О некоторых свойствах решений дискретных уравнений свертки тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Ким Виталий Эдуардович

О некоторых свойствах решений дискретных уравнений свертки

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа 2005

Диссертация выполнена в Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

чл.-корр. РАН

Напалков Валентин Васильевич

доктор физ.-мат. наук Секерин Алексей Борисович

кандидат физ.-мат. наук Филиппов Викторий Николаевич

Институт математики и механики Уральского Отделения РАН

Защита состоится « /У » СС^^-^- 2005 г. в /Э часов на заседании диссертационного совета Д002.057.01 в Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН по адресу: 450000 г. Уфа, ул. Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института математики с ВЦ УНЦ РАН.

Автореферат разослан 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук

С.В. Попенов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ Актуальность темы. В диссертации рассматриваются весовые пространства комплекснозначных функций, определенных на множестве Z, и изучаются различные свойства решений однородных уравнений свертки на этих пространствах. Также изучается задача представления функций из указанных пространств рядами экспонент с помощью построения дискретных достаточных множеств.

Для однородных уравнений свертки обычно изучается следующий вопрос: можно ли получить любое решение уравнения с помощью решений простейшего вида? Хорошо известно, что любое решение линейного однородного обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами можно представить в виде конечной линейной комбинации элементарных решений вида

где Ап - корни характеристического полинома. Этот результат, полученный Л. Эйлером [15], принято называть фундаментальным принципом Эйлера. Для линейных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами фундаментальный принцип рассматривался в работах Л. Эренпрайса [13], В. П. Паламодова [11], С. Хансена [16], И. X. Мусина [7], для дискретных разностных уравнений на решетке Ът - в работе В. В. Напалкова [8].

У операторов свертки характеристическая функция может иметь бесконечно много нулей, поэтому решение уравнения свертки, вообще говоря, нельзя представить в виде конечной суммы элементарных решений вида (1). В связи с этим, для однородных уравнений свертки возникают следующие задачи: можно ли произвольное решение уравнения аппроксимировать элементарными решениями? можно ли в пространстве всех решений уравнения построить базис из элементарных решений? Эти задачи для уравнений свертки на различных пространствах аналитических функций изучались многими математиками. Так, например, задача аппроксимации решений для уравнения свертки на пространстве функций аналитических в выпуклой области была решена в одномерном случае И. Ф. Красичковым-Терновским [2], [3], а в многомерном случае Р. С. Юлмухаметовым [12]. Более подробную историю этого вопроса можно найти в обзорной статье [5].

При определенных ограничениях, накладываемых на характеристическую функцию уравнения, в ряде случаев оказалось возможным не только аппроксимировать решения, но и построить базис из элементарных решений в пространстве всех решений уравнения. Для широкого класса однородных уравнений свертки на различных простран-

ствах аналитических функций эта задача была решена в работах Р. Майзе, К. Швердтфегера, Б. А. Тэйлора [17], В. В. Напалкова [9], А. С. Кривошеева [4].

В диссертации изучаются пространства решений дискретных однородных уравнений свертки. Обозначим через А класс всех комплексно-значных функций, определенных на множестве Z. В диссертации рассматривается пространство где

1</)<оо, 0<ст<оо, {<7j}jeN - последовательность вещественных чисел, такая что а} | <т. Для каждого т € Z определим на а] оператор сдвига Sm, который функции ф £ А\р,а\ ставит в соответствие функцию такую что Обозначим через А'\р,<г\ сильно сопряженное к А[р,о] пространство. Пусть . Определим на оператор свертки который функции ставит в соответствие функцию такую что Мф[ф](т) = (ф,Зтф). Теперь на пространстве А[р,<г] можно рассмотреть однородное уравнение свертки:

Мф[ф](т) = 0, т € Z. (*)

Характеристической функцией уравнения (*) называется преобразование Меллина функционала

Функция ф является аналитической в С \ {0}. Если ф имеет простые нули то функции являются решениями уравнения

(*). Эти решения называются элементарными. В диссертации изучен вопрос о построении базиса из элементарных решений в пространстве всех решений этого уравнения. В диссертации рассматривается также пространство где

Уравнения свертки на этом пространстве изучались во многих работах (см., например, монографию А. Ф. Леонтьева [6]). Известно, что уравнеие свертки на этом пространстве можно записать в виде линейного дифференциального уравнения бесконечного порядка с постоянными коэффициентами. В диссертации изучается вопрос о том, при

каких условиях пространство решений уравнения (*) будет изоморфно пространству решений некоторого уравнения свертки на пространстве

Е[Р, 4

Еще одна задача, рассматриваемая в диссертации, связана с понятием достаточного множества, которое было введено Л. Эренпрайсом [14], [13]. Достаточные множества и их применения изучались в работах многих авторов (см., например, [19], [18], [10], [1]). В диссертации рассмотрена задача построения дискретного достаточного множества для пространства

Цель работы. Изучить основные свойства решений однородных уравнений свертки на весовых пространствах комплекснозначных функций, определенных на множестве целых чисел. Решить задачу построения минимальных дискретных достаточных множеств для указанных пространств.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Получены следующие результаты:

Для однородного уравнения свертки на пространстве найдены

достаточные условия на распределение нулей харктеристической функции, при которых в пространстве решений уравнения существует базис из элементарных решений.

Ф Найдены условия, при которых можно установить изоморфизм между пространствами решений уравнения свертки на пространстве и

уравнения свертки на пространстве . Получена интерполяцион-

ная формула, с помощью которой решена задача о восстановлении по значениям в целых точках целой функции, являющейся решением уравнения свертки.

Построено минимальное дискретное достаточное множество для пространства . Получено разложение функций из пространства в ряды экспонент.

Методы исследования. Использованы методы теории уравнений свертки, теории целых функций, функционального анализа, теории субгармонических функций.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретичесий характер. Результаты могут быть использованы в теории уравнений свертки, теории целых функций. На основании результатов диссертации могут быть разработаны новые способы интерполяции целых функций, новые способы исследования дискретных уравнений свертки.

Апробация диссертации. Основные результаты диссертации докладывались автором на научном семинаре отдела теории функций Института математики с ВЦ УНЦ РАН, на научном семинаре отдела

теории приближения функций и отдела аппроксимации и приложений Института математики и механики УрО РАН (г. Екатеринбург), на международной конференции "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (Уфа, 2000), на региональной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике (Уфа, 2001), на международной молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения - 2001" (Казань, 2001), на XXVI конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова (Москва, 2004).

Публикации. По теме диссертации опубликованы семь работ. Список публикаций в конце автореферата. Работы 1-4 выполнены в соавторстве с научным руководителем В. В. Напалковым. В этих работах В. В. Напалкову принадлежит общая постановка задач, а решение этих задач и доказательство всех результатов получено автором.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав. Объем 85 страниц. Библиография 52 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Краткое содержание главы 1

В главе 1 определяется пространство А[р, а], описывается сильно сопряженное к А[р, а] пространство в терминах преобразований Меллина и Фурье-Лапласа.

п. 1.1 Обозначим через А класс всех комплекснозначных функций, определенных на Z. Пусть даны числа р, и £ R, такие что 1 < р < сю, О < а < оо. Пусть {<Tj}jeN - последовательность вещественных чисел, такая что а} \<г. Для каждого j £ N определим банахово пространство

Введем пространство А\р,а\ — Аг и снабдим его топологией проективного предела пространств А3. Обозначим через А'[р, сг] сильно сопряженное к А[р,а] пространство. Тогда A'[p,cr] — UjeN^j> где " пространства, сильно сопряженные к А3. Лемма 1. Пространства А'}, j £ N, имеют вид

п. 1.2 Рассмотрим в Я(С) подклассы: Е[р, а] - класс целых функций порядка < р или порядка р и типа < сг; Е\р, сг) - класс целых функций порядка < р или порядка р и типа < а. Будем рассматривать Е[р, а] как локально-выпуклое пространство с топологией проективного предела банаховых пространств

Положим

Положим

!■ если<г>0 со, если а = 0.

Тогда сг* | а*. Рассмотрим пространство Е[р*,а*), наделенное топологией индуктивного предела нормированных пространств Е(а*). Обозначим через сильно сопряженное к пространство. Преобразованием Фурье-Лапласа функционала F € Е'[р, сг] называется функция

Преобразование Фурье-Лапласа устанавливает топологический изоморфизм между пространством Е'[р,а] и пространством Е[р*,а*). Функционал F определяет на пространстве Е[р,а] однородное уравнение свертки

п. 1.3 В этом разделе доказываются некоторые вспомогательные неравенства

п. 1.4 Рассмотрим в -ff(C) подкласс

Для каждого j € N рассмотрим банахово пространство

Определим пространство Р[р", а") = Ujli и снабдим его топологией индуктивного предела банаховых пространств Р}. Введем отображение L, которое каждому функционалу ф 6 А'[р, а] ставит в соответствие его преобразование Фурье-Лапласа

Теорема 1. Отображение L устанавливат линейный топологический изомоморфизм между пространствами^] и Р[р* ,<т*) Определим банаховы пространства

Введем пространство Н\р*,а*) = UjgN^J и снабдим его топологией индуктивного предела пространств Hj. Пусть ф £ А'[р, а]. Рассмотрим преобразование Меллина функционала ф:

Теорема 2. Отображение ф,-* ф устанавливат линейный топологический изомоморфизм между пространствами А'[р,а] и Н[р*,а') Краткое содержание главы 2

В главе 2 изучается однородное уравнение свертки на пространстве А\р, а], решается задача построения базиса из элементарных решений в пространстве решений этого уравнения.

п. 2.1 Пусть т € Ъ. Определим на пространстве А[р,а] оператор сдвига Sm, который каждой функции ф € А\р, а] ставит в соответствие функцию SmY> € А, такую что 8тф(п) = ф(п + т) Лемма 3. Оператор Sm действует линейно и непрерывно из А[р,а] в А[р,а\

Пусть ф € А'[р, er]. Определим на пространстве А\р, <г] оператор свертки Мф, который каждой функции ф € А\р,а] ставит в соответствие функцию , такую что

Лемма 4. Оператор Мф действует линейно и непрерывно из пространства А[р,<т] в пространство А\р,а\, где число а > а зависит от ф.

п. 2.2 Пусть щ € А'\р,о]. Рассмотрим на пространстве А[р,а] однородное уравнение свертки

М^{ф]{т) = 0.

Обозначим через Жу пространство решений уравнения (**). Функция ф 6 Р[р*,а*) называется характеристической функцией уравнения (**). Будем предполагать, что ф имеет только простые нули. Пусть Л = {А^Нек, |А*| У оо, - множество нулей ф(Х), содержащихся в полосе О < ИеЛ < 2ж. Рассмотрим функцию ф £ Н\р*,а*). Эту функцию также можно рассматривать как характеристическую для уравнения (**). Обозначим нулевое множество функции ф через Л. Тогда Л состоит из точек (к = ехр(г'А/ь), А; £ N. Функции Хк(п) = ехр(гпА^) = к € М, являются решениями уравнения (**). Эти решения будем называть элементарными. Разобьем Л на две подпоследовательности:

{А^}*ек=Лр{АеС:1шА>0}, 1тА^/оо;

{А'ьЪек = Лр|{А € С : 1т А < 0}, 1т А£ \ -оо.

Тогда множество Л также разбивается на две подпоследовательности: и где & = ехрЮ, = ехр^').

п. 2.3 Пу

е — тт / <гч\ т-»

Mf(r) тах|/(г)|, Т/ := lim

■1пМ/(г) ■ (In г)"* '

Пусть - последовательность точек в Обо-

значим через число точек из множества в круге и

рассмотрим функцию

Рассмотрим бесконечные произведения

к к ™

Бесконечные произведения и /г (О являются целыми функциями. Их нулевыми множествами являются соответственно

где С 6 С, i е Z - некоторые константы. Лемма7.Выполняютсянеравенства тд < а*, туг < а*. Теорема 3. Пусть g £ Н\р*,а*), {г*}*^ - нулевое множество д. Тогда имеет место представление

С 6 С, 4 € 2 - некоторые константы. При этом т91 < а", т92 < ст*.

п. 2.4 В этом разделе доказывается теорема деления для пространства Н[р*,(т*).

п. 2.5 В этом разделе определяется операция свертки функционалов из пространства

п. 2.6 В этом разделе доказывается, что любое решение дискретного уравнения свертки (**) можно аппроксимировать элементарными решениями х*(п) = ешА' — Теорема 5. = зрап{а;;ь, к €

п. 2.7 В этом разделе выясняется, при каких условиях на распределение нутей функции <р (или функции <р) элементарные решения Хк{п) = ет\к — ££д ^ образуют регулярный базис в пространстве И^,. Обозначим

= СЫ1/М0,

где

мо= п (1-^4 й(«= п

М<1

Ы>1

Выполняются равенства: Т\ = тд < а*, Тг = ту2 < а*.

Теорема 6. Если множество Л удовлетворяетусловиям

то функции Xk, к € N, образуют регулярный базис в пространстве

Wv.

Теорема 7. Если множество Л удовлетворяетусловиям

то функции Xk, k & N, образуютрегулярный базис в W\р.

п. 2.8 В этом разделе найдены формулы для коэффициентов разложения решения уравнения (**) по базису из элементарных решений. Краткое содержание главы 3

В главе 3 доказывается, что при выполнении условий теоремы уравнению (**) можно сопоставить некоторое уравнение свертки на пространстве , такое что между пространствами решений этих двух уравнений можно установить топологический изоморфизм.

п. 3.1 Рассмотрим целую функцию Ь(Л) - каноническое произведение с нулевым множеством Л. Найдется функционал В 6 Е'[р, а], такой что В(Х) = Ь(Л). Функционал В определяет на пространстве Е[р, сг] однородное уравнение свертки

Уравнение (***) назовем ассоциированным с уравнением (**). Пространство решений уравнения (***) обозначим через Wb-Функции exp(izAjfc), к £ N, являются элементарными решениями уравнения (***).

п. 3.2 Введем отображение Г : Е[р,сг] —» А[р,а\, которое каждой функции ставит в соответствие функцию

А[р, 4

Теорема 9.Если выполняются условия теоремы 7, то отображение Т осуществляет линейный топологический изоморфизм между пространствами Wb и Wif

п. 3.3 Решается следующая задача: требуется восстановить целую функцию, являющуюся решением уравнения свертки (***), если известны только ее значения в целых точках.

Теорема Ю.Пусть выполняются условия теоремы 7. Тогда можно восстановить любую фун^циЮв по ее значениям на множестве Ъ поформуле

k=i

n€Z

Краткое содержание главы 4

В главе 4 решается задача построения дискретного достаточного множества для пространства А[р, а]. Как следствие получен результат о разложении функций из пространства А\р, ст] в ряды экспонент.

п. 4.1 В пространстве Я[р*,<х*) была введена топология индуктивного предела нормированных пространств

Я, = {/еЯ0:||/||я,= sup

»erWi

\т

гес\{0} ехр(сг*|1п \z\\p')

< 00

Обозначим эту топологию через т. Топологию на пространстве^^*, <г*) можно ввести и другими способами.

Рассмотрим класс непрерывных положительных функций

К

и» ехРИ1 lnNlp') _ о vд

In {«11—»00 k(z) J

Определим нормированные пространства

Я* = {реЯ0:|М* = sup М

< оо|, к £ К.

Введем на пространстве Н[р*, ст*) топологию проективного предела нормированных пространств Нк. Обозначим эту топологию через /х. Тогда т > ц. Пусть М С С \ {0} - произвольное множество единственности для пространства H[q,cr). Определим нормированные пространства

Введем на пространстве Н[р*,а*) топологию тм индуктивного предела нормированных пространств Н^ и топологию рм проективного предела нормированных пространств .Н^1. Тогда

Определение 1. М называется слабодостаточным множеством для пространства а], если т = тм

Определение 2. М называется достаточным множеством для пространства А[р, а]уесли р = рм-п. 4.2

В этом пункте проводится построение дискретного достаточного множества для пространства А[р,а\.

Теорема 13. Пусть S = {5m}mez\{o} " достаточное множество для пространства А[р,а]. Тогда для каждой функции а € -А[р,а] имеет место интегральное представление

где к € К, и - мера ограниченной вариации с носителем в S; к, v зависят от а.

Теорема 14. Для каждой функции а € А\р,о] существуют коэффициенты рт ЕС, т £Z \ {0}, такие что

гдеехр(tAm) = sm, т € Z\{0}, арядсходитсяабсолютновтопологии пространства А[р, а].

п. 4.4 Здесь результаты предыдущего раздела применяются для интерполяции целых функций из пространства Е[р, а], являющихся решениями некоторого уравнения свертки.

т>тм>рм, Р> Рм-

п. 4.3

а(п) = Pmexp(mAm), n € Z.

m€Z\{0}

Библиография

[1] Епифанов О. В. Вариации слабо достаточных множеств в пространствах аналитических функций // Изв. вузов, матем. 1986. N 7. С. 50-56.

[2] Красичков-Терновский И. Ф. Однородное уравнение типа свертки на выпуклых областях // ДАН. 1971. Т. 197. N 1. С. 29-31.

[3] Красичков-Терновский И. Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. II. Спектральный синтез на выпуклых областях // Мат. сб. 1972. Т. 88. N 1. С. 3-30.

[4] Кривошеев А. С. Базис Шаудера в пространстве решений однородного уравнения свертки // Мат. заметки. 1995. Т. 57. N 1. С. 57-71.

[5] Кривошеев А. С, Напалков В. В. Комплексный анализ и операторы свертки // УМН. 1992. Т. 47. N 6. С. 3-58.

[6] Леонтьев А. Ф. Обобщения рядов экспонент. Москва: Наука, 1981.

[7] Мусин И. X. Описание. ядра дифференциального оператора // ДАН. 2004. Т. 396. N 3. С. 313-316.

[8] Напалков В. В. Фундаментальный принцип Эйлера для дискретных разностных операторов // ДАН. 2003. Т. 390. N 5. С. 599-601.

[9] Напалков В. В. О базисе в пространстве решений уравнений свертки // Мат. заметки. 1988. Т. 43. N 1. С. 44-55.

[10] Напалков В. В. О дискретных слабодостаточных множествах в некоторых пространствах целых функций // Изв. АН СССР, Серия матем. 1981. Т. 45. N 5.

[11] Паламодов В. П. Линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. Москва: Наука, 1967.

[12] Юлмухаметов Р. С. Однородные уравнения свертки // ДАН. 1991. Т. 316. N 2. С. 312-315.

[13] Ehrenpreis L. Fourier analysis in several complex variables. New York: Wiley-Interscfence Publishers, 1970.

[14] Ehrenpreis L. Analytically uniform spaces and some applications // Trans. Amer. Math. Soc. 1961. V. 101. N 1. P. 52-74.

[15] Euler L. De integratione aequationum differentialum altiorum gradum // Miscellanea Berolinensis. 1743. N 7. P. 193-242.

[16] Hansen S. Localizable analytically uniform spaces and the fundamental principle // Trans. Amer. Math. Soc. 1981. V. 264. N 1. P. 235-250.

[17] Meise R., Schwerdtfeger K., Taylor B. A. On kernels of slowly decreasing convolution operators // DOGA Tr. J. Math. 1986. V. 10. N 1. P. 176-197.

[18] Oliver P. Sufficient sets for some spaces of entire functions // London Math. Soc. Third series. 1977. V. 34. P. 155-172.

[19] Taylor B. A. A seminorm topology for some (DF)-spaces of entire functions // Duke Math. J. 1971. V. 38. N 2. P. 379-385.

Публикации автора по теме диссертации

1. Напалков В. В., Ким В. Э. О дискретных достаточных и слабодостаточных множествах в некоторых пространствах функций нулевого порядка // ДАН. 2001. Т. 377. N 5. С. 594-596.

2.Напалков В. В., Ким В. Э. Изоморфизм между пространствами решений уравнений свертки // ДАН. 2004. Т. 394. N 1. С. 12-21.

3. Напалков В. В., Ким В. Э. Дискретные достаточные множества и интегральные представления в некоторых пространствах последовательностей // Методы функционального анализа и теории функций в различных задачах математической физики II. Труды международного научного семинара-совещания. Уфа: БашГУ, ИМВЦ УНЦ РАН, 2002. С. 121-134.

4. Напалков В. В., Ким В. Э. Дискретные достаточные множества в некоторых пространствах функций нулевого порядка // Труды международной конференции "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы". Т 1. Комплексный анализ. Уфа: ИМВЦ УНЦ РАН, 2000. С. 135-139.

5. Ким В. Э. Базис в ядре дискретного оператора свертки // Труды Математического цетра имени Н. И. Лобачевского. Т. 12. Казань, 2001. С. 41-42.

6. Ким В. Э. Интерполяция в пространстве решений уравнения свертки // Сборник трудов региональной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Т 1. Уфа, БашГУ, 2001. С. 121-123.

7. Ким В. Э. Интерполяция в ядре дифференциального оператора // Тезисы докладов XXVI конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова. Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова, 2004. С. 59.

Ким Виталий Эдуардович

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ДИСКРЕТНЫХ УРАВНЕНИЙ СВЕРТКИ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Лицензия на издательскую деятельность ЛРМ 021319 от 05.01.99 г.

Подписано в печать 06.05.2005 г. Бумага офсетная. Формат 60x84/16. Гарнитура Times. Отпечатано на ризографе. Усл. печ. л. 1,15. Уч.-изд. л. 1,27. Тираж 100 экз. Заказ 321.

Редакционно-издательский отдел Башкирского государственного университета 450074, РБ, г.Уфа,ул.Фрунзе, 32.

Отпечатано на множительном участке Башкирского государственного университета 450074, РБ, г.Уфа,ул.Фрунзе, 32.

/ . - »\

: л ». i •. - ("i<! ; ' с ^«.su f

"'"""984

09 ЮН 2005

Список обозначений

Введение

1 Пространства комплекснозначных функций, определенных на множестве целых чисел.

1.1 Пространства А[р, а] и А'[р, а].

1.2 Целые функции, сужения которых на Z, являются функциями из пространства А[р, а].

1.3 Вспомогательные неравенства.

1.4 Преобразования Фурье-Лапласа и Меллина.

2 Однородное уравнение свертки на пространстве А[р, а].

2.1 Операторы сдвига и свертки.

2.2 Уравнение свертки и его элементарные решения.

2.3 Разложение на множители функций из пространства Н[р*, а*).

2.4 Теорема деления.

2.5 Свертка функционалов.

2.6 Аппроксимация решений.

2.7 Базис в пространстве решений.

2.8 Формулы для коэффициентов.

3 Изоморфизм между пространствами решений.

3.1 Ассоциированное уравнение свертки.

3.2 Изоморфизм между W^ и Wb.

3.3 Восстановление решения однородного уравнения свертки по значениям в целых точках.

4 Достаточные множества и ряды экспонент

4.1 Определения и предварительные сведения.

4.2 Построение достаточного множества.

4.3 Интегральные представления и ряды экспонент.

4.4 Применение к интерполяции целых функций из пространства решений уравнения свертки.

В диссертации рассматриваются весовые пространства комплексно-значных функций, определенных на множестве Z, и изучаются различные свойства решений однородных уравнений свертки на этих пространствах. Также изучается задача представления функций из указанных пространств рядами экспонент с помощью построения дискретных достаточных множеств;

Для однородных уравнений свертки обычно изучается следующий вопрос: можно ли получить любое решение уравнения с помощью решений простейшего вида? Хорошо известно, что любое решение линейного однородного обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами можно представить в виде конечной линейной комбинации элементарных решений вида zkexp(Xnz), (1) где Хп - корни характеристического полинома. Этот результат, полученный Л. Эйлером [47], принято называть фундаментальным принципом Эйлера. Для линейных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами фундаментальный принцип рассматривался в работах JI. Эренпрайса [45], В. П. Паламодова [34], С.

Хансена [48], И. X. Мусина [22], для дискретных разностных уравнений на решетке Ът - в работе В. В. Напалкова [24].

У операторов свертки характеристическая функция может иметь бесконечно много нулей; поэтому решение уравнения свертки, вообще говоря, нельзя представить в виде конечной суммы элементарных решений вида (1). В связи с этим, для однородных уравнений свертки возникают следующие задачи: можно ли произвольное решение уравнения аппроксимировать элементарными решениями? можно ли в пространстве всех решений уравнения построить базис из элементарных решений? Эти задачи для уравнений свертки на различных пространствах аналитических функций изучались многими математиками. Так, например, задача аппроксимации решений для уравнения свертки на пространстве функций аналитических в выпуклой области была решена в одномерном случае И. Ф. Красичковым-Терновским [14], [15], а в многомерном случае Р. С. Юлмухаметовым [44]. Более подробную историю этого вопроса можно найти в обзорной статье [17].

При определенных ограничениях, накладываемых на характеристическую функцию уравнения, в ряде случаев оказалось возможным не только аппроксимировать решения, но и построить базис из элементарных решений в пространстве всех решений уравнения. Для широкого класса однородных уравнений свертки на различных пространствах аналитических функций эта задача была решена в работах Р. Майзе, К. Швердтфегера, Б. А. Тэйлора [49], В. В. Напалкова [25], А. С. Криво-шеева [16].

В диссертации изучаются пространства решений дискретных однородных уравнений свертки. Обозначим через А класс всех комплексно-значных функций, определенных на множестве Z. Отметим, что функции из класса А можно интерпретировать как последовательности {on}nGz комплексных чисел. Весовые пространства таких последовательностей изучались, например, в работах [32], [41]. Однако для исследований, проводимых в диссертации более удобно понимать элементы класса А как комплекснозначные функции, определенные на множестве Z, как это было сделано* в работе В. В. Напалкова [24]. В диссертации рассматривается пространство А[р, а] = lim;- proj Aj, где

Aj = Ы е А : \\ф\\А = sup < оо),

L J nez exp((jj|n|p) J

1 < p < oo, 0 < a < oo, {<Jj}j£N ~ последовательность вещественных чисел, такая что Oj J. сг. Для каждого т £ Ъ определим на А[р, а] оператор сдвига Sm, который функции ф £ А[р, сг] ставит в соответствие функцию 8тф € А, такую что Зтф(п) = ф(п + т). Обозначим через А'[р, а] сильно сопряженное к А[р,сг] пространство. Пусть ф Е А'[р, сг]. Определим на А[р, сг] оператор свертки Мф, который функции ф £ А[р, а] ставит в соответствие функцию Мф[ф] Е А, такую что Мф[ф](т) = (ф, Зтф). Теперь на пространстве А[р, сг] можно рассмотреть однородное уравнение свертки:

Мф[ф}(т) = 0, т е Ъ. (*)

Характеристической функцией уравнения (*) называется преобразование Меллина.функционал а ф:

Ф№ = (Ф>?)> ^ € С \ {0>.

Функция ф является аналитической в С\ {0}. Если ф имеет простые нули {£к}кеN? то функции Хк(п) = ££ являются решениями уравнения (*). Эти решения называются элементарными. В диссертации изучен вопрос о построении базиса из элементарных решений в пространстве всех решений этого уравнения. В диссертации рассматривается также пространство Е[р,а] = limj projjE(cTj), где

ВЫ = {/ 6 Я(С): ll/IU,,, = SUP JgL < оо}.

Уравнения свертки на этом пространстве изучались во многих работах (см., например, монографию А. Ф. Леонтьева [20]). Известно, что урав-неие свертки на этом пространстве можно записать в виде линейного дифференциального уравнения бесконечного порядка с постоянными коэффициентами. В диссертации изучается вопрос о том, при каких условиях пространство решений уравнения (*) будет изоморфно пространству решений некоторого уравнения свертки на пространстве Е[р, а].

Еще одна задача, рассматриваемая в диссертации, связана с понятием достаточного множества, которое было введено Л. Эренпрайсом [46], [45]. Достаточные множества и их применения изучались в работах многих авторов (см., например, [52], [50], [26], [6]). В диссертации рассмотрена задача построения дискретного достаточного множества для пространства А[р, а].

В работе получены следующие основные результаты:

Ф Для однородного уравнения свертки на пространстве А[р, а] найдены достаточные условия на распределение нулей харктеристической функции, при которых в пространстве решений уравнения существует базис из элементарных решений.

Ф Найдены условия, при которых можно установить изоморфизм между пространствами решений уравнения свертки на пространстве А[р, сг] и уравнения свертки на пространстве Е[р, сг]. ч? Построено дискретное достаточное множество для пространства А[р, сг] Получено разложение функций из пространства А[р, сг] в ряды экспонент. Структура диссертации Краткое содержание главы 1

В главе 1 определяется пространство А[р, сг], описывается сильно сопряженное к А[р, <т] пространство в терминах преобразований Меллина и Фурье-Лапласа. п. 1.1 Обозначим через А класс всех комплекснозначных функций, определенных на Z. Пусть даны числа р, сг 6 1, такие что 1 < р < со, О < а < оо. Пусть - последовательность вещественных чисел, такая что aj | сг. Для каждого j £ N определим банахово пространство

Aj = \ф G A: \\iP\\j = sup -ЩЩгт < оо).

Введем пространство А[р}сг] = HjeN^i и снабдим его топологией проективного предела пространств Aj. Обозначим через А'[р, сг] сильно сопряженное к А[р,сг] пространство. Тогда А'[р, сг] = UjgN^j' гДе ~ пространства, сильно сопряженные к Aj.

Лемма 1. Пространства А'р j £ N, имеют вид

4 = [ф е А : Щ = £ |0(п)| ехр(^|пП < оо}. пе z п. 1.2 Рассмотрим в Н(С) подклассы: Е[р, сг] - класс целых функций порядка < р или порядка р и типа < сг; i£[p, сг) - класс целых функций порядка < р или порядка р и типа < а. Будем рассматривать Е[р, а] как локально-выпуклое пространство с топологией проективного предела банаховых пространств

ЕЫ = {/ € Я(С) : ||/||£Ы = sup^fgL < то}.

Положим

Р* = —^т; ^ = , \ . ц j € N.

Р-Г 3 p*(pC7jy-VJ

Положим зг, если о > О оо, если (j = 0.

Тогда Т сг*. Рассмотрим пространство Е[р*,сг*), наделенное топологией индуктивного предела нормированных пространств Е(а*-). Обозначим через Е'[р, сг] сильно сопряженное к Е[р, сг] пространство. Преобразованием Фурье-Лапласа функционала F G Е'[р, сг] называется функция

F( А) = (F,exp(izA)>.

Преобразование Фурье-Лапласа устанавливает топологический изоморфизм между пространством -Е"[р, сг] и пространством Е[р*, сг*). Функционал F определяет на пространстве Е[ру сг] однородное уравнение свертки

MF[f](z) = {Fiz)J(z + r,)) = 0. а* ) р*(Р°У п. 1.3 В этом разделе доказываются некоторые вспомогательные неравенства п. 1.4 Рассмотрим в Н(С) подкласс

Р(С) = {де Я (С) : д( А) = д( А + 2тг), VA е с}.

Для каждого j 6 N рассмотрим банахово пространство = {geP(C):||g||- = supexpffAn<4

Определим пространство Р[р*,а*) = \JjLiPj и снабдим его топологией индуктивного предела банаховых пространств Pj. Введем отображение L, которое каждому функционалу ф Е А'[р, сг] ставит в соответствие его преобразование Фурье-Лапласа

0(A) = (ф, ехр(тА)) = ф(п) ехр(гпА), А Е С. nez

Теорема 1. 'Отображение L устанавливатп линейный топологический изомоморфизм между пространствами Л'[р, а] и Р[р*,а*). Определим банаховы пространства

Щ = {/ 6 Но : \\f\\Hj = sup - 'ffij <оо).

1 €ec\{0} exp(crt| In ) J

Введем пространство Н[р*,а*) = Ujgn-^j и снабдим его топологией индуктивного предела пространств Hj. Пусть ф е А'[р, а]. Рассмотрим преобразование.Меллина функционала ф:

Теорема 2. Отображение ф —» ф устанавливат линейный топологический изомоморфизм между пространствами А'[р, сг] и Я[р*,сг*).

Краткое содержание главы 2

В главе 2 изучается однородное уравнение свертки на пространстве А[р, сг], решается задача построения базиса из элементарных решений в пространстве решений этого уравнения. п. 2.1 Пусть т G Z. Определим на пространстве А[р, сг] оператор сдвига Sm, который каждой функции ф G А[р, сг] ставит в соответствие функцию 8тф G А, такую что Smip(n) = ф(п + т).

Лемма 3. Оператор Sm действует линейно и непрерывно из А[р, сг] в Л[р,сг].

Пусть ф G А'[р, сг]. Определим на пространстве А[р, сг] оператор свертки Мф, который каждой функции ф G А[р, сг] ставит в соответствие функцию Мф[ф] G Л, такую что AfyM(m) = (</>,

Лемма 4. Оператор Мф действует линейно и непрерывно из пространства А[р, сг] в пространство А[р, о], где число и > сг зависит от ф. п. 2.2 Пусть <р G А'[р, сг]. Рассмотрим на пространстве А[р, а] однородное уравнение свертки

Обозначим через W^ пространство решений уравнения (**). Функция (р € Р[р*,сг*) называется характеристической функцией уравнения (**). Будем предполагать, что (р имеет только простые нули. Пусть А = У оо, - множество нулей <£>(А), содержащихся в полосе О < Re А < 27Г. Рассмотрим функцию ip G Н[р*,сг*). Эту функцию также можно рассматривать как характеристическую для уравнения (**). Обозначим нулевое множество функции ip через А. Тогда А состоит из точек & = exp(zAfc), к £ N. Функции хк(п) = exp(mA^) = к Е N, являются решениями уравнения (**). Эти решения будем называть элементарными. Разобьем Л на две подпоследовательности:

А;Ья, = Лр|{А е с : ImA > 0}, ImA'fc / оо;

KheN = Лр|{А е с : ImA < 0}, ImAj \ -оо.

Тогда множество Л также разбивается на две подпоследовательности: и {fJtbeN, где ^ = ехр(г'А^), = exp(iAJJ). п. 2.3 Пусть / G #(С). Введем обозначения:

Mf(r) := max\f(z)\, т/ := . w jz^r1^7" 7 r-»oo (lnr)P

Пусть V = {^jfceN ~ последовательность точек в С, У оо. Обозначим через пу(г) число точек из множества V в круге \z\ < г и рассмотрим функцию

J i ж

Рассмотрим бесконечные произведения

Л(0 = ПС1-€»«)• Л({) = П(1-4)

А к

Бесконечные произведения /i(£) и /г(^) являются целыми функциями.

Их нулевыми множествами являются соответственно кеп], fi2 = {&', keN). ^к

Лемма 6. Функцию можно представить в виде где С € С, t Е Z - некоторые константы.

Лемма 7. Выполняются неравенства тд < <т*, т/2 < сг*.

Теорема 3. Пусть д G #[р*,сг*), {zk}kez ~ нулевое множество д. Тогда имеет место представление

9<Л) = СеяхШвг^ где

П (i-^), 92(0= ГК1"!)' Ы<1 Ы>1

С £ С, t £ Z - некоторые константы. При этом г91 < сг*, т32 < сг*. п. 2.4 В этом разделе доказывается теорема деления для пространства #[р*,сг*). п. 2.5 В этом разделе определяется операция свертки функционалов из пространства А'[р, сг]. п. 2.6 В этом разделе доказывается, что любое решение дискретного уравнения свертки (**) можно аппроксимировать элементарными решениями Хк(п) = егпХк =

Теорема 5. W^ = span-fa^, к £ N}. п. 2.7 В этом разделе выясняется, при каких условиях на распределение нулей функции ф (или функции <р) элементарные решения Хк{п) = егпХк — & £ N, образуют регулярный базис в пространстве W^. Обозначим ti = lim ., 72 = lim r—>00 (In r)P* ' г—юо (In r)p* Выполняются равенства: т\ = тд < сг*, тч = т/2 < сг*.

Теорема 6. Если множество А удовлетворяет условиям

TwHnl1-!)!^ то функции Xk, к G N, образуют регулярный базис в пространстве W'ч>. Теорема 7. Если множество Л удовлетворяет условиям hWНПО - ехр(а- -|=п. is ^ 1п'П ~exp(iA* ~ <A»01=T2то функции Xk, к G N, образуют регулярный базис в Wч>. п. 2.8 В этом разделе найдены формулы для коэффициентов разложения решения уравнения (**) по базису из элементарных решений. Краткое содержание главы 3

В главе 3 доказывается, что при выполнении условий теоремы уравнению (**) можно сопоставить некоторое уравнение свертки на пространстве Е[р,сг], такое что между пространствами решений этих двух уравнений можно установить топологический изоморфизм. п. 3.1 Рассмотрим целую функцию 6(A) - каноническое произведение с нулевым множеством Л. Найдется функционал В Е Е'[р,а], такой что В(А) = 6(A). Функционал В определяет на пространстве Е[р,а] однородное уравнение свертки

MB[f]{z) = 0. (***)

Уравнение (***) назовем ассоциированным с уравнением (**). Пространство решений уравнения (***) обозначим через Функции exp(izA&), к G N, являются элементарными решениями уравнения (***). п. 3.2 Введем отображение Т : Е[р,а] —» А[р, сг], которое каждой функции / 6 Е[р, сг] ставит в соответствие функцию Т[/] = /|z € <j]. Теорема 9.Если выполняются условия теоремы 7, то отображение Т осуществляет линейный топологический изоморфизм между пространствами Wb и W<p. п. 3.3 Решается следующая задача: требуется восстановить целую функцию, являющуюся решением уравнения свертки (***), если известны только ее значения в целых точках.

Теорема 10.Пусть выполняются условия теоремы 7. Тогда можно восстановить любую функцию f Е Wb по ее значениям на множестве Z по формуле . exp(z'zAfc) оо k=1 К) nez

Краткое содержание главы 4

В главе 4 решается задача построения дискретного достаточного множества для пространства А[р, сг]. Как следствие получен результат о разложении функций из пространства сг] в ряды экспонент. п. 4.1 В пространстве Н[р*, сг*) была введена топология индуктивного предела нормированных пространств

Щ = {/ е Но : ||/||я, = sup -JZ^L<oo}.

J *ec\{0} exP(°j| ln \z\\p ) J

Обозначим эту топологию через т. Топологию на пространстве П[р*, сг*) можно ввести и другими способами.

Рассмотрим класс непрерывных положительных функций

K = {k(z), lim ехрК1'пНП= | I v 1 |1п|г||-оо k(z) i

Определим нормированные пространства

Нк = L е Но : \\<р\\к = sup < оо|, к Е К.

Введем на пространстве Н[р*, сг*) топологию проективного предела нормированных пространств Hk. Обозначим эту топологию через ц. Тогда т > /х. Пусть М С С\{0} - произвольное множество единственности для пространства H[q, сг). Определим нормированные пространства

Hj1 =*{/ € Я0 : ||/||ям = sup 'ffij < оо}, j Е N; tff = ЫЯ0 : = sup Щ < oo}, * € tf.

I 26Л/ K{Z) J

Введем на пространстве #[/>*, сг*) топологию тм индуктивного предела нормированных пространств Н^ и топологию рьм проективного предела нормированных пространств Hj1. Тогда

Т>ТМ> \LM, /X > ЦМ.

Определение 1. М называется слабодостаточным множеством для пространства А[р, сг], если т — тм

Определение 2. М называется достаточным множеством для пространства А[р, сг], если /х = /хм-п. 4.2

В этом пункте проводится построение дискретного достаточного множества для цространства А[р, сг]. п. 4.3

Теорема 13. Пусть S = {sm}mez\{o} ~ достаточное множество для пространства А[р, сг]. Тогда для каждой функции а £ А[р, а] имеет место интегральное представление

Г zn а(п) = / тгт dv, п е Z, Ус\{о} 4Z) где к € К, и - мера ограниченной вариации с носителем в S; к, v зависят от а.

Теорема 14. Для каждой функции a G А[р, сг] существуют коэффициенты рт £ С, тп 6 Z \ {0}, такие что а{п) = pmexp(mAm), n G Z, mez\{o} где ехр(гЛт) = sm, т G Z \ {0}, а ряд сходится абсолютно в топологии пространства А[/9, сг]. п. 4.4 Здесь результаты предыдущего раздела применяются для интерполяции целых функций из пространства Е[р, сг], являющихся решениями некоторого уравнения свертки.

1. Братищев А. В. Один тип оценок снизу целых функций конечного порядка и некоторые приложения // Изв. АН СССР, Сер. мат. 1984. Т. 48. N 3. С. 451-475.

2. Братищев А. В. Об интерполяционной задаче в некоторых классах целых функций // Сиб. мат. ж. 1976. Т. 17. N 1. С. 30-43.

3. Братищев А. В., Коробейник Ю. Ф. О некоторых характеристиках роста субгармонических функций // Мат. сб. 1978. Т. 106. N 1. С. 44-65.

4. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Пространства основных и обобщенных функций. Т. 2. Обобщенные функции. Москва: Физматгиз, 1958.

5. Драгилев М. М., Захарюта В. П., Коробейник Ю. Ф. Двойственная связь между некоторыми вопросами теории базиса и интерполяции // ДАН. 1974. Т. 215. N 3. С. 522-525.

6. Епифанов О. В. Вариации слабо достаточных множеств в пространствах аналитических функций // Изв. вузов, матем. 1986. N 7. С. 50-56.

7. Ким В. Э. Базис в ядре дискретного оператора свертки // Труды Математического цетра имени Н. И. Лобачевского. Т. 12. Казань, 2001. С. 41-42.

8. Ким В. Э. Интерполяция в пространстве решений уравнения свертки // Сборник трудов региональной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Т 1. Уфа, БашГУ, 2001. С. 121-123.

9. Ким В. Э. Интерполяция в ядре дифференциального оператора // Тезисы докладов XXVI конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова. Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова, 2004. С. 59.

10. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. Москва: Наука, 1976.

11. Коробейник Ю. Ф. Операторы сдвига на числовых семействах. Ростов-на-Дону: РГУ, 1983.

12. Коробейник Ю. Ф. Об одной двойственной задаче. I. Общие результаты. Приложения к пространствам Фреше // Мат. сб. 1975. Т. 97. N 2. С. 193-229.

13. Коробейник Ю. Ф. Об одной двойственной задаче. II. Приложение к £./У*-пространствам и другие вопросы // Мат. сб. 1975. Т. 98. N 1. С. 3-26.

14. Красичков-Терновский И. Ф. Однородное уравнение типа свертки на выпуклых областях // ДАН. 1971. Т. 197. N 1. С. 29-31.

15. Красичков-Терновский И. Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. И. Спектральный синтез на выпуклых областях // Мат. сб. 1972. Т. 88. N 1. С. 3-30.

16. Кривошеев А. С. Базис Шаудера в пространстве решений однородного уравнения свертки // Мат. заметки. 1995. Т. 57. N 1. С. 57-71.

17. Кривошеев А. С., Напалков В. В. Комплексный анализ и операторы свертки // УМН. 1992. Т. 47. N 6. С. 3-58.

18. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. Москва: Наука, 1973.

19. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. Москва: Госте-хиздат, 1956.

20. Леонтьев А. Ф. Обобщения рядов экспонент. Москва: Наука, 1981.

21. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Т. 2. Москва: Наука, 1968.

22. Мусин И. X. Описание ядра дифференциального оператора // ДАН. 2004. Т. 396. N 3. С. 313-316.

23. Напалков В. В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. Москва: Наука, 1982.

24. Напалков В. В. Фундаментальный принцип Эйлера для дискретных разностных операторов // ДАН. 2003. Т. 390. N 5. С. 599-601.

25. Напалков В. В. О базисе в пространстве решений уравнений свертки // Мат. заметки. 1988. Т. 43. N 1. С. 44-55.

26. Напалков В. В. О дискретных слабодостаточных множествах в некоторых пространствах целых функций // Изв. АН СССР, Серия матем. 1981. Т. 45. N 5.

27. Напалков В. В. О строгой топологии в некоторых весовых пространствах функций // Мат. заметки. 1986. Т. 39. N 4.

28. Напалков В. В., Ким В. Э. О дискретных достаточных и слабодостаточных множествах в некоторых пространствах функций нулевого порядка // ДАН. 2001. Т. 377. N 5. С. 594-596.

29. Напалков В. В., Ким В. Э. Изоморфизм между пространствами решений уравнений свертки // ДАН. 2004. Т. 394. N 1. С. 12-21.

30. Напалков В. В., Сапронова Г. А. Ряды экспонент в пространстве последовательностей конечного порядка и типа // ДАН. 2000. Т. 372. N 5. С. 586-588.

31. Напалков В. В., Таров В. А. О некоторых свойствах субгармонических и целых функций нулевого порядка // Метрическая теория функций и смежные вопросы анализа. Сборник статей, посвященных П. JI. Ульянову к его 70-летию. Москва: АФЦ, 1999. С. 113-129.

32. Паламодов В. П. Линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. Москва: Наука, 1967.

33. Попенов С. В. О весовом пространстве функций, аналитических в неограниченной выпуклой области в Сш // Мат. заметки. 1986. Т. 40. N 3. С. 374-384.

34. Привалов И. И. Субгармонические функции. Москва, Ленинград: Го-стехиздат, 1937.

35. Робертсон А. П., Робертсон В. Дж. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1967.

36. Ронкин Л. И. Введение в теорию целых функций многих переменных. Москва: Наука, 1971.

37. Себаштьян-и-Сильва. О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях. // Сб. Математика. 1957. Т. 1. N 1. С. 60-77.

38. Ткаченко В. А. Спектральная теория в пространствах аналитических функционалов для операторов, порождаемых умножением на независимую переменную // Мат. сб. 1980. Т. 112. N 3. С. 421-466.

39. Шагапов И. А. Инвариантные подпространства в пространствах числовых последовательностей. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Уфа: Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, 1999.

40. Эдварде Р. Функциональный анализ. Москва: Мир, 1969.

41. Юлмухаметов Р. С. Аппроксимация субгармонических функций // Analysis Mathematica. 1985. Т. 11. N 3.

42. Юлмухаметов Р. С. Однородные уравнения свертки // ДАН. 1991. Т. 316. N 2. С. 312-315.

43. Ehrenpreis L. Fourier analysis in several complex variables. New York: Wiley-Interscience Publishers, 1970.

44. Ehrenpreis L. Analitically uniform spaces and some applications // Trans. Amer. Math. Soc. 1961. V. 101. N 1. P. 52-74.

45. Euler L. De integratione aequationum differentialum altiorum gradum // Miscellanea Berolinensis. 1743. N 7. P. 193-242.

46. Hansen S. Localizable analitically uniform spaces and the fundamental principle // Trans. Amer. Math. Soc. 1981. V. 264. N 1. P. 235-250.

47. Meise R., Schwerdtfeger K., Taylor B. A. On kernels of slowly decreasing convolution operators // DOGA TV. J. Math. 1986. V. 10. N 1. P. 176197.

48. Oliver P. Sufficient sets for some spaces of entire functions // London Math. Soc. Third series. 1977. V. 34. P. 155-172.

49. Schneider D. M. Sufficient sets for some spaces of entire functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1974. V. 197. P. 161-180.

50. Taylor B. A. A seminorm topology for some (DF)-spaces of entire functions // Duke Math. J. 1971. V. 38. N 2. P. 379-385.