Методы исследования некорректных монотонных задач на основе операторной регуляризации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

гч

ст.

ст.

Лг-

о Оэ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На, правах рукописи

КОКУРИН Михаил Юрьопич

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕКОРРЕКТНЫХ МОНОТОННЫХ ЗАДАЧ НА ОСНОВЕ ОПЕРАТОРНОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ

01.01.07 — вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 1997

Работа выполнена б Санкт-Петербургском государственном •университете

Научный консультант: доктор физико-мятпматичрских наук,

профессор Демьянов В. Ф.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Рябов В. М.

доктор физико-математических наук, профессор Тапана В. П.

доктор физико-математических наук, профессор Ягола А. Г.

Ведущая организация: Институт Математики им. С. Л. Соболева

СО РАН, г. Новосибирск

Защита состоится ' ^ _^ 199_£_ г. в < 1 часов на заседании диссертационного совета Д 063.57.30 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, Петродворец, Библиотечная пл., д.2, Математико-механический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. А. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан

а- « ,„а?

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат технических наук

Сушков Ю. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Основными объектами изучения в настоящей работе являются операторные уравнения

F(z) = f, zex (1)

и задачи оптимального управления решениями уравнений вида (1): miii|«/(u, z) : ii Е U, z £ X; F(u,z) =

(2)

j(u, z) = <p(z) + Ф{и), и e w, z e x.

Здесь X kW — банаховы пространства, F — нелинейный оператор; <p, rp — нелинейные функционалы. В задаче (2) элемент и имеет смысл управления, г — состояния управляемой системы, описываемой уравнением

F(«, z) = /; и 6 W, z £ X; (3)

U — множество допустимых управлений. Наряду с (1), (3) рассматриваются также соответствующие вариационные неравенства. Отличительной особенностью изучаемых в работе уравнений (1) является их некорректность в смысле Адамара. Таким образом, однозначная разрешимость и устойчивость решений (1) к малым вариациям исходных данных не предполагается. В задаче (2) корректная разрешимость относительно г уравнения (3) при фиксированном управлении н также может отсутствовать.

Широким и практически важным классом нелинейных операторов, порождающих некорректные по Адамару уравнения (1), является класс монотонных отображений, действующих из банахова пространства X в сопряженное пространство X*. В диссертации операторы F(-) и, F(u, ■), как правило, предполагаются принадлежащими этому классу. Теория уравнений с операторами монотонного типа, начала которой восходят к работам М.М. Вайнберга, Р.И. Качуров-ского, Ф. Браудера, Г. Минти начала 60-х годов, в настоящее время

насчитывает многие сотни публикаций. Среди них отметим моно--графии М.М. Вайнберга (1972), А.И. Гусейнова и Х.Ш. Мухтарова

(1980), A.A. Панкова (1985), И.В. Скрьшника (1990), Ю.В. Трубникова и А.И. Перова (1986), X. Гаевского, К. Грёгера и К. Захариаса

(1978), Г. Дюво и Ж.-Л. Лишк:а (1980), Д. Киндерлерера и Г. Стам-паккьи (1983), Ж.-Л. Лионса (1972) и обзор Ю.А. Дубинского (1976).

Прикладной аспект изучения некорректных уравнений вида (1) связан с разработкой устойчивых к погрешностям методов их решения. Пусть $ — некоторое множество операторов, действующих из X в X*. Будем считать, что вместо исходных данных (F;/) в (1) доступны их приближения (Fh,fs) € $ х X*. В теории регуляризации ставится вопрос о построении семейства операторов {.Яд}, Д = сопоставляющих каждой паре {Fh\}s) элемент

гд = R&{Fh,U) € X так, что

Um supjdist (гд, Zt) : (Fh; fs) 6?хГ,

g(Fh,F)^h,\\h-f\\x-^s}=Q. (4)

Здесь dist(z,G) = inf|||z - : v G C?|, G С X\ Z» — множество решений уравнения (1), предполагаемое непустым, функционал q имеет смысл метрики на множестве операторов. При этом Лд называется регуляризующим оператором, а семейство {Яд} — ре-гуляризующим алгоритмом (РА) решения задачи (1).

Начиная с классических работ А.Н. Тихонова, В.К. Иванова, М.М. Лаврентьева вопросам построения РА для операторных уравнений, вариационных неравенств и экстремальных задач посвящено значительное число исследований, подробный обзор которых содержится в известных монографиях А.Н. Тихонова и В.Я. Арсенина

(1979), А.Н. Тихонова, A.C. Леонова и А.Г. Яголы (1995), Ф.П. Васильева (1981), В.А. Морозова (1987), A.B. Бакушинского и A.B. Гончарского (1989), В.К. Иванова, В.В. Васина и В.П. Тананы (1978), В.В. Васина и А. Л. Агеева (1993), М.М. Лаврентьева, В.Г. Романова и С.П. Шишатского (1980), A.M. Федотова (1990), O.A. Лисковца

(1981).

Один из основных принципов построения РА для уравнений (1), восходящий к работе М.М. Лаврентьева1, заключается в модификации оператора исходной задачи малым слагаемым, улучшающим ее качественные характеристики (операторной регуляризации),'так что уравнению (1) с приближенными данными (Fh]fs) сопоставляется регуляризованное уравнение

Fh(z) + eS{z) = ff, z e X, e = е(Д). (С)

Вопросы обоснования операторных РА и их итеративных аналогов подробно исследованы в работах Я.И. Альбера, O.A. Лисков-ца, А.Б. Вакушинского, Б.Т. Поляка, Ф.П. Васильева, В.В. Васина, И.П. Рязанцевой. Потребности численной реализации разрабатываемых РА диктуют необходимость совмещения регуляризации (5) с дискретной аппроксимацией пространств и операторов. При этом центральным является вопрос о выборе способов согласования п — п(Д), е = е(Д) номера конечномерного пространства, используемого при дискретизации, и параметра регуляризации с погрешностью А, обеспечивающих сходимость конечномерных регуляризованных приближений к решению при А —> 0. Разнообразные подходы к обоснованию процедур дискретной регуляризации, базирующиеся на операторном и вариационном принципах конструирования РА, развиты в работах А.Н. Тихонова, A.C. Леонова, А.Г. Яголы, Ф.П. Васильева, В.А. Морозова, Ю.Л. Гапоненко, В.К. Иванова, В.В. Васина, В.П. Тананы, O.A. Лисковца, A.A. Ка-плана, Г.М. Вайникко. Следует отметить, что для нелинейных задач сходимость дискретных РА устанавливается, как правило, за счет привлечения дополнительных предположений об аппроксимативных свойствах используемых конечномерных пространств по отношению к искомому решению. Указанные предположения по существу эквивалентны повышенной гладкости неизвестного решения по сравнению с гладкостью, предписываемой исходным пространством X. В то же время теоретическое обоснование наличия требуемой

1 Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. — Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962.

гладкости у решения некорректной задачи возможно лишь в немногих частных случаях. Поэтому остается актуальной разработка новых подходов к построению дискретных РА, не предполагающих у неизвестного решения каких-либо априорных свойств.

Подчеркнем, что вышеупомянутые процедуры операторной регуляризации традиционно строились и изучались в предположении Z* ф 0, означающем разрешимость рассматриваемых задач. В то же время обоснование разрешимости некорректных задач обычно само по себе является нетривиальной проблемой, во многих случаях еще не имеющей удовлетворительного решения. D подобных случаях возникает необходимость изучения РА независимо от разрешимости исходной задачи. С практической точки зрения наибольший интерес представляют такие РА, которые при отсутствии решений вырабатывают приближения, доставляющие ту или иную информацию о минимальной невязке рассматриваемой задачи. Полученная невязка может использоваться при последующем качественном анализе и коррекции исследуемой модели. РА, обладающие указанным свойством, называются в работе регуляризующими алгоритмами исследования (РАИ) соответствующих классов задач. К группе РАИ могут быть отнесены, в частности, большинство РА, основанных на вариационных принципах А.Н. Тихонова и В.К. Иванова. Применительно к конечномерным экстремальным задачам широкий спектр численных методов, содержательных как при наличии, так и при отсутствии решений, предложен в работах И.И. Еремина, В.Д. Мазурова, H.H. Астафьева, В.Д. Скарина. В то же время возможности техники операторной регуляризации в плане построения численно реализуемых РАИ задач (1) и (2) в банаховых пространствах ранее практически не использовались.

Стремление к получению информации о некорректной задаче на основе вырабатываемой РА последовательности приближений, приводящее в случае Z+ = Ь к понятию РАИ, при Z* ф 0 служит источником постановок новых задач относительно известных методов регуляризации. Считая, что наряду с последовательностью приближений, сходящейся к решению, известна и верхняя оценка скорости ее сходимости, приходим к задаче об определении качественных

свойств этого решения по заданной скорости сходимости. Нетрудно усмотреть близость данной постановки к проблематике прямых и обратных теорем теории приближения функций, широко представленной в работах Л. Джексона, С.Н. Бернштейна, С.Б. Стечкина, С.М. Никольского, В.М. Тихомирова, Н.И. Ахиезсра, И.К. Дауга-вета, Ю.К. Демьяновича, В.В. Жука. В теории регуляризации аналогами прямых теорем теории приближений естественно считать утверждения о скорости сходимости рассматриваемых РА при наличии той или иной априорной информации относительно искомого решения. В линейном случае в качестве такой информации обычно используется истокопредставимость решения. Оценки скорости сходимости различных РА для линейных уравнений в зависимости от вида истокопредставимости разыскиваемого решения приведены в работах В.К. Иванова, В.В. Васина, В.П. Тананы, В.А. Морозова, A.B. Бакушинского, Г.М. Вайпикко, К. Грётча. В то же время обратные теоремы о восстановлении качественных характеристик решения по скорости сходимости приближений, вырабатываемых теми или иными РА, в настоящее время доказаны лишь в немногих частных случаях. Расширение спектра подобных результатов позволило бы дополнить известные утверждения об окончательности оценок скорости сходимости РА на классах задач с истокопредста-вимыми решениями аналогичными теоремами об их неулучшаемости на индивидуальных задачах.

Экстремальные задачи (2) с ограничениями типа равенств, имеющими различного вида вырождения, в частности, разрешимыми относительно г не при всех значениях и б С/, традиционно привлекают большое внимание специалистов. В последнее время интерес к подобным задачам во многом стимулируется растущими потребностями анализа сложных нелинейных моделей механики, физики и экономики, включающих некорректные уравнения (3). Вопросам аналитического и численного исследования такого рода моделей посвящены, в частности, монографии A.C. Матвеева и В.А. Якубовича (1994), В.Ф. Демьянова, Г.Е. Ставрола-киса, Л.Н. Поляковой и П.Д. Панагиотопулоса (1996), Н.В. Азбеле-ва, В.П. Максимова и Л.Ф. Рахматуллиной (1991), Г. Дюво и Ж.-

Л. Лионса (1980), Ж.-Л. Лионса (1987). Эффективные методы получения необходимых условий экстремума для различных классов задач оптимального управления развиты в работах Л.С. Понтрягина, В.Г. Болтянского, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко, А.Я. Дубовиц-кого, A.A. Милютина, А.Д. Иоффе, В.М. Тихомирова, A.B. Куржан-ского, В.И. Благодатских, A.B. Арутюнова, В.Б. Колмановского, A.M. Тер-Крикорова, А.И. Пропоя, А.И. Егорова, Ф.Л. Черноусь-ко, В.Г. Литвинова, В.И. Зубова, В.А. Якубовича, A.C. Матвеева, Р.Ф. Габасова, Ф.М. Кирилловой, Б.Ш. Мордуховича, H.H. Красов-ского, С.Я. Серовайского, В.А. Срочко, У.Е. Райтума, Ж.-Л. Лионса. В то же время построению численных методов решения задач вида (2) с приближенными данными уделяется значительно меньшее внимание. Отчасти это объясняется отмеченными выше пробелами в исследовании методов дискретной регуляризации некорректных уравнений (3) с фиксированным управлением и, поскольку для монотонного оператора F(u, ■) традиционные условия разрешимости и повышенной гладкости решений (3) во многих случаях не могут выполняться равномерно по и € U. Данное обстоятельство также подчеркивает актуальность изучения РА для уравнений (1) без привлечения априорных предположений о существовании и свойствах искомого решения.

Дели исследования. Основными целями работы являются:

1) Изучение асимптотических свойств схемы операторной регуляризации (5) для уравнений (1) с монотонными операторами, а также ее дискретных и итеративных аналогов, без предположения о разрешимости рассматриваемых уравнений, а в случае разрешимости - без использования априорных данных о свойствах решений.

2) Обоснование РАИ монотонных уравнений и вариационных неравенств в банаховых пространствах на основе техники операторной регуляризации.

3) Конкретизация полученных РАИ для различных классов дифференциальных и интегральных уравнений с монотонной нелинейностью, а также выпуклых вариационных задач.

4) Разработка устойчивых к погрешностям методов численной аппроксимации решений задач оптимального управления (2) на осно-

ве схемы операторной регуляризации без привлечения предположений о разрешимости и свойствах решений уравнения, связывающего управление и состояние рассматриваемой системы.

Методика исследования базируется па основных фактах нелинейного функционального анализа и теории регуляризации некорректных задач.

Научная новизна работы определяется следующими ее основными результатами:

1) В рамках изучения схемы операторной регуляризации установлена связь между асимптотическим поведением вырабатываемых приближений и подходящим образом определенной мерой несовместности исходного уравнения в случае отсутствия у него решений. Аналогичные свойства установлены для ряда дискретных и итеративных аналогов этой схемы.

2) Предложен принцип согласования параметров в операторных методах дискретной регуляризации, не использующий априорные предположения о свойствах искомого решения, характерные для аналогичных известных методов.

3) Для класса итеративных методов и итерированного метода М.М. Лаврентьева установлены обратные по отношению к известным оценкам скорости сходимости теоремы о восстановлении порядка истокопредставимости решения по заданной скорости сходимости вырабатываемых приближений. Данные утверждения могут рассматриваться в качестве аналогов известных в теории приближений обратных теорем С.Н. Бернштейна и С.М. Никольского.

4) Установлены общие условия на метод регуляризации уравнения состояния в задачах оптимального управления с монотонными операторами, обеспечивающие сходимость вырабатываемых приближений к решению. Проведено обоснование операторного метода аппроксимации решений задач оптимального управления при наличии погрешностей в исходных данных. Построены и обоснованы его итеративные и конечномерные аналоги, а также модификации для случая линейного уравнения. Исследовано поведение построенных процедур в случае несовместного уравнения. Установлено, что в этом случае упомянутые процедуры доставляют ту или иную меру

несовместности этого уравнения.

5) Разработанные вычислительные процедуры исследования нелинейных операторных уравнений, вариационных неравенств и абстрактных задач оптимального управления конкретизированы применительно к дифференциальным уравнениям высокого порядка с монотонной нелинейностью, интегральным уравнениям Гаммер-штейна I рода, выпуклым экстремальным задачам с ограничениями, в т.ч. задаче Синьорини, а также к соответствующим задачам оптимального управления.

6) Показано, что предложенные в работе РАИ нелинейных операторных уравнений, вариационных неравенств и задач оптимального управления, изначально ориентированные на задачи с погрешностями в исходных данных, остаются содержательными и при отсутствии погрешностей. В этом случае они приводят к новым утверждениям об асимптотическом поведении решений различпых классов дифференциальных уравнений, вариационных задач и задач оптимального управления с малым параметром. Указанные результаты могут рассматриваться в контексте вопросов, ранее поставленных Ж,-Л. Лионсом и Р. Темамом2'3

Практическая значимость работы определяется следующими факторами.

1) Полученные результаты позволяют существенно расширить круг задач, к которым могут применяться процедуры операторной регуляризации нелинейных монотонных уравнений, за счет задач, априорная информация о разрешимости и свойствах решений которых отсутствует или недостаточна. Тестовые расчеты подтверждают эффективность разработанных процедур в применении к такого рода задачам. В случае отсутствия решений упомянутые процедуры доставляют соответствующую невязку, необходимую для последующего анализа и коррекции исследуемой модели.

2) Разработанная схема построения процедур аппроксимации ре-

2Lions J.-L. Perturbations singulières dans les problèmes aux limites et en contrôle optimal. — Berlin: Springer, 1973. (p.p.92, 244, 355, 356, 577).

3Темам P. Математические задачи теории пластичности. — M.: Наука, 1991. (с. 234)

шений задач оптимального управления с монотонными операторами дает возможность единнообразно компоновать и обсновывать такие процедуры на основе алгоритмов регуляризации операторных уравнений. Конкретные процедуры, предложенные в работе в рамках данной схемы, могут найти применение при численном исследовании задач оптимального управления решениями нелинейных монотонных дифференциальных уравнений, выпуклых вариационных задач с ограничениями и линейных краевых задач, возникающих в различных разделах механики, физики и экономики.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры математической теории моделирования систем управления СПбГУ (рук. — проф. Демьянов В.Ф., 1995-1997), кафедры вычислительной математики СПбГУ (рук. — проф. Мысовских И.П., 1997), кафедры теоретической кибернетики СПбГУ (рук. — чл.-корр. РАН Якубович В.А., 1996); кафедр математической физики и оптимального управления МГУ (рук. — проф. Васильев Ф.П., 1990, 1995, 1996), кафедры дифференциальных уравнений МГУ (рук. — акад. РАН Олейник O.A., 1994), кафедры математики МГУ (рук. — проф. Вакушинский A.B., Яго-ла А.Г., 1997); кафедры вычислительной математики Казанского государственного университета (рук. — проф. Ляшко А.Д., 1991); отдела условно-корректных задач Института Математики СО РАН (рук. — акад. РАН Лаврентьев М.М., 1997); Пермском семинаре по функционально-дифференциальным уравнениям (рук. — проф. Аз-белев Н.В., 1995); II Международном Коллоквиуме по дифференциальным уравнениям (Пловдив, 1991), Международной конференции памяти акад. М.Ф. Кравчука (Киев, 1992), Международной конференции по функционально-дифференциальным уравнениям и их приложениям (Москва, 1994), 16 и 17-й сессиях Совместных заседаний Семинара им. И.Г. Петровского и Московского Математического Общества (1994, 1995), Международной конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи" (Москва, 1996), Украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивости процессов" (Киев, 1992), VI Конференции математиков Беларуси (Гродно, 1992); Всероссийских конференциях "Математическое программи-

рованис и приложения" (Екатеринбург, 1989, 1991, 1995), XVI Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (Нижний Новгород, 1991), XXVI Воронежской зимней математической школе (1994), Всероссийской школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы прикладной математики и механики" (Воронеж, 1995), VI Понтрягинских чтениях (Воронеж, 1995), XIII Межреспубликанской конференции "Численные методы решения задач теории упругости и пластичности" (Новосибирск, 1993), Втором Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1996), а также итоговых научных конференциях Марийского государственного университета (1989-1995).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-29].

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 25 параграфов, заключения и приложения. Работа изложена на 397 страницах, содержит 7 рисунков; список цитируемой литературы включает 413 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, приведены цели работы и обзор литературы, дано краткое описание результатов диссертации.

Глава I в основном посвящена изучению схемы операторной регуляризации (5), а также ее дискретных и итеративных аналогов.

В § 1.1 приводятся необходимые для дальнейшего сведения об операторах и уравнениях в банаховых пространствах.

В § 1.2 исследуется асимптотическое поведение при е —* 0 решений операторных уравнений с малым параметром

+ = (6)

где .Г(0, ■) = F(•) есть монотонный деминепрерывный оператор, /(0) = /, оператор в : X —► X* в некотором смысле близок к дуальному отображению. При этом разрешимость предельного уравнения (1) априори не предполагается. Доказывается один из центральных

результатов главы I — теорема 1.2.1, устанавливающая, что при соответствующих условиях на элементы задачи (G), решения ze, е -+ О, уравнений (6) минимизируют в пределе норму невязки предельного уравнения (1). Более точно, для функционалов we, we ç X*,

we = F(e, zt) - f(e) = -eS(z,), wE = F{zt) - /,

имеет место равенство

lim \\wt - wt\\x- = lim \\we - w,\\x- = 0.

e—>0 £—>0

Здесь гу* € X* есть минимальная невязка уравнения (1), так что

ш, 6с1 R(F)-f, |К!1х- = min{|Hlx* : ш € cl7?(F) -/}, (7)

cl G обозначает замыкание множества G, R(F) — образ оператора F. Устанавливается ряд модификаций и следствий этого результата, относящихся к случаям вариационных неравенств и уравнений с операторами, заданными на подмножествах пространства X.

Последующие параграфы 1.3 -1.8 посвящены построению, с использованием основных результатов § 1.2, РАИ уравнений (1) с монотонным деминепрерывным оператором F : X X* при наличии погрешностей в исходных данных.

В § 1.3 рассматривается базовый метод регуляризации уравнения (1). Пусть приближенные данные (F/,; 6 5 х X* таковы, что

Над - F{z)||х. < л (i + 1М15Г1) v* е x-, ||п - /и*. < <5; (8)

$ = Т : X —> X* оператор Т + tjv псевдомонотонен4 Vi > oj,

где Jv : X —♦ X* обозначает дуальное отображение, соответствующее масштабной функции g(t) = tp~l, р > 1; Д = (h\6). Исходная задача (1) аппроксимируется регуляризованным уравнением

Fh(z) + e(A)Jp(z) = fs,z<E X-, е(Дy'h < 1. (9)

4 Лионе Ж.-Л. Некоторые метолы решения нелинейных краевых задач. — М.: Мир, 1972 (с.190).

Известно, что семейство операторов сопоставляющих паре

(Fh; /г) произвольное решение гд уравнения (9), является РА для задачи (1). В случае отсутствия решений у (1) поведение {гд}, Д —> О, характеризует

Теорема 1.3.2. Пусть X строго выпуклое, X* равномерно выпуклое пространство, lim e(A)~1h = 0. Тогда для функционалов

WA е х\

год = -£(A)Jp(z&), za = R{l\Fh,f6), (10)

имеет место равенство

Нт||г«д - =0, (11)

где w* есть минимальная невязка уравнения (1), определенная в (7).

В частности, если пространство X равномерно выпукло, функционал w £ X* таков, что

Um ^Д^-^ПгдП^) > О,

то уравнение F(z) = / -f w, z 6 X, не имеет решений.

Здесь и далее {•, •) обозначает каноническую двойственность пространств X и X". Таким образом, рассматриваемый РА может быть отнесен к группе РАИ уравнения (1). Кроме того, в несовместном случае РАИ не только вырабатывает невязку (1), но и до-

ставляет необходимое условие разрешимости уравнений этого типа при возмущении правой части. Теорема 1.3.3 определяет аналог РАИ ^ для случая, когда 5 — множество всех операторов из X в X*, а теорема 1.3.4 — для вариационных неравенств с приближенно заданными монотонными деминепрерывными операторами.

В § 1.4 исследуются РА уравнения (1), совмещающие схему (9) с конечномерной аппроксимацией пространств и операторов. Предполагается, что HF(z)||x. ^ C^l + IMIx"1) Уг € X (р > 1); £ —

множество всех деминепрерывных операторов из X в X*, и выполняются условия (8). Пусть семейство {Х„}п_0 конечномерных подпространств X, таково, что

Уравнению (1) с приближенными данными /5) сопоставим конечномерную регуляризованную задачу

В качестве значения исследуемого регуляризующего оператора Ял на паре (Р^; /5) выбирается решение задачи (13). Наряду с (13) рассмотрим модельное регуляризованное уравнение Р(г) + еЗ~р(г) = /, г € Х\ е > 0, и обозначим через ге его единственное решение. Следующая теорема устанавливает общие требования к согласованию параметров тг = п(Д), е = е(Д), при выполнении которых семейство {йд^} определяет РА для уравнения (1).

Теорема 1.4.1. Пусть X, X* — равномерно выпуклые пространства, выполняются условия

С1. г. 6 У, Уе (Е (0, е], где банахово пространство У компактно вложено в X; для некоторой функции а; = ^(е) имеет место оценка

Уг € ЛГ 3{г„} : г„ 6 Хн, Нш ||гк - г\\х = 0.

(12)

(П(г) + е(Д)17р(г)-Л,г-»)=0

(13)

V» 6 Х,1(д) (г е Хп(Л)); ¿(Д)"1/* < 1.

(14)

Предположим, что

Ит [е(Д) + п(Д)"1 + е(Д)-1 (/»+ 5 + еп(д)«(е( Д)))] = 0.

Тогда для элементов гд = R^(Fh, fs) имеют место соотношения Hm ||гд -г,\\х =0; z* G Z», \\z,\\x = mm{||z|!x : z € Z.}.

Далее свойства PÄ исследуются при отсутствии решений

уравнения (1).

Теорема 1.4.2. Пусть X, X* — равномерно выпуклые пространства, выполняются условия С1, С2 и

Ит^ДЭ + ЦД)-1 +£(Л)-1/1 + е(Д)1^?„(Д)ы(£(Д))] =0.

Тогда для определяемых аналогично (10) функционалов гид € X* и элементов гд = R^{Fh,fs) имеют место утверждения теоремы 1.3.2.

Конкретизация условий теорем 1.4.1, 1.4.2 требует задания априорных оценок вида (14) для решений соответствующих модельных регуляризованных уравнений. Отмечается, что оценки этого типа применительно к различным классам нелинейных дифференциальных уравнений и вариационных неравенств могут быть получены по схемам работ O.A. Ладыженской, H.H. Уральцевой, А.И. Кошеле-ва, И.В. Скрыпника, Ж.-Л. Лионса, Д. Киндерлерера и Г. Стампак-кьи, Д. Гилбарга и Н. Трудингера, А. Фридмана. Согласно теореме 1.4.2, РА {Лд^} может быть отнесен к группе РАИ уравнения (1).

Теоремы 1.4.3 и 1.4.4 определяют аналог РАИ {¿43)} для вариационных неравенств с монотонными деминепрерывкыми операторами, заданными приближенно.

В последующих параграфах 1.5 - 1.9 пространство X предполагается гильбертовым.

§ 1.5 посвящен изучению асимптотических свойств известных алгоритмов итеративной регуляризации в условиях, когда исходное уравнение (1) не имеет решений. Теорема 1.5.1 определяет класс алгоритмов итеративной регуляризации, вырабатывающих при отсутствии решений у исходной задачи (1) минимальную невязку w,, определенную в (7). Указанная теорема позволяет единообразно исследовать поведение ряда известных алгоритмов в несовместном

случае и установить их принадлежность к группе РАИ соответствующих классов задач. В частности, рассматривается следующая процедура итеративной регуляризации уравнения (1) с / = /г = 0 в предположении

НПОПх. <C(1 + |HU)V*€X (15)

при наличии вместо F приближенного оператора Fh 6 удовлетворяющего условию (8) с р = 2:

Jzn+1 = (l-ßnen)Jzn-ßnFh{zn), гг=:0,1,... ,N(h)-l: (16)

N(h) = тах{тг : hn > k}. (17)

Здесь параметры ßn, en, hn > 0; 5 — множество произвольных операторов из X в X*, J = Ji : X —► X* — каноническое дуальное отображение. В качестве значения регуляризующего оператора {R^ } на приближении Fh выбирается элемент -лг(Л)- С использованием теоремы 1.5.1 доказывается следующая

Теорема 1.5.2. Пусть h < hQ ; Лп+1 < hn, п = 0,1,... и

lim (ßn + Sn + hn + ^. + b. + ^^±i)=0, Tßnsn = oo.

V ^n £n ßnel J ^

Тогда для функционалов шдг(л) € X*,

U>N(h) — SN(h)J*JV(A)> ZN(h) = R^PiFh), (18)

имеет место равенство

lim ||шлг(Л) - w„||x- = 0, (19)

л—♦ о

где элемент w* определен в (7). В частности, если ш 6 X* и

то уравнение F(z) = tu, z G X, не имеет решений.

Таким образом, показано, что ранее известный PA {i?(h5)} может быть отнесен к группе РАИ уравнения (1).

В § 1.6 рассматривается еще один пример применения теоремы 1.5.1. Исследуется итеративно регуляризованный метод линеаризации для решения условных экстремальных задач в гильбертовом пространстве, предложенный Ф.П. Васильевым, М.С. Солодкой и М.Д. Ячимовичем и изучавшийся ими в предположении разрешимости исходной задачи. Теорема 1.6.1 устанавливает, что при отсутствии решений последовательность регуляризованных приближений доставляет в пределе минимальную в соответствующем смысле невязку этой задачи.

§ 1.7 посвящен изучению метода регуляризации уравнения (1) с / = /г = 0, сочетающего конечномерную аппроксимацию задачи с итеративной процедурой вида (16)—(17). Предполагаются выполненными условия (15) и (8) при р — 2; 5 — множество произвольных операторов из Л* в X*. Пусть задана такая последовательность конечномерных подпространств {^п}п=0> Хп С X, что Хп С -Хп+ь п = 0,1,-.. , и выполняется условие (12). В качестве значения рассматриваемого регуляризующего оператора Rh на приближении Fh выбирается элемент zлг(Л)» где zq £ Хо — фиксированная начальная точка; G Хп при известном zn находится из уравнения

(гп+иУ)х = (1 -ßnen)(zn,y)x - ßn(Fh{zn),y) Уу £ Хп. (20)

Здесь номер N(h) определен в (17), параметры ßn,en,hn > 0; (-,-)х обозначает скалярное произведение гильбертова пространства X.

Теорема 1.7.1. Пусть множество Zt ф 0, выполняются условия Cl, С2, последовательности {en}, {hn}, {e^Pn^n} монотонно убывают, причем h < ho,

lim (ßn + £n + hn + b. + + £" - ) = о, T ßnen = oo; (21) lim = 0, шп = u)(en).

ßlel

Тогда для элементов = -ßj, (F/,) выполняются соотношения lim ||zW(M - z*||.y = 0; г* € Z», ||2»||х = min{||z||x : г 6 Z.}.

Теорема 1.7.2. Пусть выполняются условия Cl, С2, последовательности {е„}, {/in}, {^п* ßnhn] монотонно убывают, имеют место соотношения (21) и lim = 0. Тогда для определяемых анало-

п-оо ßlel

гично (18) функционалов и элементов 2дг(л) = спра-

ведливы утверждения теоремы 1.5.2.

Согласно теоремам 1.7.1, 1.7.2, семейство {Л^} определяет РАИ уравнения (1).

Особенность результатов §§ 1.3 - 1.7 по изучению схемы регуляризации (5) и ее модификаций состоит в том, что при f = fs = 0 и отсутствии решений у исходного уравнения последовательность регуляризованных приближений доставляет минимальный по норме элемент множества clR(F) = c1{uj € X* : 3z G X, F{z) = г«}, где па коррекцию w априори не налагается никаких ограничений. С точки зрения приложений представляет интерес построение таких обобщений схемы (5), которые при отсутствии решений у исходного уравнения (1) давали бы информацию о минимальной в требуемом смысле коррекции w, принадлежащей заданному множеству допустимых коррекций G. Таким образом, для уравнения (1) с монотонным деминепрерывным оператором F : X —+ X вместо (7) рассматривается более общее вариационное неравенство

(M{w), w - v)x 0 Vv 6 D (w € D); D = c\R(F) Л G, (22)

где M : X —♦ X — фиксированный сильно монотонный оператор. Сужение множества допустимых коррекций может быть вызвано, например, трудностями содержательной реализации некоторых из них в рамках выбранной модели. Заметим, что в (22) не исключен случай, когда cl R(F) C\G = 0, т.е. уравнение (1) с заменой оператора F(-) на F(-) - w остается неразрешимым при всех w € G. В этом случае в качестве желаемой количественной информации о задаче,

характеризующей меру ее несовместности, может быть взято, например, расстояние между множествами clR(F) и G, либо пара элементов этих множеств, на которых достигается указанное расстояние. Построению и обоснованию обобщений РАИ {Лд^}, {Л^}, позволяющих вводить различные критерии минимальности коррекции и учитывающих отмеченную выше возможность несовместности ограничений в (22), посвящен § 1.8.

В § 1.9 для линейных уравнений (1) с ограниченными самосопряженными операторами F = А : X X, А* = А ^ 0, clR(A) = X, рассматривается вопрос о восстановлении свойств решения z* по известной оценке скорости сходимости к этому решению приближений, генерируемых итерационным процессом

*„-И = «п - g(A)(Azn - /), 20 = 0, (23)

а также итерированным алгоритмом М.М. Лаврентьева. Здесь д : [0,||А||] —» К.1 — неотрицательная ограниченная измеримая по

Ворелю функция, непрерывная при Л = 0; g(0) > 0, sup||l — Лд(Л)| :

Л е [е, ||А||] | < 1 Че G (0.1И1). В предположении, что z„ 6 R(AP) для процедуры (23) известна оценка скорости сходимости

||*n-z.|U<Cn-*. (24)

Теорема 1.9.1 (обратная). Пусть для вырабатываемых в соответствии с (23) приближений {zn} имеет место оценка (24). Тогда € R(A") Щ € (0,р).

Полученный результат дополняет ранее известные утверждения о неулучшаемости оценки (24) на классе истокопредставимости R(AP). В теореме 1.9.2 аналогичный результат установлен для итерированного варианта алгоритма М.М. Лаврентьева. Строится пример, показывающий, что в вышеупомянутых теоремах включение д 6 (0,р) не может быть заменено равенством q = р. В теореме 1.9.4 рассматривается случай погрешностей в исходных данных.

В § 1.10 проводится обсуждение результатов главы I и их сравнение с результатами других авторов.

Глава II посвящена приложениям абстрактных РАИ из предыдущей главы к некоторым конкретным классам задач.

В § 2.1 в контексте вопросов, сформулированных Ж.-Л. Лионсом5, изучается асимптотическое поведение решений некоторых классов дифференциальных уравнений с монотонной нелинейностью, содержащих малый параметр. Рассматривается задача Дирихле

m

Н=о

+(-1Ге Е -°а[( Е \Da*{*)?y'2~lDaz(x)]=f, (25)

|rt|=m |a)=m

x <Е n, 111 ^ m, p > 1, e > 0;

D0z(x) = 0, X e 0П, |0| < m - 1. (26)

Здесь П — ограниченная область из Rs с достаточно гладкой границей; / 6 Wg-m(Q), р-1 = 1. Решение задачи (25)-(26) ищется

О

в пространстве W£l(íi). Предполагается, что непрерывные по всем аргументам функции AQJ |а| ^ ?п, таковы, что

m m

Y к(.т:,окс(i+ Y (27)

H = 0 |/3|=0

m

Y (Aa{x,Ç) - Aa(x,- tja) > 0 (28)

M=0

для всех X € О; £ = {С = (Ca) : lal ^ m}- Устанавливается, что для функционалов we 6 Ил~т(0), в > 0,

(we,z)=:(-e)J(Y, \Dazt{x)\2)"2~' Y, Dazc(x)Daz(x)dx,

il |a|=m |a|=m

5Lions J.-L. Perturbations singulières dans les problèmes aux limites et en controle optimal. — Berlin: Springer, 1973. (p.p. 92, 244, 355, 356).

определяемых решениями zE задачи (25)-(26), справедливо предельное соотношение

lim|K -w.||„,-m(n) = 0,

где

u>« € clW„, ||iü.||„rr«(n) = min {lMlw,-m(n) : w G clW*} ' (29)

W* есть множество всех таких функционалов w £ И^~т(П), что зао

дача (25)-(2б) с е = 0 и заменой / на /+ w имеет решение в W™(Q).

Аналогичные результаты справедливы для периодических задач параболического и гиперболического типа с монотонной нелинейностью.

При рассмотрении задач с погрешностями в данных, (25)-(26) служит модельной регуляризованной задачей, а характеристики {ze} используются при настройке параметров соответствующих РА.

В § 2.2 с использованием развитой в главе I техники проводится асимптотическое исследование решений регуляризованной вариационной задачи теории пластичности в условиях неограниченности снизу функционала энергии исходной задача. Данное исследование инициировано замечанием Р. Те мама6.

В § 2.3 РАИ нелинейных монотонных операторных уравнений, предложенные в §§ 1.4, 1.7, конкретизируются применительно к задаче Дирихле

m in

J2 (-1 )]a[DaAa{x,D^z(x)) = £ (-l)WD%(x), я б П, Ы ^ m;

|q|=0 |Q|=0

(30)

D^x) =0, x € j/3| < m - 1. (31)

Предполагаются выполненными условия (27), (28) с р = 2; реше-

о

ние (30)- (31) разыскивается в пространстве WJ^ii). В лемме 2.3.1

6Темам Р. Математические задачи теории пластичности. — М.: Наука, 1991. (с. 234)

устанавливается оценка 1 (П) — нормы решения модельной ре-гуляризованной задачи (25)-(26) как функции параметра е > 0. Полученная оценка применяется при конкретизации условий согласования параметров РАИ (13) и (20) с погрешностью в задании Аа, /а, |а| ^ т, обеспечивающих получение решения (30)—(31), либо минимальной невязки правой части в (30) (теоремы 2.3.1, 2.3.2). При этом требования повышенной гладкости решений исходной задачи (30)-(31), характерные для известных методов конечномерной регуляризации нелинейных задач, но используются. Здесь же приводятся примеры, показывающие, что при выполнении условий названных теорем решение (30)—(31) может не обладать повышенной гладкостью в шкале пространств Соболева. Отдельно анализируется случай, когда (30)-(31) является уравнением Эйлера выпуклой вариационной задачи. Обсуждается связь вырабатываемых приближений с задачей, полученной вариационным расширением исходной.

В § 2.4 предложенная в § 1.4 схема конечномерной регуляризации вариационных неравенств конкретизируется применительно к задаче Сипьорини

тт{,7(г) : г £ <?}, (32)

J(z) = J(l £ ' ^ - * 6 И2(П), (33)

a ' 3

Q = б :ф) (34)

где П — выпуклая ограниченная область из Ж2 с гладкой границей;

2

]Г ац Vx £ Q, £ € R2.

Лемма 2.4.1 устанавливает оценку W$(fY) — нормы решения модельной регуляризованной задачи

2 2

mm{Je(*) :*€(?}, Ze(z) = J(z) (|z(.t)|2 + ^ )dx

о 1 = 1

как функции параметра регуляризации в > 0. Полученная оценка позволяет указать условия согласования параметров РАИ из § 1.4 с погрешностью в задании a;j, 1 ^ г, j ^ 2; а о, обеспечивающие получение решения (32)—(34), либо, при отсутствии решений, - соответствующей минимальной невязки (теорема 2.4.1). Предположения о повышенной гладкости возможных решений исходной задачи (32)-(34) при этом не используются.

В § 2.5 схемы конечномерной регуляризации из §§ 1.4, 1.7 применяются к интегральным уравнениям Гаммерштейна I рода

1

J K(t, s)g(s, y{s))ds = ДО, t 6 [0,1] (35)

о

с неубывающей Vs G [0,1] функцией g(s, •) . Решение уравнения (35)

[

разыскивается в виде y(t) = J K(s,t)z(s)ds, z G ¿2(0,1) , в резуль-

о

тате (35) преобразуется к уравнению с монотонным оператором в ¿2(0,1). Лемма 2.5.1 устанавливает оценку 1^(0,1) — нормы решения модельной регуляризованной задачи

1 г

JK{t,s)g(s, JK{t,s)z{r)dt)ds + ez(t) = /(*), t G [0,1] о 0

как функции параметра e > 0. Найденная оценка используется при конкретизации условий согласования параметров РАИ (13) и (20) с погрешностью в задании К, д, /, обеспечивающих получение в пределе решения исходного уравнения (35), либо, в случае отсутствия решений указанного выше вида, — соответствующей минимальной невязки (теоремы 2.5.1, 2.5.2).

В § 2.6 рассматривается приложение обобщенных РАИ, предложенных в § 1.8, к классу задач выпуклого квадратичного программирования в гильбертовом пространстве. В качестве примера рассматривается вариационная задача на множестве решений

функционально- дифференциальной краевой задачи с неравенствами в краевых условиях.

В § 2.7 проводится обсуждение результатов главы II.

Глава III посвящена построению и изучению методов численной аппроксимации решений задач оптимального управления (2) с некорректным относительно г уравнением состояния (3).

В § 3.1 уточняются условия, налагаемые на элементы задачи. В частности, предполагается, что ср — сильна выпуклый дифференцируемый по Фрсшс функционал. Приводится пример, показывающий, что некоторые предлагавшиеся ранее7 процедуры численной аппроксимации решений (2) могут не сходиться уже в случае конечномерных пространств управлений и состояний.

В § 3.2 проводится обоснование общей схемы построения процедур численной аппроксимации решений задач (2) на основе регуляризации уравнения состояния (3). Предполагается, что вместо точных исходных данных (F; /) в (2) доступны их приближения (Fh;fs) е У х X*. Зафиксируем РА {Яд}, Д = (h;6) для уравнения (3), рассматриваемого относительно z при фиксированном и G U. Аппроксимируем исходную задачу (2) задачей отыскания такого управления ид 6 U, что

ЛД = inf{ JA(u) : u € t/} ^ Ja («д) ^ J,д + (36)

Ja(«) = J{u, лд[и]) = Фа[п}) + Ф{и), гл[и] = Ra (Fh(u, ■), fs), (37) /((Д) > 0, Hrn/i(Д) = 0. (38)

Основным результатом параграфа является теорема 3.2.1, устанавливающая условия на РА {Яд}, при выполнении которых определяемые (36)-(38) управления ид и состояния -гд[«д] сильно сходятся при Д -—> 0 к множествам оптимальных управлений и состояний задачи (2). Возможности эффективной численной реализации процедуры (36)-(38) существенно определяются свойствами функционала

7Лисковен O.A. Дискретная регуляризация задач оптимального управления на некорректных монотонных вариационных неравенствах // Известия АН СССР. Серия математическая.-1990.-T.54.-N5.-С.975-989.

/д. В теоремах 3.2.2, 3.2.3 устанавливаются дополнительные условия на РА {/?д}, обеспечивающие непрерывность, слабую полунепрерывность снизу и лишиицевость этого функционала. Теоремы 3.2.4 и 3.2.5 утверждают, что требуемым условиям, при замене дуального отображения Jp оператором <р', удовлетворяют РА {Яд'}, рассмотренные ранее в §§ 1.3 и 1.5. Отмстим, что в случае задачи (2) с операторами F частного вида и Ra = Rд* вопрос об асимптотических свойствах приближений ид = ие, 2д[ид] = zE, е —» О при h — 6 = 0 ставился Ж.-Л. Лионсом8.

В § 3.3 строятся процедуры аппроксимации решений задач оптимального управления (2), совмещающие регуляризацию уравнения состояния с конечномерной аппроксимацией пространств управлений и состояний. Теорема 3.3.1 устанавливает, что абстрактным требованиям на РА {Лд}, введенным в § 3.2, при замене J оператором <р', удовлетворяет РА {Дд'} из § 1.4. Данный РА предусматривает совмещение операторной регуляризации уравнения, связывающего управление и состояние, с конечномерной аппроксимацией пространства состояний X. Затем исследуется аналог полученной процедуры, использующий конечномерные аппроксимации как для пространства состояний X, так и для пространства управлений W. В этом случае аппроксимирующая задача оптимального управления (36)-(38) становится конечномерной. Теорема 3.3.2 устанавливает условия согласования параметров регуляризации и дискретизации с погрешностью, обеспечивающие сильную сходимость вырабатываемых приближений к оптимальным управлениям и состояниям задачи (2). Изучаются также аналитические свойства функционала 7д. Показывается, что при соответствующих дополнительных предположениях ,/д является локально липшицевым функционалом, что позволяет применять при его численной минимизации известные методы решения конечномерных негладких экстремальных задач.

Отметим, что все рассуждения в §§ 3.1-3.3 ведутся в предположении разрешимости уравнения или вариационного неравенства, свя-

8Lions J.-L. Perturbations singulières dans les problèmes aux limites et en controle optimal. — Berlin: Springer, 1973. (p. 577).

зывающего управление и состояние системы, хотя бы для одного допустимого управления.

В § 3.4 изучается асимптотическое поведение приближений, вырабатываемых методами §§ 3.2, 3.3, в том случае, когда уравнение состояния (3) не имеет решений ни при каком управлении и Ç U. Теоремы 3.4.1 - 3.4.4 устанавливают, что в этом случае указанные приближения ид, Д —► 0, доставляют в пределе величину

= inf{|MU. :weW.}, (39)

г до W* = {ю € Х*| Зн 6 [/, z € X : F{u,z) = / +и>}. Величина vt может рассматриваться как мера несовместности параметрической системы уравнений (3), где роль параметра играет управление и. Теорема 3.4.5 утверждает, что при наложении на структуру оператора F дополнительных ограничений, упомянутые выше приближения доставляют и элемент wt G cl W*, на котором достигается минимум в (39).

В § 3.5 общие схемы аппроксимации решений задач оптимального управления, предложенные в §§ 3.2, 3.3, конкретизируются применительно к задачам оптимального управления решениями проблемы Синьорини и нелинейных дифференциальных уравнений высокого порядка с монотонной нелинейностью. При этом разрешимость уравнений состояния, а также повышенная гладкость возможных решений не предполагается.

Заключительные параграфы главы посвящены обоснованию методов численной аппроксимации решений задач оптимального управления (2) в случае линейного, не обязательно монотонного оператора F(m, •).

В § 3.6 рассматривается задача

min|j(u, z) : гг G U, z G X; A(u)z = 6(u)j, J(u,z) = у(г)+ф(и), (40)

где A(it) G L{X,Y), b{u) G Г Vu G U\ X,Y,W — гильбертовы пространства. Теорема 3.6.1 устанавливает достаточные условия разрешимости задачи (40). Предполагается, что вместо точных

исходных данных {А(и)\Ь(и)) доступны их некоторые приближения (ЛЛ(и);6«(и)) € L{X,Y) xY Vu Gif,

\\Ah{u)-A(u)\\L{XtY)^hM{\\u\\w), ||bi(u) - b{u)\\Y ^ 6M(\\u\\w) Vu e U\ sup M(t) < oo V[a, b] С

ie(a,b]

Строится процедура аппроксимации решений (40), состоящая в отыскании управления ид б U, Д = (h\6), из условий

J, д = inf{ JA{u) .7д(ид) sï Л д + /í(A), (41)

JA(u) = y(zA[u]) + • ||Ль(и)гд[и] - + ip(u), (42)

Ak(u)Mh(u)2A[u] + е(Д)У (гд[«]) - Ah(u)*bs(u), (43) е(Д) > О, /«(Д) > 0; ^(¿(Д) + /г(Д)) = 0. (44)

Теорема 3.6.3 устанавливает, что при выполнении условия согласования lim е(Д)~1(h + 6) = 0 имеет место сильная сходимость опре-д->о

деляемых (41)-(44) управлений и состояний ид, 2д[ид], Д —► 0, к оптимальным управлениям и состояниям задачи (40).

В § 3.7 рассматривается задача (40) с функционалом tp вида

4>(*) = \{G(z-z¿),z-Zb)x, G* = G £ L(X,X), G ^ al, a > 0;

и плотно заданным неограниченным самосопряженным оператором А{и) : X —» X, и G U, действующим в комплексном гильбертовом пространстве X. Предполагается, что вместо правой части Ь{и) доступно приближение b¿(u),

||Ь«(и) - 6(и)||лг < m(\\u\\w) V« G U; sup M(t) < oo V[o, b] С

¿€[a,6]

В эхом случае аналогом (41)- (44) выступает аппроксимирующая задача отыскания управления u¡ 6 U из условий

J,s = inf{ Jt(u) : u € С/} ^ l](щ) ^ Jt6 + /i(6), (45)

Mu) = - zo),zs\u] - z0)x +ip{u), (4G)

Л(и)*«["] - ie[é)G(zs[u] - 2o) = bs{u), i = Vе!; (47)

fi(S) > 0; e(6) ф (), lim (e(<5) + ,;(<5)) = 0. (48)

6—* о

Теорема 3.7.3 устанавливает, что при выполнении условия согласования lim e(ó)~iS = 0 определяемые (45)-(48) приближения u¿, zs[us), $—»o

6 —* 0 сильно сходятся к множествам оптимальных управлений и состояний рассматриваемой задачи.

В § 3.8 проводится обсуждение результатов главы III.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

В приложении приведены результаты численных расчетов по некоторым из предложенных в работе алгоритмов. В качестве тестовых примеров использовались выпуклые вариационные задачи и задачи оптимального управления решениями вариационных и линейных краевых задач.

Автор благодарит Международный Научный Фонд, Правительство РФ и Российский Фонд Фундаментальных Исследований за финансовую поддержку работы на ее заключительном этапе в рамках грантов NMW000, NMW300, 97-01-00499.

Основные работы автора по теме диссертации:

1. Кокурин М.Ю. Об одном подходе к коррекции несовместных вариационных неравенств // Известия вузов. Математика. — 1991.-N4.-C.16-24.

2. Кокурин М.Ю. Об использовании операторной регуляризации для исследования монотонных вариационных неравенств // Математическое программирование и приложения: Тезисы докладов. — Свердловск: УрО АН СССР, 1991.-С.84.

3. КокуринМ.Ю. О коррекции несовместных вариационных неравенств с использованием регуляризации // XVI Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах. — Нижний Новгород: Изд-во Нижегородск. ун-та, 1991.-С.109.

4. Кокурин M.IO. Об асимптотическом поведении периодических решений одного класса уравнений гиперболического типа // International Conference dedicated to the memory of acad. M.P.Kravchuk, September 22-28, Kiev-Lutsk, Ukraine. — Киев: Институт математики АН Украины, 1992.-С.90.

5. Кокурин М.Ю. Об использовании регуляризации для исследования и коррекции операторных уравнений //VI Конференция математиков Беларуси (29 сент.-2 окт. 1992 г.). Тезисы докладов.4.2. — Гродно: Изд-во Гродненск. ун-та, 1992.- С.94.

6. Кокурин М.Ю. Об использовании регуляризации для коррекции монотонных вариационных неравенств, заданных приближенно // Известия вузов. Математика.-1992.-N2.-С.49-56.

7. КокуринМ.Ю. Об асимптотическом поведении периодических решений одного класса операторных дифференциальных уравнений Ц Дифференциальные уравнения.- 1993.-T.29.-N8.-C.1400-1407.

8. Кокурин М.Ю. Об одном методе операторной регуляризации уравнений первого рода, минимизирующем невязку // Известия вузов. Математика.-1993.-М12.-С.59-69.

9. Кокурин М.Ю. Асимптотика решений класса операторных уравнений с малым параметром при отсутствии свойства разрешимости у предельного уравнения // XXVI Воронежская зимняя математическая школа: Сб. научн. тр. — Воронеж: Изд-во Воронежск. ун-та, 1994.-С.58.

10. Кокурин М.Ю. О регуляризации и коррекции некоэрцитивных нелинейных уравнений монотонного типа // Дифференциальные уравнения.-1994.-Т.30.-Ш.-С.1374-1383.

11. Кокурин М.Ю. К предельному переходу в вариационных задачах теории пластичности // Известия вузов. Математика.- 1994.-N12.-C.60-69.

12. Кокурин М.Ю. Об асимптотическом поведении решений одного класса нерегулярно возмущенных задач оптимального упра-

вления // Информационный бюллетень Ассоциации математического программирования. Вып.5. Всероссийская конференция "Математическое программирование и приложения" (тезисы докладов).-Екатеринбург: УрО РАН, 1995.-С.121.

13. Кокурин М.Ю. Некоторые обратные теоремы в теории регуляризации // Современные методы теории функций и смежные проблемы прикладной математики и механики:Тезисы докладов школы.-Воронеж: Изд-во Воронежск. ун-та, 1995.-С. 123.

14. Кокурин М.Ю. Об одном подходе к построению методов регуляризации задач оптимального управления с монотонными операторами // "Понтрягинские чтения-VI": Тезисы докладов школы. — Воронеж: Изд-во Воронежск. ун-та, 1995.-С.48.

15. Кокурин М.Ю. Об асимптотическом поведении периодических решений параболических уравнений со слабо нелинейным возмущением // Математические заметки.-1995.-Т.57.-вып.З.- С.369-376.

16. Кокурин М.Ю. Об одном классе операторных уравнений с малым параметром и регуляризации некорректных задач // Сибирский математический журнал.-1995.-Т.36.-N4.-C.842-850.

17. Кокурин М.Ю. К предельному переходу в нерегулярно возмущенных задачах оптимального управления // Успехи математических HayK.-1995.-T.50.-N4.-C.111.

18. Кокурин М.Ю. Об управлении разрешимостью выпуклых вариационных задач // Известия вузов. Математика.-1995.- N12.-С.43-53.

19. Кокурин М.Ю. О регуляризации и свойствах решений одного класса обратных задач в вариационной постановке // Второй Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике. Тезисы докладов,часть III. — Новосибирск: Институт математики СО РАН, 1996.-С.301.

20. Кокурин М.Ю. О дискретной аппроксимации сингулярных задач оптимального управления решениями нелинейных уравнений монотонного типа // Вестник СПбГУ. Серия математика, маханика, астрономия,-1996. - вып.З.-С.19-25.

21. Кокурин М.Ю. О дискретной регуляризации нелинейных уравнений и задач оптимального управления сингулярными систе-

мами // Известия вузов. Математика.-199б.-Ш2.-С.42-53.

22. Кокурин М.Ю. О регуляризации задач оптимального управления решениями некорректных вариационных неравенств монотонного типа // Сибирский математический журнал.- 1997.- Т.38.-Nl.-C.100 108.

23. Кокурин М.Ю. О необходимых условиях сходимости с заданной скоростью методов решения линейных некорректных задач // Вестник СПбГУ. Серия математика, механика, астрономия.-1997.-вып.2.-С.22-27.

24. Кокурин М.Ю. О регуляризации сингулярных задач оптимального управления для линейных уравнений с самосопряженными операторами // Дифференциальные уравнения,- 1997.-T.33.-N2,-С.249-256.

25. Кокурин М.Ю. К обоснованию метода Галеркина для некоэрцитивных эллиптических уравнений с монотонной нелинейностью // Дифференциальные уравненип.-1997.-Т.ЗЗ.-ЫЗ.-С.425-427.

26. Kokurin M.Yu. On the use of regularization for correcting of monotone variational inequalities // XV International Conference "Mathematical Optimization — Theory and Applications" (Eisenach, Germany, December 10-14, 1990). — Eiscnach, 1990.-P.64-65.

27. Kokurin M.Yu. An approach to the correcting of unsolvable variational inequalities // Abstracts of Invited Lectures and Short Communications Delivered at the Second International Colloquium on Differential Equations, Plovdiv, Bulgaria, 19 -24 August,1991. — Plovdiv: Eureka, 1991.-P.148.

28. Kokurin M.Yu. Asymptotic behavior of periodic solutions of a second-order operator differential equation in Hilbert space // International Conference on Functional Differential Equations and Applications, Moscow, Russia, August 14-21, 1994. — Moscow: Moscow State Aviation Institute, 1994.-P.42-43.

29. Kokurin M.Yu. On the regularization of ill-posed optimal control problems over monotone variational inequalities // "Обратные и некорректно поставленные задачи". Тезисы докладов международной конференции.—М.: Диалог — МГУ, 1996.-С.99.

Подписано к печати23.0Г.97 г. Заказ 30. Тираж 100 экз. Объем 2,0 п.л. Отдел оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ. 198904, Санкт-Петербург, Ст.Петергоф, Университетский пр.2.