Оценки спектрального радиуса линейного оператора и ускорение сходимости некоторых итерационных методов решения операторных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение.

Глава I. Оценки спектрального радиуса положительного оператора, исходя из поведения линейной комбинации степеней этого оператора на фиксированном элементе конуса К.

§ 1. Оценки спектрального радиуса линейного положительного оператора при условии телесности конуса К.

§2. Дальнейшее развитие теорем об оценке спектрального радиуса.

§3. Распространение теорем об оценке спектрального радиуса на случай нетелесного конуса и слабо неразложимого оператора.

§4. Несовместные неравенства.

§5. Оценки спектральной характеристики монотонного положительного оператора.

Глава II. Сравнение спектральных радиусов двух линейных положительных операторов. Построение уточненных значений спектрального радиуса и приближений к решению линейного операторного уравнения.

§6. Оценка спектрального радиуса линейного положительного оператора с помощью сравнения его некоторой степени с рядом степеней специально подобранного оператора.

§7. Построение последовательности приближенных значений к спектральному радиусу линейного положительного оператора.

§8. Квалифицированные оценки спектрального радиуса.

§9. Метод ускорения сходимости приближений к спектральному радиусу линейного положительного оператора и к решению линейного операторного уравнения.

Глава III. К вопросу о разрешимости операторных уравнений с параметром.

§10. О разрешимости операторных уравнений второго рода с линейными и нелинейными операторами.

§11. Априорные оценки решения операторного уравнения второго рода по известной невязке.

§12. О разрешимости операторных уравнений с нелинейно входящим параметром. 132 Литература.

В осмыслении и решении ряда задач общей теории систем, теории управления, механики, прикладной математики и т. д. важную роль играет монотонность соответствий между данными и результатами, позитивность и монотонность линейных и нелинейных отображений. Математические модели подобных объектов во многих ситуациях приводят к уравнениям с операторами в пространствах, полуупорядоченных некоторым конусом. Это, в частности, объясняет широкое применение теории операторов и конусов.

Основными вопросами, на которые призвана отвечать теория операторов, являются, во-первых, вопросы качественного характера и, во-вторых, вопросы, касающиеся приближенных методов решения операторных уравнений. Приведем лишь некоторые из них.

1. Имеет ли решение данное уравнение, и если да, то единственно ли оно?

2. Устойчиво ли данное уравнение в том смысле, что малое изменение задаваемых величин влечет за собой малое изменение результирующих величин?

3. Если существует оператор, в каком-то смысле аппроксимирующий исходный, то позволяет ли решение уравнения с этим оператором строить достаточно хорошие приближения к решению соответствующего уравнения с исходным оператором?

4. Существует ли и каковы эффективные итерационные методы, позволяющие улучшать выбранное тем или иным способом начальное приближение к решению уравнения?

В настоящей работе исследуется лишь некоторая часть приведенных вопросов.

Диссертация состоит из введения и трех глав. В ней принята сквозная нумерация параграфов, для утверждений и формул введена двойная нумерация, включающая номер параграфа и порядковый номер утверждения или формулы. В диссертации приведен ряд известных результатов. Основные из них пронумерованы с помощью заглавных букв латинского алфавита для облегчения ссылок.

1. Бахтин И.А. Исследование уравнений с положительными операторами: Дис.д-ра физ.-мат. наук. - Ленинград, 1967. - 320с.

2. Бахтин И.А., Красносельский М.А., Стеценко В.Я. О непрерывности линейных положительных операторов// Сиб. мат. журн. 1962. - Т.З, №1. - С. 157 - 160.

3. Боголюбов H.H., Крейн С.Г. О позитивных вполне непрерывных операторах// Труды института математики АН СССР. 1948, Т.9, №1, С.З - 95.

4. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. М.: Наука, 1967. - 415с.

5. Вулих Б.З. Специальные вопросы геометрии конусов в нормированных пространствах: Учебное пособие. Калинин: Издательство калининского университета, 1978. - 84с.

6. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М: Наука, 1966. - 576с.

7. Гантмахер Ф.Р., Крейн М.Г. Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем. М: Гостехиздат, М. 1950.

8. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М.: Издательство иностранная литература, 1962. - 895с.

9. Есаян А. Р. Применение теории конусов к оценке спектра неположительных операторов: Дис.канд. физ.-мат. наук. Воронеж, 1964. - 104с.

10. Есаян А.Р., Сабиров Т. О несовместности некоторых соотношений полуупорядоченности// Докл. АН Тадж. ССР. 1963. - Т.6, №4. - С.8 - 12.

11. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Наука, 1977. - 496с.

12. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. -М.-Л.: Физматгиз, 1962. -708с.

13. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа, М.: Наука, 1981. -543с.

14. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. -М.: Физматгиз, 1962. 394с.

15. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений, М., 1956. -372с.

16. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стецен-ко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. М: Наука, 1969. - 456с.

17. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного агализа. М.: Наука, 1965. 624с.

18. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Соболев В.И. Позитивные линейные системы: метод положительных операторов. М: Наука, 1985. - 256с.

19. Крейн М.Г., Рутман М.А. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха// Успехи мат. наук. 1948. - Т.З, №1. - С.3-95.

20. Куркалова Л.А. Неразложимые модели Неймана и Леонтьева: Дис.канд. физ.-мат. наук. Душанбе, 1990. - 131с.

21. Лифшиц Е.А. К теории полуупорядоченных банаховых пространств// Функциональный анализ и его приложения, 1969. Т.З, №1, С.91 - 92.

22. Лифшиц Е.А. Об использовании спектрального радиуса// Динамика неоднородных систем. Материалы семинара. М.: Всесоюзный научно-исследовательский институт системных исследований, 1983. - С.252 - 254.

23. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М: Наука, 1965. -520с.

24. Мухтаров С.Н., Стеценко В.Я. О несовместности некоторых соотношений полуупорядоченности//Докл. АН Тадж. ССР. 1963. - Т.6, №4, С.8 - 12.

25. Стеценко В.Я. Исследования по теории положительных операторов в пространствах с конусом: Дисс.д-ра физ.-мат. наук. Воронеж, 1968. - 307с.

26. Стеценко В.Я. О спектральных свойствах неразложимых операторов// ДАН СССР, 1968. Т. 178, №3. - С.552 -554.

27. Стеценко В.Я. Об одном методе ускорения сходимости итерационных процессов// Доклады АН СССР. 1968. - Т. 178, №3, С. 1021-1024.

28. Стеценко В.Я. Об одном спектральном свойстве неразложимого оператора//УМН. 1967. - T.22, Вып.3(135). - С.242-244.

29. Стеценко В .Я. Об одном способе оценки спектра линейного оператора// УМН. 1964. - Т. 19, Вып.2, С. 199-200.

30. Стеценко В.Я. Об оценке спектра некоторых классов линейных операторов// ДАН СССР. 1964. - Т. 157, №5. - С. 1054-1057.

31. Стеценко В.Я. Об оценке верхней и нижней границ модулей корней многочлена// Ученые записки, труды физико-математического факультета, серия математика. ТГУ, Душанбе, 1963. - t.XXVI, вып. 1. - С.43-48.

32. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1964. - 304с.

33. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Физматгиз, 1960. 656с.

34. Функциональный анализ. Под ред. Крейна С.Г. М.: Наука, 1972. - 544с.

35. Хатсон В.К., Пим Дж.С. Приложения функционального анализа и теории операторов. М.: Мир, 1983. 431с.

36. Jentzcy R. (Ентч Р.) Uber Integralgleichungen mit positivem Kern// Jornal fur reine und angew. Mathematih. 1912. V.141, P. 235 - 244.

37. Karlin S. (Карлин С.) Positive operators// J. Math. Mech. 1955. - V.6, №6. -P.907-937.

38. Karlin S. (Карлин С.) Total Positivity. v.l. Stanford, Calif. Univ. press, 1968.

39. Ostrowski А. (Островский A.) On positive matrics// Math. Ann., 1963. V.150, P. 276 - 284.

40. Perron О.(Перрон О.) Zur Theorie der Matrices// Math. Ann., 1907. V.64, P.248 -263.

41. Костенко Т.А. Несовместные неравенства/ Ставропольский государственный университет, Ставрополь 1998. 19с. Деп. в ВИНИТИ 23.01.98 №166 - В98.

42. Костенко Т.А. О разрешимости операторных уравнений второго рода с линейными и нелинейными операторами// Материалы XLIII научно-методической конференции «Университетская наука региону». - Ставрополь: Изд. СГУ, 1998. -С.111-122.

43. Костенко Т.А. Об одном новом способе оценки спектрального радиуса линейного положительного оператора АН Материалы XLII научно-методической конференции «Университетская наука региону».-Ставрополь: Изд. СГУ, 1997.-С.52-54.

44. Костенко Т.А. Оценки спектрального радиуса линейного положительного оператора// Понтрягинские чтения -IX: Тезисы докладов. Воронеж, В ГУ, 1998. -С. 107.

45. Костенко Т.А. Стеценко В.Я. Априорные оценки решения операторного уравнения второго рода по известной невязке// Материалы XLIII научно-методической конференции «Университетская наука региону». - Ставрополь: Изд. СГУ, 1998.-С. 111-134.

46. Костенко Т.А., Стеценко В.Я. Новые оценки спектрального радиуса линейного положительного оператора// Понтрягинские чтения -VIII: Тезисы докладов. Воронеж, ВГУ, 1997. - С.78.

47. Костенко Т.А., Стеценко В.Я. Об одном новом способе оценки спектрального радиуса линейного положительного оператора А/ Ставропольский государственный университет, Ставрополь. 1997. - 24с. Деп. в ВИНИТИ 21.03.97 №854-В97.

48. Стеценко В.Я., Костенко Т.А. Квалифицированные двусторонние оценки для спектрального радиуса линейного положительного оператора// Понтрягинские чтения -IX: Тезисы докладов. Воронеж, ВГУ, 1998. - С. 187.

49. Стеценко В.Я., Костенко Т.А. Квалифицированные двусторонние оценки для спектрального радиуса линейного положительного оператора/ Ставропольский госу148дарственный университет, Ставрополь. 1997. - 13с. Деп. в ВИНИТИ 14.11.97 №3321 -В97.