Композиция методов линеаризации и аппроксимации операторных, интегральных и дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Кротов Николай Владимирович

КОМПОЗИЦИЯ МЕТОДОВ ЛИНЕАРИЗАЦИИ И АППРОКСИМАЦИИ ОПЕРАТОРНЫХ, ИНТЕГРАЛЬНЫХ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ

Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород - 2005

Работа выполнена в Нижегородском государственном университете им. Н.И.Лобачевского

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Д. В. Баландин

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор Г. А. Уткин,

кандидат физико-математических наук доцент Р. Г. Рахманкулов

Ведущая организация:

Мордовский государственный университет им. Н.П.Огарева

Зашита состоится 16 февраля 2006 г. в 14 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.166.06 при Нижегородском государственном университете им. Н. И. Лобачевского (603950, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23, корпус 2, конференц-зал)

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке ННГУ. Автореферат разослан ^Л Лм&з-А^я- 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

доцент

В. И. Лукьянов

Общая характеристика работы

Актуальность исследования. Проблеме поиска приближенных решений линейных и нелинейных уравнений посвящена обширная литература. Исследования по данной тематике вели, в частности, Н. В. Азбелев, Н. С. Бахвалов, Ф. П. Васильев, Е.В.Воскресенский, Л. В. Канторович, М. А. Красносельский, Ю. А. Кузнецов, С. Н. Слугин, В. И. Сумин, М. И. Сумин и др.

Для построения процесса последовательных приближений к решению нелинейного операторного уравнения Ч'(*) = 0 в банаховом пространстве с сильно дифференцируемой операцией 4х - применяется метод Ньютона касательных: очередная минус-поправка Д„ = и„ - «я+1 является решением линейного уравнения ¥'("„)А, =Ч'(ия). При обосновании сходимости метода обычно требуется также наличие второй сильной производной операции 4х. На каждом л-ом шагу этого процесса решается линейное уравнение с новой левой частью, и процесс вычисления минус-поправок может быть значительно затруднен за счет усложняющегося характера оператора Ч*'^)-

Поэтому для поиска приближений используется также модификация метода касательных: подбирается линейный ограниченный оператор Д, аппроксимирующий сильную производную в достаточно большой области, и решаются линейные уравнения ЯА„ = ^(ы,). Достаточные условия сходимости основного и модифицированного методов устанавливаются в предположении, что линейные уравнения решаются точно.

Однако, практически линейные уравнения тоже решаются приближенно. Это приводит к искажению теоретической оценки погрешности приближения и к тому обстоятельству, что проблема сходимости метода фактически остается открытой.

Цель работы. Для построения схемы приближенного метода, удобной в применении к задачам для дифференциальных уравнений, в диссертации вводится другая форма нелинейного операторного уравнения - в виде задачи

Эх = Р{х), Ых = г, (1)

где Их - главная линейная часть уравнения, ^(х) - нелинейная часть, а последнее равенство означает выполнение начальных или (и) краевых условий.

Здесь оператор £> , вообще говоря, неограниченный, а от операции Р не требуется ее дифференцируемости.

Построение производится в банаховом полуупорядоченном пространстве К, содержащем образы Их, Р(х). Использование свойства полуупорядоченности пространства позволяет получить более детальные результаты по сравнению с теми, где не постулирована полуупорядоченность. В диссертации пространство У затем реализуется в качестве пространств С, Ь2, с естественным - поточечным смыслом сравнимости у> О.

ТЗсГнХц^НАЛЬНАЯ!

библиотека i

При таком смысле сравнимости - дифференцируемые функции не образуют полуупорядоченного пространства, поэтому пространство X элементов х здесь рассматривается как линейное подпространство в Y

Целью работы является построение и исследование такой схемы поиска приближенных решений задачи (1) и ее частного случая - уравнения х = F(x), в которой учитывается аппроксимативный характер вычисления минус-поправок и которая обеспечивает сходимость метода и оценку погрешности приближений.

Кроме того, целью работы является также конкретизация схемы в применении к некоторым классам нелинейных интегральных и дифференциальных уравнений.

Научная новизна. Поставлена проблема поиска приближений к решению задачи (1) в линейном подпространстве банахова полуупорядоченного пространства.

Сформулированы и обоснованы модификации обобщенного принципа сжимающих отображений с оценкой нормы итерации модулярной мажоранты и с аппроксимацией нелинейной операции в исходном пространстве и в серии подпространств.

Построена схема комбинированного метода поиска приближенных решений задачи (1) - композиция методов линеаризации нелинейного операторного уравнения и аппроксимации линейных уравнений, участвующих в алгоритме вычисления приближений.

Установлены достаточные условия существования и единственности решения задачи (1), сходимости метода, указана оценка погрешности приближений.

Схема конкретизирована в приложении к нелинейным интегральным уравнениям - типа Гаммерштейна и вольтерровым; к начальной и граничной задачам для полулинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка; к задаче Коши для полулинейного уравнения в частных производных гиперболического типа.

Методика исследования. Используется аппарат классического и неклассического функционального анализа в нормированных и в полуупорядоченных пространствах, теории интегральных и дифференциальных уравнений в обыкновенных и в частных производных.

Научная и практическая ценность. В диссертации построены две функциональные схемы комбинированного метода поиска приближенных решений задачи (1).

Итогом конкретизации одной из этих общих схем являются прямые методы вычисления приближений - в конечномерных подпространствах.

Данная в работе конкретизация схем в некоторых классах интегральных и дифференциальных уравнений может служить основой для компьютерной реализации вычислительных процессов.

Схемы могут бьггь конкретизированы и в других классах задач для дифференциальных уравнений в обыкновенных и в частных производных.

Практическую ценность имеют также полученные здесь оценки погрешности приближений

Апробация работы и публикации.

Основные результаты работы докладывались

на научных семинарах кафедры численного и функционального анализа (рук. проф. Д.В.Баландин), кафедры математики (рук. проф. Г. А. Уткин) Нижегородского госуниверситета,

на международной конференции «Нелинейные колебания механических систем», г. Нижний Новгород, 1999 г., к на «Понтрягинских чтениях-ХН», Математическая школа, г. Воронеж,

2001 г.,

на 7 и 8 Нижегородской сессии молодых ученых (математические науки), г. Саров, 2002 г., 2003 г.,

на 10 междисциплинарной научной конференции «Нелинейный мир», г. Нижний Новгород, 2005 г.

Работа выполнена при поддержке РФФИ грант 04-01-00222. Результаты работы отмечены стипендией администрации Нижегородской области имени акад. Г.А.Разуваева.

Основные результаты диссертации отражены в 12 работах, список которых приведен в конце автореферата. В совместных работах, выполненных в соавторстве с С.Н.Слугиным, личным вкладом диссертанта являются формулировки и обоснования теорем. Соавтору С.Н.Слугину принадлежат идеи доказательства основных результатов.

Автор благодарит научного руководителя доктора физико-математических наук Д.В .Баландина за постановку задач и общее руководство.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, содержащего 34 наименования. Материал диссертации изложен на 113 страницах.

Содержание диссертации

Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована ее цель, научная новизна, научная и практическая значимость, дается краткая аннотация работы.

Вначале нелинейное уравнение подвергается процессу линеаризации: выбирается такой линейный ограниченный оператор Г, что значения Г(дг - и) аппроксимируют приращение Р(х) - Р(и) в достаточно большой области. Аналогом модифицированного метода касательных можно считать поиск приближений по схеме

(/>-г)Аи=я«„-^10. лгд„=0.

Введем линейное подпространство {А: МА = 0} и потребуем существование обратных операторов (О - Г)"1 и £)"' с образами в этом подпространстве. Тогда последняя линейная задача принимает вид

д.-(я-гуЧа».-*■(«.)]•

Здесь рассматривается случай, когда явное выражение оператора (О - Г)"1

неизвестно, но известен оператор 1Г1.

Производится аппроксимация двумя способами. В первом способе выбираются номера т(п) > 0, т(п) -> ® (и -> оо); оператор

Ф-гг^я-'Х^пг')*

при каждом п заменяется на операторы £>~'ЛЯ(Я), где

Л„ (2)

Во втором способе задача (1) сводится к уравнению

X = Ф(х)

в В-пространстве У. Номера 0 < т(п) < т{п +1) оо. Вводится серия линейных подпространств и проекторов:

Г.сГ^сГ, РЯ:Г-+ГЯ, Ряу-+у («-►<»).

Оператор

заменяется на линейные операторы

Г„*Г, Г.:¥.-+¥.. Невязки хп - Ф(х„) заменяются на проекции

У»=х„~Ъмф(хЛ У" е •

Обратные операторы

(/-Г.)"' :Гя->Га считаются известными (здесь 1х&х). Минус-поправки

5хп=хп ~Хп*\

являются решениями линейных уравнений

(/-Г „„>)&;-Л- (3)

Для обоих способов устанавливается наличие таких номеров т(я), что процессы сходятся к решению задачи (1).

В главе I диссертации вводится и исследуется композиция методов для операторных уравнений.

В п. 1.1 приводится определение О-линеала У, эквивалентное известному: частично упорядоченное В-пространство, где любой элемент имеет модуль |у| = у V (-у), и норма изотонна: если |>>| < |у|, то |< ||у|. Вначале рассматривается вспомогательная задача

Ох = А(х), № = г (4)

где х е X, X - линейное подпространство КВ-линеала У; операции

D.X-+Y, A\X^Y\ элемент z е Z, Z - линейное пространство; линейный оператор N :Х .

Формулируется первая модификация обобщенного принципа сжимающих отображений, для чего вводится последовательность операций

АМ:Х»¥, Ат(х)*А(х)

и производится процесс

= Ат(п)(х„\ Nxntl=z. Устанавливаются достаточные условия существования и единственности решения х* задачи (4) и сходимости процесса хп вместе с образами Dxn, соответственно, к решению х * и образу Dx *.

Содержание п. 1.1 опубликовано в работах [1,7,9,12].

В п. 1.2 исследуется первый способ, указанный во введении. Результат п. 1.1 применен к задаче (1). Выставлены условия. Операторы D'1 и Г имеют модулярные мажоранты - линейные ограниченные операторы С и Г: |D-,|<CM, ||С|<с, |ГД|iГ|д|.

Норма итерации:

||(гс)*Ц<ч,

Операция F удовлетворяет условиям в достаточно большой области:

\F(x) - F(«)|| <¥\х- 4, |F(x + А) - F(x) - ГД| < Я|д|, где В - линейный ограниченный оператор. Составлена композиция L = (I - ГС)"' ВС. Требуется:

Цф/, (*>D, /=i+i;/t.

Введены: произвольный сходящийся ряд чисел Ьп> 0 и величины

Р* - h = A\Dx0-F(xB)l, r = hl + mzx<pll.

Производаггся процесс (см. (2))

D(x„-x^) = A„w[Dxn-F(xn)], xn,x=x + D~xDx^, где х - решение задачи Dx- 0, Nx = z.

Теорема 1.2.1. Если номера т(и) выбраны так, что [А+А(1 + */)г]Лк(п„<Ьп, то процесс сходится к единственному решению х* задачи (1) со скоростью \\Dx„ - Dx*\\<h- mm(lJ,^kJk)+<pn->Q, ¡x„ -x*\\ic\\Dx„ - (5)

Содержание п. 1.2 опубликовано в работах [2,6,7,9].

В п. 1.3 формулируется вторая модификация обобщенного принципа сжимающих отображений для уравнения х = А(х) в ÄTß-линеале Y. Вводится серия линейных подпространств, указанных во введении (см. выше), и операций Am:Ym>->Y„, Ат (*) -+А(х). Построен процесс *я+1 = Ат{п)(хп).

Установлены достаточные условия существования и единственности решения х * уравнения х = А(х) и сходимости процесса к решению. Содержание п. 1.3 опубликовано в работах [1,7,12].

В п. 1.4 исследуется второй способ, указанный во введении. Результат п. 1.3 применен к задаче (1). Под обобщенным решением задачи (1) понимается решение х*е К уравнения х = Ф(х), где Ф(х) = •* + D'lF(x), Dx = 0, Nx = z.

Введен линейный оператор Г: Y Y, удовлетворяющий условиям |Пх| < Г|д-|,

|F(jO - F(«) - Г(х - ф - к|,

где Г, В - линейные ограниченные операторы. Проекторы Рт и операторы Гя указаны во введении. Существуют обратные операторы A„=(/-rM)-\ Kl*®, Vm.

Нормы dm =|г„ -£> 'г||0. Величины А, 1к,1 указаны в п. 1.2 (см. выше), но здесь

f=cP, z,=(/-f)-'c5.

Теорема 1.4.1. Имеется возможность такого выбора номеров т(п), что

(и - о) -

В этом случае процесс (3) сходится к единственному обобщенному решению задачи (1) со скоростью (5) при D -1.

Содержание п. 1.4 опубликовано в работах [3-5,8,11,12].

В главе II изучается композиция методов для интегральных уравнений.

В п. П.1 конкретизируется результат п. 1.2 в применении к уравнениям в пространстве С(0Д):

-Ф) = {/СМ>*('))Л + Ms), x(s) = a ^f(s,t,x(t))dt + w(s)

с малым параметром а.

Строятся процессы приближений к решениям уравнений. Итерациям линейных интегральных операторов Г соответствуют итеративные ядра. Устанавливается, что при определенном выборе номеров т(п) процессы равномерно сходятся к решениям с указанной оценкой скорости сходимости. Основное содержание п. II. 1 опубликовано в работе [7].

В п. II.2 конкретизируется результат п. 1.4 в применении ко второму из этих интегральных уравнений. В качестве линейных подпространств здесь вводятся, во-первых, линейные оболочки конечных подсистем базиса Н-пространства ¿2(0,1) и, во-вторых, подпространства некоторых ступенчатых функций в пространстве ¿„(0,1).

Линейные уравнения (3) здесь принимают вид систем линейных алгебраических уравнений с квадратной и треугольной матрицами.

Доказана возможность такого выбора номеров т(п), что процессы 0 приближений сходятся к решению второго интегрального уравнения,

соответственно, среднеквадратично или п. в. равномерно. Дана оценка скорости сходимости.

ц Основное содержание п. II.2 опубликовано в работах [3,5].

В главе III изучается композиция методов для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Основное содержание главы III опубликовано в статье [12]. В п. III.1 приводится приложение результатов п. 1.2 в пространствах

Х = С2(0,1), Г = С(0,1) (6)

к задаче

*'(') =/(',*«)), х(0) = z0, x'(0) = z,. (7)

В достаточно большой области пространства X значения f[x\ е Y, и выполняется условие Липшица

|л*+5*]-лФН<Ч- (8)

Выбрана такая функция g е ¿„(0,1), что

\g\<iy, \f[x + öx]-f[x\-gSx\<ß-\Sx\. (9)

Введены величины

Xk=ykl{2k)\, X = Chy[y, B = ßX, lk =е* !(2к)\, l = ChJe, h = к\х"в - Дх0]||, Число г указано в п. 1.2. ■** Ядра Gk - итеративные по отношению к ядру g(s)(s -1). Процесс

*h=ñx.l W") = 0); *„WW-ЕГ'ГГ^«-/^])^ ("»(и)> 1). * Теорема 111.1.1 является реализацией теоремы 1.2.1 при Dx = x", 2с = 1.

В этом же п. III. 1 производится также приложение результата п. 1.2 в пространствах (6) к задаче

-*"(') = *(')), *(0) = z„, *(l) = z,. (10)

Пусть выполняются условия (8), (9), причем ß + y< 8. Введем величины \={yl $f, А = 8/(8-у), E = ßX,

lk={s! 8)\ / = 8/(8-Г), h = X\xl + f[x0]|.

Обозначим функцию Грина

H = (\-s)t (tüs)\ # = (1 -t)s (.s<t). Ядра Gk - итеративные по отношению к ядру g(s)H(s,t). Построен процесс

М») = 0), -= /[*,] + fe« + f[x„])dt (т(п)>\). Теорема 1П.1.2 является реализацией теоремы 1.2.1 при Dx = -х", 8с = 1.

В п. П1.2 результат п. 1.4 конкретизирован в приложении к задаче (10) в пространствах

* = #'(0,1), 7 = 1,(0,1). (11)

Функции е„ составляют базис Я-пространства Y. На достаточно большой области пространства Y значения /[х] е Y. Функция Грина Н определена на квадрате

0 = [0,1]х[0,1].

Функция g{(), g s ¿„(0,1). Выполнены условия (9), причем ß + у < З-JlÖ. Норма в пространстве 1^(0):

n=\g-H\<i. Введены коэффициенты, операция и величины:

[Ф«](*) = z0+ (г, - zB)s + [H{sj)f(t,x(t))dt, (12)

а = ЗлЯ0-г, A = 1 + у/а, =ß/a,

/„=/," (л>0), l = a!(a-ß), h = X\x0 -Ф(д:0)||, т]т - коэффициенты Фурье функции Ф(лп).

Процесс приближений 8Ы - = ~ 4 = ~ , где

^ (¿</и(«-1)); п,„ =0 (<>ш(и-1)).

Введены частичные суммы двойного и одинарного рядов Фурье:

= ^ = ixe>dl e> ■ Обозначим норму в пространстве ¿¡(0:

cm=\gH-G„\.

Теорема П1.2Л. Имеется возможность такого выбора номеров т(п), ™о с^Цх. - Ф(х„ )|| +1(/ - РтМ )Ф(хп )[| < (1 - ц)Ь„ (и > 0). В этом случае приближения х„+1 = ^"^¿¡„е, среднеквадратично стремятся к единственному обобщенному решению х * задачи (10) со скоростью |*л - х *| S 1Ып +<рп —> 0.

Под обобщенным решением задачи (10) понимается решение л* е Г интегрального уравнения х = Ф(х) (см. (12)).

Содержание п. Ш.2 опубликовано в статье [12].

В п. ШЗ результат п. 1.4 применен к задаче (7) в пространствах (11). Укажем отличия от условий п. Ш.2. Здесь функция Коши # = (/<*), Я = 0 (г>*),

величины

ёк = 1/[(2* - 1)12у]к(4к-1)], 1к = тк *к, 1 = Операция

Под обобщенным решением задачи (7) понимается решение х* е У интегрального уравнения х = Ф(х) с этой операцией.

Теорема Ш.3.1 в формулировке отличается от теоремы Ш.2.1 заменой задачи (10) на задачу (7) и оценки скорости сходимости на оценку (5) при

Содержание п. П1.3 опубликовано в статье [12].

В главе IV изучается композиция методов для уравнения в частных производных гиперболического типа.

В п. 1У.1 результат п. 1.2 применен к задаче на квадрате Q: *;,=/(*,',*(*,'))> *(*,0) = 2,(*), х(0,/) = г2(<), 2,(0) = 22(0) (13)

в пространствах X -Н2(0, У = £,(0.

Значения /[дг] е У в достаточно большой области. Выбрана функция £ € ¿«(2)- Выполнены условия вида (8), (9). Введены величины

с0= 1, ск = 1/[((£-\)\)г2к(2к-1)] (*>1), ак=\/(И)2 (к>0), (*>0), к = « = / = ^1(х0);,-/К|, Число г указано в п. 1.2.

Ядра gk - итеративные по отношению к ядру С(х,г,<т,т) = g((7, г) (сг<5, т<О-Построен процесс

(*„.Х=Л*„] («(«) = 0),

Теорема 1У.1.1. Если номера т(п) выбраны так, что [2И + Л(2 + у,)г]ЛтМ.1<2Ь„ (л>1), то процесс среднеквадратично сходится вместе со смешанной производной к единственному решению х * задачи (13) со скоростью (5), где йх = х"а, 2с = 1 (нормы в пространстве К).

Содержание п. IV. 1 опубликовано в статьях [6,9].

В п. ГУ.2 результат п. 1.4 применен к задаче (13) в пространствах X = Я1 (0, У = I, (0. Функции еп составляют базис Я-пространства У.

Функция % е £„(0, выполнены условия вида (9). Введены величины

1г-]а<ь&[ло[у л

и указанные в п. IV. 1 (см. выше) ск,Хк,Х \ 1к= (рХ)кск.

Операция

[Ф(х)](*,0 = ф) + г2(0 - 7,(0) + [(¡а^тМёг. (14)

Число Л = х0 - Ф(х0)|| (норма в пространстве У).

Коэффициенты

8* = £(я-е,Х<7,г)Л\

Ядро С указано в п. IV. 1. Введены частичные суммы С„ и Рях двойного и одинарного рядов Фурье в пространстве 12((Эх@)и У. Норма с1т =|0-<7т|.

Под обобщенным решением задачи (13) понимается решение интегрального уравнения х = Ф(*) (см. (14)).

Теорема 1У.2.1 отличается в формулировке от теоремы П1.2.1 заменой задачи (10) на задачу (13), переменных ст на с1т и оценки скорости сходимости на оценку (5) при В=1

Основное содержание п. 1У.2 опубликовано в работах [4,10].

В Заключении указывается, что построенные в диссертации функциональные схемы могут быть использованы в поиске приближенных решений и для других классов дифференциальных уравнений с обыкновенными и частными производными.

Работы, опубликованные по теме диссертации

1. Слугин CH., Кротов H В Модификация обобщенного метода сжимающих отображений в КБ-линеале. // Вестник Нижегородского госуниверситета. 1999. Вып. 2(21). С. 125-128.

2. Слугин CH., Кротов H В Аппроксимация обратного оператора в модифицированном методе касательных. // Нелинейные колебания механических систем. Международная конференция. Тез. докл. Нижний Новгород. 1999.

3. Кротов Н.В Композиция метода касательных и аппроксимации уравнения.

// Вычислительная математика и кибернетика. Конференция. Тез. докл. Нижний Новгород. 2000. С. 46.

4. Слугин С.Н., Кротов Н.В. Метод линеаризации и аппроксимации уравнения в применении к задаче Коши для квазилинейного уравнения гиперболического

типа. // Понтрягинские чтения - XII. Математическая школа. Тез. докл. Воронеж. 2001.

5. Кротов H В Комбинированный метод касательных и аппроксимации уравнения в частично упорядоченных пространствах. // 7 Нижегородская сессия молодых ученых (математические науки). Тез. докл. Саров. 2002. С. 52-53.

6. Слугин CH., Кротов Н.В. Аппроксимация обратного оператора в модифицированном методе касательных для вольтеррова уравнения. // Вестник Нижегородского госуниверситета. Математическое моделирование и оптимальное управление. 2003. Вып. 1(26). С. 50-54.

7. Кротов H В. Модификация принципа сжимающих отображений и метода касательных. // 8 Нижегородская сессия молодых ученых (математические науки). Тез. докл. Саров. 2003. С. 44-45.

8. Слугин С.Н., Кротов Н.В. Модификация метода касательных в серии подпространств. // Вестник Нижегородского госуниверситета. Математика.

2004. Вып. 1(2). С. 171-177.

9. Слугин CH., Кротов H В. Модифицированный метод усреднения нелинейного уравнения в пространстве с конусом. // Дифференциальные уравнения. Известия РАЕН. 2004. № 8. С. 77-82.

10. Кротов Н.В. Прямой метод приближенного решения задачи Коши для полулинейного уравнения гиперболического типа. // Нелинейный мир. 10 междисциплинарная научная конференция. Тез. докл. Нижний Новгород. 2005. С. 75.

11. Слугин CH., Кротов Н.В. Приближенное решение нелинейного операторного уравнения в серии подпространств. // Нелинейный мир. 10 междисциплинарная научная конференция. Тез. докл. Нижний Новгород.

2005. С. 126.

12. Слугин С.Н., Кротов Н.В. Прямой метод приближенного решения нелинейного уравнения в серии подпространств. // Дифференциальные уравнения. Известия РАЕН. 2005. № 98. С. 89-98.

Кротов Николай Владимирович

КОМПОЗИЦИЯ МЕТОДОВ ЛИНЕАРИЗАЦИИ И АППРОКСИМАЦИИ ОПЕРАТОРНЫХ, ИНТЕГРАЛЬНЫХ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Усл. печ. л. 0,93. Тираж 100 экз.

Отпечатано «Издательский салон» ИП Гладкова О.В. 603005, г. Н. Новгород, ул. Алексеевская, 26, оф. 231 тел. (8312) 18-27-05

I

acosa

i OIL

и -1 о 7 г

i

0. Введение

СОДЕРЖАНИЕ

I. Композиция методов для операторных уравнений

1.1. Модификация метода сжимающих отображений в линейном подпространстве ХВ-линеала.

1.2. Усреднение нелинейного уравнения и аппроксимация обратного оператора.

1.3. Модификация метода сжимающих отображений в серии подпространств.

1.4. Усреднение и проекционный метод в серии подпространств.

II. Композиция методов для интегральных уравнений

II. 1. Усреднение нелинейного интегрального уравнения и аппроксимация обратного оператора.

II.2. Линеаризация интегрального уравнения в сочетании с аппроксимацией ядра и невязки.

III. Композиция методов для обыкновенных дифференциальных уравнений

III. 1. Усреднение полулинейного уравнения второго порядка и аппроксимация обратного оператора.

111.2. Приближенное решение граничной задачи для полулинейного уравнения второго порядка в серии конечномерных подпространств.

111.3. Приближенное решение начальной задачи для полулинейного уравнения второго порядка в серии конечномерных подпространств.

IV. Композиция методов в задаче Коши для уравнения в частных производных гиперболического типа

IV. 1. Усреднение полулинейного уравнения и аппроксимация обратного оператора.

IV.2. Прямой метод приближенного решения полулинейного уравнения в серии подпространств.

Проблеме поиска приближенных решений линейных и нелинейных уравнений, построению последовательности приближений посвящена обширная литература (см. например [1-5, 7-10, 16, 17, 20-22, 31-34] ).

Исследования по данной тематике вели, в частности, Н. В. Азбелев, Н. С. Бахвалов, Ф. П. Васильев, Е. В. Воскресенский, Л. В. Канторович, М. А. Красносельский, Ю. А. Кузнецов, С. Н. Слугин, В. И. Сумин, М. И. Сумин и др.

В диссертации исследуется процесс построения последовательности приближений к решению нелинейного операторного уравнения, записанного в форме, соответствующей задачам для дифференциальных уравнений:

Dx = F(x), Nx = z, (0.1) где D - главная линейная часть уравнения, а последнее равенство означает начальные или (и) краевые условия.

В поиске приближенных решений - нелинейное уравнение обычно подвергается известному процессу линеаризации: подбирается такой линейный оператор Г, что

T{x-z)~F{x)-F{z), минус-поправки Дя =ип- мя+1 вычисляются как решения линейных уравнений я-г)Дя-х>«я-/'(«„), о, устанавливаются достаточные условия сходимости метода в предположении, что линейные уравнения решаются точно. Однако, на практике они аппроксимируются другими линейными уравнениями, поэтому вопрос о сходимости метода остается открытым.

В диссертации исследуется композиция методов линеаризации нелинейного уравнения и аппроксимации при каждом п линейных уравнений алгоритма, устанавливаются достаточные условия существования и единственности решения нелинейного уравнения, сходимости процесса приближений к решению, указывается скорость сходимости.

Построение производится в банаховом полуупорядоченном пространстве Y. Образы

Dx, F(x)<=Y.

Использование свойства полуупорядоченности пространства позволяет получить более детальные результаты по сравнению с теми, где не постулирована полуупорядоченность.

В диссертации пространство У затем реализуется как пространства С, L2, Lx с естествен> ным - поточечным смыслом сравнимости у > 0.

Однако, при таком смысле сравнимости - дифференцируемые функции не образуют полуупорядоченного пространства, поэтому пространство X элементов х здесь рассматривается как линейное подпространство в У.

Здесь изучается случай, когда обратный оператор

D - Г)-1 :Y -* М = {А: АЕХ, NA = 0} неизвестен вычислителю, но известен оператор

D"1 :Y -* М .

Исследуются два способа аппроксимации линейных уравнений.

В первом способе производится выбор целых чисел > т(п) s 0, т(п) °о , оператор со

D - Г)-1 -D'^iTD'1)* при каждом п заменяется на операторы т(п)

D'1 ^(ПГ1)* .

Установлено достаточное условие выбора номеров т(п), при котором метод сходится.

Уравнение х = F(x) здесь трактуется как частный случай задачи (0.1) при

X =У, Z = {0}, D = N = 0, где 1х & х.

Во втором способе задача (0.1) приводится к эквивалентному виду — уравнению л: = Ф(х) в пространстве У. Номера

0 ss т{п) ^ т(п +1) -» оо. Вводится серия линейных подпространств

УтСУт+1СУ. (0.2)

Оператор Г: У У, Г(* - z) « Ф(х) - Ф(z) заменяется при т = т(п) на линейные операторы

Г «Г Г -У —> У т ' т ' т т'

Невязки хп - Ф(хп) заменяются на проекции

Уп=хп~ Уп GYm{H). уп - х„ - ф(х„), уп <EYm{n)

Обратные операторы (/ :Ym —> Ym считаются известными. Минус-поправки Хп ~ Хп+1 являются решениями линейных уравнений

-Гот(л))&и=уй. (0.3)

Установлено существование такой последовательности номеров т(п), что метод сходится.

Полученные операторные схемы затем конкретизируются в классах нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштейна и вольтерровых, а также полулинейных дифференциальных уравнений второго порядка в обыкновенных и в частных производных (в последнем случае - гиперболического типа).

При этом во втором способе линейные уравнения (0.3) решаются прямыми методами: интегральные уравнения - методом Фурье и методом, реализуемым в конечномерных подпространствах некоторых ступенчатых функций, а дифференциальные уравнения -методом Фурье.

В главе I диссертации изучается композиция методов для операторных уравнений.

В п. 1.1 приводится определение АГВ-линеала У, эквивалентное известному [6]: частично упорядоченное ^-пространство, где любой элемент имеет модуль |у| = у v (-у), и норма изотонна: если |>>||v|, то ||у|| ^ ||v||.

Вначале рассматривается вспомогательная задача

Dx = Л(х), Nx = z (0.4) где хЕХ, X - линейное подпространство /Сй-линеала У; операции

D:X -*Y, A:Xt->Y; элемент zGZ, Z - линейное пространство; линейный оператор

N:X -+Z .

Строится модификация метода, отвечающего обобщенному принципу сжимающих отображений, для чего вводится последовательность операций

Ап(х)~А(х:) и производится процесс

Dx„+i = Am(n) (xn)> Nxn+1 = z. Установлены достаточные условия существования и единственности решения х* задачи (0.4) и сходимости процесса хп вместе с образами Dxn, соответственно, к решению х * и образу Dx *.

В п. 1.2 результат п. 1.1 применен к задаче (0.1). Построен процесс приближений хп, который сходится вместе с образами Dxn, соответственно, к единственному решению х * этой задачи и к образу Dx *. Приводится оценка скорости сходимости. В частности, изучен случай уравнения х = F(x). В п. 1.3 рассматривается вспомогательное уравнение х = А(х) в КВ-линеале Y. К уравнению применена модификация принципа сжимающих отображений в серии линейных подпространств (0.2) с привлечением операций

Устанавливаются достаточные условия, при которых возможен такой выбор номеров т(п), что процесс

Хп+1 = Ая(и) (хп ) сходится к решению уравнения х = А(х); указывается оценка скорости сходимости. В п. 1.4 предполагается, что известно решение х задачи

Dx = 0, Nx = z.

Задача (0.1) сводится к эквивалентному уравнению х = Ф(*), где

Ф(*) = x+D~lF{x). Затем результат п. 1.3 применяется к этому уравнению.

В главе II изучается композиция методов для интегральных уравнений.

В п. II. 1 конкретизируется результат п. 1.2 в применении к уравнениям в пространстве С(0Д): S

Ф) - J* f(s,t,x(t))dt + w(s), 0 1

Jt(s) = ajf (s,t,x(t))dt + w(s) (0.5) о с малым параметром а.

Строятся процессы приближений к решениям уравнений. Итерациям линейных интегральных операторов Г соответствуют итеративные ядра. Устанавливается, что при определенном выборе номеров т{п) процессы равномерно сходятся к решениям с указанной оценкой скорости сходимости.

В п. II.2 конкретизируется результат п. 1.4 в применении к уравнению (0.5). В качестве линейных подпространств (0.2) здесь вводятся, во-первых, линейные оболочки конечных подсистем базиса пространства L2(0,1) и, во-вторых, подпространства некоторых ступенчатых функций в пространстве (ОД).

Линейные уравнения (0.3) здесь принимают вид систем линейных алгебраических уравнений с квадратной и треугольной матрицами.

Доказана возможность такого выбора номеров т{п), что процессы приближений сходятся к решению уравнения (0.5), соответственно, среднеквадратично или п. в. равномерно. Дана оценка скорости сходимости.

В главе III изучается композиция методов для обыкновенных полулинейных дифференциальных уравнений второго порядка.

В п. III. 1 приводится приложение результатов п. 1.2 в пространствах

Х=С2(0,1), У = С(ОД) к задачам x"(t) = f(t,x(t)), *(0) = z0 , хЩ = Zj; (0.6)

- x\t) = f(t,x(t)), x(0) = z0 , x(l) = z,. (0.7)

Устанавливается, что при определенном выборе номеров т(п) процессы приближений равномерно сходятся вместе со вторыми производными, соответственно, к решениям этих задач и их вторым производным.

В п. III.2 приводится приложение результатов п. 1.4 в пространствах (см. [19] )

X-U\ ОД), Y = Ь2(0,1) к задаче (0.7). Функция/определена при xEY. Решение этой задачи здесь понимается обобщенно - как решение интегрального уравнения с ядром - функцией Грина: 1 x(s) = z0 + (zt -z0)s+ pl(s,t)f(t,x(t))dt. 0

Построение процесса приближений производится методом Фурье - в линейных оболочках Ут(и) конечных подсистем базиса //-пространства У.

Установлена возможность такого выбора номеров т(п), что процесс среднеквадратично сходится к обобщенному решению данной задачи.

В п. III.3 приводится приложение результатов п. 1.4 к задаче (0.6). Решение этой задачи понимается обобщенно - как решение интегрального уравнения S x(s) = z0 + zxs + J*(s - t)f (t,x(t))dt. 0

Результат аналогичен изложенному в п. III.2.

В главе IV изучается композиция методов для полулинейного уравнения в частных производных гиперболического типа.

В п. IV. 1 производится приложение результатов п. 1.2 к задаче на квадрате Q = [0Д]х[0,1] :

4 = f(s,t,x(s,t)\ x(s,0) = z,(s), x(0,l) = z2(t), ^(0) = z2(0) . (0.8) Пространства (см. [19])

X=H2(Q), 7 = L2(G), Z — пространство следов (см. [19]) функций xElX на сторонах квадрата Q , находящихся на осях координат.

Процесс приближений среднеквадратично сходится вместе со смешанной производной к решению этой задачи и его смешанной производной.

В п. IV.2 производится приложение результата п. 1.4 к задаче (0.8). Решение задачи понимается обобщенно - как решение интегрального уравнения s t t) = Zj (5) + z2 (/) - Zj (0) + J*dcrjf(<7, т,х(а, t))dr . о 0

Функции ek(s,t) составляют базис //-пространства Y. Применяется метод Фурье. Процесс среднеквадратично сходится к обобщенному решению.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах [12-15, 23-30], а именно: п. 1.1: [14,24,28,30]; п. 1.2: [14,23,26,28]; п. 1.3: [14,24,30]; п. 1.4: [12,13,25,27,29,30]; п. II.1: [14]; п. II.2: [12,13]; глава III: [30]; п. IV. 1: [26,28]; п. IV.2: [15,25]. и

I. Композиция методов для операторных уравнений

V. Заключение

В диссертации получены следующие результаты.

Поставлена проблема поиска приближений к решению задачи (1) в линейном подпространстве банахова полуупорядоченного пространства.

Сформулирована и обоснована модификация обобщенного принципа сжимающих отображений с оценкой нормы итерации модулярной мажоранты и с аппроксимацией нелинейной операции.

Построена и исследована композиция методов линеаризации нелинейного операторного уравнения и аппроксимации линейных уравнений в алгоритме вычисления последовательности приближений. Установлены достаточные условия существования и единственности решения нелинейного уравнения, сходимости метода, дана оценка погрешности приближений.

Функциональные схемы конкретизированы в классах нелинейных интегральных уравнениий типа Гаммерштейна и вольтерровых; в начальной и граничной задачам для полулинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка; в задаче Коши для полулинейного уравнения в частных производных гиперболического типа.

Более подробно о схеме в терминах функционального анализа:

Установлены модификации обобщенного принципа сжимающих отображений в применении к задаче

Dx = А(х), Nx = z (V.1) и, в частности, к уравнению х~А(х). (V.2)

В модификациях используются приближения Ат операции А, строится процесс поиска последовательных приближений:

Dxn+1 -Ат(н)Ы> Nxn+i=z (V.3) и, в частности, хп+1 = Лт(п)(хп), (V.4) стремящихся к решениям, соответственно, задачи (V.1) и уравнения (V.2).

Модификации осуществляются двумя способами. В первом способе операции Ат, указанные в алгоритме (V.3), определены на подмножестве КВ-линеала У. Во втором способе эти операции, указанные в алгоритме (V.4), определены в линейных подпространствах

Ym С Ym+1 С У. (V.5)

Полученные модификации применяются для построения процесса приближений к решению задачи

Dx = F(x), Nx = z (V.6) и уравнения

-Ф(х), (V.7) эквивалентного задаче (V. 6).

Для этого вначале производится известное действие - линеаризация (усреднение) уравнения. Вводится линейный оператор

Г, Г (x-z)~F{x)-F(z) для задачи (V.6), а для уравнения (V.7)

Т{х-г)~Ф(х)-Ф{£).

В обычном методе очередная минус-поправка А„ = ип- ми+1 для уравнения (V.6) является решением линейной задачи

D-r)An=Dxn-F(xn), NAn=0, (V.8) а для уравнения (V.7) - решением линейного уравнения

-Г)ДЙ=*„-Ф(*Л). (V.9)

Такой процесс может быть назван также и модификацией метода касательных, но в нашем случае не требуется ни сильной, ни слабой дифференцируемое™ операции F.

При каждом номере п здесь производится аппроксимация линейного уравнения (V.8) или (V.9).

В диссертации поиск минус-поправки 5хп = хп - ведется в задаче (V.6) посредством замены в задаче (V.8) обратного оператора (D - Г)-1 на приближенные, а для уравнения (V.7) - замены в уравнении (V.9) оператора / - Г и невязки хп - Ф(х„) на приближенные. В последнем случае действие происходит в серии линейных подпространств (V.5).

Кроме установления теоретического факта сходимости метода, приводится практически важная оценка погрешности приближения при каждом номере.

В достаточных условиях сходимости и в оценке погрешности приближения вычислителю предоставлен выбор произвольного сходящегося ряда величин Ьп > 0, участвующих в этих условиях и оценке.

Чем меньше величины Ьп в п. 1.1 и 1.2, тем меньше переменные (рп (1.1.13) и, следовательно, меньше радиус шара S, определенный через шах (рп. По одному из условий, шар

S включен в область Е, на которой определены операции Л в п. 1.1 и операция F в п. 1.2. Это влечет возможность сужения области Е и, следовательно, ослабление требований к этим нелинейным операциям. Кроме того, улучшается оценка (1.1.16) погрешности приближения.

Однако, уменьшение величин Ьп приводит и к увеличению номера т(п), удовлетворяющего условию (1.1.17) и, следовательно, к усложнению вычислительного процесса.

Это замечание справедливо и по отношению к аналогичным фактам в пп. 1.3 и 1.4.

В диссертации постулирована полуупорядоченность пространства. Это позволяет использовать дополнительные свойства многих конкретных функциональных пространств. Так например, выполнение условий мажорирования вида (1.1.3,4) с привлечением модулей элементов легко проверяется для многих операций в функциональных пространствах, но эквивалент этих условий в терминах функционального анализа в пространствах без полуупорядочения - формулируется достаточно сложно, и их проверка в конкретных случаях затруднена.

Результаты главы I могут быть применены и в более широких классах квазилинейных дифференциальных уравнений в обыкновенных и в частных производных и их систем.

При аппроксимации задачи (V.8) и уравнения (V.9) могут быть использованы и другие методы: например, конечных разностей, сплайнов.

1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы // М., Наука. 1987.

2. Бойков И.В., ТъшдаА.Н. Приближенное решение нелинейных интегральных уравнений теории развивающихся систем // Дифференциальные уравнения. 2003. 39, № 9.1. С. 1214-1223.

3. Вержбицкий В.М., Петров М.Ю. О полюсном методе Ньютона в конечномерных и в банаховых пространствах. // Вычислительная математика и математическая физика. 2004. 44, № 6. С. 979-985.

4. ГаевскийX., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. //М., Мир. 1978. -336 с.

5. Зайцев В. Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. -М.: Физматлит, 2001. — 576 с.

6. ВулихБ.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. II М.: Физматгиз, 1961.-407 с.

7. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. II М.: Наука, 1984. - 750 с.

8. Кокурин М.Ю. Непрерывные методы устойчивой аппроксимации решений нелинейных уравнений в гильбертовом пространстве на основе регуляризованной схемы Гаусса-Ньютона //Вычислительная математика и математическая физика. 2004. 44, № 1.1. С. 8-17.

9. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. // -М., Наука, 1962.

10. КрасносельскийМ.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б. Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. -М: Наука, 1969. -455 с.

11. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве-М.: Наука, 1971 104 с.

12. Кротов Н.В. Композиция метода касательных и аппроксимации уравнения.

13. Вычислительная математика и кибернетика. Конференция. Тез. докл. Нижний Новгород. 2000. С. 46.

14. Кротов Н.В. Комбинированный метод касательных и аппроксимации уравнения в частично упорядоченных пространствах. // 7 Нижегородская сессия молодых ученых (математические науки). Тез. докл. Саров. 2002. С. 52-53.

15. Кротов Н.В. Модификация принципа сжимающих отображений и метода касательных. // 8 Нижегородская сессия молодых ученых (математические науки). Тез. докл. Саров. 2003. С. 44-45.

16. Кротов Н.В. Прямой метод приближенного решения задачи Коши для полулинейного уравнения гиперболического типа. // Нелинейный мир. 10 междисциплинарная научная конференция. Тез. докл. Нижний Новгород. 2005. С. 75.

17. КуфнерА., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения. // -М., Наука. 1988.-304 с.

18. Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика // М., Физматлит, 2000. 295 с.

19. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными // Мир. 1977. - 504 с.

20. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976. -391 с.

21. ОбэнЖ.П., ЭкландИ. Прикладной нелинейный анализ // М.: Мир. 1988.

22. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. — М.: Физматлит. 2001. 575с.

23. Полянин А.Д., Манжиров А.В. Справочник по интегральным уравнениям. -М.: 2003. Физматлит. 2003. -608с.

24. Слугин С.Н., Кротов Н.В. Аппроксимация обратного оператора в модифицированном методе касательных. // Нелинейные колебания механических систем. Международная конференция. Тез. докл. Нижний Новгород. 1999.

25. Слугин С.Н., Кротов Н.В. Модификация обобщенного метода сжимающих отображений в АВ-линеале. // Вестник Нижегородского госуниверситета. 1999. Вып. 2(21). С. 125-128.

26. Слугин С.Н., Кротов Н.В. Метод линеаризации и аппроксимации уравнения в применении к задаче Коши для квазилинейного уравнения гиперболического типа. //Понтрягинские чтения -XII. Математическая школа. Тез. докл. Воронеж. 2001.

27. Слугин С.Н., Кротов Н.В. Аппроксимация обратного оператора в модифицированном методе касательных для вольтеррова уравнения. // Вестник Нижегородского госуниверситета. Математическое моделирование и оптимальное управление. 2003. Вып. 1(26). С. 50-54.

28. Слугин С.Н., Кротов Н.В. Модификация метода касательных в серии подпространств. //Вестник Нижегородского госуниверситета. Математика. 2004. Вып. 1(2). С. 171-177.

29. Слугин С.Н., Кротов Н.В. Модифицированный метод усреднения нелинейного уравнения в пространстве с конусом. // Дифференциальные уравнения. Известия РАЕН. 2004. № 8. С. 77-82.

30. Слугин С.Н., Кротов Н.В. Приближенное решение нелинейного операторного уравнения в серии подпространств. // Нелинейный мир. 10 междисциплинарная научная конференция. Тез. докл. Нижний Новгород. 2005. С. 126.

31. Слугин С.Н., Кротов Н.В. Прямой метод приближенного решения нелинейного уравнения в серии подпространств. // Дифференциальные уравнения. Известия РАЕН. 2005. №9. С. 89-98.

32. Треногим В.А. Функциональный анализ // М.: Физматлит. 2002. 488 с.

33. ХоллДж., УаттДж. (ред.) Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. // М., Мир. 1979. 312 с.

34. Damm Т., Hinrichsen D. Newtons method for concave operators with resolvent positive derivatives in ordered Banach spaces. // Lineal Algebra and Appl. 2003. 363. P. 43-64.

35. Moore Chika. The solution by iteration of nonlinear equations of Hammer stein type. // Nonlinear Annal. 2002. 49, № 5, P. 631-642.