Некоторые вопросы приближенного решения операторных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Введение

Глава I. Линейные уравнения первого рода

§ I. Метод расширяющихся шаров. II

§ 2. Метод усеченного базиса

§ 3. Метод дискретной функции Грина

§ 4. О точности решения линейной некорректной задачи на слабом компакте

Глава П. Нелинейные уравнения первого рода

§ I. Достаточное условие регуляризуемости в цространстве непрерывных функций.

§ 2. Принцип стягивающихся компактов для нелинейных не корректных задач

§ 3. О точности решения нелинейной некорректной задачи на слабом компакте

§ 4. Метод последовательной аппроксимации для решения нелинейной некорректной задачи на сильном компакте

Глава Ш. Нелинейные уравнения второго рода

§ I. О сходимости метода А.А.Дородницына

§ 2. Метод последовательных итераций.

§ 3. Метод кусочно-линейной аппроксимации для квазилинейной задачи Коши.

§ 4. Об одном разностно-итерационном методе для квазилинейного уравнения параболического типа.

Наблвдаемое в настоящее время интенсивное развитие естественных наук было бы невозможно без создания математических моделей исследуемых явлений. Построение математических моделей, согласование их с экспериментом ж решение прикладных задач в рамках определенных математических моделей,- как правило, невозможно без широкого использования электронно-вычислительных машин. В свою очередь эффективное использование вычислительной техники требует соответствующего математического обеспечения.

В связи с указанным обстоятельством вопрос о построении методов решения "типичных" математических задач имеет несомненную актуальность. При этом особое значение приобретают следующие требования, предъявляемые к методу: алгоритмическая простота и быстродействие, оценка точности приближенного решения; минимальная априорная информация об искомом решении7; определенная универсальность численного алгоритма.

Имея в виду большое количество конкретных математических задач (интегральные уравнения, краевые задачи для дифференциальных уравнений и др.), удобно исследование приближенных методов проводить сразу для некоторых классов уравнений,1 то есть в форме операторных уравнений. Операторные уравнения принято делить на уравнения первого и второго родов.

Уравнения второго рода в банаховом пространстве - классический объект для исследований в современном функциональном анализе и вычислительной математике. Основными и наиболее изученными методами приближенного решения уравнений второго рода являются следующие: принцип сжатых отображений, проекционные методы, конечно-разностные методы, методы типа Ньютона и другие (см., например, [ш] , [12з] , [146] ). Указанные нацраЕления сложились в начале нашего столетия и продолжают активно развиваться в настоящее время.

Систематическое исследование вопросов приближенного решения уравнений первого рода началось лишь в шестидесятых годах нашего столетия после фундаментальных работ А.Н.Тихонова ( [191] - [19б] ) ; в которых был предложен метод регуляризации для решения некорректно поставленных задач. В настоящее время можно говорить, что в современной вычислительной математике сложилось новое направление - методы решения некорректно поставленных задач (методы регуляризации).

Данная работа посвящена некоторым вопросам приближенного решения операторных уравнений в банаховом пространстве. Работа структурно состоит из трех глав и трех приложений к соответствующим главам. Каждая глава содержит четыре параграфа; а каждый параграф разбит на пункты.

В первой главе рассматриваются воцросы приближенного решения линейного уравнения первого рода. В § I гл.1 предлагав ется метод расширяющихся шаров, представляющий собой метод регуляризации для линейного уравнения первого рода в гильбертовом цространстве. Эффект регуляризации в этом методе достигается за счет решения исходной задачи на специальной последовательности вложенных шаров. Устойчивость метода обусловлена следующим фактам: если элементы слабо сходящейся последова- !/ тельности -^ОСух,^ лежат в шаре радиуса К/ гильбертова пространства Н и если слабый предел последовательности лежит на поверхности шара радиуса & , то последователь*-ность \х сходится сильно в пространстве Н .

В § <! гл.1 рассматривается метод усеченного базиса. Основным достоинством метода усеченного базиса является возможность восстановления конечного числа коэффициентов Зурье точного решения с известной оценкой погрешности. Иначе говоря, предлагаемый метод позволяет не только построить конечномерное приближенное решение; но и оценить погрешность отклонения цриближенного решения от соответствующей конечномерной проекции точного решения.

В § 3 гл.1 рассматривается метод дискретной функции Грина. Предложенная методика позволяет решить две задачи теории регуляризации:

1) достаточное условие регуляризуемости линейного уравнения первого рода в пространстве непрерывных функций,

2) апостериорная оценка точности приближенного решения при минимальной априорной информации о точном решении.

Обе указанные задачи решаются с помощью так называемой дискретной функции Грина. Дискретная функция Грина представляет собой определенный аналог классической функции Грина, возникающий при перенесении идеи функции Грина на случай линейного операторного уравнения первого рода.

В § 4 гл.1 предлагается один общий способ построения л- А модуля непрерывности обратного отображения А на образе слабого компакта. Указанная задача решается с помощью введения специальной "интегральной" метризации слабой сходимости в пространстве . Для трех конкретных некорректных задач приводятся априорные оценки устойчивости на слабом компакте, то есть в случае, когда известна априорная оценка нормы точного решения:.

В Приложении к главе I рассмотрены численные аспекты метода дискретной функции Грина на примере задачи Кош для уравнения Лапласа и задачи Кош для уравнения теплопроводности с "обратным" ходом времени.

Основными результатами первой главы являются следующие:

1) достаточное условие регуляризуемости линейного уравнения первого рода в пространстве непрерывных функций (гл.Г,§ 3),

2) априорные и апостериорные оценки точности приближенного решения: линейного уравнения первого рода на слабом компакте (гл.Г, §§ 3, 4).

Во второй главе рассматриваются вопросы приближенного решения нелинейного уравнения первого рода. В § I гл.П предлагается достаточное условие регуляризуемости нелинейного уравнения первого рода в пространстве непрерывных функций. При этом существенно используется введенная в § 4 гл.1 специальная метризация слабой сходимости в пространстве Ь ^ [ 0,4 ] . В случае нелинейной задачи на слабом компакте приводится апостериорная оценка точности приближенного решения.

В § 2 гл.П предлагается принцип стягивающихся компактов для нелинейных некорректных задач. Этот принцип использует идею выделения в пространстве решений компакта; содержащего точное решение и стягивающегося в точку при ? О (здесь положительный параметр £ характеризует уровень погрешности в задании исходных данных). Указанный подход позволяет вычислить апостериорную оценку точности приближенного решения (при малых значениях параметра Т ) в случае отсутствия какой-либо априорной количественной информации о точном решении. В связи с этим обстоятельством для нелинейного уравнения первого рода предлагается понятие полной регуляризуемости, сочетающей обычное понятие регуляризуемости с возможностью вычисления апостериорной оценки точности цриближенного решения. Излагаются достаточные условия полной регуляризуемости и регуляризуемости суперпозиции двух отображений.

Б §§ 3,- 4 гл.П обсуздаются вопросы, связанные с вычислением апостериорной оценки точности приближенного решения нелинейного уравнения первого рода на слабом и сильном компактах соответственно.

В Приложении к главе П рассмотрены численные аспекты методики, изложенной в главе И, на примере обратной динамической задачи сейсморазведки. Соответствующий комплекс программ передан в НПО "Нефтегеофизика" для практического использования при математической обработке сейсмических данных.

Основными результатами второй главы являются следующие:

1) достаточное условие регуляризуемости нелинейного уравнения первого рода в пространстве непрерывных функций (гл.П,§ I),

2) апостериорная оценка точности приближенного решения нелинейного уравнения первого рода на слабом компакте (гл.П, §§ I, 3),

3) принцип стягивающихся компактов, позволяющий вычислить апостериорную оценку точности приближенного решения нелинейного уравнения первого рода в случае отсутствия априорной количественной информации о точном решении (гл.П, § 2).

В третьей главе рассматриваются вопросы приближенного решения нелинейного уравнения второго рода. В § I гл.Ш исследуется итерационный процесс, предложенный А.А.Дородницыным ( [у?] ) для нелинейного уравнения второго рода. Указано достаточное условие сходимости итерационного процесса и приведена оценка точности приближенного решения.

В § 2 гл.Ш цредлагается метод последовательных итераций, представляющий собой определенное развитие классического метода сжатых отображений на случай отображений* не удовлетворяющих условию сжатия. Построен итерационный процесс для лип-шщ-нецрерывного и монотонного оператора, действующего в произвольном банаховом пространстве. Получена оценка скорости сходимости указанного процесса.

В § 3 гл.Ш исследуется метод кусочшмлинейной аппроксимации для квазилинейной задачи Коши. Предварительно устанавливается одно достаточное условие ограниченности решения линейного уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. Затем с помощью указанного достаточного условия доказывается сходимость метода кусочно^линейной аппроксимации и устанавливается равномерная по ~Ь С О > <=х>>) оценка точности приближенного решения квазилинейной задачи Коши дал обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.

В § 4 гл.Ш рассматривается вопрос о сходимости итерационного процесса, возникающего при решении конечно-разностного аналога для квазилинейного уравнения параболического типа. Доказательство сходимости итерационного процесса существенно опирается на априорные (равномерные по шагам сетки) оценки решений квазилинейной разностной задачи. Априорные оценки устанавливаются с помощью энергетического метода и специальной леммы типа леммы Беллмана-Гронуолла.

В Приложении к главе Ш рассмотрены численные аспекты метода последовательных итераций на примере одной нелинейной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения

Основными результатами третьей главы являются следующие:

1) достаточное условие сходимости итерационного метода А. А. Дородницына",

2) метод последовательных итераций,® представляющий собой развитие метода сжатых отображений на случай липшвд непрерывного и монотонного отображения в произвольном банаховом пространстве,

3) достаточное условие сходимости итерационного процесса для решения конечно-разностного аналога квазилинейного уравнения параболического типа.

В работе используется сквозная нумерация формул/ теорем и замечаний внутри каждого параграфа. Основные результаты

В заключение автор искренне благодарит академика А.Н.Тихонова за постоянное внимание к работе и постановку ряда задач, рассмотренных в диссертации.

Автор благодарит црофессора В.А.Винокурова, доцентов А.В.Гончарского, А.М.Денисова и А.ГЛголу за многолетнее творческое содружество. Основная часть вычислений, приведенных в работе, выполнена А.Й.Бастисом,' которому автор приносит глубокую благодарность. второго порядка/ предложенной в работе диссертации опубликованы в работах

4б] - [еэ], [70] , [71] .

- II

Заключение.

В заключение сформулируем кратко основные результаты, содержащиеся в диссертации.

1. Получены достаточные условия регуляризуемости в пространстве непрерывных функций для линейного и нелинейного уравнений первого рода. Разработаны соответствующие алгоритмы регуляризации.

2. Развиты теория и методы решения линейных и нелинейных некорректно поставленных задач на слабых компактах. Доказана возможность получения априорных и апостериорных оценок точности приближенного решения уравнения первого рода на слабом компакте.

На основе предложенной методики разработан комплекс программ для решения обратной динамической задачи взрывной сейсморазведки. Указанный комплекс программ передан в НПО "Нефтегеофизика" для црактического использования при обработке сейсмических трасс.

3. Предложен принцип стягивающихся компактов, позволяющий вычислить апостериорную оценку точности приближенного решения уравнения первого рода в случае отсутствия какой-либо количественной априорной информации о точном решении. Разработаны соответствующие алгоритмы регуляризации.

4. Предложен метод последовательных итераций, представляющий собой развитие метода сжатых отображений на случай лилшиц--непрернвного и монотонного отображения в произвольном банаховом пространстве. Численные аспекты метода рассмотрены на примере нелинейной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.

1. Абрашин В.H. Разностные схемы для нелинейных гиперболических уравнений, П. - Дифферевд. уравнения, 1975, т.1.; № 2, с.294-308.

2. Алексццзе М.А. Решение граничных задач методом разложения по неортогональным функциям. М.: Наука,1 1978.

3. Алифанов О.М.у Румянцев C.B. Об устойчивости итерационных методов решения линейных некорректных задач. Докл. АН СССР, 1979;" т.248, № 6, с.1289-1291.

4. Альбер Я.И. О решении нелинейных уравнений с монотонными операторами в банаховом пространстве. Сибирский матем. журнал,' 1975,' т.16, № I, с.З-П.

5. Арефьева М.В. Асимптотические оценки точности оптимальных решений уравнения типа свертки. Ж. вычисл.матем. и матем. физ.у 1974, T.I4, » 4, с.838-851.

6. Арефьева М.В. Некоторые асимптотические оценки оптимальной погрешности для интегральных уравнений I рода типа свертки.

7. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1975, т.15, № 5, C.I3I0-I3I7.

8. Арсенин В.Я. Об оптимальном суммировании рядов Зурье с приближенными коэффициентами. Докл. АН СССР; 1968', т. 183, № 2, с.257-260.

9. Арсенин В.Я. О некорректно поставленных задачах. Успехи матем. наук, 1976, т.31, № 6; с.89-101.

10. Ахиезер Н.И. , Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука,7 1966.

11. Бабич М.Д.", Иванов В.В. Оценка полной погрешности при решении нелинейных операторных уравнений методом цростой- 278 итерации. Ж. вычисл. матем. и матем. физ.', 1967, т.7^ № 5, с.988-1000.

12. Бакунинский А.Б. Об одном численном методе решения интегг-рального уравнения Фредгольма I рода. Ж. вычисл. матем. и матем. физ.,г 1965, т.5, J£ 4;' с.744-749.

13. Бакушинский А.Б. Избранные воцросы приближенного решения некорректных задач. М.: МГУ", 1968.

14. Бакушинский А.Б. Некоторые воцросы теории регуляризирующих алгоритмов. В сборнике работ ВД МГУ', 1969- J& 12,г с.56-79.

15. Бахвалов Н.С. Численные методы. Анализ; алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1973.

16. Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М.: Мир, 1965.

17. Будак Б.М., Васильев Ф.П. Приближенные методы решения задач оптимального управления, выпуск 2, М.: МГУ; 1969.

18. Будак Б.М.; Виньоли А., Гапоненко Ю.Л. Об одном способе регуляризации экстремальной задачи для нецрерывного выпуклого функционала. Докл. АН СССР; 1969, т.184/ № I, с.12--16.

19. Будак Б.М., Беркович Е.М., Гапоненко ГОД. О построении сильно сходящейся минимизирующей последовательности для непрерывного выпуклого функционала. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1969, т.9, № 2, с.286-300.

20. Будак Б.М., Виньоли А., Гапоненко Ю.Л. Об одном способе регуляризации для непрерывного выпуклого функционала. -Ж. вычисл. матем. и матем. физ.,1 1969," т.9, № 5, с.1046--1057.

21. Будак Б.М., Гапоненко Ю.Л., Сидорович В.Г. О прямом методе решения некоторой некорректной обратной задачи. В сборнике "Решения задач Стефана". Труды ВЦ МГУ, М.: МГУ, 1970,с.226-234.

22. Будак Б.М., Гапоненко Ю.Л., Малышева Г.Ю., Рубан П.И. Об одном методе решения экстремальных задач с ограничениями на фазовые координаты. Ж. вычисл. матем. и матем. физ.,' 1974; т. 14, № 3," с.779-783.

23. Бурдаков О.П. Некоторые глобально сходящиеся модификации метода Ньютона для решения систем нелинейных уравнений. -Докл. Ш СССР, 1980, т.254, № 3, с.521-523.

24. Бушманова М.В. О конечномерных приближениях к решению линейного операторного уравнения I рода. Известия вузов. Математика,1 1977/ }£ 9, с. 11-17.

25. Вайнберг М.М. О некоторых новых принципах в теории нелинейных уравнений. Успехи матем. наук, 1960, т.15, № I, с.243-244.

26. Вайнберг М.М. О сходимости цроцесса наискорейшего спуска для нелинейных уравнений. Сибирский матем. журнал, 1961, т.2, гё 2, 201-220.

27. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. М.: Наука, 1972.

28. Вайникко Г.М. Возмущенный метод Галёркина и общая теория приближенных методов для нелинейных уравнений. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1967, т.7, № 4, с.723-751.

29. Вайникко Г.М. О разностном методе для обыкновенных дифференциальных уравнений. К. вычисл. матем. и матем. физ., 1969, т.9, » 5, с.1057-1074.

30. Вайникко Г.М. Принцип компактной аппроксимации в теории приближенных методов. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1969, т.9, £ 4, с.739-761.

31. Вайникко Г.М. Компактная аппроксимация операторов и приближенное решение уравнений. Тарту: ТГУ, 1970.

32. Вайникко Г.М., Карма 0.0. 0 сходимости приближенных методов решения линейных и нелинейных операторных уравнений. -Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1974, т.14, № 4, с.828-837.

33. Вайникко Г.М. Регулярная сходимость операторов и приближенное решение уравнений. В сборнике "Математический анализ", т.16 (Итоги науки и техники), ВИНИТИ; с.5-53.

34. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.

35. Васильева В.Н., Будак Б.М. К обратной задаче об определении коэффициентов квазилинейного параболического уравнения.

36. В сборнике "Решение задач оптимального управления и некоторых обратных задач", М.: МГУ; 1974, с.3-20.

37. Васин В.В. Об устойчивом вычислении производной в цростран-стве С + Ж. вычисл. матем. и матем. физ.,- 1973, т.13, £ 6, с.1383-1389.

38. Васин В.В., Танана В.П. Об устойчивости проекционных методов при решении некорректных задач. Ж. вычисл.матем. и матем. физ.," 1975, т.15, I, с.19-29.

39. Винокуров В.А. 0 понятии регуляризуемости разрывных отображений, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1971, т. 11,5, с.1097-1112.

40. Винокуров в.А. Приближенный метод невязки в нерефлексивных пространствах. Ж. вычисл.матем. и матем. физ., 1972^ т.12, № I; с.207-212.

41. Винокуров В.А., Петунии Ю.И., Пличко А.Н. Условия измеримости и регуляризуемости отображений, обратных к непрерывным линейным отображениям. Докл. АН СССР, 1975, т.220; « З; с.509-511.

42. Винокуров В.А. О погрешности приближенного решения линейных обратных задач. Докл. АН СССР, 1979, т.246; № 4,с.792-793.

43. Винокуров В.А., Гапоненко Ю.Л. Апостериорные оценки решений некорректных обратных задач. Докл. АН СССР, 1982', т.263, № 2; с.277-280.

44. Винокуров В.А. Приближенное вычисление функции с неточно заданным аргументом. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. М.: МГУ, 1980.

45. Винокуров В.А., Пличко А.Н. О регуляризуемости линейных обратных задач линейными методами. Докл. АН СССР, 1976, т.229, № 5, с.1037-1040.

46. Гаевский X.; Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир; 1978.

47. Гапоненко Ю.Л. О решении квазилинейной краевой задачи Стефана. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Москва, 1970.

48. Гапоненко А.Л., Гапоненко Ю.Л. ,06 одном методе регуляризации .для операторных уравнений I рода. Ж.вычисл. матем.и матем. физ., 1976, т.16, 3 3;; с.577-584.

49. Гапонемсо Ю.Л. Об одном регуляризующем алгоритме для уравнения Аи= | . Вестник МГУ, математика и механика, 1976, № 2, с.51-55.

50. Гапоненко Ю.Л. Метод дискретной функции Грина для решения линейных некорректных задач. Докл. АН СССР, 1976, т.229, № 2, с„269-271.

51. Гапоненко Ю.Л. Метод дискретной функции Грина для решения некоторых краевых задач. Вестник МГУ, математика и механика, 1977, Л I, с.76-80.

52. Гапоненко Ю.Л. Об одном регуляризаторе в пространстве непрерывных функций. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1978? т.18, № 2, с.379-384.

53. Гапоненко Ю.Л. Метод согласованной аппроксимации для решения нелинейных операторных уравнений. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1978, т.18, № 3; с.767-769.

54. Гапоненко Ю.Л. Об одном методе решения плохо обусловленных линейных алгебраических систем. Вестник МГУ, вычислительная математика и кибернетика, 1978| № 2, с.70-73.

55. Гапоненко Ю.Л. Метод согласованной аппроксимации для решения нелинейных дифференциальных уравнений. Вестник МГУ, математика и механика, 1978, № 4, с.81-86.

56. Гапоненко Ю.Л. Метод последовательной аппроксимации для решения нелинейных экстремальных задач. Известия вузов, математика, 1980, № 5, с.12-15.

57. Гапоненко Ю.Л. Об одном классе уравнений; регуляризуемыхв пространстве непрерывных функций. Докл. АН СССР, 1980; т.252, № I; с.21-24.

58. Гапоненко Ю.Л. Метод стягивающихся компактов для решения нелинейных дифференциальных уравнений. Вестник МГУ, вычислительная математика и кибернетика, 1980, № 4, с.8-13.

59. Гапоненко Ю.Л. Об одном методе отыскания глобального экстремума для нелинейного функционала. Кибернетика, 1981, гё 6, с„58-61.

60. Гапоненко Ю.Л. Метод стягивающихся компактов для решения нелинейных некорректных задач. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1981, т.21, № 6, с.1365-1375.

61. Гапоненко Ю.Л. Принцип стягивающихся компактов для нелинейных некорректных задач. Сибирский матем. журнал; 1982, т.23, tè 5, с.42-51.

62. Гапоненко Ю.Л. Об одном классе вполне регуляризуемых отображений. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1982,' т.22,1. J^ Х| с. 3—9.

63. Гапоненко Ю.Л. Принцип стягивающегося компакта для решения некорректных задач. Докл. АН ССОР,' 1982, т.263,' № 6, с.1293-1296.

64. Гапоненко Ю.Л. О точности решения нелинейных некорректных задач. Известия вузов. Математика, 1982; № 4, с.13-18.

65. Гапоненко Ю.Л. Принцип стягивающегося компакта для приближенного решения нелинейных некорректных задач.

66. В сборнике "Методы решения некорректных задач и их приложения". (Труды Всесоюзной школы-семинара Ноорус, 1982). Новосибирск; 1982, с.56-61.

67. Гапоненко Ю.Л. Метод последовательных итераций для интегрального уравнения второго рода. Труды республиканской научной конференции по уравнениям математической физики,1. Душанбе, 1983, с.70-71.

68. Гапоненко Ю.Л. О точности решения некорректной задачи на слабом компакте. В сборнике "Теория и методы решения некорректно поставленных задач и их приложения", Новосибирск, 1983, с.73-74.

69. Гапоненко Ю.Л/, Тихомиров В.В. О степени разрешения одного численного метода решения обратной задачи сейсморазведки. В сборнике "Теория и методы решения некорректно поставленных задач и их приложения", Новосибирск; 1983, с.75.

70. Гапоненко Ю.Л. Метод последовательных итераций для операторного уравнения второго рода. ВИНИТИ, № 71-84 Деп.;2 января 1984 г.', 22 с.

71. Гапоненко Ю.Л., Бастис А.Й. Об одном методе приближенного решения некорректной задачи на слабом компакте. Вестник МГУ, вычислительная математика и кибернетика, 1984; гё 2, с.8-14.

72. Гапоненко Ю.Л. О степени разрешения и точности решения некорректной задачи при фиксированном уровне погрешности. К. вычисл. матем. и матем. физ., 1984, т.24, № 4,с.483-490.

73. Гапоненко Ю.Л. Метод последовательных итераций для уравнения второго рода. Докл. АН СССР, 1984, т.277, № 2,

74. Гласко В.Б.; Худак Ю.И. Аддитивные представления слоистых сред и вопросы единственности решения обратных задач. -Ж. вычисл. матем. и матем. физ.; 1980;" т.20,~ № 2; с.482-490.

75. Гольдман Н.Л. О решении некорректной задачи Коши для квазилинейного параболического уравнения. Сборник работ ВЦ МГУ, 1977; вып.26, с.138-154.

76. Голздаан Н.Л. Об одном классе обратных задач для уравнений. Диффзренц. уравнения, 1978, т.14; № 7; 1245-1254.

77. Гольдман Н.Л. Об одном классе нелинейных обратных задач с неизвестной границей. Дифференц. уравнения, 1983, т.19, № 4, с.608-617.

78. Гончарский A.B., Ягола А.Г. О равномерном приближении монотонного решения некорректных задач. Докл. АН СССР, 1969, т.184, J& 4, с.771-773.

79. Гончарский A.B., Ягола А.Г.",1 Леонов A.C. Некоторые оценки скорости сходимости регуляризованных приближений для уравнения типа свертки. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1972; T.I2V & 3, с.762-770.

80. Гончарский A.B.V Ягола А.Г., Леонов A.C. Об одном регуля-ризирущем алгоритме для некорректно поставленных задачс приближенно заданным оператором. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1972, т.12, № 6, с.1592-1594.

81. Гончарский A.B.1, Леонов A.C.; Ягола А.Г. Некоторое обобщение принципа невязки для случая оператора, заданного с ошибкой. Докл. АН СССР; 1972, т.203, В 6, с.1238-1239.

82. Гончарский A.B., Леонов A.C.', Ягола А.Г. 0 принципе невязки при решении нелинейных некорректных задач. Докл. АН СССР, 1974, т.214; й 3, с.499-500.

83. Гончарский A.B., Черепащук А.М., Ягола А.Г. Численные методы обратных задач астрофизики. М.: Наука, 1978.

84. Гончарский A.B., Степанов В.В. Численные методы решения некорректно поставленных задач на компактных множествах.

85. Вестник МГУ, вычислительная математика и кибернетика, 1980, № 3, с.12-18.

86. Горбунов А.Д. Разностные уравнения и разностные методы решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: МГУ, 1967.

87. Гусаров Л.А. Об ограниченности решений линейного уравнения второго порядка. Докл. АН СССР, 1949, т.68, № 2, с.217-«220.

88. Гусейнов А.И., Гасанов Г.М. Об одной оценке погрешности приближенных решений линейного интегрального уравнения. -Докл. АН СССР, 1973, т.211, № 6, с.1270-1272.

89. Давиденко Д.Р. Об одном новом методе численного решения систем нелинейных уравнений. Докл. АН СССР, 1953, т.88, В 4; с„601-602.

90. Демьянов В.Ф., Рубинов A.M. Минимизация гладкого выпуклого функционала на выпуклом множестве. Вестник ЛГУ, 1964, вып.4, № 19; с.5-18.

91. Денисов A.M. Об аппроксимации квазирешений некоторых интегральных уравнений I рода. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1974, т.14, № I, с.222-230.

92. Денисов A.M. О приближенном решении операторных уравнений1.рода. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1983,- т.23, й 3, с.730-732.

93. Денчев Р. Об устойчивости уравнений на компакте. •• Ж. вычисл. матем. и матем. физ.у 1967; т.7, )& 6, с.1367-1369.

94. Джищкариани A.B. О сходимости невязки в методе конечных элементов. Докл. АН СССР, 1980, т.254, 5, с.1052-1054.

95. Дмитриев В.И., Ильинский A.C., Свешников А.Г. Развитие ма- 287 тематических методов исследования прямых и обратных задачэлектроразведки. Успехи матем. наук, 1976, т.31, № 6, с.123-141.

96. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. 0 численном решении некоторых интегральных уравнений Фредгольма I рода. Сборник работ ВЦ МГУ, 1968, т.10, с.49-54.

97. Дмитриев М.Г., Полещук B.C. О регуляризации одного класса неустойчивых экстремальных задач. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1972, т.12, J£ 5, C.I3I6-I3I8.

98. Домбровская И.Н.; Иванов В.К. Некорректные линейные уравнения и исключительные случаи уравнений типа свертки. -Известия вузов. Математика, 1964, № 4, с.69-74.

99. Домбровская И.Н. О линейных операторных уравнениях первого рода. — Известия вузов. Математика, 1964, № 2, с.75-78.

100. Дородницын A.A. Применение метода малого параметра к численному решению дифференциальных уравнений. В книге "Современные проблемы математической физики и вычислительной математики". М.: Наука, 1982, с.145-155.

101. Зябрев Н.Б., Савёлова Т.И. Об оценке скорости сходимости регуляризованных решений уравнения типа свертки с погрешностями в ядре и правой части. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1976, т.16, № 5, с.1091-1101.

102. Иванов В.В., Кудринский В.Ю. Приближенное решение линейных операторных уравнений в гильбертовом пространстве методом наименьших квадратов. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1966, т.6, № 5, с.831-841.

103. Иванов В.В. Об оптимальных по точности алгоритмах приближенного решения операторных уравнений. Ж. вычисл. матем.и матем. фаз., 1975, т.15, № I, с.З-П.

104. Иванов В.В. О минимизации числа операций для линейных некорректных задач. Известия вузов. Математика, 1978, А II, с.47-54.

105. Иванов В.К. Интегральные уравнения I рода и приближенное решение обратной задачи теории потенциала. Докл. АН СССР, 1962, т.142, № 5, с.998-1000.

106. Иванов В.К. О некорректно поставленных задачах. Матем. сборник, 1963, т.61, Jfc 2, с.211-223.

107. Иванов В.К. Задача Коши для уравнения Лапласа в бесконечной полосе. Дифференц. уравнения, 1965, т.1, № I, с.131-136.

108. Иванов В.К. О равномерной регуляризации неустойчивых задач. Сибирский матем. журнал:, 1966, т.7, № 3, с.546-558.

109. Иванов В.К. Об интегральных уравнениях Фредгольма I рода. Дифференц. уравнения, 1967, т.З, № 3, с.410-421.

110. Иванов В.К., Королгок Т.И. Об оценке погрешностей при решении линейных некорректных задач. Ж. вычисл. матем.и матем. физ., 1969, т.9, № I, с.30-41.

111. Иванов В.К. О решении операторных уравнений, не удовлетворявших условию корректности. Труды Математического Института АН СССР, 1971, т.112, с.232-240.

112. Иванов В.К. Об оценке устойчивости квазирешений на некомпактных множествах. Известия вузов. Математика, 1974,5, с.97-103.

113. Иванов В.К.,- Васин В .В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.

114. Иевлев И.И. О приближенном решении уравнений I рода. ~

115. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1973, т.13, të 4, с.1049--1056.

116. Ильинский A.C., Муталлимов М.М. Исследование дисперсионных равнений спектрального метода. Докл. АН СССР, 1983, T.27I, № 4, с.793-795.

117. ИЗ. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971.

118. Канторович Л .В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука; 1977.

119. Карчевский М.М. Итерационные схемы для уравнений с монотонными операторами. Известия вузов. Математика, 1971, № 5, с.32-37.

120. Карчевский М.М., Ляшко А.Д. Разностные схемы для нелинейных задач математической физики. Казань, 1976.

121. Качуровский Р.И. Нелинейные монотонные операторы. Успехи матем. наук, 1968, т.23, Jê 2, с.121-168.

122. Кнопова С.М., Савёлова Т.И. 0 применении проекционных методов к решению неустойчивых задач. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1979, т.19, № 5, с.1091-1096.

123. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1968.

124. Коркина Л.Ф. Оценка модуля непрерывности обратного оператора. Математические записки Уральского университета, 1969, т.7, të 2, с.76-87.

125. Коркина Л.Ф. Об оценке погрешности при решении некорректно поставленных задач. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1974, т.14, $ 3', с.584-597.

126. Кошелев А.И. 0 сильной сходимости в целом одного итерационного процесса для обыкновенных дифференциальных уравнений. Докл. АН СССР, 1972, т.203, № 5, с.999-1000.

127. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко ПЛ., Рутиц-кий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969.

128. Крейн С.Г. О классах корректности для некоторых граничных задач. Докл. АН СССР, 1957, т.114, Ш 6, с.1162-1165.

129. Крейн С.Г., Шаблицкая Л.Н. Об устойчивости разностных схем для задачи Коши. « Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1966| т.6, Ht 4, с.648-664.

130. Крукиер Л.А. Неявные разностные схемы и итерационный метод их решения для одного класса систем квазилинейных уравнений. Известия вузов. Математика, I979v № 7, с .41-52.

131. Курпель H.С. Проекционно^итеративные методы решения операторных уравнений.'Киев: Наукова думка, 1968.

132. Лаврентьев М.М. О задаче Коши для уравнения Лапласа. -Докл. АН СССР, 1955, т.Ю2, Я 2; с.205-206.

133. Лаврентьев М.М. Об интегральных уравнениях первого рода.

134. Докл. АН СССР, 1959, т.127, В I, с.31-33.

135. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Сибирское отделение АН СССР, 1962.

136. Лаврентьев М.М., Аниконов Ю.Е.; Фазылов Ф.Н. Приближенное решение некоторых нелинейных операторных уравнений. -Докл. АН СССР, 1971, т.200, В 4, с.770-772.

137. Лаврентьев М.М., Амиров А.Х. Исследование условий корректности задачи Коши для одного уравнения. Сибирский матем. журнал-, 1977, т.18, & 5, с.1065-1072.

138. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980.

139. Левитин Е.С., Поляк Б.Т. Методы минимизации при наличии ограничений. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1966, т.6, № 5; с.787-823.

140. Леонов A.C. Кусочно-равномерная регуляризация некорректных задач с разрывными решениями. Ж. вычисл. матем.и матем. физ., 1982, т.22, № 3, с.516-531.

141. Лионе Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

142. Лисковец O.A. Численное решение некоторых некорректных задач методом квазирешений. Дифференц. уравнения, 1968, № 4, с.735-742.

143. Лисковец O.A. Метод регуляризации для нелинейных задач с замкнутым оператором. Сибирский матем, журнал, 1971, т.12, № 6, c.I3II-I3I7.

144. Лисковец O.A. Вариационные методы решения неустойчивых задач. Минск: Наука и техника, 1981.

145. Лисковец O.A. Теория и методы решения некорректных задач. В сборнике "Математический анализ", т.20 (Итоги науки и техники) М.: ВИНИТИ, 1982, 0.116-178.

146. Лифанов И.К. О некорректности и регуляризации численного решения сингулярных интегральных уравнений первого рода. -Докл. АН СССР, 1980, т.255, № 5, с.1046-1050.

147. Лучка A.D. Проекционно-итеративные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. Киев: Наукова думка, 1980.

148. Марчук Г.И. 0 постановке некоторых обратных задач. -Докл. АН СССР, 1964, т.156, J§ 3, с.503-506.

149. Марчук Г.И., Васильев В.Г. О приближенном решении операторных уравнений первого рода. Докл. АН СССР, 1970,т.195, № 4, с.773-775.

150. Марчук Г.И., Агошков В.И. О выборе координатных функций в обобщенном методе Бубнова-Галеркина. Докл. АН СССР, 1977,' т.232, & 6, с.1253-1256.

151. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980.

152. Маслов В.П. О регуляризации задачи Коши для псевдодифференциальных уравнений. Докл. АН СССР, 1967, т.177,1. В 6, с.1277-1280.

153. Мельникова И.В. О решении интегральных уравнений I рода в пространстве М. Математические записки Уральского университета, 1968, т.6, № 4, с.95-102.

154. Менихес Л.Д. О регуляризуемости отображений, обратных к интегральным операторам. Докл. АН СССР, 1978, т.241, № 2,с.282-285.

155. Мергелян С.Н. Гармоническая аппроксимация и приближенное решению задачи Коши для уравнения Лапласа. Успехи матем. наук, 1956, т.II, J£ 5, с.3-26.

156. Морозов В.А. О регуляризации некорректно поставленных задач и выборе параметра регуляризации. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1966, т.6, № I, с.170-175.

157. Морозов В.А. Методы решения неустойчивых задач. М.: МГУ, 1967.

158. Морозов В.А. 0(5 оценках погрешности решения некорректно поставленных задач с линейными неограниченными операторами. Ж. вычисл. матем. и матем. физ.; 1970, т.10, £ 5,с.1081-1091.

159. Морозов В.А. Линейные и нелинейные некорректные задачи. В сборнике "Математический анализу т.II (Итоги науки), М.: ВИНИТИ; 1973, о.129-178.

160. Морозов В.А.; Голздман Н.Л., Самарин М.К. Метод дескриптивной регуляризации и качество приближенных решений. -Инженерно-физический журнал, 1977, т.33, № б, с.1117-1124.

161. Морозов В.А. О реставрации изображений с гарантированной точностью. В сборнике "Численные методы на Фортране. Методы и алгоритмы". М.: МГУ, 1979, с.3-45.

162. Николаев Е.С. Нелинейное ускорение двухслойных итерационных методов вариационного типа. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1976, т.16, № 6, с.1381-1387.

163. Обэн Ж.П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. М.: Мир, 1977.

164. Оганесян С.М., Старостенко В.И. Итерационные методы решения некорректно поставленных задач. Докл. АН СССР, 1977, т.234, J6 2, с.312-315.

165. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975.

166. Перов А.И., Юргелас В.В. О сходимости одного итерационного процесса. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1977,т.17, № 4, с.859-870.

167. Польский Н.И. Проекционные методы в прикладной математи- 294 ке. Докл. АН СССР, 1962, т.143, £ 4, с.787-790.

168. Поляк Б.Т. Теоремы существования и сходимость минимизирующих последовательностей для задач на экстремум при наличии ограничений. Докл. АН СССР, 1966, т.166, № 2, с.287-290.

169. Поляк Б.Т., Левитин Е.С. 0 сходимости минимизирующих последовательностей в задачах на условный экстремум. -Докл. АН СССР, 1966, т.168, & 5, с.997-1000.

170. Попов Ю.П., Самарский A.A. 0 методах численного решения одномерных нестационарных задач газовой динамики.

171. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1976, т.16, Jß 6, с.1503-—1518.

172. Попов Ю.П., Самарская Е.А. 0 сходимости итерационного метода Ньютона для решения разностных уравнений газовой динамики. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1977, т.17, № I, с.276-280.

173. Прилепко А.И. Об одном классе интегральных уравнений первого рода. Дифференц.уравнения, 1973, т.9, J& I, с.136--141.

174. Рейссиг Р., Сансоне Г., Конти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1974.

175. Русанов В.В., Карлин В.А. Об одном итерационном методес фиктивными неизвестными. Докл. АН СССР, 1983, т.268, № 5, с.1058-1062.

176. Савелова Т.И. Проекционные методы решения линейных некорректных уравнений. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1974, т.14, № 4, C.I027—1031.

177. Самарский A.A. Априорные оценки для решений разностного- 295 аналога дифференциального уравнения параболического типа. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 196Г, т.1, № 3, с.441-460.

178. Самарский A.A. Априорные оценки для разностных уравнений. Ж. вычисл. матем. и матем. физ.,ь 196Г, т.1, Л 6,с.972-1000.

179. Самарский A.A. Однородные разностные схемы для нелинейных уравнений параболического типа. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1962, т.2, № I, с.25-56.

180. Самарский A.A. О сходимости и точности однородных разностных схем для одномерных и многомерных параболических уравнений. Ж. вычисл. матем. и матем. физ.;, 1962, т.2, £ 4, с.603-634.

181. Самарский A.A. Итерационные двухслойные схемы для несамосопряженных уравнений. Докл. АН СССР, 1969, т.186, № I, с.35-38.

182. Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973.

183. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики. М.: Наука', 1975.

184. Самарский.А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983.

185. Саульев В.К. Интегрирование уравнений параболического типа методом, сеток. М.: Физматгиз, I960.

186. Сидоров H.A., Треногин В.А. Об одном подходе к проблеме регуляризации на основе возмущения линейных операторов. -Математические заметки, 1976, т.20, $ 5, с.747-752.

187. Симеонов C.B. Об одном процессе последовательных приближений и его применении для решения функциональных уравнений с нелинейными операторами монотонного типа. — Докл. АН СССР, 1961, т.138, » 5, с.1033-1034.

188. Смирнов В.И. Курс высшей математики, том 5, М.: Физмат^ гиз, 1959.

189. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Ленинград: ЛГУ, 1950.

190. Страхов В.Н. Об одном методе приближенного решения линейных некорректных задач. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1970, т.10, В I, с.204-210.

191. Страхов В.Н. О методах приближенного решения линейных условно корректных задач. Докл. АН СССР, 1971, т.196, & 4, с.786-788.

192. Страхов В.Н. Об алгоритмах цриближенного решения условно корректных задач. Докл. АН СССР, 1972, т.207, В 5, c.I057-I059.

193. Страхов В.Н., Валяшко Г.М. О проблеме выбора параметра регуляризации при решении линейных, некорректных задач. -- Докл. АН СССР, 1976, т.228, В I, с.48-51.

194. Танана В.П., Тимонов A.A. О проекционных методах решения нелинейных неустойчивых задач. Докл. АН СССР, 1976,т.229, № 3, с.558-561.

195. Танана В.П. Об оптимальных алгоритмах для операторных уравнений первого рода с возмущенным оператором. Математический сборник, 1977, т.104, В 2, с.314-333.

196. Танана В.П. Методы решения операторных уравнений. М.: Наука, 1981.

197. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач. Докл. АН СССР, 1943, т.39, & 5, с.195-198.- 297

198. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации. Докл. АН СССР, 1963, т.151, Jß 3, с.501-504.

199. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач., Докл. АН СССР, 1963, т.153, № I, с.49-52.

200. Тихонов А.Н. О решении нелинейных интегральных уравнений первого рода. Докл. АН СССР, 1964, т.156, £ 6у с.1296--1299.

201. Тихонов А.Н. О нелинейных уравнениях первого рода. -Докл. АН СССР, 1965, т.161, J£ 5, C.IQ23-I026.

202. Тихонов А.Н. Об устойчивости задачи оптимизации функционалов. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1966, т.6, & 4, с.631-634.

203. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974.

204. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики:. М.: Наука,* 1977.

205. Треногин В.А. функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

206. Тучкин Ю.А., Шестопаляв В.П. Об одном численном методе решения операторных уравнений. Докл. АН СССР, 1978, т.242, J£ 3, с.570-573.

207. Фам Ки Ань. Об одном приближенном методе решения квазилинейных операторных уравнений. Докл. АН СССР, 1980, т.250, J& 2, с.291-295.

208. Фам Ки. Ань. О глобальной сходимости итерационных процессов. Математические заметки, 1981, т.29, № 6, с.923-929.

209. Фан Ван Хан. О некоторых итерационных методах приближенного решения операторных уравнений и их применении.- 298 - Известия вузов, математика, 1976, J6 4, с.87-94.

210. Федосик Е.А. Итерационные методы решения неявных разностных схем для нелинейных параболических и гиперболических уравнений. Дифференц. уравнения, 1980; т.16, № 7; с.1322-1331.

211. Федотов A.M. О корректности постановки задачи построения приближенных решений некорректных задач. Докл. АН СССР, 1983,' т.272, & 5, с.1064-1066.

212. Фонарев A.A. О решении нелинейных уравнений с монотонными отображениями в гильбертовом цространстве. Дифференц. уравнения; 1981, т.17, $ 2, с.366-372.

213. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 2, М.: Физматгиз, 1959.

214. Хапаев М.М. Проблемы устойчивости в системах обыкновенных дифференциальных уравнений. Успехи матем. наук, 1980, Т.35, В I, с.127-170.

215. Холл Дж., Уатт Дж. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1979.

216. Хромова Г.В. О задаче восстановления функций, заданных с погрешностью. Ж. вычисл. матем. и матем. фаз., 1977, т.17, № 5, C.II6I-II7I.

217. Худак Ю.И. О регуляризации решений интегральных уравнен ний I рода. S. вычисл. матем. и матем. фаз., 1966, т.6, & 4, с.766-769.

218. Хямарик У.А. Проекционные методы для регуляризации линейных некорректных задач. Труды ВЦ Тартуского госуниверситета. Тарту: ТГУ, 1983, вып.50, с.69-90.

219. Чарушииков В.Д. Об универсально-оптимальных итерационных- 299 процессах. Докл. АН СССР, 1970, т.195, $ I, с.46-49.

220. Чистяков В.М. О сходимости одного итерационного процесса для обыкновенных дифференциальных уравнений. Известия вузов, математика, 1979, $ 2, с.59-65.

221. Шолохович В.Ф. О приближенном решении неустойчивых экстремальных задач. Известия вузов, математика, 197Г, Л 5, с.101-108.

222. Штеттер Х.И. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1978.

223. Юхно Л.Ф. О характере сходимости метода сеток при решении нелинейных эволюционных задач. Докл. АН СССР, 1976,т.228, Л 2, с.325-328.

224. Ягола А.Г. О выборе параметра регуляризации при решении некорректных задач в рефлексивных пространствах.

225. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1980, т.20, № 3, с.586--596.

226. Ягола А.Г. О решении нелинейных некорректных задач с помощью обобщенного метода невязки. Докл. АН СССР, 1980, т.252, № 4, с.810-813.

227. ВаааАп£е/ь £ ЕГ. £</эсА. ухлЛ ш

228. Оп \\М>тк ЪЪасг -Ъи*. Осой/. и^Др. И11- 1X16.

229. ЧлкА ^сЛякл Кслл,- УКУИ- ЬмяоЪ. оЬеЬс£иупя- 300 222. ^tewJivi R E. YmxzJ. 1p<WM/t t'in

230. Vum- (.ШД/Ъ »Wf/i-OOcil/lK VVTA-jjvjHMy IM.ouvuxX — /Wft • Mtc&.

231. Lutw M. Бкш^ M^^ua^&fee^ j^ft tdlutivKoß Jjí||WWfcci¿ ео^аХыуил. 1л.см4. Кшп. Ml. 13G0, <ü.<3f5 vi, f. SS-П.

232. Euec¿ С. &¿y<UMÍonA Ы ^loßßuw. oí¿ CouoJiw Jхл/ь ße.

233. Мирл&б. — /Wt. кнаи^. ctW ojyfJ}^р. 4M-1SV.225. fUc&íeA. Gr. R. I\Wc^ouC ^Mm ¡лЛел^а^ e^-u^tcoits o| ÍÍUoahÍI vubw/MuxÄÄ — 3.226 • T. I. ^сущШ^мк a^j^ooet-йгоЛмм.1. Л j^to^ßUvvi . 5WÍ I.twuf . — ce/votaoí cxmcí g^êwie&cs,

234. Ш1 , -0. lo, л, f. M-If g.