Причинная обратимость относительно конуса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

I о 'V* '1

, г'* * _

2 1

На правах -рукописи

Студеникин Андрей Анатольевич

Причинная обратимость относительно конуса

Специальность 01.01.01 - математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 1998

Работа выполнена в Липецком государственном техническом университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор В.Г. Курбатов.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.Г. Баскаков, кандидат физико-математических наук, доцент Е.И. Иохвидов.

Ведущая организация: Институт проблем управления РАН.

Защита состоится 29 декабря 1998 г. в 15— часов на заседании диссертационного совета К063.48.09 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Воронежском государственном университете по адресу: 394693 Воронеж, Университетская пл., 1, ВГУ, математический факультете.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского университета.

Автореферат разослан " г У" НОЯ Лип 199.fr.

Ученый секретарь специализированного совета доктор

физико-математических наук

В.Г. ЗАДОРОЖНИЙ

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В моделях многих процессов является естественным учет принципа причинности: настоящее может зависеть от прошлого, но не должно зависеть от будущего. Преобразования (операторы), подчиняющиеся этому принципу, называют причинными.

Представляется естественным, что принцип причинности должен учитываться не только при составлении уравнении. А именно, зависимость / х решения х уравнения Тх = / от / также должна удовлетворять этому принципу. Это приводит к понятию причинной обратимости — принципу причинности должен удовлетворять не только оператор Г, но и обратный к нему.

Одномерная причинная обратимость широко применяется в теории управления при исследовании входо-выходной устойчивости систем с обратной связью (см., например, монографии J.C. Willems. The Analysis of Feedback Systems. Cambridge: Л11Т Press, 1971: Л. Feintuch and R. Sacks. System Theory: A Hilbert Space Approach. Academic Press. Xew York, 1982; 4. Дезоер и M. Видьясагар. Системы с обратной связью: вход-выходные соотношения. М.: Наука, 1983: В.Г. Курбатов. Линейные дифференциально-разностные уравнения. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1990.)

Под многомерной причинностью мы подразумеваем интерпретацию, в которой прошлое и будущее понимаются в смысле специальной теории относительности, т.е. как порожденные световым конусом в К4, а также в более абстрактном смысле — как порожденные произвольным конусом в Е" или даже произвольной подполугруппой локально компактной абелевой группы. Многомерная причинность возникает. например, в задачах, где скорость распространения сигналов ограничена.

Цель работы. Основной целью работы является получение эффективных условий причинной обратимости, порожденной конусом в R", операторов свертки с ограниченными мерами. В свете этой цели основными результатами работы являются: описание полугрупп характеров конусов в Rn; исследование плотности вложения полугруппы непрерывных характеров в полугруппу разрывных характеров; доказательство топологической изоморфности пространства характеров алгебры абсолютно непрерывных мер, сконцентрированных в конусе,

полугруппе непрерывных характеров этого конуса; вычисление причинных спектров относительно конуса операторов свертки с мерами без непрерывных сингулярных составляющих; а также вычисление причинных спектров операторов свертки с сингулярными мерами специального вила.

Общие методы исследования. Основным аппаратом исследования в диссертации являются методы функционального анализа, в частности, теория операторов, спектральная теория, абстрактный гармонический анализ, теория интеграла Лебега, банаховы алгебры и преобразование Гельфанда.

Научная новизна. Причинной обратимости операторов в пространствах функций на М посвящена обширная литература (см., например. ссылки выше). Для операторов свертки с мерами на R" условия обычной обратимости также хорошо известны. Наконец, многомерные причинные операторы встречаются как в математической, так и физической литературе. Несмотря на это. причинная обратимость в пространствах функций на R" ранее специально не изучалась.

Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут применяться в теории операторов, дифференциальных уравнений с частными производными, в прикладных задачах при описании взаимодействий в средах с ограниченной скоростью распространения сигналов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах ЛГТУ, МГУ (руководитель О.Г. Смолянов), ИПУ РАН (руководитель H.A. Бобылев) и ВГУ (руководитель А.Г. Баскаков), а также на международной конференции по Стохастическому и глобальному анализу (Воронеж, 13-19 января 1997 года).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 3 работы, список которых приводится в конце автореферата. Из результатов совместной работы с В.Г. Курбатовым в диссертацию включены только результаты параграфов 3 и 4, принадлежащие A.A. Студеникину.

Структура ц объем работы. Работа изложена на 130 страницах и состоит из введения, 5 разделов и списка литературы.

Библиография. Список использованной литературы содержит 89 наименований.

Автор выражает благодарность фонду Robert'a Havemann'a за поддержку в работе над диссертацией.

Текст автореферата набран в Лд^^-ЬЯ^Х'е.

Содержание работы

Сначала кратко опишем основные идеи, использованные в работе, а затем сформулируем ключевые теоремы.

В работе рассматривается понятие причинности, порожденное некоторой подполугруппой § локально компактной абелевой группы & (операцию в группе С мы обозначаем знаком +). Подполугруппой группы С называют подмножество группы С-, содержащее нейтральный элемент (единицу) п замкнутое по отношению к групповой операции. Нетрудно видеть, что подполугруппа является топологической абелевон полугруппой с единицей относительно индуцированных из группы операции и топологии.

Пусть X — некоторое банахово пространство функций, определенных на группе С (в диссертации в качестве Л' рассматриваются пространства Лебега 1 < р < эо или р — 0, а также пространство Со (С) непрерывных функций, стремящихся к нулю на бесконечности). Рассмотрим в X семейство подпространств

X, = Х? = {х £ X: х(в) = 0 для всех х € I - §}, Ь 6 С.

Ограниченный линейный оператор А: X —+ Л' назовем причинным (относительно подполугруппы §), если для любого Ь £ (£ имеет место вложение АХь С X/. Причинный оператор А назовем причинно обратимым (относительно полполугруппы 8), если обратный оператор А~1 существует и также является причинным (относительно подполугруппы •§). Принципиально, что причинная обратимость не эквивалентна обычной обратимости.

Если X — Ьр или X = С0, то можно показать, что для любого ( 6 С подпространство Х1 = Л;' замкнуто. Отсюда следует, что множество всех причинных относительно § операторов, действующих в пространстве X, образует банахову алгебру. Эта алгебра в работе обозначается символом Вс;(Л'). Таким образом, причинность (причинная обратимость) оператора А: X —>■ X означает его принадлежность к (обратимость в) алгебре Вс(Х) причинных операторов. Спектр причинного оператора А: X —» X в алгебре В§(Х) будем называть причинным спектром.

Рассмотрим действующий в пространствах X — Lp и Л" = Са оператор ;4(1 свертки с ограниченной мерой р. Напомним, что действие оператора Л,, на функцию х 6 Аг определяется по формуле

(V)(i)= J x(t-s)dfi(s).

Задача исследования причинности относительно § оператора Ам имеет сравнительно простое решение. Обозначим через М.13 = yVi°(G) множество всех ограниченных мер на группе G, сконцентрированных в подполугруппе §. Множество Ms является банаховой алгеброй — подалгеброй в алгебре М = M(G) всех ограниченных мер на &. При естественных ограничениях на подполугруппу S причинность относительно S оператора _4;, эквивалентна сконцентрированности меры // в подполугруппе §, т.е. тому, что ft 6 В частности, для случая Л* — Со достаточно, чтобы S была замкнута, а для случая X = Lp — замкнута.и правильна. Подполугруппу § мы называем правильной. если пересечение любой окрестности U нуля в G и подполугруппы S имеет ненулевую нижнюю меру Хаара.

Задача о причинной обратимости относительно S оператора Л^ существенно сложнее. В диссертации ее решение получено, главным образом, для меры ц без непрерывной сингулярной составляющей. Показано. что в этом случае при замкнутости подполугруппы § (Л" = С'0) или при ее замкнутости и правильности (Л" = Lp) причинная обратимость относительно S оператора Лд эквивалентна обратимости меры /I в соответствующей подалгебре алгебры Л43 (варианты см. ниже). Причинный спектр оператора и спектр меры /i в упомянутой подалгебре также совпадают.

В алгебре М рассмотрим три замкнутые подалгебры с единицей, не содержащие мер с непрерывными сингулярными составляющими. Эти подалгебры естественным образом составляются из компонент разложения

м = Md е msc ® mm

алгебры М. в смысле Лебега. А именно, это — алгебра M-i дискретных мер; алгебра являющаяся прямой суммой алгебры M.d дискрет-

ных мер и алгебры ЛЛас абсолютно непрерывных мер; а также алгебра Мас, являющаяся прямой суммой алгебры Л4ас и одномерного подпространства, натянутого на i-функцию. Для алгебры также' имеет

место разложение, аналогичное разложению в смысле Лебега:

Ms = M^®Ms„®Msac,

гле М2 = Mj n Ms, м% = Msc n Ms и Mi = П Таким образом, в алгебре .ViG также имеются естественные подалгебры, не содержащие мер с непрерывными сингулярными составляющими:

М^иЩ.с.

Так как все перечисленные подалгебры алгебры .VP являются коммутативными банаховыми алгебрами, то для вычисления спектра меры // в соответствующей алгебре можно использовать преобразование Гельфанда. Следовательно, возникает задача описания пространств характеров алгебр М% M%Sac и Известно, что пространства характеров алгебр М.d, Л4,1^ас и Мас можно эффективно описать в терминах групп X(G) и X(,(G) непрерывных и разрывных (групповых) характеров группы G. В диссертации показано, что при выполнении некоторых дополнительных условий (для подполугруппы S) аналогичный результат имеет место для пространств характеров алгебр Mj, и Mfic. А именно, пространства характеров соответствуюших алгебр можно эффективно описать в терминах полугрупп Щ§) и Кь(§) непрерывных и разрывных (полугрупповых) характеров подполугруппы §. С.тедовательно. вопрос о строении этих полугрупп приобретает принципиальное значение.

В разделе 1 диссертации приводится полное описание строения полугрупп непрерывных и разрывных характеров для конусов в Ж". Непрерывным (полугрупповым) характером топологической абелевой полугруппы § называют всякое нетривиальное непрерывное отображение х: S —> U+ = {и £ С: |г(| < 1}, сохраняющее операцию, т.е. x(t + s) = x(t)x{s) при всех t,s € S. Нетривиальность означает, что существует t0 £ S такое, что x(to) ф 0. Иными словами, непрерывный полугрулповой характер — это нетривиальный морфизм топологических полугрупп S и U+. Множество всех непрерывных характеров полугруппы § обозначим символом К(§). Нетривиальный морфизм алгебраических полугрупп § и U+ назовем разрывным характером. Множество всех разрывных характеров полугруппы § обозначим символом Кб(§). Полугруппу S, наделенную дискретной топологией, обозначим символом §j. Отметим, что Кь(§) = K(Sj).

Множество Щ5) является топологической абелевой полугруппой с единицей относительно операции поточечного умножения и топологии равномерной сходимости на компактных подмножествах полугруппы 3. Эту топологию называют топологией компактной сходимости. Так как компактными в полугруппе являются только конечные множества, то топология компактной сходимости для полугруппы Кь(8) = Щ§</) — это фактически топология сходимости на конечных наборах точек.

Рассмотрим в полугруппе К(§) множество всех характеров, нигде на 5 не обращающихся в ноль. Ясно, что это множество образует подполугруппу полугруппы К(§)'и, следовательно, само является топологической абелевой полугруппой с единицей относительно индуцированных из Щ§) операции и топологии. Эту полугруппу обозначим символом ЕС"(§) и назовем полугруппой невырожденных характеров.

Конусом в Ш" назовем подполугруппу § группы М", обладающую коническим свойством, а именно: а£ Е 5 для любых £ £ § и а > 0. Конус § С К" называют воспроизводящим, если § — § = К". Для всякого конуса 2 С К." символом §* обозначим множество всех у Е К" таких, что (у, .с) > 0 для любого х Е §. Ясно, что множество 5* является замкнутым конусом. Конус §* называют сопряженным конусом к конусу §.

Теорема 1. Пусть § — воспроизводящий конус в М". Тогда:

a) дм любых 6 и и> Е Мп функция

х(х) = х£§. (1)

является непрерывным характером полугруппы § и, наоборот, всякий характер х £ К(§) представим в виде (1), где 7 Е §* и и Е К";

b) для любого £ и любого характера £ Е Хь(К") функция

= х£§. (2)

является невырожденным (разрывным) характером полугруппы § и, наоборот, всякий характер г) Е представим в виде (2), где

7 Е и £ Е ХЬ(М").

c) Если ц Е Кь(В) то множество Бп = {х € §: т]{х) ф 0} является конусом и целиком лежит на границе <9§ конуса §.

Результаты теоремы можно резюмировать следующим образом: полугруппы Щ§), К? (8) и К|(§) допускают представление

К(§) = хХ(Г),

К®(§) ~ §* х Хб(®п).

Строение множества \ (§) требует дополнительного ис-

следования. В диссертации показано, что это множество может быть представлено в виде

гле £ пробегает множество всех граней конуса § (определение грани см. ниже), а множество состоит из всех характеров ¡] € Кг,(§),

заданных формулой

д ' \о, - я€§\£.

где С <= К?(£).

Окончание раздела 1 посвящено исследованию плотности вложения К(§) С Кб(Б) в топологии полугруппы К<,(§). Известно, что для групп соответствующее вложение Х(<С) С Хь(С) плотно. Для полугрупп это не всегда имеет место. В диссертации показано, что если § — воспроизводящий конус в К", то определяющим фактором в этом вопросе является строение границы конуса 5. Остановимся на этом более подробно.

Подполугруппой без единицы группы О назовем подмножество, замкнутое по отношению к операции п не содержащее нейтральный элемент. Конусом без единицы назовем подполугруппу без единицы группы К™, замкнутую по отношению к умножению на положительные числа. Пусть Б — воспроизводящий конус в К". Конус £, целиком лежащий на границе 5§ конуса 3, назовем допустимым в конусе 8, если подпространство Н = £ — £ пересекается с 3 в точности по £ и множество § \ £ является конусом без единицы.

Пусть § — конус вК"пЯ = 3-3— порожденное им подпространство. Обозначим через дцгЛ границу множества § в пространстве Н.

Конус Е С <9#Б назовем гранью первого порядка конуса если в пространстве Н существует гиперпространство На такое, что 2 Г)Н0 = Е. Конус Е назовем гранью к-го порядка конуса § {к > 2), если II является гранью первого порядка какой-либо грани —1)-го порядка конуса 5, но сам гранью (к — 1)-го порядка конуса § не является.

Теорема 2. Пусть § — воспроизводящий конус в Ж". Пусть, далее7 £ — допустимый конус в 5 и 1] € Предположим, что для

конуса 2 выполнены следующие условия:

a) конус Е является гранью первого порядка:

b) имеет место равенство Е = §П (Е — £).

Тогда в любой окрестности характера г] найдется непрерывный характер >с. -

В частности, если условия а) и Ь) выполнены для любого допустимого в § конуса 1!, то ЩБ) плотна; в К^З).

Теорема 3. Пусть § — замкнутый воспроизводящий конус в К". Тогда К(§) плотна в

В начале раздела 2 мы напоминаем определение пространств Лебега ЬР{<&). 1 < р < зс или р = 0. В частности, символом Ь0 мы обозначаем замкнутое подпространство пространства состоящее из функций, стремящихся к нулю на бесконечности. Затем мы напоминаем определение операторов свертки с ограниченными мерами и тот факт, что эти операторы действуют в пространстве С0(<С) и пространствах Ьр(Щ, а также напоминаем определение алгебры Л4((&) ограниченных мер на С.

Для произвольной подполугруппы 5 группы С мы определяем алгебру как подалгебру алгебры состоящую из всех мер, сконцентрированных в §. Такой лодход к определению алгебры ,М"'(С) позволяет отказаться от предположения о локальной компактности подполугруппы § и, более того, от предположения о ее измеримости относительно меры Хаара. В диссертации показано, что для алгебры Л'Р(С) имеет место разложение, аналогичное разложению в смысле Лебега, а именно:

. М%(}Щ = Ф Л<:е(С) © (С),

где М«(С) = М3зс(С) = Мас(&) ЛХ§(<С) яМ*е(<£) =

Также показано, что в случае локальной компактности подполугруппы 8 алгебра Л"Р(С) естественным образом изометрически изоморфна алгебре Л4 (3) ограниченных мер на локально компактной полугруппе 3.

Раздел 3. Напомним определение характера алгебры. Пусть А — коммутативная банахова алгебра над полем С. Характером алгебры А называют всякий не равный нулю линейный функционал £ : А —С такой, что С(аЬ) — С(аК(1>) для всех а, 6 € А. Легко показать, что всякий характер алгебры непрерывен, при этом |(£|| < 1. Множество Х(А) всех характеров алгебры А рассматривают как топологическое пространство относительно слабой топологии, индуцированной вложением множества Х(А) в сопряженное пространство А .

Определим преобразование Лапласа меры ц € Л43(С) как функцию /1 на полугруппе Щ§) непрерывных характеров подполугруппы Б. заданную формулой

//(*) = У^Ф, >*6К(5).

Содержание раздела состоит в описании пространств характеров алгебр М.® и в терминах полугрупп характеров подпо-

лугруппы §. Перед формулировкой основной теоремы раздела дадим определение почти правильной подполугруппы.

Пусть & — локально компактная абелева группа, А — мера. Хаара на ней и 5 С С — произвольное множество. Точку в Е 5 назовем существенной точкой множества 5, если для любой окрестности О точки з в группе С имеет место неравенство А, (О П 5) >0, где А» — нижняя мера Хаара.

Подполугруппу § локально компактной абелевой группы (С назовем почти правильной, если для всякого характера £ К(§) найдется существенная точка 5 € § такая, что х(«) ф 0.

Теорема 4. Пусть С — локально компактная абелева группа. § — ее почти правильная подполугруппа а К = К(§) — полугруппа непрерывных характеров на §. Тогда отображение х М- задаваемое формулой

является топологическим изоморфизмом между полугруппой характеров К(§) подполугруппы Б и пространством характеров Х(Л4®С) алгебры

Раздел 4. Пусть А — коммутативная банахова алгебра с единицей и Х(А) — пространство ее характеров. Напомним, что преобразованием Гелъфанда элемента а € А называют функцию 0а: Х(А) —> С, определенную по формуле

«Ш = £(«), С.еХ(А).

Как хорошо известно, спектр элемента а в алгебре А совпадает с множеством значении преобразования Гельфанла этого элемента, т.е.

<г(а) = {.МО:СеХ(А)}. (3)

Далее в разделе 4 в соответствии с формулой (3) вычисляются спектры мер в алгебрах Л4®с(<&) и -И^ДС). При этом теорема 4 и другие результаты раздела 3 позволяют описать соответствующие спектры в терминах полугрупп характеров подполугруппы § и преобразования Лапласа. Если § — воспроизводящий конус в Ж", то применение теорем 1-3 дает возможность получить эффективные формулы для спектров в алгебрах Л^Е") и Следующее усиление 'теорем 2 и 3 позволяет выписать эффективную формулу для спектра в алгебре

Теорема 5. Пусть § — воспроизводящий конус е М". Тогда естественный образ полу группы Щ§) (см. теорему А) плотен в пространстве характеров алгебры

Раздел 5 является основным разделом диссертации. В нем определяется понятие причинности и причинной обратимости относительно подполугруппы 8 локально компактной абелевой группы С для операторов, действующих в пространстве Л' функций на С. Еще раз отметим, что причинная обратимость, как правило, не эквивалентна обычной обратимости. Далее мы показываем, что в случае рассматриваемых в диссертации пространств X = Ьр и X = Со множество всех причинных операторов образует банахову алгебру. Таким образом,

причинная обратимость — это обратимость в алгебре причинных операторов — подалгебре алгебры всех ограниченных операторов. Напомним. что подалгебру А0 алгебры А называют наполненной, если для любого а0 £ Ао из обратимости а0 в алгебре А следует, что обратный я^1 также принадлежит А0. Таким образом, несовпадение причинной обратимости с обычной объясняется тем, что подалгебра причинных операторов не является наполненной в алгебре всех ограниченных операторов.

Основное внимание в разделе 5 уделяется исследованию причинности и причинной обратимости относительно воспроизводящего конуса 3 в К" операторов свертки с ограниченными мерами. Показано, что причинность, порожденная конусом §. в пространствах Ьр(М.п) и Со(М") совпадает с причинностью, порожденной его замыканием §. Таким образом, без ограничения общности конус 5 можно считать замкнутым.

Сформулируем основные теоремы о причинном спектре относительно конуса оператора свертки с мерой без непрерывной сингулярной составляющей.

Теорема 6. Пусть § — (замкнутый) воспроизводящий конус в Ж". Пусть, далее. X -- Со(Кп) или X = 1 < р < ос или р = 0.

Тогда причинный спектр о^И) разностного оператора й: X —> X. заданного формулой

4 6 К",

Г1=1

где Ьп € 3 и 1ап| < °°> совпадает с множеством

{ И а„е<>: 7 € 8*, ^ € К" },'

П=1

где церта означает замыкание. В частности, оператор О причинно 'обратим тогда и только тогда, когда функция

оо

(7, ш) м-

п=1

отделена от нуля при 7 6 §* и ш € М".

Теорема 7. Пусть § — (замкнутый) воспроизводящий конус в Пусть, далее, X — Со(М") или X — LP(W), 1 < р < оо или р — 0. Тогда причинный спектр crs(al ■+■ G) интегрального оператора al + G: X —> Л", заданного формулой

{(al +G)x)(t) = ax(t) + Jx(t - s)g(s) d\(s), t £

где g £ Li(S), совпадает с множеством

{a} U | a + J e<-"1+L'>t)g(t) d\{t): 7 6 S*, w £ 2Г |.

В частности, оператор al + G причинно обратим тогда и только тогда, когда а ф 0 и функция

+ j dX(t)

не обращается в ноль при 7 £ и и*' £ ^ -

Теорема 8. Пусть 5 — (замкнутый) воспроизводящий конус в М". Пусть, далее, X = С'о(Мп) или X = Ьр(Ш.п), 1 < р < ос или р — П. Тогда причинный спектр <Т£(0 + С) разностно-интегрального оператора О + G^■ X —> Л", заданного формулой

■ж, £

, ((£> + С)х) (£) = - + / - ^зИ (1Ч8)< I €

где £ §. < ос и д & Совпадает с множеством

¿ау^-т+'^М + I 7 £ §*,

п=1 "I )

где черта означает замыкание. В частности. оператор D + G причинно обратим тогда и только тогда, когда функция

оо ,

(7,w) М- ]Гапе<-7+й,''<»> + / g{t) dX{t)

n=l J

отделена от нуля при 7 £ S* « ы £ R".

Диссертация завершается изучением операторов свертки с сингу-лярнымн мерами специального вида. А именно, рассмотрим операторы свертки с мерами, сконцентрированными на пересечении конуса 3 и некоторого подпространства Я С К"- Положим £ = Я Л §. Без ограничения общности можно считать, что Н = Е — £. Пусть Н~ — ортогональное дополнение к подпространству Я в Обозначим через Х(Н) пространство функций на Я класса X. Например, если X = ¿Р(Е"), то Х(Н) = Ьр(Я). Для всякого линейного ограниченного оператора .4: Х(Н) —> Х(Н) положим

((1ИХ ® А)х)(Ъ з) = {Ах<){з), X б Л', (4)

где хДв) = а /я± — тождественный оператор в пространстве

функций на Я"-1. Отметим, что оператор свертки с мерой, сконцентрированной в конусе Е — частный случай оператора (4).

В работе изучены условия действия оператора 1ц±®А в пространствах Л* (существенно различные для пространств Ьр, 1 < р < ос. и ¿о). Установлено, что в случае действия оператора 1цх 3 А в пространстве Л* его причинный спектр относительно конуса § совпадает с причинным спектром оператора А относительно конуса Е.

Рассмотрим оператор Оц + С//, определенный формулой

оо

({Ин +(?я)л)(М) = - я„) +

(5)

+ / 1(«.в-в0)5(во)^л(во). (М) еК".

где в„ е Е, 5 € Ь,(Е,АЯ) и |ап| < оо.

Теорема 9. Пусть 5 — замкнутый воспроизводящий конус, а Я — собственное подпространство в М". Пусть конус £ = ЗПЯ является воспроизводящим в Я. Пусть, далее, X = С0(К") или X = 1 < Р £ 00 пли р = 0, а Х(Н) — пространство функций на Я класса X. Тогда причинный спектр относительно конуса § оператора Оц +<?//: А' X, определенного формулой (5), совпадает, с причинным спектром относительно конуса £ оператора Ацн : Х(Н) —> Х(Н) (здесь рц = ап($н)зп и. следовательно, совпадает

1

15

с множеством

П=1 х

где черта означает замыкание. В частности, оператор Иц 4- С я причинно обратим тогда и только тогда, когда функция

ОО Л

1 VI

отделена от нуля при уц £ и и/ц £ Н.

Работы автора по теме диссертации

[1] Студеннкин A.A. Об операторах свертки с мерой, сосредоточенной в световом конусе // Стохастический и глобальный анализ: Тез. междунар. конф. 13-19 января 1997 г.—Воронеж. 1997.— С. 90.

[2] Студеннкин A.A. Операторы свертки с мерой, сконцентрированной б подполугруппе.—Липецк, 1998.—130 с.—Деп. в ВИНИТИ 19.06.98, N1871-B98.

[3] Kurbatov V.G.. Studenikin A.A. The causal invertibility with respect to a cone // Functional Differential Equations.—1997.—Vol. 4.—N3-4.—P. 295-327.

Заказ № от ^4,^.1993 г. Тир. .iûOзкз. Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ

Р1 * я о /

Г).л •• Л ~ / ,

V

липецкий государственный технический

университет

На правах рукописи

Студеникин Андрей Анатольевич

Причинная обратимость относительно конуса

(01.01.01 — математический анализ)

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физ.-мат. наук профессор Курбатов В.Г.

Липецк—1998

Оглавление

1. Характеры полугрупп 12

1.1. Определения..................................................12

1.2. Характеры полугруппы ..................................15

1.3. Характеры конусов в!"....................................18

1.4. Теорема Кронекера для конусов в Мп......................26

2. Алгебра ограниченных мер, сконцентрированных в подполугруппе 38

2.1. Определения..................................................38

2.2. Операторы свертки с ограниченными мерами............51

2.3. Свертка в алгебре ограниченных мер......................53

2.4. Подалгебра мер, сконцентрированных в подполугруппе 58

2.5. Алгебра мер на подполугруппе ............................62

3. Преобразование Лапласа мер из 73

3.1. Определения..................................................73

3.2. Пространство характеров алгебры Л4^с..................76

3.3. Пространство характеров алгебры М.®....................87

3.4. Пространство характеров алгебры Л4®фас................88

4. Обратимость в алгебрах М% М^фас 90

4.1. Преобразование Гельфанда..................................90

4.2. Обратимость в алгебре ................................90

4.3. Обратимость в алгебре ................................92

4.4. Обратимость в алгебре Л4^фас..............................93

5. Причинный спектр и причинная обратимость 96

5.1. Определения и примеры......................................96

5.2. Алгебра причинных операторов............................99

5.3. Причинная обратимость операторов свертки............104

5.4. Причинная обратимость операторов свертки в М" ... 107

5.5. Причинная обратимость операторов свертки с мерами, сконцентрированными на вырожденном конусе..........110

Литература 123

Введение

Постановка задачи. Пусть X — некоторое банахово пространство функций, определенных на М™. В диссертации в качестве X рассматриваются пространства Лебега Lp(Rn), где 1 < р < оо или р = О, а также пространство С0(К.П) непрерывных функций, стремящихся к нулю на бесконечности. Пусть, далее, § — некоторый конус в Мп. Ограниченный линейный оператор А: X —>• X будем называть причинным (относительно конуса §), если для любого t £ Ш.п и любой х Е X равенство ^(s) = 0 при s Е t — § влечет равенство (Ах) (s) = 0 при 5 Е t—§. Причинный оператор А будем называть причинно обратимым (относительно конуса §), если обратный оператор Асуществует и также является причинным (относительно того же конуса §). Принципиально, что, кроме тривиальных случаев, причинная обратимость не эквивалентна обычной обратимости.

Диссертация посвящена исследованию причинной обратимости относительно конуса § операторов свертки с ограниченными мерами.

Так как для причинного оператора А значения функции Ах на любом измеримом множестве Е С М" полностью определяются значениями функции х на множестве Е — §, использование таких операторов естественно при описании процессов, разворачивающихся в "многомерном времени". Причинность соответствующего оператора эквивалентна тому, что состояние объекта в "настоящем" может зависеть от "прошлого", но не должно зависеть от "будущего". В частности, если в пространстве R4 рассмотреть световой конус

®={(t0,tut2,t3)eR4: ф\ + t¡ + t¡ < cío},

то понятие причинности относительно S является естественной интерпретацией основного положения специальной теории относительности о том, что физические взаимодействия не могут распространяться быстрее скорости света. Интересно отметить (см., например, [7]), что скорость распространения света в кристаллах зависит от направления. В этом случае сечения аналога светового конуса не будут сферическими.

Определение причинности относительно конуса S можно переформулировать следующим эквивалентным образом. В пространстве X

рассмотрим семейство подпространств

= х(з) = 0 для всех ж € £ - § }, ¿бГ.

Ограниченный оператор А: X X является причинным относительно 5 тогда и только тогда, когда для любого £ £ имеет место вложение

АХг С X,.

Отметим, что в случае X = Ьр и X = Со все подпространства Хг = Xf замкнуты. Используя этот факт, легко показать, что множество всех операторов, причинных относительно §, образует банахову алгебру — подалгебру в алгебре всех линейных ограниченных операторов, действующих в пространстве X. Таким образом, причинная обратимость оператора А — это обратимость в алгебре причинных операторов. Задача исследования причинной обратимости причинного оператора А фактически является задачей описания его причинного спектра, т.е. спектра в алгебре причинных операторов.

Понятие причинности, связанное с конусом, допускает широкие обобщения. В частности, исследование процессов с "многомерным дискретным временем", а также сама структура подпространств Х^ подводит к мысли о замене линейного пространства Мп на произвольную локально компактную абелеву группу С. Соответственно, роль конуса в этом случае будет играть некоторая подполугруппа § группы С. Это позволяет говорить о причинности относительно подполугруппы.

Заметим, что если на группе С ввести связанную с подполугруппой § структуру частично упорядоченного множества (а <Ъ Ъ — а е §, а, 6 Е С), то подпространства XI будут обладать свойством

Ха Э Хъ при а < Ь,

что позволяет рассмотреть следующее обобщение. Пусть X — банахово пространство, а, ]¥ — частично упорядоченное множество. Семейство замкнутых подпространств Х11 Ь Е IV, назовем направлением в пространстве X, если для любых а < Ъ имеет место вложение Ха Оператор А: X —> X назовем причинным (относительно направления X*), £ Е \¥, если АХг С Х^ t £ V/. Здесь причинная структура, связанная с упорядочением "по времени", заменена на причинную структуру, связанную с произвольным частично упорядоченным множеством.

Многие факты, справедливые для простейшей причинной структуры (а именно, С = К и § = = [0, +оо)), имеют место для абстрактной причинной структуры, связанной с произвольным направлением. Более того, различные причинные структуры допускают общие приемы исследования.

Описание содержания работы. Основной целью настоящей работы является исследование причинной обратимости, индуцированной выделенной подполугруппой §, операторов Ам свертки с ограниченной мерой сконцентрированной в подполугруппе §. В случае, когда § — воспроизводящий конус в Е", а мера ¡1 не имеет непрерывной сингулярной составляющей, получено эффективное описание причинного спектра оператора А^.

Основная идея диссертации состоит в следующем. Причинная обратимость относительно § оператора Ам свертки с мерой ¡л без непрерывной сингулярной составляющей, как правило, эквивалентна обратимости меры ¡л в некоторой подалгебре коммутативной банаховой алгебры ограниченных мер, сконцентрированных в §. Это позволяет применить для вычисления спектра оператора Аи преобразование Гельфанда.

В свою очередь, эффективное описание преобразования Гельфанда в соответствующих алгебрах возможно в терминах аналога преобразования Лапласа, определенного на полугруппе характеров полугруппы §. Причем, если для описания преобразования Гельфанда алгебры абсолютно непрерывных мер следует рассматривать полугруппу непрерывных характеров, то в случае алгебры дискретных мер — полугруппу разрывных характеров, а для прямой суммы этих алгебр — сразу обе полугруппы характеров.

В разделе 1 изучаются характеры конусов в М". В пункте 1.1 определяются полугруппы непрерывных и разрывных характеров топологической аблевой полугруппы § с единицей и описываются их простейшие свойства. Отметим, что в работе в качестве полугруппы § всегда рассматривается некоторая подполугруппа локально компактной абелевой группы С. В пункте 1.2 напоминается строение полугрупп непрерывных и разрывных характеров для одномерного конуса § = М.+ в Е. В пункте 1.3 приводится полное описание полугрупп непрерывных и невырожденных (т.е. нигде не обращающихся в ноль) разрывных характеров конуса 8 в Мп. Подробно исследуется строение

множества вырожденных разрывных характеров конуса.

Если полугруппа непрерывных характеров образует плотное подмножество в полугруппе разрывных характеров, то преобразование Лапласа в алгебрах мер без непрерывной сингулярной составляющей может быть восстановлено только по его значениям на непрерывных характерах. Таким образом, вопрос о плотности вложения полугруппы непрерывных характеров в полугруппу разрывных приобретает принципиальное значение. В работе ему посвящен пункт 1.4. Установлено, что определяющую роль здесь играет строение границы конуса §.

Раздел 2 посвящен подробному описанию основных объектов исследования. Здесь определяются пространства Лебега 1/р(С), 1 < р < оо или р = 0 (пункт 2.1), операторы свертки с ограниченными мерами, действующие в пространстве С0(С) непрерывных функций на С, стремящихся к нулю на бесконечности, и пространствах Лебега 1/р(С) (пункт 2.2), а также алгебра .М(С) ограниченных мер на С и напоминается ее разложение в смысле Лебега (пункт 2.3).

В пункте 2.4 определяется подалгебра Л48(С) алгебры Л4(С), состоящая из всех ограниченных мер, сконцентрированных в подполугруппе §. Для нее строится разложение, аналогичное разложению в смысле Лебега. Отметим, что рассматриваемый подход к определению алгебры как подалгебры алгебры .М(С) всех ограниченных

мер позволяет отказаться от предположения о локальной компактности полугруппы Более того, подполугруппа § не предполагается измеримой относительно каких-либо мер на С.

В пункте 2.5 обсуждается традиционный подход к определению алгебры Л4(§) ограниченных мер на локально компактной полугруппе. Показано, что в случае локально компактной подполугруппы § оба рассматриваемых подхода эквивалентны.

В пункте 3.1 раздела 3 определяется преобразование Лапласа мер из ЛЛ§'(0) как функций на полугруппе К(§) непрерывных характеров полугруппы Затем (пункт 3.2) в терминах преобразования Лапласа описывается пространство характеров алгебры Л4^с(С) абсолютно непрерывных мер, сконцентрированных в подполугруппе §. Показано, что в случае почти правильной подполугруппы § (почти правильной подполугруппой, например, является любой воспроизводящий конус в Мп) пространство характеров алгебры Л4^с(С) абсолютно непрерывных мер топологически изоморфно полугруппе 1К(8) непрерывных ха-

рактеров полугруппы §. Этот результат является обобщением соответствующего известного утверждения для групп.

В пунктах 3.3 и 3.4 описываются пространства характеров алгебры всех дискретных мер, сконцентрированных в подполугруппе §, и алгебры являющейся прямой суммой алгебр Л4^с(С) и

Раздел 4 посвящен исследованию обратимости в алгебрах

(пункт 4.2), Л4%(€г) (пункт 4.3) и Л^фас(С) (пункт 4.4) ограниченных мер без непрерывной сингулярной составляющей, сконцентрированных в подполугруппе Так как все эти алгебры являются коммутативными банаховыми алгебрами с единицей, то спектр любого элемента полностью описывается в терминах преобразования Гельфанда (определение которого мы напоминаем в пункте 4.1). В случае, когда полугруппа § является конусом в пространстве получено эффективное описание спектров элементов в соответствующих алгебрах.

Раздел 5 является, собственно, основной целью данной работы. Как уже упоминалось выше, здесь определяется понятие причинности и причинной обратимости (относительно подполугруппы §) операторов, действующих в пространстве функций на группе С (пункт 5.1). В пункте 5.2 причинность (причинная обратимость) оператора обсуждается с точки зрения его принадлежности к (обратимости в) алгебре причинных операторов. Показано, что, как правило, причинность оператора А^ свертки с мерой ¡1 относительно подполугруппы § эквивалентна тому, что мера /л сконцентрирована в этой подполугруппе, т.е. принадлежит

алгебре Мв(&). В пункте 5.3 для меры ¡л без непрерывной сингулярной составляющей доказана эквивалентность причинной обратимости оператора А^ обратимости самой меры /л в соответствующей подалгебре алгебры что позволяет вы-

числять причинный спектр оператора Ац в терминах преобразования Гельфанда меры ¡1 в соответствующей алгебре.

В пункте 5.4 результаты пункта 5.3 и раздела 4 применяются для эффективного описания причинных спектров относительно воспроизводящего конуса § в К" операторов свертки с мерами без непрерывной сингулярной составляющей.

В пункте 5.5 показана применимость разработанных методов для вычисления причинных спектров операторов свертки с сингулярными мерами, сконцентрированными в вырожденных конусах.

Таким образом, основными результатами, полученными в диссертации, следует считать: описание полугрупп характеров конуса § в Мп (пункт 1.3, теорема 9); исследование плотности вложения полугруппы непрерывных характеров в полугруппу разрывных характеров (пункт 1.4, теоремы 19 и 20); топологический изоморфизм между пространством характеров алгебры абсолютно непрерывных мер, сконцентрированных в подполугруппе, и полугруппой непрерывных характеров этой подполугруппы (пункт 3.2, теорема 69); вычисление причинных спектров относительно конуса операторов свертки с мерами без непрерывных сингулярных составляющих (пункт 5.4, теоремы 89, 90 и 91); а также вычисление причинных спектров операторов свертки со специальными сингулярными мерами (пункт 5.5, теорема 98).

Обзор литературы. Наверное, впервые причинные операторы появились в работах Вольтерра по интегральным уравнениям, см., например, [20] и [84]. В связи с этим причинные операторы часто называют абстрактными операторами Вольтерра. Теория операторов Вольтерра оказала глубокое влияние на многие разделы математики.

Само понятие причинного оператора (или абстрактного оператора Вольтерра) было явно сформулировано существенно позже А.Н. Тихоновым в работе [57], где, в частности, было показано, что в известном утверждении о нулевом спектральном радиусе интегрального оператора Вольтерра основным является предположение о причинности, а не об интегральности.

В настоящее время причинные операторы (в значительной мере независимо) изучаются в функциональном анализе, в теории функционально-дифференциальных уравнений и теории управления.

В работах по функциональному анализу обычно рассматривают причинность, порожденную линейно упорядоченным множеством Ш. Возникающая на этом пути теория качественно аналогична одномерному случаю, т.е. С = К. и § = Одной из первых работ в этом направлении была книга И.Ц. Гохберга и М.Г. Крейна [24], в которой изучается возможность представления абстрактных компактных операторов с нулевым спектром в виде причинных относительно некоторого линейного направления. Близкая теория в терминах треугольных матриц построена Кадисоном и Зингером [70] и Рингроузом [77].

Имеется также обширная литература, посвященная оценкам спек-

тральных радиусов причинных операторов [3], [4], [9], [26], [27], [28], [29], [38], [39], [47], [59]. Близкие вопросы обсуждаются также в литературе по теории управления, см. ссылки ниже.

Наиболее активно причинные операторы изучаются в теории управления. Особо отметим работу Виллемса [86], где впервые было явно сформулировано понятие причинной обратимости в связи с изучением систем с обратной связью. В этой работе было показано, что входо-выходная устойчивость системы с обратной связью эквивалентна причинной обратимости некоторого специального оператора. Дальнейшему развитию этой идеи посвящены работы [25], [61], [63], [64], [66], [68], [79], [87]. Подчеркнем, что это направление также связано с одномерным случаем, т.е. С = Еи§ =

В теории функционально-дифференциальных уравнений (опять же для случая С = Ми5 = М+) причинные операторы и причинная обратимость изучались в работах [1], [5], [6], [32], [35], [36], [37], [38], [39], [40], [41], [42], [43], [44], [45], [48], [50], [54], [58], [59], [69],[72], [73], [82].

Многомерный случай, т.е. (С = Еп изучен существенно меньше. В работах [23], [51], [52] рассматривались функционально-разностные и дифференциально-разностные уравнения, содержащие операторы, причинные относительно полупространства. В работе [46] получены результаты об экспоненциальной устойчивости решений функционально-разностных уравнений с операторами, причинными относительно конуса в Мп. Близкое направление образуют исследования дифференциально-разностных уравнений на С = М с неограниченными коэффициентами, см., например, [19], [17], [18].

В [30], [71] и [83] получены оценки спектрального радиуса причинного интегрального оператора, действующего в пространствах функций на [а, Ь] х [с, ¿].

В книге [16, гл. 1, §4, 4; гл. 3, §19] изучается причинность относительно конусов в Еп операторов, действующих в пространствах обобщенных функций. Особое внимание уделяется световому конусу.

В работе [67] изучается интегральное уравнение Ве1Ье-8а1ре1ег'а, возникающее в теоретической физике. По-существу речь идет о причинном обратном к сумме тождественного и интегрального оператора, причинного относительно свет