Сингулярные интегральные уравнения и уравнения типа свертки с монотонной нелинейностью тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

004603729

На правах рукописи

АСХАБОВ СУЛТАН НАЖМУДИНОВИЧ

СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ ТИПА СВЕРТКИ С МОНОТОННОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1 О ИЮН 2010

Белгород - 2010

004603729

Работа выполнена в Чеченском государственном университете

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

ШАБАТ Алексей Борисович,

доктор физико-математических наук, профессор

КИЛБАС Анатолий Александрович,

доктор физико-математических наук, профессор

ГЛУШАК Александр Васильевич. Ведущая организация: Российский университет дружбы народов.

Защита диссертации состоится 15 июня 2010 г. в 15 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.015.08 при Белгородском государственном университете по адресу. 308007, г. Белгород, ул. Студенческая, 14, корп. 1 БелГУ, ауд. 407.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Белгородского государственного университета.

Автореферат разослан мая 2010 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.015.08

Прядиев В.Л.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Решение нелинейных краевых задач и многих других задач современной математики, физики и биологии приводит к нелинейным сингулярнъш интегральным уравнениям, нелинейным интегральным уравнениям с ядрами типа потенциала, нелинейным интегральным уравнениям типа свертки и их дискретным аналогам. Все эти уравнения объединяет то, что их ядра зависят от разности аргументов. Интерес к нелинейным уравнениям с разностными ядрами вызван не только их многочисленными и разнообразными приложениями, но и тем, что методы и результаты теории линейных уравнений с разностными ядрами, которая достаточно хорошо разработана123, не распространяются на соответствующие им нелинейные уравнения, т.е. имеются принципиальные различия как по методам исследования, так и по характеру получаемых результатов. В случае линейных уравнений основные результаты имеют место сразу для целой серии пространств (Ьр, С, Со, М и др.),2 4 так как локальные свойства линейных операторов фактически полностью определяют их свойства во всем пространстве. В случае нелинейных уравнений картина принципиально меняется и зависит не только от выбора рассматриваемого пространства, но и от характера допускаемой нелинейности4, причем для них, в отличие от линейных уравнений, единственность решений неестественна. Как правило, однородное нелинейное уравнение всегда имеет одно очевидное (тривиальное) решение, а интерес (теоретический и практический) представляют другие решения. Например, в теории воли на поверхности идеальной несжимаемой тяжелой жидкости, разработанной А.И. Некрасовым, решения соответствующего нелинейного интегрального уравнения описывают поверхность движущейся жидкости. При этом тривиальное решение соответствует движению жидкости без волн, а условия существования нетривиальных непрерывных решений являются условиями, при которых могут возникать волны.

Существует большое число работ по нелинейным интегральным уравнениям, в основном относящихся к уравнениям типа Вольтерра, Гаммерштей-на и Урысона. Значительно меньше работ посвящено нелинейным сингулярным интегральным уравнениям и, особенно, нелинейным уравнениям с ядрами типа потенциала, нелинейным интегральным и дискретным уравнениям типа свертки. В этих работах, в зависимости от характера допускаемой нелинейности, исследование основано, как правило, либо на принципе

'Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М: Наука, 1968. - 512 с.

2Преедорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. М.: Мир, 1979. - 496 с.

3Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М.: Наука, 1978. - 296 с.

4Забрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский М.А. и др. Интегральные уравнения. СМБ. М.: Наука, 1968. - 448 с.

Шаудера или принципе сжимающих отображений, либо на теореме существования неявной функции или на некоторых их модификациях. При этом на нелинейность и параметры приходится накладывать жесткие ограничения. Например, при исследовании нелинейных сингулярных интегральных уравнений с помощью принципа сжимающих отображений или принципа Шаудера предполагают, что нелинейность удовлетворяет условию Липшица, а параметр перед ней является достаточно малым по абсолютной величине. В результате линейный случай если и охватывается, то лишь частично (ограничения па параметр зачастую оказываются излишними). Если же такие уравнения исследовать на основе теоремы о неявной функции, то необходимое для ее применения условие о диффереицируемости нелинейности в случае пространств Лебега приводит к вырождению нелинейности, т.е. уравнение становится фактически линейным, а в случае пространств Гельдера приводит к жестким и мало обозримым ограничениям на нелинейность5. В некоторых случаях приходится даже согласовывать рост нелинейности и характер особенности ядра.

Таким образом, естественно возникает проблема установления для нелинейных сингулярных интегральных уравнений, нелинейных интегральных уравнений с ядрами типа потенциала, нелинейных интегральных уравнений типа свертки и их дискретных аналогов нелокальных теорем о существовании, единственности и способах нахождения решений без ограничений на абсолютную величину параметров и область существования решений, охватывающих, в частности, линейный случай. В этой связи представляется также весьма актуальной задача выделения из них таких классов нелинейных уравнений, которые могут быть исследованы единым методом. Решение этой задачи позволяет выявить их общие свойства и отличительные особенности, а также в определенной степени систематизировать и классифицировать результаты в этой области.

Цель работы. Целью диссертационной работы является установление единым методом нелокальных теорем о существовании, единственности и способах нахождения решений для различных классов нелинейных сингулярных интегральных уравнений, нелинейных интегральных уравнений с ядрами типа потенциала, нелинейных интегральных уравнений типа свертки и нелинейных дискретных уравнений типа свертки при достаточно широких и легко обозримых предположениях относительно нелинейности без ограничений на абсолютную величину параметров и область существования решений. В этой связи изучаются важные (в том числе для гармонического анализа) вопросы о положительности, симметричности или кососим-

5Забрейко П.П. Неявные функции и монотонные по Минти операторы в банаховых пространствах. Докл. АН Беларуси. 1995. Т. 39, N 2. С. 17-21.

метричности сингулярных интегральных операторов, операторов с ядрами типа потенциала, операторов дробного интегрирования, интегральных операторов свертки и их дискретных аналогов.

Методика исследования. Ранее нелинейные сингулярные интегральные уравнения, нелинейные интегральные уравнения с ядрами типа потенциала, нелинейные интегральные и дискретные уравнения типа свертки исследовались, как правило, либо на основе топологического принципа Шаудера, либо на основе принципа сжимающих отображений Банаха при наличии малого параметра перед нелинейной частью. В данной работе исследование проводится на основе метода монотонных (по Браудеру-Минти) операторов, метода весовых метрик (аналог метода Белецкого) и некоторых их модификаций. Благодаря тому, что монотонные операторы (подобно монотонным функциям) обладают только им присущими свойствами (обратимость, сюръективность, потенциальность и др.), метод монотонных операторов обладает, по сравнепшо с другими, тем преимуществом, что позволяет, при достаточно легко обозримых ограничениях на нелинейность, доказать существование и единственность решения различных классов уравнений без ограничений на область существования решений и абсолютную величину параметров, что имеет важное значение для приложений. Полученные результаты отличаются от ранее известных как по характеру вводимых ограничений, так и по структуре доказательств. В отличие от традиционных методов, основанных на обращении линейных интегральных операторов, обращаются нелинейные операторы суперпозиции, входящие в эти уравнения. Такой подход позволяет минимизировать ограничения на ядра рассматриваемых уравнений за счет дополнительных ограничений на их нелннейности, что в свою очередь позволяет выявить общие свойства нелинейных сингулярных интегральных уравнений, нелинейных интегральных уравнений с ядрами типа потенциала, нелинейных интегральных и дискретных уравнений типа свертки. Вместе с этим, теории таких уравнений имеют и существенные особенности, связанные прежде всего с тем, что сингулярные операторы являются положительными и кососимметрическнми, операторы типа потенциала являются строго положительными и симметрическими, а операторы типа свертки, вообще говоря, не обладают ни одним из перечисленных свойств.

Известно678, что метод монотонных операторов является одним из наи-

бГаевскпй X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978. - 336 с.

7Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений. М.: Наука, 1972. - 416 с.

'Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. -588 с.

более плодотворных методов нелинейного анализа и нашел широкое применение в различных вопросах математики и ее приложений. Важными и основополагающими в этой области являются исследования Г. Минти, Ф. Браудера, Ж. Jlepe и Ж.-Л. Лионса. Следует отметить также исследования М.И. Вишика, который еще до построения этой теории использовал свойство монотонности сильно эллиптического оператора, М.М. Вайнберга и Р.И. Качуровского, получивших основные результаты этой теории при дополнительном условии потенциальности операторов, и многих других (см.6-8). В настоящее время, теория монотонных операторов разделилась на два параллельных направления: уравнения с коэрцитивными операторами, обладающими свойством (М)6, и уравнения с нечетными (по С.И. Похожаеву) возрастающими операторами9.

Научная новизна.

1. Построены новые классы сингулярных интегральных операторов, действующих из (вещественных и комплексных) весовых пространств Лебега Lp(g), р > 1, не в себя, а в сопряженные с ними пространства Lpi{q1~p') и обладающих свойством положительности. Такого вида операторы имеют важные приложения, например, в теории дифференциальных уравнений (уравнение Пенлеве V) и определителей Фредгольма, теории случайных матриц (модели случайно-матричного типа) и других10 11 12 13.

2. Без ограничений на абсолютную величину параметров доказаны глобальные теоремы существования и единственности для трех различных классов нелинейных сингулярных интегральных уравнений в (вещественных и комплексных) пространствах Lp(g) с общим (пе обязательно степенным) весом д(х) как в случае конечного, так и (впервые) бесконечного контура интегрирования. Условия, накладываемые на нелинейность, являются необходимыми и достаточными для того, чтобы порождаемый ею оператор суперпозиции был непрерывным и монотонным.

3. Впервые доказано, что решения нелинейных сингулярных интегральных уравнений с ядрами Гильберта и Коши могут быть найдены в пространствах 1/2 (Г) (как в вещественных, так и в комплексных) методом последовательных приближений пикаровского типа при любых (по абсолютной величине) значениях параметров. Без дополнительных ограничений

'Лаптев Г.И. Возрастающие монотонные операторы в банаховом пространстве. Матем. за-

метки. 2002. Т. 71, N 2. С. 214-226

l0Mehta M.L. Random matrices. Acad. Press, Boston, MA, 1991. - 562 p.

''TVacy C.A., Widom H. FYedholm determinants, differential equations and matrix models. Comm. Math. Phys. 1994. V. 163, N 1. P. 33-72

"Wolfersdorf L.v. Eininge klassen quadratischer integralgleichungen. Sitz. Sach. Akad. Wiss. Leipzig. Math.-naturwiss. Klasse. 2000. В. 128, H 2. S. 1-34.

13Faour N.S. The Ftedholm index of a class of vector-valued singular integral operators. Indian J. Pure and Appl. Math. 1980. V. 11, N 2. P. 135-146.

получены также оценки скорости сходимости последовательных приближений. Эти результаты охватывают и линейные сингулярные интегральные уравнения (в частности уравнения, возникающие при описании процесса обтекания двух проницаемых профилей потоком несжимаемой жидкости).

4. В случае вещественных и комплексных пространств LP(R') теоремы о существовании, единственности, оценках и способах нахождения решения для всех рассматриваемых классов нелинейных сингулярных интегральных уравнений доказаны различными методами, имеющими самостоятельный интерес. При этом, в отличие от случая отрезка [а, 6], последовательные приближения и оценки скорости их сходимости получены в терминах исходного нелинейного оператора F, а не обратного к нему оператора F-1.

5. Получены новые теоремы о строгой положительности операторов

Ваи = Ь(а;) J :b^U?adt, 0 < а < 1, = J у{\х - i|) u{t)dt,

а \х Ч О

где —оо < а < b < оо, частными случаями которых являются риссовы потенциалы и логарифмические потенциалы. При этом обобщаются некоторые результаты С. Геллерстедта, Ф. Трикоми и A.M. Нахушева14, имеющие важные приложения в теории рядов Фурье и дробном исчислении, и дополняются некоторые результаты К. Андерсена, Э. Сойера15, Д.В. Прохорова и В.Д. Степанова16, касающиеся операторов Римана-Лиувилля.

6. Доказаны глобальные теоремы о существовании, единственности и оценках решений для трех различных классов нелинейных интегральных уравнений, содержащих операторы типа потенциала Ва, Р4' и операторы дробного интегрирования Римана-Лиувилля. При этом ограничения на нелинейность, касающиеся строгой моиотошюсти, снимаются, а оставшиеся имеют тот же вид, что и в случае соответствующих нелинейных сингулярных интегральных уравнений, однако ограничения на р меняются на противоположные.

7. Установлена потенциальность операторов Ва, Pv (т.е. что они являются градиентами некоторых функционалов), на основании чего исследован вопрос об оптимизации приближенных методов решения уравнений, содержащих эти операторы. В результате удалось, в частности, улучшить, по сравнению с нелинейными сингулярными интегральными уравнениями, оценки скорости сходимости последовательных приближений.

14Нахушев A.M. Дробное исчисление и его применение. М.: Фпзыатлит, 2003. - 272 с.

16Andersen K.F., Sawyer Б.Т. Weighted norm inequalities for the Riemann-Liouville and Weyl fractional integral operators ,// Thins. Amer. Math. Soc. 1988. Vol. 308. N2. P. 547-558.

16Прахоров Д.В., Степанов В.Д. Весовые оценки операторов Римана-Лиувилля и приложения // Труды Матем. ин-та им. В.А. Стеклова. 2003. Т. 243. С. 289-312.

8. Впервые без ограничений на параметры доказано, что решения нелинейных интегральных уравнений с ядрами типа потенциала могут быть найдены приближенными методами градиентного типа не только в Ь^а, Ъ) (как в случае нелинейных сингулярных интегральных уравнений), но и в Ьр(а,Ь), и даже в Ьр(о) с общим (не обязательно степенным) весом д{х).

9. Найдены необходимые и достаточные условия, при которых операторы свертки по оси Я1, полуоси [0, оо) и отрезку [а, Ь] являются положительными, строго положительными и потенциальными в ЬР.

10. Впервые методом монотонных операторов без ограничений на параметры доказаны теоремы о существовании, единственности и способах нахождения решений для различных классов нелинейных интегральных уравнений типа свертки. Из этих теорем следует, что по своим свойствам такие уравнения ближе к нелинейным уравнениям с ядрами типа потенциала, нежели к нелинейным сингулярным интегральным уравнениям.

И. Методом весовых метрик в конусах пространства С[0, оо) изучены интегральные уравнения со степенной нелинейностью в случаях вырожденных и невырожденных, монотонных и почти монотонных, разностных, суммарных и общего вида ядер. Впервые рассматриваются такие уравнения с почти монотонными (по С.Н. Бернштейну) ядрами и используются неравенства Чебышева. Получены точные нижние и верхние оценки решений и на их основе без ограничений на область существования решения доказаны теоремы о приближенном решении таких уравнений. Показана необходимость как нижних, так и верхних априорных оценок в определении классов решений для корректности вводимых метрик.

12. Доказана непрерывная зависимость решений уравнений типа свертки со степенной нелинейностью относительно изменений ядер и правой части в терминах одной и той же, в отличие от других работ, метрики.

13. Впервые методом монотонных операторов исследованы конечные системы нелинейных сингулярных интегральных уравнений, нелинейных интегральных уравнений с ядрами типа потенциала и нелинейных интегральных уравнений типа свертки в пространствах вектор-функций Лебега. В случае систем уравнений типа свертки со степенной нелинейностью и почти возрастающими ядрами, рассматриваемых в конусах пространства непрерывных вектор-функций, показано, что решение является неубывающим (а не почти возрастающим) и получены неулучшаемые априорные оценки решения. В отличие от предшествующих наших совместных работ [12] и [16] показано, что рост нелинейности не зависит от числа уравнений.

14. Впервые методом монотонных операторов изучены различные классы нелинейных дискретных уравнений типа свертки как в вещественных, так и в комплексных пространствах С.р. Найдены необходимые и достаточ-

ные условия положительности дискретных операторов типа свертки. Такие условия возникают при решении задач статистической физики.

15. Получены оценки решений нелинейных (интегральных и дискретных) неравенств, отличающиеся от известных ^Шей-Шогц;, РасЬраие и др.), как по виду, так и по методу их доказательства.

Приведены конкретные примеры ядер, нелинейностей и пространств, удовлетворяющих предъявляемым требованиям, и тем самым иллюстрирующие все полученные в диссертации результаты.

Практическая и теоретическая ценность. Работа имеет теоретический характер. В ней единым методом получены новые нелокальные теоремы о существовании, единственности и способах нахождения решений для различных классов нелинейных интегральных и дискретных уравнений, а также найдены условия положительности операторов, содержащихся в этих уравнениях. Методы и результаты работы позволили построить достаточно полную теорию уравнений с монотонными нелинейностями и разностными ядрами. Такие уравнения и операторы возникают как при решении задач из многих разделов самой математики (нелинейные краевые задачи, конформные отображения, теория вероятностей, гармонический анализ, дробное исчисление и др.), так и при решении прикладных задач гидравлики (определение дебитов нефтяных скважин), гидроаэродинамики (определение распределения скоростей фильтрации на поверхности цилиндра при его обтекании потоком жидкости, поля возмущенных скоростей и давлений вокруг крыла самолета, распространения ударных волн в трубах, наполненных газом), теории упругости (определение контактного давления жесткого штампа на упругую полосу, деформации кругового цилиндра двумерным потоком жидкости, упруго-жестко-пластичного кручения цилиндрического стержня), теории сервомеханизмов (следящих систем), биологии, статистической физики и других.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались: на международном Роесийско-Китайском симпозиуме «Комплексный анализ и его приложения» (Белгород, 2009),

на международной конференции «Дифференциальные уравнения и топология», посвященной столетию академика Л.С. Понтрягина (Москва, МГУ, 2008),

на I, II, III и IV международных конференциях «Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложения к современным проблемам естествознания» (Обнинск, 2002, 2004, 2006 и 2008 гг.),

на международной конференции «Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ», посвященной столетию академика С.М. Никольского (Москва, МИ РАН, 2005),

на международных Российско-Узбекском, Российско-Казахском, Российско-Азербайджанском и Российско-Абхазском симпозиумах «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (Нальчик-Эльбрус, 2003, 2004, 2008 и 2009 гг.),

на международной конференции «Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений» (Воронеж, 2003 г.),

на международных конференциях «Современные методы в теории краевых задач. Понтрягинские чтения XII» и «Современные методы в теории краевых задач. Понтрягинские чтения XV» (Воронеж, 2001 и 2004 гг.),

и на семинарах академика РАН С.М. Никольского и члена-корр. РАН Л.Д. Кудрявцева (МИАН, 2009), профессора А.Л. Скубачевского (РУДН, 2009), профессора А.П. Солдатова и профессора А.М. Мейрманова (БелГУ, 2009), профессора А.Б. Шабата (КЧГУ, 2007 и 2009), профессора А.М. Нахушева (НИИ ПМА КБНЦ РАН, 2004 и 2007).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[37]. Из результатов, полученных в совместных работах [8-13, 15, 16, 18, 19, 21-24], на защиту выносятся только полученные лично автором. Работы [4, 8-11, 13, 16, 18-21, 23, 33, 37] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов докторской диссертации.

Структура и объем работы. Диссертация объемом 294 страницы состоит из введения, восьми глав, разбитых на 41 параграф, списка литературы из 235 наименований и набрана с использованием пакета LaTeX.

Содержание работы Введение содержит обоснование актуальности темы, постановку задач и формулировки основных результатов.

В краткой первой главе (§§1-5), во избежание повторов, приводятся все ограничения, накладываемые на нелинейности в последующих главах. Эти условия необходимы и достаточны для того, чтобы порождаемые ими операторы суперпозиции действовали17 непрерывно из соответствующего весового пространства Лебега в сопряженное с ним пространство и были7 монотонными. Приводятся также, используемые в диссертации, результаты из теории монотонных операторов и интегральных операторов вида:

Глава 2 (§§6-11) посвящена нелинейным сингулярным интегральным уравнениям с ядрами Коши и Гильберта, рассматриваемым в весовых ве-

"Appel Л., Zabrejko P.P. Nonlinear superposition operators. Cambridge Univ. Press, 1990. - 311 p.

ществепных пространствах Lp(p). Теория таких уравнений тесно связана с нелинейными краевыми задачами теории аналитических функций. Впервые возможность применения метода монотонных операторов к нелинейным сингулярным интегральным уравнениям была отмечена в 1968 году в работе Х.Аманна18. В ней приведены два примера, в которых указано, что нелинейные уравнения с ядром Гильберта (мы сохраняем обозначения цитируемых работ):

+ ^ / (l + ctg^-^ ■f(y,u(y))dy = 0 , —ж <х<ж, (2.1)

u{x) + ~j^ctg^--f{y,u{y))dy = q, ~1т<х<тг, £ = ±1,(2.2)

имеют единственное решение в гильбертовом пространстве Ь-^—ж, ж].

В 1977 году Г.М.Магомедов19 рассмотрел нелинейные сингулярные интегральные уравнения с ядром Коши вида

u(a;)+— / ■ ■L ' v n ds = gi(x), u{x)+\-F

7г j s — x ~a

в пространствах Лебега Lp(—a, а).

В 1979 году вышла работа А.И.Гусейнова и Х.Ш.Мухтарова20, в которой было доказано, что уравнение вида

и(х) + - [ ds + А • Fix, u(a:)] = f{x) (2.4)

Я" j s — x

имеет решение в пространстве Лебега Lp(p) со степенным весом р(х) = (х- a)a^(b - О < q, ß < I ,

В монографии21, опубликованной в 1980 году, приводится лишь один (из упомянутых) результат, касающийся уравнения (2.4), так как попытка использования формулы Пуанкаре-Бертрана (см.21) для сведения уравнений вида (2.3) к уравнению вида (2.4) не привела к желаемым результатам.

I8Amaim Н. Uber die existenz und iterative berechnung einer losung der Hammerstein'schen gleichung. Aequat. Math. 1968. V. 1. P. 242-266

19Магомедов Г.М. Метод монотонности в теории нелинейных сингулярных интегральных и интегро-дифференцпальных уравнений. Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13, N 6. С. 1106-112.

'"Гусейнов А.И., Мухтаров Х.Ш. Применение метода монотонных операторов к одному классу интегральных уравнений. Докл. АН Азерб. ССР. 1979. Т. 35, N 8. С. 3-6.

21 Гусейнов А.И., Мухтаров Х.Ш. Введение в теорию нелинейных сингулярных интегральных уравнений. М.: Наука, 1980. - 416 с.

xj^-ds • J Я — Г,

= 92(Х) (2.3)

В 1979-1981 годах были опубликованы статьи автора [1]-[5], в которых рассмотрены уравнения более общего вида (2.5), (2.7) и (2.9):

Aiu(*) + ^ / KOr'S)'U(s) ds + Аз • F[x, „(я)] = f(x) (2.5) f S s - a;

в пространстве Lp(p), p > 2, с весом p(x) — {x — a)a(b — .г)", где

-1<о,/3<|-1 при j> > 2 и -1 <<*,/?< О при р = 2 ; (2.6)

ф) + А / ^(«.ФЛ'.Ф)] = /(i) (2.7)

б

7Г / S - Ж

в пространстве ¿Р(/>) с тем же весом, но при условии, что 1 < р < 2 и

|-1<а,/?<р-1 при 1 < р < 2 и 0 < а,/? < 1 прир = 2;(2.8)

u(x)+'A-F

fKM^lds

J Я — X

: /(х) , (2.9)

в пространстве Lp(p), р> 2, при условии (2.6).

Из результатов автора как прямое следствие вытекает, что в книге21 можно брать и отрицательные аир. Более того можно брать р = 2 и условие коэрцитивности на нелинейность при этом является излишним. Поэтому этот результат автора охватывает в рамках пространства ¿2(0, Ь), в отличие от21, и случай линейных сингулярных интегральных уравнений.

Позже, как отметил Л.Д. Кудрявцев22, в нашей совместной с Х.Ш. Мух-таровым работе и в23 независимо было доказано, что и в случае уравнения (2.7) условие коэрцитивности является излишним. В этой работе L.v.Wolfersdorf'a23 (и в ряде других его работ) широко использовались найденные автором условия (2.6) и (2.8). Важность этих условий состоит в том, что, например, если К.(х, s) = fC(s, х) 6 Hs, 0 < д < 1, где Hj - класс Гельдера, и выполнено условие (2.6), то

j^j U(X) dx = 0, Vtt(®) € Lp(ß), P > 2. (2.10)

Обсуждению равенства (2.10) при tC{x,s) = 1, o(x) = 1 и p = 2 посвяще-

иРеферативный журнал. Математика, 1983, N12B629. С. 93.

^Wolfersdorf L.v. Monotonicity metliods for nonlinear Singular integral and iritegro-differential equations. ZAMM. 1983. V. 63, N 6. P. 249-259

иы работы24 25 26 27, причем в27 ргизобраны три задачи гидродинамики в анализе которых существенно используется указанное равенство.

Основные результаты полученные в главе 2 состоят в следующем:

1) построены новые классы сингулярных интегральных операторов, действующие из весовых пространств Лебега не в себя, а в сопряженные с ними пространства и обладающие свойством положительности.

2) без ограничений на абсолютную величину параметра А доказаны глобальные тсоремьг существования и единственности решения в Lp{p) для нелинейных сингулярных интегральных уравнений (2.5), (2.7) и (2.9) как в случае конечного, так и (впервые) бесконечного контуров интегрирования. При дополнительных ограничениях на нелинейность получены оценки норм этих решений. Из этих оценок вытекает, что соответствующие однородные уравнения (/ == 0) имеют в Lp(p) лишь тривиальное решение и = 0.

3) при р = 2 и любых значениях параметров комбинированием метода монотонных операторов и принципа сжимающих отображений показано, что решения уравнений (2.5), (2.7) и (2.9) можно найти методом последовательных приближений пикаровского типа, причем в случае, когда роль сингулярного оператора S играет интегральное преобразование Гильберта G, итерационные формулы и оценки скорости сходимости последовательных приближений получены в терминах исходных операторов G и F.

До сравнительно недавнего времени подобные результаты удавалось получить лишь в случае малых по модулю значений параметра Л.

Аналогичные результаты получены автором и для нелинейных сингулярных интегральных уравнений с ядром Гильберта в Lp(—it, 7г), р > 1. Из них, в частности, вытекает, что результат X. Амаина18 для уравнения (2.2) справедлив при любом е € (—оо, оо), а не только е = ±1.

В главе 3 (§§12-15) рассмотрены нелинейные сингулярные интегральные уравнения на действительной оси R1 в комплексных пространствах Lp(p) с общим (не обязательно степенным) весом ß(x), т.е. q(x) есть любая неотрицательная почти всюду отличная от нуля на R1 измеримая функция. В случае оси R1 возникают дополнительные трудности связанные, по сути дела, с тем, что пространства L^R1) lie являются вложенными друг в друга. В связи с этим представляют интерес следующие две леммы.

24Tuck Е.О. A double integral that should (?) vanish but doesn't. Austral. Math. Soc. Gaz. 1995. V. 22, N 2. P. 58.

25McLean W. A double integral that usually vanishes. Austral. Math. Soc. Gaj. 1995. V. 22, N 3. P. 114-115.

2aLove E.R. Tuck's double integral which should (?) vanish but doesn't. Austral. Math. Soc. Gaz.

1996. V. 23, N 1. P. 9-12.

"Fitt A.D. When Tbck's double integral which should (?) vanish does. Austral. Math. Soc. Gaz.

1997. V. 24, N 1. P. 22-25.

Лемма 12.1. Пусть р >2 и b(x),w(x) 6 Тогда син-

гулярный оператор

= 1 j т-Фнт^'Ф)^

7Г s — x

—оо

действует из Lp(p) в 1у(р!_г,/), непрерывен и положителен, причем (Qu,u) = —2г • Im (wu,S(bu)), Re (Qu,и) = 0, Vu(x)6Lp(p).

Лемма 12.2. Пусть р > 2, вес р(х) = \х\а, —1<а<р—1,и функция w(x) е 1<р/(р_2)(/9_2^р_2^). Тогда сингулярный оператор

(Wu)(x) = l +

я -L s — х

—00

действует из Lp(p) в Zy(p1-P')j ограничен и положителен, причем: {]Wu, и) = 2 г • /m {Su, w и), Re (Wu, и) = 0, Vu(x) е Lp(p).

Обозначим через С множество всех комплексных чисел. Введем в рассмотрение нелинейный оператор суперпозиции (Fu)(x) = F[x,u(x)\, порожденный комплекснозначной функцией F(x, z) : R1 х С —► С, удовлетворяющей условиям Каратеодори и, в зависимости от класса нелинейных уравнений, либо условиям 13.1)-13.3), либо условиям 13.4)-13.6):

13.1) существуют с{х) € Zy(p1_3>') и di > 0 такие,что для почти всех iêR'u любого z е С: \F(x, z) | < с(х) + di ■ р(х) • |г|р_1;

13.2) для почти всехх в R1 и всех zi,z2 € С выполняется неравенство: Re {[F(s, Zl) - F(x, z2)} ■ (zx - z2}} > 0;

13.3) существуют D(x) 6 Lf(R1) и d2 > О такие, что для почти всех х € R1 и всех z € С: Re {F(x, z)-z}>d2- р(х) ■ \zf - D(x)\

13.4) существуют g(x) € Lp(p) и > 0 такие,что для почти всех lëE1« любого z € С: | F(x, z) | < g(x) + d3 • ([p(z)]-1 ■ |г|)1/1р_1);

13.5) для почти всех isR1 ы всех zi, z2 € С выполняется неравенство: Re {[F(®, 21) - F{x, z2)] • [2! - z2}} > 0;

13.6) существуют D(x) 6 L^R1) « <i4 > 0 такие, что для почти всех х 6 R1 и всех z g С: Re {F(x, z)-z}>d4- (Ия)]"1 ■ И)1/{р_1) ■ \z\- D(x).

Заметим, что если выполнены условия 13.1)-13.3), то оператор F действует из Lp(p) в 1/р/(р1_р'), непрерывен, монотонен и коэрцитивен. Если же выполнены условия 13.4)-13.6), то оператор F действует обратно из Lp*(pl~p) в Lp(p), непрерывен, строго монотонен и коэрцитивен.

Следующие три теоремы относятся к различным классам нелинейных сингулярных интегральных уравнений исследование каждого из которых требует своего особого подхода.

Теорема 13.1. Пусть р > 2 и 28 а(я) G ^J2p/(p-2){P2^t2~P>) почти всюду отличная от нуля на R1 функция. Если b(x),w(x) £ £2;>/(р-2)(р2^2_р')> а F(x,z) удовлетворяет условиям 13.1)-13.3), то уравнение

Л, а(х) и(х) + ^7 тФ)+Ь(з)Мх))и(э) ^ + ^ =

•к j s — X

-со

имеет решение ы*(.т) £ Lp(p) при любых f(x) £ р'), Aj £ С и

А2, Аз 6 R1 таких, что Аз • Re Aj > О, A3 ^ 0. Кроме того, если в условии 13.3) D(x) = 0, то ||ы*||р,р < (dâ1 • |Аз|-1 • WflW)1^"^. Решение единственно, если выполнено условие 13.5) или Аз ■ Re\\> 0.

Теорема 13.2. Пусть 1 < р < 2. Если b(x),w(x) £ 12р/(2-р)(р2/Г(2-р'). « F(x,z) удовлетворяет условиям 13.1), 13.3) и 13.5), то уравнение

A J[m.w{s) + b(s).Mx)\-F[sMs)\ds= {х)

ж J s — x

-00

имеет единственное решение и* (х) £ Lp(p) VA £ R1 uV/(x) 6 Lp(p). Если в условиях 13.1) и 13.3) с{х) = D{x) = 0, то ||u*||p,p < di • d^1 • ll/lkp-

Теорема 13.3. Пусть р > 2. Если b(x),w{x) £ L2p/(p-2)(p2^2"pl), а F(x,z) удовлетворяет условиям 13-4)-13.6), moVf(x) £ Lp(p) уравнение

и{х) + A -F

1 у

[Ь(ж) • w(s) + b(s) • • u(s)

ds

№

имеет единственное решение и*(х) € Lp(p) при любом А € R1. Кроме того, если g{х) — D(x) = 0, то ||и* — /ЦруР < • rfj1 • ||/||р,р.

Далее в главе 3 показанр, что при р = 2 решения могут быть найдены методом последовательных приближений при любых, в том числе и комплексных, значениях параметров. Например, справедливы следующие две теоремы (в которых ио(ж) £ /^(R1) - начальное приближение).

Теорема 15.1 Пусть Vzi, £ С и п.в. х £ R1 выполняются условия:

15.1) Re {[*"(*, Zl) - F{x, z*)] ■ [Zl - z2]} > 0; .

15.2) существует M > О такое, что Zi) — F(x, 22)| < M • \zi — z2| ■ Если b(x),w(x) £ Lx(Rx), то при любом f(x) £ L2(R1) и любых Ai £ С, A2, A3 6 R1 таких, что Re Ai > 0, A3 > О уравнение

* / \ , °f [b(x)u>(s) + 6(s) w(a;)] u(s) r . . .

Ai u(x) + — / ——-——ds + A3 F[x, «(ж)] = f(x)

7Г j s — x

—00

28ири р = 2 это условие принимает вид а{х)д 1^2(х) € ¿¿(И1); знак «+» означает, что функция неотрицательна.

имеет, единственное решение и*(х) € /^(R1). Это решение можно найти методом последовательных приближений по формуле:

ип = «n-i - ß • (Ai Un.i + X¿ Qun-i + A3 Fun-i - /), n € N,

где ß <2 (0,2ñeAi/[|Ait + 2|A2|-llb||00-||№¡|00 + A3-AÍ]2) - любое число, причем справедлива следующая оценка погрешности:

а"

I\ип - «Ib < ß • -Л--Л Ai щ + А2 Quo + А3 Fu0 - /||2,

I — а

где а = sjl — 2ßeAj ■ М2/х2, Ма = }Ах¡ + 2 |А2| • ||&||те • NU + А3 • М.

Теорема 15.2. Пусть F(x,z) удовлетворяет условию 15.2) и условию: 15.3) Re {[F(ar, Zi) - F{x, z2)] • [zi - z2}} > m ■ \zx - z2¡2, m > 0. Тогда при любом А 6 R1 и любом f{x) € ^(R-1) уравнение

, . , A J F[s, m(s)] , .

и(х) + - / —-— ds = f(x)

tt J s -x -00

имеет единственное решение и*(х) € I^R.1). При А ф 0 его можно найти методом последовательных приближений по формуле:

и„ = и„_1 - (i • (Fun-i - А-1 • Sun-i + А-1 • S/) , п е N,

с оценкой погрешности: ||tí„ — «"Цг < /i • ^ • ||Fuo — А-1 • Suq — /||г, где G (0,2m/[M + |А|-1]2), a=sj 1 - 2рт + ß2[M + |А|-!]2 . В связи с результатами глав 2 и 3 следует отметить, что к нелинейным интегральным уравнениям с ядрами Гильберта и Коши в случае малых по модулю значений параметров применялись и другие различные методы исследования (в том числе и приближенные методы) такие как принцип сжимающих отображений и принцип Шаудера (А.И. Гусейнов, Б.И. Гехт, В.К. Наталевич, W. Pogorzelski), метод Ныотона-Канторовича (Л.С. Ба-бинчук, В.И. Иваницкий), метод механических квадратур (A.A. Бабаев, В.В. Салаев), метод осреднения функциональных поправок Ю.Д. Соколова (Х.Ш. Мухтаров, Э.И. Эфендиев), квадратурно-итерационный метод (Б.Г. Габдулхаев, И.В. Бойков) и др. (подробнее см.21 29).

Результаты автора, приведенные в главах 2 и 3, особо отмечены в монографии Е. Wegert29.

Глава 4 (§§16-20) посвящена нелинейным интегральным уравнениям с ядрами типа потенциала. Подобные уравнения достаточно хорошо изучены

2aWegert Е. Nonlinear boundary value problems for holomorphic functions and singular integral equations. Berlin: Acad. Verlag, 1992. - 240 p.

лишь в вольтерровском случае30 31. Сформулируем основные результаты данной главы. Пусть Г есть либо вся действительная ось R1, либо полуось [О, оо) или отрезок [а, Ь], и Ь(х) ф 0 почти всюду па Г.

Теорема 17.1. Пусть р > 2 и Цх) 6 Lv.r{p~T), г = 2/[р(1 +а) - 2].

Если нелинейность F(x, t) удовлетворяет условиям.:

17.1) !F(:r,i)| < с(х) +dip(x) \t\p~\ где с(х) е L^p1^), di > 0;

17.2) F(x, t) не убывает по t почти при каждом фиксированном х;

17.3) F(x, t)-t> d2p{x) \t\" - D{x), где D(x) € d2 > 0; m.o уравнение

FM*)Hb(x)Jbj^ß^f(,x) (17.1)

имеет единственное решение и* G Lp(p) при любом f € L^(p1~r/). Кроме

того, если D{x) = 0, то ||и*||ЙР < fa1 ||/||y,ff)1/(p_1).

Аналогичный результат получен и при 1 < р < 2 для а специального вида, из которого вытекает

Следствие 17.1. При любом А > 0 и любом f(x) € Ь4(Г) уравнение

г vls х\

имеет единственное решение и*(х) 6 ¿4/3(Г), причем Ци'Щ/з < ||/||1-

Рассмотрим теперь другие классы нелинейных интегральных уравнений с ядрами типа потенциала. Поскольку произведение монотонных операторов не является, вообще говоря, монотонным оператором, то к ним применить непосредственно теорему Браудера-Минти нельзя.

Теорема 17.3. Пусть 1 < р < 2 и Ь(х) 6 LM(pq), q = 2/[2 - р(1 - а)]. Если F(x,t) удовлетворяет условиям 17.1), 17.3) теоремы 17.1 и строго возрастает по t, то при любом f £ Lp{p) уравнение

Ф) + 6(*) { ds = f(x) (17.3)

г F sl

имеет единственное решение и* 6 Lp{p), причем, если с(х) = D(x) = 0, то ||и*||р,р < dxdl1||/||р,р.

В следующей теореме р > 2 и а имеет специальный вид.

'"Gorenflo R., Vesella S. Abel integral eciuations. Analysis and Applications. Berlin: SpringerVerlag, 1991. - 215 p.

31Zabrejko Р., Rogosin S. Nonlinear Abel equation with monotone operators. J. Electrotechn. Math. 1997. N 1. P. 53-65.

Теорема 17.4. Пусть р € (2, оо) и нелинейность F(x,t) строго возрастает not и удовлетворяет условиям 17.1) и 17.3) при р(х) = 1. Тогда при любом Л > 0 и любом f(x) € LP(T) уравнение

имеет единственное решение и* (х) € Ьр(Г), причт, если c(x)—D(x) — 0, то ||«*||р<адг||/||р.

Следствие 17.2. При любом А > 0 и f(x) 6 ¿4(F) уравнение

умеет единственное решение и*(х) £ Ь4{Г), причем ||и*||4 < ]|/||4-

Теорема 17.5. Пусть р > 2 и b(x) € LP.r(p~r), г = 2/[р(1 + а) - 2]. Если нелинейность F(x, t) удовлетворяет условшич:

17.4) ИМ)! < g(x) + rf3 • (р-\х) М)1/ь,_1), д(х) € Щр), rf3 > 0;

17.5) F(x,t) строго возрастает по t почти при каждом х;

17.6) F(x,t)-t>d4 ■ (р-Цх) ¡¿¡)1/(!,_1) • |i| - D(x), D(x) € Lf{Г), eU > 0; то при любом f(x) € Lp(p) уравнение

и{х) + F

, Ыт) U(s)ds

= Пх) (17.6)

• b(s) u(s) ds

г

им,еет единственное решение и*(х) 6 Lp(p).

Аналогичный результат получен и при 1 < р < 2 для а специального вида, из которого вытекает

Следствие 17.3. При любом А > 0 и /(ж) € Ьф(Т) уравнение

■имеет единственное решение и*(х) € ¿^(Г).

Если использовать результаты работы32, то существование и единственность решения в теоремах 17.3 и 17.4 можно доказать бед условия 17.3).

MBrezis Ii., Browder F. Some new results about Hammerstein equations. Bull. Amer. Math. Soe. 1974. V. 80, N 3. P. 567-572.

Далее в §17 теоремы 17.1-17.5 обобщаются на случай уравнений с оператором (Pq\и) (х) = fip(\х — t\)u(t)dt , изученным в33, где доказано, что оператор PgJ является строго положительным в Хг(0,1), если ¡р(х) £ С^О, 1] неотрицательна, интегрируема и не возрастает, а 4>'(х) возрастает. Следующие леммы обобщают результаты 33 на случай пространств Lp{0,1) и не обязательно неотрицательных дифференцируемых функций tp(x).

Скажем, что tp(x) £ íí(0,1], если <р(х) невозрастающая непрерывная выпуклая в промежутке (0,1] функция такая, чт,о f <р(х) dx > О

Лемма 17.1. Если f(x) £ С [0,1] ГШ(0,1], тоап = í f(x) cosimxdx > О, причем ап > 0, Vra £ N, если f(x) строго выпуклая убывают,ая функция.

Лемма 17.2. Пусть 1<р<2,р' = р/(р-1) и <р(х) £ Lp>/2( 0,1) Л П(0,1]. Тогда оператор Р^ действует непрерывно из пространства Lp(0,1) в сопряженное с ним пространство 1у(0,1) и положителен.

Используя лемму 17.2, получены аналоги теорем 17.1-17.5. Например:

Теорема 17.9. Пусть 1 < р < 2 и <р(х) € Ьр//2(0,1)ПП(0,1]. Если F(x,t) удовлетворяет условиям 17-4)-17.6) при р(х) = 1, то уравнение

имеет единственное решение в Ьр(0,1) при любых А > 0 и /(ж) £ £р(0,1).

Так как операторы Ва и в отличие от сингулярных операторов, являются потенциальными (т.е. градиентами некоторых функционалов), то в случае уравнений с такими операторами удалось улучшить оценки скорости сходимости последовательных приближений в ¿2(Г). Эти результаты не охватывают степенные нелинейности и получены методами не применимыми в случае пространств Ьр(р), который оказался значительно труднее. В §19 доказано, что в случае пространства Ьр{р) и нечетностепенной нелинейности применим градиентный метод. А именно, справедлива

Теорема 19.1. Пусть р > 4 - четное число, 0 < а < 1 и функция Ь(х) £ Ьр.г(р~г), где г = 2/[р (1 + а) — 2]. Тогда уравнение

имеет, единственное решение и"(х) £ Ьр(р) при любом }{х) £ ЬР'(р1 г/). Это решение можно найти градиентным м-етодом по формуле:

ип+1 = ип - 6п \\Аип - f\\l~j(a) pl-^\Aun - ff-2[Aun - /1 , (19.2)

33Нахушев A.M. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. - 272 с.

(19.1)

где п = 0,1,2,3,..., щ(х) € Lp(p) - любая функция, Au — р-ир 1 + Впи, 8п вычисляются по специальной формуле.

Следствие 19.2. Пусть р > 4 - четное число и 0 < а < 1. Тогда при любом f(x) е ¿¡/(Г) уравнение ир~1(х) + / ds — f{'x) имеет

единственное решение и*(х) G LP(T) и его можно найти по схеме (19.2).

В §20 уравнения вида (17.1), (17.3) н (17.6) изучаются в комплексных пространствах Z^R1). Для них получены аналоги теорем 17.1-17.5.

Теоремы §§17-20 при р = 2 охватывают, в частности, и случай линейных интегральных уравнений с ядрами типа потенциала.

В связи с результатами главы 4 следует отметить работы П.П. Забрейко, A.A. Килбаса, В.Б. Мороза, Д.В. Прохорова, В.Д. Степанова, C.B. Рогозина, R. Gorenflo и др. (см. книги [28, 37]).

В главе 5 (§§21-26) изучаются нелинейные интегральные уравнения типа свертки в вещественных и комплексных пространствах Лебега Lp, как в периодическом, так и не периодическом случаях. Здесь найдены условия на ядро оператора свертки Н, при которых этот оператор обладает свойствами положительности, строгой положительности и потенциальности. Это позволило для различных классов нелинейных уравнений типа свертки получить аналоги результатов, приведенных в предыдущих главах для нелинейных сингулярных интегральных уравнений и уравнений с ядрами типа потенциала. Следует отметить, что в случае нелинейных интегральных уравнений типа свертки ограничения на р существенно отличаются от соответствующих ограничений для нелинейных сингулярных интегральных уравнений и уравнений с ядрами типа потенциала, однако условия накладываемые на нелинейность F имеют тот же вид.

Лемма 21.1. Пусть 1 < р < 2, ядро h(x) € Ii(Rx) П Lp^R1) и

1 00

hc(x) — —f= I h(t) ■ cos (x ■ i) dt > 0 при ж 6 [0, oo). (21.1) V27r-oo

00

Тогда оператор свертки (Hu)(x) — J h(x — f) • u(t) dt действует непре-

-00

рывно из Zi^R1) в LpiÇR.1), р/ = p/(p — 1), и является положительным. Если же hc(x) > 0, то оператор H является строго положительным.

Условие (21.1) не только достаточно, но и необходимо для того, чтобы оператор свертки Я был положительным в LP(R1) при 1 < р < 2. Этому условию удовлетворяют многие функции, представляющие собой плотности распределения вероятностей, например, такие как нормальное, треугольное и двустороннее показательное распределения, распределение Ко-шн и другие. Условие вида (21.1) хорошо известно в теории непрерывных положительно-определенных по Бохнеру на конечном промежутке

функций, играющих центральную роль в гармоническом анализе34 35 36. Следующая теорема дает простой признак, по которому можно выделить достаточно широкие классы ядер h(x), удовлетворяющих условию (21.1). Теорема 21.1. Пусть 1 < р < 2 и ядро h{x) представимо в виде

оо

h(x) = / g(x + t)- g(t) dt, где g(x) € £i(Rx) П R1) . (21.2)

—oo

Тогда оператор свертки (Hu)(x) = J h(x — t) • u(t) dt действует непре-

—oo

рывно из Lp(R1) в Lp^R1), положителен и nomeHu,uaj\eH, причем

~ г 12

1|Я«|Ьу<|Ы|1-|Ы1р/[2^1)]-1Н1р, (Ни,и)= J J g(x + t)-u(t)dt

dx .

Положительная определенность функции h(x) 6 С[—7Г, тг] вида (21.2) в случае 27Г-периодической функции g(x) € L2(—тг, 7г) отмечена в34, а ее четность в случае функции д(х) е L2(RX) доказана Н.Н.Лузиным37. В периодическом случае на ядро h(x) накладывается условие:

т:

h(x) е£р,/2(-7г,7г), hc{k)= J h(t) cos(k-t) dt > 0, k = 0,1,2,.... (25.1)

-7Г

Тогда оператор свертки (Яи)(а;) = / h(x—t)u(t)dt действует из 7г,7г)

—тг

в Ср>(—7г, тг) и положителен. Доказательство основано на равенстве

оо 2 """

{Ни, и) = 2 я- Ас(0) |«0|2 + 4 тг £ /ic(*0 К|2 ,щ = —[ и(х) e~ikxdx.

k=i 27ГЛ

Заметим, что если функция h(x) выпукла в промежутке (—тг, тг) и / h{t) dt > 0, то hc{k) > 0, т.е. выполняется условие (25.1).

— г

Используя эти результаты, в §§22-26 при условии (21.1) получены глобальные теоремы о существовании, единственности, оценках и способах нахождения решений для различных классов нелинейных уравнений (в частности, для нелинейных интегральных уравнений Винера-Хопфа) вида:

A-i^far, v(x)]+ jh{x—t) u{t) dt = f(x), u(x)+A Jh(x-t) F[t, u(t)] dt = f(x),

мЭдвардс P. Ряды Фурье в современном изложении. Тома 1 и 2. М.: Мир, 1985.

35Nohel J.A., Shea D.F. Frequency domain methods for Volterra equations. Advanc. Math. 1976. V. 22. P. 278-304.

36Staffans O.J. Nonlinear Volterra integral equations with positive definite kernels. Proc. AMS. 1975. V. 51, N 1. P. 103-108.

37Лузин H.H. Интеграл и тригонометрический ряд. М.: ГИТТЛ, 1951. - 552 с.

u{x) + X-F

x,J h(x — t)u(t)dt

= f(x), где A > О, Г есть либо ось R1,

либо полуось [0, оо), либо отрезок [—тг, тг]. При р — 2 эти теоремы охватывают и линейный случай. Известно, что разрешимость линейного уравнения Випера-Хопфа связана с величиной индекса ее = ind[A — h(x)]. Условие (21.1) означает, что в линейном случае будем иметь дело с индексом аз = 0. В случае уравнений вида

р{х) ■ иа(х) +jh{x- t) u(t) dt = f{x), a > t, (26.10)

г

установлены не только теоремы существования и единственности решения, по и доказано, что решения могут быть найдены градиентным методом.

Изученные в §§22-26 уравнения часто встречаются в приложениях. Например, уравнения вида и(а;)+А / h(x — t)F[t,u(t)]dt = f(x) возникают в

-00

теории сервомеханизмов (следящих систем)38, в теории электрических сетей39, при описании модели распространения эпидемии40 и других41. Уравнение вида (26.10) при р(х) = 1, а > 2, h(x) — -ехр(-х2), /(х) = О изучалось B.C. Владимировым и Я.И. Воловичем в связи с описанием динамики открытой р-адической струны для скалярного поля тахионов'12

Глава 6 (§§27-33) посвящена интегральным уравнениям типа свертки со степенной нелинейностью, рассматриваемым, в отличие от главы 5, в конусе Qo = {и(х): и(х) € С[0, оо), и{х) > 0 при х > 0}. Такие уравнения возникают, в частности, при описании процессов инфильтрации жидкости через стенки цилиндрического резервуара43 и распространения ударных волн в трубах, наполненных газом44. Исследование основывается на методе весовых метрик (аналог метода А.Белецкого45), позволяющем при

3sBeneS V.E. A nonlinear integral equation from the theory of servomechanisms. Bell. System. Techn. J. 1961. V. 40, N 5. P. 1309-1321.

39Bene§ V.E. A nonlinear integral equation in the Marcinkiewicz space J. Math. Phys. 1965. V. 44, N 1. P. 24-35.

wDiekman O. Thresholds and travelling waves for the geographical spread of infection. J. Math. Biol. 1978. V. 6, N 2. P. 109-130.

4ICooke K.L., Kaplan J.L. A periodicity threshold theorem for epidemics and population growth. Math. Biosci. 1976. V. 31. P. 87-104.

42Владимиров B.C., Волоеич Я.И. О нелинейном уравнении динамики в теории р-адической струны // Теорет. и матем. физика. 2004. Т. 138, N 3. С. 355-368; B.mthiuupoe B.C. Об уравнении р-адической открытой струны для скалярного шля тахионов // Известия РАН. Сер. матема. 2005. Т. 69, N 3. С. 55-80; Владимиров B.C. О нелинейном уравнении р-адической открытой струны для скалярного поля // Успехи матем. наук. 2005. Т. 60, вып. 6. С. 73-88.

<3Okrasinski W. On a non-linear convolution equation occurring in the theory of water percolation. Annal. Polon. Math. 1980. V. 37, N 3. P. 223-229.

"Keller J.J. Propagation of simple nonlinear waves in gas filled tubes with friction. ZAMP. 1981. V. 32, N 2. P. 170-181.

"Эдварде P. Функциональный анализ. М.:Мир, 1969. - 1072 с.

удачном выборе метрики доказывать глобальные теоремы существования и единственности без ограничений на область определения решений. Рассмотрим в классе (¿о уравнение

иа (х) = J к(х — t) u(t) dt, а > 1, X > О,

(29.3)

к(х) = р ■ xv + е(х), р > 0, V > -1, е(х) е Qo и lim ^ = 0 . (29.26)

2—0 х"

Теорема 29.3. Если выполнены условия (29.26), то уравнение (29.3) имеет единственное решение и(х) € Qq. Это решение Vb > 0 принадлежит классу n¿ = {и(х) е С[0,6] и L(x) < и(х) < R{x)}, где

\ 1/(о-1)

L(X):

1/(1-1) ( ? I

и может быть найдено в методом последовательных приближений.

В отличие от других работ, доказательство теоремы 29.3 использует различные метрики, в зависимости от того и > О или и 6 (—1,0]. В основе доказательства оценки и(х) > Ь(х) лежит метод работы46 и использует, в отличие от 46 и других работ, теорему Теплица.

В §33 результаты §§27-32 обобщаются на случай уравнений

иа(х) = J k(x, t)u{t)dt + f{x), a > 1, X > 0,

(33.1)

где ядро к(х, £) > 0 при 0 < Ь < х, непрерывно и не убывает по х.

Теорема 33.1. Если и(ж) 6 <5о есть решение уравнения (33.1) при /(х) = 0, то и(х) не убывает на [0, оо) и для любого х е [0, оо):

а- 1

— J k(t,t)dt

1/(а-1)

< и(х) <

—- j к(х, t)dt а о

1/(а-1)

Следствие 33.147. Если и(х) G Qo есть решение уравнения иа(х) =

fk(x - t)u{t)dt, то [SjiA:(0)a;]

1/(01-1)

< и{х) <

i/(«-i)

Следствие 33.248. Если и(х) £ Qo есть решение уравнения иа(х) =

)V2í[l/2 + (х- t)]u(t)dt, то [^(1 - е-2*)]1/(й-1) < и(х) < [^х]

fo-I^lVfe-l)

о

'"•Schneider W.R. The general solution of a nonlinear integral equation of the convolution type. ZAMP. 1982. V. 33, N 1. P. 140-142.

"Okrasinski W. On the existence and uniqueness of nonnegative solutions of a certain non-linear convolution equation. Ann. Poi. Math. 1979. V. 36, N 1. P. 61-72.

4SOkrasinski W. On subsolutions of a nonlinear nonlinear diffusion problem. Math. Meth. Appl. Sci. 1989. V. 11, N 3. P. 409-416.

В случае когда /(х) 6 <2о и не убывает, доказано, что любое решение и(х) € <2о уравнения (33.1) удовлетворяет неравенствам:

а-1 , а-1 г

-J k(t, t)dt + 5(0) < u(x) < -J k(x, t)dt + g{x)

01 о . 01 о

l/(a-l)

где д(х) = Используя эти оценки доказала устойчивость реше-

ния уравнения (33.1) относительно возмущений к(х,{) = к(х — €) и /(х) в терминах одной и той же, в отличие от47 и других работ, метрики.

В связи с результатами главы 6 следует отметить работы Н.К. Карапе-тянца, А.А. Килбаса, З.Б. Цалюка, Р. ВизЬеН, \¥. МусПагсгук, W. ОкгалтзИ, М. Saigo и др. (см. монографии [24, 28, 37]).

В главе 7 (§§34-37) результаты глав 2-6 обобщаются на случай соответствующих конечных систем нелинейных интегральных уравнений. Эти системы методом монотонных операторов впервые были изучены автором [5], [14], [40]. Такие системы уравнений возникают в теории магнитного поля49, а также при описании процесса возрождения и торможения нейронов в нейронной сети50 и других51. В случае систем интегральных уравнений типа свертки со степенной нелинейностью и почти возрастающими ядрами, рассматриваемых в конусах пространства непрерывных вектор-функций, показано, что решение является неубывающим (а не почти возрастающим) и получены пеулучшаемые априорные оценки решения. В отличие от предшествующих наших совместных работ [12] и [16], показано что рост нелинейности не зависит от числа уравнений.

В главе 8 (§§38-41) изучаются различные классы нелинейных дискретных уравнений типа свертки в вещественных и комплексных пространствах £р, а также в различных конусах пространства а. Интерес к таким уравнения вызван их многочисленными и разнообразными приложениями в различных разделах математики и физики: конформные отображения52, стохастические задачи53, гидродинамика и другие54.

<9FViedman M.J. Mathematical study of the nonlinear singular integral magnetic field equation.

I. SIAM J. Appl. Math. 1980. V. 39, N 1. P. 14-20.

60Ermentrout G.B., Cowan J.D. Secondary bifurcation in neuronal nets. SLAM J. Appl. Math. 1980. V. 39, N 2. P. 323-340.

"Pogorielski W. Integral equations and their applications. Pergamon Press Oxford and PWN-Pol. Sci. Publ. Warszaw, 1966. - 228 p.

иКаландия А.И. Математические методы двумерной теории упругости. М.:Наука, 1973. -304 с.

иДедагич Ф., Забрейко П,П. Об операторах суперпозиции в пространствах £р. Сибирский матем. журн. 1987. Т. 28, N 1. С. 86-98.

"Crisei M.R., Kolmanowskii V.B., Russo Е., Vecchio A. A priori bounds on the solution of a nonlinear Volterra discrete equation. Sacta. 2000. V. 3, N 1. P. 38-47.

Пусть конус состоит нз всех неотрицательных числовых последовательностей и = {ин}^о> ип > 0. Рассмотрим в нелинейное уравнение

п = 0,1,2,..., а>1. (38.1)

к=0

Чтобы задачу отыскания нетривиальных решений уравнения (38.1) в в+ сделать корректной предположим, что 1 = Но < /11 < /12 < • • ■ 11 будем разыскивать решения в классе = {и : и е ип > 1 Уп} .

Легко проверить, что если и е в? есть решение уравнения (38.1), то

ч 1/(сг-1) /„ \1/(«-1)

■П+1 <ип<ип< , « = 0,1,2,... , (38.5)

» / \а=О

, п

где V е а?" есть единственное решение уравнения у" — £ Ук-

к=о

Пусть П+ = {и : и € и удовлетворяет неравенствам (38.5)}. Теорема 38.2. Уравнение (38.1) имеет в счетмое число решений вида и = 0, и = т&и*, 5 = 0,1,2,..где и* - единственное решение уравнения (38.1) в П+, гдц = |о,0, „ .,0 ,ио,щ,щ,,. .| , тои = и.

Аналогично изучено соответствующее нелинейное уравнение Винера-Хопфа в конусе с+ и дана характеристика возможных типов решений. Эти результаты получены в наших совместных работах [11], [12] и, как отмечено в [12, с. 9], принадлежат авторам в равной мере.

Наиболее трудным для исследования оказался случай невозрастающего ядра, рассмотренный автором в [37]. Пусть ядро Л = {/г„}£10 положительно, т.е. кп >0, Угг € Z+. Будем искать решения уравнения (38.1) в классе

4 = {« : и = о и и,г > 0, Уп € г+}.

Лемма 38.4 Пусть /1 = - любая положительная числовая

последовательность. Если ю 6 во есть решение уравнения

пег+ , а> 1, (38.9)

ь=о

/ , п \'/<"-!)

то оно строго возрастает, причем и<„ > I • £ /г*, + /¡о)

Лемма 38.5 Если 0 < /г„ < ко = 1, \/п 6 , то уравнение (38.9) имеет в конусе в? единственное решение.

Теорема 38.3. Пусть 0 < кп < ко = 1» V« е £сли и 6 ¿'о есть решение уравнения (38.1), тоУп 6 Z+ справедливы неравенства:

/а-1 » \1/(л_1) /» \1/(а_1)

(~"ЙЛк + 1) <№»<ип< (Е^ + 1) , (38.11)

где w е sj есть единственное решение уравнения (38.9).

Введем обозначения: и(1) — {«о.иь••• и so (0 = {и(0 : ип > 1

Vn = 0,1,..., Z — 1} , где I е N. Введем в s$(l) метрику

Pl(u,v) = sup ß — ~• (38.12)

о<п<(-1 ™ а — 1

Пусть П+ = : и е s+ и удовлетворяет оценкам (38.11)} и П+(!) есть сужение на So (О с той же метрикой.

Теорема 38.4. Пусть а > 1, 1 = ho > hi > h2 > ... > hn > О Vn £ Z+. Тогда уравнение (38.1) имеет в s+ счетное чиоо решений вида и — 0, и — Tsu*, 6 = 0,1,2,..., где и* есть единственное решение уравнения (38.1) в Г2+. Сужение, и* на 0.^(1) может быть найдено методом последовательных приближений в fi+(Z) со сходимостью по метрике pi.

В §§39-40 впервые методом монотонных операторов изучаются нелинейные дискретные уравнения типа свертки как в вещественных, так и в комплексных пространствах iр. Приводимые ниже результаты получены в наших совместных работах [13], [21], [22] и являются дискретными аналогами результатов автора [4]-[6].

Лемма 39.1. Пусть 1 < р < 2, ядро h G 1 < s < тт(2,р'/2) и

оо

hc(6) = £ hk ■ cos [к ■ в) > 0, W6 € [0, тг]. (39.5)

к=—оо

оо

Тогда оператор свертки Н<р — £ hn-k • <pk, п £ Z, действует непре-

к=—оо

рывно из 1р в £р> и является положительным.

Условие (39.5) является не только достаточным, но и необходимым для положительности оператора свертки Н.

Пусть вещественная функция F(k,t) определена при к € Z, t € R1 и является непрерывной по t при каждом фиксированном к.

Теорема 39.1. Пусть 1 < р < 2, ядро h 6 ls, где 1 < s < min (2,р'/2), и удовлетворяет условию (39.5). Если F(k,t) удовлетворяет условиям: 39.1) |F(M)| <ак + Ъ 1 • lip-1, 39.2) F(k,ti) < F(k,t2) при Ьг<Ь2, 39.3) F(k,t) ■ t > Ьг • |i|p, где aetj,, &i>0, b2 >0; то при любом f € itf нелинейное дискретное уравнение типа свертки

00

F(n,un)+ Е hn-k ■ Uk = /п, n 6 Z, (39.6)

k——оо

имеет решение и* € £р. Решение единственно, если F(k,t) строго возрастает по t. Кроме того, имеет место оценка: ¡¡«*(|р < (b21 • Ц/Цр-)1^ ^.

Теорема 39.3. Пусть р > 2, ядро h € ls, I < s < min (2,p/2), и удовлетворяет условию (39.5). Если нелинейность F(к, t) удовлетворяет условиям 39.1), 39.3) теоремы 39.1 и строго возрастает по t при каэюдом k е Z, то при любом f € £р нелинейное дискретное уравнение

со

и„+ £ hn-k • F(k, щ) = fn, пе Z, (39.10)

k=—оо

имеет единственное решение и* Z 1р. Кроме того, если в условии 39.1) а — 0, то имеет место оценка: ||u*||p < i>i • bj1 ■ ||/(|р.

Аналог теоремы 39.3 доказан и в случае 1 < р < 2 для уравнения Un + Cn £ Ск • hn-k ■ F(k, щ) = /„, где Л € а с € ¿2р/(2-р)-

к—-со

Теорема 39.5. Пусть 1 < р < 2, h е 4. где 1 < s < min(2,p'/2), и удовлетворяет условию (39.5), а нелинейность F(k,t) - уыовияль:

39.4) |F(M)| < дк+ЪгЩ11ь~1); 39.5) F(k,h) < F(k,t2) при tr < t2;

39.6) F(k, t)-t>b4■ I ip/O-1), где g e£p, b3> 0, h > 0 ; то при любам f 6 ip нелинейное дискретное уравнение типа свертки

(оо

71, £ К-к ■ Uk к=-оа

имеет единственное решение и* € £р- Кроме того, если g = 0, то:

II«* - Л1„ < {Щ ■ ЬГ1 • ||ft||, • ||/||р)1/(р_1), IK - /Ир < Ьз ■ bjl ■ ||/||р.

В случае комплексных пространств 1р сначала выясняется вопрос при каких условиях оператор свертки Я : lp —> lj/ является положительным.

Лемма 40.2. Пусть 1 < р < 2, q 6 \р,р'], г-1 = 1 + q~l - р~х и h £ £3) где 1 < s < min (2,7-). Для того чтобы оператор свертки Я был положителен необходимо и достаточно, чтобы выполюигось условие:

Re h(B) > 0 для почти всех В € [—тг, тг]. (40.9)

Заметим, что условие вида (40.9) использовалось в ряде работ55 56 57 в связи с решением одной задачи статистической физики.

Далее выясняются условия монотонности и коэрцитивности дискретного оператора суперпозиции F, порожденного комплекснозначной функцией

^Владимиров B.C. Уравнение Винера-Хопфа на полуоси в алгебрах Неванлинны и Смирнова. Изв. АН СССР. 1987. Т. 51, N 4. С. 767-78-1.

^Владимиров B.C. Уравнение Вянера-Хопфа на полуоси в алгебрах Неванлинны и Смирнова. Докл. АН СССР. 1987. Т. 293, N 4. С. 278-283.

"Владимиров B.C., Волович И.В. Об одной модели статистической физики. Теор. и матем. физика. 1983. Т. 54, N 1. С. 8-22.

= /„, П€ Z, (39.17)

F(k,z), определенной при к е Z, z е С и непрерывной по г при каждом фиксированном к. Используя эти условия доказываются теоремы о существовании, единственности, оценках и способах нахождения решений нелинейных уравнений вида (39.1)-(39.3) в комплексных пространствах £р.

В последнем §41 изучаются нелинейные дискретные неравенства вида

un<an + bn- ("¿l hk • Vn е Z+ (uQ < а0), (41.13)

\к=0 /

где {on}^Lo> Vln)n=o - заданные последовательности неотрицатель-

ных чисел, Z+ = {0,1,2,...}, a v и ¡1 - любые положительные числа. При этом, в отличие от других работ (В. Pachpatte, D. Willett, J. Wong и др.), используется метод сведения этих неравенств к линейным неравенствам.

Теорема 41.5. Если 0 < f < 1, 0 < ft < l/v и выполнено (41.13),

"-1 И., , , , /п-1 l/fl-^V1""^

то ип < Сп+тп Е ск П 1 +ms\, где mn = ufibn £ V '

к=О s=fc+l Vfc=0 /

(i-i/доь,

Теорема 41.6. Если 1 < v < оо, р, = l/v и выполнено (4.1.3), по ип < (pn + rnnZphhk "п1 [1+гА1) ; где рп = ап{ап + Ъп)"~1,

\ к=0 s=k+1 /

гп = Ьп(ап + ЬпУ'1.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Асхабов, С.Н. Исследование нелинейных сингулярных интегральных уравнений методом монотонных операторов / С.Н. Асхабов // Функциональный анализ, теория функций и их приложения: Сб. науч. тр. - Махачкала: Даг. ун-т, 1979. - Вып. 4. - С. 43-50.

2. Асхабов, С.Н. Исследование нелинейных сингулярных интегральных уравнений методом монотонных / С.Н. Асхабов // Изв. Сев.-Кавк. научн. центра высшей школы. Естеств. науки. - 1980. - N2. - С. 3-5.

3. Асхабов, С.Н. О применимости метода монотонных операторов к нелинейным сшнулярным уравнениям в £-¿(—00,00) / С.Н. Асхабов // Докл. АН Азерб. ССР. - 1980. - Т. 36. - N7. - С. 28-31.

4. Асхабов, С.Н. Применение метода монотонных операторов к некоторым нелинейным уравнениям типа свертки и сингулярным интегральным уравнениям / С.Н. Асхабов // Изв. ВУЗов. Матем. - 1981. - N9. - С. 64-66.

5. Асхабов, С.Н. Применение метода монотонных операторов к некоторым классам нелинейных сингулярных интегральных уравнений и их системам в LPi„(p) / С.Н. Асхабов // Деп. в ВИНИТИ 12 февраля 1981, N684-81. - 28 с.

6. Асхабов, С.Н. Исследование некоторых нелинейных уравнений типа свертки и сингулярных интегральных уравнений методом монотонных операторов / С.Н. Асхабов //' Математический анализ и его приложения: Сб. науч. тр. - Грозный: Чеч.-Инг. ун-т, 1984. - С. 37-46.

7. Асхабов, С.Н. Исследование нелинейных сингулярных интегральных уравнений (НСИУ) с ядром Гильберта методом монотонных операторов / С.Н. Асхабов // Известия Сев.-Кавк. научн. центра высшей школы. Естеств. науки. - 1986. - N3. - С. 33-36.

8. Асхабов, С.Н. Оценки решений некоторых нелинейных уравнений типа свертки и сингулярных интегральных уравнений / С.Н. Асхабов, Х.Ш. Мухтаров // Докл. АН СССР. - 1986. - Т. 288. - N2. - С. 275-278.

9. Асхабов, С.Н. Об одном нелинейном уравнении типа свертки / С.Н. Асхабов, Н.К. Карапетянц, А.Я. Якубов // Дифференц. уравнения. - 1986. - Т. 22. - N9. - С. 1606-1609.

10. Асхабов, С.Н. Об одном классе нелинейных интегральных уравнений типа свертки / С.Н. Асхабов, Х.Ш. Мухтаров // Дифференц. уравнения. -1987. - Т. 23. - N9. - С. 512-514.

11. Асхабов, С.Н. Дискретные уравнения типа свертки со степенной нелинейностью / С.Н. Асхабов, Н.К. Карапетянц, А.Я. Якубов // Докл. АН СССР. - 1987. - Т. 296. - N3. - С. 521-524.

12. Асхабов, С.Н. Нелинейные уравнения Винера-Хопфа / С.Н. Асхабов, Н.К. Карапетянц, А.Я. Якубов // Деп. в ВИНИТИ 25.11.88, N8341. - 144 с.

13. Асхабов, С.Н. Дискретные уравнения типа свертки с монотонной нелинейностью / С.Н. Асхабов, Н.К. Карапетянц /,/ Дифференц. уравнения. - 1989. - Т. 25. - N10. - С. 1777-1784.

14. Асхабов, С.Н. Сингулярные интегральные уравнения с монотонной нелинейностью / С.Н. Асхабов // Деп. в ВИНИТИ 04.12.89, N7198-B89. -75 с.

15. Askhabov, S.N. Nonlinear convolution type equations / S.N. Askhabov, M.A. Betilgiriev // Seminar Analysis Operat. Equat. Numer. Anal. 1989/90. Karl-Weierstras-Institut fur Mathematik. Berlin. - 1990. - P. 1-30.

16. Асхабов, С.Н. Интегральные уравнения типа свертки со степенной нелинейностью и их системы / С.Н. Асхабов, Н.К. Карапетянц, А.Я. Якубов // Докл. АН СССР. - 1990. - Т. 311. - N5. - С. 1035-1039.

17. Askhabov, S.N. Integral equations of convolution type with power nonli-nearity / S.N. Askhabov // Colloq. Math. - 1991. - V. 62. - N1. - P. 49-65.

18. Асхабов, С.Н. Нелинейные интегральные уравнения типа свертки с почти возрастающими ядрами в конусах / С.Н. Асхабов, М.А. Бетилгириев // Дифференту уравнения. - 1991. - Т. 27. - N2. - С. 321-330.

19. Askliabov, S.N. A-priori estimates for the solution of a class of nonlinear convolution equations / S.N. Askhabov, M.A. Betilgiriev // Z. Anal. Anwend. - 1991. V. 10. - N2. - P. 201-204.

20. Askhabov, S.N. Singular integral equations with monotone nonlinearity in complex Lebesgue spases / S.N. Askhabov // Z. Anal. Anwend. - 1992. -V. 11. - N1. - P. 77-84.

21. Асхабов, С.Н. Дискретные уравнения типа свертки с монотонной нелинейностью в комплексных пространствах / С.Н. Асхабов, Н.К. Кара-петяиц // Доклады РАН. - 1992. - Т. 322. - N6. - С. 1015-1018.

22. Askhabov, S.N. Convolution type discrete equations with monotonous nonlinearity in complex spaces / S.N. Askhabov, N.K. Karapetian // J. Integral Equations Math. Phys. - 1992. - V. 1. - N1. - P. 44-66.

23. Асхабов, С.Н. Априорные оценки решений нелинейного интегрального уравнения типа свертки и их приложения / С.Н. Асхабов, М.А. Бетилгириев // Математ. заметки. - 1993. - Т. 54-. - N5. - С. 3-12.

24. Асхабов, С.Н. Интегральные уравнения типа свертки со степенной нелинейностью / С.Н. Асхабов, М.А. Бетилгириев. - Ростов-на-Дону: Издательский центр ДГТУ, 2001. - 154 с.

25. Асхабов, С.Н. Решение нелинейных интегральных уравнений с операторами типа потенциала методом последовательных приближений / С.Н. Асхабов // Труды Физ. общ-ва респ. Адыгея. - 2002. - N7. - С. 43-48.

20. Асхабов, С.Н. Нелинейные интегральные уравнения с разностными ядрами / С.Н. Асхабов // Там же. - 2003. - N8. - С. 22-39.

27. Асхабов, С.Н. Нелинейные интегральные уравнения с ядрами типа потенциала в комплексных пространствах Лебега / С.Н. Асхабов // Там же. - 2004. - N9. - С. 25-30.

28. Асхабов, С.Н. Сингулярные интегральные уравнения и уравнения типа свертки с монотонной нелинейностью / С.Н. Асхабов. - Майкоп: Майкопский государственный технологический университет, 2004. - 387 с.

29. Асхабов, С.Н. Неравенства Чебышева и их приложения к нелинейным дискретным уравнениям типа свертки / С.Н. Асхабов // II Междун. конф. «Математические идеи П.Л.Чебышева и их приложения к современным проблемам естествознания». - Обнинск, 2004. - С. 4-7.

30. Асхабов, С.Н. Нелокальные задачи для нелинейных интегральных уравнений с разностными ядрами / С.Н. Асхабов // Междун. конф. «Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ», посвященная столетию С.М.Никольского. - Москва, МИ РАН, 2005. - С. 35.

31. Асхабов, С.Н. Нелинейные интегральные уравнения с ядрами типа потенциала на отрезке / С.Н. Асхабов // III Междун. конф. «Математические идеи П.Л.Чебышева и их приложения к современным проблемам естествознания». - Обнинск, 2006. - С. 4-7.

32. Askhabov, S.N. Nonlinear equations with integrals of fractional order in weighted Lebesgue spaces / S.N. Askhabov // Материалы междун. конф. «Диффереиц. уравнения, теория функций и прил.», поев. 100-летию со дня рожд. акад. И.Н. Векуа. - Новосибирск, 28 мая - 2 июня 2007 г. С. 389-390.

33. Асхабов, С.Н. Нелинейные интегральные уравнения типа свертки на отрезке / С.Н. Асхабов // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Ест. науки. - 2007.

- N1. - С. 3-5.

34. Асхабов, С.Н. Нелинейные уравнения с интегралами дробного порядка /' С.Н. Асхабов // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной, академии наук. - 2007. - Т. 9. - N1. - С. 9-14.

35. Askhabov, S.N. Nonlinear equations with Riemann-Liouville operators of fractional integration on segment / S.N. Askhabov // IV Междун. конф. «Математические идеи П.Л.Чебышева и их приложения к современным проблемам естествознания». - Обнинск, 2008. - С. 8-9.

36. Асхабов, С.Н. Сингулярные интегральные уравнения с монотонной нелинейностью в весовых пространствах Лебега./ С.Н. Асхабов // Материалы междун. конф. «Дифференциальные уравнения и топология», посвященной 100-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина. М.: ВМиК МГУ, 2008. С. 91-92.

37. Асхабов, С.Н. Нелинейные уравнения типа свертки / С.Н. Асхабов.

- М.: Физматлит, 2009. - 304 с.

Подписано в печать 23.03.2010. Гарнитура Times New Roman. Формат 60 84/16. Усл. п. л. 1,86. Тираж 100 экз. Заказ N 38.

Оригинал-макет подготовлен и тиражирован в издательстве Белгородского государственного университета 308015, г. Белгород, ул. Победы, 85

Введение.

ГЛАВА I. Элементы теории операторов в рефлексивных пространствах.

§1. Уравнения с монотонными операторами.

§2. Оператор Немыцкого в весовых пространствах Лебега.

§3. Сингулярные операторы в пространствах Лебега.

§4. Операторы типа потенциала в пространствах Лебега.

§5. Преобразование Фурье и оператор свертки.

ГЛАВА II. Нелинейные сингулярные интегральные уравнения с ядрами Коши и Гильберта.

§6. Задачи, приводящие к нелинейным сингулярным интегральным уравнениям.

§7. О положительности сингулярных интегральных операторов

§8. Глобальные теоремы существования и единственности.

Оценки решений.

§9. Приближенное решение нелинейных сингулярных интегральных уравнений в Ьо (а, Ь) без ограничений на абсолютную величину параметров.

§10. О нелинейных сингулярных интегральных уравнениях с ядром Гильберта.

§11. Нелинейные сингулярные интегральные уравнения с ядром Коши на действительной оси.

ГЛАВА III. Нелинейные сингулярные интегральные уравнения с ядром Коши в комплексных пространствах Лебега.

§12. О положительности сингулярных интегральных операторов

§13. Теоремы существования и единственности в Ьр(р).

§14. Теоремы существования и единственности в Ь2(К1).

§15. Приближенное решение нелинейных сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши при любых значениях параметров в Ьо(Я1)

ГЛАВА IV. Уравнения с ядрами типа потенциала и интегралами дробного порядка.

§16. О положительности операторов типа потенциала.

§17. Нелинейные уравнения с ядрами типа потенциала и интегралами дробного порядка.

§18. Приближенные методы решения нелинейных уравнений с ядрами типа потенциала в 1/2 (Г) и их оптимизация.

§19. Градиентный метод решения нелинейных интегральных уравнений с ядрами типа потенциала в Ьр{р).

§20. Нелинейные интегральные уравнения с ядрами типа потенциала в комплексных пространствах Лебега.

ГЛАВА V. Интегральные уравнения типа свертки с монотонной нелинейностью в Lp(p).

§21. О положительности и потенциальности операторов свертки

§22. Теоремы существования и единственности решения.

§23. Приближенное решение уравнений типа свертки в I^R1)

§24. Нелинейные уравнения Винера-Хопфа в Lp{0, оо).

§25. Нелинейные интегральные уравнения типа свертки в пространствах £р(—тг, тг).

§26. Приближенное решение уравнений типа свертки с нечетностепенной нелинейностью в Lp{p).

ГЛАВА VI. Интегральные уравнения типа свертки со степенной нелинейностью в конусах

§27. Уравнение с невырожденным в нуле ядром.

§28. Уравнение с вырожденным в нуле ядром.

§29. Уравнение с ядром к( х) = р ■ хи + o(xv) , р > 0, и > —I

§30. Уравнение с суммарным ядром.

§31. Уравнение с неоднородностью в линейной части.

§32. Уравнение с почти возрастающим ядром и переменными коэффициентами.

§33. Уравнения с ядром общего вида и нелинейные интегральные неравенства.

ГЛАВА VII. Системы интегральных уравнений с монотонными нелинейностями.

§34. Системы уравнений типа свертки в пространстве С[0, оо)

§35. Системы уравнений типа свертки в пространстве Lp^n (Г)

§36. Системы уравнений с ядрами типа потенциала в Lp¡n{p)

§37. Системы нелинейных сингулярных интегральных уравнений в весовых пространствах Лебега LPjTl(p).

ГЛАВА VIII. Дискретные уравнения типа свертки с монотонной нелинейностью.

§38. Дискретные уравнения типа свертки со степенной нелинейностью в конусах.

§39. Нелинейные дискретные уравнения типа свертки в вещественных пространствах Лебега ip.

§40. Нелинейные дискретные уравнения типа свертки в комплексных пространствах Лебега tp.

§41. Дискретные неравенства со степенными нелинейностями

Диссертация посвящена исследованию без ограничений на абсолютную величину параметров и область существования решений нелинейных сингулярных интегральных уравнений с ядрами Гильберта и Коши, нелинейных интегральных уравнений с ядрами типа потенциала, нелинейных (интегральных и дискретных) уравнений типа свертки. В случае малых параметров к настоящему времени для таких уравнений получено большое число (локальных) результатов о существовании, единственности и способах нахождения решений. Однако, ввиду жестких ограничений на абсолютную величину параметров и область определения решений, они либо вообще не охватывают линейный случай, либо охватывают его лишь частично. Более того, из-за различных применяемых методов исследования и, как следствие, различных ограничений на нелинейности, эти результаты часто никак не связаны между собой и носят разрозненный характер, несмотря на то, что все указанные уравнения объединяет то, что они имеют ядра, зависящие от разности аргументов. В этой связи представляется весьма актуальной задача установления единым методом для таких уравнений глобальных теорем (т.е. без ограничений на абсолютную величину параметров и область существования решений), охватывающих линейный случай, что позволит в определенной степени систематизировать и классифицировать результаты в этой области.

Из всех известных методов наиболее подходящими для этой цели оказались метод монотонных (по Браудеру-Минти) операторов и метод весовых метрик (аналог метода Белецкого), позволившие при достаточно легко обозримых ограничениях на нелинейности доказать теоремы о существовании, единственности, оценках и способах нахождения решений для различных классов нелинейных сингулярных интегральных уравнений, нелинейных интегральных уравнений с ядрами типа потенциала, нелинейных интегральных уравнений типа свертки и нелинейных дискретных уравнений типа свертки при любых (не обязательно малых) значениях числовых параметров и без ограничений на область определения решений. Что касается других, широко применяемых в настоящее время, методов исследования, основанных на применении принципа сжимающих отображений Банаха, принципа Шаудера, теоремы о неявной функции и др., то они оказались менее пригодными для этой цели. Известно, что применение принципов Банаха и Шаудера необходимо приводит к ограничениям на абсолютную величину параметров и область существования решений, а применение классических теорем о неявной функции (из-за имеющегося в них предположения о дифференцируемости нелинейности) в случае пространств Лебега приводит к вырождению нелинейности, т.е. уравнение становится фактически линейным, а в случае пространств Гельдера приводит к весьма жестким и мало обозримым ограничениям на нелинейность.

В данной работе рассматриваются различные классы нелинейных сингулярных интегральных уравнений, нелинейных интегральных уравнений с ядрами типа потенциала, нелинейных интегральных уравнений типа свертки и нелинейных дискретных уравнений типа свертки с монотонными нелинейностями в весовых пространствах Лебега Ьр(р) и, соответственно, £р(р), что позволило при исследовании всех таких уравнений использовать результаты теории монотонных (по Браудеру-Минти) операторов. При этом, в отличие от традиционных методов, основанных на обращении соответствующих этим уравнениям линейных (сингулярных 5, типа потенциала 1а и свертки Н) операторов, обращаются нелинейные операторы .Р, входящие в эти уравнения. Такой подход позволил минимизировать ограничения на ядра рассматриваемых уравнений за счет дополнительных ограничений на их нелинейности, что в свою очередь позволило выявить общие свойства нелинейных сингулярных интегральных уравнений, нелинейных интегральных уравнений с ядрами типа потенциала, нелинейных интегральных уравнений типа свертки и нелинейных дискретных уравнений типа свертки. Вместе с этим показано, что теории таких уравнений имеют и свои существенные особенности, связанные прежде всего с тем, что сингулярные операторы Б являются положительными и кососимммет-рическими, операторы типа потенциала 1а являются строго положительными и симметрическими, а операторы типа свертки Н (интегральные и дискретные), вообще говоря, не обладают ни одним из перечисленных свойств.

Следует отметить, что в настоящее время теории соответствующих линейных уравнений достаточно хорошо разработаны. Имеется целый ряд монографий и обзорных статей, где излагается современное состояние теории таких уравнений (см., например, работы Ф.Д. Гахова [75], Ф.Д. Гахова, Ю.И. Черского [76], И.Ц. Гохберга, Н.Я. Крупника [78], М.Г. Крейна [107], С.Г. Михлина [121], Н.И. Мусхелишвили [123], 3. Пресдорфа [129], Ф. Три-коми [138], Б.В. Хведелидзе [145], а также [2], [71], [112], [134], [135], [145], [177], [190], [191], [202], [218] и др.). В этих работах указаны приложения теории линейных уравнений с разностными ядрами к решению прикладных задач теории упругости и пластичности, массо- и теплопереноса, аэро-и гидродинамики, электростатики и биомеханики, управления и оптимального прогноза, дифракции на полосе и рассеяния света в атмосфере, а также в теории массового обслуживания, электротехнике, экономике, медицине и во многих важных разделах математики: теория обратных задач, факторизация операторов, теория вероятностей.

Что касается нелинейных уравнений с разностными ядрами, то их теория далека от завершения. В монографической литературе (см., например, книги М.М. Вайнберга, В.А. Треногина [66], А.И. Гусейнова, Х.Ш. Мухта-рова [83], Pogorzelski [218], Е. ДЛ^ег! [225], а также [2], [71], [145], [177], [190], [191]) им посвящены лишь отдельные главы или параграфы и в настоящее время разработка теории таких уравнений продолжается. Интерес к нелинейным уравнениям с разностными ядрами вызван не только их многочисленными и разнообразными приложениями, но и тем, что методы и результаты теории линейных уравнений с разностными ядрами, как правило, не распространяются на соответствующие им нелинейные уравнения, то есть имеются принципиальные различия как по методам исследования, так и по характеру получаемых результатов. Как известно из курса функционального анализа, локальные свойства линейных операторов фактически полностью определяют их свойства во всем пространстве. Поэтому, например, в случае линейных уравнений основные результаты имеют место (см., например, [95], [129]) сразу для целой серии пространств (ЬР) С, Со,

М и других). В случае же нелинейных уравнений картина принципиально меняется и зависит не только от выбора рассматриваемого пространства, но и от характера допускаемой нелинейности. Кроме того (см. [120]), в отличие от линейных уравнений, для нелинейных уравнений единственность решений неестественна. Как правило, (однородное) нелинейное уравнение всегда имеет одно очевидное (тривиальное) решение, а интерес (теоретический и практический) представляют другие решения. Например, в теории волн на поверхности тяжелой жидкости, разработанной А.И. Некрасовым, решения соответствующего нелинейного интегрального уравнения описывают поверхность движущейся жидкости. При этом тривиальное (нулевое) решение соответствует движению жидкости без волн, а условия существования нетривиальных непрерывных решений являются условиями, при которых могут возникать волны. Аналогичная ситуация имеет место в задачах A.M. Ляпунова о фигурах равновесия вращающейся жидкости, в которых существование нескольких решений означает, что возможны несколько различных фигур равновесия, и в ряде нелинейных задач теории упругости, в которых различные решения соответствуют различным формам потери устойчивости, возможным при тех или иных нагрузках.

Таким образом, исследование нелинейных (интегральных и дискретных) уравнений с произвольными параметрами имеет не только теоретическое, но и важное прикладное значение.

Приступим теперь к изложению основных результатов диссертации, состоящей из восьми глав.

Первая глава (§§1-5) носит вспомогательный характер. Здесь для удобства ссылок приводятся необходимые сведения из теории функций и функционального анализа, касающиеся линейных и нелинейных операторов, действующих в банаховых пространствах. При этом некоторые утверждения, являющиеся простыми следствиями известных результатов, формулируются в удобном, для применения в последующих главах виде. В §1 приводятся основные сведения из теории монотонных (по Браудеру-Минти) операторов, ставшие уже классическими, и его наличие связано в первую очередь с тем, что оба центральных термина, используемых в диссертации, "положительный оператор" и "монотонный оператор" имеют различный смысл в теории операторов в полуупорядоченных пространствах с конусом и в теории операторов в рефлексивных пространствах. Известно (см. книги М.М. Вайнберга [65], X. Гаевского, К. Грегера, К. Захариаса [73], Ж.Л. Лионса [111] и др.), что метод монотонных операторов является в настоящее время одним из наиболее плодотворных методов нелинейного функционального анализа и нашел широкое применение в различных вопросах математики и ее приложений: в теории нелинейных интегральных уравнений Гаммерштейна и Урысона, в общей теории краевых задач и математической физике, нелинейной механике и теории игр, и других. Важными и основополагающими в этой области являются исследования Г. Минти, Ф. Браудера, Ж. Лере, Ж.Л. Лионса и других. Следует отметить также исследования М.И. Вишика [67], который еще до построения этой теории использовал свойство монотонности сильно эллиптического оператора, М.М. Вайнберга [65] и Р.И. Качуровского [100], которые получили основные результаты этой теории при дополнительном условии потенциальности рассматриваемых операторов, и многих других (см. монографии [65], [73], [111] и работы [88], [100], где приведена история вопроса и обширная библиография). В результате этих исследований была установлена основная теорема теории монотонных операторов - теорема Браудера-Минти (см. теорема 1.1), которая утверждает, что уравнение Аи — f имеет решение в вещественном рефлексивном банаховом пространстве X, если / £ X* и А : X —> X* является слабо непрерывным, монотонным и коэрцитивным оператором, где X* есть сопряженное с X пространство. В последние годы предпринимались многочисленные попытки ослабить хотя бы одно из приведенных условий на оператор А (подробнее см. [110]). Оказалось, что условие монотонности можно заменить во многих случаях на так называемое (М)-свойство, которое по-видимому является предельным в рамках теории монотонных операторов, а условие коэрцитивности, в случае нечетных (по С.И. Похожаеву [128]) операторов - на специальное условие возрастания оператора: ]|Агг||х* —> оо, если |Н|х —> оо. В результате, в настоящее время, теория монотонных операторов разделилась на два соответствующих параллельных направления: уравнения с коэрцитивными операторами, обладающими свойством (М), и уравнения с нечетными возрастающими операторами. Новыми в §2 являются доказательство коэрцитивности в весовых пространствах Лебега оператора обратного к оператору Немыцкого (лемма 2.1), теорема 4.2, леммы 4.1 и 4.2 о строгой положительности операторов типа потенциала и дробного интегрирования.

Глава 2 (§§6-11) посвящена исследованию нелинейных сингулярных интегральных уравнений с ядрами Коши и Гильберта в весовых вещественных пространствах Лебега Ьр{р) при любых (не обязательно малых) значениях параметров. Известно [94], [120], что систематическое исследование нелинейных сингулярных интегральных уравнений было начато в середине прошлого столетия академиком АН Аз. ССР А. И. Гусейновым. Так в работе [80] (1947 г.) им было рассмотрено уравнение с ядром Гильберта

Обобщив теорему И.И. Привалова об ограниченности сингулярного оператора с ядром Гильберта в пространстве Гельдера Н$ (0 < 6 < 1), с помощью принципа Шаудера он доказал локальную теорему о существовании решения уравнения (0.1) в случае достаточно малых по модулю значений параметра Л в Н§. Полученные результаты были им использованы при решении задачи конформного отображения единичного круга на область, близкую к кругу (см., также, книгу В. Коппенфельса, Ф. Штальмана [102, с. 201], где подобная задача решена методом Теодорсена-Гаррика, и статью Б.И. Гехта [77], где изучаются нелинейные сингулярные интегральные уравнения, к которым приводит задача о построении конформного отображения на круговое кольцо области, близкой к этому кольцу). Следующий глубокий результат был получен А.И. Гусейновым в работе [81] (1948 г.), где в специально построенном им классе Ha,ß,s доказана разрешимость нелинейного сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши

7Г

0.1)

7Г

0.2) при малых значениях Л. В дальнейшем результаты А.И. Гусейнова были уточнены и развиты им самим, а также в работах Д. Пшеворской-Ролевич, В. Погожельского, A.A. Бабаева, Х.Ш. Мухтарова и многих других (см. введение в книге [83], где дан обстоятельный обзор работ 1946-1980 гг. по теории нелинейных сингулярных интегральных уравнений, а также монографию Е. Wegert [225]). Например, в работе В.К. Наталевича [124] изучено более общее, чем (0.1), уравнение с ядром Гильберта, что позволило выявить существенные особенности нелинейных сингулярных интегральных уравнений, отличающие их от регулярных уравнений. В.К. Наталевич показал, что при малых Л разрешимость и число решений этого нелинейного сингулярного интегрального уравнения зависят от разрешимости и числа решений соответствующего линейного уравнения. Для всех этих работ, посвященных исследованию нелинейных сингулярных интегральных уравнений, характерно то, что существование и единственность решений устанавливается, как правило, лишь в случае малых по модулю значений параметра. Это обусловлено тем, что в них за счет жестких ограничений на параметр Л обеспечивается применимость топологического принципа Шаудера и принципа сжимающих отображений.

Первая попытка доказать теорему существования и единственности решения при произвольном значении параметра Л для одного класса нелинейных сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши вида (0.2) в классе Гельдера Н$ была предпринята в работах Р. Денчева [86] и других (см. [83, с. 21]), в которых исследование основано на теореме о неявной функции. Однако, фактически удалось доказать лишь то, что если нелинейное сингулярное интегральное уравнение имеет решение при Л = Ао, то оно имеет решение и при некотором Л > Ао (доказательство в [86, формула (27) и далее], содержит неисправимую ошибку). Это связано с тем, что при применении классических теорем о неявной функции к нелинейным сингулярным интегральным уравнениям предположение о дифференциру-емости нелинейности в случае пространств Лебега Lp приводит к вырождению нелинейности, т.е. уравнение становится фактически линейным, а в случае пространств Гельдера Н& это предположение приводит к весьма жестким и мало обозримым ограничениям на нелинейность.

К нелинейным сингулярным интегральным уравнениям применялись и другие методы исследования: метод Ньютона-Канторовича (J1.C. Бабин-чук, В.И. Иваницкий и др.), метод механических квадратур (A.A. Бабаев, В.В. Салаев и др.), метод осреднения функциональных поправок Ю.Д. Соколова (Х.Ш. Мухтаров, Э.И. Эфендиев и др.), квадратурно-итерационный метод (Б.Г. Габдулхаев, И.В. Бойков и др.), а также методы коллокаций, редукции, проекционно-итерациоиный и другие (см. [71], [83], [94], [218], [225]).

Впервые возможность применения к нелинейным сингулярным интегральным уравнениям метода монотонных операторов была отмечена в 1968 г. в работе Н. Amann [152], посвященной уравнениям Гаммерштейна, в которой приведены два примера уравнений с ядром Гильберта вида:

1 ^ ( 1 \ и(х) + — J (1 + ctg ^ • f(y, и(у)) dy = о , -<k<x<<jt, (0.3)

7Г

7Г ~ [ ^g^--f(y,u{y))dy = 0 , -7г<х<7г, £ = ±1, (0.4) имеющих единственное решение в гильбертовом пространстве Ь2[—тг,тг]. Затем в 1977 г. Г.М. Магомедов [114] применил этот метод в Lp(—a,a) к нелинейным уравнениям с ядром Коши также частного вида - [ ds = дЛх), u(x) + X-F х, [ -^-ds = д2(х). tv J s — x J s — x a —a

0.5)

В 1979 г. А.И. Гусейнов и Х.Ш. Мухтаров [82] доказали, что уравнение и(х) + -[ ds + X- F[x, ii(®)] = f{x) (0.6)

Tri s~x имеет решение в пространстве Lp(p) с весом р(х) = (х— 0 < a,ß < где р > 2 • max (¿Е^, ® 1980 г> вышла монография

А.И. Гусейнова и Х.Ш. Мухтарова [83], в которой приводится лишь один (из упомянутых) результат, касающийся уравнения (0.6), так как попытка использования формулы Пуанкаре-Бертрана (см. [83, с. 298]) для сведения уравнений вида (0.5) к уравнению вида (0.6) не привела к желаемым результатам (в работе [114] имеются неточности).

В 1979-1980 гг. автор [3]-[7] исследовал уравнения более общего вида:

Хт{х) + — } К(х>*УиМ ds + Лз . F[x, и(х)] = f{x) (0.7)

7т { s — x в пространстве Lp(p), р > 2, с весом р{х) — (х — а)а(Ь — х)13, где

-1<а,/3<|-1 при р > 2 и -1<а,р<0 при р = 2 , (0.8) ¿j Л j K(x,s).F[s,u(s)] ds = (х) m кi s-х в пространстве Lp(p) с тем же весом, но при условии, что 1 < р < 2 и

-1<а,р<р-1 при 1 < р < 2 и 0<ск,^<1 при р = 2 , (0.10) £ и уравнение гг(ж) + Л • F в пространстве Lp{p) при предположениях (0.8).

Отметим, что условия (0.8) и (0.10), найденные автором, впоследствии широко использовались в работах JI. Вольферсдорфа [227]-[232].

В отличие от работы [114] в [3]-[7] была доказана разрешимость уравнений вида (0.9) и (0.11) при принципиально других ограничениях (см. примечание референта С.Г. Самко в РЖ Математика, 1984, N8B569, а также статью JI. Вольферсдорфа [227]). При этом, исследование в [114] основано на обращении линейных сингулярных интегральных операторов, а наше - на обращении нелинейных функциональных операторов (используя их строгую монотонность). Кроме того из результатов автора как прямое следствие вытекает, что в книге [83] можно брать не только положительные, но и отрицательные а и (3. Более того автором показано, что условие коэрцитивности при р = 2 является излишним (см. замечание 8.1).

В дальнейшем, как отметил в РЖ Матем, 1983, N12B629, Л.Д. Кудрявцев, в нашей совместной работе [54] было доказано, что и в случае уравнения вида (0.9) условие коэрцитивности является излишним. Подобный результат позже независимо опубликовал J1. Вольферсдорф [227]. и x,J

К(х, s) • u(s) ds s — x m,

0.11)

В 1980 году нами было начато систематическое изучение нелинейных сингулярных интегральных уравнений с ядрами Коши и Гильберта в пространствах Лебега с общим, не обязательно степенным, весом.

Основные результаты, полученные в главе 2, состоят в следующем:

1) без ограничений на абсолютную величину параметра Л доказаны глобальные теоремы существования и единственности решения в пространствах Lp(p) с общим весом р(х) для уравнения: A-Fu+Su = /, u+X-SFu — f и и-\- А • FSu = /, где F - нелинейный оператор суперпозиции, a S - сингулярный оператор (с ядром Коши или Гильберта) как в случае конечного, так и (впервые) бесконечного контура интегрирования. При дополнительных ограничениях на нелинейность получены оценки норм этих решений. Из этих оценок, в частности, вытекает, что соответствующие однородные уравнения (/ = 0) имеют в Lp(p) лишь тривиальное решение и = 0. Следует отметить, что случай бесконечного контура интегрирования оказался труднее для исследования, так как сингулярный оператор S положителен в L^R1) лишь при р = 2.

2) при р = 2 впервые, без ограничений на параметры, комбинированием метода монотонных операторов и принципа сжимающих отображений показано, что решения всех, указанных в п. 1), уравнений можно найти методом последовательных приближений пикаровского типа, причем в случае, когда роль сингулярного оператора S играет интегральное преобразование Гильберта G, итерационные формулы и оценки скорости сходимости последовательных приближений получены в терминах исходных операторов G и F (в случае уравнений вида (0.9) и (0.11) они получены в терминах операторов S и У'1"1). Следует отметить, что до наших работ приближенные методы применялись к таким уравнениям лишь при малых Л.

В основе этих результатов лежит тот факт, что сингулярный оператор обладает свойством 3.1 (см. §3), имеющим не только теоретическое, но и важное прикладное значение (см. работы Е.О. Tuck [224], W. McLean [200], E.R. Love [198] и A.D. Fitt [187], где разобраны задачи гидро- и аэродинамики, в анализе которых существенно используется это свойство).

Все результаты главы 2 принадлежат автору и опубликованы в работах

3] - [13], [29], [54] и [55]. В наших совместных с Х.Ш. Мухтаровым работах [54] и [55], как отмечено в [55, стр. 277], дано обобщение некоторых результатов автора [10], касающихся нелинейных сингулярных интегральных уравнений с ядром Гильберта.

В главе 3 (§§12-15) впервые нелинейные сингулярные интегральные уравнения изучаются методом монотонных операторов в весовых комплексных пространствах Лебега Ьр(р). Здесь получены аналоги основных результатов главы 2 для уравнений вида:

Ь{х) ии(в) + Ь(в) т{х) ] и(з)

А 00

А: а(х) и{х) Н—- /

7Г •> —оо в — X А3 Г[х, и(х)] = /(X), и(х) + — [

7Г ■>

А 7 Ъ^Ы^+Ъ^)™^) ^М(з)] X ск = /(х), и{х) + ХГ оо

X,- /

Ь(х) + Ь(в) ги(х) и(з)

7Г оо в — X

Показано, что числовые параметры могут принимать и комплексные значения. В случае комплексного пространства /^(Н/1) найден эффективный метод доказательства основных теорем, сводящий исследование всех классов нелинейных сингулярных интегральных уравнений к уравнениям вида (0.7).

Интересно отметить, что подобные оператору

-1 со

ФгО(х) = ± /

7Г •> —оо

Ь{х) + &($) ги(х) ф) в — х сингулярные интегральные операторы (со знаком минус в числителе вместо знака плюс) играют важную роль в теории дифференциальных уравнений и детерминантов Фредгольма [222], случайных матриц [201] и др.

Результаты главы 3 принадлежат автору и опубликованы в [156] и [29].

Глава 4 (§§16-20) посвящена нелинейным интегральным уравнениям с ядрами типа потенциала и нелинейным уравнениям с интегралами дробного (в смысле Римана-Лиувилля) порядка. Здесь получены подобные, приведенным в главах 2 и 3, результаты в случае, когда роль сингулярного оператора S играет оператор типа потенциала Ia. Важно отметить, что оператор /а, в отличие от оператора S, является потенциальным, то есть градиентом некоторого функционала. Это свойство оператора Ia позволило не только существенно улучшить оценки скорости сходимости последовательных приближений, но и, в отличие от нелинейных сингулярных интегральных уравнений, применить градиентный метод (метод наискорейшего спуска) при р 2. Кроме того, рассмотрены три различных класса нелинейных интегральных уравнений, содержащих операторы ви-1 да (Pqiu)(x) = î (р{\х — í|) u(t) dt, частными случаями которых являются потенциалы Рисса и логарифмические потенциалы. Обобщая результаты A.M. Нахушева [126], найдены условия положительности таких операторов. Рассмотренные в этой главе нелинейные интегральные уравнения с ядрами типа потенциала методом монотонных операторов ранее не изучались. Все результаты главы 4 принадлежат автору и опубликованы в работах [15], [22], [29], [32] и [34].

Следует отметить, что положительность различных классов операторов типа потенциала и дробного (непрерывного и дискретного) интегродиф-ференцирования доказана в книге A.M. Нахушева [126], где, в частности, обобщаются результаты С. Геллерстедта и Ф. Трикоми [137, с. 386] (см., также, [133, с. 235]). В книге D. Porter, D. Stirling [219], используя другой подход, также доказывается положительность различных операторов, в том числе и с ядрами типа потенциала. Нелинейные уравнения с ядрами типа потенциала и интегралами дробного порядка наиболее полно изучены в вольтерровском случае и в случае когда интегрирование проводится по ограниченной области (см. работы П.П. Забрейко, В.Б. Мороз [90], Г.А. Несененко [127], D.D. Ang, R. Gorenflo [153], R. Gorenflo, S. Vesella [190], A.A. Kilbas, M. Saigo [196], P. Zabrejko, S. Rogosin [235] и указанную в них литературу). Следует отметить работу Д.В. Прохорова, В.Д. Степанова [130], в которой получен критерий существования "в малом" решения уравнения с дробным интегралом Римана-Лиувилля на полуоси и степенной нелинейностью в классе неотрицательных почти всюду конечных функций.

В главе 5 (§§21-26) впервые методом монотонных операторов изучаются нелинейные интегральные уравнения типа свертки вида

Л F[x, и(ж)] + J h{x- t) u{t) dt = f(x), (0.12) г u(x) + Л У h(x — t) F[t, w(£)] dt = f(x), (0.13) u(x) + Л F ж, J h(x — t) u(t) dt № , (0.14) в вещественных пространствах Лебега 1/р(Г) как в периодическом (при Г = [—7г, 7г]), так и не периодическом (при Г = (—оо, оо) и Г = [0, сю)) случаях. Здесь найдены условия вида (21.1) на ядро оператора свертки Н} при которых этот оператор обладает свойствами положительности, строгой положительности и потенциальности. Приведены многочисленные примеры ядер, удовлетворяющих этим условиям. Установленные свойства оператора свертки позволили для различных классов нелинейных интегральных уравнений типа свертки получить аналоги результатов, доказанных в предыдущих главах для нелинейных сингулярных интегральных уравнений и нелинейных интегральных уравнений с ядрами типа потенциала. Кроме того, в отличие от нелинейных сингулярных интегральных уравнений и нелинейных интегральных уравнений с ядрами типа потенциала, для уравнений вида (0.12)-(0.14) доказаны глобальные теоремы существования и единственности в Ьр(Г) как при 1 < р < 2, так и при 2 < р < оо. При этом построены приближенные решения не только в случае гильбертовых пространств но и, используя методы теории потенциальных монотонных операторов, в случае весовых пространств Лебега Ьр(д). Следует отметить, что в случае нелинейных интегральных уравнений типа свертки ограничения на показатель р существенно отличаются от соответствующих ограничений в случаях нелинейных сингулярных интегральных уравнений и нелинейных интегральных уравнений с ядрами типа потенциала, однако условия накладываемые на нелинейность Р имеют тот же вид.

Все результаты главы 5 принадлежат автору и опубликованы в работах [8], [11], [19], [23], [30], [55], [56] и [155], за исключением теорем 22.2 и 22.9, доказанных совместно с Х.Ш. Мухтаровым в работах [55], [56], и обобщающих результаты автора [8] на случай весовых пространств Ьр{д).

Условие вида (21.1) хорошо известно в теории непрерывных положительно-определенных на конечном промежутке по Бохнеру функций, играющих центральную роль в гармоническом анализе (см., например, книги Р. Эдвардса [150], [151] и статьи J.A. Nohel, D.F. Shea [207], [208], O.J. Staffans [221]). Положительная определенность функции h(x) G С[—7г, 7г] вида (21.24) в случае комплекснозначной 2 7г-периодической функции д{х) G 7Г, 7г) отмечена в [150, с. 178], а ее четность в случае вещественной функции д{х) G Z/2(—оо, сю) доказана H.H. Лузиным [113, с. 295]. Другие методы исследования нелинейных интегральных уравнений типа свертки рассмотрены в работах V.E. Benes [162], [163], K.L. Cooke, J.L. Kaplan [175], О. Diekman [179], О. Diekman, H.G. Kaper [180], W.G. El-Sayed [183], M. Feckan [185], R. Lui [199] и многих других (см. [191]).

Глава 6 (§§27-33) посвящена нелинейному уравнению типа свертки вида X иа(х) = J к(х- t)u(t) dt + f(x), а > 1, х G [0, оо), (0.15) о решения которого разыскиваются в конусе

Q+ = {и{х) : и(х) G С[0, сю) и и(х) > 0 при х > 0} .

Исследование основывается на некоторой модификации принципа сжимающих отображений Банаха - так называемом методе весовых метрик (аналог метода А. Белецкого), позволяющем при удачном выборе метрики доказывать непосредственно глобальные теоремы существования и единственности без ограничений на область определения решений. В §27 дано уточнение результатов W. Okrasinski [209]-[211]. Часть результатов §§28, 30 и 32 получены совместно с М.А. Бетилгириевым, Н.К. Карапетянцем и А.Я. Якубовым в работах [39]-[46], [50]-[53], [159] и [160] и принадлежат каждому соавтору в равной мере (см. обзор [52, с. 9]). Результаты §§29, 31 и 33 принадлежат автору. В частности, автором до конца изучен случай ядер вида к{х) — р • xv + 1{х), р > 0, и > —1, где функция £(х) удовлетворяет условию lim£(x)x~I/ = 0. Показано, что случаи — 1 < v < 0 и

V > 0 требуют своего особого подхода. В случае неубывающих на [0,оо) функций к{х) и f{x) автором доказаны неулучшаемые априорные оценки решений уравнения (0.15): а — 1 а

1/(а-1) и(х)< а — 1 а о

1С

J k{t)dt^fa~^a{x)

1/(а-1) и доказана непрерывная зависимость решения уравнения (0.15) относительно колебаний этих функций в терминах одной и той же, в отличие от [52, 53, 210], метрики. Показана необходимость верхней априорной оценки для корректности результатов предшествующих работ. В случае суммарных ядер при построении метрики в качестве весовой функции берется не нижняя, а верхняя априорная оценка. В §33 рассмотрены уравнения более общего вида и доказаны некоторые новые оценки решений нелинейных интегральных неравенств, путем сведения их к линейным неравенствам.

В связи с результатами главы 6 отметим работы Н.К. Карапетянца [97], [98], З.Б. Цалюка [148], P.J. Bushell, W. Mydlarczyk, W. Okrasinski [168], [169]-[173], [205], [212]-[216], N.K. Karapetyants, A.A. Kilbas, M. Saigo, S.G. Samko [192], [193], [143] и L.v. Wolfersdorf [234] (обзор этих работ дан в нашей совместной с М.А. Бетилгириевым монографии [45, §9]).

В главе 7 (§§34-37) результаты предыдущих глав обобщаются на случай соответствующих конечных систем нелинейных сингулярных интегральных уравнений, нелинейных интегральных уравнений с ядрами типа потенциала и нелинейных интегральных уравнений типа свертки, причем системы нелинейных интегральных уравнений типа свертки рассматриваются как в вещественных пространствах вектор-функций Лебега, так и в конусах пространства непрерывных на положительной полуоси функций. Результаты §34 получены в работах [43], [45], [53], [159] и принадлежат каждому из соавторов в равной мере. Результаты §§35-37 принадлежат автору и опубликованы в [6], [7], [9], [10], [25] и [29]. В этих работах метод монотонных операторов впервые применяется к системам нелинейных сингулярных интегральных уравнений, нелинейных интегральных уравнений с ядрами типа потенциала и нелинейных интегральных уравнений типа свертки.

В главе 8 (§§38-41) изучаются различные классы нелинейных дискретных уравнений типа свертки в вещественных и комплексных пространствах числовых последовательностей £р, а также в различных конусах пространства всех числовых последовательностей s. Дано сравнение полученных результатов с их континуальными аналогами, приведенными в главах 5 и 6. Оказывается, что нелинейные дискретные уравнения типа свертки могут иметь континуум решений, в то время как соответствующие нелинейные интегральные уравнения типа свертки имеют лишь тривиальное решение. Кроме того, поскольку в дискретном случае нет принципиальных различий между линейными уравнениями первого и второго родов, то положительная определенность дискретного (в отличие от интегрального) оператора свертки вполне возможна. Результаты §38, касающиеся неубывающих ядер, получены в совместных работах [51] и [52], а результаты, касающиеся более трудного для исследования случая невозрастающих ядер, получены автором в [33]. Результаты §§39-40 получены в совместных работах с Н.К. Карапетянцем [48], [49] и [161] и являются дискретными аналогами результатов автора, изложенных в главе 5. В §41 приводятся оценки решений нелинейных дискретных неравенств, опубликованные в работах автора [31] и [36]. В частности, обобщаются, уточняются и дополняются некоторые результаты, полученные B.G. Pachpatte [217] и D. Willett, J.S.W. Wong [226].

1. Аннин, БД. Упруго-жестко-пластическое кручение цилиндрического стержня овального сечения / Б.Д. Аннин // Докл. АН СССР. - 1963. - Т. 149. - N5. - С. 1043-1046.

2. Арабаджян, Л. Г. Уравнения в свертках и нелинейные функциональные уравнения / Л.Г. Арабаджян, Н.Б. Енгибарян // "Матем. анализ. Т. 22 (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР)". М., 1984. С. 175-244.

3. Асхабов, С.Н. Исследование нелинейных сингулярных интегральных уравнений методом монотонных операторов / С.Н. Асхабов // Функциональный анализ, теория функций и их приложения: Сб. науч. тр. Махачкала: Даг. ун-т, 1979. - Вып. 4. - С. 43-50.

4. Асхабов, С.Н. Исследование нелинейных сингулярных интегральных уравнений методом монотонных операторов / С.Н. Асхабов // Изв. Сев.-Кавк. научн. центра высшей школы. Естеств. науки. 1980. - N2. - С. 3-5.

5. Асхабов, С.Н. О применимости метода монотонных операторов к нелинейным сингулярным уравнениям в Ь2(—оо,оо) / С.Н. Асхабов // Докл. АН Азерб. ССР. 1980. - Т. 36. - N7. - С. 28-31.

6. Асхабов, С.Н. О применимости метода монотонных операторов к нелинейным сингулярным интегральным уравнениям и их системам в Ь2,„{~оо,оо) / С.Н. Асхабов // Деп. в ВИНИТИ 11 июля 1980, N2959-80. 17 с.

7. Асхабов, С.Н. Применение метода монотонных операторов к нелинейным сингулярным интегральным уравнениям и их системам в Ьр<п(р) / С.Н. Асхабов // Деп. в ВИНИТИ 18 июля 1980, N3163-80. 20 с.

8. Асхабов, С.Н. Применение метода монотонных операторов к некоторым нелинейным уравнениям типа свертки и сингулярным интегральным уравнениям / С.Н. Асхабов // Изв. ВУЗов. Матем. 1981. - N9. - С. 64-66.

9. Асхабов, С.Н. Применение метода монотонных операторов к некоторым классам нелинейных сингулярных интегральных уравнений и их системам в Ьр п (р) / С.Н. Асхабов // Деп. в ВИНИТИ 12 февраля 1981, N684-81. 28 с.

10. Асхабов, С.Н. Применение метода монотонных операторов к решению нелинейных сингулярных интегральных уравнений и их систем: Ав-тореф. дис. . канд. физ.-матем. наук / С.Н. Асхабов Ростов-на-Дону: РГУ, 1982. - 20 с.

11. Асхабов, С.Н. Исследование некоторых нелинейных уравнений типа свертки и сингулярных интегральных уравнений методом монотонных операторов / С.Н. Асхабов // Математический анализ и его приложения: Сб. науч. тр. Грозный: Чеч.-Инг. ун-т, 1984. - С. 37-46.

12. Асхабов, С.Н. Исследование нелинейных сингулярных интегральных уравнений (НСИУ) с ядром Гильберта методом монотонных операторов / С.Н. Асхабов // Известия Сев.-Кавк. научн. центра высшей школы. Естеств. науки. 1986. - N3. - С. 33-36.

13. Асхабов, С.Н. Сингулярные интегральные уравнения с монотонной нелинейностью / С.Н. Асхабов // Деп. в ВИНИТИ 04.12.89, N7198-689. -75 с.

14. Асхабов, С.Н. Интегральные уравнения с ядрами типа потенциала и монотонной нелинейностью / С.Н. Асхабов // Труды физ. общ-ва респ. Адыгея. 2000. - N5. - С. 72-76.

15. Асхабов, С.Н. Оценки решений интегральных уравнений Вольтерра со степенной нелинейностью и их применения / С.Н. Асхабов // Там же. -С. 77-85.

16. Асхабов, С.Н. Применение градиентного метода к нелинейным уравнениям Винера-Хопфа / С.Н. Асхабов // "Современные методы в теории краевых задач. Понтрягинские чтения XII". Воронеж, 2001. С. 10.

17. Асхабов, С.Н. О неравенствах типа Гронуолла-Беллмана со степенной нелинейностью / С.Н. Асхабов // Труды физ. общ-ва респ. Адыгея. -2001. N6. - С. 88-92.

18. Асхабов, С.Н. Приближенное решение нелинейных уравнений типасвертки градиентным методом / С.Н. Асхабов // Там же. С. 93-98.

19. Асхабов, С.Н. Неравенства Чебышева и их приложения к нелинейным уравнениям типа свертки / С.Н. Асхабов // Междун. конф. "Математические идеи П.Л.Чебышева и их приложения к современным проблемам естествознания". Обнинск, 2002. С. 7-8.

20. Асхабов, С.Н. Решение нелинейных интегральных уравнений с операторами типа потенциала методом последовательных приближений / С.Н. Асхабов // Труды физ. общ-ва респ. Адыгея. 2002. - N7. - С. 43-48.

21. Асхабов, С.Н. Нелинейные интегральные уравнения с разностными ядрами / С.Н. Асхабов // Там же. 2003. - N8. - С. 21-36.

22. Асхабов, С.Н. Неравенства Чебышева и их применения к нелинейным дискретным уравнениям типа свертки / С.Н. Асхабов //II Междун. конф. "Математические идеи П.Л.Чебышева и их приложения к современным проблемам естествознания". Обнинск, 2004. С. 4-7.

23. Асхабов, С.Н. Метод монотонности в теории нелинейных интегральных уравнений с разностными ядрами / С.Н. Асхабов // Современные проблемы математики и информатики: Сб. науч. тр. Вып. 1. Армавир: Ред.-изд. центр АГПУ, 2004. С. 6-9.

24. Асхабов, С.Н. Нелинейные интегральные неравенства вольтерров-ского типа / С.Н. Асхабов // Там же. С. 9-13.

25. Асхабов, С.Н. Нелинейные уравнения с разностными ядрами в комплексных пространствах / С.Н. Асхабов // Современные методы теории краевых задач. Материалы ВВМШ "Понтрягинские чтения XV". Воронеж: ВГУ, 2004. - С. 15-16.

26. Асхабов, С.Н. Сингулярные интегральные уравнения и уравнения типа свертки с монотонной нелинейностью / С.Н. Асхабов. Майкоп: изд-во МГТУ, 2004. - 388 с.

27. Асхабов, С.Н. Нелинейные интегральные уравнения с ядрами типа потенциала на отрезке / С.Н. Асхабов // III Междун. конфер. "Матем. идеи П.Л.Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания". Тезисы докл. Обнинск, 2006. С. 12-14.

28. Асхабов, С.Н. Нелинейные интегральные уравнения типа свертки на отрезке / С.Н. Асхабов // Известия вузов. Сев.-Кав. per. Естеств. науки. -2007. N1. - С. 3-5.

29. Асхабов, С.Н. Нелинейные дискретные уравнения типа свертки с невозрастающим ядром / С.Н. Асхабов // Вестник Чеченского госуниверситета. 2007. - Выпуск 1. - С. 22-29.

30. Асхабов, С.Н. Нелинейные уравнения с интегралами дробного порядка / С.Н. Асхабов // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. акад. наук.2007. Т. 9. - N1. С. 9-14.

31. Асхабов, С.Н. О некоторых линейных и нелинейных дискретных неравенствах / С.Н. Асхабов // Вестник Чеченского госуниверситета.2008. Вып. 1. - С. 3-10.

32. Асхабов, С.Н. Нелинейные уравнения типа свертки / С.Н. Асхабов. М.: Физматлит, 2009. - 304 с.

33. Асхабов, С.Н. Об одном нелинейном уравнении типа свертки с почти возрастающим ядром / С.Н. Асхабов, М.А. Бетилгириев // В сб. "Корректные краевые задачи для неклассических уравнений". СО АН СССР. Ин-т мат. Новосибирск, 1990. С. 55-58.

34. Асхабов, С.Н. Нелинейные интегральные уравнения типа свертки с почти возрастающими ядрами в конусах / С.Н. Асхабов, М.А. Бетилгириев // Дифференц. уравнения. 1991. - Т. 27. - N2. - С. 321-330.

35. Асхабов, С.Н. Нелинейные интегральные уравнения типа свертки в конусах / С.Н. Асхабов, М.А. Бетилгириев // Деп. в ВИНИТИ 14.02.92, N494-B92. 24 с.

36. Асхабов, С.Н. Априорные оценки решений нелинейного интегрального уравнения типа свертки и их приложения / С.Н. Асхабов, М.А. Бетилгириев // Математ. заметки. 1993. - Т. 54. - N5. - С. 3-12.

37. Асхабов, С.Н. Системы уравнений типа свертки с неоднородностью в линейной части / С.Н. Асхабов, М.А. Бетилгириев // В сб. "Неклассические уравнения матем. физики". Новосибирск: НГУ, 1993. С. 40-43.

38. Асхабов, С.Н. О нелинейных уравнениях вольтерровского типа / С.Н. Асхабов, М.А. Бетилгириев // В сб. "Интегро-дифференц. операторы и их приложения". Ростов-на-Дону: ДГТУ, 2001. Вып. 5. - С. 11-17.

39. Асхабов, С.Н. Интегральные уравнения типа свертки со степенной нелинейностью / С.Н. Асхабов, М.А. Бетилгириев. Ростов-на-Дону: Из-дат. центр ДГТУ, 2001. - 154 с.

40. Асхабов, С.Н. Нелинейное уравнение Винера Хопфа: Метод, указания к спецкурсу / С.Н. Асхабов, Н.К. Карапетянц. - Грозный: Изд-во Чеч.-Инг. гос. ун-та, 1986. - 35 с.

41. Асхабов, С.Н. О некоторых уравнениях типа свертки с монотонной нелинейностью / С.Н. Асхабов, Н.К. Карапетянц // В сб. "Неклассические дифференц. уравнения в частных производных". ИМ СО АН СССР. Новосибирск, 1988. С. 108-111.

42. Асхабов, С.Н. Дискретные уравнения типа свертки с монотонной нелинейностью / С.Н. Асхабов, Н.К. Карапетянц // Дифференц. уравнения. 1989. - Т. 25. - N10. - С. 1777-1784.

43. Асхабов, С.Н. Дискретные уравнения типа свертки с монотонной нелинейностью в комплексных пространствах / С.Н. Асхабов, Н.К. Карапетянц // Доклады РАН. 1992. - Т. 322. - N6. - С. 1015-1018.

44. Асхабов, С.Н. Об одном нелинейном уравнении типа свертки /С.Н. Асхабов, Н.К. Карапетянц, А.Я. Якубов // Дифференц. уравнения. 1986. - Т. 22. - N9. - С. 1606-1609.

45. Асхабов, С.Н. Дискретные уравнения типа свертки со степенной нелинейностью / С.Н. Асхабов, Н.К. Карапетянц, А.Я. Якубов // Докл. АН СССР. 1987. - Т. 296. - N3. - С. 521-524.

46. Асхабов, С.Н. Нелинейные уравнения Винера-Хопфа / С.Н. Асхабов, Н.К. Карапетянц, А.Я. Якубов // Деп. в ВИНИТИ 25.11.88, N8341. -144 с.

47. Асхабов, С.Н. Интегральные уравнения типа свертки со степенной нелинейностью и их системы / С.Н. Асхабов, Н.К. Карапетянц, А.Я. Якубов // Докл. АН СССР. 1990. - Т. 311. - N5. - С. 1035-1039.

48. Асхабов, С.Н. Метод монотонных операторов в теории нелинейных сингулярных интегральных уравнений / С.Н. Асхабов, Х.Ш. Мухтаров // Деп. в ВИНИТИ 8 февраля 1983, N663-83. 14 с.

49. Асхабов, С.Н. Оценки решений некоторых нелинейных уравнений типа свертки и сингулярных интегральных уравнений / С.Н. Асхабов, Х.Ш. Мухтаров // Докл. АН СССР. 1986. - Т. 288. - N2. - С. 275-278.

50. Асхабов, С.Н. Об одном классе нелинейных интегральных уравнений типа свертки / С.Н. Асхабов, Х.Ш. Мухтаров // Дифференц. уравнения. 1987. - Т. 23. - N9. - С. 512-514.

51. Бабаев, A.A. Решение системы интегро-функциональных уравнений контактных задач с нелинейным трением / A.A. Бабаев, Б.И. Мусаев // Дифференц. уравнения. 1996. - Т. 32. - N8. - С. 1093-1101.

52. Бабенко, К.И. О сопряженных функциях / К.И. Бабенко // Доклады АН СССР. 1948. - Т. 62. - N2. - С. 157-160.

53. Байчоров, Х.Я. Общие положения об обтекании пористого круглого цилиндра плоско-параллельным потоком идеальной несжимаемой жидкости / Х.Я. Байчоров // Вестник МГУ. Сер. физ.-матем. и ест. н. 1951. -N10. - С. 23-31.

54. Байчоров, Х.Я. Обтекание пористого круглого цилиндра плоско -параллельным потоком идеальной несжимаемой жидкости при линейном и квадратичном законе фильтрации / Х.Я. Байчоров // Там же. 1952. -N8. - С. 73-87.

55. Белецкий, А. Заметка о применении метода Банаха Каччиополи - Тихонова в теории обыкновенных дифференциальных уравнений / А. Белецкий // Бюллетень Польской Академии Наук. - 1956. - Отд. III. - Т. 4. - N5. - С. 255-258.

56. Бернштейн, С.Н. О майорантах конечного или квазиконечного роста / С.Н. Бернштейн // Докл. АН СССР. 1949. - Т. 65. - N2. - С. 117-120.

57. Бернштейн, С.Н. Об антимайорантах / С.Н. Бернштейн // Изв. АН СССР. Сер. матем. наук. 1952. - Т. 16. - N4. - С. 497-502.

58. Вайиберг, М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов / М.М. Вайнберг. М.: Гостехиздат, 1956. - 344 с.

59. Вайнберг, М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений / М.М. Вайнберг. М.: Наука, 1972. -416 с.

60. Вайнберг, М.М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М.М. Вайнберг, В.А. Треногин. М.: Наука, 1969. - 527 с.

61. Вишик, М.И. Квазилинейные сильно эллиптические системы дифференциальных уравнений, имеющие дивергентную форму / М.И. Вишик // Тр. Моск. матем. о-ва. 1963. - Т. 12. - С. 125-184.

62. Владимиров, В. С. Уравнение Винера-Хопфа в алгебрах Неванлинны и Смирнова / B.C. Владимиров // Изв. АН СССР. 1987. - Т. 51. - N4. -С. 767-784.

63. Владимиров, B.C. Уравнение Винера-Хопфа на полуоси в алгебрах Неванлинны и Смирнова / B.C. Владимиров // Докл. АН СССР. 1987. -Т. 293. - N2. - С. 278-283.

64. Владимиров, B.C. Об одной модели статистической физики / B.C. Владимиров, И.В. Волович // Теор. и матем. физика. 1987. - Т. 54. - N1.- С. 8-22.

65. Габдулхаев, Б.Г. Методы решения нелинейных сингулярных интегральных уравнений с монотонными операторами / Б.Г. Габдулхаев, И.К. Рахимов //Изв. вузов. Математика. 2001. - Т. 33. - N7. - С. 15-27.

66. Гаевский, X. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения / X. Гаевский, К. Грегер, К. Захариас. -М.: Мир, 1978. 336 с.

67. Гарнет, Дж. Ограниченные аналитические функции / Дж. Гарнет.- М.: Мир, 1984. 472 с.

68. Гахов, ФД. Краевые задачи / Ф.Д. Гахов. М.: Наука, 1977. - 640 с.

69. Гахов, Ф.Д. Уравнения типа свертки / Ф.Д. Гахов, Ю.И. Черский.- М.: Наука, 1978. 296 с.

70. Гехт, Б.И. О сингулярном уравнении, встречающемся при конформном отображении двусвязных областей / Б.И. Гехт // Труды Новочеркас. политех, ин-та. 1955. - Т. 28. - С. 3-12.

71. Гохберг, И.Ц. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов / И.Ц. Гохберг, Н.Я. Крупник. Кишинев: «Штиин-ца», 1973. - 427 с.

72. Гусейн-заде, М.А. Обтекание двух проницаемых профилей, являющихся зеркальным отображением друг друга относительно некоторой плоскости / М.А. Гусейн-заде // Вестник МГУ. Сер. физ.-матем. и ест. н. 1954. - N8 (вып. 5). - С. 45-49.

73. Гусейнов, А.И. Теоремы существования и единственности для нелинейных сингулярных интегральных уравнений / А.И. Гусейнов // Матем. сборник. 1947. - Т. 20. - N2. - С. 293-309.

74. Гусейнов, А.И. Об одном классе нелинейных сингулярных интетральных уравнений / А.И. Гусейнов // Известия АН СССР. Серия матем.- 1948. Т. 12. - N2. - С. 193-212.

75. Гусейнов, А.И. Применение метода монотонных операторов к одному классу интегральных уравнений / А.И. Гусейнов, Х.Ш. Мухтаров // Докл. АН Азерб. ССР. 1979. - Т. 35. - N8. - С. 3-6.

76. Гусейнов, А.И. Введение в теорию нелинейных сингулярных интегральных уравнений / А.И. Гусейнов, Х.Ш. Мухтаров. М.: Наука, 1980.- 416 с.

77. Данилов, В.Л. О дебите нефтяной скважины при произвольной форме контура питания / В.Л. Данилов // Докл. АН СССР. 1953. - Т. 92. -N1. - С. 21-24.

78. Дедагич, Ф. Об операторах суперпозиции в пространствах £р / Ф. Дедагич, П.П. Забрейко // Сибирский матем. журнал. 1987. - Т. 28. - N1.- С. 86-98.

79. Денчев, Р. Об одном классе нелинейных сингулярных интегральных уравнений / Р. Денчев // Объединенный институт ядерных исследований. Лаборатория выч. техн. и автоматики. Дубна, 1969. КР5-4495. - 25 с.

80. Джрбашян, М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области / М.М. Джрбашян. М.: Наука, 1966. -672 с.

81. Дубинский, Ю.А. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения / Ю.А. Дубинский // "Современные проблемы математики. Том 9 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР)". М., 1976. - С. 5-130.

82. Забрейко, П.П. Неявные функции и монотонные по Минти операторы в банаховых пространствах / П.П. Забрейко // Докл. АН Беларуси. -1995. Т. 39. - N2. - С. 17-21.

83. Забрейко, П.П. Новые теоремы о разрешимости уравнений Гаммер-штейна с потенциальными нелинейностями / П.П. Забрейко, В.Б. Мороз // Дифференц. уравнения. 1995. - Т. 31. - N4. - С. 690-695.

84. Забрейко, П.П. Неявные функции в теории нелинейных сингулярных интегральных уравнений / П.П. Забрейко, С.В. Рогозин // Операторы и оператрные уравнения. Новочеркас. гос. техн. ун-т. Новочеркаск, 1995.С. 44-59.

85. Зигмунд, А. Тригонометрические ряды. Т. 1 / А. Зигмунд. М.: Мир, 1965. - 616 с.

86. Зигмунд, А. Тригонометрические ряды. Т. 2 / А. Зигмунд. М.: Мир, 1965. - 540 с.

87. Иманалиев, М.И. Интегральные уравнения / М.И. Иманалиев, Б.В. Хведелидзе и др. // Дифференц. уравнения. 1982. - Т. 18. - N12. - С. 2050-2069.

88. Интегральные уравнения: Серия "Справочная математическая библиотека"/ П.П. Забрейко, А.И. Кошелев, М.А. Красносельский и др. М.: Наука, 1968. - 448 с.

89. Каландия, А.И. Математические методы двумерной теории упругости / А.И. Каландия. М.: Наука, 1973. - 304 с.

90. Карапетянц, Н.К. Нелинейное уравнение Винера-Хопфа / Н.К. Ка-рапетянц // Деп. в ВИНИТИ 23.01.85, N646-85. Ростов-на-Дону, 1984.47 с.

91. Карапетянц, Н.К. Об одном классе нелинейных уравнений типа свертки // Труды Юбилейного семинара по краевым задачам / Н.К. Карапетянц. Минск, 1985. - С. 158-161.

92. Карапетянц, Н.К. Уравнение свертки со степенной нелинейностью отрицательного порядка / Н.К. Карапетянц, А.Я. Якубов // Докл. АН СССР. 1991. - Т. 320. - N4. - С. 777-780.

93. Качуровский, Р.И. Нелинейные монотонные операторы в банаховых пространствах / Р.И. Качуровский // Успехи матем. наук. 1968. - Т. 23. - N2. - С. 121-168.

94. Князев, H.H. Интегральные преобразования / П.Н. Князев. Минск: "Вышейшая школа 1969. - 198 с.

95. Коппенфелъс, В. Практика конформных отображений / В. Коппен-фельс, Ф. Штальман. М.: ИЛ, 1963. - 406 с.

96. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений / М.А. Красносельский. М.: Физматгиз, 1962. - 396 с.

97. Красносельский, М.А. Приближенное решение операторных уравнений / М.А. Красносельский, Г.М. Вайникко и др. М.: Наука, 1969. -456 с.

98. Красносельский, М.А. Геометрические методы нелинейного анализа / М.А. Красносельский, П.П. Забрейко. М.: Наука, 1975. - 512 с.

99. Красносельский, М.А. Выпуклые функции и пространства Орлича / М.А. Красносельский, Я.Б. Рутицкий. М.: Физматгиз, 1958. - 272 с.

100. Крейн, М.Г. Интегральные уравнения на полупрямой с ядром, зависящим от разности аргументов / М.Г. Крейн // Успехи матем. наук. -1958. Т. 13. - N 5. - С. 3-120.

101. Крейн, С.Г. Интерполяция линейных операторов / С.Г. Крейн, Ю.И. Петунин, Е.М. Семенов. М.: Наука, 1978. - 400 с.

102. Крупник, Н.Я. Банаховы алгебры с символом и сингулярные интегральные операторы / Н.Я. Крупник. Кишинев, 1984. - 140 с.

103. Лаптев, Г.И. Возрастающие монотонные операторы в банаховом пространстве / Г.И. Лаптев // Матем. заметки. 2002. - Т. 71. - N2. - С. 214-226.

104. Лионе, Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионе. М.: Мир, 1972. - 588 с.

105. Лифанов, И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент / И.К. Лифанов. М.: ТОО "Янус 1995. - 519 с.

106. Лузин, H.H. Интеграл и тригонометрический ряд / H.H. Лузин. -М.: ГИТТЛ, 1951. 552 с.

107. Магомедов, Г.М. Метод монотонности в теории нелинейных сингулярных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений // Дифферент уравнения / Г.М. Магомедов. 1977. - Т. 13. - N6. - С. 1106-1112.

108. Магомедов, Г.М. Метод априорных оценок для нелинейных уравнений с сингулярными интегралами / Г.М. Магомедов // Докл. АН СССР. 1980. - Т. 253. - N2. - С. 292-294.

109. Магомедов, Г.М. О некоторых результатах исследования уравнений типа Гаммерштейна и Урысона / Г.М. Магомедов, Р.И. Кадиев // Докл. РАН. 2002. - Т. 384. - N4. - С. 452-454.

110. Магомедов, Г.М. Теоремы разрешимости нелинейных уравненийвторого рода и некоторые приложения / Г.М. Магомедов, Х.Б. Ханикалов // Докл. АН СССР. 1983. - Т. 270. - N5. - С. 1051-1053.

111. Мартынюк, A.A. Устойчивость движения: метод интегральных неравенств / A.A. Мартынюк, В. Лакшмикантам, С. Лила. Киев: "Наукова Думка 1989. - 272 с.

112. Матвеев, А.Ф. О построении приближенного решения одного нелинейного интегрального уравнения проницаемого профиля / А.Ф. Матвеев, П. Юнганнс // Дифференц. уравнения. 1997. - Т. 33. - N9. - С. 1242-1252.

113. Математика в СССР за 40 лет 1917-1957. Т. 2. М.: ГИФМЛ, 1959. - 1002 с.

114. Михлин, С.Г. Сингулярные интегральные уравнения // Успехи ма-тем. наук / С.Г. Михлин. 1948. - Т. 3. - Вып. 3(25). - С. 29-112.

115. Мороз, В.В. Уравнения Гаммерштейна с ядрами типа потенциала Рисса / В.Б. Мороз // Труды междун. конф. "Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление". Минск, 1996. - С. 249-254.

116. Мусхелишвили, Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / Н.И. Мусхелишвили. М.: Наука, 1968. - 512 с.

117. Наталевич, В.К. О нелинейном сингулярном интегральном уравнении и нелинейной краевой задаче теории аналитических функций / В.К. Наталевич // Докл. АН СССР. 1952. - Т. 83. - N1. - С. 19-22.

118. Нахушев, A.M. Уравнения математической биологии / A.M. Наху-шев. М.: Высшая школа, 1995. - 304 с.

119. Нахушев, A.M. Дробное исчисление и его применение. М: Физ-матлит, 2003 / A.M. Нахушев. - 272 с.

120. Несененко, P.A. Метод граничных интегральных уравнений в решениях двумерных сингулярно возмущенных задач нестационарной теплопроводности с нелинейными граничными условиями / Г.А. Несененко // Дифференц. уравнения. 2000. - Т. 36. - N9. - С. 1160-1171.

121. Похожаев, С.И. О разрешимости нелинейных уравнений с нечетными операторами / С.И. Похожаев // Функцион. анализ и его прилож. -1967. Т. 1. - N3. - С. 66-73.

122. Пресдорф, 3. Линейные интегральные уравнения. "Современныепроблемы математики. Фундаментальные направления. Том 27 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР)"/ 3. Пресдорф. М., 1988. - С. 5-130.

123. Прохоров, Д.В. Весовые оценки операторов Римана-Лиувилля и приложения /Д.В. Прохоров, В.Д. Степанов // Труды Матем. ин-та им. В.А. Стеклова. 2003. - Т. 243. - С. 289-312.

124. Рахимов, И.К. Прямые методы решения нелинейных сингулярных интегральных уравнений с монотонными операторами: Автореф. дис. на соиск. учен. ст. канд. физ.-мат. наук / И.К. Рахимов. Казань, 1998. - 16 с.

125. Садовничий, В.А. Задачи студенческих математических олимпиад / В.А. Садовничий, A.A. Григорьян, C.B. Конягин. М.: МГУ, 1987. - 310 с.

126. Самко, С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С.Г. Самко, A.A. Килбас, О.И. Маричев. Минск: Наука и техника, 1987. - 688 с.

127. Солдатов, А.П. Одномерные сингулярные операторы и краевые задачи теории функций / А.П. Солдатов. М.: Высшая школа, 1991. -266 с.

128. Стейн, И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций / И. Стейн. М.: Мир, 1973. - 344 с.

129. Треногин, В.А. Функциональный анализ / В.А. Треногин. М.: Наука, 1980. - 496 с.

130. Трикоми, Ф. Лекции по уравнениям в частных производных / Ф. Трикоми. М.: ИЛ, 1957. - 443 с.

131. Трикоми, Ф. Интегральные уравнения / Ф. Трикоми. М.: ИЛ, 1960. - 299 с.

132. Ульянов, П.Л. О рядах Фурье-Хаара от суперпозиции функций / П.Л. Ульянов // Докл. РАН. 1996. - Т. - 350. - N1. - С. 25-28.

133. Филатов, А.Н., Шарова JI.B. Интегральные неравенства и теория нелинейных колебаний. М.: Наука, 1976. - 152 с.

134. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. T. II / Г.М. Фихтегольц. М.: Наука, 1970. - 800 с.

135. Функциональный анализ: Серия "Справочная математическая библиотека"/ Под общей ред. С.Г. Крейна. 2-е изд. М.: Наука, 1972. - 544 с.

136. Харди, Г. Г. Неравенства / Г.Г. Харди, Д.Е. Литтльвуд, Г. Полна. -М.: ИЛ, 1948. 456 с.

137. Харди, Г.Х. Ряды Фурье / Г.Х. Харди, В.В. Рогозинский. М.: Физматгиз, 1959. - 156 с.

138. Хведелидзе, Б.В. Линейные разрывные граничные задачи теории функций, сингулярные интегральные уравнения и некоторые их приложения / Б.В. Хведелидзе // Труды Тбилис. мат. ин-та АН Груз ССР, 1956. -Т. 23. С. 3-158.

139. Цалюк, З.Б. Интегральные уравнения Вольтерра // "Математический анализ. Том 15 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР)"/ З.Б. Цалюк. М., 1977. - С. 131-198.

140. Цалюк, З.Б. О некоторых методах получения оценок решений неравенств / З.Б. Цалюк // Дифференц. уравнения. 1986. - Т.22. - N2. С. 250-258.

141. Цалюк, З.Б. Нелинейные уравнения Вольтерра с неубывающим ядром / З.Б. Цалюк // Изв. ВУЗов. Матем. 1995. - N8. - С. 74-77.

142. Эдварде, Р. Функциональный анализ / Р. Эдварде. М.: Мир, 1969.- 1072 с.

143. Эдварде, Р. Ряды Фурье в современном изложении. Т. 1 / Р. Эдварде. М.: Мир, 1985. - 264 с.

144. Эдварде, Р. Ряды Фурье в современном изложении. Т. 2 / Р. Эдварде. М.: Мир, 1985. - 399 с.

145. Атапп, Н. Uber die existenz und iterative berechnung einer losung der Hammerstein'schen gleichung / H. Amann // Aequat. Math. 1968. - V. 1. -P. 242-266.

146. Aug, D.D. On nondegenerate and degenerate nonlinear Abel integral equations of the first kind / D.D. Ang, R. Gorenflo // Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications. 1994. - V. 22. - N1. - P. 63-72.

147. Appell, J. Nonlinear superposition operators / J. Appell, P.P. Zabrejko.- Cambridge Univ. Press, 1990. 311 p.

148. Askhabov, S.N. Integral equations of convolution type with power nonlinearity / S.N. Askhabov // Colloq. Math. 1991. - V. 62. - N1. - P. 49-65.

149. Askhabov, S.N. Singular integral equations with monotone nonlinearity in complex Lebesgue spases / S.N. Askhabov // Z. Anal. Anwend. 1992. -V. 11. - N1. - P. 77-84.

150. Askhabov, S.N. Nonlinear convolution type equations / S.N. Askhabov, M.A. Betilgiriev // Seminar Analysis Operat. Equat. Numer. Anal. 1989/90. Karl-Weierstras-Institut fur Mathematik. Berlin. 1990. - P. 1-30.

151. Askhabov, S.N. A-priori estimates for the solution of a class of nonlinear convolution equations / S.N. Askhabov, M.A. Betilgiriev // Z. Anal. Anwend. 1991. V. 10. - N2. - P. 201-204.

152. Askhabov, S.N. Convolution type discrete equations with monotonous nonlinearity in complex spaces / S.N. Askhabov, N.K. Karapetian //J. Integral Equations Math. Phys. 1992. - V. 1. - N1. - P. 44-66.

153. Benes, V.E. A nonlinear integral equation from the theory of servo-mechanisms / V.E. Benes // Bell. System. Techn. J. 1961. - V. 40. - N5. - P. 1309-1321.

154. Benes, V.E. A nonlinear integral equation in the Marcinkiewicz space M2 / V.E. Benes // J. Math. Phys. 1965. - V. 44. - N1. - P. 24-35.

155. Bernstein, S. Monotonicity principles for singular integral equations in Clifford analysis / S. Bernstein // arXiv: math. CV/9805050vl, 1998. P. 1-14.

156. Bernstein, S. Nonlinear singular integral equations involving the Hilbert transform in Clifford analysis / S. Bernstein // Z. Anal. Anwend. 1999. - V. 18. - N2. - P. 379-391.

157. Brezis, H. Some new results about Hammerstein equations / H. Brezis,F.E. Browder // Bull. Amer. Math. Soc. 1974. - V. 80. - N3. - P. 567-572.

158. Brezis, H. Nonlinear integral equations and systems of Hammerstein type / H. Brezis, F.E. Browder // Advances in Math. 1975. - V. 18. - P. 115-147.

159. Bushell, P.J. On a class of Volterra and Fredholm non-linear integral equations / P.J. Bushell // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1976. - V. 79. - N2. - P. 329-335.

160. Bushell, P.J. Uniqueness of solutions for a class of non-linear Volterra integral equations with convolution kernel / P.G. Bushell, W. Okrasiñski // Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 1989. - V. 106. - N3. - P. 547-552.

161. Bushell, P.J. Nonlinear Volterra integral equations with convolution kernel / P.G. Bushell, W. Okrasiñski //J. London Math. Soc. 1991. - V. 41.- N2. P. 503-510.

162. Bushell, P.J. Nonlinear Volterra integral equations and the Apery identi-ties / P.G. Bushell, W. Okrasiñski // Bull. London Math. Soc. 1992. -V. 24. - P. 478-484.

163. Bushell, P.J. Nonlinear Volterra integral equations and the Apery identities / P.G. Bushell, W. Okrasiñski // Diff. Equat. with Appl. Math. Physics. 1993. - P. 51-58.

164. Bushell, P.J. On the maximal interval of existence for solutions to some non-linear Volterra integral equations with convolution kernel / P.G. Bushell, W. Okrasiñski // Math. Bull. London Math. Soc. 1996. - V. 28. - N1. - P. 59-65.

165. Butler, G. A generalization of a lemma of Bihari and applications to pointwise estimates for integral equations / G. Butler, T. Rogers //J. Math. Anal, and Appl. 1971. - V. 33. - N1. - P. 77-81.

166. Cooke, K.L. A periodicity threshold theorem for epidemics and population growth / K.L. Cooke, J.L. Kaplan // Math. Biosci. 1976. - V. 31. - P. 87-104.

167. Corduneanu, C. Bielecki's method in the theory of integral equations / C. Corduneanu // Ann. UMCS. Sec. A: Math. 1984. - V. 38. - P. 23-40.

168. Corduneanu, C. Integral equations and applications / C. Corduneanu.- Cambridge Univ. Press. Cambridge/New York. 1991. 366 p.

169. Crisci, M.R. A priori bounds on the solution of a nonlinear Volterra discrete equation / M.R. Crisci, V.B. Kolmanovskii, E. Russo, A. Vecchio // Sacta. 2000. - V. 3. - N1. - R 38-47.

170. Diekman, O. Thresholds and travelling waves for the geographical spread of infection / O. Diekman // J. Math. Biol. 1978. - V. 6. - N2. -R 109-130.

171. Diekman, O. On the bounded solutions of nonlinear convolutions equation / O. Diekman, H.G. Kaper // Nonlinear Anal.: Theory, Meth. and Appl. 1978.- V. 2. N6. - C. 721-737.

172. Ermentrout, G.B. Secondary bifurcation in neuronal nets / G.B. Erment-rout, J.D. Cowan // SIAM J. Appl. Math. 1980. - V. 39. - N2. - R 323-340.

173. El-Owaidy, H. On some new integral inequalities of Gronwall-Bellman type / H. El-Owaidy, A. Ragab, A. Abdeldaim 11 Appl. Math. Comput. 1999.- V. 106. N2-3. - R 289-303.

174. El-Sayed, W. G. Nonlinear functional integral equations of convolution type / W.G. El-Sayed // Potrugal. Math. 1997. - V. 54. - N4. - P. 449-456.

175. Faour, N.S. The Fredholm index of a class of vector-valued singular integral operators / N.S. Faour // Indian J. Pure and Appl. Math. 1980. -V. 11. - N2. - P. 135-146.

176. Feckan, M. Nonnegative solutions of nonlinear integral equations / M. Feckan // Comment. Math. Univ. Carolinae. 1995. - V. 36. - N4. - P. 615-627.

177. Finilla, R. Existence and uniqueness theorems for a class of non-linear singular integral equations with application to a hydroelastic problem / R. Finilla, J.M. Sloss //J. Math. Mech. 1966. - V. 16. - N6. - P. 509-534.

178. Fitt, A.D. When Tuck's double integral which should (?) vanish does / A.D. Fitt // Australian Math. Soc. Gazette. 1997. - V. 24. - N1. - P. 22-25.

179. Friedman, M.J. Mathematical study of the nonlinear singular integral magnetic field equation. I / M.J. Friedman // SIAM J. Appl. Math. 1980. -V. 39. - P. 14-20.

180. Goncerzevicz, J. On the percolation of water from a cylindrical reservoir into the surrounding soil / J. Goncerzevicz, H. Marcinkowska, W. Okrasihski, K. Tabisz // Zast. Mat. 1978. - V. 16. - N2. - P. 249-261.

181. Gorenflo, R. Abel integral equations. Analysis and Applications / R. Gorenflo, S. Vesella. Berlin: Springer-Verlag, 1991. - 215 p.

182. Gripenberg, G. Volterra integral and functional equations / G. Gripenberg, S.-O. Londen, 0. Staffans. Cambridge Univ. Press. Cambridge/New York, 1990. - 701 p.

183. Karapetyants, N.K. On the solution of nonlinear Volterra convolution equation with power nonlinearity / N.K. Karapetyants, A.A. Kilbas, M. Saigo // J. Integr. Equat. and Appl. 1996. - V. 8. - N4. - P. 429-445.

184. Karapetyants, N.K. Upper and lower bounds for solution of nonlinear Volterra convolution integral equations with power nonlinearity / N.K. Karapetyants, A.A. Kilbas, M. Saigo, S.G. Samko //J. Integral Equat. Appl. 2000. - V. 12. - N4. - P. 421-448.

185. Keller, J.J. Propagation of simple nonlinear waves in gas filled tubes with friction / J.J. Keller // Z. Angew. Math. Phys. 1981. - V. 32. - N2. - P. 170-181.

186. Kerman, R.A. Convolution theorems with weights / R.A. Kerman // Trans. Amer. Math. Soc. 1983. - V. 280. - N1. - P. 207-219.

187. Kilbas, A.A. On solution of nonlinear Abel-Volterra integral equation / A.A. Kilbas, M. Saigo // J. Math. Anal. Appl. 1999. - V. 229. - P. 41-60.

188. Kosel, U. Nichtlineare singulare Integralgleichungen / U. Kosel, L.v. Wolfersdorf // Seminar Analysis. Operator Equat. Numer. Anal. 1985/1986. Karl-Weierstraß Institut für Mathematik, Berlin. 1986. - P. 93-128.

189. Love, E.R. Tuck's double integral which should (?) vanish but doesn't / E.R. Love // Australian Math. Soc. Gazette. 1996. - V. 23. - N1. - P. 9-12.

190. Lui, R. Existence and stability of travelling wave solutions of a nonlinear integral operator / R. Lui //J. Math. Biol. 1983. - V. 16. - N3. - P. 199-220.

191. McLean, W. A double integral that usually vanishes / W. McLean // Australian Math. Soc. Gazette. 1995. - V. 22. - N3. - P. 114-115.

192. Mehta, M.L. Random matrices / M.L. Mehta. Acad. Press, Boston, MA, 1991. - 562 p.

193. Miller, R.K. Nonlinear Volterra integral equations / R.K. Miller. -W.A.Benjamin, Menlo Park, 1971. 468 p.

194. Mitrinovic, D.S. Classical and new inequalities in analysis / D.S. Mitri-novic, J.E. Pecaric, A.M. Fink. Kluwer Acad. Publish. Vol. 61, 1993. - 740 p.

195. Moustafa, O.L. On solutions of nonlinear integral equations of convolution type / O.L. Moustafa, W.G. El-Sayed // Bull. Fac. Sci. Alex. Univ. 1997. -V. 37. - N1. - P. 1-9.

196. Mydlarczyk, W. Positive solutions to a nonlinear Abel-type integral equation on the whole line / W. Mydlarczyk, W. Okrasiriski // Comp. Math, with Appl. 2001. - V. 41. - P. 835-842.

197. Neri, U. Singular integrals / U. Neri. Springer-Verlag. Berlin, 1971. -200 p.

198. Nohel, J.A. Stability of a nonlinear Volterra equation / J.A. Nohel, D.F. Shea // Bollettino U.M.I. 1975. - V. 11 (4), suppl. fask. 3. - P. 498-510.

199. Nohel, J.A. Frequency domain methods for Volterra equations / J.A. Nohel, D.F. Shea // Advanc. in math. 1976. - V. 22. - P. 278-304.

200. Okrasiriski, W. On nonnegative solutions of some non-linear convolutions / W. Okrasiiiski // Bull. Acad. pol. sci. math., astron. et phys. 1978. - V. 26.- N1. P. 15-18.

201. Okrasiiiski, W. On the existence and uniqueness of nonnegative solutions of a certain non-linear convolution equation / W. Okrasiiiski // Ann. Pol. Math. 1979. - V. 36. - N1. - P. 61-72.

202. Okrasiiiski, W. On a non-linear convolution equation occurring in the theory of water percolation / W. Okrasiiiski // Annal. Polon. Math. 1980. -V. 37. - N3. - P. 223-229.

203. Okrasiriski, W. On a nonlinear Volterra equation / W. Okrasiriski // Math. Meth. in the Appl. Sci. 1986. - V. 8. - N3. - P. 345-350.

204. Okrasinski, W. On subsolutions of a nonlinear diffusion problem / W. Okrasiiiski // Math. Meth. in the Appl. Sci. 1989. - V. 11. - N3. - P. 409-416.

205. Okrasinski, W. Nonlinear Volterra equations and physical applications / W. Okrasiiiski // Extracta Math. 1989. V. 4. N2. - P. 51-74.

206. Okrasinski, W. Nontrivial solutions to nonlinear Volterra integral equations / W. Okrasinski // SIAM J. Math. Anal. 1991. - V. 22. - N4. - P. 1007-1015.

207. Okrasinski, W. Uniqueness problems for some classes of nonlinearVolterra equations / W. Okrasinski // Integral and integrodifferential equations. Ser. Math. Anal. Appl, N2. Gordon and Breach, Amsterdam, 2000. P. 259-267.

208. Pachpatte, B.G. Integral and finite difference inequalities and applications / B.G. Pachpatte. North-Holland Math. Stud. Vol. 205, 2006. - 309 p.

209. Pogorzelski, W. Integral equations and their applications / W. Pogorzelski.- Pergamon Press Oxford and PWN-Pol. Sei. Publ. Warszaw, 1966. 228 p.

210. Porter, D. Integral equations. A practical treatment, from spectral theory to applications / D. Porter, D. Stirling. Cambr. Univ. Press. 1990. -382 p.

211. Schneider, W.R. The general solution of a nonlinear integral equation of the convolution type / W.R. Schneider // Z. Angew. Math. Phys. 1982. -V. 33. - N1. - P. 140-142.

212. Staffans, O.J. Nonlinear Volterra integral equations with positive definite kernels / O.J. Staffans // Proc. AMS. 1975. - V. 51. - N1. - P. 103-108.

213. Tracy, C.A. Fredholm determinants, differential equations and matrix models / C.A. Tracy, H. Widom // Comm. Math. Phys. 1994. - V. 163. - N1.- P. 33-72.

214. Traple, J. Positive solutions of renewal equation / J. Traple // Annal. s Polon. Math. 1992. - V. 57. - N1. - P. 91-97.

215. Tuck, E. O. A double integral that should (?) vanish but doesn't / E.O. Tuck // Australian Math. Soc. Gazette. 1995. - V. 22. - N2. - P. 58.

216. Wegert, E. Nonlinear boundary value problems for holomorphic functions and singular integral equations / E. Wegert. Berlin: Acad. Verlag, 1992. -240 p.

217. Willett, D. On the discrete analogues of some generalization of Gronwall's inequality / D. Willett, J.S.W. Wong // Monast. Math. 1965. - V. 69. - N4.- P. 362-367.

218. Wolfersdorf, L.v. Monotonicity methods for nonlinear singular integral and integro-differential equations / L.v. Wolfersdorf // ZAMM. 1983. - V. 63.- N6. P. 249-259.

219. Wolfersdorf, L.v. On a class of nonlinear singular integral equations / L.v. Wolfersdorf // ZAMM. 1985. - V. 65. - N7. - P. 309-310.

220. Wolfersdorf, L.v. A class of nonlinear singular integral and integro-differential equations with Hilbert kernel / L.v. Wolfersdorf // Z. Anal. Anwend.- 1985. V. 4. - N5. P. 385-401.

221. Wolfersdorf, L.v. On the theory of nonlinear singular integral equations of Cauchy type / L.v. Wolfersdorf // Math. Meth. in the Appl. Sei. 1985. -V. 7. - P. 493-517.

222. Wolfersdorf, L.v. Some recent developments in the theory of nonlinear singular integral equations / L.v. Wolfersdorf // Z. Anal. Anwend. 1987. -V. 6. - N1. - P. 83-92.

223. Wolfersdorf, L.v. On the theory of nonlinear singular integral equations / L.v. Wolfersdorf // Pr. 93-03. Techn. Univ. Bergakad. Freiberg, 1993. 17 p.

224. Wolfersdorf, L.v. Nonlinear singular integral and integro-differential equations on the positive real axis / L.v. Wolfersdorf // ZAMM. 1996. -V. 76. - N10. - P. 598-600.

225. Wolfersdorf, L.v. Eininge klassen quadratischer integralgleichungen / L.v. Wolfersdorf // Sitz. Sach. Akad. Wiss. Leipzig. Math.-naturwiss. Klasse.- 2000. B. 128. - H. 2. - S. 1-34.

226. Zabrejko, P. Nonlinear Abel equation with monotone operators / P. Zabrejko, S. Rogosin // J. Electrotechn. Math. 1997. - N1. - P. 53-65.3 h