Исследование обратимости разностных операторов методами спектральной теории упорядоченных пар операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Условные обозначения.

Введение

Глава 1.

Элементы спектральной теории пар операторов и обратимость разностных операторов

§ 1.1 Некоторые сведения из спектральной теории пар линейных операторов

§ 1.2 Об обратимости разностного оператора с постоянными коэффициентами.

§ 1.3 Об обратимости разностного оператора с переменными коэффициентами.

§ 1.4 Об обратимости замкнутого разностного оператора взвешенного сдвига с переменными коэффициентами.

Глава 2.

Обратимость и фредгольмовость разностных операторов взвешенного сдвига и экспоненциальная дихотомия.

§ 2.1 Экспоненциальная дихотомия на бесконечности.

§ 2.2 Условия обратимости и фредгольмовости оператора V и структура ядер операторов

V и V*

§ 2.3 Структура образов операторов V и V*

Настоящая диссертация посвящена вопросам обратимости некоторых классов разностных операторов.

Отметим важную роль, которую играют разностные операторы и связанные с ними разностные уравнения с дискретным и непрерывным аргументом для описания процессов и явлений, происходящих в системах самой различной природы. Теория разностных уравнений находит разнообразные приложения во многих областях современной науки, в том числе, в биологии, экономике, химии, физике, теории автоматического регулирования, теории принятия решений и др. Разностными уравнениями являются всевозможные рекуррентные соотношения. Особое внимание к разностным операторам и уравнениям, их содержащим, обусловлено, прежде всего, применением аппарата разностных операторов в исследованиях разрешимости различных дифференциальных, интегральных и функциональных уравнений. Подобные исследования различных классов уравнений осуществлялись в работах многих авторов, в частности, в работах А.Г. Баскакова [8-11],Р. Беллмана и K.JI. Кука [17], И.Ц. Гохберга и И.А. Фельдмана [21], А.Б. Антоневича [1-4], П.П. Забрейко и Нгуен Ван Миня [27], В.Г. Курбатова [39,40], X.JI. Массера и Х.Х. Шеффера [45], В.М. Тюрина [66], Д. Хенри [69].

Основные результаты диссертации связаны с исследованием условий обратимости разностных операторов в терминах экспоненциальной дихотомии методами спектральной теории пар линейных операторов.

Пара операторов (Л, В) возникает, например, при исследовании задачи Коши:

Вх = Лт, t е R+, 1 < dimKerB < +оо, (*) ж(0) = ж0,

- 6 в которой линейные операторы Л, В действуют из банахова пространства X в банахово пространство Y.

Работы, в которых фигурировали как операторное уравнение (*), так и тесно связанная с ним упорядоченная пара линейных операторов, действующих в банаховом пространстве, впервые появились в 70-х годах в работах С.П. Зубовой, К.И. Чернышова [28], А. Фавини [81], А.Г. Руткаса (см. [59]). При этом возникал регулярный операторный пучок, зависящий от малого спектрального параметра. Наиболее полное отражение полученные результаты нашли в работе С.Г. Крейна и К.И. Чернышова [35].

В последнее десятилетие появились работы И.В. Мельниковой, М.А. Алыданского [46], Г.А. Свиридюка [61] и др., в которых фигурировал регулярный операторный пучок, зависящий от большого спектрального параметра.

Попытки изучать общую ситуацию начали предприниматься лишь совсем недавно, например, в работах А.Г. Баскакова и К.И. Чернышова (см. [15]).

Первые исследования, посвященные разностным операторам, появились еще в конце XIX - начале XX столетия. Так, в работах О. Перрона [85] и А. Пуанкаре [87] изучались вопросы поведения на бесконечности некоторых типов разностных операторов, связанных с операторами взвешенного сд в и га

Разностные операторы являются объектом исследования в спектральной теории динамических систем, что отражено в монографиях 3. Нитец-ки [53] и П. Халмоша [67,68], а также в работах А.Г. Синая [31,34] и A.M. Степина [65] и многих других. Связь разностных операторов с задачами теории функций рассматривалась в работах Н.К. Никольского [51,52], А.А. Миролюбова и М.А. Солдатова [47,48], Ю.Ф. Коробейника [33] и A.JI. Шилдса [89,90].

Спектральные свойства разностных операторов исследовались раз

- 7 личными авторами. Например, структура спектра оператора взвешенного сдвига на группе вращений единичной окружности в комплексной плоскости, порожденного иррациональными вращениями окружности, изучалась в работах А.Б. Антоневича [4], Ж. Диксмье [24], Н.К. Карапетянца [29], Э. Мухамадиева и Б.Н. Садовского [50], С. Парро [83].

Условия обратимости разностных операторов находят широкое применение в теории дифференциальных операторов (см. [8,9,10,12,27,42,45,66,69]). Как правило, исследования обратимости дифференциального или связанного с ним разностного операторов проводятся в терминах экспоненциальной дихотомии соответствующего семейства эволюционных операторов. Связь экспоненциальной дихотомии с разрешимостью неоднородных дифференциальных уравнений в пространстве непрерывных ограниченных на М. функций установлена О. Перроном [84,85]. Дальнейшие исследования в этой области продолжались А.Д. Майзелем [44], а для уравнений в банаховых пространствах с ограниченными операторными коэффициентами - X. Массера и X. Шеффером [45]. Однако, даже для обыкновенного дифференциального оператора с ограниченными коэффициентами достаточно долго не удавалось доказать эквивалентность его обратимости и экспоненциальной дихотомии соответствующего семейства. Например, в монографии Ю.Л. Далецкого и М.Г. Крейна [22] аналог этого утверждения получен при некоторых дополнительных условиях. Этот результат, причем сразу для случая неограниченных операторных коэффициентов, получен в работах В.В. Жикова [26] и А.Г. Баскакова [8,10,12]. '

Экспоненциальную дихотомию для разностных уравнений в банаховом пространстве рассматривали С. Коффман и X. Шеффер [76], делая упор на связь дихотомии и дощ^стимости. В работе В.Е. Слюсарчука [63] доказана эквивалентность обратимости разностного оператора с ограниченными операторными коэффициентами, содержащего взвешенный сдвиг, и экспо

- 8 ненциальной дихотомии соответствующего семейства эволюционных операторов. Аналогичный результат для случая ограниченных коэффициентов, определяющих (возможно) неограниченную операторнозначную функцию, получен в монографии Д. Хенри [69]. В обеих работах операторы рассматривались в пространстве /oo(Z,X). Соответствующий результат для всех пространств lp(Z,X) получен в работах А.Г. Баскакова [8,10,12].

Вышеизложенное позволяет заметить, что разрешимость разностных и сводимых к ним уравнений, условия обратимости и фредгольмовости соответствующих разностных операторов и структура обратных операторов несомненно представляют собой важную область современного анализа. Исследованию условий обратимости разностных операторов и структуры обратных к ним операторов посвящена данная диссертационная работа.

Основные цели работы состоят в следующем:

- изучить условия обратимости разностного оператора с постоянными коэффициентами V вида (Vx){n) — Ах(п) — Вх(п — 1) где п £ Z;

- изучить условия обратимости разностного оператора с переменными коэффициентами V вида (Vx)(n) = А(п)х(п) — В(п)х(п— 1) где п 6 Z;

- изучить условия обратимости и фредгольмовости разностного оператора V = I — В, где В - оператор взвешенного сдвига, семейство эволюционных операторов которого допускает экспоненциальную дихотомию на множествах {., т\ — 1, mi} и {гаг, mi + 1,.} для целых чисел т\ <m2

Исследования, представленные в настоящей работе, проводились с использованием методов теории линейных операторов, гармонического анализа, функционального исчисления операторов, теории представлений абе-левых групп и теории функций комплексного переменного, а также спектральной теории пар операторов.

Все результаты диссертации являются новыми. В качестве основных результатов работы можно выделить следующие:

- получены необходимые и достаточные условия обратимости разност

- 9 ного оператора с постоянными коэффициентами;

- в терминах экспоненциальной дихотомии получены необходимые и достаточные условия обратимости разностного оператора с переменными коэффициентами;

- в терминах экспоненциальной дихотомии на бесконечности получе--ны необходимые и достаточные условия обратимости и фредгольмовости оператора, содержащего взвешенный сдвиг, действующего в переменных пространствах X — (X(n), п £ Z).

Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы в различных вопросах спектральной теории разностных, дифференциальных и интегральных операторов, в теории функциональных уравнений и методах вычислений.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах кафедры математических методов исследования операций Воронежского 'государственного университета (руководитель - профессор А.Г. Баскаков), на Воронежской зимней математической школе "Современный анализ и его приложения", 28 января-4 февраля 2000 г., на Международной научной конференции "Нелинейный анализ и функционально - дифференциальные уравнения", на Воронежской весенней математической школе "Понтрягин-ские чтения - X. Современные методы в теории краевых задач", 15-20 мая 2000 г.

Диссертация состоит из введения, двух глав, списка литературы.

1. Антоневич А.Б. Линейные функциональные уравнения. Операторный подход. - Минск: Изд-во Университетское, 1988. - 231 с.

2. Антоневич А.Б., Радыно Я.В. Функциональный анализ и интегральные уравнения. Минск: Изд-во Университетское, 1984. - 351 с.

3. Антоневич А.Б., Рыбкин В.Б. О нормальной разрешимости задачи о периодических решениях линейного дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом // Диф. уравнения. 1974. Т. 10, JY2 3. С. 13471353.

4. Антоневич А.Б., Рыбкин В.Б. Операторы, порожденные гомеоморфизмами окружности, сопряженными повороту // Мат. зам. 1982. Т. 31,B. 5. С. 773-783.

5. Баскаков А.Г. Абстрактный гармонический анализ и асимптотические оценки элементов обратных матриц j j Мат. зам. 1992. Т. 52, JY2 2.C.17-25.

6. Баскаков А.Г. Асимптотические оценки элементов матриц обратных операторов и гармонический анализ j j Сиб. матем. журн. 1997. Т. 38, № 1. С. 14-28.

7. Баскаков А.Г. Гармонический анализ линейных операторов. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1987. - 164 с.

8. Баскаков А.Г. Линейные дифференциальные операторы с неограниченными операторными коэффициентами и полугруппы разностных операторов // Мат. зам. 1996. Т. 59, № 6. С.811-820.

9. Баскаков А.Г. Некоторые условия обратимости линейных дифференциальных и разностных операторов // Доклады Академии Наук. Серия Математика. 1993. Т. 333, № 3. с. 282-284.-93-'

10. Баскаков А.Г. О корректности линейных дифференциальных операторов // Матем. сборник. 1999. Т. 190, 3. С. 3-28.

11. Баскаков А.Г. Оценки элементов обратных матриц и спектральный анализ линейных операторов // Известия РАН. Серия матем. 1997. Т. 61, № 6. С. 3-26.

12. Баскаков А.Г. Полугруппы разностных операторов в спектральном анализе линейных дифференциальных операторов // Функц. анализ и его прил. 1996. Т. 30, 3. С. 1-11.

13. Баскаков А.Г. Теорем,а Винера и асимптотические оценки элементов обратных матриц // Функц. анализ и его прил. 1990. Т. 24, № 3. С. 64-65.

14. Баскаков А.Г., Пастухов А.И. Спектральный анализ оператора взвешенного сдвига с неограниченными операторными коэффициентами // Сиб. матем. журн. 2001. Т. 42, № 6. С. 1231-1243.

15. Баскаков А.Г., Чернышов К.И. К спектральной теории пар линейных операторов // Известия РАЕН. сер. МММИУ, 1997. Т.1, №2, С. 3-30.

16. Баскаков А.Г., Чернышов М.К. Цекот.орые условия обратимости дифференциальных операторов второго порядка// Укр. матем. журн. 1995. Т. 47, № 3. с. 411-413.

17. Беллман Р., Кук K.JI. Дифференциально-разностные уравнения. -М.: Мир, 1967. 231 с.

18. Блатов И.А. Об оценках элементов обратных матриц и о модификациях метода матричной прогонки // Сиб. матем. журн. 1992. Т. 32, № 2. С. 10-21.

19. Блатов И.А. Об алгебрах операторов с псевдоразреженными матрицами и их приложениях //' Сиб. матем. журн. 1996. Т. 37, К2 1. С. 3659.

20. Блатов И.А., Тертерян А.А. Об оценках элементов обратных матриц и методах неполной блочной факторизации на основе матричной- 94 прогонки // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1992. Т. 32, 11. С. 1683-1696.

21. Гохберг И.Ц., Фельдман И.А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. М.: На}'ка, 1971. - 352 с.

22. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970. - 536 с.

23. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. В 3-х т.- М.: Мир, 1966. Т.1: Общая теория. 895 с.

24. Диксмье Ж. С*-алгебры и их представления. М.: Наука, 1974. -399 с.

25. Диткин В.В. О некоторых спектральных свойствах пучка линейных ограниченных операторов // Матем. заметки, 1982, Т. 31, N 1, 75 -79.

26. Жиков В.В. Некоторые вопросы допустимости и дихотомии. Принцип усреднения// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1976. Т. 40, № 6. С. 1380-1408.

27. Забрейко П.П., Нгуен Ван Минь. Группа характеристических операторов и её применения в теории линейных обыкновенных дифференциальных операторов// Доклады Академии Наук. Серия Математика. 1992. Т. 324, № 1. С. 24-28.

28. Зубова С.П., Чернышов К.И. О линейном дифференциальном уравнении с фредгольмовым оператором при производной // Дифференц. уравнения и их применение, вып. 14, Вильнюс, 1976, 21-38.

29. Карапетянц Н.К. Об одном классе операторов сдвига // Изв. Сев,-Кавказ. науч. центра высш. шк. 1976. JY2 3. С. 11-12.

30. Като Т. Теория возмущений линейных операторов М.: Мир, 1972, 740 с.

31. Каток А.Б., Синай Я.Г., Степин A.M. Теория динамических систем и общих групп преобразований с инвариантной мерой // Итоги науки и- 95 техники: Мат. анализ. М.: ВИНИТИ, 1975. Т. 13. С. 129-262.

32. Колесников И.А. Диссертационная работа па соискание степени кандидата физ.-магп. наук по специальности 01.01.01. Воронеж, 2000

33. Коробейник Ю.Ф. Операторы сдвига на числовых семействах. -Ростов-на-дону: Изд-во Ростов, ун-та, 1983. 155 с.

34. Корнфельд И.Л., Синай Я.Г., Фомин С.В.Эргодическая теория. -М.: Наука, 1980. 384 с.

35. Крейн С.Г., Чернышов К.И. Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве // Препринт ИМ СО АН СССР, Новосибирск, 1979, 18 с.

36. Крейн С.Т.Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. - 464 с.

37. Кузнецова В.И. О дискретных линейных системах с медленно меняющимися коэффициентами// АиТ. 1990. 7. С. 43-48.

38. Кузнецова В.И. Оценки обратных к разностным операторам с медленно меняющимися коэффициентами. Воронеж, гос. техн. ун-т. Воронеж, 1994. - 23 с. - Деп. в ВИНИТИ 05.07.94., № 1666-В94.

39. Курбатов В.Г. Линейные дифференциально-разностные уравнения. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1990. - 168 с.

40. Курбатов В.Г. Об алгебрах разностных и интегральных операторов // Функц. ан. и его прил. 1990. Т. 24, 2. С. 37. 98-99.

41. Иосида К. Функциональный анализ М.: Мир, 1967, 624 с.

42. Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: Изд-во МГУ, 1978. - 205 с.

43. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.: Гостехиздат, 1950. - 452 с.

44. Майзель А.Д. Об устойчивости решений систем дифференциальных уравнений // Труды Уральского политехи, ин-та. Сер. матем. 1954. В. 51. С. 20-50.- 96

45. Maccepa X.JT., Шеффер Х.Х. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. М.: Мир, 1970. - 456 с.

46. Мельникова И.В., Альшанский М.А. Корректность вырожденной задачи Коши в банаховом пространстве // Докл. РАН, 1994, Т. 336, N 1, 17-20.

47. Миролюбов А.А., Солдатов М.А.Линейные однородные разностные уравнения. М.: Наука, 1981. - 208 с.

48. Миролюбов А.А., Солдатов М.А. Линейные неоднородные разностные уравнения. М.: Наука, 1986. - 126 с.

49. Морен К. Методы гильбертова пространства. М.: Мир, 1965. -570 с.

50. Мухамадиев Э., Садовский Б.Н. Об оценке спектрального радиуса одного оператора, связанного с уравнениями нейтрального типа // Мат. зам. 1973. Т. 13, 1. С. 61-78.

51. Никольский Н.К. Инвариантные пространства в теории операторов и теории функций // Итоги науки и техники: Мат. анализ. М.: ВИНИТИ, 1974. Т. 12. С. 199-412.

52. Никольский Н.К. Лекции об операторе сдвига. М.: Наука, 1980. -384 с.

53. Нитецки 3. Введение в дифференциальную динамику. М.: Мир, 1975. - 304 с.

54. Пастухов А.Н. Диссертационная работа на соискание степени кандидата физ.-мат. наук по специальности 01.01.01. Воронеж, 1999

55. Пуля ев В.Ф. Ограниченные почти периодические решения линейных интегральных уравнений. /// Дифф. уравн. 1989. Т. 10. С. 1789-1797.

56. Пуляев В.Ф. Ограниченные почти периодические решения линейных интегральных уравнений. II // Дифф. уравн. 1990. Т. 8. С. 1423-1432.

57. Рабинович B.C. Операторные дискретные свертки и некоторые их приложения // Мат. заметки. 1992. Т. 51, JY2 1. С. 90-101.- 97

58. Рудин, Функциональный анализ. М.: Мир, 1975. - 443 с.

59. Руткас А.Г. Задача Коши для уравнения Ax(t)+Bx(t)=f(t) // Дифферент уравнения, 1975, Т. 11, N И, 1996-2010.

60. Сандер С.А. Об одной оценке для трехдиагональных матриц // Сиб. матем. журн. 1990. Т. 31, № 5. С. 171-173.

61. Свиридкж Г.А. К общей теории полугрупп операторов // УМН, 1994, Т. 49, N 4, С. 47-74.

62. Свиридкж Г.А., Сукачева Т.Г., Дудко Л.Л. Необходимые и достаточные условия относительной а— ограниченности линейных операторов // Докл. РАН, 1995, Т. 345, N 1, С. 25-27.

63. Слюсарчук В.Е. Об экспоненциальной дихотомии решений дискретных систем // Укр. матем. журн. 1983. Т. 35, № 1. С. 109-115.

64. Слюсарчук В.Е. О представлении ограниченных решений линейных дискретных систем // Укр. матем. журн. 1987. Т. 39, № 2. С. 210-215.

65. Степин А.М Спектры динамических систем, // Междунар. конгр. математиков в Ницце. 1970 г. Докл. сов. математиков. М.: Наука. 1972. С. 307-312.

66. Тюрин В.М. Об обратимости линейных дифференциальных операторов в некоторых функциональных пространствах // Сиб. матем. журн. 1991. Т. 32, № 3. С. 160-165.

67. Халмош П. Гильбертово пространство в задачах. Москва: Мир, 1970. - 352 с.

68. Халмош П. Лекции по эргодической теории. Москва: ИЛ, 1959. - 147 с.

69. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. М.: Мир, 1985. - 376 с.

70. Хилле Е., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы М.: ИЛ, 1962, 829 с.

71. Хьюитт Э. Росс К. Абстрактный гармонический анализ. М.: На- 98 ука; Мир, 1975. Т.1,2. 654 е., 901 с.

72. Шарковский А.Н., Майстренко Ю.Л., Ромаиенко Е.Ю.Разностные уравнения и их приложения Киев: Наукова думка, 1986. - 279 с.

73. Шубин М.А. Псевдоразностные операторы и их функция Грина // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1985. Т. 49, № 3. С. 652-671.

74. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. М.: Мир, 1969. - 1072 с.

75. Baskakov A.G. Investigation of spectral properties of differential operator С = —ji + A(t) by means of semigroup eLi,t > 0. // Intern. Conf. on Functional Equations and Applications, Moscow, Russia, August 14-21 (1994) P. 8-9.

76. Coffman S.V., Schaffer J.J. Dichotomies for linear difference equations // Math. Ann. 1967. V. 172. P. 139-166.

77. Concus P., Golub G.H., Meurant G. Block preconditioning for the conjugate gradient method // Univ. of California, Berkley: 1982. - (Lawrence Bewrence Berkley Laboratory, Rep. LBL-14856); SIAM J. Sci and Statist. Comput,- 1985. V. 6, № 1. P. 220-252.

78. De Boor C. A bound on the Loo-погт of the L2~ approximation by splines in terms of a global mesh ratio // Math.Comput. 1976. V.30. P.687-694.

79. Demko S. Inverses of band matrices and local convergense of spline projection // SIAM J. Numer. Anal. 1977. V.14. P.616-619.

80. Demko S., Moss F.,Smith W. Decay rates for inverses of band matrices // Math.Comput. 1984. V.43. P.491-499.

81. Favini A. Laplace transfom method for a class of degenerate evolution problems // Rend, mat,., 1979, V. 12, N 3-4, 511-536.

82. Kurbatov V.G. Functional differential operators and equations. Dordrecht-Boston-London: Kluwer Academic Publishers, 1999. - 430 p.- 99

83. Parrot S. Weighted translation operators // Dissert. Abstr. 1965. V.26, № 5. P. 2781.

84. Perron 0. Die Stabilitatsfrage bei Differentialgleichungen // Math. Z. 1930. V. 32, № 137. P. 703-728.

85. Perron 0. Uber die Poincaresche lineare Differenzgleichung // J. reine angvar. Math. 1910. № 137. P. 6-64.

86. Petersen K. The spectrum and commulant of certain weighted translation operator // Math. Scand. 1975. V.37. № 2. P. 295-306.

87. Poincare H. Sur les equations lineaires aux differentielles ordinaries et aux differences fines // Amer. J. Math. 1885. № 7. P. 203.258.

88. Ragimov M.B. On new results in theory of linear bundles of operators // Turk Matematik. Deregi. IY Ulusal. Matematik Sempoziumu. Antakua. Hatau, 1991, 97-98.

89. Shields A.L. Weighted shift operator and analytyc function theory // Top. oper. theory. Math. Snrv. 1974. V. 13. P. 49-128.

90. Shields A.L. Some problems in operator theory // Lect. Notes Math. 1978. № 693 P. 157-164.

91. Песковатсков В.Ю. Об обратимости разностных операторов Воронеж, 1999. -11 с. -Деп. в ВИНИТИ 08.12.99. № 3639-В99.

92. Песковатсков В.Ю. Об обратимости разностных операторов // Тез. докл. Межд. научной конф. "Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения.", 15-20 мая 2000 г. Воронеж, 2000. - С. 166-167.

93. Песковатсков В.Ю. Об обратимости двучленных разностных операторов // Тез. докл. Воронежской зимней матем. школы "Современный анализ и его приложения.", 28 января-4 февраля 2000 г. Воронеж, 2000. -С. 135-136.

94. Песковатсков В.Ю. Обратимость разностного оператора с пере--менными коэффициентами // Тез. докл. Воронежской зимней матем. шко- 100 лы "Современные методы теории функций и смежные проблемы.", 27 января 4 февраля 2001 г. - Воронеж, 2001. - С. 210-211.

95. Песковатсков В.Ю. Об обратимости разностных операторов с переменными коэффициентами // Вестник Воронежского государственного технического университета. Серия "САПР и системы автоматизации производства". Выпуск 3.1. Воронеж, 2001. - С. 79-81.

96. Песковатсков В.Ю. Обратимость разностных операторов специального вида // Сборник научных трудов "Высокие технологии в технике, медицине, экономике и образовании". Часть 3. Воронеж, 2001. - С. 124128.