Линейные и нелинейные некорректные задачи на классах функций с особенностями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Предварительные утверждения

1. Исследование вспомогательной функции

2. Аппроксимация положения разрывов и величин скачков

3. Вспомогательные равенства и оценки

ГЛАВА 2. Линейные уравнения 1 рода

1. Восстановление функций с конечным числом разрывов по зашумленным данным

2. Решение линейных уравнений типа свертки на классах разрывных функций

3. Решение линейных уравнений типа свертки на классах обобщенных функций

ГЛАВА 3. Уравнения типа свертки с конечномерной нелинейностью

1. Решение нелинейных уравнений на классах функций с разрывами

2. Решение нелинейных уравнений на классах обобщенных функций

ГЛАВА 4. Решение прикладных уравнений 1 рода

1. Решение нелинейных уравнений на классах функций с особенностями

2. Расшифровка структуры бинарного аморфного сплава

3. Метод коррекции параметров для уравнений 1 рода

4. Обратная задача гравиметрии

5. Решение задачи наклонного зондирования ионосферы

В диссертации рассматриваются (не)линейные проблемы, характеризующиеся тем, что их решение неустойчиво к малым возмущениям исходных данных, т.е. некорректно поставленные задачи. Теория регуляризации некорректно поставленных задач была основана в работах А.Н. Тихонова, В.К. Иванова, М.М. Лаврентьева, их учеников и последователей [27], [29], [34], [38], [39]. В настоящее время теория некорректно поставленных задач изложена в многочисленных монографиях, например, в [18], [22], [31], [36], [40], [44], [50], где можно найти ссылки на соответствующую литературу.

Неустойчивые проблемы возникают во многих областях науки, техники и естествознания. В частности, линейные и нелинейные интегральные уравнения 1 рода, возникающие при обработке экспериментальных данных в физике твердого тела [15], [59], привели к задачам, рассматриваемым в диссертации (примеры прикладных интегральных уравнений 1 рода см. также, например, в [19], [35], [39]). В работе не рассматривается огромная и активно развивающаяся область обратных коэффициентных задач [20], [30]. Также не обсуждаются статистические методы регуляризации [41].

В диссертации изучаются следующие задачи: восстановление функции по зашумленным данным, решение линейного уравнения типа свертки и решение уравнения с конечномерной нелинейностью специального вида. Задача сглаживания зашумленных данных исследовалась во многих работах, в которых использовались разнообразные методы: метод Тихонова [38]; методы регуляризации с использованием сплайнов [22], [34], стр.192; алгоритмы на основе сглаживающих (усредняющих) функций [36], [44]. Регуляризующие алгоритмы для решения линейных интегральных уравнений типа свертки изложены, например, в [19], [38], гл.5, [39], стр.38, [40], гл.6. Построению регуляри-зованных вариантов итерационных процессов для нелинейных некорректных задач посвящена обширная литература, ссылки на которую можно найти в [50], [51], [59].

В прикладных проблемах часто искомая функция имеет разрывы или другие особенности. Методы решения некорректных задач для разрывных функций изучались многими авторами, и эта тематика продолжает активно развиваться в настоящее время. Кратко остановимся на трудностях, возникающих при восстановлении функций с особенностями.

Каждый метод регуляризации, как правило, связан с той или иной априорной информацией об искомой функции в виде ее принадлежности некоторому классу (множеству корректности). При этом, с одной стороны, искомое решение должно принадлежать этому множеству. С другой стороны, чем уже рассматриваемый класс, тем лучше стабилизирующие свойства соответствующего метода регуляризации, позволяющие получить сходимость в более сильной норме.

Наиболее слабым регуляризатором, позволяющим восстанавливать разрывные функции, является вариационный метод Тихонова 0-го порядка [38], гл.2, §2. При этом сходимость получается в исходном пространстве, и дать оценки точности аппроксимации в общем случае невозможно (см. [27], гл.2 §3).

Также рассматривались регуляризаторы, использующие пространства функций ограниченной вариации. Для функций одной переменной такого рода алгоритмы конструировались, например, в [1], [24], [26], [32] и др. (случай многих переменных см. [17], [54], [55]). Для функций непрерывных, за исключением конечного числа разрывов первого рода, в этих работах была получена сходимость в равномерной метрике вне малой окрестности разрывов [1], [21], [32] и [40], стр.205.

В работе [2] был построен регуляризатор в пространстве Соболева Wf и получена сходимость в норме W^. Отметим, что пространство wi при 0 < (3 < 1/2 содержит разрывные функции.

В целом ряде работ использовалась априорная информация о положительности, монотонности или выпуклости искомых функций (например, см. [34], гл.4 и [39], гл.2,3). Для задачи сглаживания за-шумленных данных на основе сплайнов в [34], гл.4, строились регу-ляризующие алгоритмы, позволяющие аппроксимировать функции с известными положениями максимумов, перегибов или изломов (разрывов первой производной).

В теории приближения функций известны результаты по аппроксимации решений с известным положением особенностей. Отметим работу [37], в которой в другой постановке строились алгоритмы, позволяющие локализовать разрывы искомого решения, для решения уравнения 1 рода типа свертки при точных данных.

В главах 1-3 диссертации предложены новые методы регуляризации, использующие априорную информацию неклассического типа: принадлежность искомого решения классу функций с конечным числом особенностей заданного вида (разрывов или 5-функций). Разработана специальная техника, основанная на использовании аналогов явления Гиббса. Для задачи восстановления функции по зашумлен-ным данным, решения линейного уравнение типа свертки и решения уравнения с конечномерной нелинейностью построены алгоритмы, позволяющие находить приближения для характеристик особенностей искомых функций (в частности, для функций с разрывами это положения разрывов и величины скачков) и аппроксимировать искомые функции вне малой окрестности особенностей в равномерной метрике.

Для всех полученных приближений получены порядковые по параметру регуляризации оценки точности. Эти оценки говорят об эффективности предложенных алгоритмов. Насколько известно автору, рассмотрение задач на введенных в диссертации классах функций ранее не встречалось и эти результаты не имеют близких аналогов.

К прикладным результатам диссертации, изложенным в главе 4 относятся: разработка эффективных численных процедур, их программная реализация и проведение методических расчетов решения линейных и нелинейных интегральных уравнений (или систем уравнений) 1 рода. Для задач, возникающих при исследовании структуры одно-компонентных материалов и бинарных сплавов [15], [18], гл.6, разработаны экономичные методы коллокации с использованием полиномов Лежандра. Для этих же задач был реализован метод коррекции параметров [5]. Также рассматривались задачи: наклонного радиозондирования ионосферы и нелинейная обратная задача гравиметрии для двух контактных поверхностей [6]. Автором была проведена серия модельных расчетов, показывающих эффективность предложенных алгоритмов.

Перейдем к краткому изложению результатов диссертации.

Для удобства читателя сначала введем два класса функций с особенностями, которые используются на протяжении глав 1-3. Далее, если не указано иначе, то L2 = £2(-°о, +оо); через / будем обозначать преобразование Фурье функции /.

1. Функция х имеет конечное число I разрывов первого рода в точках {sk}[- Величины скачков Д^ ф 0 (к = 1,2,.,?). Вне точек разрыва функция непрерывно дифференцируема, и в каждой точке разрыва существуют левые и правые конечные пределы производной. Сама функция ж и ее производная х1 вне точек разрыва интегрируемы с квадратом.

2. Функция х имеет вид I x(s) = x(s) + £ Лк • S(s - Sk), k=l где 6(s) — (5-функция, Ak ф- 0(к — 1,2,.,/). Функция х непрерывно дифференцируема. Сама функция х и ее производная х' принадлежат ь2.

Заметим, что разработанная техника переносится и на другие классы функций. Например, на функции, имеющие конечное число изломов.

В главе 1 получены основные технические результаты, на основе которых в главах 2 и 3 конструируются алгоритмы решения некорректных задач и получаются оценки точности регуляризованных решений. В теории тригонометрических рядов хорошо известно явление Гиббса (см., например, [43], стр.490), возникающее в окрестности точек разрыва первого рода. В качестве метода регуляризации во 2 и 3 главах используется метод срезки [38], стр.168, с параметром регуляризации В (В > О, В —► оо). При этом на классах функций 1 и 2 вокруг каждой особенности возникают явления, аналогичные явлению Гиббса. Предлагается использовать эти эффекты для определения характеристик особенностей (к = 1,2,., I).

Рассмотрим функцию (j)B(s), описывающую аналог явления Гиббса от единичного разрыва в точке ноль

2B\s\ . t в, ч signs /■ smt * . фв(з) = -5— / s £ R, В> 0. (0.1

7Г J с

B\s\ $

В главах 2 и 3 получены следующие уравнения для определения характеристик особенностей

Е Акфв(з - sk) = ^(а) + A^(S), (0.2) jfc=i где фв + Афв — функция, вычисляемая по исходным данным задачи. Точные значения sk, Ак (к = 1, 2,., /) удовлетворяют уравнению (0.2) при точной правой части фв. В функцию Афв входит погрешность модели, используемой для получения уравнения (0.2) и погрешности задания исходных данных задачи. Для каждой из задач получается своя оценка малости Афв.

Отметим, что при выводе уравнения (0.2) можно использовать другие функции, аналогичные фв. Данный конкретный выбор функции фв существенно упрощает ее дальнейшее аналитическое исследование. В §1 главы 1 изучаются свойства функции фв. В лемме 1.1 показан факт локализации функции фв(в) в окрестности точки ноль: для достаточно большого В для всех s таких, что \s\ > h > 0, получена оценка сверху по параметру В функции </>B(s) в равномерной метрике.

Пусть h = (1/2) min{[s£ — Sj| : к ф j}. В силу локализации функции фв, для s G [sk~h, Sk+h] вместо (0.2) имеет место следующее уравнение

А = 1,2,.,0

А кфв(з-зк)=фв(з), (0.3) где фв(s) = Фо(з) + Афк(я). Для задач, рассматриваемых в главе 2, показано, что погрешность Афв(s) удовлетворяет следующему условию Аф*(в) = <$(*), в sup agjMI < Ах/В*

S — Sk\<h где Ai, p — положительные константы.

Для задач, рассматриваемых в главе 3, погрешность (s) удовлетворяет условию

В(„\ , „.в sup s|<2rf

II) Л = of (,) + <t)(S), I dmaf(s)/dsm\ < KmBm{rn = 0,1,2,3), sup |a?(Jfc)(s)|< A2/Bp, s - Sk\<h где d > max{|sfc| : к = 1,2,.,/}, A^ p, Km(m = 0,1,2,3) — положительные константы.

Ясно, что все рассуждения можно проводить только для к = 1. Обозначим через s™ax точку глобального максимума функции фв(я — Si): s™ax = 51+7г/(ЗБ). Конструктивно мы умеем вычислять точку s™ax максимума функции . Основным результатом §1 главы 1 является лемма 1.4, в которой получена оценка близости точек s™ax и s™ax.

В §2 решается уравнение (0.3) при к = 1. Выписаны формулы для определения приближений к si, Ai и получены оценки точности (по параметру регуляризации В) их аппроксимации при различных возмущениях Афв (леммы 1.5-1.8). Например, в лемме 1.5 показано, что, если выполняются условия (I) и точка s™ax Е [si — h,s\ + h], то для достаточно большого В имеет место оценка \s\ — Si| < С\/В1+р/2, где /(3£) для Ai > 0 или si = 5^ах + тг/(3В) для Ai < 0. si max

7Г

Отметим, что при выполнении условий (II) оценки получаются хуже.

В §3 приведены три технических утверждения, необходимых для обоснования сходимости итерационного процесса решения нелинейного уравнения 1 рода в главе 3. При решении этой задачи кроме уравнения (0.2), используемого для аппроксимации характеристик особенностей, аналог явления Гиббса также используется для построения итерационного процесса. Исследуется поведение следующих функций дп (smBs\ дп (cos В s — 1 \ в

-в dsn V ds* j x(z)\z]n exp(izs)dz, n = 0,1, 2,., где функция x удовлетворяет условию 1 или 2 при / = 1.

В §1 главы 2 рассматривается задача восстановления неизвестной функции х*, удовлетворяющей условию 1, по заданной функции х^ предполагается, что ж§ Е 1/25 Ц^* ~ хб\\ь2 — УРовень погрешности 6 известен.

Возмущенная правая часть уравнения (0.3) для определения характеристик особенностей вычисляется следующим образом фв (s) = x]B(s) - xf(s), где в х в 1 лД7Г

Xg(z) exp(izs) dz, В > 0,

-в есть регуляризованное решение задачи сглаживания зашумленных данных методом регуляризации срезкой. Для функции xf при 8 = 0 (индекс 6 = 0 будем опускать), для s ф Sk{k = 1,2,.,/) имеет место представление (см. следствие 1 в приложении А.1) xB(s) = x*{s) + £ Ai • s-sk)+ aB(s), к=1 , ч sign s f sin£ ^ где ф(В,в) = —2— / sup sG(—00,00) а в s) < Ао/ВР, р = 0.5, Aq — константа. В дальнейшем вместо sup будем писать sG(-oo,oo) просто sup . В лемме 2.1 показано, что при достаточно малом 6 и связи s параметров В = М/62^1+2р) (М — константа), для всех к = 1,2,.,!, характеристики разрывов удовлетворяют уравнениям (0.3) с точной правой частью, а для погрешности Афв выполняется условие (I).

Сформулирован алгоритм (процедура П) аппроксимации точек разрывов и величин скачков искомой функции. В теореме 2.1 доказано, что с помощью данного алгоритма можно найти все точки разрыва и выписать оценки точности определения и Д& (к = 1,2,., I) sk ~ suk

Д, - д! < С^/^+Ч

Для равномерного приближения искомой функции вне окрестности разрывов строится функция x*A(s) = xf(s)-j:K-4B,s-sdk), к=1

0.4) где Д*, s£ (А; = 1,.,/) определены с помощью алгоритма П. В теореме 2.2 получена следующая оценка sup sew* x*(s)-x6A{s)\<Cs62p^1+2p\ где £*(s) — искомая функция, W6 = R \ (иf=1(s{ - 8Po,s5k + 8Po)), p0 = (2-p)/(l + 2p).

В §2 рассматривается линейное интегральное уравнение с оператором типа свертки оо

Ах = J K(t — s) x(s) ds = y(t), t E oo,+oo),

0.5) где оператор А определен на функциях вида 1 и действует в LПредполагается существование точного (искомого) решения х*. Вместо точной правой части у* = Ах* известно у6 ' \у* - у6\ < <5. Также предполагается, что точное решение уравнения (0.5) удовлетворяет условию 1. Обозначим через / преобразование Фурье функции /. Ядро исходного уравнения (0.5) должно удовлетворять условию

3. Функция K(t) е L2 является четной (или нечетной); функция K(z) ф 0 для г G (—оо, оо).

Правая часть в (0.3) вычисляется следующим образом: ipf (s) =

XgBl s x в s), где y6(z)/K(z), \z\ < B.

0.6)

0, \z\>B.

Возмущения A^f (k = 1,2,.,/) удовлетворяют тем же условиям (I), что и в задаче сглаживания. Для определения количества точек разрыва, приближенного определения их положений и величин скачков используется алгоритм П §1. Оценки точности определения положений разрыва, величин скачка и равномерная оценка приближения решения вне окрестности точек разрыва, построенного по формуле (0.4), имеют тот же порядок по Б, что и в задаче восстановления функции по зашумленным данным, при другой зависимости В = В{8)

Sk ч6 sk Ci/{B(8))P\

Ак-&1\<С2/(В(6)У\ sup HS)-xi(S)|<C3/(5(<5)73, sews

0.7)

0.8) (0.9)

WS = R\ (U T=1(s6k - В(6Г\ s6k + B(8)^)), где p0 = 1 - p/2, pi = 1 + pi2, p2=pz= p.

В §3 рассматривается линейное интегральное уравнение типа свертки (0.5) для функций, удовлетворяющих условию 2 при тех же условиях 3 на функцию K(t), что и в §2. Возмущенная правая часть уравнения (0.3) для определения характеристик особенностей вычисляется по формуле ipf(s) = /(х]в{т) - xf(r))dr, где xf — регуляризован-ное решение исходного уравнения, полученное по формуле (0.6). При 8 = 0 для функции xf (индекс 6 = 0 будем опускать) для s ф Sk (к = 1,2, .,1) имеет место представление (см. следствие 2 в приложении A.l) где

XB{s) = ЦВ, s-sk)+ ctf(s), к=1

Ч1Т1 Г> S

4B,S) =-, sup a*(s) < Aq/B*

7TS s 1 p = 0.5, Aq — константа. Возмущения удовлетворяют тем же условиям (I), что и для задачи сглаживания. Для определения количества (5-функций и приближенного определения их характеристик используется алгоритм П §1. Для равномерного приближения искомой функции вне окрестности особенностей строится функция

4М = *?М-£Д*-Ф (в,з-4). к=1

0.10)

Полученные приближения удовлетворяют оценкам (0.7)—(0.9), при

Ро = Рз = р/4, Pi = 1 + р/2, Р2 = р.

В главе 3 рассматривается задача решения интегрального уравнения 1 рода типа свертки, оператор которого зависит от числового параметра <7

A\(j]x = / K{t - s,a) x(s) ds = y(t), te (-00,00),

0.11)

00 где при a G Rl линейный оператор A[a] определен на функциях вида 1 или 2 и действует в 1/2- Предполагается существование точного (искомого) решения х*. Вместо точного значения параметра а* известно и : |(7* - а\ < р, а вместо точной правой части у* = А[а*\х* известно У б .

У - у Ь. Также известны р и 6. Для определения функции х* можно использовать теорию регуляризации линейных некорректно поставленных задач [27], [38], например, метод Тихонова при заданном а, полагая возмущенный оператор Ah = А[а]. Однако, при малом 6 целесообразно рассматривать (0.11) как уравнение 1 рода с конечномерной нелинейностью [3] определения пары {(7*, ж*}. Этот подход применим при дополнительных условиях на функцию K(t, а) и искомое решение х* и позволяет добиться существенно лучшей точности восстановления х*.

Уравнение (0.11) характеризуется тем, что при каждом а обратный оператор к А[а] неограничен. Поэтому легко видеть, что нелинейная задача определения пары {сг*, х*} некорректна, и условия применимости, например, метода Ньютона (Гаусса-Ньютона) не выполняются.

Регуляризованные варианты итерационных процессов для нелинейных некорректных задач, сходящихся с любого достаточно хорошего начального приближения можно найти в [50], [51], [58] и [59]. В [3], [5] для интегральных уравнений Фредгольма 1 рода с конечномерной нелинейностью более общего вида, чем уравнения типа свертки, были сформулированы условия на оператор А[а], обеспечивающие локальную единственность решения нелинейного уравнения. В данной задаче эти условия не выполняются. Более того, на всем классе решений х* G 1/2 единственность определения пары {о-*, ж*}, вообще говоря, отсутствует (для а близких к а* может существовать пара {сг, ж[ег]} такая, что А[сг]ж[сг] = у*). Поэтому необходимо сузить класс искомых функций. В [47] впервые было замечено, что наличие особенностей у искомого решения может играть положительную роль (при определенных условиях на ядро уравнения).

В §1 предполагается, что точное решение уравнения (0.11) имеет разрывы первого рода. Данная задача рассматривается в двух вариантах: а. точки разрыва искомой функции известны; б. точки разрыва неизвестны.

Требования на функцию K(t, сг), кроме условий 3, включают услоa?MM

0.12) вия на первую и вторую производные по параметру а. Отметим, что условиям на K(t,a) в случае а удовлетворяют, например, функции exp(-t2/a2), а/(а2 +12), в случае б — первая из этих функций.

В качестве регуляризованного решения рассмотрим следующую последовательность функций jys(z)/K(z,a), \z\<B, .0, \z\>B.

В теореме 3.1 для случая, когда точки разрыва неизвестны, изучаются асимптотические свойства функции xf[a] в окрестности точек разрыва В следствии 3.1 эти свойства сформулированы для случая, когда точки разрыва известны.

Для случая а предложен итерационный процесс П1(а) уточнения параметра а. Явно указана последовательность параметров регуляризации {В{} (Bi —» оо) и сформулировано правило останова г = i(8). В теореме 3.2 доказана сходимость данного алгоритма при 6 —» 0 и получена оценка а1^ - а* < — сг*|, где 0 < q < 1. Для вычисления приближений к величинам скачков выписана формула и построена функция х6А по формуле аналогичной (0.4) при точных [к = 1,2,.,/), приближающая искомую функцию вне окрестностей точек разрывов. В теореме 3.3 показано, что для построенных приближений имеют место оценки (0.8), (0.9). Для показателей р2, Рг выписаны явные выражения; множество в этом случае не зависит от 5 и W6 = R\{Sh.Sl}.

Решение уравнения (0.11) для варианта б (неизвестны положения разрывов) включает несколько этапов. Сначала производится уточнение параметра <т, затем приближаются характеристики разрывов и строится функция, аппроксимирующая х* вне окрестностей разрывов.

Алгоритм уточнения параметра П1(б) объединяет в себе процесс

П1(а) уточнения параметра а и алгоритм П (см. §1 гл.2) определения положений разрывов при фиксированном текущем а1. Для построения нового алгоритма необходимо выбирать разные параметры регуляризации В и В1 при определении положений разрывов и при уточнении а. Согласование параметров регуляризации достигается введением нового параметра v > 1 и выбором В1 = jБ/и, где В — параметр для уточнения с, В1 — параметр для определения положения разрыва. Возмущенная правая часть уравнения (0.3) вычисляется по формуле = x2sB^v[a\{s) + x^v[o]{s). В лемме 3.2 показано, что характеристики разрывов удовлетворяют уравнениям (0.3) с точной правой частью, а для возмущений Д^) (к = 1,2,.,/) имеют место условия (II). При построении алгоритма П1(б) явно указана последовательность параметров регуляризации {Д } (Д- —> оо) и сформулировано правило останова г = г(8). В теореме 3.4 доказана сходимость данного алгоритма при 8 —> 0 с любого достаточно хорошего начальа

1(6) г qW | а — а |, где ного приближения и и выписана оценка 0<д<1.

После получения уточненнного значения параметра а1^ с помощью алгоритма П2, аналогичного алгоритму П §1 главы 2, находим аппроксимации точек разрывов и величин скачков. В теореме 3.5 доказано, что с помощью алгоритма П2 будут найдены все точки разрыва и окажутся справедливы оценки (0.7), (0.8), где Сi — D4K1, К\ — из условия (II), D4 —константа, р\ = 1, а для р2 выписано явное выражение. С использованием этих приближений по формуле (0.4) построена функция, приближающая исходную функцию вне малых окрестностей точек разрывов. В теореме 3.6 получена оценка (0.9) с выписанными явно выражениями для показателей ро и

В §2 главы 3 решается уравнение с конечномерной нелинейностью

0.11) на классах обобщенных функций. Как и в §1 рассматривается две задачи: а. положения особенностей известны; б. положения особенностей неизвестны.

Предполагается, что ядро уравнения K(t,a) удовлетворяет тем же условиям, что и в §1. Для построения регуляризованного решения используется тот же метод регуляризации (0.12). В теореме 3.7 и следствии 3.3 показано, что для регуляризованного решения имеют место асимптотические разложения аналогичные разложениям, полученным для разрывной функции.

В случае, когда положения особенностей известны, алгоритм П1(а)' уточнения параметра а аналогичен алгоритму П1(а) §1 настоящей главы. Для этой задачи получены результаты, аналогичные результатам предыдущего параграфа. В теореме 3.8 получены оценки для построенных приближений (0.8), (0.9), р2 = 1, для выписано явное выражение.

Так же как и в §1 алгоритм уточнения параметра П1(б)' объединяет в себе процесс П1(а)' уточнения параметра а в случае, когда положения особенностей известны, и алгоритм П определения положений особенностей при фиксированном текущем иг. Сформулирована теорема сходимости данного алгоритма, аналогичная теореме 3.4 предыдущего параграфа.

После получения уточненного значения параметра с помощью алгоритма П2 §1, находим аппроксимации характеристик особенностей. В теореме 3.11 доказано, что с помощью алгоритма П2 будут найдены все точки разрыва и выписаны оценки для приближений точек разрыва и величин скачков (0.7), (0.8), где С\ = D±K\ (К\ — константа из условия (II), D4 — константа, р\ = 1, а для р2 выписано явное выражение). С использованием этих приближений по формуле (0.10) построена функция, приближающая исходную функцию вне окрестностей точек разрывов. В теореме 3.12 получена оценка (0.9), для pq и рз выписан явный вид.

В главе 4 приведены описания алгоритмов и результаты численных экспериментов для прикладных интегральных уравнений 1 рода. Информация о задачах и ссылки на дополнительную литературу вынесены в приложение А.2.

В §1 для уравнения с гауссовым ядром K(t,a) = ехр(—t2/a2) на классах функций с особенностями приведены результаты расчетов, демонстрирующие работоспособность алгоритмов решения нелинейного уравнения (0.11) (для аппроксимации положений особенностей использовался эвристический алгоритм). Показано, что применение метода коррекции параметров и алгоритмов главы 3 дает существенно лучшие результаты по сравнению с решением уравнения (0.11) методом регуляризации срезкой с возмущенным оператором А\и).

В §2 рассматриваются уравнения, возникающие в структурных исследованиях материалов (уравнение рентгеноспектрального структурного анализа (РССА) для исследования структуры кристаллических и аморфных материалов [7], [15], [18], [48], [56]; задача исследования структуры бинарных сплавов [15], [18], [25], [45]). Построен метод кол-локации на основе полиномов Лежандра. Выведены формулы, позволяющие рекуррентно вычислять коэффициенты матрицы, аппроксимирующей оператор задачи. Это позволяет построить экономичные алгоритмы для решения рассматриваемых проблем. Особенно важно использование этих методов для решения задачи исследования структуры бинарных сплавов, где возникает система интегральных уравнений 1 рода. При ее численном решении существенно увеличивется время счета и требования к памяти. Приведена серия модельных расчетов, показывающих эффективность построенных алгоритмов.

В §3 приведены результаты применения метода коррекции параметров для решения уравнения "исправления на аппаратную функцию" и уравнений рассмотренных в §2.

Примером уравнения с конечномерной нелинейностью является уравнение (0.11). В работах [3], [5] предложен итерационный метод решения таких уравнений, который позволяет существенно улучшить качество получаемого решения.

В §4 описан алгоритм решения нелинейной обратной задачи гравиметрии [28] для двух контактных поверхностей. В условиях нескольких поверхностей раздела решение становится неединственным, поэтому для выделения реального решения предполагается, что дополнительно известна пробная функция. Приведена серия модельных расчетов, показывающих работоспособность предложенного алгоритма.

В §5 рассматривается задача наклонного радиозондирования ионосферы [33], [53], электронная концентрация которой зависит только от высоты. Для наклонной схемы зондирования опробована специальная схема счета, позволяющая воспользоваться вольтеррово-подобной спецификой проблемы и организовать счет прямой и обратной задач послойно, шаг за шагом. В частности, в обратной задаче в предложенном алгоритме начальное приближение, в отличии от других работ (см., например, [23]), не используется, и плотность ионосферы восстанавливается прямо по измеренным данным.

В приложении А.1 приведены утверждения, касающиеся явления Гиббса, в удобном для читателя виде. В приложении А.2 описаны уравнения и системы, возникающие в структурных исследованиях материалов, задачи гравиметрии и ионосферных исследований.

Результаты диссертации докладывались на Всероссийской научной конференции "Алгоритмический и численный анализ некорректных задач", посвященной памяти В.К.Иванова (Екатеринбург, 1995г.), на Всероссийской научной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (Екатеринбург, 2001г.), на Международной школе С.Б.Стечкина по теории функций (Миасс, 1997г.), на Международной конференции, посвященной 80-летию со дня рождения С.Б.Стечкина (Екатеринбург, 2000г.), на школах С.Б.Стечкина по теории функций (Миасс, 2000 и 2001гг.), на 25-й, 27-й, 28-й, 31-й и 32-й Молодежных конференциях "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 1994, 1996, 1997, 2000 и 2001гг.), на семинаре кафедры математического анализа и теории функций Уральского госуниверситета (2001 г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [5-13] и [47]. Результаты также анонсировались в [4]. В работе [47] теоретические результаты (алгоритм и теоремы сходимости) получены соавторами совместно. В работах [5]—[Т] и [47] автору принадлежит реализация алгоритмов и проведение методических расчетов1.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Александру Леонидовичу Агееву за постановку задач и постоянное внимание к работе.

1В работе [5] — в части, связанной с РССА, расчеты для задачи ЯГР выполнены Е.В.Ворониной; в работе [7] — аппроксимация на основе полиномов Лежандра принадлежит автору, аппроксимация на основе полиномов Чебышева проведена Е.В.Поповой.

1. Агеев A.J1. Регуляризация нелинейных операторных уравнений на классе функций ограниченной вариации // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1980. Т.20, №4. С. 819-826.

2. Агеев A.JI. Алгоритмы конечномерной аппроксимации стабилизирующих добавок// Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1991. Т. 31, №7. С. 943-952.

3. Агеев А.Л. Решение уравнений 1 рода с конечномерной нелинейностью // Известия вузов. Математика. 1997. №3. С. 68-72.

4. Агеев А.Л., Антонова Т.В. Об уравнениях 1 рода с конечномерной нелинейностью. Труды XI международной Байкальской школы-семинара (Иркутск, Байкал, 5-12 июля 1998г.), ИСЭИ СО РАН, Иркутск, Изд-во ИСЭИ, 1998. С. 17-20.

5. Агеев А. Л., Антонова Т.В., Воронина Е.В. Методы уточнения параметров при решении интегральных уравнений 1 рода // Матем. моделирование. 1996. №12. С.110-124.

6. Агеев А.Л., Болотова(Антонова) Т.В., Васин В.В. Решение обратной задачи гравиметрии о границах раздела трех сред// Физика Земли. 1998. №3. С.54-57.

7. Агеев А.Л., Болотова(Антонова) Т.В., Васин В.В., Попова Е.В. Регулярные методы расшифровки структуры бинарных сплавов/ИММ УрО РАН. Екатеринбург, 1995.18с. Деп. в ВИНИТИ 28.02.95, №546-В95.

8. Антонова Т.В. О решении уравнений 1 рода на классах разрывных функций // Проблемы теор. и прикладной математики: Труды 31-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 2000. С. 30-31.

9. Антонова Т.В. О решении нелинейных по параметру уравнений 1 рода на классах обобщенных функций// Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2000. Т. 40, №6. С. 819-831.

10. Антонова Т.В. Решение нелинейных уравнений 1 рода на классах функций с разрывами / ИММ УрО РАН. Екатеринбург, 2000. 32с. Деп. в ВИНИТИ 17.10.00, №2639-В00.

11. Антонова Т.В. О решении уравнений 1 рода на классах обобщенных функций // Тезисы докл. Всеросс. научн. конф. "Алгоритмический анализ неустойчивых задач", (Екатеринбург, 26 февраля 2 марта 2001г.) Екатеринбург: Изд-во УрГУ, 2001. С. 76-77.

12. Антонова Т.В. Восстановление функции с конечным числом разрывов 1 рода по зашумленным данным // Известия вузов. Математика. 2001. №7. С. 65-68.

13. Бабанов Ю.А. Метод регуляризации в рентгеноспектральном струк турном анализе аморфных металлических сплавов// Рентгеноспектральный метод изучения структуры аморфных тел/ Под редакцией Г.Д. Жидомирова. Новосибирск,1988. С. 213-263.

14. Бабанов Ю.А. Рентгеновские методы исследования атомной структуры аморфных тел. Часть 2. Метод рентгеноспектрального струк турного анализа: Метод, реком. к лекционному курсу. Ижевск: Изд-во Удм. ун-та, 1995. 127с.

15. Беккенбах Э., Беллман 3. Неравенства. М.: Изд-во Мир, 1965. 276 с.

16. Васин В.В. Регуляризация и дискретная аппроксимация некорректных задач в пространстве функций ограниченной вариации// ДАН. 2001. Т. 376, Ш. С. 11-14.

17. Васин В.В., Агеев A.JI. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: Наука, 1993. 260с.

18. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Справочное пособие. Киев: Наукова думка, 1986. 544с.

19. Гласко В.Б. Обратные задачи математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1984. 111с., ил.

20. Гончарский А.В., Ягола А.Г. О равномерном приближении монотонного решения некорректных задач // ДАН СССР. 1969. Т.184, №4. С. 771-773.

21. Гребенников А.И. Алгоритмы и программы аппроксимации функции одной и нескольких переменных сплайнами и приложения. М.: Изд-во Моск.ун-та, 1987. 80 с.

22. Дмитриев В.И., Шамаева Т.Ю. О решении однородной обратной задачи восстановления ионосферы //Сб. Матем. моделирование и решение обратных задач матем. физики. М: Изд-во Моск. ун-та, 1992. С. 75-81.

23. Дорофеев И.Ф. О решении интегральных уравнений 1 рода в классе функций с ограниченной вариацией // ДАН СССР. 1979. Т. 244, т. с. 1303-13П.

24. Дутчак Я.И. Рентгенография жидких кристаллов. Львов: Высш. шк., 1977.

25. Загонов В.П. Некоторые вариационные методы построения приближенных негладких решений некорректно поставленных задач // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1987. Т.27, №11. С. 1614-1627.

26. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректно поставленных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 206с.

27. Кобрунов А.И. Теория интерпретации гравиметрических данных для сложнопостроенных сред// Геофизический журнал. 1995. Т. 17 Ш. С 3-12.

28. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962. 92с.

29. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 286с., ил.

30. Латтес Р., Лионе Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. М: Мир, 1970. ЗЗбс.

31. Леонов А.С. Кусочно-равномерная регуляризация некорректных задач с разрывными решениями // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1982. Т. 22, №3. С. 516-531.

32. Митра С.К. Верхняя атмосфера. М.: Изд-во иностранной литературы. 1955. 640с.

33. Морозов В.А., Гребенников А.И. Методы решения некорректно поставленных задач: алгоритмический аспект. М.: Изд-во МГУ, 1992. 320с.

34. Сизиков B.C. Математические методы обработки результатов измерений: Учебник для вузов. СПб: Политехника, 2001. 240с, ил.

35. Страхов В.Н. Теория приближенного решения линейных некорректных задач в гильбертовом пространстве и ее использование в разведочной геофизике. I, II // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1969. Ш. С.50-53; №9. С.64-96.

36. Сушко Д.В. Восстановление разрывов сингулярной свертки алгоритмами высокого разрешения // Доклады РАН. 1997. Т.352, №5. С. 598-601.

37. Тихонов Н.А, Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974. 223с.

38. Тихонов А.Н, Гончарский А.В, Степанов В.В, Ягола А.Г. Ре-гуляризующие алгоритмы и априорная информация. М: Наука, 1990. 232с.

39. Тихонов А.Н., Леонов А.С., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. М: Наука, 1995. 311с.

40. Федотов A.M. Линейные некорректные задачи со случайными ошибками в данных. Новосибирск: Наука, 1982. 189с.

41. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2. Издание 4. М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1959. 808с.

42. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.З. Издание 3. М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1963. 656с.

43. Хромова Г.В. О задаче восстановления производной // Вычисл. методы и программирование. Саратов: Изд-во Сарат.ун-та, 1970. Т. 4. С. 3-13.

44. Швецов Р.А., Агеев А.Л., Бабанов Ю.А. и др. Метод исследования структуры бинарных аморфных сплавов по данным рассеяния и поглощения рентгеновских лучей / АН СССР. УНЦ. Ин-т математики и механики. Свердловск, 1989. 33с. Деп. в ВИНИТИ 13.01.89, №661-В89.

45. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. Формулы, графики, таблицы. М: Наука, 1964. 344с.

46. Ageev A.L., Antonova T.V. On solution of nonlinear with resped to parameter equation of the first kind on the class of discontinuous functions // J. Inv. Ill-Posed Problems. 1999. V.7. №1. P.l-16.

47. Ageev A.L., Babanov Yu.A. Vasin, V.V. et al. Amorphous problem in EXAFS data analysis// Phys. Stat. Sol. 1989. V. 117. P. 345-350.

48. Babanov Yu.A., Ershov N.V., Shvetsov V.R. et al. A new method of determining the partial radial distribution function for amorphous alloys. 1. The quasibinary problem // J. Non-Cryst. Sol. 1986. V. 79, Ш. P. 7-9.

49. Bakushinsky А.В., Goncharsky A.V. Ill-posed Problems: Theory and Applications. Amsterdam: Kluwer Acad. Publ. Dordrecht, Boston, London, 1994. 258c.

50. Engl H.W., Scherzer 0. Convergence Rates Results for Iterative Methods for Solving Nonlinear Ill-Posed Problems. EN(English summary) Surveys on solution methods for invers problems, 7-34, Springer. Vienna, 2000.

51. Ershov N.V., Ageev A.L., Vasin V.V., Babanov Yu.A. A new interpretation of EXAFS spectra in real space. 2. A comparison of the regularization technique with the Fourier transformation method// Phys. Stat. Sol. 1981. V. 108, №1. P. 103-111.

52. Kelso J.M. Radio ray propagation in ionosphere. New York: McGray book company. 1964. 407p.

53. Leonov A.S. Functions of several variables with bounded variation in ill-posed problems// Сотр. Maths Math. Phys., 1996. Vol. 36, №9. P.1193-1203.

54. Nashed M.Z., Scherzer 0. Least Squares and Bounded Variation Regularization with Nondifferentiable Functional// Numer. funct. anal, and optimiz., 19(7&8), 873-901 (1998).

55. Stern E.A. Theory of the Extended x-Ray Absorption Finestructure Techniques // Phys. Rev. 1974. V. B10, P. 3027-3037.

56. Тео В.К. and Lee Р.А. J.Amer.Chem.Soc.101.2815 (1979).

57. Vasin V.V. Iterative methods for the approximate solution of ill-posed with a priori information and their applications // Inverse and Ill-Posed Problems. Boston Acad. Press, 1987. P. 211-223.

58. Vasin V.V., Ageev A.L. Ill-posed Problems with A Priori Information. Utrecht: VSP, 1995. 255p.