Существование общего луча семейства выпуклых конусов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Ни пр;ш:\,х рукописи

п

I О Ш*

СИЗИКОВА Людмила Герлсимопнл

УДК 513.82

СУЩЕСТВОВАНИЕ ОБЩЕГО ЛУЧА СЕМЕЙСТВА ВЫПУКЛЫХ КОНУСОВ

Саепйальшств - 01.01.01 "Геойетрття п топоттогпй*

АВТОРЕФЕРАТ

днсссрташга па соиск.ипгс учвпой гтепегй) кандидата физико-матеыатппескях наук

ПопоснПнрск - Н'Ч^

Иодгсн^'Л'1'*'* с помапп.?) -'.' К' I! л

i'uGu tu выполнена, я Омском государственном университете.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук А. К. Гуд.

Официальные оппоненты:

доктор физЕко-ыа-тематЕческих наук В. Ю. Ровеясющ

кандидат физико-математических наук В. К. Ионик.

Волу тая организация —

Алтайский государствен шля университет.

Зашита состоится ik часов аа

заседании Диссертационного • совета К 002.23.02 в Институте математики СО РАН по адресу: оЗОООО, Новосибирск - Dil, Университетский проспект, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО РАН. ' .

Автореферат разослан " J&-* J? ^Fj/1 JL 1995 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета кандидат физико-математических ш(ук /р

S-r- f: ltf В. Иваиоп

Ч

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. К началу XX век^ п сфсрс математики и те приложений накопилось итого проблем, сводящихся к задаче разбиения множества точек на два класса., каждый из которых служил бы аналогом множества постоянных по зпаку значений функции. Это скоро было представлено как задача комбинаторной геоыетрпи сб отделении гиперплоскостью двух семейств точек в пространстве Л™ и одно нз первхдх се решений было дано Кнрхбергером. Развитие в последующем пекомбпнаторнътх методов исследований па примере теории Хана-Банаха позволило продвинуться в регпепии этой задачи лишь для относительно узкого круга случаев. И вскоре вповь возникли потребности в комбинаторных методах ее решения.

Одновременно приобретали актуальность и такие задачи, в которых решался вопрос, наоборот, о палнчии общей точки семейства выпуклых множеств в Я". Истоки этого берут свое начало с исследований интегральных представлений функциональных операторов. И одним из самых первых здесь результатов явилась теорема Хсляп. Комбинаторпые методы при решений такого рода задач пе теряли, в отлпчлп от задач отделимости, своей актуальности со временем, так ;сак в сфере таких задач скоро оказались задачи о бесконечных системах линейных уравнений п неравенств,

Постепенно теоремы Кирхбергера и особенно Хеллп получалл.с поМспцыо методов комбинаторной геометрии разнообразные обобщении и некоторые улучшения в оценках. Заметную роль в этом сыграл расцвет программировался и Пообще кибернетики во второй йолоптше XX века. Определенные потребности к этому пехедплн также от внутренней-геометрия па примере сферически выпуклых ¿тожеств на сфере, а позднее и от хропогеомотрия.

При веем этом постепенно выявляется фундаментальная значимость соответствующих исследований по выпуклый конусам. Большим стимулом к этому служили исследования упорядоченных в«?к-

з

торных пространств и последующее их рмьатие в выпукло,м анализе и хрсмкпхюистрия. Но решающее значение для комбинаторной геометрии имели исследования но внутренней геометрии на примера сферически выпуклых множеств, а затем также noTpe6¡iocT;i црограммироваиая и отчшилышго управления.

Однако, существенным недостатком проводимых до автора настоящей работы исшыошишй было отсутствие учета размерности и .шисшшапа элементов соыейсгй, так чти получаемые оценки и методы исследований часто оь&гывапись малоэффективными. Не исключена важность такого учета и ирн исследонаяиях по хроио-геомегрии, о чем могуч' свидетельствовать перемены в результатах, выданные acoro лини, заменой обычных конусов на двойные.

K¡)OMe теги, и последние годы стали появляться работы но теории управления, о которых исследуется применение днекретяого управлении к непрерывным процессам. Так, охапывастея, что .» случае линейных снстеы с дискретным управлением тайне фуяда-' исигальпыс понятия, как и<м1«м ■■упрамгсмость п полней: wfato-¿atuíocmk, допускают описаине па языке каибия.тторной rcsucrpds. Ото дает .позий попход к исследованиям в теории упрапдепш;.

IJc.íb работы. Б связи со сказанным, в качество глк»ис>*> етратс-гпи избраны исследования сеиейстп выпуклых конусог. с у.четеш их раамеркосте?» и линейпастсй. Л г ьачесл.с 1:л.ш;лад:.с_. »•;í¡,-.íc ■ . избраны исслсдэагаша по обеспечению условий иогшоа у иретллег:!» • сти к наблюдаемости лкнейшх ci!сгеи с дй«,ре¡• i; ,.

Ира гтом в качестве нервг.'пшх шггуи<.м —

лога таорецы Хоти о существовании общего лучл с^чс.....„ i- -

пухлых soayioa. Л y;u -далее виводатся дао к owjce.irt.c ~ |г.ы, ссковьтаде -па перехода ;„ ползла.«. Б:* .о i оз. ю , :: результат«.! иша Хеллы, во уш о г.о!>рыт: ь.-иса* „ »л, 1;дк, солегточно, о совпадении sk?ú ;< -'«,¡'1 ¡ -

.:?2ZZy.'2ÍÍZ выпуклых'¿ойусоз со teja Ir, líp-). 1с иСлО, ai. , .

таты составляют базу для решения задачи Кпрхбергеп%

Пзконеп, наряду с результатами по семействам выпуклых г^ау-соа, приводятся серпи сопутствующих, по своему актуальных, результатов по семействам сферически выпуклых множеств па сфера Л результатов по семействам просто выпукльк множеств в Пп.

В связи с реалпзадаей главной п прикладной стратегий выдале-по пять ведущих задач. Первая пз нпх заключается в разработк-з признаков сущестЕовапшг я единственности положительного разбившиг Радона конечпого множества векторов, основанных па учете размерности п лппепяоетп этого множества. Вторая задача состоят п разработка признаков сущсстг.стпщгя общего луча семейства вьшуклтдх конусов, осповаппых па учете размерностей п лпнейпо-стен зтп:: конусов. Третья задача направлена па выявление дополнительных условий, позволяющих улучшить оспопш.тз результаты о существования общего луча секейстпа выпуклых кокусов. Четвертая задача состоит и разработке признаков отдглпмости с-> мейстп замкнутых- выпуклых конусов п харажтерпстаг аглд&тмиг> семейств. Наконец, пятая задача состоит п колучешгд опенок количеств управляющих воздействий п наблюдательных актов, достаточных для реализации условий полной управляемости п наблюдаемости лилейных систем с дкехрэтпьт управлением.

Научна! новизна. Все результаты, пз тгекивдо указателен пх авторов, являются шгаьшя. .

Методика исследований. В псслздоваяпвх используются четверка известных ранге теорем, связанных с опясаплямя поАажитель-ных представлений п строго положительно аезависидъ&шожсста векторов - теорема Штейняца, коническая теорема Каратеодорв, теорема Бонпса и Кля п теорема Ре.-», а так?хе свойства поляр замкнутых выпуклых конусов а пространстве Л". Для псслс-топапий используются аппараты линейной алгебры, выпуклого -анализа, а 3>гкже многомерной п комбинаторной геометрий.

Теоретическая значимость и практическая ценность работы. Каждая из вышеперечисленных пяти задач па своему актуальна. Первая из них продолжает исследования Радона и составляет основу для решения следующих в работе задач. Вторая является аналогом задач типа Хеллв. Она же продолжает исследования Грюн-баума и Качальского и актуальва для теории приближений. Третья задача является аналогом исследований Мольнара, Хансена п Кла я может служить перспективой для дальнейших исследований семейств выпуклых конусов. Четвертая продолжает исследования Кирхбергера и Болтянского и актуальна для теории распознавания образов и для теории оптимального управления. Наконец, пятая задача закладывает основы нового подхода к исследованиям в теории управления, базирующегося па комбинаторной геометрии.

Кроме того, каждая из первых четырех иерелислепных задач автоматически влечет за собой серию сопутствующих ей задач. Это, во-первых, двойственные результаты, основалные на переходе к полярам ц связанные с задачей о покрытиях, которая но своему актуальна и результаты по иен составляют основу для решения задача Кирхбергера. Во-вторых, это задачи по сферически выпуклым множествам па сфере, прячем решаются задачи и о пересечениях, и о покрытиях, и Кирхбергера, я описания отделимых семейств. В-третьих, это задачи по просто выпуклым множествам в Л" -обобщения непосредственно результатов Хелли, Грюкбаума и Ка-чальского, Кирхбергера. Причем, результаты по последним двум классам задач - это еще и вклад во внутреннюю геометрию на примерах двух типов поверхностей^ один из которых топологически эквивалентен сфере, а другой -- гиперплоскости.

Лиробауш работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на семинаре "Геометрические задачи анализа" в Институте математики ч механики УНЦ ЛИ СССР и па заседании .Уральского математического общества (Г. Спзрдмстск, 1975 г.), на

о

семинаре отдела функционального анализа Института математики СО АН СССР, на семинаре *Хроногеометрия" з Новосибирском государственном ушшерситете и на объединенном семинаре отделов анализа и геометрии Института математики СО РАН (г. Новосибирск, 1981, 1982 н 1995 гг.),' па семинаре "Дифференциальные уравнения" в Омской политехническом институте я Омском государственном техническом университете (г. Омск, 1990 и 1394 гг.) я на математических кслфсрешшях г. Омска (1978 я 1980 гг.).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 10 статьях, пыполнеплых лично и в соавторстве.

Объем и структура работы. Работа состоит из пведзппя, пяти глав, приложения и заключения. Ее объем составляет 165 страниц машшкяшсного текста. Библиография содержит 114 наименовании.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Фундаментальная значимость исследований но выпуклым конусам при решении задач типа Хелли и Кпрхбергера. Изложенные в работе приемы, заключающиеся в использовании перехода к полярам и в установлении взанмпо едпоэпачных связей с выпуклыми конусами у сферически выпуклых множеств- на сфере п у просто птлпуклых множеств в евклидоаом пространстве, позволяют, как правило, автоматически па уровне следствии из какого-то одпого результата по выпуклым конусам получать также соответствующий ему двойственный результат по замкнутым выпуклым конусам п серию результатов по сферически м.тпухльш множествам па сфере п просто выпуклым множествам в евклидовом пространстве.

2. Признаки существования н едппствелгости положительного разбиения Радона конечного множества пекТорон. Положительное разбиение Галопа представляет сферический аналог известного разбиения Радона шшжестиа точек и разработанные признаки служат основой для изучения пересечений семейств выпуклых конусов с

учетом их размерностей и лнпейностей.

3. Признаки существования общего луча семейства выпуклых конусов, признаки достижимости размерности н линейности пересечения семейства выпуклых конусов на пересечениях конусов его собственных подсемейств. Разработанные признака обобщают п усиливают известные до автора соответствующие признаки. Это же имеет место и для сопутствующих результатов.

4. Характеристики семейства выпуклых конусов, минимального" относительно свойства несуществования общего луча его элементов, и усиленные типа Мольпара признаки существования общего луча семейства выпуклых конусов. Выявленные характеристики свидетельствуют о дополнительных возможностях и перспективах исследований семейств выпуклых конусов по проблеме существования общего луча. Разработанные усиленные признаки обобщают и усиливают известные до автора соответствующие признаки типа Мольпара. Это же имеет место и для сопутствующих результатов.

5. Признак отделимости семейств замкнутых выпуклых конусов. Разработанный признак представляет развернутое решение задачи Кирхбергера и обобщает известные в этом до автора результаты сразу в нескольких направлениях. Это я.чя имеет место я для сопутствующих результатов.

6. Структурное описание отделимого семейства замкнутых выпуклых конусов. Разработаны признаки отделимого семейства, а также признака существенно отделимого и существенно неотделимого семейств замкнутых выпуклых конусов. Получено описание структуры произвольного отделимого семейства таких конусов в терминах его максимального существенно отделимого подсемейства я соответствующего существенно неотделимого семейства. Это же имеет место и для сопутствующих результатов.

7. Использование языка и методов комбинаторной геометрии в теорда управления. Установлено, что реализаайн.условий полной

й

£?-управлясмости при замкнутом выпуклом конусе О, в частности, просто полкой управляемости, и полной наблюдаемости линейной системы с дискретным уиравлепием эквивалентны каждая условию совпадения со всем евклидовым пространством положительной оболочки соответствующего семейства замкнутых выпуклых конусов. Это даст новый подход к исследозагшям систем удраэлгатгъг.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение. Во введении обоснована актуальность работы, сформулированы ее цель п основные положения, выносимые па защиту. Дала информация о содержании и основпых результатах работы.

Первая глааа. Эта глава, как и все остальные, включает четыре параграфа, последний из которых посвящается вывода?!. В главе выррбатывается путь к достижению намеченных целен. §1.1 отведен под основные понятия, определения и обозначения, используемые в работа,' В §1.2 дается аналитический обзор литературы, выявляющий о'сасзяыг яапрашхпгя и гедастггкп п исслепоъэнтх по комбинаторной. геометрии. Здесь же определяется осяовнпл стратегия автора, папрашхенная па шквидадшо вмязлеппмх поергтлт-коа.- В §1.3 вырабатывается конкретная последовательность задач, » решении которых и заключается путь к памечелиым целям.

Вторая глаза. Она носаягцепа пзучепигэ полохштелмплх разОн-ещ|й Радона конечного множества векторов в IIя - своеобразному сферическому аналогу разбиений Радона шктестваточта. В §2.!. в теореме 2.1 дается точпый призн.гк суще« вовагам попаяителького разбиения Радона, основанный па знаниях размсрпостц и лапейпа-стп самого множества. Главный те момент такоа.

Теорема 2.1'. Множество V «л конечного числа т нешкезых векторов о Я*, такое, чга.ч т :1у -ь 1-/ + 1, где йу, ¡V сеть соответственно размерность и линейность этогс .чмжестье, допускает положительное рп~лУш:нис. Района.

В §2.2 в теореме 2.2 с использованием г.опятпя положительно-' го базиса дается более тонкий критерий существования и единственности положительного разбиения Радона. А в §2.3 теоремы 2.3 и 2.4 являются двойственными соответственно теоремам 2.1 и 2.2. Они дают признаки существования и единственности разбиения семейства замкнутых полупространств па пару собственных подсемейств, пересечения элементов которых оба располагаются в одном полупространстве. Аналогично и для семейства полусфер.

Третья глава. В этой главе проводятся исследования по размерности и линейности пересечения семейства выпуклых конусов. §3.1 отведен разработке признаков существования общего луча такого семейства и выявлению при этом важности и возможности автономного учета лиисйиоаеи по отношению к учету размерностей его конусов с помощью процедуры факторизации по линейному подпространству. Результатом являются теоремы 3.1-3.4, последние дие из которых, сняз&ны с семействами строго выпуклых конусоз и линейных подпространств а играют вспомогательную роль, хотя спецйфика дела.ет их гоже актуальными при исследованиях.

§3.2 продолжает исследования §3.1 с использованием процедуры факторизации а одновременно обобщает их до задачи достижимости размерности и линейности пересечения всех конусов семейства па пересечении собственного подсемейства. Полученная в результате теорема 3.6 вправе считаться основной по признакам существования общего луча семейства тлдпуклых конусов. Главный ее момент можно отразить следующим вариантом.

Теорема 3.0'. Для существования общего луча семейств» К из н» выпуклых конусов в Кп достаточно, чтобы общий луч имели каждые его тт^^р, + ^ + 2 конусов, I, 4- 2

иэ которых могут быть аарачее фиксированы. Здесь (¡¡, I, есть сочтвте.тьенно размерность и аинеьность Ко нут с полиром ¡.

В целой ни одна из теорем 3.1, 3.2 и 3.6 ие сводима к остальным.

Далее а теоремах 3.5 и 3.7 решается именпо проблема достижимости размерности и линейности пересечения всех конусов семейства на пересечении собственного подсемейства этих конуг.пн. При этом выводы теоремы 3.5 базируются па знаниях размерностей п липейпостей конусов исходного семейства, а'выводы теоремы 3.7 - па таких же знаниях о конусах соответствующего ¿-семейства, элементы которого являются пересечениями копусов максимальных собственных подсемейств исходного семейства. Фактически теорема 3.5 составляет осноау для выводов теоремы 3.6, а теорема 3.7 важна прежде всего как апалог результатов Грюпбаума и Ка.чапь-ского, хотя по эффективности, как правило, уступает теореме 3.5.

§3.3 посвящен двойственным результатам для сепепсгв замкнутых выпуклых конусов и серии следствий, связанных со сферически выпуклыми множествами па сфере и просто вып\: лымн множествами в пространстве, а также следствиям на примерах теорем Робинсона, Грюпбаума и Качальского. При этом теоремы 3.8 и 3.9 отражают именно двойственные результаты и в них на смену призпакам существования общего луча и проблеме достижимости размерности и линейности пересечения приходят соответственно признаки песовпадеияя положительной оболочки всех конусов семейства со всем Лп и проблема, достижимости размерности и линейности этой оболочки на поло;хительцой оболочке какого-нибудь собственного подсемейства этих копусов.

Четвертая глава. Она посвящена выявлению характерных особенностей критических семенстя выпуклых конусоз, не наследук>-ишх существование общего луча от своих собственных подсемейств, и разриботке да основе этого усиленных по сравнению с результатами третьей главы признаков существования общего луча семейства выпуклых конусов - неких аналогов теоремы Мольнара. При чтем в §•!.! вияплиюгг-я осровм*-- »арнктеристихи таких семейств.

Так, теорема 4.1 отражает для таких семейств на языке строго положительно независимых множеств специфику соответствующего i-семейства и фактически, в сочетании с теоремами предыдущих глав, составляет основу для дальнейших разработок.

Теорема 4.1'. Семейство из конечного числа выпуклых конусов в Rn не наследует свойство существования общего луча от собственных подсемейств в точности тогда, когда любое множество ненулевых векторов, -по одному из конусов соответствуют щего i-семсйства, soasem.es строго положительно независимым*

Далее теорема 4.2 выявляет минимум основных характеристик, предвещаемых теоремой Мольнара, критических семейств. А уж теорема 4.3 дает раепшрегшую серию характерных особенностей таких семейств. После чего п §4.2 в теореме 4.4 дается серия усиленных по сравнению с результатами третьей главы признаков существования общего луча семейства выпуклых копусад. -

Наконец, в §4.3 теорема 4.5 отражает совокупность двойственных результатов для семейств замкнутых выпуклых копусов н Я". При этом па смену просто критическим семействам приходят критические по покрытию семейства. Поело чего приводятся серия исходящих от теорем 4.3-4.5 следствий для семейств сферически выпуклых множеств на сфере и просто выпуклых множеств в R", а также следствия на примерах теорем Мольпара, Хансена и К ль.

llamas глава. Пятая глава работы посвящена решению задачи Кнрхбергера для двух семейств замкнутых выпуклых копусов п пзученпю отделимых семейств таких конусов. При этом в §5.1 в теореме 5.1 дается развернутое решение задачи Кнрхбергера. Б §5.2 георсмы 5.2-5.4 отражают критерии и ряд характерных свойств отделимых, существенно отделимых и существенно неотделимых семейств замкнутых выпуклых копусов п фактически дают структурное описание.отделимых семейств. Теорема же 5.5 выявляет

дополнительные тонкости в этой структуре. В качестве Главного представляется момент из теоремы 5.2.

Теорема 5.2'. В отделимом семействе К замкнутых выпуклых конусов а Я" совокупность конусов, каждый из которых отделим от пересечения всех остальных, составляет наибольшее существенно отделимое подсемейство К. Если К ^ К, то семейство, состоящее из пересечения всех конусов К и всех конусов из К\К, является существенно неотделимым.

После этого в §5.3 даются развернутые решения задачи Кпрхбер-гера для семейств соответственно замкнутых сферически выпуклых множеств на сфере и просто выпуклых компактных множеств в Л™, а также результаты, связанные с отделимыми! существенно отделимымип существенно неотделимыми семействами таких множеств. Приводится также в качестве следствия известная теорема Радемахера и Шепберга п ряд связанных с ней замечаний.

Приложение. Приложение состоит из пяти параграфов, первый из которых шевшцеп основным понятам, обозначениям, обзору литературы по теории управления и выработке конкретного пути исследований, а последний - выводам на базе проведенных исследований. Далее в §П.2 теоремы П.1 и П.'2 дают переводы условий полных соответственно О-управлмемости и наблюдаемости линейной системы па язык комбинаторной геометрия. По существу, эти теоремы показывают, что реализация условий полных ^-управляемости и наблюдаемости представляет эквивалент условиям совпадения положительных оболочек соответствующих семейств замкнутых выпуклых конусов со всем пространством Ил. Затем в §11.3 теоремы П.З и П.4 дают оиенкп количества управляющих воздействий, достаточного для реализации условия полной /3-улравляемогтп нрп дискретном н импульсном вариантах воздействий. Теорема П.5 отрзжпет ¡жвивалентнос.ть непрерывного,

дискретного в импульсного вариантов управляющих- воздействий в проблеме реализации условия полной ^-управляемости. Наконец, в §П.4 теорема П.6 представляет аналоги теорем П.З-П.5, но для проблемы реализации условия полной наблюдаемости.

Основные результаты работы

1. Проведен алалатический обзор литературы по задачам типа Хеллп п Кирхбергера п их прнлоя:ешиш. Отмечен рост потребности в решении таких задач с момента расцвета программирования и кибернетики вообще во второй половине XX века. Выявлепа актуальность использования комбинаторных методов при решении ?тих задач, а также ряда задач внутренней геометрпн и хроногеометрии.

2. Выявлена фундаментальная значимость исследований но выпуклым колусам в сфере комбинаторной геометрии, а вслед за этим и фундаментальная значимость исследований но задаче существования общего луча семейства выпуклых конусов. Подготовляла база, позволяющая нз результатов для семейств выпуклых конусов автоматически получать соответствующие двойственные результаты, составляющие базу для решения задачи Кнрхбергера, и результаты для семейств сферически выпуклых множеств на сфере к просто выпуклых множеств в евклидовом пространстве.

3. Выявлепа потеря эффективности известных результатов по еопусам из-за отсутствия учета в них размерностей и лпиешюстей этих конусов. Ориентир па устранение этой причины определил главную стратегию автора работы - сосредоточить основное внимание па решении задачи существования общего луча семейства выпуклых конусов с учетом их размерностей и лппейностей.

4. Выявлены ссиовпые актуальные задачи, связанные с исследованием семейств вынухлых конусов. Это, во-первых, задача существования положительного разбиения Галопа множества векторов. Во-вторых, задача сушестииьания обшего а ума семейства мыиук-

1-1

лых конусов, з том числе, задача, по оценке размерности и тн&йыо -стн пересечения такого семейства. В-третьих, задача характерлза-цни критических семейств выпуклых конусов, в том числе, -¡адача выявления дополнительных условий, обеспечивающих сущесгпопа-пне общего луча в критических случаях. И »-четвертых, э;уитча отделтлости семейств замкнутых выпуклых конусов, в том числе, задача описания отделимых семейств.

5. Выявлена связь между условием полной управляемости дтя линейных систем в теории управления и условием покрытия все! о пространства семейством линейных подпространств в комбинаторной геометрии. Это определило прикладную стратегию автора. -использование результатов комбинаторной геометрии ц задаче обеспечения условий полной управляемости и полной наблюдаемости линейных систем с дискретным управлением.

0. Получец сферический аналог теоремы Радоьа, учитывающий величины размерности и линейности исследуемого множества векторов, по в то ;ке время никак не зависящий от размерности самого евклидова пространства, в котором это мь-о^естм огшг.ываст-.ся. Получено обобщение сферической теоремы Радоча, более тонко, с привлечением понятия положительного базиса, учитывающее вклад линейности в задаче существования и единстсепасстя положительного разбиения Радона. Выведены также днаЗсгссииые результаты, связанные с разбиенпш сс'ыейстпа, залншутых полупространств па два подсемейства, нгрсссчсгом которых оба располагаются в одном полупространства. Это яе выведано для семойства замкнутых полусфер па сфере.

7. Разработана серия основные тегпшх крптеретз «гея. Хжгсз о существования общего луча семейства выпуклых кояугоэ. Прп пом вь-явяспы дваппдаодак форМЕроваяпет такпх кратерпта, екпя из которых базируется па гпяииах раамертстя п лкпсйпястя го'хо-

«мгепъиэй оболочки пгзх кенусо« с:нийгтпг., а друго:": - па зоапияк

размерностей п линейностей самих конусов семейства. Выявлена возможность автономного учета линейности но отпошепию к учету размерности с помощью процедуры факторизации по линейному подпространству. В связи с этим, во втором из вышеуказанных подходов определены два варианта учета, первый то которых ориентирован па определение минимальной суммы размерности и линейности конусов семейства, тогда как второй - па определение в отдельности шшнмальной размерности и минимальной линейности зтих конусов. Как правило, второй подход, а в нем - второй вариант учета, более эффективен и более предпочтителен при исследованиях. Исключение составляют лишь особые случал, когда оба минимума допускают реализацию на одном конусе и тогда предпочтительней второй подход с первым вариантом учета, са исключением опять лишь еще более особых случае», когда все конусы семейства имеют одинаковые размерности и линейности, совпадающие с таковыми у их общей положительной оболочки,

8. Получена серия критериев типа Хелли о размерности п линейности пересечения семейства выпуклых казусов. При этом токе выявлены два подхода, один цз которых базируется на знаниях о размерностях и линейностях конусов самого семейства, а другой - на знаниях о размерностях и линешгостях конусов соответствующего ему »-семейства.

9. Выведена серия сопутствующих критериев типа Хеллп о существовании общей точки и о размерности и линейности пересечения семейства сферически выпуклых множеств па сфере. Получены тахже обобщения теоремы Хелли о существовании общей точки п теорем Грюибаума и Качальского о размерности пересечения семейства выпуклых множеств в евклидовом пространстве.

10. Выведены серии двойственных результатов для семейств,замкнутые выпуклых коаусоп п семейств замкнутых сферически выпуклых множеств. Эти результаты решают задачу о размерности

1С

Н линейности положительной оболочки данного семейства замкну-XIлх выпуклых конусов н, в частности, задачу несовпадения со всем пространством такой оболочки, а также, соответственно, задачу о размерности и линейности сферически выпуклой оболочки данною семейства замкнутых сферически выпуклых множеств и, и частности, задачу несовпадения со осей сферой такой оболочки.

11. Получены три теоремы, отражающие основные моменты но .критическим семействам выпуклых конусов. Выявлено, что изучение таких семейств в главном сводится к изучению строго положительно независимых множеств векторов. Па этой основе выявлен ряд главных характеристик критических семейств. Л с при-плеченкем выявленных: характеристик получена серия результатов, тснользукшшх цоиол на тельные условия, при историк сущест«опа-пис.общего луча семейства выпухлых конусов наследуется от подсемейств с меньшей мощпсстыо по сравнению с тон, что была в ог.пог.ттх критериях. Часть из этих результатов обобщает вззост-ьмо теоремы Мольпара, а тамге Хансена :т Клгг. Вмпедепм так-дг-ойстпеппыо результаты но критическим по пскрмтяю семсй-сл'заи "глншутых выпуклых ;гсиусоз, а затем п соотвстстзуетщ.че результаты по семействам сферически выпуклых множеств на сфе-• :п семействам просто выпуклы:: ывоясстп п пространстве. Г'.. Разработал признак отделимости гппеоплосхостью Шф:д се-( ••мутых пкпуклмх г-соиуссй, допускающий несколько ва-одтода !; енредзл'пшю гпдуп-сго нар.'тетра-, а также крп-1'г "тппаиг, треоу.'сщзй яриздочеттг дсполшггелмгМзг :га-1 гз Апалоигш 1-з результат?:! устеяопязнм у для се- | «{нут.'-.пг сфоргтекя ашуяя&х гяюзссстп на сфера и для 1 о'чкдаггт тлухжах игюсссгп п прсстргпстне. В чяст-, 'тс"оишлют ттаестгнти резузл>"(| г ш'.'ггп я Шс-^ЛерГл

ч Готйгп.т ^сж;'.«!?-;:, с'-шоск-тап стг-л;'--

мых и существенно неотделимых семейстп замкнутых рыпуклых конусов. Эти критерии позволяют много полнее учесть особенности таких классов семейств, чем известная теорема Болтянского. Получено своеобразное структурное представление произвольного отделимого семейства замкнутых выпуклых конусов в терминах соответствующих ему существенно отделимого и существенно неотделимого семейств, а также ряд результатов, связанных с этим представлением. Аналогичные результаты установлены для. семейств замкнутых сферически выпуклых множеств на сфере и для семейств компактных ¡выпуклых множеств в пространстве.

14. Получено описание условий полпой управляемости н полной наблюдаемости липейной системы с дискретным управлением на языке комбинаторной геометрии. Установлено, что реализация полной управляемости линейной системы с дискретным управлением, если эта управляемость имеет место в принципе, может быть осуществлена за счет конечного заранее определенного количества управляющих воздействий. Выявлены условия, при которых определенный интервал или момент времени можно отвести под управляющее воздействие заранее, не нарушив сценки количества управляющих воздействии. Получено обобщение результатов па случай полпой D-управляемости, в котором область значений вектора управляющего сигнала ограничена определенны!.), не вырождающимся в нуль, замкнутым выпуклым конусом в пространстве всех значений. Доказана принципиальная равиовозможпостъ вариантов непрерывного, дискретного и импульсного управляющих воздействий дли реализации условия полпой управляемости. Аналогичные результаты установлены и по задаче реализации условия полпой наблюдаемости.

Основное содержание диссертации отражено в 10 работах

1. Hlayanitpotч> JI. Г., Мамкин (О. А. ,0орес<:мсипч.сфср>м-к:с!а1

выпуклых множеств // Матем. заметки. - 1975. - 'Г. ¡6. -N 5. - С. 781-791,

2. Шарабуроаа Л. Г. Об отделимости выпуклых koiijcou // Свердловск, Сб. Матем. записки УрГУ. - 11)75. - Т. 9. Тетрадь 4. - С. 99-109.

3. ülapaöypoaa Л. Г., Шашкип 10. Л. Пересечения выпуклых конусов // Матем. заметки. - 1078, - Т. - N 3. -С. 391-402.

4. Шарабуроеа JL Г., Шишкин Ю. А. Теорема Хелли для выпуклых конусов // Изв. высших учебных заведении, Математика. - 107S. -N 11 (IÖS). - С. 10-1-107.

5. ШараЗуроаа //. Г. Обобщение теорем Робинсона, и Моль-иара // Свердловск, УрГУ, Сб. Исследования но функциональному анализу. - 1978. - С. Г22-Г2!).

6. Шарибурова Л. Т. О размерности пересечения выпуклых множеств. - ОмНИ. Омск, 1980. - 15 <:., ilen. ь ßlliill I ii 14.02.S0, N 571-13 80.

Сизикоаа Л. Г. Об оценке количества управляющих воздействий. - ОмГТУ, Омск, 1994. -10 е., Деп. а ВИНИТИ . 14.11.94, N 2585 - D 94.

8. • Сизиковй Л. Г. О размерности пересечения выпуклых конусов. - ОмГТУ, Омск, 1995. -12 е., Деп. а ВИНИТИ 09.02.95, N 373 - Б 95.

Ö. Сизикоаа Л. Г. О пересечении конусов п критическом слу-„, час. - ОмГТУ, Омск, 1995. -17 е., Деп. з ВИНИТИ 09.02.35, N 374-В 95,

10. Сь'зипона Л. Г. О Структуре отделимого семейства jaimiv-тых выпуклых койусов. - ОмГТУ, Омск, 1S95. - 12 е.. Деп. в ВИНИТИ 24.03.95, N 801 - Ö 95.

Подписано к печати 21.08.96. -Ёормот S0:<84.1/IG..Бу.лтга о'еоггая. One ратиший!. споео.1 пачоп*. ^ч.~азт.л. Î. ' ?'сл.п'vi.л. ТитжМОО 'У". •. . - ; '

^ел'|Кгр?онно-изгательски|1 отнял O'tTTV. 64.40Ш;0^ск,пр.Ниот,II•

Тлпог.йт'пя Ог-ПУ