Аналитические функционалы и операторы свертки тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

ОТДЕЛЕНИЕ Р Г Б ОД

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И НЕХАНИКИ

На правах рукописи

КРИВОШЕЕВ АЛЕКСАНДР СЕРГЕЕВИЧ

АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИОНАЛЫ II ОПЕРАТОРЫ СВЕРТКИ

(ОТ.01.01 - "математический вяализ")

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

ЕКАТЕРИНБУРГ ~ 1994

Работа вшюлшшс институте Математика с ВЦ Уфимского Научного Центра Российской Академии Наук.

Официальные оппоненты - доктор физ.-мат. наук, профессор ■'•>'•-., Ыеергойз Л.С

доктор ф!з.-шт. наук, профессор i • Пиков а.п. V'

доктор Саз.-мат. наук, профессор Шмухаедоуов P.c.

Ведущая организация - Математический Институт им. В.А.'Стеклова РАН (г.Ыосква)

Защита состоится "ЗД" 19эУг.в

часов на заседании еда анализированного совета Д 002.07.0& по присуждению ученой степени доктора физико-математических наук в Институте матемагшш и механики Уральского 'отделения Российской Академии наук по адресу: г.Екатеринбург, уд. С.Ковалевской, д.16.

,0 диссертацией ыокно ознакомиться в библиотеке Института математики в механики УрО РАН . .

Автореферат разослан

Ученый секретарь / .

специализированного совета

кандидат физико-математических наук g у^ Бадков.

- з -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

ф АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Одним из важнейших разделов современного комплексного анализа является теория операторов свертки. Сюда входят вопросы разрешимости неоднородных уравнений свертки и их систем, сюръектнвности сверточных операторов, представления решения однородных уравнений посредством решений простейшего вида, продолжение решений однородных уравнений свертки, а также смежные вопросы теории плирисубгармонических, аналитических функций и аналитических функционалов многих' ком-; плексных переменных.

Уравнения свертки и, в частности, дифференциальные уравнения бесконечного порядка, дифференциально-разностные уравнения с постоянными коэффициентами были предметом изучения многих математиков. Это объясняется, с одной стороны» прикладными задачами и, с другой стороны, тем, что многие чисто теоретические вопросы сводятся к изучению уравнений свертки. Например, вопросы полноты систем экспоненциальных функций тесно, связаны с задачей изучения решений однородного уравнения свертки.

Указанная тематика широко исследовалась в работах Лин-керле, Р. Кармикаэля, Муггя, Р« Боаса, А. 0. Гельфонда, А. Леонтьева, Б. Наяьграгаа, Л„ Эренпрайса, В« П. Паламодова, Л. Хермандера, П. Лелона, А. Иартяко„ й. Ф. Коробейника» И. Ф. Красичкова-Терновского, К. 0„ Кжзелкана, В. В. Напалкова, В.А. Тейлора, К. А. Беренстейр}, О. В. Егафанова, В. В. Коржакова, Л. Грумана, Д. 0. Струпш.-Р» Со Южухаметова ж др.

Наиболее полно уравнения свертки изучены в одномерном случае* Это объясняется правде всего тем, что аналитические

функции одного комплексного переменного обладают "хорошими" свойствами в силу дискретности нулевого множества таких функций. Изучение уравнений в случае многих переменных наталкивается на существенные трудности, связанные с проблематикой теории функций многих комплексных переменных.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. 1) Изучить вопросы разрешимости неоднородных уравнений свертки и их систем в выпуклых областях многомерного комплексного пространства. Определить условия сюръвк-тивности сверточных операторов.

2) Найти условия продолжимости решений однородного уравнения свертки в выпуклых областях из (С™.

3) Исследовать задачу представления решений однородного сверточного уравнения посредством элементарных решений (экспоненциальных полиномов).

4) Рассмотреть проблему интерполяции в пространствах целых функций с оценками-роста я ее применение К представлению решений однородных уравнений свертки.

5) Исследовать вопросы единственности выпуклых носителей аналитических функционалов, порождающих операторы свертки.

МЕТОДУ .ИССЛЕДОВАНИЯ. Исследования, проводимые в диссертации основаны на использовании аппарата преобразования Лапласа и результатах из функционального анализа, связанных с линейными отображениями в различных функциональных пространствах. .

Указанные методы позволят сводить задачи из теории операторов свертки к проблемам в теории целых в шшрисубгармонй-чэских функций. Сода входят теоремы деления в пространствах

целых функций о тонкими оценками на рост, теорема о сложении индикаторов целых и плюрисубгармонических функций, интерполяция в пространствах целых функций с оценками и др. Решение этих проблем основывается на тщательном изучении асимптотического поведения целых и плюрисуОгармонических функций.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следупцем:

Получены условия разрешимости неоднородных уравнений свертки в выпуклых областях из в?*. Эти условия формулируются в терминах вполне регулярности роста характеристической функции ' оператора свертки вдоль некоторых направлений в С11, связанных с геометрией выпуклых областей. В этих же терминах установлен критерий сюръекгивности сверточного оператора в произвольных выпуклых областях пространства С".

Найдены условия для одновременного аналитического продолжения решений однородного уравнения свертки, аналитических в выпуклой области, в более широкую выпуклую область. Последняя связана с угловым распределением нулевого множества характеристической функции оператора свертки. Эти условия обобщают все известные ранее результаты по рассматриваемой проблеме и являются принципиально новыми и в случае одной переменной.

В диссертации рассматривается также проблема представления произвольного решения однородного уравнения свертки, аналитического в выпуклой области, посредством элементарных реве-ний ( экспоненциальных полиномов ). Показано, что при условия вполне регулярности роста характеристической функции вдоль предельных направлений ее нулевого множества решения однород-

ного сверточного уравнения представляются в виде ряда, состоящего из линейных комбинаций интегралов от элементарных решений. Этот результат является обобщением фундаментального принципа Эренпрайса-Паламодова для уравнений в частных производных Исследуется проблема интерполяции в пространствах целых функций многих переменных с тонкими оценками на рост. Найдены условия интерполяции, которые обобщают ранее известные результаты по этой проблеме и формулируются в терминах, аналогичных случаю одного переменного. Полученные результаты применяются к' представлению решений однородного уравнения свертки в виде ряда интегралов ( а не линейных комбинаций интегралов ) от элементарных решений.

Изучается также пространство самих аналитических функционалов, порождающих операторы свертки. Рассматривается, в частности, цройлема единственности выпуклых носителей аналитических функционалов. Ранее вча проблема решалась лишь в некоторых частных случаях. В диссертации разработан новый метод исследования задачи единственности выпуклых носителей. На его основе получены условия единственности для общего случая.

Результаты диссертации носят теоретический характер. Эти результаты « разработанная в диссертации техника могут быть использованы при изучении асимптотических свойств целых и плю-рисубгармонических функций, для представления аналитических функций рядами экспонент и рядами более общего вида, в задачах интерполяции в С1. Результата диссертации могут использоваться также в теоршдЕффрешдаальннхи функциональных уравнений в их приложениях.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались

на Всесоюзных конференциях а школах-семинарах ( Красноярск 1987 г., Саратов 1988 г., Ташкент 1989 г., Ростов-яа-Дону 1989 г., Нижний Новгород 1991 г. ), на семинарах в Институте математики УЩ РАН, в Башкирском, Харьковском госуниверситетах, в Математическом институте им. В.А. Стеклова. .

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах 135) - С 451.

СТРУКТУРА И ОЕЬШ РАБОТЫ. Диссертация состоит-из введения и шести глав. Список литературы содержит 90 наименований. Объем диссертации - 237 с.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ В диссертации изучаются операторы свертки, порождаемые аналитическими функционалами в выпуклых областях пространства £п.' Поэтому первая глава посвящена исследованию выпуклых множеств. Это достигается при помощи тщательного изучения взаимосвязей шэд конусами линейности выпуклых множеств, т.е. конуса;,я, где линейна опорные функции этих мнокоств,- Результаты первой главы служат основой для дальнейших исследований.

Вводаи нообходише нем понятия и определения этой главы. Пусть 7. - вылуклоэ миояоетво в С11. Пологош й^Е) =» вира € х Ке<г,£>

- опорная функция 1, где <2,£> =» а1 С1 + ••• + гп?п. 'Пусть 1Х = С 5 < С?1: Н^Н •> + °°>. Для квздого в е ОХ введем также выпуклый конус линейности X

Р(а) « { тг) е -.1^(7)) - < в, ц > } Пусть М(Р(2)) обозначает вещественное подпространство, пороз-денное Р(б). Будем писать Р(а) € а*, веля ЩР(г)) П 1ШР(а)) -

= {0>. Введем множество

Р* = cl( U £ F(z): ъ € dl, P(z) е 3*))

Во второй главе диссертации рассматриваются субгармонические, плюрисубгармонические и целые функции,« их индикаторы.

Для субгармонической функции v(£) в К™ порядка ( не выше ) р и конечного типа ("при порядке р ) регуляризованный и нижний индикаторы определяется соответственно функциями [1,2) S*(£> = Ш Iii v(ty)/tp , 5 е Ш"1 ,

у - Е t -* +оо

£ (?) =lim lim (omöB) 1 f v(ty) /tP(to(y), £ e e - о ^— " J

Bll.e)

где da - мера Лебега в P, - объем единичного шара в к™.

В книге П. Лелона и Л. Грумана [21 вводится новое понятие фунйций вполне регулярного роста. Субгармоничэская функция v(£) в К"1 порядка р и конечного типа называется функцией вполне регулярного роста вдоль луча tr?, t > 0, вела имеет место равенство: £v(t}) = Ü* ("л). Известно ( см. Азарин В. С. [31 ), что классическое понятие вполне регулярности роста в одной комплексной переменной ( см. £4] ) равносильно так называемой "теореме о сложении индикаторов". Аналогичный результат доказан и в книге £21 ( см. также £51 ).

Для того чтобы субгармоническая функция v(£) порядка р в конечного типа имела вполне регулярный рост вдоль луча tp необходимо и достаточно, чтобы для любой субгармонической функции и<£) в R™ порядка р и конечного типа выполнялось равенство:

В первом параграфе главы дается обобщение указанной "теорема о сложении индикаторов" на случай функций, не имеющих

вполне регулярный рост.

ТЕОРЕМА 2.1.2. Пусть и(Н и у(£) - субгармонические функции в К™ порядка р и конечного типа. Для любого т) с К1" илеет лесто неравенство: ^^(т)) > ^и^' +

Так как всегда имеет место неравенство: (6) < + Е е Е™, то из теоремы 2.1.2 следует "теорема о сложе-

нии индикаторов". На теореме'2.1.2 основывается результат из третьей главы, дающий решение задачи о разрешимости неодно-роднх уравнений свертки в выпуклых областях из С".

Во втором параграфе рассматривается пространство Нр -целых функций порядка р и конечного типа и их индикаторы, которые согласно индикаторной теореме ( см. [61, [71 ) составляют пространство РБНр - шоорисубгармонических функций порйдка р и конечного типа. Напомним, что индикаторами й* и целой функции Г € Нр называются соответственно индикаторы плюри-субгармонической функции 1п \Цъ)\.

Известно, что в случае многих комплексных переменных в отличие от одной (см..например, [81,[91) регуляризованные индикаторы целых функций могут быть разрывными. Следующие результаты несколько проясняют вопрос с разрывными индикаторами. Для целой функции I через Я<Г) обозначим предельное нулевое

множество I, т. е. множество пределов сходящихся последователь

»

ностей вида Сгк/|ак1), где |2к1 - -н», 1(йк) = 0, к « 1 .....

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.2.3. Пусть ф е Нр. ЯнОикатори К* и непрерывны на хнохест&е С" \ с13 ).

ТЕОРША 2.2.4. Пусть ф е Нр, й - открыта конус, лет-в С \ с13(Я(ф)) и 1) ( 0(ф) Г> оа ( Б(ф) - граница на единичной сфере мохества Я(ф) ). Предположил, чгю

11т г*(2) -= Й*(Т7) во э П 9 9

11т а. (а) = а (11) = йГСг))

¡Ю > г -• ■>) ^ ^ *

Тогва плеап. лесто следующие соотношения:

11т = Й*(Т))

11т 8ф(а) - £ (т)> аз и-^г) у ^ '

СЛЕДСТВИЕ 2.2.5. Пусть ф с Нр. Предположил, что сушение функции Й* на лнохеапво И(ф) непрерывно. Тогда функция а* не-прерывна в С1. Если дополнительно выполнено равенство: й^г) = = йф(г), г с ??(ф>,яо функция жияе непрерывна в С1.

В одной перелвнноа хорошо известен результат о продолжении вполне регулярности роста целше функций. Если Ф е Нр шзет вполне регулярный рост на граничных лучах угла С с с \ Ъ СV? СФ)) раствора меньие %/р, то ф(и) имеет вполне регулярный рост в С.

Следующая теорема показывает, что в случае многих переменных ситуация иная. Здесь область продолжения вполно регулярности роста целых функций нэ зависит от их порядка.

ТЕОРИЙ 2.2.10. Пусть ф е Н в С, п > I, в - открш&й конус, лежащий в С11 \ с1#(?/(ф)) какой, то для некоторого г) е € С" выполнено неравенство: Ее <а, т}> > О, в £ с10 \Ч0} (т.е. С - "острый" конус ). Предположи, адзо ф(в) илеет вполне регулярный рост на 00 \ СО) и сужение й* на 00 непрерывно. Тогда ф(г) алеет вполне регулярный, рост б С.

В третьем параграфа второй главы рассматриваются некоторые оценки индикаторов целых функций ексгокенциального типа. Основным здесь является утверзйэние типа теорем «рагмона- Линда лефа, доказательство которого опирается на главу один. Это утверждение,вместе с теоремой 2.1.2 служа* главным инструмен-

том доказательства теоремы о разрешимости неоднородных уравнений свертки и имеет такае и самостоятельный интерео.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.3.1. Пусть D - выпуклая область в С" и р с € PSHj. Предположил, что р(т)) < НдОп), т) с Рд \ tID и {0}]. Тогда p(T|) < Hpdi), tj ес* \ СО).

Последний параграф главы содернит некоторые вспомогательные утверздения об оценках субгармонических функций в областях комплексной плоскости.

В третьей главе диссертации изучается разрешимость неоднородных уравнений свертки в выпуклых областях многомерного комплексного пространства И, в частности, сюръективность свер-точных операторов.

Первые исследования дифференциальных операторов бесконечного порядка относятся к концу прошлого века. В работах Пинкарле, Кармзкаэля н др. математиков разрабатывались различные аспекты, теории таких операторов. Обзор публикаций по атой теме до 1936 г. тлеется в работе. Р. Кармикаэля tioi. Аналогичный обзор до 1964 г. ыояю найти в работе А. Ф. Леонтьева Ш]. Отаетш лшь, что указанной тематикой в это время заткались таксе математики, как Ыугль, Р. Боас, А. Ф. Леонтьев, А, 0. Гельфонд и др.

В 1968 г. S. Ф. Коробейник [121 установил достаточные условия разреиююсти неоднородных уравнений свертки в выпуклых областях комплексной плоскости, связав их с полной регулярность» роста характерястяческой функция сверточного оператора. Било показано, что веда а - аналитический функционал из В*(С), Преобразование Лапласа йм(Х,) которого имеет вполне регулярные рост в С, то оператор свертки И(«•): H(D+K) - H(D) сюрмкти-

вен* Здесь Б - выпуклая область в С, а К - сопряженная диаграмма целой функции напомним, что оператор свертки Щи) определяется по формуле: H(«)tfJ(z) = ( «, Hz+X) ), 1 е H(D* +К),а его характеристической функцией является преобразование Лапласа функционала, и, которое задается равенством: £и(М = = ( «, ехр<А., 2> ), А. € С. В 1973 г. В. В. Напалковым [1316Ш1 получен важный результат о том, что для сирьективности оператора М(и) в любой выпуклой области D при фиксированном « необходима полная регулярность роста в С характориспгческой функции £и(Х). Тагам образда, был установлен критерий сюрьэктив-ности оператора М(") на классе всех выпуклых областей С с с. в дальнейшем 0. В. Епифанов CI4] нашел иеобходкшо и достаточные . условия впиморфаости Ы(«0 для фиксированной выпуклой области D с с, связав их с геометрией этой области.

Первые результаты то разрешимости сверточшх уравнений в С*, n > I, были получены в 1955 г. в работах Л. Эренпрайса (153 и Б.Нальграяяа [16;]. Они показали, что уравнение M(«)tf]= =g (« / О) разрешимо в Hit?1) пра лвбо2 правой части g с ЖС"). В 1967 г. А. Цартяно 117) ресскотрол это уравнение в случав, когда £« - целая фушшш акспонопдаалыгаго минимального типа. В этом случае оператор И(ы> действует яз пространства H(D) в пространство E(D). Было показано, что уравнение свертки разрешимо в ВФ) при любой правой часта g £ H(D), где D - произвольная выпуклая обдаст* в Ч?\ B IS8Z г, В. В. Напалковым £181 было найдено необходеаюб в достаточное услош<> сврьективности оператора И(»): Н(1ЬК) •• H(D), в случав.юэгдаГ - полупространство в С®, а К - выпуклый компакт, оЕределяввдй функцюлш П. В I974-I96T7 гг. , В. В. Мормиов в ряда своих работ (191-

-1221 установил некоторые достаточные условия разрешимости свэрточного уравнения в пространстве H(D+K) при любом g с H(D) в общем случав и описал класс выпуклых областей D с для которых эти условия являются и необходимыми. Это - области с границами класса С1, области, границы которых состоят из точек гладкости и вершин ( т. е. из точек z, для которых либо P(z) -луч, либо intP(z) - открытий конус в С" ), и области, являющиеся произведениями плоских областей с границам! класса О1. Независимо от этих результатов в 1986 г. Л. Лелоном и Л. Гру-маном [21 бал установлен Меритерий разрешимости сверточпого •уравнения для областей р с 8° с границами класса С2, а Р. Сигурдссоном [51 в 1991 г. были получены результаты, аналогичные результатам В. В. Мориакова.

В третьей глава проблема спръективности операторов свертки в выпуклых областях из решена полностью. При этом рассматриваются произвольные выпуклые области в f, а не только те, которые представлявтоя в виде суммы D + К.

В первом параграфе приводятся условия разрешйюсти неоднородных уравнений свертки в случае, когда сверточные оператора, вообще говоря, не сюръекпгвш, а правые части уравнений берутся из различных пространств аналитических функций.

Пусть D - выпуклая область в С" а « - аналитический

а

функционал кз Н*«?1), для которого целая функция £« с совместима о D, т. е. найдется т) с С" такое, что для f -

•■a*(z) + Re<a,ti> < Нд(г), в «3(0,1) Тогда непуста и вшукла область

' G(D,aw) = С а е С1: Re<z,£> < Н„<Е) - «.*<?>, i с S(0,1) ) и в пространстве H(D) определен оператор свертка

1<«Нф)(() = < «, ф(а+£)).

значениями которого являются функции из В(в(В,&и)).

ТЕОРЕМА 3.1.4. Пусть В - выпуклая область в С?\ « -аналитический функционал из В*(С?*), Оля которого £и совлестиа с В; С - выпуклая область, соОерхащзя С(В,Ви). ПреОполохил, что Оля Т = Ей _; . \ ' ''

* £(?> >Но1{)''-Чр(Е).. ? € \ 1а ТогОа уравнение Ы(и)1ф1= % разрешило в Н(В) при любой правой част £ е Н(С).

Во втором параграфе строится специальная целая функция не вполне регулярного роста, при помощи которой устанавливается необходимость условий сюрьективности сверточного оператора.

Основным результатом третьего параграфа является критерий сюрьективности операторов свертки в произвольных выпуклых областях из С?1.

ТЕОРЕМА 3.3.1. Пусть В - выпуклая о&юсва» в 4?\ « -ненулевой аналитический йункционал ив Н* (С"), Оля которого £и совлестиа с Б. Для соръентивнаст оператора свершай

И(и): Н(П) -.И{С(П, 6«)) необхоОияо и Ооспшочно выполнение равенства ( с I * Ё» о б «

Отметим, что последнее равенство рвшосвлшо совокупности двух сладущнг условий: Г

1) « р. е. функция 2Мз> гшооу вполне регулярны® рост вдоль луча С с Рц N 10.

2) 8*<С) - уо- С € Р£ N V

Напомним С (8 ], что шпуюшй коотак? К с Е51 называется определят®! кнскеотвои функционала в с Не<£?)»ес/ш для есякоЗ

окрестности и компакта К существует постоянная Сц такая, что

I («,ФЖ 0 вир |ф(я)|, ф € Н(ССП) геи

Из теоремы 3.3.1 получаем

СЛЕДСТВИЕ 3.3.2. Пусть 0 - выпуклая область я К -Сшугиай котот б ОС", и - ненулевой аналитический функционал из II* (С*"1) с определящил лногвсябод К. Оператор М(и): ЩО+К) -Н(П) схуръектвен тогда и толысо тогда, ¡согда выполняется ра--венство: Яг(т)) = 1^(7)), т; € Р* \ 1П. гбе Г = £и.

В теореме 3.3.3 описывается мшссгалальная выпуклая об-, ласть, где оператор свертки, заданный в области Б, остается все еще сгаръекгавшм. Она задается равенством (с й = С (Б,2«)): ИО») = { г £ < Н^Ь-т} « Р* \ £1а и Ш>] },

В заключительном параграфе третьей главы приводятся условия разрешимости системы из двух уравнений свертки в выпуклых областях из С2 { теорема 3.4.4 ). Здесь в добавление к аналогичным условиям для одного уравнения накладываются ограничения на взазазное располозэние .нулевых множеств преобразований Лапласа аналитических фунзсционалов.

Четвертая глава диссертации посвящена изучению структуры ядра сверточного оператора. В первом параграфе главы устанавливаются условия, пря которых все функции из ядра оператора • свертки аналитически продолжаются в более широкую выпуклую область, я определяется максимальная выпуклая область, куда можно осуществить такое продолжение.

Возможность' продолжения решений однородного уравнения ' свертки связана с тем фактом, что каждое из них есть предел последовательности линейных комбинаций экспоненциальных много-

членов p(z)exp<z,rp ( p(s) - полином ), которые называются элементарными решениями. Каадая же такая последовательность, сходящаяся в выпуклой области Б, будет сходиться и в некоторой большей выпуклой области D'.

Первый результат по проблеме продолжения был получен А. Ф. Леонтьевым в работе 1231. Он показал, что каждая функция, аналитическая в окрестности вертикального отрезка Г-1ят, irrJ и удовлетворяющая однородному уравнению свертки с характеристической функцией £ч(М »Ш 1 - (X/\)z\, А. € С, где т, О < г * со, аналитически продолкается на некоторую вертикальную полосу, содержащую этот отрезок. Этот результат вызвал ряд исследований по проблеме продолжения. Все они различаются и по результатам и по методам их получения. Однако выяснилось к нечто общее кеаду ними. Это - зависимость геометрии области D* ( куда осуществляется продолжение ) от углового распределе~ ния нулей характеристической Функции 6« п наличие оценок снизу на а«. Наиболее обсщй результат по продолаатаю решений в случае одной переменной бал получен Й. Ф. Красичковым-Тернавскиы £24). Он, в частности, показан, что гсаздоо ршэниа однородного уравнения свертки, анатгкчеекоа в щпуклзй облаете D + К, с характеристической функцией вподаэ регулярного роста в £ про-долаается в область

П' (DfK, С«) »• t a: Re<B, X> < к £ W(ü«) )

Здесь К - сопрягэнная двагрг&ш gis. Было такш установлено, что Í1' (Ш-К, gu) - каксшальиая вшуклаа область, куда моюга осувдстшть одаоврэцзныоэ продолжение решений.

В случао шюгих переменных первый результат о продoje»-шш Сил получен К. 0. Кизедмоном в Í35Í, где рассмотрено од-

згестбо регулярных почек n(j»u), и

Ю , 1(к) ч

Ф.(г) = П [ | «z.C^^^'expcz.Tix^^Cn)

к=1 1=1 „1 ' ' к

Рид сходится абсолжно и равномерно на кожпатах из Q' (D,£u).

В последнем параграфе четвертой главы изучается вопрос о существовании базиса в пространстве решений однородного уравнения свертки в выпуклых областях из С. В работе В. В. Напал> - ■

нова С321 при условии вполне регулярного роста всюду в С характеристической функции оператора спорт:« доказывается существовала® базиса Шаудера, состоящего из линейных комбинаций здэменгорных решений, в пространстве всех реиений однородного уравнения свертки в выпуклой области П * К с с, где К -сопряженная днагрияла характеристической функции.

Приведем результат, рзшащиЯ ату ~е задачу при условии ¿полно регулярности роста характеристической функции' только па некоторых направлениях ее предельного нулевого множества и в областях общего вида, а не вида- П > К.

ТЕОРЕМ 4.3.3.' Пусль D - вгтуамзя обметь, л» - анаш-тсчзспий фушсиихяш. из И*(С), преобразование Лапласа которого совлеатло с D. Предположи, то дмг 1 = Zu

- Hjjiz) - Н0(г), а € ff(Sa) \ IQ, где G = G(D,a«);

2) &f(z)-- a*(z), 2 e W(S") Л Я, где - некоторая окрвеп-: кость лнохества Щ8»») \ lntIQ.

Тогда в пространстве w(d,t») существует базис Воудера, элелент которого ложно разбить на групп« i a 1....»

1(р). р - 1.2,..., прмавмжааце состбестбеюю мтеОной оболочке функций i г^ехр А^ с 7р П «<£"). 3 - -

- 1, - кратность A.m, J J(m) = 1 (p) ) ( Vp - некоторое покрытие лнохества n(fiu) ).

Пятая глава диссертации посвящена интерполяционной задаче в пространствах целых функций конечного порядка и типа в С" и ее применению к представлению решений однородного уравнения свертки. ,

Наиболее полно проблема интерполяции в различных пространствах целых функций изучена в случае одной переменной.. Здесь получены различные достаточные условия, которые в некоторых случаях являются критериями для разрешимости интерполяционной задачи. Значительно хуке эта проблема изучена в случае многих переменных. Здесь мы отметим результат из работы К. А. Беренстэйна в Б. А. Тейлора 130J. В ней рассматривается проблема интерполяции в алгебрах целых функций с нулевого множества функции i с H(C") в случае, когда t - медленно убывающая функция» Получены достаточные условия интерполяции в терминах равномерной разрешимости интерполяционной аадачн на аналитичаа ком почти параллельном семействе комплексных плоскостей в С".

Приведем условия разрешимости интерполяционной задачи ® пространствах целых функций в С" с более тонкими оценками на рост, чем в [301, в в терманах, аналогичных случаю одаого па-ремешого.

Для функции f с Hfl?1) пусть k(z,f > обозначает кратность . нуля i в точке с. Пусть Р - С pe(z) с PSSp. Будем говорить, что Г £ Нр совместима с Р, если найдется последовательность непрерывных функр* { ^¿(8) с РБНр, удовлетворяющая условиям: 1) Дня каждого 1 «» 1.2,... существует номер ■ такой/ что

й*(2) p'(z) $ p^Cs). s ( С 2) Для каждого m = 1,2,... существует номер 1 такой, что a*(z) + p;(s) г pm(z). 2 € W(f) Определим пространство L(P) ¡сак индуктивны!* предел пространств

{ ф ç Н(<С"): |ф[т = аир |ф(2)|езр{-рт(г)} < <» >

Пусть 1(Р) = С z е ûf1: pm(z) -+<»>. Под кратным нулевым множеством функции i ç H(С") будем понимать множество n(I,lc(z,f) ) = С (s,а): й ç n(i), а с О $ (а| < k(z,f) ) Будем говорить, что функция g(z,a) аналитична па n(f,k(z,f)), если для кавдого z € п(Г) существует окрестность U, точки z и функция gz € H(U) такие, что '

Dagz<y) = g(y.a). у t n(f) П иа. О < |а| < k(y,f). Пусть Hf обозначает пространство функций, аналитических на n(i,lc(a,f)). Пологаш

Lf(P) = lim ind f g с H : |g|; =

k(z,f)-1

вир ^ | ^¡Г |g(B,a)|/aî | expt-pm(z)] < » ]

Рассмотрим отображение R: L(P)/J(P,î) - H^ где J(P,D » ( ф î I(P): ф/i e HiC1) >, которое элементу 1ф1 ç I(P)/J(P,i) ставит в соответствие g « е Hf по правилу: g(s,a) - z е'«»(Г), 0 < |а| < k(z,f).

ТЕОРЕМА 5.1.3. Пусяъ P - Срт(2))[11™1 - последовательность непрерх&тх фунхщй из PSHp, удовлетворяющая неравенствал:

P«(Z) + AmlZlP < Р»И(2) ' Ат >0' И ш UZ.....

функция î с Ир совместит с Р и облаОает слеОукищи сбойспбаеи:

1) £*(z) непрерывна на S = W(í) \ lntl(P),

2) k(z,í) a'.H n(í),

3) Для каждого z t n(í) существует tj(z) ¿ S(0,1) такая, что

Um

. 0-Ю l z, | - »

z e «(í) П 3(s°)

Mpln|d klIlI)íz(0)/dXk(z-n| - Vt(z/\z\) y O líü |2|p ln |dk(z'f)f (0)/d\klz-n| > - oo

Ul-co <• 2

Z^n(f) n lntl(P)

гОе fz(\) = r(z+\T](z)), X с С.

Тогда отображение К: L(P)/J(P,Í) - Lf(P) яблятся изо-лорфизлол линейных топологических пространств.

Во втором параграфе главы на основе теоремы 5.1.3 доказывается

ТЕОРЕМА 5.2.2. Пусть D - выпуклая область б С", и -аналитический функционал из IIa (С"), преобразование Лапласа которого совлестио a D. Пусть CU^}^ - селейство связных колпашных подмножеств из п(£и), покривахяцее п(£и) и такое, что Оля некоторых zk е Uvc k = 1,2,...

di&ro Uk /|гк| - 0» к. - о» Предположил, что f(z) = £«(s) уОовлетворявт условиям 1 )-3) из творелы 5.1.3 с I(P) « 1Е и £*(z) = Hj,(z) - HG(z), z с e W(£u) \ IQ, где G » G(D,£u). Тогда Оля кахОсЛ фунщии ф €

е W(D,«0 существует селейство лвр ^ а, к = 1,2..... a с 2",

О < |a| < 1(к) пакт;, «aso вирр ^ с \ "

p(z) ^ | eaeip<E,Ti>d|ik!a(T)) , е е Г

v

0<|a|<l(k>- k

где ряЗ сходится абсолютна и рабнолерно на кадлакишг поОлно-

;;«стваг из В, и <Эля каждого т) € Чк функция йасхр<2,т)> , 0 ^ < |а| < 1 (к.), - элелетарное решение однородного уравнения.

Отметим, что в теореме 5.2.2 в отличив от теоремы 4.2.6 каждое рошение однородного уравнения свертки представляется рядом из 1штегралов, а не линейных комбинаций интегралов.

В заключительной главе диссертации изучаются свойства единственности выпуклых носителей аналитических функционалов. Более точно: описываются кл&ссы выпуклых компактов К с с", обладающее следующим свойством единствешюсти: К является единственным носителем любого аналитического функционала, для которого он является носителем. Эта задача возникла в связи с тем, что в случае многих переменных в отличие от одной у аналитического функционала « е Н*^), вообще говоря, нет наименьшего выпуклого определяющего множества. Носителями « названы минимальные элементы частично упорядоченного множества всех выпуклых определяющих множеств и. к. 0. Ккзелман в работе [33) показал, что аналитический функционал в С*1 имеет либо единственный, либо бесконечное число носителей. Им же в [6) било установлено, что функционал и с Н*(С") имеет единственный внпуклый носитель тогда и только тогда, когда регуляризо-гзанный индикатор преобразования Лапласа и является выпуклой функцией. В работе 133) К. 0. Кизелман заметил, что в Сп существуют выпуклые компакты, обладающие указанным выше свойством единственности, и показал, что таковьгми являются выпуклые компакты К с границей класса С1, т. е через каждую граничную точку г проходит единственная вещественная опорная гиперплоскость или, что эквивалентно, <11п^ М(Р(а)) = 1. А. Мартино С34] обобщил этот результат, показав, что свойством единственности об-

ладают вштуклие компакты К с с", через каждую крайнюю точку 2 которых в наименьшем комплексном подпространстве из С", содержащем К, проходит единственная комплексная опорная гиперплоскость к К ( т. е. Р(а) с ( Лг]: Я € <Е) для некоторого т) € <ИП ).

В диссертации разработан новый метод описания выпуклых компактов К с с", обладающих свойством единственности. Получены достаточные условия единственности существешю более общие, чем условия К. О. Кизелмана и А. Ыартино, некоторые неоОхода-ше условия и исследованы типичные классы компактов на предмет обладания ими свойством единственности.

В первом параграфе главы рассматриваются выпуклые компакты с пустой внутренностью в С". Доказан следующий результат ТЕОРЕМА 6.1.1. Випуилпй коалам К с С11 обладает свойствож единстВ'лтост тогда и толыю когда, когда а-,гиг свойст-вол обладает колпат

X = { у < С""1: у = (г,О); г е К, 0 е С" > , п> ^ 1. В параграфах два и три главы приводятся соответственно достаточные ( теорема 6.2.5 ) и необходимые' ( теорема 6.3.1 ) условия на выпуклые компакты К с с", обладание свойством единственности. Достаточные условия формулируются в тер;,шаг. наличия определенной кошлексноа структура у конусов линейности опорных функций ВЫПУКЛЫХ КОНПЕКТОЕ п гладкости ( близкой к О1) сечений в тих конусов одаомаршдш костлаксньсд! шюскостя-Необходима условия, в частности, показывают, что трэбова-пге некоторой гладкости сечений суцэствонны.

На основе указанных условий в посла днем параграфе глава рассматривался некоторыо шво стоне классы выпуклых коцшжтов, как обладащиа свойством еданствэяносгн так п без пего.

ТЕОРЕМА 6.4.1. Пусть К - строго выпуклый нолпакт. в if1. Предположил, то для нахдой бастующей точки s компакта К такой, что dlji^ M(P(z)) > 1 илеел: • N(P(z)) П iMP(z)) * СО).

Тогда К обладает свойствол единственности.

ТЕОРЕМА 6.4.2. Пусть К = К, « Kg с где К1 - выпуклый нолпакт в С" и Kg - выпуклый гсолпакп в С"-™, О < m < п. Тогда К не обладает свойствах единственности .

TEOP0ÍA 6.4.3. ffj/сиь К - выпуклый лногограшик в С*1. Предположил, что для некоторой его вершины г' найдутся вещественная опорная гиперплоскость f к компоту К и точки z1, z2 е ç К такие, что f) z1f02,z' с f,

2) векторы z' - s, и 2' - z2 линейно зависит над С, ко кеэаЗиешы над К.

Гогфа К ке обладает свойствол единственности.

Автор выражает глубокую благодарность член.-корр. РАН, профессору В. В. Напалкову за полезные обсуждения и постоянное внимание к работе. .

ЛИТЕРАТУРА

1. Xelong P. Fonctions plurlaouaharmoniqueo et fonctions analytiques de variables réelles // Ann. Inat. Fourier. 1961. V. 11. P. 516 - 562.

2. Лелон П., Груман Л. Целые функции многих комплексных переменных. - М.: Мир, 1989.

3. Азарин B.C. Об одном характеристическом свойстве функций вполне регулярного роста внутри угла I/ Теория функций, функц. анализ и их прилож. Харьков, 1966. * 2. С. 55 - 67.

4. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. - М-: Гостехиздат, 1956.

5. Sigurdsson R. Conrolutlon equations In domains of c" // Arkiv Mat. 1991. V. 29. P.'285 - 305.

6. Klselman C.O. On entire functions of exponential type and Indicators of analytic Junctionals // Acta Math. 1967. V. 117, P. 1 - 35.

7. Martineau A. Indlcatricea de crolssance des mictions entlerea de N varlablea // Invent. Math. 1966. V.. 2. P. 81 - 86.

8. Ронкин Л.И. Введение в теорию целых функций многих

переменных. - II.: Наука, 1971.

*

9. Sigurdsson R. Growth properties of analytic and plurisubh&rmonic functions of finite order // Math. Scand. 1966. V. 59. P. 234 - 304.

10. Carmlchael R.D. linear differential equations of Infinite order // Bull. Amer. Math. Soc. 1936. V. 42, A 4. P.' 193 - 218.

11. Леонтьев А.О. Дифференциальные уравнения бесконечного порядка и их применения // Груда 17 Всесовзн. матем. съезда. 1964. Т. 2, 0. 648 - 660. I -

12. Коробейник В.Ф. О решениях некоторых функциональных уравнений в классах функцвв, аналитических в выпуклых областях // Матем. сб. 1968. Г. 75(117), » 2. 0. 225 - 234.

13. Напалков 8.В. 00 одаоаг класса неоднородных уравнений типа свертки // УМН. 19Т4- 29, #3. 0. 217 - 218.

14. Епифанов О.В. Об апиморйюые свертки в ищуклых областях // ДАН СССР. 19Г4. Т. 21Т, * 1. С. 18 - 19.

15. Ehrenprels L. Mean perlodlc fonctions // Amer. J. Math. 1955. У. 77, Jí 2. P. 293 - 326.

16. tíálgrange В. Existence et approximation des solu-

(

tlons aux des équations derlvees partielles et des équations de convolutlon// Ara. Inst. l'ourler. 1955-56. V. 6. P.271- 355

17. Martlneau A. Equations différentielles d'ordre lniine // Bull. Soc. Math. France. 1967. V. 95. P. 109 - 154.

18. Напалков B.B. Уравнения свертки в многомерных пространствах.- M.: Наука, 1982.

19. Морхаков В.В. 00 уравнениях свертки в пространствах функций, голоморфных в выпуклых областях и на выпуклых компактах ОС" // Матем. звметки. 1974. Г. 16. 0 . 431 - 440.

20. Морнаков В.В. Об эпиморфизме оператора свертки в выпуклых областях в С" // Матем. анализ и его прилоя. Ростов-на-Дону, 1985. С. 91 - 99.

21. Моржаков В.В. Об эпиморфности оператора свертки в выпуклых областях из С1 // Матем. сб. 19ЭГ7. Т. 132(174), Л 3. С. 352 - 370.

22. Морхаков В.В. Уравнения свертки в выпуклых областях из с негладкой границей // Тез. докл. меадунар. конф. по комплексному анализу и прилож. София, 1967. С. 115.

23. Леонтьев А.Ф. Ряда полиномов Дирихле и их обобщения // Груды МИАН. 1951. Т 39. С. 1 - 215.

24. Крвсичков-Терновский И.«.Инвариантные подпространства аналитических функций. Аналитическое продолжение // ИАН СССР.. Сер. матем. 1973. Т. 37, * 4. С. 933 - 947.

25.К1ве1шап С.О. Prolongement des solutions d'une équation aux dérivées partielles à coefficients constante //

Bull. Soc. Math. Prance. 1969. V. 9T. P. 329 - 354.

26. Sebbar к. Prolongement des solutions holomorphes de certains operateurs différentiel d'ordre Infini à coefficients constants // Lect. Notes ln Math. 1980. V. 822. P. 199 - 220.

27. Merll A., Struppa D.C. Convolutors of holomorphlc functions // Lect. Notes ln Math. 1987. V. 1276. P. 253 - 275.

28. Ehrenpreis X. Fourier analysis ln several complex variables. - New York: Wiley - Interscl. publishers, 1970.

29. Паламодов В.П. Линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. - М.: Наука, 1967.

30. Berensteln O.A., Taylor В.A. Interpolation problems In С11 »Ith applications to harmonic analysis // J. An. Math. 1960. V. 38. P. 188 - 254.

31. Berensteln C.A., Struppa D.C. Solutions of convolution equations in convex sets // Amer. J. Math. 1987. V. 109. P. 521 - 543.

32. Напалков B.B. О Оазисе в пространства решений уравнения свертки // Матем. заметки. 1988. Т. 43, M 1. С. 44 - 55,

33. Klselman С.О. On unique euppojrts of analytic functional //Ark. mat. 1965. V. 6, Л 18. P. 307 - 318,

34. Martineau A. Unicité du support d'une5; fonctionnent analytique: un theorems de С.О. Klselman // Bull.sel. math. 196T. V. 91. P. 131 - 141. . >

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

35. Кривояеев A.C. О единственности носителей аналитических функционалов // Тезисы докл. всесовз. шк.-сем. я Кош

»

лексяый анализ и матем. физика Красноярск, 1987. О. {54.

36. Кривовеев i.e. Некоторые свойства носителей анвлити

- 3t -

ческих .функционалов / Препринт Института матем. с ВЦ БНЦ УрО АН СССР. Уфа, 1989. 27 с.

37. Кривошеев Л.С. Неоднородные уравнения свертки// Тез. докл. всосоюз, ик.-сем. " Актуальные вопроси комплексного шалкза Ташкент, 1986. С. .60.

38. Кривопееа A.C. Единственность носителей аналитических функционалов// В сб. "Исследовшшл по теории приближений". Уфа, 1989. С. 63-72.

39. Кривошеев A.C. Уравнения свертки в обобщенных трубчатых областях из С" // Труды 4~й Саратовской зимней шк. Сара-

■ - " S

тов, 1990. С. 132-134.

i, ■ i

40. Кривошеев A.C. Критерий разрешимости неоднородных уравнений свертки в выпуклых областях пространства :<D" // HAH СССР. Сер. матем. 1990. Т. 54, й 3. С. 480 - 500.

41. Кривошеев A.C. О единственности шЗсителе^ аналитических функционалов // ИАН СССР. Сар. матем. 1991. Т. ,56, Л 6. С. 1171 - 1193. ' '

42. Кривошеев .A.C., Напалков В.В. Комплексный анализ и операторы свертки// УВД, 1992. Т. 47, вып. 6(288). 0. 3 - 58.

. 43. Кривошеев A.C. Об индикаторах целых функций$и продолжении решений однородного уравнения свертки // Матем. сб. 1993. Т. 184, й 8. С. 81 - 108. ,í»v

: 44. Кривошеев A.C. Система уравнений свертки в выпуклых областях на С1// Доклада РАН. t993. Т.' 332, а 3. С. 289 - 290.

45. Кривооевв A.C. Представление -решений однородного уравнения свертки в выпуклых областях пространства С" // Изв. РАН. Сер. йагем. 1994. Т. 58,. * 1. С. 72 - 92. ГП «Принт» Зак. Hi 99 Тираж '{00 экз.