов взвешенного сдвига и условия обратимости разностных операторов их содержащих находят широкое применение в теории дифференциальных операторов. Как правило, исследования обратимости дифференциального или соответствующего разностного операторов проводятся в терминах экспоненциальной дихотомии соответствующего семейства эволюционных операторов. Связь экспоненциальной дихотомии с разрешимостью дифференциальных уравнений исследовалась
в работах О. Перрона А.Д. Майзеля, X. Массера и X. Шеффера, Ю.Л. Да-лецкого и М.Г. Крейна, В.В. Жикова и А.Г. Баскакова.
Экспоненциальную дихотомию для разностных уравнений в банахо вом пространстве рассматривали С. Коффман и X. Шеффер, делая упо[ на связь дихотомии и допустимости. В работах В.Е. Слюсарчука и Д. Хен ри доказана эквивалентность обратимости действующего в ¿^(Z, А"") раз постного оператора, содержащего взвешенный сдвиг, и экспоненциально; дихотомии соответствующего семейства эволюционных операторов. Соот ветствующий результат для всех пространств /P(Z, X) (р 6 [1, оо]) получе! в работах А.Г. Баскакова. Кроме того, доказана эквивалентность обрати мости абстрактного линейного дифференциального параболического one ратора и соответствующего разностного оператора, содержащего операто{ взвешенного сдвига.
Эффективным аппаратом для исследования связанных с обратимо стью свойств разностных и интегральных операторов является матричньи' анализ, позволяющий изучать свойства операторов через структуру их ма трицы. Заметим, что представление оператора в виде матрицы можно ин терпретировать как один из способов сведения линейного ограниченной оператора к некоторому разностному оператору.
Таким образом, самостоятельный интерес представляет исследовант структуры матрицы оператора для рассматриваемых классов операторов Информация о структуре матрицы линейного оператора может лежать i основе конструктивного метода нахождения обратного оператора и оцен ки структуры его матрицы. В настоящее время опубликовано достаточт много работ, посвященных исследованию структуры матрицы обратного оператора. Как правило, структура обратных операторов выражается терминах асимптотических или конкретных оценок убывания элементо обратных матриц. В работах А.Г. Баскакова, И.А. Блатова, М.А. Шуби на для различных классов операторов найдены асимптотические оценк:
убывания внедиагональных элементов. Как правило, результаты формулируются в терминах наполненности соответствующих классов. Конкретные оценки получены в работах Т.В. Азарновой, А.Г. Баскакова и С. Демко.
Вышеизложенное позволяет заметить, что разрешимость разностных и сводимых к ним уравнений, условия обратимости и фредгольмовости соответствующих разностных операторов и структура обратных операторов несомненно представляют собой интересную область современного анализа. Исследованию условий обратимости разностных и тесно связанных с ними интегральных операторов и структуры матриц обратных к ним операторов посвящена данная диссертационная работа.
Цель работы. Основные цели работы состоят в следующем:
- исследовать структуру матрицы обратного оператора к обратимому линейному ограниченному оператору с двухдиагональной матрицей, действующему в банаховом пространстве X;
- изучить условия обратимости и фредгольмовости разностного оператора Т> = I — К.ц, где 1Сц - оператор взвешенного сдвига, семейство эволюционных операторов которого допускает экспоненциальную дихотомию на множествах {.'..,тп\ — 1,тх} и {тг.тг + 1,...} для целых чисел Ш1 < тг;
- методом замороженных коэффициентов найти достаточные условия обратимости некоторых классов разностных и интегральных операторов.
Методика исследования. Исследования, представленные в настоящей работе, проводились с использованием методов теории линейных операторов, гармонического анализа, функционального исчисления операторов, теории представлений и теории функций комплексного переменного.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. В качестве основных результатов работы можно назвать следующие:
- получены конкретные оценки элементов матрицы обратного оператора для линейных ограниченных операторов, имеющих двухдиагональную или конечнодиагональную матрицу, в том числе и для оператора V, содер-
жащего взвешенный сдвиг;
- в терминах экспоненциальной дихотсм-и на бесконечности получе ны необходимые и достаточные условия обратимости и фредгольмовоеп оператора Т>\
- найдены достаточные условия обратимости некоторых классов раз ностных и интегральных операторов.
Практическая и теоретическая знач:^ мость. Работа носит теоре тический характер. Полученные в диссертации результаты и методы и) обоснования могут быть использованы в различных вопросах спектраль ной теории разностных, дифференциальных п интегральных операторов в теории функциональных уравнений и мегс-дах вычислений.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсу ждались на семинарах кафедры математических методов исследованш операций Воронежского государственного \ч. чверситета (руководитель -профессор А.Г. Баскаков), научных сессиях Е.'ГУ, на конференции "Математическое моделирование систем. Методы, гоиложения и средства", ш Международной научной конференции "Нелинейный анализ и функционально - дифференциальные уравнения", ¡-¡а Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - X. Современные методы I теории краевых задач".
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-8], список которых приводится в ко:-хо автореферата. Результать работ [1-2] получены совместно с научным руководителем Т.В. Азарновой Научному руководителю принадлежит постановка задачи, а автору - её решение. -
Структура и объем работьь Диссертационная работа изложена не 106 страницах и состоит из введения, трех глаз и списка литературы из 8С наименований. Нумерация приводимых в автореферате теорем и определений совпадает с нумерацией, принятой в диссертационной работе.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении дается краткий обзор работ, посвященных методам и используемому аппарату. Обосновывается актуальность темы и кратко излагается содержание работы.
Первая глава посвящена исследованию структуры обратных матриц для некоторых классов линейных ограниченных обратимых операторов, действующих в комплексном банаховом пространстве X.
В банаховой алгебре End Л", состоящей из линейных ограниченных операторов, действующих из X з X, рассматривается некоторая дизъюнктная последовательность проекторов V = {Pj € End X : j € Л}, где Л - счетное подмножество из Ъ.
По системе проекторо= 'Р, каждому оператору А 6 End X ставится в соответствие матрица Л -- (А;) (i,j £ Л), состоящая из операторных блоков
Aij = PiAPj Q, End X.
Для удобства изложения зводится следующая функция ¿д : Z —> R, определяемая равенствами
~ SUP IIAjlli keAi, ,-j=k
где Ai = {Ar € Z : к = г — j, i,j € Л}. Она является важной числовой характеристикой убывания г;недиагональных элементов матрицы А.
В параграфе 1.1 обосновывается корректность подобного определения матрицы линейного ограниченного оператора и приводится пример построения матриц для операторов, действующих в функциональных пространствах ¿И(К, Е), где Е - кс лоч номерное банахово пространство. Для банаховых пространств с базисом анализируется связь с традиционными числовыми матрицами.
В параграфе 1.2 исслед5'е?ся структура матриц обратных операторов для следующих классов or ораторов:
1. Endo.i-AT = {A G EndX : йл(к) = О, для всех к ф 0,1}, т.е. матрице любого оператора А £ Endo,i X может содержать только две ненулевьк диагонали Ао и А\ (для определенности считаем, что к = 1 6 Ai);
2. EndmX - {Л е EndX : dA(k) = 0, \к\ > т, к е Ai}, т.е. матрица любого оператора А Е Endm X конечнодиагональна.
Для операторов из класса Endo,i X получена следующая теорема. Теорема 1.1. Пусть оператор А из класса Endo,i^sT обратим. Тогдс нормы матричных элементов Bij (i,j £ А) оператора В = A~l 6 End Л допускают оценки вида
||1?у|| < dB(k) < 2\\А~1\\ (j^tfj) k = i-je A1(
||вй|| < dB(о) < цл-1!!,
г5ех(А) = ||Л-1||||Л1||.
Доказательство этой теоремы основывается на исследовании области обратимости операторнозначной функции, которая является аналитическим расширением (на всю комплексную плоскость С) функции ФА ■ Т-» EndX вида
<М0) = Р(9)АР(в-1),
где Р(в) — Y^ Pk@k- Оценки матричных элементов получаются как оценки keA
коэффициентов ряда Лорана функции Ф^-» в некотором кольце.
Далее рассматривается пример применения результатов теоремы 1.1 для некоторого класса разностных операторов, действующих в пространствах lv — ZP(Z, У),р € [1, оо], где Y - банахово пространство. Равенствами
(1Сцх)(п) = U(n)x(n — 1), п <= Z,x е 1р,
где U : Ъ —> End У - ограниченная операторнозначная функция, определяется оператор взвешенного сдвига Ки 1Р —> 1Р- Для обратимого оператора V = I — К-и, где I - тождественный оператор, оценки элементов Вц ма-
грицы оператора В = V 1, как следствие из теоремы 1.1, принимают вид
Оценки, приведенные в теореме 1.1, используются для нахождения оценок элементов обратных матриц для операторов из класса Endm X. Для определенности считается, что Л = Z и выполнено
Предположение 1.1. Существует обратимый изометрический оператор Sm <Е EndX (т.е. j|Smj| = К^1 (1 = 1) такой, что все ненулевые элементы матрицы Sm оператора Sm расположены на ni-ой диагонали (т.е.
Теорема 1.2. Пусть оператор А 6 обратим и выполнено
предположение 1.1. Тогда нормы матричных элементов В(г,] е А) оператора В = /I"1 € ЕпйХ допускают оценки вида
Во второй главе рассматривается разностный оператор V — I — Кц, действующий в пространствах J-(2.,X), вида
{Vx)(n) = х(п) - U(n)x(n - 1), п 6 Z,
где U : Ъ —t End Х- ограниченная функция. Символом Т = Т{Ъ,Х) обозначается одно из пространств последовательностей векторов из X: lp = lp(Z, X) (р € [1, оо]) или со = co(Z, С
В параграфе 2.1 вводятся все основные определения и предположения данной главы. Исследование свойств разностного оператора проводится в терминах соответствующего ему семейства эволюционных операторов
№11 < dB{0) < ||D-M|.
{Sm)ij =0, г - j ф т).
1+2ЦД-МП1АГ
и = 11А(п,тп) : —с» < т < п < оо} из алгебры Епс1Х, которое определяется следующим образом
Определение 2.1. Будем говорить, что семейство эволюционных операторов и допускает экспоненциальную дихотомию на множестве Л/о из Ъ с постоянными М > 0, д € (0,1), если существует ограниченная проектор-нозначная функция Р : Л/о —> Епс1Х такая, что
1)И(п, т)Р(т) = Р(п)и(п,т) для всех т < п из Л/*о;
2)|1^(п,т)Р(т)|| < Мд""т,т < п,т,п еЛ/"0;
3)при п > т из множества Л/"о сужение ЫП)ГП : Х'(тп) Х'(п) оператора 1/(п,тп) на образ Х'(гл) = 1т<5(т) дополнительного проектора <2(т) = I — Р(тп) к проектору Р(т) является изоморфизмом подпространств Х'(гп) и Х'(тг). Определим оператор Ы(тп, п) € Епс1Х как оператор, совпадающий с Ы^ на Х'(п) и являющийся нулевым на подпространстве Х(п) = 1шР(п);
4)\\И(т,п)(Э(п)\\ < Мдп~т,п > т,т,п 6 Л/"0.
Пара проекторнозначных функций (Р, <5), участвующих в определении 2.1, называется расщепляющей парой для семейства эволюционных операторов Ы.
Бразильским математиком Д. Хенри доказана эквивалентность обратимости оператора V из алгебры Епс1/00(Е, X) и экспоненциальной дихотомии семейства эволюционных операторов Ы на множестве Z. Однако, проверка свойства экспоненциальной дихотомии семейства Ы на всем множестве Ъ весьма затруднительна и значительно проще проверка выполнения следующего предположения.
Предположение 2.1. Существуют целые числа т^ < гпг такие, что семейство эволюционных операторов Ы допускает экспоненциальную дихотомию на множествах 2_(гп1) = {..., тп\ — 1, гпх} и 2+(тП2) = {шг, тп2+1,...}
с соответствующими парами расщепляющих функций (P+,Q+).
Далее, для образов проекторов (P±,Q±) используются обозначения
Х-(п) = ImP_(n), п < mi, Х+(п) = ImP+(n), п > m;,
XL{n) = ImQ-(n), n < mi, X'+(n) — ImQ+(n), n > m2.
Параграф 2.2 посвящен исследованию обратимости и фредгольмовости оператора V, удовлетворяющего предположению 2.1. Исследования проводятся с использованием оператора Ф : Х'_{тп\) —> Х'+{то) вида
Ф = Ф(гл1,ш2) = Q+{m2)U{m2, m1)Q_(m1),
который называется узловым оператором.
Следующая теорема устанавливает изоморфизм между ядром оператора Т> и ядром оператора Ф.
Теорема 2.1. Если выполнено предположение 2.1, то ядро КегР оператора V Е EndJF(Z, X) состоит из последовательностей х 6 F{Z,X) вида
I Ц(п, тп{)хо, п < ттг2,
х(п) - <
( U(n,rri2)U(TrL2,m\)XQ, п>т2,
где io - произвольный вектор из ядра Кег Ф оператора Ф = Q+(m2)W(m2,m1)Q_(mi) : ХЦтх) Х'+{т2).
Следствие 2.4. Ядро Kerf оператора V не зависит от выбора пространства Т{Ъ,Х), и имеет место равенство
dim Кег V — dim Кег Ф.
Теорема 2.2. Пусть оператор V удовлетворяет предположению 2.1. Тогда следующие условия эквивалентны:
1. Образ 1тФ оператора Ф является замкнутым подпространством в X, а его ядро Кег Ф - дополняемое подпространство в X (X — Кег Ф ® Х$);
2. Образ 1тР оператора V - замкнутое подпространство в Т{Ъ,Х), а ядро KerZ? - дополняемое подпространство в X) (J- = Кег2?ф !Fv)-
Следствие 2.7. Если выполнено предположение 2.1, то оператор V равномерно инъективен тогда и только тогда, когда равномерно инъек-тивен узловой оператор Ф.
Аналогичные результаты можно получить для сопряженных операторов V* е ЕпбР* и Ф* 6 ЕпсЦС*.
Теорема 2.3.Пусть оператор Т> удовлетворяет предположению 2.1, тогда ядро КегХ>* оператора V* состоит из последовательностей £ 6 Т* вида
_ | п)*Р_(т1)*1/(гтг2,т1)*^о, п < ть
( и(т2,п)*£0, п > ГПи
где £о £ КегФ* и Ф* : 1т<3+(т2)* —► 1т<5-(яц)* - сопряо/сенный к узловому оператору Ф.
Теорема 2.4. Пусть выполнено предположение 2.1. Тогда следующие условия эквивалентны:
1. Образ 1т Ф* оператора Ф* является замкнутым подпространством в пространстве X*, а его ядро КегФ* - дополняемое подпространство в X*
2. Образ 1т V оператора V* - замкнутое подпространство в Т*, а ядре КегТ>* - дополняемое подпространство в Т* = КегХ>* ф Т^).
Основными результатами параграфа и главы являются теоремы, непосредственно вытекающие из утверждений теорем 2.1-2.4 и их следствий.
Теорема 2.5.Оператор V 6 Л') обратим тогда и толъю
тогда, когда выполнено предположение 2.1 и линейный оператор
Ф = (Э+^^^тп^р-^гц) : XI(тщ) Х'+(т2)
является изоморфизмом.
Теорема 2.6. Пусть выполнено предположение 2.1. Тогда операто; Т> е Епс1^г(2, X) фредгольмов тогда и только тогда, когда фредгольмс вым является линейный оператор Ф. При ¿том индексы операторов Ф Т> совпадают.
При исследовании раз] > шшмости разностных уравнений, большую роль играет информация о стру <туре образа соответствующего разностного оператора. В параграфе 2.3 иовздуются структуры образов 1т V и'ЬпР* операторов V и V* и их связь с образами операторов Ф и Ф*.
Теорема 2.8. Пусть :ператор V удовлетворяет предположению 2.1 и его образ IтТ> замкнут. г ядро КегТ> дополняемо в Т. Тогда образ сопряженного оператора V состоит из последовательностей вида /
£(п), п ф 7Т11,
,(п) I ¿(тщ)- Г Рг'ЩЪтгУЩк)-
^ ' к— •«' оо
- Рф*1\{1П2,ТП\)*Р+{т2)*и{к,ГП2)'^{к), П — ТПх,
к=тг
где £ - произвольный фут:ч;;,онал из Т*, а - проектор на ядро узлового оператора.
Теорема 2.10. Пусть оператор Т> удовлетворяет предположению 2.1 и его образ 1тР замкну/', в Т, а ядро КегХ>* сопряженного оператора V является дополняемы.л подпространством в Т*. Тогда существует проектор Р§ : X —)■ X плкой, что (Рф)* = Р$> и образ оператора V состоит из последовательностей вида
у(п) = <
X(п), П Ф ТП2,
7711
х{т2) - £ Р$и{тг, тп\)Р-(гп\)Ы{т\, к)х(к) —
к=—о:
со
— £ к)х(к), П — ТП2,
к~т\+1
где х 6 Т.
Третья глава посвящсча изучению достаточных условий обратимости некоторых классов линейных ограниченных операторов с медленно меняющимися коэффициентами, действующих в пространствах последовательностей са{Ъ,Х), 1Р(Ъ,Х) кэ.ч зсехр б [1,со] и функциональных пространствах ЬРЯ(Ш,Е), 1 < д < :о, р — 0 или 1 < р < со. Все основные резуль-
таты получены на основе метода замороженных коэффициентов и оценог элементов обратных матриц для рассматриваемых классов операторов.
В параграфе 3.1 исследуются операторы из класса Endm ^(Z, X).
По системе проекторов 77 = {Ра€ EndJ7: РкХ = (..., 0,xjt, 0,...), к е Z} каждому оператору А 6 Endm J- ставится в соответствие матрица А. Параллельно с операторными блоками Aíj \ Т Т рассматриваются операторы a¡j : X X, определяющиеся следующим образом
üijx = (АР]Х){, х е X.
Кроме того, каждому оператору А из EndTn X) ставится в соответствие величина
7 = 7(Л) = sup ||ау - a¿+ij+i||, «Jez
являющаяся характеристикой изменения коэффициентов (матричных элементов) оператора А, стоящих на одной диагонали. Если величина 7(А) в каком-то смысле мала, то говорят, что коэффициенты оператора А медленно меняются. Далее исследуется зависимость обратимости операторов из класса Endm X) от малости .величины 7.
Для получения достаточных условий обратимости справа оператора А € Endm Т строится система операторов {Af 6 Endm JF};^ вида
(Af)ij = ai i-i+j, ¿,j€S.
Предположение 3.1. Операторы A¡ñ обратимы для всех I 6 Z, и для обратных операторов Bp = (Af)~1 выполняется следующее условие
sup IIBfll = Qr < 00. fez
Лемма 3.1. Если оператор A S Endm Т удовлетворяет предположению 3.1, а величина 7 (А) условию
7(а) <'_:___
71 ; М*((т2 + т)( 1 - р*)Ц 1 + р*) + 2(р* + (р*)2) - (р*)т+2)'
П* - SUD f-ÄlMSU - u M* - SUD Í2 + _^I^ÜHfll+i_N и ОЛП
9 ~~ Л U+WlIJW ~ \ + s(llßi IIIHfll)2+3llßj IIIHflly ^ II'
то оператор А обратим справа.
Чтобы найти условия существования левого обратного для оператора А € Endm^" строится система операторов Af (I G Z), задаваемых равенствами
— a¡+i-j i, i,jeZ.
Предположение 3.2. Операторы Af обратимы для всех I G Z, и операторы Bf = (Ар)"1 удовлетворяют следующему условию
sup \\Bf\\ = Qc < со. lez
Лемма 3.2. Если оператор A G Endm Т удовлетворяет предположению 3.2 и выполняется условие
7(Л) <_^^_
' Mt{{rr¿ +т)( 1 - 1 + pt) + 2(р, + (р,)2) - (p*)m+2) '
я - sud f-itóM2L) ™ и M — SUD (2 +_M!M£I1±L__) h дСп
~ U+^flllW * ~ V + 8(PP|||Hf||)H3||ßfl||Hf||J №1 li-
mo оператор A обратим слева.
Условия двухсторонней обратимости для операторов с медленным изменением коэффициентов получены в следующей теореме.
Теорема 3.1.Если оператор A G EndтТ удовлетворяет предположениям 3.1 и 3.2 и условию
7(A) < min |M.((rni+rn)(1_í-)2(í+pí>)l2(p'+(p-)2)-(p-)'»+2) '
_(!=£=)?_\
M.{(m'+m)(l-p.Y{l+p.)+2{p.+{p.Y)-{p.)"■+*) J >
то он обратим.
В параграфе 3.2 изучаются разностные операторы вида
{Vx)(n) = х(п) - U(n)x(n - 1), X G Т,
рассматривавшиеся в главе 2- Для них на основе метода замороженных коэффициентов находятся достаточные условия обратимости и фредголь-мовости. Доказательство проводится в терминах величины'7, которая здесь
является характеристикой изменения функцг;! U при сдвиге аргумента
7(2?) = sup \\U(l)-U(l - 1)||. le г
Рассматривается система операторов Vi <1 End J7 (Z € Z) вида
('T>ix)(n) = x(n) - U(l)x(n - :.), ne Z.
Предположение 3.3. Операторы T>\ обратимы для всех I € Z, и дл операторов Bi = Vf1 выполняется следующее условие
sup IIВ;¡1 = Q < оо.
lez
Теорема 3.2. Если оператор Т> = I — К.ц удовлетворяет предпом э/сению 3.3 и условию
1{V) < JLZEL *
где M = зир2||Х>,-1||, р — sup ( ^¿JL) , тс m обратим, lez lez 11 /
Затем, в терминах экспоненциальной дихотомии на бесконечности сс
ответствующего оператору Т> семейства эволюционных операторов иссле
дуется его обратимость и фредгольмовость. П mi этом используются семей
ства эволюционных операторов Ui вида
Ui(n, m) = U(l)n~m, -со < m < п < оо,
соответствующие операторам Vi для I & Z.
Предположение 3.4. Пусть существую:: [;елые числа toi < ггсг, такие что семейства эволюционных операторов U\ (I <z Z) допускают экспоненци альную дихотомию на множестве Z_(mi) для зсех I < mi и на множеств! Z+(m2) для всех I > ГП2- Кроме того, для соответствующих констант Mi i qi выполняются условия
М_ = sup Mi < оо, q. = sup qi < 1,
l<mi
M+ = sup Ml < oo, q+ -- sup qi < 1.
¡>ТП2 • 1>ГП2
Достаточные условия обратимости и фредгольмовости оператора V, удовлетворяющего предположению 3.4, формулируются в виде теоремы.
Теорема 3.3.Пусть оператор V удовлетворяет предположению 3-4 и условиям
7(2?+) - sup ||U{1 + 1) - U{1)|! < ТГТпД'
¡>т2 M+(l + q%)
7(Р_) - sup ITO - с/(г -1)11 < ¿1~ч:)2гу Km, М_(1 -г gi)
а подпространства
Х- - {x(mi) : i G KerXL}, Х+ = {i0 : sup \\U{n, mi)x§|| < oo},
дополняемы в пространстве X. Тогда семейство U допусг;ает экспоненциальную дихотомию на множествах Z_(mi) и Z+(rri2) и условия обратимости (фредгольмовости) соответствующего узлового оператора Ф эквивалентны условиям обратимости (фредгольмовости) оператора V.
В параграфе 3.3 результаты теоремы 3.1 применяются для исследования обратимости интегральных операторов В : Lpq —¥ L-рц — Lvq(R,E) (1 < q < oo, p = 0 или 1 < p < со) вида
{Bx){t) = Ax{t) + (Ax)(t) = Ax{t) + J K(t, s)x(s)ds, А ф 0.
a
При этом существенно используются результаты В.Г. Курбатова о свойствах матричного представления операторов такого вида.
РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
1. Аззрнова Т.В., Колесников И.А. Оценки элементов обратных матриц для операторов с ленточными матрицами //Труды конф. "Математическое моделирование систем. Методы, приложения и средства.", 12-16 октября 1998 г. - Воронеж, 1998. С. 3-8.
2. Азарнова Т.В., Колесников И.А. Условия обратимости операторов с медленно меняющимися коэффициентами // ИЗВЕСТИЯ РАЕН, серия МММИУ 1999. Т.З., № 2. С. 5-14.
3. Колесников И.А. О некоторых аспектах обратимости операторов с медленно меняющимися коэффициентами // Системное моделирование социально-экономических процессов: Сб. науч. тр. - Воронеж, 200С г. - С. 117-125.
4. Колесников И.А. О структурных свойствах некоторых классов операторов с разреженными матрицами. - Воронеж, 1999. -27 с. -Деп. в ВИНИТИ 30.12.99. № 3977-В99.
5. Колесников И.А. Оценки элементов обратных матриц для операторов с ленточными матрицами // Тез. докл. конф. "Математическое моделирование систем. Методы, приложения и средства.", 12-16 октябр? 1998 г. - Воронеж, 1998. - С. 44.
6. Колесников И. А. Условия обратимости некоторых разностных one раторов // Тез. докл. Межд. научной конф. "Нелинейный анализ и функ ционально-дифференциальные уравнения.", 15-20 мая 2000 г. - Воронеж 2000. - С. 124-125.
7. Колесников И.А. Условия обратимости операторов с заморожен ными коэффициентами //Тез. докл. Воронежской весенней матем. школь "Понтрягинские чтения - X. Современные методы в теории краевых за дач.", 3-9 мая 1999 г. - Воронеж, 1999. - С. 131.
8. Колесников И.А. О некоторых условиях обратимости ленточны, операторов с медленно меняющимися коэффициентами //Труды молоды
Заказ Х?325от iJf. g. 2000 г. Тир. YCP экз. Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ.
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ.
ВВЕДЕНИЕ.
ГЛАВА 1. МАТРИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ И ОЦЕНКИ ЭЛЕМЕНТОВ ОБРАТНЫХ МАТРИЦ
ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ОПЕРАТОРОВ.
§1.1. Ряды Фурье и матричное представление линейных операторов.
§ 1.2. Структура обратных матриц для операторов с ленточными матрицами.
ГЛАВА 2. ОБРАТИМОСТЬ И ФРЕДГОЛЬМОВОСТЬ РАЗНОСТНЫХ ОПЕРАТОРОВ И
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ДИХОТОМИЯ
§ 2.1. Экспоненциальная дихотомия на бесконечности.
§ 2.2. Условия обратимости и фредгольмовости оператора V и структура ядер операторов V и V*.
§ 2.3. Структура образов операторов V и Т>*
ГЛАВА 3. ОБРАТИМОСТЬ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ОПЕРАТОРОВ С МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИМИСЯ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ.
§ 3.1. Достаточные условия обратимости конечнодиагональных операторов с медленно меняющимися коэффициентами.
§ 3.2. Обратимость и фредгольмовость разностных операторов, содержащих взвешенный сдвиг.
§ 3.3. Интегральные операторы с медленно меняющимися коэффициентами.
Настоящая диссертация посвящена вопросам обратимости разностных операторов, а также матричному анализу некоторых классов ограниченных операторов, в том числе и интегральных, тесно связанных с разностными.
За последние десятилетия все более отчетливо вырисовывается роль, которую играют разностные операторы и связанные с ними разностные уравнения с дискретным и непрерывным аргументом для понимания процессов и явлений, происходящих в системах самой различной природы. Теория разностных уравнений находит разнообразные приложения во всех областях современной науки, в том числе, в биологии, экономике, химии, физике, теории автоматического регулирования. Разностными уравнениями являются всевозможные рекуррентные соотношения. Особое внимание к разностным операторам и уравнениям, их содержащим, обусловлено, прежде всего, применением аппарата разностных операторов в исследованиях разрешимости различных дифференциальных, интегральных и функциональных уравнений. Подобные исследования различных классов уравнений осуществлялись в работах многих авторов, в частности, в работах А.Г. Баскакова [9, 10, 11, 13], Р. Беллмана и К.Л. Кука [16], И.Ц. Гохберга и И.А. Фельдмана [20], П.П. Забрейко и Нгуен Ван Миня [25], С.Г. Крей-на [30], В.Г. Курбатова [33, 34, 66], Б.М. Левитана и В.В. Жикова [35], Х.Л. Массера и Х.Х. Шеффера [38], В.М. Тюрина [53], Д. Хенри [56], А.Н. Шарковского, Ю.Л. Майстренко и Е.Ю. Романенко [58].
Среди всех разностных операторов отдельный интерес представляют часто возникающие в приложениях операторы взвешенного сдвига. Первые исследования, посвященные этим операторам, появились еще в конце прошлого - начале нашего столетия. Так, в работах О. Перрона [69] и X. Пуанкаре [70] изучались вопросы поведения на бесконечности некоторых типов разностных операторов, относящихся к операторам взвешенного сдвига.
Операторы взвешенного сдвига являются объектом исследования в спектральной теории динамических систем, что отражено в монографиях 3. Нитецки [45] и П. Халмоша [55], а также в работах А.Г. Синая [29] и A.M. Степина [27, 52] и других. Связь оператора взвешенного сдвига с задачами теории функции рассматривалась в работах Н.К. Никольского [43, 44], A.A. Миролюбова и М.А. Солдатова [39, 40], а также Ю.Ф. Коробейника [28] и A.JI. Шилдса (A.L.Shields) [71, 72].
Сами операторы взвешенного сдвига и их спектральные свойства исследуются различными авторами, например, структура спектра оператора взвешенного сдвига на группе вращений единичной окружности в комплексной плоскости, порожденного иррациональными вращениями окружности, изучались в работах А.Б. Антоневича [2, 4, 5], Ж. Диксмье [23], Н.К. Карапетянца [26], Э. Мухамадиева и Б.Н. Садовского [42], С. Парро (S. Parrot) [67].
Спектральные свойства операторов взвешенного сдвига и условия обратимости разностных операторов, их содержащих, находят широкое применение в теории дифференциальных операторов (см. [9, 10, 11, 13, 25, 35, 38, 53, 56]). Как правило, исследования обратимости дифференциального или связанного с ним разностного операторов проводятся в терминах экспоненциальной дихотомии соответствующего семейства эволюционных операторов. Связь экспоненциальной дихотомии с разрешимостью неоднородных дифференциальных уравнений в пространстве непрерывных ограниченных на Ж функций установлена О. Перроном [68]. Дальнейшие исследования в этой области продолжались А.Д. Майзелем [37], а для уравнений в банаховых пространствах с ограниченными операторными коэффициентами -X. Массера и X. Шеффером [38]. Однако, даже для обыкновенного дифференциального оператора с ограниченными коэффициентами достаточно долго не удавалось доказать эквивалентность его обратимости и экспоненциальной дихотомии соответствующего семейства. Например, в монографии Ю.Л. Далецкого и М.Г. Крейна [21] аналог этого утверждения получен при некоторых дополнительных условиях. Этот результат, причем сразу для случая неограниченных операторных коэффициентов, получен в работах В.В. Жикова [24] и А.Г. Баскакова [9, 11, 13].
Экспоненциальную дихотомию для разностных уравнений в банаховом пространстве рассматривали С. Коффман и X. Шеффер [61], делая упор на связь дихотомии и допустимости. В работе В.Е. Слюсарчука [51] доказана эквивалентность обратимости разностного оператора с ограниченными операторными коэффициентами, содержащего взвешенный сдвиг, и экспоненциальной дихотомии соответствующего семейства эволюционных операторов. Аналогичный результат для случая ограниченных коэффициентов, определяющих (возможно) неограниченную операторнозначную функцию, получен в монографии Д. Хенри [56]. В обеих работах операторы рассматривались в пространстве ¿оо(^> X). Соответствующий результат для всех пространств 1Р(Ъ,Х) (1р(Ъ+,Х)) (р £ [1, оо]) получен в работах А.Г. Баскакова [9, 11, 13]. Так, в работе [13] был доказан общий результат, утверждающий эквивалентность обратимости абстрактного линейного дифференциального параболического оператора и разностного оператора V — I — Кц € Епс\1Р{Ъ, X), где )Сц - оператор взвешенного сдвига
К,1(х)(п) = и(п)х(п — 1), nGZ.
При этом необходимым и достаточным условием обратимости оператора V является экспоненциальная дихотомия соответствующего семейства эволюционных операторов на множестве Ъ.
Другими часто возникающими в приложениях классами разностных операторов являются операторы с постоянными или медленно меняющимися коэффициентами. Такие операторы возникают, например, при изучении стационарных или близких к ним в каком-то смысле систем. Условия обратимости операторов с постоянными коэффициентами хорошо изучены (см., например, [16, 33, 66]). Для операторов с медленно меняющимися коэффициентами применяется известный метод замороженных коэффициентов, идея которого восходит к А.М. Ляпунову [36]. Для дифференциальных операторов с медленно меняющимися коэффициентами этот метод получил дальнейшее развитие в работах А.Г. Баскакова [10, 15] и М.К. Чернышо-ва [15]. В работах В.И. Кузнецовой [31, 32] методом замораживания получены достаточные условия обратимости для некоторых классов разностных операторов с дискретным и непрерывным аргументом и рассмотрена задача об устойчивости соответствующих разностных уравнений.
Эффективным аппаратом для исследования связанных с обратимостью свойств разностных и интегральных операторов является матричный анализ, позволяющий изучать свойства операторов через структуру их матрицы. Заметим, что представление оператора в виде матрицы можно интерпретировать как один из способов сведения линейного ограниченного оператора к некоторому разностному оператору (см. [12, 33, 34, 66]). В работах В.Г. Курбатова [33, 34, 66] матричный анализ применяется для исследования некоторых классов разностных, дифференциальных и интегральных операторов, действующих в функциональных банаховых пространствах. В работах В.Ф. Пуляева [46, 47] сведением к некоторому семейству операторов, действующих в пространстве функций на отрезке, а фактически, переходом к матричному представлению исследуются разрешимость и свойства решений интегрального уравнения для некоторого ш 6 М+.
Таким образом, самостоятельный интерес представляет исследование структуры матрицы оператора для рассматриваемых классов операторов. x(t) = Kit, s)x(s)ds + fit), xj E C(R, Cn) 00 причем ядро К : Ш х Ж. —у End С" удовлетворяет условию
K(t + w,s + uj) = K(t,s), t,seR
Информация о структуре матрицы линейного оператора может лежать в основе конструктивного метода нахождения обратного оператора и его матрицы. В настоящее время опубликовано достаточно много работ, посвященных изучению структуры матрицы обратного оператора, среди них работы Т.В. Азарновой [1], А.Г. Баскакова [6, 7, 12, 14], И.А. Блатова [17, 18, 19], С. Демко (S. Demko), Ф. Мосса (F. Moss) и В. Смита (W. Smith) [64, 65], В.Г. Курбатова [33, 34, 66], М.А. Шубина [59]. Как правило, структура обратных операторов выражается в терминах асимптотических или конкретных оценок убывания элементов обратных матриц.
Так, в работе М.А. Шубина [59] исследуются классы псевдоразностных операторов, действующих в пространствах функций lp(G), где G - псевдооднородное счетное дискретное метрическое пространство. Доказано, что если обратный оператор всюду определен и ограничен в lp(G), то для матрицы обратного оператора (называемой функцией Грина) закон убывания внедиагональных элементов аналогичен закону, определяющему рассматриваемый класс псевдоразностных операторов. Для параметров данного закона получены оценки, носящие асимптотический характер.
В работах В.Г. Курбатова [33, 34, 66] изучаются различные классы линейных операторов. Доказывается асимптотическое поведение элементов матрицы обратного оператора. Кроме того, в работах [33, 66] полученные оценки применяются к теории интегральных операторов. Они касаются доказательства наполненности в пространствах Lpq(G, Е) (G - локально компактная абелева группа, Е - конечномерное банахово пространство) подалгебр операторов вида В — XI + А (А ф 0), где А - интегральный оператор с определенным типом убывания внедиагональных элементов ядра.
Асимптотические оценки для некоторых классов операторов, действующих в бесконечномерном комплексном банаховом пространстве X, получены в работах Баскакова А.Г. [6, 7, 12, 14]. Исследования структуры матрицы обратного оператора здесь основываются на ряде теорем о сохранении типа убывания коэффициентов Фурье обратного оператора для обратимого почти периодического (относительно сильно непрерывного представления локально компактной абелевой группы (?) оператора с абсолютно суммируемым с некоторым субэкспоненциальным весом рядом Фурье а - счетная подгруппа из двойственной группы наделенной дискретной топологией). Результаты исследования формулируются в терминах наполненности рассматриваемых классов.
Достаточно широкий спектр классов линейных операторов изучается в работах Блатова И.А. [17, 18, 19]. Так, в статье [17] автором исследуются различные классы операторов, действующих в пространствах 1Р и имеющих псевдоразреженные матрицы. Для матричных элементов обратных операторов получены асимптотические оценки.
Знание (асимптотических) оценок скорости убывания элементов обратных матриц играет существенную роль при рассмотрении многих задач вычислительной математики [17, 18, 19], приводящих к системам алгебраических уравнений бесконечного порядка, при доказательстве ограниченности по ¿оо-норме операторов проектирования на подпространство сплайнов [63], в спектральной теории операторов [12, 18] и гармоническом анализе [6, 7, 8].
Но, при рассмотрении различных приложений очень часто оказывается недостаточным знать только скорость убывания (асимптотические оценки) элементов матрицы обратного оператора, вместо этого требуются конкретные, в каком-то смысле, более точные оценки этих элементов. Конкретным оценкам посвящены работы [1, 12, 50, 62, 64, 65]. Так, в работе [62] в связи с исследованием итерационного алгоритма решения сеточных аналогов эллиптических краевых задач были получены оценки матричных элементов Ь{7- (1 < г, 3 < п) оператора А~г, обратного к оператору А с трехдиагональной симметричной матрицей. Если оператор А задает матрицу с большим диагональным преобладанием, то найденные оценки элементов Ьц+j позволяют рассматривать эти элементы как убывающую геометрическую прогрессию р = 1 + ае. Диагональное преобладание характеризуется величиной ае, ае > 0. Подобный закон убывания может сохраниться и для несимметричных трехдиагональных матриц (см. [50]).
Операторам, матрицы которых имеют ленточную структуру, посвящены работы [64, 65]. Рассмотрены линейные ограниченные операторы, действующие в h{S) (S = {l.iV},Z+, или Z), и для них получены оценки вида
- Ibij\ < cAlwl, с = const, A е (0,1).
Важно отметить, что данные оценки зависят лишь от существенного спектра оператора АА* и, следовательно, устойчивы к ленточным компактным возмущениям.
Конкретные оценки для некоторых классов линейных операторов, действующих в произвольных банаховых пространствах, получены в работе [12]. Основной метод нахождения оценок состоит в использовании ограниченных представлений группы Жп для построения сильно суммируемого, в общем случае, ряда Фурье линейного оператора. Кроме того, в этой работе описано использование найденных оценок в некоторых вопросах спектрального анализа линейных операторов.
Классы операторов, описываемые с помощью многомерных матриц, т.е. матриц определенных на множестве Zn xZn, были исследованы в работе [1]. Для изучаемых классов многомерных матриц получены конкретные оценки элементов обратной матрицы. Эти результаты применяются для оценки ядер обратных операторов к интегральным операторам специального вида.
Вышеизложенное позволяет заметить, что разрешимость разностных и сводимых к ним уравнений, условия обратимости и фредгольмовости соответствующих разностных операторов и структура обратных операторов несомненно представляют собой интересную область современного анализа. Исследованию условий обратимости разностных и тесно связанных с ними интегральных операторов и структуры матриц обратных к ним операторов посвящена данная диссертационная работа.
Основные цели работы состоят в следующем:
- исследовать структуру матрицы обратного оператора к обратимому линейному ограниченному оператору с двухдиагональной матрицей, действующему в банаховом пространстве X;
- изучить условия обратимости и фредгольмовости разностного оператора V = I — Ки, гДе К>и " оператор взвешенного сдвига, семейство эволюционных операторов которого допускает экспоненциальную дихотомию на множествах {.,т1 — З-,??^} и {тп2:т2 + 1,.} для целых чисел тх < тог;
- методом замороженных коэффициентов найти достаточные условия обратимости некоторых классов разностных и интегральных операторов.
Исследования, представленные в настоящей работе, проводились с использованием методов теории линейных операторов, гармонического анализа, функционального исчисления операторов, теории представлений абе-левых групп и теории функций комплексного переменного.
Все результаты диссертации являются новыми. В качестве основных результатов работы можно выделить следующие:
- получены конкретные оценки элементов матрицы обратного оператора для линейных ограниченных операторов, имеющих двухдиагональную или конечнодиагональную матрицу , в том числе и для оператора содержащего взвешенный сдвиг;
- в терминах экспоненциальной дихотомии на бесконечности получены необходимые и достаточные условия обратимости и фредгольмовости оператора V;
- найдены достаточные условия обратимости некоторых классов разностных и интегральных операторов.
Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертации результаты и методы их обоснования могут быть использованы в различных вопросах спектральной теории разностных, дифференциальных и интегральных операторов, в теории функциональных уравнений и методах вычислений.
Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах кафедры математических методов исследования операций Воронежского государственного университета (руководитель - профессор А.Г. Баскаков), научных сессиях ВГУ, на конференции "Математическое моделирование систем. Методы, приложения и средства", на Международной научной конференции "Нелинейный анализ и функционально - дифференциальные уравнения", на Воронежской весенней математической школе "Понтрягин-ские чтения - X. Современные методы в теории краевых задач".
Перейдем теперь к обзору основных результатов диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы.
1. Азарпова Т.В. Оценки элементов обратных матриц для некоторых классов линейных ограниченных операторов // Известия ВУЗов, сер. Математика. 1998. № 3(430). С. 74-77.
2. Антоневич A.B. Линейные функциональные уравнения. Операторный подход. Минск: Изд-во Университетское, 1988. - 231 с.
3. Антоневич A.B., Радыно Я.В. Функциональный анализ и интегральные уравнения. Минск: Изд-во Университетское, 1984. - 351 с.
4. Антоневич A.B., Рыбкин В.Б. О нормальной разрешимости задачи о периодических решениях линейного дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом // Диф. уравнения. 1974. Т. 10, № 3. С. 1347-1353.
5. Антоневич A.B., Рыбкин В.Б. Операторы, порожденные гомеоморфизмами окружности, сопряженными повороту //Мат. зам. 1982. Т. 31,B. 5. С. 773-783.
6. Баскаков А.Г. Абстрактный гармонический анализ и асимптотические оценки элементов обратных матриц //Мат. зам. 1992. Т. 52, К5 2.C.17-25.
7. Баскаков А.Г. Асимптотические оценки элементов матриц обратных операторов и гармонический анализ // Сиб. матем. журн. 1997. Т. 38, № 1. С. 14-28.
8. Баскаков А.Г. Гармонический анализ линейных операторов. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1987. - 164 с.
9. Баскаков А.Г. Линейные дифференциальные операторы с неограниченными операторными коэффициентами и полугруппы разностных операторов // Мат. зам. 1996. Т. 59, № 6. С.811-820.
10. Баскаков А.Г. Некоторые условия обратимости линейных дифференциальных и разностных операторов// Доклады Академии Наук. Серия Математика. 1993. Т. 333, № 3. с. 282-284.
11. Баскаков А.Г. О корректности линейных дифференциальных операторов // Матем. сборник. 1999. Т. 190, № 3. С. 3-28.
12. Баскаков А.Г. Оценки элементов обратных матриц и спектральный анализ линейных операторов // Известия РАН. Серия матем. 1997. Т. 61, № 6. С. 3-26.
13. Баскаков А.Г. Полугруппы разностных операторов в спектральном анализе линейных дифференциальных операторов // Функц. ан. и его прил. 1996. Т. 30, № 3. С. 1-11.
14. Баскаков Д.Г. Теорема Винера и асимптотические оценки элементов обратных матриц // Функц. ан. и его прил. 1990. Т. 24, № 3. С. 64-65.
15. Баскаков А.Г., Чернышов М.К. Некоторые условия обратимости дифференциальных операторов второго порядка//Укр. матем. журн. 1995. Т. 47, № 3. с. 411-413.
16. Беллман Р., Кук K,JI. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. - 231 с.
17. Блатов И.А. Об оценках элементов обратных матриц и о модификациях метода матричной прогонки // Сиб. матем. журн. 1992. Т. 32, № 2. С. 10-21.
18. Блатов И.А. Об алгебрах операторов с псевдоразреженными матрицами и их приложениях //Сиб. матем. журн. 1996. Т. 37, № 1. С. 36-59.
19. Блатов И.А., Тертерян A.A. Об оценках элементов обратных матриц и методах неполной блочной факторизации на основе матричнойпрогонки //Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1992. Т. 32, № 11. С. 1683-1696.
20. Гохберг И.Ц., Фельдман И.А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. М.: Наука, 1971. - 352 с.
21. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970. - 536 с.
22. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. В 3-х т.- М.: Мир, 1966. Т.1: Общая теория. 895 с.
23. Диксмье Ж.С*-алгебры и их представления. М.: Наука, 1974. - 399 с.
24. Жиков В.В. Некоторые вопросы допустимости и дихотомии. Принцип усреднения// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1976. Т. 40, № 6. С. 1380-1408.
25. Забрейко П.П., Нгуен Ван Минь. Группа характеристических операторов и её применения в теории линейных обыкновенных дифференциальных операторов// Доклады Академии Наук. Серия Математика. 1992. Т. 324, № 1. С. 24-28.
26. Карапетянц Н.К. Об одном классе операторов сдвига // Изв. Сев.-Кавказ. науч. центра высш. шк. 1976. № 3. С. 11-12.
27. Каток A.B., Синай Я.Г., Степин A.M. Теория динамических систем и общих групп преобразований с инвариантной мерой // Итоги науки и техники: Мат. анализ. М.: ВИНИТИ, 1975. Т. 13. С. 129-262.
28. Коробейник Ю.Ф. Операторы сдвига на числовых семействах. -Ростов-на-дону: Изд-во Ростов, ун-та, 1983. 155 с.
29. Корнфельд И.Л., Синай Я.Г., Фомин С.В.Эргодическая теория. М.: Наука, 1980. - 384 с.
30. Крейн С.Т.Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. - 464 с.
31. Кузнецова В.И. О дискретных линейных системах с медленно меняющимися коэффициентами// АиТ. 1990. N« 7. С. 43-48.
32. Кузнецова В.И. Оценки обратных к разностным операторам с медленно меняющимися коэффициентами. Воронеж, гос. техн. ун-т. Воронеж, 1994. - 23 с. - Деп. в ВИНИТИ 05.07.94., № 1666-В94.
33. Курбатов В.Г. Линейные дифференциально-разностные уравнения. -Воронеж: Изд-во ВГУ, 1990. 168 с.
34. Курбатов В.Г. Об алгебрах разностных и интегральных операторов // Функц. ан. и его прил. 1990. Т. 24, № 2. С. 98-99.
35. Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: Изд-во МГУ, 1978. - 205 с.
36. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.: Го-стехиздат, 1950. - 452 с.
37. Майзель А.Д. Об устойчивости решений систем дифференциальных уравнений // Труды Уральского политехи, ин-та. Сер. матем. 1954. В. 51. С. 20-50.
38. МассераХ.Л., Шеффер Х.Х. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. М.: Мир, 1970. - 456 с.
39. Миролюбов A.A., Солдатов М.А.Линейные однородные разностные уравнения. М.: Наука, 1981. - 208 с.
40. Миролюбов A.A., Солдатов М.А. Линейные неоднородные разностные уравнения. М.: Наука, 1986. - 126 с.
41. Морен К. Методы гильбертова пространства. М.: Мир, 1965. - 570 с.
42. Мухамадиев Э., Садовский Б.Н. Об оценке спектрального радиуса одного оператора, связанного с уравнениями нейтрального типа //Мат. зам. 1973. Т. 13, № 1. С. 61-78.
43. Никольский Н.К. Инвариантные пространства в теории операторов и теории функций //Итоги науки и техники: Мат. анализ. М.: ВИНИТИ, 1974. Т. 12. С. 199-412.
44. Никольский Н.К. Лекции об операторе сдвига. М.: Наука, 1980. -384 с.
45. Нитецки 3. Введение в дифференциальную динамику. М.: Мир, 1975. -304 с.
46. Пуляев В.Ф. Ограниченные почти периодические решения линейных интегральных уравнений. I // Дифф. уравн. 1989. Т. 10. С. 1789-1797.
47. Пуляев В.Ф. Ограниченные почти периодические решения линейных интегральных уравнений. II// Дифф. уравн. 1990. Т. 8. С. 1423-1432.
48. Рабинович B.C. Операторные дискретные свертки и некоторые их приложения // Мат. заметки. 1992. Т. 51, № 1. С. 90-101.
49. Рудин, Функциональный анализ. М.: Мир, 1975. - 443 с.
50. Сандер С.А. Об одной оценке для трехдиагональных матриц // Сиб. матем. журн. 1990. Т. 31, № 5. С. 171-173.
51. Слюсарчук В.Е. Об экспоненциальной дихотомии решений дискретных систем //Укр. матем. журн. 1983. Т. 35, N5 1. С. 109-115.
52. Степин А.М Спектры динамических систем // Междунар. конгр. математиков в Ницце. 1970 г. Докл. сов. математиков. М.: Наука. 1972. С. 307-312.
53. Тюрин В.М. Об обратимости линейных дифференциальных операторов в некоторых функциональных пространствах // Сиб. матем. журн. 1991. Т. 32, № 3. С. 160-165.
54. Халмош П. Гильбертово пространство в задачах. Москва: Мир, 1970. - 352 с.
55. Халмош П. Лекции по эргодической теории. Москва: ИЛ, 1959. -147 с.
56. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. М.: Мир, 1985. - 376 с.
57. Хьюитт Э. Росс К. Абстрактный гармонический анализ. М.: Наука; Мир, 1975. Т.1,2. - 654 е., 901 с.
58. Шарковский А.Н., Майстренко Ю.Л., Романенко Е.Ю.Разностные уравнения и их приложения Киев: Наукова думка, 1986. - 279 с.
59. Шубин М.А. Псевдоразностные операторы и их функция Грина //Изв. АН СССР. Сер. матем. 1985. Т. 49, № 3. С. 652-671.
60. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. М.: Мир, 1969. - 1072 с.
61. Coffman S.V., Schaffer J.J. Dichotomies for linear difference equations // Math. Ann. 1967. V. 172. P. 139-166.
62. Concus P., Golub G.H., Meurant G. Block preconditioning for the conjugate gradient method // Univ. of California, Berkley: 1982. - (Lawrence Bewrence Berkley Laboratory, Rep. LBL-14856); SIAM J. Sci and Statist. Comput.- 1985. V. 6, № 1. P. 220-252.
63. De Boor C. A bound on the Ь^-погт of the L2- approximation by splines in terms of a global mesh ratio // Math.Comput. 1976. V.30. P.687-694.
64. Demko S., Moss F.,Smith W. Decay rates for inverses of band matrices // Math.Comput. 1984. V.43. P.491-499.
65. Demko S. Inverses of band matrices and local convergense of spline projection //SIAM J. Numer. Anal. 1977. V.14. P.616-619.
66. Kurbatov V.G. Functional differential operators and equations. Dordrecht-Boston-London: Kluwer Academic Publishers, 1999. - 430 p.
67. Parrot S. Weighted translation operators //Dissert. Abstr. 1965. V.26, № 5. P. 2781.
68. Perron O. Die Stabilitatsfrage bei Differentialgleichungen //Math. Z. 1930. V. 32, № 137. P. 703-728.
69. Perron 0. Uber die Poincaresche lineare Differenzgleichung // J. reine angvar. Math. 1910. № 137. P. 6-64.
70. Poincare H. Sur les equations lineaires aux différentielles ordinaries et aux differences fines // Amer. J. Math. 1885. № 7. P. 203.258.
71. Shields A.L. Weighted shift operator and analytyc function theory // Top. oper. theory. Math. Surv. 1974. V. 13. P. 49-128.
72. Shields A.L. Some problems in operator theory // Lect. Notes Math. 1978. № 693 P. 157-164.
73. Азарнова T.B., Колесников И.А. Оценки элементов обратных матриц для операторов с ленточными матрицами // Труды конф. "Математическое моделирование систем. Методы, приложения и средства", 1216 октября 1998 г. Воронеж, 1998. С. 3-8.
74. Азарнова Т.В., Колесников И.А. Условия обратимости операторов с медленно меняющимися коэффициентами // ИЗВЕСТИЯ РАЕН, серия МММИУ. 1999. Т.З., № 2. С. 5-14.
75. Колесников И.А. О некоторых аспектах обратимости операторов с медленным меняющимися коэффициентами // Системное моделирование социально-экономических процессов: Сборник научных трудов. Воронеж, 2000 г. - С. 117-125.
76. Колесников И.А. О структурных свойствах некоторых классов операторов с разреженным матрицами. Воронеж, 1999. -27 с. -Деп. в ВИНИТИ 30.12.99. № 3977-В99.
77. Колесников И.А. Оценки элементов обратных матриц для операторов с ленточными матрицами // Тез. докл. конф. "Математическое моделирование систем. Методы, приложения и средства", 12-16 октября 1998 г. Воронеж, 1998. - С. 44.
78. Колесников И.А. Условия обратимости некоторых разностных операторов // Тез. докл. Межд. научной конф. "Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения", 15-20 мая 2000 г. Воронеж, 2000. - С. 124-125.
79. Колесников И.А. Условия обратимости операторов с замороженными коэффициентами // Тез. докл. Воронежской весенней матем. школы "Понтрягинские чтения X. Современные методы в теории краевых задач", 3-9 мая 1999 г. - Воронеж, 1999. - С. 131.
80. Колесников И.А. О некоторых условиях обратимости ленточных операторов с медленно меняющимися коэффициентами // Труды молодых ученых ВГУ. Воронеж, 1999 г. - С. 33-39.
