Линейные операторы, близкие к операторам свертки, в пространствах аналитических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

МЕРЗЛЯКОВ СЕРГЕЙ ГЕОРГИЕВИЧ

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ, БЛИЗКИЕ К ОПЕРАТОРАМ СВЕРТКИ, В ПРОСТРАНСТВАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

01.01.01 - Математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора с'шзико-математических наук

ЕКАТЕРИНБУРГ - 1996 г.

Работа выполнена в Институте Математики с ВП Уфимского Научного Центра Российской Академии Наук.

Официальные оппоненты — доктор физ.-мат. наук, профессор

/ Хромов А. П.

доктор физ.-мат. наук

Секерин А. Б. доктор физ.-мат. наук Кривошеев А. С.

Ведущая организация — Московский Государственный университет им; М. В. Ломоносова

Защита состоится " // " 199/? г. в 40 часов на засе-

дании диссертационного советаД 002.07.02 по присуждению ученой степени доктора физико-математических наук в Институте математики и механики Уральского отделения Российское. Академии наук по адресу: г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, д. 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН

Автореферат разослал " й " клОьЯЛА.лЛ' 199 £ г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

доктор физико-математических наук

в. М. Бадков

-з-

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИК А РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Одним из важнейших разделов современного комплексного анализа является исследование операторов, действующих на пространствах аналггических функций.

Сюда входят вопросы изучения свойств решений однородных линейных уравнений и разрешимость неоднородных линейных уравнений.

Первый вопрос приводит к так называемой задаче спектрального синтеза, которая была впервые сформулир ована в 1947 году Лораном Шварцем в его классической работе [1]. Проблематика этой теории состоит в следующем: пусть X — линейное топологическое пространство, г — полутруппа линейных опер аторов, действующая в X; требуется описать т-инвариантные замкнутые подпростр« нства, ко торые топологически порождаются своими конечн мерными т- инвариантными подпространствами.

Про такие подпространства говорят, что они допускают спектральный синтез (относительно пблуг руппы т).

Если т имеет одну образующую, тс' речь идет о восстановлении всех инвариантных подпространств по собс гвенным и корневым подпространствам этой образующей.

В круг задач спектралы ого синтеза .инвариантных пространств входит, кроме выяснения возможности аппрохеимадии его элементов линейными комбинациями корневых векторов, также построение и оценка скорости сходимости аппроксимирующей последовательности.

К первым результатам спектрального синтеза можно отнести теорему Жордана о приведении матрицы к каноническому виду и нахождение общего решения однородного обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

Дальнейшее развитие теория спектрального синтеза нашла при исследовании дифференциальны}: уравнений бесконечного порядка с постоянными коэффициентами. В этих задачах возникают замкнутые инвариантные относительно оператора дифференцирования подпространства в пространствах аналитических функций.

Указанная тематика широко исследовалась в работах С. Пинкерле, Р. Кармикаэля, Мугля, Р. Воаса, А. О. Гельфонда, А. Ф. Леонтьева, Б. Ма-лъгранжа, Л. Эреннрайса, В. П. Паламодова, Л. Хермандера, П. Лелона, А. Мартино, Ю. Ф. Коробе^шика, Й. Ф. Красичкова-Терновского, К. О. Ки-зелмана, В. В. Налалкова, Б. А. Тейлора, К. А. Беренстейна, О. В. Епифанова, В. В. Моржакова, Л. Трумэна, Д. С. Струппы, Р. С. Юлмухаметова И др.

Результаты по разрешимости неоднородных дифференциальных уравнений бесконечного порядка с постоянными коэффициентами, с полиномиальными коэффициентами в обычных и обобщенныхпроизводных (в смысле Гельфонда- Леонтьева) производных в классах функций, аналитических в областях, и целых функций в разное время получали С. Пинкерле, Ф. Шу-рер, Е. Гильб, О. Перрон, Р. Каршпсаэль, Мугль, Р. Боас, А. О. Гельфонд, А. Ф. Леонтьев, Б. Мальгралж, Ю. Ф. Коробейник, А. Мартино, В. В. Напалков, Л. Груман, О. В. Епифанов, В. А.Ткаченко, А- С. Кривошеев и др.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. 1) Изучить вопрсс аппроксимации элементов инвариантных пространств аналитических отображений в некоторой области элементами этого же пространства, аналитическими в большей области.

2) Исследовать з а дачу аплр оксималда л р ешений систем однородных уравнений свертки с несколькими неизвествыми функциями в областях С посредством элементарных решений (экспэненциальных полиномов).

3) Найти условия допустимости спектрального синтеза для оператора типа Эйлера в пространстве голоморфных функций в областях Сп.

4) Найти условия допустимости спектрального синтеза для оператора единичного сдвига в пространствах целых функцию экспоненциального типа одной переменной.

5) Рассмотреть проблему замкнутости образа возмущения операторов свертки и близких к ним.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. Исследования, проводимые в диссертации основаны на использовании аппарата преобразования Лапласа, Бо-реляи Коши, а также результатах из функционального анализа, связанных с линейными отображениями в различных функциональных пространст-

вах.

Указанные методы позволяют сводить задачи из теории линейных операторов кпроблемам аналитического продолжения голоморфных функций, а вопрос замкнутости образа методами теории компактных операторов сводятся к аналогичному для хорошо изученных операторов свертки.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

Найдены условия аппроксимации эле ментов инвариантных пространств аналитических отображений в некоторой области элементами этого же пространства, аналитическими в большей области. Эти условия формулируются в терминах инвариантности области относительно некоторой группы гладких преобразований.

Найдены условия на области комплеи сной плоскости, при которых решения системы однородных уравнений свертки с несколькими неизвестными функциями допускают сколь угодно точное приближение элементарными решениями. Ранее подобные результаты были известны лишь для случая выпуклых или звездных в одном направлении областей.

Изучена задача спектрального синт< за для операторов типа Эйлера, в частности, для пространства целых функций найдены точные условия на матрицу, порождающую оператор типа Эйлера, при которых синтез всегда имеет место.

Полностью описаны области комплексной плоскости пересекающиеся с любой прямой, параллельной мнимой оси, по интервалу, для которых любое замкнутое двусторонке инвариантное относительно оператора единичного сдвига подпространство в простралсгве целых функций экспоненциального типа, связанных с указанной областью, допускает спектральный синтез. Ранее эта задача рассматривалась лишь в очень частных случаях.

Найдены новые условия на линейные операторы, при которых их образ будет замкнут. Для разностных операторов приводится критерий замкнутости образа в терминах нулей крайних коэффициентов для широкого класса областей.

АПРОБАИИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на семинаре под руководством Б. В. Шабата, под руководством Ю. А. Казьмина в МГУ, на семинарах и Институте математики УНЦ РАН, в Башкирском, Ростовском, Сыктывкарском госувиверситетах, в Математическом институте им. В. А. Стеклова.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в. работах [79]-{89].

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения и четырех глав. Список литературы содержит 99 наименований. Объем диссертации — 191с.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В первой главе изучаются пространства вещественно-аналитических отображений в некоторой области, замкнутые в топологии равномерной сходимости на компактах, и инвариантные относительно вещественно-аналитической группы преобразований.

В параграфе 1.1 рассмотрена произвольная вещественно-аналитическая группа преобразований. Перед формулировкой полуденных результатов дадим необходимые определения.

Для областей V С К" и О С С" введем следующие обозначения:

С-(С7) — пространство бесконечно дифференцируемых отображений из области и в С" с топологией, порожденной системой полунорм

№ = тах |/С«>(*)|, где / Е С^(11), К С и — компакт, р £ N0, а — мультииндскс порядка

п;

Ат(и) — пространство вещественно-аналитических отображений из области и в С";

Нт (£)) — пространство голоморфных отображений из области £> в Ст с топологией, порожденной системой полунорм

И/И* = та£ !/(*)!,

где / € Нт(3), К С В — компакт.

Индекс т — 1 в этих обозначениях мы будем опускать.

Пусть й — область в КЛ, вещественно-аналитическое отображение •

— однопараметрическая группа автоморфизмов области С, то есть отображения

91-. б -» С дг(х) = * б К, г б в,

для каждого £ являются биекцией <? на себя и для любых чисел ¡,8 6 I выполняется групповое свойство: дь+з = ¡Ь-

Будем говорить, что область V С в является р-звеадной, если д^и) С 11,1 ^.0. Для такой области положим:

и00 = и дгШ

Для д-звездной области и С (3 линейное над полем Я пространство И7 С назовем ^-инвариантным, если

В первом пункте параграфа 1.1 доказал следующий результат.

Теорема 1.1.1. Пусть область II С й д-звездна, линейное над полем К пространство IV С замкнуто, д-инвариантно и

IV С Ат(17). ■ ■

* Тогда пространство И''С\ Ат(и°°) плотно в пространстве IV в топологии С^ (II).

В качестве таких пространств, например, могут выступать пространства решений эллиптических систем дифференциальных уравнений конечного порядка (см. [2], с. 21Г и пространства голоморфных функций. Как одно из следствий теоремы -1.1.1 получается основной результат . статьи [3], а именно:

Пусть область D С <Cfc х <СГ такова, что

V(z, w) 6 D Vf 6 [0,1] (tz,w)£D,

где z E w G Cr, а область

D' := {u)£Cr: (0,u>) S D}

является областью Руте.

Тогда и D будет областью Руте.

.Во-втором пункте исследуется вопрос аналитического продолжения отображений пространства W в условиях вышеприведенной теоремы. Приведем необходимые определения.

Область U\ С Мп является аналитическим расширением области U для пространства W, если U С U\ и

V/ е w BheAniUi) f = h\v.

Отображение / € Ят(£>) назовем голоморфно не продолжаемым в точку z\ € dD, еслинайдется такое число е > 0, что для любого шара В С С" с центром в этой точке и радиуса не более е выполнено соотношение:

улеят(В) h\Bl^f\Bi

на каждой компоненте связности В% множества В П D.

Точка 2i е 8D особая для пространства V, если существует отображение / € У, голоморфно не продолжаемое в эту точку.

Отображение / 6 Am{U) вещественно-аналитически не продолжается в точку ii 6 dU, если для любого шара В С Rn с центром в этой точке и открытого множества Bi С В П U, х\ £ дВ\, выполнено соотношение:

меАш(В) h\Bl ¿f\Bi.

Будем говорить, что точка xi £ 8U является вещественно особой для пространства W, если существует отображение / £ И7, вещественно-аналитически не продолжаемое в эту точку.

Назовем II областью аналитичностипростраяства если найдется такое отображение / £ ТУ, что для любого шара В С 17, дВ П (К." \ V) Ф 0, отображение / не продолжается вещественно-аналитически из этого шара в шар большего радиуса с 1 ем же центром.

Сформулируем теперь основной результат второго пункта.

ТЕОРЕМА 1.1.2. Пусть в условиях теоремы 1.1.1 существует аналитическое расширение Л С (7 области £/°° для пространства IV Г\ Ат(У°°), причем = Я, < е К,

Тогда найдется такая д-звездпая область [/1 С Я являющаяся аналитическим расширением, области V для пространства IV, что

а) существует отображение пространства IV П Ат([/1), которое не продолжается вещественно-аналитически ни в одну точку множества (ди\) П В.;

б) и^ = Я;

в) если все точки множества Ж будут особыми для пространства IV Г\Ат(В.), то Их есть область аналитичности пространства И^П Ап{их).

В параграфе 1.2 изучаются инвариантные пространства относительно группы сдвигов.

Для областей С\,..., Сч в С в топологическом произведении

Я = Я(Сг) X ■ ■ • х щря)

определен оператор £> покомпонентного дифференцирования. Задача спектрального синтеза для этого оператора исследовалась в статьях [4]-[7] в случае <7 = 1, а в статьях [8]-[11] — в случае д > 1.

В данном параграфе изучается структура О-штариантных замкнутых пространств для систем криволинейных полос, при этом используются методы и результаты Алексея Федоровича Леонтьева для оператора свертки, приведенные в монографии [12].

Пусть функционал 5 £ Н*(С). Преобразование Лапласа этого функционала ¿(А) = ($, ехр(Аг)) будет целой функцией экспоненциального

тила, и обратно, для каждой целой функции экспоненциального типа найдется функционал пространства Н* (С), преобразование Лапласа которого совпадает с этой функцией. Функцию 7(2), ассоциированную по Борелю с функцией Ь, будем называть преобразованием Коши функционала Б, а наименьший выпуклый компакт, содержащий все особенности функции 7, будем обозначать через к(3).

Если область С? С С такова, что А;(5) +ги С Р для некоторого числа ю £ С, то в пространстве Н(в) можно определить оператор свертки по формуле:

где контур С охватывает компакт /с($), а точка Н меняется в некоторой окрестности ги. Преобразование Лапласа ¿(Л) функционала 5 будем называть характеристической функцией этого оператора.

В первом пункте описана структура инвариантных пространств целых вектор-функций.

I д-многочленом порядка п назовем д-вектор

Р(г) = с0 +.сх2 + • • • + спгп,

где со,..., сп бС9и функции 1, г,.. ,,гп умножаются на векторы как скаляры.

ТЕОРЕМА 1.2.1. Для лъобого замкнутого инвариантного пространства И7 С Нч(С) найдется такая ненулевая целая функция экспоненциального типа ДА) и. последовательность ц-многочленов рп>^ пространства IV со свойствим:

= прп~х'\ п б N0, 1 < з < д, что если на окружностях |А| = Тт —► оо выполнена оценка

|ДА)| ^ е-ь1А1, 6>0,

то произвольная вектор-функция / бИ' будет иметь следующее пред-

оглавление в топологии пространства Н<!(С):

д оо оо

м = Е Е +Е Е рт(2) ^(м

¿=1«=0 1=1 г„<|Лтп|<г„ + 1

где ап^ £ С, Л™ — нуль функции Ь, — д-лшогочлен степени

меньше кратности этого нуля, причем

рт(г) ехр(Лтг) £\У, т Е N.

Предположим теперь, чю области • можно представить в виде С] = С^ П <3~, где области СИ^ удовлетворяют условиям СЛ и = С, и для некоторых чисел а, 5 > О

{|аге(г±*«)±т/2|<6}сС±

] — 1,..., д. Через Н^ обозначим пространства

Рассмотрим систему сверточных уравнений, определенных в окрестности начала

ч

=0,вбЛ,

3 = 1

где / Е Н, к(Бу*) С . Л — некоторое множество индексов.

Совокупность всех решений этой сис семы обозначим через IV, а через И^ — пространства ТУ П Н±. Все эти лространства инвариантны и замкнуты в соответствующих топологиях.

Пусть для каждого индекса а € А существует такая жорданова кривая Га проходящая через начало, начинающаяся и оканчивающаяся в бесконечности, что для областей и Г/~, на которые разбивает плоскость эта кривая, выполнены включения

k(Sf)+WzGf.

При этих предположениях доказан следующий результат.

УТВЕРЖДЕНИЕ 1.2.1. Любая вектор-функция f £W допускает представление вида / = /+ + /", где бИ^.

Из этого результата для горизонтальных полос вытекает

Следствие. Пусть Gj = {z е С : aj < Imz < 6j },где -оо < а}- < bj ^ +ос, j = 1,... ,g, W С Н — замы: утое D-инвариантное пространство.

Тогда любую вектор-функцию JEW можно представить в виде f = /+ + /-, где

/+ в W П Я({ с-1 < Imz }) х • • - х Я({ aq < Imz }), eWn Я({ Imz < bj })>:•■• х H({lmz < bq }).

Это представление явллстся новым и в случае q = 1.

Будем говорить, что подмножество комплексной плоскости ¿-выпуклое, если его пересечениес любсйпрямой,параллельноймнимойоси, связно.

Заметим, что в статье [1 .$] такие области названы у-выпуклыми.

Из утверждения 1.2.1 и теоремы 1.1.1 имеем такой результат.

Предположим, что облас ти Gi,..., Gq ¿-выпуклы и существуют углы

G± = (|arg(r т га) Т т/2| < 6 }, а £ IR, <5 > 0, удовлетворяющие условиям:

ViuGG* 3yf>0 w^iyj € Gjt j = l,...,«.

ТЕОРЕМА 1.2.2. Пусть пространство W С H является совокупностью решений системы, уравнений свертки

¿5?*/, = О, а 6 Л, для некоторого множества индексов А, причем имеют место вклю-

чения:

VaeA VxeR 3x+iy + k(Sf) С Gj

j = l,...,q.

Тогда пространство \V допускает спектральный синтез.

В параграфе 1.3 рассматриваются инвариантные пространства относительно линейных групп, частным случаем которых являются группы вращения и сжатия.

Рассмотрим систему <p{t) = (vi(f)i..., <pr(t)) комплекснозначных ограниченных функций на луче {t ^ 0 }, и обозначим через M(ip) замыкание в пространстве Сг множества {<£ (<) : t ^ 0 }. Будем говорить, что система 'p(Z) голоморфно независима, если не существует ненулевой функции h, голоморфной в окрестности множества M(ip), для которой h(<p(t)) = 0 для всех t ^ 0.

В первом пункте доказан следующий результат.

ТЕОРЕМА 1.3.1. Пусть задана системы экспоненциальных одночленов

на луче {< ^ 0} и множество функций Р{ € Н(М(<р)) такие, что р¿(¿) = P¿(9(í)), г" = 1,..., п, 1 ^ 0, причем если все тгц = 0, то

ipj{t) = j = 1,..., r, Rе/i,- ^ 0,

и, в противном случае,

<Pl(t) = te^'4, <fij(t) = e''J_li, Re/ij > 0, Re/ij >0, j = 2,...., r - 1.

Пусть А = (ojj)* —квадратная матрица, aij £ С. Оператор

fc Q

>,j=1

будем называть оператором типа Эйлера, порожденным матрицей А.

Будем говорить, что область U в Cfc сильно Л-звездна, если для любой точки г Е U замыкание множества

лежит в области U.

Во втором пункте параграфа 1.3 доказана

Теорема 1.3.2. Пусть А такал квадратная матрица k-того порядка, что элементы, матрицы etA ограничены на луче t ^ 0.

Тогда существуют, линейные непрерывные операторы Та на пространствах голоморфных функций в сильно А-звездных областях Ск и последовательность

'чисел Сцсх £ С такие, что для любых сильно А-звездной области U С замкнутого D ^-инвариантного подпространства W пространства H(U) и функции f £ W имеет место представление:

п

/(z)= lim \

(Та/К*)

П—► ОО *■'

|а|=0

в топологии пространства H(U), причем функция Taf принадлежит пространству W и является корневой функцией оператора Da-

Эта теорема усиливает известный результат Миттаг- Леффлера о представлении голоморфной функции в ее прямолинейной звезде голоморфиз-ма.

В третьем пункте параграф а 1.3 приведен результат, показывающий точность условий теоремы 1.3.2.

ТЕОРЕМА 1.3.3. Пусть квадратная матрица к-того порядка А такова, что для любого у € С, у ф 0, элементы матрицы е'7'4 неогра-ничены при ¿ ^ 0. Тогда найдется замкнутое Б а-инвариантное не тривиальное подпространство пространства Н без собственных функций оператора О & .

Во второй главе рассматриваются пространства целых функций экспоненциального типа, инвариантные относительно дискретной.группы преобразований, порожденной оператором 5 сдвига на единицу.

Для односвязной области и С С обозначим через Р(17) пространство всех целых функций экспоненциального типа, у которых ассоциированные по Ворелю функции голоморфны на дополнении II до расширенной плоскости. Как хорошо известно, это пространство изоморфно сильному сопряженному к пространству Н'11) и наделяется индуцированной топологией, • так что пространства Я([7) и Р(17) находятся в топологической двойственности:

где функция / £ Н(и), уз 6 Р(и), функция 7 ассоциирована по Борелю с функцией контур С охватывает все особенности функции 7.

Будем говорить, что подпространство \¥ пространства Р(11) двусторон-не инвариантно относительно оператора единичного сдвига, если выполняется соотношение:

(р е IV € V/.

В главе 2 приводятся условия на область II, при которых любое замкнутое двустороннс инвариантное относительно оператора единичного сдвига подпространство Ш пространства Р{и) будет допускать-спектральный синтез.

Множество М С С будем называть г-крагно связным, если множес- _ тв а

Мк '■= М П (М — 2шк), 1: = 0, 1,.... г — 1, непусты и связны, г ос.

Пусть I С Н(11) — замкнутое подпространство, инвариантное относительно оператора умножения на функцию е2. Максимальное среди чисел к £ N0, для которых Ф 0 и существует ненулевая функция

на множестве 11к-г, где ..., 6 I, будем называть рангом пространства I. Если максимально! о числа не найдется, то ранг I равен бесконечности.

Корангом замкнутого инвариантного пространства IV С Р{Ц) будем

Приведем теперь основное результаты второй главы.

Теорема 2.4.1. Пусть область £/ с С является т-кратно связной и пересекается с каждой вертикальной прямой по интервалу длины не более т ^ ос. Замкнутое инвариантное относительно оператора ^ пространсп:во Ш С Р(Р) состоит из квазиполиномов тогда и только тогда, к< гда его коранг равен т.

Этот результат решает </Дну из проблем статьи [14], а его двойственная форма обобщает результаты статей [15] и [16] о полноте системы показательных функций.

Теорема 2.4.3. Пусть область и с С. Для того, чтобы любое замкнутое двусторонние инвариантное подпространство пространства Р(и) допускало спектральный синтез необходима и достаточна связн. ь множеств

Для просто инвариантных подпространств эта теорема, вообше говоря, не верна.

В главе третьей находят« я условия, при которых возмущения оператора свертки в пространствах гс. ломорфных функций имеют замкнутый образ,

называть ранг его аннуляторного пространства .

ип{и- 2жт), п е N.

или, по другому, нормально разрешимы.

Пусть фунционал Р € Н*(Сп) имеет определяющим множеством (см. [17], с. 135) выпуклый компакт А С С". Тогда для любойвыпуклой облас-ти£> С С" он будет порождать оператор свертки .А: Я(А+1>) —» Я(2Э),

(ЛШ = (Я,Я* + к)), / 6 Н(А + О).

Обозначим через ^ преобразование Лапласа функционала Р и предположим, что оно всюду имеет вполне регулярный рост (ал. [38], с 127), а его радиальныйрегуляризованныйиндикатор (см. [18],с, 35) совпадаете опорной функцией компакта А, то есть с функцией

' НА(\) = тах11<ф,Л), Л е С". ' 26А

При этих предположении имеет место

Теорема 3.2.1. Пусть оператор В: Я(А+2?) —♦ Н(П) линеен и для любого выпуклого компакта к С О существует выпуклый компакт В лежащий во внутренности компакта А, такой, что

у£>0 3с>0 у/ея(А+г>) ||(ВД*«

где кЕ — е-вздутие компакта к. Тогда .

1) оператор (Д + В) есть эпиморфизм;

2) для любой выпуклой области 0\ С. П операторы А и В допускают продолжение по непрерывности до операторов

А1,В1:Н(А + 01)-+Н(В1)

■и пространство Кег(.Д В) плотно в пространстве Кег(Лх + В{);

3) если выпуклая область П С А+В лежит во множестве А+ П, где П С С" вещественная гиперплоскость, то пространство Кег(Л+ В) плотно в пространстве Н((1).

Следующий результат несколько модифицируем теорему 3.2.1.

- ю -

Теорема 3.2.2. Пусть В С Сп — выпуклая область, А С С" — выпуклый компакт, оператор свертки А: Н{А+П) —» Й(£)) удовлетворяет условиям теоремы 3.2.1, а линейный оператор В: Н(А 4-1?) —» Н[И) обладает свойством: для любой функции / € Н(Сп) функция В/ € Я(СП) и существует выпуклый компакт'В С'А, что для любого выпуклого компакта к С Сп

Уе>0 Зс>0 36 > О V/ 6 Я (С™) ||(В/)||1ь<с||/|и+в«,

и множество Л = { Л £ С" : |А| = 1, На{У) = Нв{\) } конечно.

Тогда для оператора (А 4- В) име%<т место пункты 1), 2) и 3) теоремы 3.2.1.

Следующий параграф посвящен одномерному случаю.

Примем следующие обозначения:

Г={А6С:)М = 1>;

для выпуклых множеств М, А С С пс ложим:

М-А={геС: :+АсМ}; .

для выпуклого множества М С С ч грез Л(М) обозначим множество точек единичной окружности Г, в достаточно малой окрес тности которых опорная функция Ни линейна.

Теорема 3.3.1. Пусть для выпуклого компакта А с С, выпуклых областей С/, Ю С С, V — А — £>, множеств Л\, Л2 С Г и линейных операторов А, В: Н(и) —> Н{И) выполнены условия:

а) Л(Х>) С Л2 С Л(£>) и { А € Г : А) = оо };

е[0,2тг] <1?<1Уо + тг}^ Л2;

в; лГэ Г\А2;

г,) оператор А действует по правилу:

где функция g G H(D) имеет не более гп нулей в области D, преобразование Лапласа íp функционала F € H*(U) имеет сопряженной диаграммой компакт А и вполне регулярный рост на множестве Л\;

д) для любого выпуклого компакта к С D существует выпуклый компакт В С U такой, что

Ve > О Зс > О Э<5>0 V/e H(U) ||(S/)||fcS < c\\f\\B*, VA e M HB(\) < HA{A) + Hk{A).

Тогда:

1) оператор (А + В) имеет замкнутый образ коразмерности не выше т;

2) если для выпуклой области U' С U множество D' = U' — А не пусто и содержит все нули функции g, то операторы А и В допускают продолжение по непрерывности до операторов А\ В' : H(U') —> H(D'), и пространствоЦсг(А + В) плотно в пространстве Кег(Д' 4В');

3) если m = Ou для выпуклой области П С U

V¿ € <Е ЗА € Ai Re(2A) + НА{А) > ЯС(А), то пространство Кег(Д + В) плотно в пространстве H{íl).

Этот результат обобщает теорему 6.13 из [9] в случае р = 1, которая в эквивалентной формулировке будет звучать так:

Пусть для выпуклого компакта А с С, выпуклой области D с С и линейных операторов А, В: If{U) Я(О), выполнены условия:

а) оператор А действует по правилу:

(Af)(z) = zm(FhJ(z + h))) f € H(U),

преобразование Лапласа ip функционала F £ H*(U) имеет сопряженной диаграммой компакт А и вполне регулярный рост всюду;

б) для любого выпуклого компакта к С. D существует выпуклый ком-

пакт В С Int А такой, что

Ve > О Зс > 0 36 > О V/ £ H(U) \\Bf\\kS ^ сЦ/Цвс+fc. Тогда оператор (Л В) имеет замкнутый образ коразмерности не выше

т.

Для иллюстрации точности условт: теоремы 3.3.1 приведем следующий результат.

Теорема 3.3.2. Пусть [У и D выпуклые ограниченные области комплексной плоскости, А с С — выпуклый непустой компакт без угловых точек, Л — подмножество единичной окружности, А — линейный оператор из H(U) в H(D) вида

(Af){z) = g{z)(Fk, f{z + h)), / 6 H(U),

где функция g £ H(D) имеет конечное число нулей в области D, преобразование Лапласа tp функционалаF £ H*(U) имеет сопряженной диаграммой компакт А.

Эквивалентны два условия:

1) Функция (р имеет вполне регулярный рост на множестве

r\A(D)

и выполнены соотношения D = U — А, Аэ Г \ A{D).

2) Образ оператора («4 + В) замкнут в пространстве H(D) всякий раз, когда линейный оператор В: H(U) —> H(D) обладает свойством: для любого выпуклого компакта к С D существует выпуклый компакт В С С такой, что

B+-DCU, ЯВ(А) < НА(Х), А £ А,

и имеет место соотношение

Ve > 0 3с>0 35 > 0 V/ € H(U)

IM*

Далее рассматриваются возмущения оператора свертки для невыпуклых областей.

Теорема 3.3.3. Пусть область U С С i-выпукла, множество D = Un(U-i) свято и непусто, оператор А: H(U) —» H(D) имеет вид

(,Af){z) = g[z)(FHtf{z+h)), /€Я(17),

где функция g € H(D) имеет не более т нулей в области D, преобразование Лапласа <р функционала F Е Я*(С) имеет сопряженной диаграммой отрезок [0, г] и вполне регулярный рост всюду, причем для любого е > 0 у функции <р конечное число нулей в углах

| arg(7r/2 - А)| < я /2 - е, | arg(;r/2 + А)| < тг/2 - е,

линейный оператор В: H{U) —+ H(D) обладает свойством: для любо-,го компакта к С D существует отрезок В внутри интервала (0,г), для которого выполнено

Ve> 0 Зс>0 35 > О У/ЕЯ(С7) ||fl/||fc, < c||/||B«+fc.

Тогда:

1) оператор {Л + В) имеет замкнутый образ коразмерности не выше т;

2) если область U' С U является i-выпуклой, множество D' = . U'n(U' — г) связно и не пусто, и все нули функции g лежат в области D', то операторы А и В допускают продолжение по непрерывности до операторов ЛВ': Я(|7') H(D'), и пространство Кег(Д + В) плотно в пространстве Ker(.A' -f В');

3) если i-выпуклая область G С U пересекается с любой вертикальной прямой по интервалу длиной не больше единицы и для произвольной точки а из проекции области G на вещественную ось ни один из лучей множества { г Е С Rez =. а } \ G «е содержит нулей функции д, то пространство Ker(>l-fß) плотно в пространстве H(G).

В четвертой главе рассмотрены разностные операторы, разности кото-

рых лежат на одной прямой.

В параграфе 4.1 приводятся условия на коэффициенты разностного оператора с переменными разностями, обеспечивающие замкнутость образа.

Пусть г-выпуклая область U С <С и числа 0 = .so < Л1 < • • • < -V < со тажовы, что множество

г

j=o

непусто и связно.

Для заданных функцийд0, дi,...,gr £ H(D), до ф 0 ф дг, рассмотрим разностный оператор из пространства H(U) в H(D), действующий по формуле:

V

(.Af)(z) = 52gj(z)f(z+iSj), f е H(U).

i=o

Мы будем предполагать, что функции до, ■ ■ ■, дг не имеют обших нулей.

Такие операторы в случае линейных коэффициентов изучались в работах [20] и [21], гам же приведена обширная библиография для общего случая.

В следующем результате находятся необходимые условия замкнутости р образа разностного оператора.

Теорема 4.1.1. Для замкнутости образа оператора А необходимы следующие условия:

а) любая точка множеств

dDC\ (U — ¿6-i) П ([/ — isr), ¿Ш HU Г)(и — ¿sr-i)

обладает окрестностью с конечным числом нулей соответственно функций g0(z) и gr{z);

■б) любая точка множества 3JD П (U — isj) П (U — tsr_i) обладает окрестностью с конечным числом общих нулей функций go(z) и 3r(z).

Для множества М С С обозначим через М~ и М+ соответственно ин-' фимум и супремум множества { Яе г : г € М }.

ТЕОРЕМА 4.1.2. Допустим, ■что для произвольного числа

найдутся числа уо £ М. и в > 0 со свойствами:

а) лучи { с + iy : у ^ уо }, { с + гу 1зГ : у ^ уо} не пересекаются с областью II;

б) множества

{ х + гу : \х - с\ < е, у ^ уо } ПД { х + ¿1/ : |х - с\ < с,' У > Уо } П О не содержат нулей соответственно функций до(2) и дг(г). Пусть, далее, для любого компакта к О. И множества

ОГ\ и(к-Ыу), Опи(к + {у)

у<0 у^О

содержат конечное чucлq нулей соответственно функций до и дг. Тогда образ оператора, А замкнут.

Для множества М С С введем следующие функции:

а(а;, М) = тГ{у £ Д. : х + гу £ М }, /3(х, М) = вир{ у £ К : х -(- гу £ М }.

В следующем результате описаны области, для которых имеется Крите- • рий замкнутости образа разностного оператора в терминах нулей его крайних коэффициентов.

ТЕОРЕМА 4.1.3. Пусть для любой точки х0 6 [2)~,£>+] Г) (и~,и+)

имеют место соотношения

lim а(аг, V) > а(хо, U) - si,

lim ß{x,U)<ß(x0,U)+sr-sr-1. x->x0,c6 (£>-,d+)

Тогда замкнутость образа оператора Л эквивалентна выполнению условий а) и 5) теоремы, 4.1.1.

Условия этой теоремы нглъзя ослабить, как показывает

Утверждение 4.1.3. Зафиксируем числа а,Ь, с £ Е, а, Ь > 0, а + 6 < с, и предположим, что для любого числа г € N, г ^ 3, произвольный разностный оператор А, удовлетворяющий условиям а) и 6) теоремы 4.1.1 и соотношениям

si ^ а, sr — s,—1 ^ b, sr = с,

имеет замкнутый образ ß пространстве H(D).

Тогда для области U будут выполнены неравенства

lim. а(х,С/) > а(хо,(У) — а,

х-*х0,х:€(!>-,D+)

lim ? ß(x,U) <ß{x0,U) + b.

Следующий результат показывает, что у разностных операторов достаточно большое ядро.

УТВЕРЖДЕНИЕ 4.1.4. Пусть образ оператора А замкнут, область U\ С U, причем множество Di = СД П (Ui — isr) связно и для любых точек xi iy%, х2 + iy2 € D таких, что

Pi,x2 € (l/f.t/^), yi < a(xi,Ui), y2+sr>ß{x2,Ul), Зо(®1 + iy i) = 0 = (jr{x2 + iy2),

выполнены условия:

1) Vi ^ ß&i, C/i), 2/2 < cn(x2,Ui);

2) na множествах -{ xj -f iy € D ; y ^ 1/1 }, { гг + € D : y < У2 } соответственно функции gT(z) и go(z) не обращаются в нуль. Тогда:

а) если D\ — 0, то пространство КегА плотно в пространстве

Я(С/1);

б) если Di ф 0, то пространство Кег А плотно в пространстве КегЛь где оператор А\ \ H(Ui) —* H{D\) определен по той же формуле, что и оператор А.

Приведем теперь услови я, при которых разностный оператор будет эли-морфным.

УТВЕРЖДЕНИЕ 4.1.5. Пусть образ оператора А замкнут и для любых точек 2i, Z2 £ D таких, что

Rez! =Кег2, rjQ(zi) = 0 = gr(z2),

имеют место неравенства:

Re(г2- zir < sj+a -Sj, j = 0,.. .,r- 1.

Тогда образ оператора,А совпадает со всем пространством H(D).

Наконец, в параграфе 4.2 изучаются разностные операторы с постоянными разностями.

Пусть область U С С и число г £ N таковы, что множество

г

JD=f)(U-ij) ¿=о

непусто.

Определим разностный оператора, действующий из пространства H(U) в H(D) по формуле:

г

(40(0 = £9j(z)f(z + ij), f 6 H(U),

i=o

где 9j £ H(D), j = 0,... ,r, до ф 0 ф дг.

ТЕОРЕМА 4.2.1. Пусть область и г-выпукла и г-кратно связна. Образ оператора Л замщут тогда и'толъко тогда, когда в ядре этого оператора найдутся функции /1,..., /Г со свойством:

в области £>.

Автор выражает глубокую благодарность член.-корр. РАН, профессору В. В. Напалкову за полезные обсуждения и постоянное внимание к ра-

1. Schwartz L. Theorie générale des fonctions moyenne-priodique // Ann. Math. 1947. У. 48, №4. P. 857-929.

2. НарасймханР. Аналр на действительных'и комплексных многообразиях. М.: Мир, 1971.

3. Чирка Е. М. Приближение многочленами на звездных подмножествах С" // Матем. заметки. 1973. Т. 14, №1. С. 55-60.

4. Красичков-Терновский И. Ф. Однородное уравнение типа свертки на выпуклых областях // ДАН СССР. 1971. Т. 197, №1. С. 29-31.

5. Красичков-Терновский И. Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. I. Спектральный синтез на выпуклых областях // Матем. сб. 1972. Т. 87, №4. С. 459-489.

6. Красичков-Терновский И. Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. II. Спектральный синтез на выпуклых областях // Матем. сб. 1972. Т. 88, №1. С. 3-30.

7. Красичков-Терновский И. Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. III. О распространении спектрального синтеза // Матем. сб. 1972. Т. 88, №3. С. 331-352.

8. Красичков-Терновский И. Ф. Спектральный синтез на системах выпуклых областей // Матем. сб. 1980. Т. 111, №1. С. 3-41. .

боте.

ЛИТЕРАТУРА

9. Красичков-Терновский И. Ф. Спектральный синтез на системах неограниченных выпуклых областей // Матем. сб. 1980. Т. 111, №3. С. 384401.

10. Красичков-Терновский И. Ф. Спектральный синтез на системах выпуклых областей. Распространение синтеза//Матем. сб. 1980. Т. 112, №1. С. 94-114.

И. Красичков-Терновский И. Ф. Spectral synthesis on a system of unbounded domains starline in a common direction // Analysis Mathematica. 1993. T. 19, F. 3. P. 217-223.

12. Леонтьев А. Ф. Последовательности полиномов из экспонент. М.: Наука, 1980.

13. Коробейник Ю. Ф. Существование аналитического решения дифференциального уравнения бесконечного порядка и характер его области аналитичности. // Матем. сб. 1969. Т. 80, №1. С. 52-76.

14. Brück R. Identitatssatzefur ganze Functionen vom Exponentialtyp // Mitt. Math. Sem. Giessen. 1984. H. 168.

15. Миролюбов А. А. К вопросу о полноте системы показательных функций // Сиб. мат. ж. 1967. Т. 8, №1. С. 11-18.

16. Казьмин Ю. А. Полнота в криволинейной полосе последовательностей показательных функций//Вестник Московск. ун-та. 1969. Т. 6. С. 18-30.

17. Хермандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. М.: Мир, 1968,

18. Лелон П., Груман Л. Целые функция многих комплексных переменных. М.: Мир, 1989.

19. Епифанов О. В. К вопросу об эпиморфности оператора свертки в выпуклых областях // Матем. заметки. 1974. Т. 16, №3. С. 415-422.

20. Миролюбов А. А., Солдатов М. А. Линейные однородные разностные уравнения. М.: Наука, 1981.

21. Миролюбов А. А., Солдатов М. А. Линейные неоднородные разностные уравнения. М.: Наука, 1986.

22. Гельфонд А. О. Линейные дифференциальные уравнения с гостоян-

ными коэффициентами бесконечного порядка и асимптотические периоды целых функций // Труды МИАН. 1951. Т. 38. С. 42-67.

23. Епифанов О. В. Критерий эпиморфности свертки в произвольных областях комплексной плоскости // Матем. заметки. 1982. Т. 31, №5. С. 695-705.

24. Епифанов О. В. Дифференциальные операторы бесконечного порядка в пространствах целых функций экспоненциального типа // Сиб. мат. ж. 1974. Т. 15, №2. С. 318-331.

25. Епифанов О. В. Разрешимость уравнений свертки в выпуклых областях // Матем. заметки. 1974. Т. 15, №5. С. 787-796.

26. Епифанов О. В. Об эпиморфизме свертки в выпуклых областях // ДАН СССР. 1974. Т. 217, №1. С. 18-19.

27. Епифанов О. В. Нормальная разрешимость дифференциального оператора в некоторых классах целых функций//Сиб. мат. ж. 1975. Т. 16, №4. С. 714-721.

28. Епифанов О. В. Дифферекциальтый оператор с полиномиальными коэффициентами в классах целых функций с заданной оценкой индикатора // Матем. сб. 1981. Т. 114, №1. С. 85-109.

29. Епифанов О. В. Операторы сверт,«! и дифференциальные операторы

бесконечного порядка в пространствах аналитических функций // Дис----

док. физ.-матем. наук. Ростов н/Д. 1987.

30. Коробейник Ю. Ф. Некоторые применения теории нормально разрешимых операторов к дифференциальным уравнениям бесконечного порядка // Матем. сб. 1967. Т. 72, №1. С. 3-37.

31. Коробейник Ю. Ф. О решениях некоторых функциональных уравнений в классах функций, аналитических в выпуклых областях // Матем. сб. 1968. Т. 75, №2. С. 225-234.

32. Коробейник Ю. Ф., Епифанов О. В. Нормальная разрешимость одного класса дифференциальных уравнений бесконечного порядка // Матем. сб. 1971. Т. 84, №1. С. 379-405.

34. Коробейник Ю. Ф. Нормальная разрешимость линейных дифференциальных уравнений в комплексной плоскости // Изв. РАН, сер. матем.

1972. Т. 36, №2. С. 450-471.

35. Коробейник Ю.Ф. Замечания к моей работе "Нормальнаяразрешимость линейных дифференциальных уравнений в комплексной плоскости." И Изв. РАН, сер. матем. 1973. Т. 37, N«1. С. 247.

36. Красичков-Терновский И. Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. I. Теорема двойственности // Матем. сб. 1991. Т. 18?, №11. С. 15591587.

37. Красичков-Терновский И. Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. II. Метод модулей// Матем. сб. 1992. Т. 183, №1. С. 3-19.

38. Красичков-Терновский Й. Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. III. Обильные подмодули // Матем. сб. 1992. Т. 183, K'G. С. 56-86.

39. Красичков-Терновский И. Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. IV. Синтез Ц Матем. сб. 1992. Т. 183, №8. С. 56-86.

40. Кривошеев А. С. Критерий разрешимости неоднородных уравнений свертки в выпуклых областях пространства С" // Матем. сб. 1990. Т. 54, №3. С. 480-500.

41. Кривошеев А. С., Налалков В. В. Комплексный анализ и операторы свертки // УМН. 1992. Т. 47, в. 6. С. 3-58.

41. Кривошеев А. С. Об индикаторах целых функций и продолжении решений однородного уравнения свертки // Матем. сб. 1993. Т. 184, №8. С. 81-108.

42. Кривошеев А. С. Системы уравнений свертки в выпуклых областях из С" // Доклады РАН. 1993. Т. 332, №3. С. 289-290.

43. Кривошеев А. С. Представление решений однородного уравнения свертки в выпуклых областях пространства С™ // Изв. РАН. Сер. матем. 1994. Т.58,№1. С. 72-92..

44. Леонтьев А. Ф. Ряды полиномов Дирихле и их обобщения // Тр. Матем. ин-таим. В. А. Стеклова. 1951, Т. 39, С. 1-215.

45. Леонтьев А. Ф. О сходимости последовательности полиномов Дирихле // ДАН СССР. 1956. Т. 108, №1. С. 23-26.

46. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976.

47. Моржаков В. В. Об уравнениях свертки в пространствах функций, голоморфных в выпуклых областях и на выпуклых компактах в С" // Ма-тем. заметки. 1974. Т. 16, №3. С. 431-440.

48. Моржаков В. В. Об эпиморфизме оператора свертки в выпуклых областяхвС" //Матем. анализ и его прилож. Ростов на Дону, 1985. С. 9199.

49. Моржаков В. В. Об эпиморфности оператора свертки в выпуклых областях из С' // Матем. сб. 1987. Т. 132,'№3. С. 352-370.

50. Напалков В. В. О подпространствах аналитических функций, инвариантных относительно сдвига // ИАН СССР. Сер. матем. 1972. Т. 36, №6. С. 1269-1281.

51. Напалков В. В. Уравнения типа свертки в трубчатых областях С2 // ИАН СССР. Сер. матеад. 1974. Т. 38, №2. С. 446-456.

52. Напалков В. В. Об одном классе неоднородных уравнений типа свертки // УМН. 1974. Т. 29, №3. С. 217-218.

53. Напалков В. В. Об одной теореме единственности в теории функций многих комплексных переменных и однородных уравнениях типа свертки

•в трубчатых областях С" // ИАН СССР. Сер. матем. 1976. Т. 40, №1. С. 115-132.

54. Налалков В. В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. М.: Наука, 1982.

55. Напалков В. В. О бааисев пространстве решений уравнения свертки // Матем. заметки. 1988. Т. 43, №1. С. 44-55. " *

56. Паламодов В. П. Линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. М.: Наука, 1967.

' 57. Ткаченко В. А. Уравнения типа свертки в пространствах аналитических функционалов // Известия АН СССР. 1977. Т. 41, №2. С. 378392.

58. Юлмухаметов Р. С. Однородные уравнения свертки // ДАН СССР. 1991. Т. 316, №2. С. 312-315.

59. Baillette A. Approximation de fonctions par des sommes d'exponentielles // C. R. Acad. Sei. Paris. 1959. V. 249. P. 2470-2471.

60. Berenstein C. A., Struppa D. C. Solutions of convolution equations in convex sets // Amer. J. Math. 1987. V. 109. P. 521-543.

61. Boas R. P. Differential equations of infinite order // J. Indian Math. Soc. 1950. V. 4, №1. P. 15-20.

62. Carmichael R. D. Lin гаг differential equations of infinite order / / Bull. Amer. Math. Soc. 1936. V. 42, №4. P. 193-218.

63. Carmichael R. D. On non-homogeneous lineare differential equations of infinite order with constant coefficients // Amer. J. Math. 1936. V. 58. P. 473-486.

64. Ehrenpreis L. Mean periodic functions // Amer. J. Math. 1955. V. 77, №2. P. 293-326.

65. Gruman L. The growth of entire solution of differential equations of finite and infinite order//Aim. Inst. Fourier. 1972. V.22,№1. P. 211-238.

66. Grumaa L. Infinite order differeitial equations in 13 an ach spaces of entire functions// J. of the London Math. Soc. 1974. V. 7, №3. P. 492-500.

67. Hilb E. Lineare Differentialgleichungen unendlich hohez Ordnung mit ganzen rationalen Koeffizienten//Math. Ann. 1920. V.82. P. 1-39; 1921. V. 84. P. 16-30,43-52.

68. Kahane J. P. Sur quelques problcmes d'unicite et de prolongement, relatifs aux fonctions approchables par des sommes d'exponentielles // Ann. Inst. Fourier. 1953-54. V. 5. P. 39-130.

69. Kiselman С. О. Prolongement des solutions d'une equation aux derivees partielles a coefficients constants // Bull. Soc. Math. France. 1969. V. 97. P. 329-354.

70. Malgrange B. Existence et approximation des solutions aux des equations derivees partielles et des equations de convolution// Ann. Inst. Fourier. 1955-56. V. 6. P.271-355.

71. Martineau A. Equations differentieEes d'ordre infine // Bull. Soc. Math. France. 1967. V. 95. P. 109-154.

72. Meril A.,StruppaD. C. Convolutors ofholomorphic fonctions // Lect. Notes in Math. 1987. V. 1276. P. 253-275.

73. Myggli H. Differentialgleichungen unendlich honer Ordnung mit «instanten koeffizienten // Comment. Math. Helvet. 1938. V. 11. P. 151-179.

74. Perron O. Lineare Differentialgleichungen unendlich hohez Ordnung mit ganzen rationalen Koeffizienten //Math. Ann. 1921. V. 84. P. 31-42.

75. PincherleS. Sur laresalutifn l'équation fonctionnelle ^2hv<p(x + av) — f(x) à coefficients constants // Memorie Real academic dell. Sei. dell'Inst. di Bologna. 1888. V. 9, №4. P. 45-71; Acta Math. 1926. V. 48. P. 279-304.

76. Sebbar A. Prolongement des solutions holomorphes de certains operateurs différentiel d'ordre infini a coefficients constants // Lect. Notes in Math. 1980. V. 822. P. 199-220.

77. Sigurdsson R. Convolution équations in domains of Cn // Arkiv Mat. 1991. V. 29. P. 285-305.

78. Schürer F. Eine gemeinsame Methode zur Behanlung gewisser Funk-tionalgleichungsprobleme /A Bericht. Gesell. Wiss. 1918. V. 70. P. 185240.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

79. Мерзляков С. Г. Инвариантные подпространства оператора кратного дифференцирования// Матем. заметки. 1983. Т. 33, в. 5. С. 701-713.

80. Мерзляков С. Г. О подпространствах аналитических функций, инвариантных относительно оператора кратного дифференцирования // Матем. заметки. 1986. Т. 40, в! 5. С. 635-639.

81. МерзляковС.Г. Теорема типа Рунге дляинвариантных пространств // Исследования по комплексному анализу / БФАН СССР. Уфа. 1987. С. 121-128.

82. Merzlyakov S. G. Spectral syntethis for Euler type operators // Anal-y'sisMathematica. 1989. T. 19, F. 1. P. 3-16.

83. Мерзляков С. Г. О целых функциях, производные которых равны нулю в р точках // Мат^мГ заметки. 1990. Т. 47, в. 4. С. 69-76.'

84. Мерзляков С. Г. Инвариантные подпространства оператора единичного сдвига // Изв. РАН. Сер. Матем. 1992. Т. 56, в. 6. С. 1244-1272.

85. Мерзляков С. Г. О замкнутости образа разностного оператора // ДАН. 1993. Т. 328, №2. С. 141-142.

86. Мерзляков С. Г. О возмущении линейных операторов в пространствах голоморфных фушший // Матем. сб. 1995. Т. 186, №3. С. 103-130.

87. МерзляковС.Г. ТеорематипаРунгедляинвариантныхпространств аналитических отображений // Изв. РАН. Сер. Матем. 1995. Т. 59, в. 2. С. 163-178.

88. Мерзляков С. Г. Спектральный синтез для оператора дифференцирования на системах криво динейных полос //Матем. сб. 1995. Т. 186, №5. С. 85-102.

89. Мерзляков С. Г. О замкнутости образа разностного оператора с постоянными разностями // Алгебра и анализ. 1995. Т. 7, в. 5. С. 160-

178.