Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений в исключительных случаях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

На правах рукописи

РРВ 08

1 3 ДЕК 2ИПП

КУДРЯШОВА Наталья Юрьевна

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ИСКЛЮЧИТЕЛЬНЫХ СЛУЧАЯХ

Специальность 01.01.07 — «-Вычислительная математика-»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ПЕНЗА 2000

Работа выполнена в Пензенском государственном университете на кафедре «Высшая математика».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор И. В. Бойков.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических /наук, профессор И. К- Лифанов; кандидат физико-математических наук, доцент А. В. Гуляев.

Ведущая организация — Краоноярскшй государственный технический университет.

Защита состоится «. часов,

,ва заседании диссертациошюго совета К 063.18.03 в Пензенском государственном университете по адресу: 440017, Пенза, ул. Красная, 40.

Автореферат разослан « » И2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совет к. ф.-м. н., доцент

в/зг, /£з,з.оз

у

Актуальность темы. Сингулярные интегральны« уравнения (с. и. у.) являются активно развивающимся направлением математики. Они нахолят широкое применение при решении многих задач математики. физики и естествознания. К с.и.у. сводятся задачи теории упругости, аэродинамики, гравиметрии, электродинамики, магниторазведки, теории управления и многие другие. В связи с тем, что решения в квадратурах с .u.V., у которых условие нормальности нарушается на многообразиях г мерой большей нуля, можно найти только в исключительных случаях, возникает необходимость в разработке численных методов их решения.

Начиная с пятидесятых годов нашего столетия, численные методы решения с.и.у. стали бурно развивающимся направлением вычислительной математики, развитие которого, в основном, связано работами советских математиков и механиков.

Численны»; методы решения с.и.у. были развиты в работах С.М. Белоцерковского, И. В. Бонкова. Ю.В. Ганделя, М. Голберга, И.Ц. ГохОерга. A.B. Джишкариани. В.В. Иванова, Н. Иоакимидиса, А.И.' Калапдия. М.А. Лаврентьева, И.К. Лнфанова, С.Г. Михдина, Б.И. Мусаеиа. 1. Иресдирфа, Г.Н. Пыхтеева, М.А. Шешко, 1". Шмидта, Д. 'Эллиота.

При этом в большинстве исследований рассматриваются с.и.у «(/)Х(0 + [ —T~dT 4- [ h(t,r)x(r)dT =S(t)

7Г1 ■ У Т — t ■>-•

нормального типа. т. е. в предположении, что ггг(Г) — ir(f) ^ U.

В случае, когда условие нормальности нарушается в конечном числе точек, при ряде дополнительных условий И.Ц. Гохбершм, И.А. Фельдманом и 'I Пресдорфом построены и обоснованы приближенные методы проекционного типа для решения с.и.у.

Большое число прикладных задач сводится к различным классам с.u.V.. у которых vc.'ioniie нормальности нарушается на многообразиях с Мерой Г>оЛ1.Ш»'Й нWirt.

М.М. Лаьргнтьс» !шде:шл тчКоЛько УаЖнЫх k.i;итш> tJi.y. н, И том числе с.и.у.. у КО'ЮрЫХ углом««' !fopM;1,1li!!OC'T!i IMPVt'M« t«^ "О »UVi* oö.iarni определения, к ооепшнл задачу исследований йШНгШ'НШя^ ти их решения. Эту задачу pritiir.1 И.В. Бойкой, ныдолйн |>ЯД ЬЛйгШй

единственности решений и исследовав их устойчивость.

Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений, у которых нарушено условие нормалыкх ги на многообразиях меры большей, нежели нуль, насколько известно, не разрабатывались.

Цель работы. Диссертационная работа посвящена построению и обоснованию численных методов решения е.и.у. с интегралами типа Коши и А да.мнра. у которых условие нормальности нарушается на множествах г мерой большей нуля (с.и.у. в исключительных случаях). Рассмотрены с.и.у. следующих типов:

- линейные уравнения с интегралами типа Коши на отрезках, замкнутых контурах и бесконечных прямых;

- бисингулярные уравнения с ннтегр^тами типа Коши на отрезках, замкнутых контурах и бесконечных прямых;

- нелинейные уравнения с интегралами типа Коши на замкнутых контурах;

- системы уравнений с интегралами типа Коши на отрезках;

- многомерные уравнения с интегралами Аламара.

Кроме того, построены и обоснованы численные методы приближенного решения задачи аналитического продолжения на плоскости и. в пространстве.

Научная новизна. Основные результаты диссертации следующие:

А.

- предложены и обоснованы приближенные методы решения линейных с.и.у. в исключительных случаях на замкнутых контурах, отрезках п бесконечных прямых;

- предложены й обоснованы численные методы решения, бисингу-лярных интегральных уравнений (б.и.у.) в исключительных случаях на замкнутых контурах, отрезках и бесконечных прямых:

- построен и обоснован численный метод решения нелинейных с.и.у. в исключительных случаях на замкнутых контурах;

- предложены и обоснованы вычислительные схемы приближенного решения систем с.и.у. в исключительных случаях на отрезках;

- описан и обоснован численный метод приближенного решения ситемы с.и.у. в исключительных случаях, возникающей в теории ка-витируюшего крыла;

- предложены и обоснованы ■численные методы приближенного ре-цения задачи аналитического продолжения на плоскости, основанные ia численном решении сингулярных интегральных уравнений и на 'сточных методах;

- предлагается и обосновывается вычислительная схема прпблн-кенного решения задачи продолжения потенциальных полей в пространстве.

Теоретическая и практическая ценность. Теоретическая цен-юсть работы состоит в том, что в ней предложены и обоснованы чис-юнные методы решения линейных с.и.у., б.и.у., нелинейных с.и.у, а также систем с.и.у. в исключительных случаях. 4

Практическая ценность работы заключается в том, что разработаны и программно реализованы вычислительные схемы решения ■равнения кавитирующего крыла, уравнений, используемых п томо-'рафин, задачи аналитического продолжения на плоскости и, в пространстве, возникающей при решении обратных задач гравиметрии.

Методика исследования. При обосновании полученных в дне-:ерташш результатов применялись методы теории приближения функ-шй, общей теории приближенных методов, решения некорректных :адач, теории с.и.у.

Апробация работы.Отдельные части работы докладыяались на i-том Международном семинаре - совещании " Кубатурные фор.му-1Ы и их приложения'' (г. Красноярск, 1999 г.), на 1-ой Всероссийской сонференшш "Геофизика и математика" (г. Москва, 1999 г.), на межвузовской конференции "Математические методы решения физнко-латематических задач" (г. Пенза, 1999 г.), на международной науч-ю - методической конференции " Математика в вузе. Современные гнтеллектуалькые технологии" (г. Великий Новгород, 2000 г.)

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 9 ра-Зот.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из ¡ведения, трех глав и приложения, изложена на 177 страницах (в гом числе 111 стр. - текстовая часть, 8 стр. - список литературы, )8 стр. - приложение). Список литературы к диссертации содержит ) 1 наименования.

Содержание работы. Первая глава носит вспомогательный ха-

рактер. В ней дан краткий обадр Приближенных методов решения г.и.у., приведены некоторые определения и утверждения, испольчуе-мые в диссертации.

Вторая глава состоит in 11 параграфом и поспящена построении и обоснованию численных методов решения линейных с.н.у. н исключительных случаях на замкнутых контурах, отрезках н бесконечны: прямых; б.и.у. на замкнутых контурах, отроках и бескопечных щ>я мых; систем с.и.у. на отрезках; нелннеиных с.н.у. на замкнутых кон турах; многомерных с.н.у. типа Адамара.

В § 1 строится вычислительная схема приближенною рецкчш: следующего с.н.у. в исключительных случаях

alt)x(t) + -Ф- / -Ц<1т + ( h(t, т)ф)dr = f(t). tei. (1 VI J т-t J

С помощью преобразования Гильберта что уравнение сводится уравнению с ядром Гильберта, вычислительная схема приближенно!' решения которого имеет вид

b(s') 2,1"V1 <т - .s*

T2n-1

+1 £ = /(*;), i - o,..., 2« 71,

где узлы sk = 4 = ^ + h, 0 < ft < k = 0,...,2n. Решет ищется в виде полинома

2и-1

¿Л«) =

t=и

где

, . . | ; - * .

Теорема 2.1.1. Пусть a(t),b{t), f(t) ё На, h(t,r) е #<,,«, и ура некие (1) имеет решение х (t) G На, 0 < а < 1. Тогда при гак

•значениях Ь . что выполнены условия

и, +- --1»

-+

-Л,

Л[ + Ло 1ч

гло Л| н Л :> - вполне определенные константы, зависящие от функций />(() н /|(/.т), система уравнений (2) имеет единственное решение

I ^ '

и справедлива опенка ||.г* - г'п || < Лу^'-. В !) 2 строятся две вычислительные схемы для приближенного решения уравнений вида

! 1 * а(1)х(1) + / + ( Цит)<1т - /(0. -1 < < < 1, (3)

7Г \ Т — I \

где '¡"(0 — />-(/) может обращаться в нуль на многообразиях с мерой большей нуля.

Первая вычислительная схема имеет вид:

А'угу н

2 ЫЬ л'-! 1

7Г.У

(■4)

где /Д — оператор проектирования ни множество кусочно-постоянных функций по переменной I, = -1 + 2к/Л\ к = 0,1,..., Л' I) 1'к = + к = 0,1,..., Л'- 1, (0 < Л < 1/Лг). Проектирование проводится

Л'-1

по формуле адо = £

*.-=< I

Вторая вычислительная схема имеет вид

/7 *('!)

' т \! -г ¿1

+

, т - *} ) п *=«• = /(/;)■. ; ^ 1,2,271-3)2/1-2;

1

т V, г "

Т " I П ^ = /(*;)> 7 = 1;

V,, т V ' V

2'-3, / Л , I2'"1

+

к

*=« и Т~1> Г~1> )• " *=»

= /(/;); ¿=2;

1 ° / * г1) л Г т.\1к

/2„-2 ^ ~ '} 1 П

. = /(«;), ^ = 2п -

1 2п—1

. +- Е = /(<;). 3 - 2п - з, (г

п к=О

где узлы ¿ц; = -1 + к — 0,..., 2п, <* = I, + Л, / = 1, 2,..., п - :

Теорема 2.2.1. Пусть уравнение (3) имеет решение х*(«)5 Яз.ОС/З <1. '

Тогда существуют такие // и Л", что система уравнений, описываемая операторным уравнением (1). имеет единственное решение х\>(().

Теорема 2.2.2. Пусть «(/)./»(/),/(/) € //,., /i{i.r) С //„,,, и уравнение (;{) ггмеет решение r'(f) <Е //„ , 0 < о < 1. Тогда при таких значениях h , что выполняются условия

я. -+ - In --7— + > Л4 In п 4- Л5, л* /г п

где Л Дг,-вполне оперделенные константы, зависящие от функций b(t) и h(t.T). система уравнений (5) имеет единственное решение

jt* (i) и справедлива опенка ||r'(i) - x*(i)ll S

Параграф 3 посвящен построению численных методов приниженного решения G. и .у. следующей) вида

2w д _' '

a(.s,, .s2)jr(,s|, .s2) + 6(sb.s2 .■42)«tg—-—dcr,+

2т

2

-Ьс(.ч,,я2) J j(.si,eT2)ctg 2 2 2do2+

o

2т 2т

+rf(.s,,.s 2)/У j(g),g2)ctgg' 51 ctg*72 '82tfgirfga = /(s],s2), (6)

0 11

где <i(/b'„О • d(t\, f 2) могут обращаться в нуль на

множествах меры большей нуля. Приближенное решение ищется в виде полинома, коэффициенты которого определяются из системы

2п-1

«'-1 у g2 — ih

+r(v;.r') z f ctg-i-r--¿<¡03+

+«/(■•>;) £ E f j ctg-1—-^x

I -II С л 1.1 I ♦ 1 /- (I J/j-- 1 J.J+1 r4 I'I

СТ2 ~ I'* 'г' '/ П\ — Г* (Тч — г"

X —<1оХ(1а-, + г (<;,*, (■;) I I (-»к - -

^ г, г,

= /(¿^ = О, 1-----2» - 1, (7)

где узлы и совпадают с узлами ^ и /Дописанными в § 1.

Теорема 2.3.1. Пусть а(/1.*2), &(/,,/2), с(/ь/.2). //,,„ , и уравнение (С) имеет решение 1,Ь) € //,, ,,. О < а < 1. Тогда при выполнении условий

вш (г?--!) ЬП1 —

а1} + 2 Ъц 1п —+ 2 су 1;. —+

БШ £ Ы11 ^

+ 4</,, 1п —> .471И2П,

I

где Л; - вполне определенная константа, зависящая только от функции 72), существуют такие значения к', что система уравнений (7) имеет единственное решение £*(<], £■.>) и справедлива оценка

Пх" — 1*11 < Ая

1п5п

п

В § 4 строится вычислительная схема для б.и.у. в исключительных случаях на отрезках следующего вида

Д П - ^ ±х Т2 - £2

■ ищмЦ = (8)

Вычислительная схема метола механических квадратур строится по узлам 1'к и , совпадающим с узлами и вычислительной схемы (5) параграфа 2, и для ^ ф 1,2,2к — 3,2п - 2 имеет вид

а^'Мг^р + Ц^г.;)

!>{ Г1 -г'*

2/1-3

..Т. /

1'к 1 « г 1 1

A--a.it/i-l.n-l

+ ''Л

7^11

Г, - Г*

/

</т2 +

2л-3

7^1 1

г ат2

+

+ /

-""С'-,*--г)

<1т.

Е *(«•>;) / —

/ 1 /г, - .•*

2г.-3 'V

т, - г, ^ Ъ ~ 1

(1т2 +

Г С, , ('.;

+

Е / -^Ч

л Т| — г?

+

/

•К' М'2п-2 г2 - с *

- I'. 1

''3-.-2

т\ - V,- ц -

+ / / г-

= /(«,';«;),^ 1,2,2п — 3,2п — 2.

(9) .

Теорема 2.4.1. Пусть п((ь«2). с(<ьЫ, €

Н<г.а, « уравнение (8) имеет решение £ Я0.«, О < а < 1' Тог-

да существуют такие значения /г, что система уравнений (9) имеет единственное решение -т*(<ь Ы и справедлива оценка ||х* - х*|| <

< 1п' п

Да-пг •

71

В § 5-7 рассматривается приближенное решение следующих с.и.у.

1 х(т)(1т

7Г/ Г — £

- V

Т( л Л - лт

Г2 - <2

(10) (11)

77(—Ц---Ц-)х(г,,Ы(/г^гг=/(/„/г). (12)

\Г, - <, т2 - t-l)

Для этих уравнений строятся вычислительны«' схемы, подобные соответствующим схемам для с.и.у. и б.и.у. на отрезках.

Схема приближенного {кчнения уравнения (10) строится по узлам

Vk = -л + к = 0,..., 2п. v'j = с, + /), j = 1,2,... - 1, (•; =

+ i — Л, j = п,п + 1.... ,2л - 2, 0 < h < где Л - достаточно большое положительное? число. и имеет вид

1

ш

л

In, Т '</ 1 т - I,,

+

fir

= /К), = 3.....2» -4.

(13)

При ~ 1,2,2п — 3,2и — 2 уравнения системы имеют аналогичный вид.

Вычислительная схема приближенного решения уравнения (11) строится по тем же узлам, что и вычислительная схема (13), и имеет вид

'^.ур , "Г

_1

7П

/ -■■.-\dri+ £ ■r(4t>i;J / -—

- U," k = 2,k^<j-l.<1*-l vk T\ - vq

+ / fi^ildTl + 7^1dT2+ '

. T1 - l7 ,(, - V]

+

2n-3 .

+ £ '-/ -Ч~~г-(1т2

= Я,] =3,...,2п-Л. (14)

При <},; = 1,2,2п — 3,2га — 2 уравнения системы имеют аналогичный вид. Справедливы следующие теоремы:

Теорема 2.5.1. Пусть /(<) 6 //„ , и уравнение (10) имеет решение х'(1) £ На , 0 < а < 1. Тогда существуют такие значения И , что система уравнении (13) имеет единственное решение -¡',* (<) и справедлива оценка ))аг*(£> - зс*< ААш^тг1.

Теорема 2.6.2. Пусть /(/ь /_>) £ #„.<>• и уравнение (11) имеет решение 6 //„.„, О < а < 1. Тогда существуют такие значения

b, что система уравнений (11) имеет единственное решение х*(<1,<2)

и справедлива оценка ||х* — < АЛп аП .

В ^ 8 строится численный метод приближенного решения системы

c.и.у. п исключительных случаях следующего вида

"' 1 "' г Г (г)

£ Л„„(ф'Л0+ - £ ЯрЛО / = Ш, -кк 1,р= 1,...,т.

1=1 Я" 7" — I

(15)

Вычислительная схема строится по узлам и Гк, совпадающим с узлами вычислительной схемы (5), описанной в § 2, и имеет вид

+ : е ад;)

п \/„ г - Ч к=2 г, ; + / Л-) = /„(<•), ; ^ 1,2,2п — 3,2га - 2. (16)

'г,.-2 Г -> /

При остальных значениях j уравнения имееют подобный вид. Теорема 2.8.1. Пусть функции Лрт(<), Бр„((), /р(() € Яа , р, и = 1.....ш, н система (15) при правой части = (}\,...,}т) имеет решение ) € #„, 0 < а < 1. Тогда если /» такое, что выполняются условия

/I

(пг - 1)Л12 + тЛ^ 1п п,

где .412, Л ¡а - вполне определенные колстанты, зависящие от функций Л;л,(£),. Врт(£), то система уравнений (16), описывающая вычислительную схему приближенного решения системы (15), имеет единст-

1 з

венное решение х*(;), и справедлива оценка ||х*. — ж*|| < Лцтп "^а •

В § 9 приводится алгоритм приближенного решения системы с.и.у., решаемой в теории кавитирующего крыла.

В § 10 предлагается вычислительная схема приближенного решения нелинейных с.и.у. в исключительных случаях следующего нида

2*

-+/Л(в,<г,аг(<г))<йг = /(»). (17)

и

Обозначим через К' производную Фреше оператора К в пространстве Нц, 0 < 0 < 1. Тогда

' , ч Ь'Лв, в,а,о(в))./2* а - в 1 г^т ,

^ хо = д(а) + " 27г Л/0 с ^

Будем предполагать, что функция п2(.ч) — г„(.ч))- может обра-

щаться в нуль на множествах с мерой, большей нуля.

К уравнению (17) применяется метод механических квадратур. Получившаяся в результате система нелинейных алгебраических уравнений

1 2г.-1 «г - а*

■+-е'м®;,«г,*(»*)) = /(«;). = о,...,2п-1, • ,(18)

п к=О

где узлы яд; и совпадают с узлами вычислительной схемы (2), решается методом Ньютона - Канторовича

гт+1 = хт-[А-'(хо)]"'А'(гт), т = 0,1,2,... . (19)

с начальным приближением х».

Теорема 2.10.1. Пусть функции а(я),/(в) € #„, €

Я„,„.п и уравнение (17) имеет единственное решение х*(а) £ //,,, 0 < а < 1. Тогда при таких значениях Л, что выполнены условия

а, + — 1п

7Г

+

кк

л

81П

> Д15 + Л161пп,

где A ir, и Л к, - вполне определенные константы, зависящие от функций r0((7)), l)'1(.4,<7,.r(1(ri))1 система уравнений (19) на каждом шаге итерационного процесса имеет единственное |х>шенне, а итерационный процесс метола Ныотона - Канторовича сходится к точному решению уравнения (17) и справедлива оценка

,, . ,, .4)7 Inn (1т _

Параграф 11 иосияшеп построению вычислительной схемы приближенного решения двумерных с.и.у. с интегралами Адамара следующего вида

«('МО + /J(ü}^x(r)dT = f(t), ' (20)'

где / = /2), р > 2, а в качестве области-D берется плоскость.

Теорема 2.11.1. Пусть a(ti, t2), h(tly t2) £ #„,<», Л(*ь <2, t{, r2) £ Я,,.,,.,,.,, . it уравнение (20) имеет решение x'(t). Тогда если выбрать параметр h так, чтобы выполнялись неравенства

> ¿18

АР- 2'

где Ли - вполне определенная константа, зависящая от функции Л((,т), а узлы совпадают с узлами вычислительной схемы (5), то система. описывающая вычислительную схему приближенного решения уравнения (20), будет иметь единственное решение.

Третья глава посвящена приближенному решению задачи аналитического продолжения на плоскости и в пространстве.

В § 1 строятся приближенные методы решения задачи аналитического продолжения на плоскости, основанные на методах с.и.у.

Пусть на комплексной плоскости дана область С7, ограниченная замкнутой кривой Ь. Пусть С С С]. Пусть в области С?1 задана аналитическая функция х( ~), значения которой известны только в области (7. Требуется распространить х(г) из области б на 61.

Метод, основанный на приближенном решении с.и.у., состоит в следующем. Для простоты будем рассматривать в качестве контура Ь единичную окружность на комплексной плоскости, которую

Обозначим через 70. Сначала будем искать приближенные значения х(:) на контуре 71, который представляет собой окружность радиуса 14/1, используя значения функции на единичной окружности.

Для этого нужно решить следующее уравнение:

2яг т —I

Зная значения функции на 71, можно найти г(л) на ->;> радиуса 1+21), и т. д. по формулам

1 2/""-г((1 4- Ь.(1 4- 1))е'")(1 + /)(/ 4- 1))с|<7 , ,.)П

Ъг[ (1 + Ц1+ 1))г- -^ЫУ7^"'7 } }■ {П)

Выберем узлы 4 = (И-*=0,...,2п; / = 0,1..... = ^ ■

Решение уравнения (21) для каждого I = 0,1,... будем искать в виде

полинома х„((1 + 4 1))е") = Е где (0 фун-

*=о

даментальный многочлен. Значения х„(/1) определятся из системы линейных алгебраических уравнений следующего вида

1 г(441)(1 +Ь(!+ !))<>"'

2п 4- 1 (1 + Щ + -(14- А/)г"' +

2п + 1 (1 + Л(/ + 1))см* - (1 4- Л/)«"-"

+ 2п + 1 (1 + 4 - (1 + Л/)е»' 1

к — 0,... ,2п. (22)

Предлагается также итерационная регуляризация описанной вычислительной схемы.

В § 2 излагается сеточный метод, заключающийся в разностной аппроксимации двумя различными способами вторых частных производных функции в точках области, где известны ее значения, п в восстановлении функции во всей области <7|.

1С

В § 3 строится приближенный метод решения задачи продолжения гармонических функций в пространстве, основанный на применении многомерных интегралов типа Коши.

Пусть дана какая-то замкнутая поверхность 5, и пусть в области I) С О' I ограниченной поверхностью 5 задана гармоническая функция <? ~ ¡01 у, :) + ]ф>(т,ц,г) + кфз(х, у, г), причем существует такая вещественная потенциальная функция II (ДС/ = 0), что £пм1 Сг — О - Требуется найти приближенные значения функции ф во всей области V.

Выберем в области О' замкнутую поверхность 51, ограничивающую область . такую что О С П\. Рассмотрим уравнение

ilk

[п ■ ¿>(r))grad -—-—г + [п х ¿(г)] х grad ;—-—;

ds

(23)

ф{г\), п 6

о п ее йг. ,

Здесь г = (х, у, г) £ 5ь П = (^ь Уъ 21) € 5, п~ вектор нормали к поверхности 5]. Для решения поставленной задачи будем использовать метод коллокашш. Выберем две системы узлов г* и Гц, к = 1,..., ТУ3. Решение будем искать в виде полинома

<t>m{*,y,z) = Е ЕЕ Фт(хк,Уи2])фк(х)ф{(у)^(г),ТП = 1,2,3,

Jt=l.=lj=l

где f, ► г -ый фундаментальный полином Лагранжа, фт(хк,JA, z}) найдем in следующей системы линейных алгебраических уравнений

1 л-3 "rfi

(п • О (г к)) grad

1

t[»x Ф(гк)] х grad

1

Int - rw|_

As* =

-

= ФЫ, k,j = 1,..JV3, (24)

где As к - площадь к— го сегмс'нта поверхности 5]. Аналогично по значениям функции О на поверхности S\ найдем значения функции на поверхности S2, ограничивающей область Di Э D\. Продолжая процесс по указанному алгоритму, восстановил! функцию во всей области D'.

В § 3 построен и обоснован алгоритм приближенного решения задачи аналитческого продолжения в случае, когда в качестве поверхности 5 берется сфера с центром в начале координат. Предлагается также итерационная регуляризация описанной вычислительной схе-. мы.

В приложение приведены модельные примеры и листинги программ приближенного решения с.и.у., б.и.у. в исключительных^ случаях на замкнутых контурах; систем с.и.у. в исключительных случаях на отрезках; нелинейных с.и.у. в исключительных случаях на замкнутом контуре; задачи аналитического продолжения на плоскости и в пространстве.

Выводы. В работе построены и обоснованы численные методы решенля ряда классов с.и.у, с интегралами типа Кошн и Адамара. у которых условие i-.ормалышсти нарушается на множествах с .мерой большей нуля. В частности, предложены и обоснованы приближенные методы решения следующих типов с.и.у.:

- линейные уравнения с интегралами типа Кошн на отрезках, замкнутых контурах и бесконечных прямых;

- бисингулярные уравнения с интегралами типа Коши на отрезках, замкнутых контурах в бесконечных прямых;

- нелинейные уравнения с интегралами типа Коши на замкнутых контурах;

- системы уравнений с интегралами типа Коши на отрезках;

- многомерные уравнения с интегралами Адамара;

Построены и обоснованы численные методы приближенного решения задачи аналитического продолжения на плоскости и в пространстве.

ОПУБЛИКОВАННЫЕ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Бойков И.В., Кудряшова Н.Ю. Об одном приближенном методе решения сингулярных интегральных уравнений в исключительных случаях // Вопросы мат. анализа: Сб. научных статей. Вып. 2. - Красноярск: Изд-во КГТУ, 1997, с. 3-11.

' 2. Бойков И.В., Куяряш'ова Н.Ю. Метод сингулярных интегральных уравнений в задачах аналитического продолжения в простран-

сгве // Геофишка u математика. Материалы 1-й Всероссийской конференции. - Москва, ОИФЗ РАН, 1999, с. 21-24.

.'5. Бойков И.В., Кудряшова Н.Ю. Метод сингулярных интегральных уравнений в задачах аналитического продолжения в пространстве // Проблемы технического управления з региональной энергетике: Сб. трудов по материалам научно-технической конференции. - Пенза: Изд-во ПТИ. 19!)!). - с. 120-128.

1. Бойков И.13., Кудряшова Я.10. Применение интегральных уравнений с интегралами типа ]\ошн для продолжения потенциальных нолей // Кубатурные фо!).мулы и их приложения: Тез. докладов V Международного гсмпиара-совешання. - Красноярск: КГТУ, 1999, с. 5-6. '

5. Бойков И.В., Крючкова O.A., Кудряшова Н.Ю., Монко Н.В. Оптимальные методы вычисления интегралов типа Коши // Кубатурные формулы и нх приложения: Тез. докладов V Международного семинара-совещания. - Красноярск: КГТУ, 1999, с. 6.

6. Бойков И.В., Кудряшова Н.Ю. Методы решения сингулярных интегральных уравнений в исключительных случаях // Математика в вузе. Современные интеллектуальные технологии: Материалы международной научно-методической конференции. - Великий Новгород: Изд-во ИГУ. 2000, с. 235-236.

7. Бойков И,В., Кудряшова Н.Ю. Метод сингулярных интегральных уравнений в задачах аналитического продолжения. - Киев. - Геофизический журнал. - Т. 22, N 1, 2000.

8. Бойков И.В., Кудряшова Н.Ю. Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнении в исключительных случаях.-Диффсренциальные уравнения. - N 9, 2000 г.

9. Кудряшова НЛО. Приближенное решение задачи аналитического продолжения с гдо.мошью разностных методой. - Пенза, 2000. - 8 с.-Библиографи* 11 назв. - Рус. - Дёп. в ВИНИТИ 31.10.00, N 2743-ВОО.

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОБЗОР ПРИБЛИЖЕННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ

СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

1 Вспомогательные утверждения

ГЛАВА 2. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ

СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В ИСКЛЮЧИТЕЛЬНЫХ СЛУЧАЯХ

1 Уравнения на замкнутых контурах

1.1 Постановка задачи

1.2 Вычислительная схема

1.3 Доказательство однозначной разрешимости приближенного уравнения

1.4 Оценка близости решений

2 Уравнения на отрезках

2.1 Постановка задачи

2.2 Первая вычислительная схема

2.3 Доказательство однозначной разрешимости

2.4 Вторая вычислительная схема

2.5 Доказательство однозначной разрешимости

2.6 Близость решений

3 Бисингулярные уравнения на замкнутых контурах

3.1 Постановка задачи

3.2 Вычислительная схема

3.3 Доказательство однозначной разрешимости приближенного уравнения

3.4 Близость решений

4 Бисингулярные уравнения на отрезках

4.1 Постановка задачи

4.2 Вычислительная схема

4.3 Доказательство однозначной разрешимости

4.4 Близость решений

5 Уравнения на бесконечной прямой

5.1 Постановка задачи

5.2 Первая вычислительная схема

5.3 Доказательство однозначной разрешимости

5.4 Вторая вычислительная схема

5.5 оказательство однозначной разрешимости

5.6 Близость решений

6 Уравнения на двух бесконечных прямых

6.1 Постановка задачи

6.2 Первая вычислительная схема

6.3 Доказательство однозначной разрешимости

6.4 Вторая вычислительная схема

6.5 Доказательство однозначной разрешимости

6.6 Близость решений

7 Бисингулярные уравнения на бесконечных прямых

7.1 Постановка задачи

7.2 Первая вычислительная схема

7.3 Доказательство однозначной разрешимости

7.4 Вторая вычислительная схема

7.5 Доказательство однозначной разрешимости

7.6 Близость решений

8 Системы уравнении

8.1 Постановка задачи

8.2 Вычислительная схема

8.3 Доказательство однозначной разрешимости

8.4 Близость решений

9 Приближенное решение системы сингулярных интегральных уравнений, используемой в теории кавитирующего крыла

9.1 Постановка задачи

9.2 Вычислительная схема

9.3 Обоснование однозначной разрешимости

10 Нелинейные уравнения

10.1 Постановка задачи

10.2 Вычислительная схема

10.3 Доказательство однозначной разрешимости

10.4 Близость решений

11 Многомерные уравнения с интегралами Адамара

11.1 Постановка задачи

11.2 Вычислительная схема

11.3 Доказательство однозначной разрешимости

ГЛАВА 3. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ

1 Метод сингулярных интегральных уравнений для задачи аналитического продолжения на плоскости

1.1 Постановка задачи

1.2 Вычислительная схема

1.3 Доказательство однозначной разрешимости

1.4 Погрешность квадратурной формулы

1.5 Итерационная регуляризация

1.6 Замечания

2 Сеточный метод

3 Продолжение гармонических функций

3.1 Постановка задачи

3.2 Вычислительная схема

2.3 Погрешность квадратурной формулы 110 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 113 ПРИЛОЖЕНИЕ

При решении многих задач теории упругости, физики, аэродинамики, гравиметрии, теории оболочек, электродинамики и др. приходится сталкиваться с сингулярными интегральными уравнениями (с.и.у.) [41,42,43,62] В связи с тем, что точные решения известны только для очень немногих классов с.и.у., возникает необходимость в разработке численных методов решения сингулярных интегральных уравнений. Приближенным методам вычисления сингулярных интегралов и решения сингулярных интегральных уравнений посвящены многочисленные работы, среди которых в первую очередь следует указать на монографии [31,42,54,60,61].

Начиная с тридцатых годов нашего столетия численные методы решения с.и.у. стали активно развивающимся напралением вычислительной математики.

Фундаментальный вклад в становление и развитие приближенных методов решения с.и.у. внесли такие ученые как Бабаев А.А, Белоцерковс-кий С.М., Бойков И.В., Гохберг И.Ц., Джишкариани A.B., Иванов В.В., Каландия А.И., Лаврентьев М.А., Лаврентьев М.М., Лифанов И.К., Маль-сагов С.М., Шешко М.А., Аткинсон К.Е., Голберг М., Иоакимидис Н., Пресдорф 3., Шмидт Г. и многие другие.

В диссертации строятся и обосновываются вычислительные схемы приближенного решения с.и.у. в исключительных случаях, а также предлагается несколько численных методов приближенного решения задачи аналитического продолжения на плоскости и в пространстве.

Диссертация состоит из введения, трех глав и приложения.

1. Бабаев A.A., Садырханов P.C. Об одном квадратурном процессе для особого интеграла и его приложении. - ДАН СССР, 1974, т.214, N 4, с.743-746.

2. Бабаев A.A., Мальсагов С.М., Салаев В.В. Обоснование метода квадратур для нелинейных сингулярных интегральных уравнений с ядром Гильберта // Уч. зап. Азерб. ун-та. Сер. физ.-мат. наук. -1971. N 1. - С. 13-33.

3. Белоцерковский С.М. Тонкая несущая поверхность в дозвуковом потоке газа. М.: Наука, 1965. - 244 с.

4. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Некоторые сингулярные интегральные уравнения аэродинамики. Дифференциальные уравнения, 1981, т.17, N 9, с.1539-1547.

5. Белоцерковский С. М., Лифанов И. К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. М.: Наука, 1985, - 256с.

6. Бойков И.В. Об одном исключительном случае сингулярных интегральных уравнений.//Применение вычислительных методов в научно-технических исследованиях. Пенза:Издательство Пенз. политехи, ин-та, 1984, с.3-11.

7. Бойков И. В. Оптимальные по точности алгоритмы вычисления сингулярных интегралов. Саратов.: Изд-во Сарат. гос. ун-та, 1983, - 210с.

8. Бойков И.В. Оптимальные методы вычислений в задачах автоматического регулирования. Пенза: ППИ, 1983. - 96 с.

9. Бойков И.В. Пассивные и адаптивные алгоритмы приближенного вычисления сингулярных интегралов. Часть 1. Пенза: Изд-во Пенз. гос. техн. ун-та, 1995. - 214 с.

10. Бойков И.В. Пассивные и адаптивные алгоритмы приближенного вычисления сингулярных интегралов. Часть 2. Пенза: Изд-во Пенз. гос. техн. ун-та, 1995. -128 с.

11. Бойков И.В., Добрынина Н.Ф., Домнин Л.Н. Приближенные методы вычисления интегралов Адамара и решения гиперсингулярных интегральных уравнений. Пенза: Изд-во Пенз. гос. техн. ун-та, 1996. - 188 с.

12. Бойков И.В., Кудряшова Н.Ю. Об одном приближенном методе решения сингулярных интегральных уравнений в исключительных случаях // Вопросы мат. анализа: Сб. научных статей. Вып. 2. Красноярск: Изд-во КГТУ, 1997, с. 3-11.

13. Бойков И.В., Кудряшова Н.Ю. Метод сингулярных интегральных уравнений в задачах аналитического продолжения в пространстве // Геофизика и математика. Материалы 1-й Всероссийской конференции. Москва, ОИФЗ РАН, 1999, с. 21-24.

14. Бойков И.В., Кудряшова Н.Ю. Применение интегральных уравнений с интегралами типа Коши для продолжения потенциальных полей // Кубатурные формулы и их приложения: Тез. докладов V Международного семинара-совещания. Красноярск: КГТУ, 1999, с. 5-6.

15. Бойков И.В., Крючкова О.А., Кудряшова Н.Ю., Мойко Н.В. Оптимальные методы вычисления интегралов типа Коши // Кубатурные формулы и их приложения: Тез. докладов V Международного семинара-совещания. Красноярск: КГТУ, 1999, с. 6.

16. Бойков И.В., Кудряшова Н.Ю. Метод сингулярных интегральных уравнений в задачах аналитического продолжения. Киев. - Геофизический журнал. - Т. 22, N 1, 2000.

17. Бойков И.В., Кудряшова Н.Ю. Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений в исключительных случаях. Дифференциальные уравнения. - N 9, 2000.

18. Бойков И. В., Жечев И. И. Приближенное решение сингулярных интегро-дифференциальных уравнений. В кн.: Сб. асп. раб. Точные науки. - Казань: Изд-во Каз. гос. ун-та, 1972, с. 169-174.

19. Бойков И.В., Жечев И.И. Приближенное решение сингулярных интегро-дифференциальных уравнений на замкнутых контурах интегрирования // Исследования по прикладной математике. Казань: Изд-во КГУ, 1973. - Вып. 2. - С. 3-17.

20. Бойков И.В., Жечев И.И. Приближенное решение сингулярных интегро-дифференциальных уравнений на разомкнутых контурах интегрирования / / Приложение функционального анализа к приближенным вычислениям. Казань: Изд-во КГУ, 1974. - С. 21-28.

21. Бойков И. В., Жечев И. И. К приближенному решению сингулярных интегро-дифференциальных уравнений I (линейные уравнения). -Дифференциальные уравнения, 1973, т. 9, N 8, с. 1493-1502.

22. Бойков И. В., Жечев И. И. К приближенному решению сингулярных интегро-дифференциальных уравнений II (нелинейные уравнения). -Дифференциальные уравнения, 1975, т. 11, N 3, с. 562-571.

23. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи. М.: Наука, 1970. - 380 с.

24. Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных перменных. М: Наука, 1964.

25. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.- М.: Наука, 1967, 576 с.

26. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1963, 640 с.

27. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М.: Наука, 1978. - 296 с.

28. Гохберг И.Ц., Фельдман И.А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. М.: Наука, 1971. - 352 с.

29. Гравиразведка // Под редакцией Е. А. Мудрецовой, М: Наука, 1981. 397 с.

30. Джишкариани A.B. К решению сингулярных интегральных уравнений коллокационными методами // ЖВМ и МФ. 1981. - Т. 21, N 2. -С. 355-362.

31. Джишкариани A.B. К решению сингулярных интегральных уравнений приближенными проекционными методами // ЖВМ и МФ. 1979. - Т. 19, N 5. - С. 1149-1161.

32. Жданов М. С. Аналоги интегралов типа Коши в теории геофизических полей. М: Наука, 1984, 328 с.

33. Иванов В.В. О применении метода моментов и смешанного метода к приближенному решению сингулярных интегральных уравнений// ДАН СССР. 1957. - Т. 114, N 5. - С. 945-948.

34. Иванов В.В. Приближенное вычисление сингулярных интегралов//Труды Новочеркас. политехнич. ин-та. 1958. - Т. 67 (81). - С. 75-86.

35. Иванов В.В. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений в случае разомкнутых контуров интегрирования // ДАН СССР. 1956. - Т. 11, N 5. - С. 933-936.

36. Иванов В.В. Методы приближенного решения сингулярных интегральных уравнений. //Математический анализ, 1963 (Итоги науки и техники), М.: ВИНИТИ, 1965, с. 125-177.

37. Иванов В.В. Приложение теории краевых задач и сингулярных интегральных уравнений в теории автоматического управления. Дифференциальные уравнения, 1965, т.1, N 8, с.1099-1107.

38. Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. Киев: Наукова думка, 1968. - 287 с.

39. Каландия А.И. О приближенном решении одного класса сингулярных интегральных уравнений // ДАН СССР. 1959. - Т. 125, N 4. - С. 715-718.

40. Канторович JI. В., Акилов Г. П. Функцианальный анализ. М: Наука, 1984, 750 с.

41. Коган Х.М. Об одном интегро-дифференциальном уравнении. -Дифференциальные уравнения, 1967, т.З, N 2, с.278-293.

42. Кудряшова Н.Ю. Приближенное решение задачи аналитического продолжения с помощью разностных методов. Пенза, 2000. - 8 с. - Библ. И назв. - Рус. - Деп в ВИНИТИ 31.10.00, N 2743-ВО.

43. Лаврентьев М. А. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы. В кн.: Труды ГАЦИ, 1932, т. 118 с. 3-56.

44. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Физматгиз, 1958.

45. Лаврентьев М.М. Об одном классе сингулярных интегральных уравнений. //УМН. 1979, Т.34, N 2, с.143.

46. Лаврентьев М.М. Об одном классе сингулярных интегральных уравнений. //Сиб. мат. журн.,1980, Т.21, N 3, с.225-228.

47. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатских С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа М: Наука, 1980. - 288 с.

48. Лифанов И.К. О сингулярных интегральных уравнениях с одномерными и кратными интегралами типа Коши // ДАН СССР. 1978. -Т. 239, N 2. - С. 265-268.

49. Лифанов И. К. О методе дискретных вихрей. //Прикладная математика и механика. 1979, - т. 43, N 1, - с. 184-188.

50. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент Москва: ТОО "Янус", - 1995. - 520 с.

51. Лифанов И.К., Полонский Я.Е. Обоснование численного метода "дискретных вихрей" решения сингулярных интегральных уравнений // Прикладная математика и механика. 1975. - Т. 39, N 4. - С. 742-746.

52. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965, 520 с.

53. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962. - 254 с.

54. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения.-М.: Наука, 1968, 512 с.

55. Обломская Л. Я. О методах последовательных приближений для линейных уравнений в банаховых пространствах // ЖВМ и МФ, 1968. -Т. 8, N 2. с. 417-426.

56. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. М: Мир, 1979. - 494 с.

57. Пыхтеев Г.Н. Приближенные методы вычисления интегралов типа Коши специального вида. Новосибирск: Сиб. отделение: Наука, 1982. -128 с.

58. Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления. М.: Физматгиз, 1960.

59. Старостенко В. И., Кислинская O.A. Интеграл Шварца для полосы и его приложения в геофизике // Доклады Академии Наук Украины, 1993, N 10, с. 126-129

60. Страхов В. Н. К теории плоской обратной задачи магнитного потенциала при переменной намагниченности // Изв. АН СССР. Физика Земли, 1970, N 3, с. 44-58

61. Страхов В. Н. Некоторые вопросы плоской обратной задачи магнитного потенциала // Изв. АН СССР, 1970, N 9, с. 31-41

62. Страхов В. Н. Некоторые вопросы плоской задачи гравиметрии // Изв. АН СССР. Физика Земли, 1970, N 12, с. 32-44

63. Фукс Б. А. Теория аналитических функций многих комплексных переменных. М: Физматгиз, 1962.

64. Хачай О. А., Цирульский А. В. Об интерпретации повысотных аэромагнитных наблюдений // Изв. АН СССР. Физика Земли, 1988, N 12, с. 47-56

65. Цирульский А. В. О связи задачи аналитического продолжения логарифмического потенциала с проблемой определения границ возмущающей области //Изв. АН СССР, серия геофиз., 1964, N 11, с. 1646-1693

66. Чибриков JI.И. Основные граничные задачи для аналитических функций. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1977. - 302 с.

67. Шешко М.А. О методах приближенного решения сингулярных интегральных уравнений. Докл. АН БССР, 1977, т.21, N 12, с.1067-1069.

68. Шешко М.А. К численному решению сингулярных интегральных уравнений первого рода // Дифференциальные уравнения. 1977. - Т. 13, N 8. - С. 1493-1502.

69. Шешко М.А. Двухмерные сингулярные интегральные уравнения первого рода с ядрами Коши. Дифференциальные уравнения, 1981, т.17, N 8, с. 1518-1521.

70. Шешко М.А. К численному решению сингулярных интегральных уравнений в случае разомкнутого контура // Изв. АН БССР. Сер. физ.- мат. наук. 1975. - N 1. - С. 29-36.

71. Шокамолов И. О приближенном вычислении повторных интегралов, содержащих интеграл типа Коши или сингулярный интеграл специального вида // Изв. АН Тадж. ССР. Отд. физ.-мат. и геол.-хим. н. 1978.- N 2. С. 8-15.

72. Atkinson К.Е. The Numerical Evaluation of the Cauchy Transform on Simple Closed Curves // Society for Industrial and Applied Mathematics. -Journal on Numerical Analysis. 1972, - V. 9. - P. 284-299.

73. Delves L.M., Abd Elal L.F., Hengry J.A. A fast Galerkin algoritm for singular integral equations // JIMA. - 1979. - V. 23. - P. 139-166.

74. Ehskoq D. Acta Math., Z. Journ., 1930.

75. Elliot D. The Approximate Solution of Singular Integral Equations // Solution Methods for Integral Equations. Theory and Applications. - 1979.- P. 83-107.

76. Golberg M.A. Galerkins Method for Operator Equations with Nonnegatie Index With Application to Cauchy Singular Integral Equations //J. Math. Anal, and Appl. - 1983. - N 91. - P. 394-409.

77. Golberg M.A., Lea M., Miel G. A Superconvergence Result For the Generalized Airfoil Equation with Application to the Flap Problem // Journal of Integral Equations. 1982. - V. 5, N 2. - P. 175-186.

78. Ioakimidis N.I. On the Natural Interpolation Formula for Cauchy Type Singular Integral Equations of the First Kind. Computing, 1981, N 26, p. 73-77.

79. Ioakimidis N.I., Theocaris P.S. A Remark on the Lobatto Chebyshev method for the solution of singular integral equations and the evaluation of stress intensity factors. - Сердика Бълг. Мат. списание, 1980, т. 6, N 4, с. 384-390.

80. Ioakimidis N.I., Theocaris P.S. On convergence of two direct methods for solution of Cauchy type singular integral equations of the first kind. BIT, 1980, N 2, p. 83-87.

81. Jen E., Srivastav R.P. Cubic splines and approximate solution of singular integral equations. Math. Comp., 1981, v. 37, N 156, p. 417-423.

82. Junghanns P. Kollokationverfahren zur naherungsweisen Losung singular Integralgleichungen mit unstetegen Koeffizienten. Math. Nachr., 1981, v. 102, p. 17-24.

83. Michlin S.G., Prossdorf S. Singulare Integraloperatoren. Berlin, Acad. - Verl., 1980, 514 s.

84. Prossdorf S. Approximation Methods for Solving Singular Integral Equations. Berlin, 1981, Preprint, P. - Math -12/81.

85. Prossdorf S., Shmidt G. A Finite Element Collocation Method for Singular Integral Equations. //Math. Nachr. 1981, - v. 100, - p. 33-60.

86. Shmidt G. On spline collocation for singular integral equations. Preprint. P. Math. - 13/82, Berlin, 1982, 42 p.

87. Theocaris P.S., Ioakimidis N.I. A Method of Numerical Solution of Cauchy Type Singular Integral Equations with Generalized Kernels and Arbitrary Complex Singularities. - J. Comput. Physics, 1979, v. 30, p. 309323.

88. Theqcaris P.S., Kazantzakis J.G. On the Numerical Evaluation of Two and Three - Dimensional Cauchy Principal - Value Integrals. - Acta Mechanica, 1981, N 39, p. 105-115.

89. Tsamasphyros G., Theocoris P.S., Stassinakis C.A. A numerical solution of singular integral equations without using special collocation points. Internat Journal for numerical methods in engineering, 1983, v. 19, p. 421-430.

90. Tsamasphyros G., Theocoris P.S. On the convergence of some quadrature rules for Couchy principal value and finite - part integrals. - Computing, 1983, v. 31, N 2, p. 105-114.