Некоторые интегральные тождества математической физики и их приложения

Кутрунова, Зоя Станиславовна

Некоторые интегральные тождества математической физики и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Кутрунова, Зоя Станиславовна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Тюмень МЕСТО ЗАЩИТЫ

2006 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Некоторые интегральные тождества математической физики и их приложения»

Автореферат диссертации на тему "Некоторые интегральные тождества математической физики и их приложения"

На правах рукописи

Кутрунова Зоя Станиславовна

НЕКОТОРЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТОЖДЕСТВА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ.

Специальность 01.01.02. - Дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тюмень-2006

Работа выполнена в Тюменском государственном архитектурно-строительном университете.

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Кутрунов Владимир Николаевич доктор физико-математических наук, профессор Мысливец Симона Глебовна кандидат физико-математических наук, доцент Вайнштейн Исаак Иосифович

Ведущая организация:

Московский государственный университет

Защита диссертации состоится «05» июля 2006 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета К 212.099.03 в Красноярском государственном университете по адресу 660041, г.Красноярск, пр.Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного университета.

Автореферат разослан « о?/ » илгь&^гть г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

кандидат физико-математических наук

Золотов О.А.

Актуальность. В настоящее время, как в фундаментальных, так и в прикладных вопросах появляется значительный интерес к применению в исследованиях кватернионных функций. Благодаря им, удается получать результаты, которые сложно или нельзя получить другим путем. Используются и более сложные подходы на основе теории функций многих комплексных переменных. В этой связи представленная работа посвящена актуальному вопросу исследования известных, а также построения и исследования новых интегральных тождеств, получающихся в теории кватернионных аналитических функций, теории гармонических функций и теории упругости. На основе кватернионных интегральных представлений Коши и типа Коши стоятся граничные интегральные тождества [Кутру-нов В.Н., 1991], которые применяются для исследования спектров операторов в них входящих. Опираясь на эти результаты, в данной работе получена группа граничных интегральных тождеств для гармонических функций. Используя тождества, новым способом установлено соответствие спектров операторов потенциала двойного слоя и нормальной производной потенциала простого слоя, а также найдены операторы пересчета собственных функций операторов потенциала двойного слоя и нормальной производной потенциала простого слоя. Исследованы спектры композиций операторов потенциала простого слоя и нормальной производной потенциала двойного слоя.

Кватернионные тождества позволяют свести классическую задачу по восстановлению векторного поля по известным ротору и дивергенции к двум граничным сингулярным интегральным уравнениям. В них содержится произвольный постоянный вектор. Из этих уравнений находится не потенциал, как обычно, а непосредственно граничное значение искомой функции. Поэтому представление решения в области не требует операций численного дифференцирования, [Кутрунов В.Н., Курята(Кутрунова З.С.), 1999]. Изучение интегральных уравнений теории упругости (уравнений Ламе) в данной работе начинается с их представления в ква-тернионной форме. Применяя к ним методику решения кватернионного уравнения, построены граничные сингулярные интегральные тождества. Эти тождества связывают на 1ранице дивергенцию и ротор вектора перемещений. В отличие от кватернионного уравнения Лапласа уравнения Ламе удалось проинтегрировать

только один раз. Эти интегральные тождества могут быть полезны при решении задач геофизики и сейсморазведки, [Шваб А.А., 1999].

Перенесение метода интегральных представлений из теории кватернионных аналитических функций позволило нам предложить общий подход к построению граничных интегральных тождеств для гармонических функций и для функций, которые являются решением уравнений Ламе. Отметим, что все рассматриваемые выше уравнения относятся к эллиптическим уравнениям не более чем с постоянными коэффициентами. Фундаментальные решения таких уравнений, используемые для интегральных представлений, известны. Более общее преставление, называемое методом параметрикса, [Тарханов А.Н., 1990,1991], связано с построением параметрикса для эллиптических уравнений с переменными коэффициентами, облипающими определенными свойствами гладкости. В данной работе этот общий подход не используется. Однако в настоящее время он активно развивается, например, в работах [Кытманов A.M., Мысливец С.Г.,1992, 2002, 2005; Шлапунов АЛ., 2001, 2003]. Не используется здесь и интегральное представление Мартинел-ли-Бохнера, так как не используются функции многих комплексных переменных, но применяются кватернионные аналитические функции. В настоящее время приложения интегрального представления Мартинелли-Бохнера представлены, например, в работах цитированных выше авторов.

Цель работы состоит в разработке и применении единого подхода к построению интегральных тождеств в кватернионной теории потенциала, классической теории потенциала и теории упругости. На этой основе ставится задача выявления общих методов для исследования спектров некоторых интегральных операторов и построения новых интегральных уравнений некоторых задач математической физики и теории упругости.

Основные результаты.

1. К новым результатам относится построение граничных сингулярных интегральных тождеств в теории гармонических функций и теории упругости. В основу общего подхода к построению интегральных тождеств положены тождества, вытекающие из теории кватернионных аналитических функций.

2. На основе граничных сингулярных интегральных тождеств предложена схема исследования спектров некоторых операторов в теории потенциала и теории упругости, что позволило повторить некоторые известные результаты, а также получить новые факты, относительно спектра исследуемых операторов и их композиций.

4. Систематическая запись уравнений теории потенциала, теории упругости, теории поля в кватернионной форме привела к единообразному получению новых сингулярных интегральных уравнений для определения роторов и дивергенций искомых функций, а в некоторых случаях и самих искомых функций.

5. На основе разработанных тождеств доказано антикоммутирование кватернионных операторов потенциалов двойного и простого слоев.

Научная значимость диссертации заключается в разработке и применении аппарата теории кватернионных аналитических функций, применительно к построению и явной регуляризации сингулярных интегральных уравнений в теории поля и теории упругости, в исследовании спектра встречающихся здесь сингулярных интегральных операторов. Работа имеет теоретическую значимость.

Достоверность работы. Полученные результаты опираются на известные математические теоремы функционального анализа, теории дифференциальных и интегральных уравнений, а также в частных случаях совпадают с результатами других авторов.

Апробация. Основные положения диссертации и отдельные ее результаты докладывались и обсуждались на следующих конференциях: 1-ой научно-технической конференции ТюмГАСА (г.Тюмень, 1996); Й-ой научно-методической конференции ТюмГАСА, (г.Тюмень, 1997); научно-практической конференции молодых ученых и аспирантов ТюмГАСА, (г.Тюмень, 1998,1999); конференции «Проблемы экологии и энергосбережения в условиях Западной Сибири», (г.Тюмень, 1999); научно-практической конференции, посвященной 30-летию ТюмГАСА, (г.Тюмень, 2000); Международном научном симпозиуме по проблемам механики деформируемых тел, посвященного 90-летию со дня рождения А.А.Ильюшина (г.Москва, МГУ,2001); Международной научной конференции «Число, время, относительность» (г.Москва, МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2004); XXXVI региональной молодежной школе-конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики» (г.Екатеринбург, ИММ УрО РАН, 2005); Межрегиональной конференции, посвященной 30-летию факультета математики и компьютерных наук Тюм-ГУ(г.Тюмень, 2005); Международной конференции «Модернизация образования в условиях глобализации: Круглый стол «Образование через науку и инновации»» (Тюмень, ТюмГУ, 2005); Международный научный симпозиум по проблемам механики деформируемых тел, посвященный 95-летию со дня рождения АА.Ильюшина (1911-1998)(г.Москва, МГУ, 2006).

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в 16 публикациях, из них 2-в издании по списку ВАК, 4 работы в материалах международных и российских конференций. Вклад авторов в совместные публикации отражен в списке публикаций. Список публикаций приведен в конце автореферата. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 142 наименований. Общий объем работы составляет 115 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность темы, изложена цель работы, научная новизна, теоретическая и практическая ценность полученных результатов, представлен обзор работ по теме диссертации.

В первой главе диссертации кратко изложены правила действия с кватернионами, введены кватернионные функции, а также кватернионные аналитические функции. В параграфе 1.1. даны определения кватернионов, кватернионного оператора Гамильтона. Устанавливается связь между операциями над кватернионами и операциями векторного анализа. Введено определение кватернионной и кватер-нионной аналитической функции, а также представлены аналог формулы Остроградского и аналог потенциала двойного слоя. Указаны формулы, которые позволяют записать предельные значения кватернионных функций изнутри или извне области через их значения на границе области.

В параграфе 1.2. на основе интегрального представления кватернионных функций рассматривается представление кватернионных аналитических функций q (то есть кватернионных функций, удовлетворяющих равенству Vq = 0) через их же граничные значения. Введен кватернионный аналог интеграла Гаусса для ку-сочно-ляпуновских поверхностей. Представлены интегралы Коши и типа Коши для кватернионных аналитических функций. Показана их сингулярность. Записаны формулы для предельных значений интегралов Коши и типа Коши, в частности, кватернионный интеграл Коши на границе, в зависимости от изучаемой конечной или бесконечной области, имеет ввд: ±q = = На его основе записано фундаментальное кватернионное тождество кватернионной теории потенциала Агр = tp. Приведены теоремы Бицадзе и Жиро, о принадлежности решений операторного уравнения с оператором А соответствующему классу функций.

Во второй главе представлен единый подход к построению интегральных тождеств. В параграфе 2.1. на основе кватернионных представлений выведены тождества из кватернионной теории потенциала. Приведена пара интегральных преобразований, связанная с оператором A:p = Aq и q = Ар.

Введены четыре векторно-скалярных оператора B,C,F,D, действующих по правилу:

С помощью них тождество А'д = д может быть представлено в виде четырех векторно-скалярных равенств, имеющих широкие приложения в исследовании спектра, а также в построении регуляризаторов сингулярных интегральных уравнений: Я!Ро - РСр0 = р„, - СВрц + Г>Ср0 = 0, ДРр - РЭр = О, - СГр + £>2р = р.

В параграфе 2.2. на основе интегральных представлений функций класса С2 демонстрируется аналогичный предыдущему подход к построению тождеств классической теории потенциала. Такие представления известны для некоторых уравнений эллиптического типа. В представление входят значения функций и их различные производные на границе области. Классическим примером является представление функций класса С2, записанное на основе формул Грина для уравнения Лапласа, для которых можно получить интегральные соотношения, связывающие ее граничные значения и производные. Если исходные интегральные представления можно дифференцировать, то, используя предельный переход на границу, можно получить столько граничных значений производных, сколько их содержалось в исходном интегральном представлении. Использование граничных интегральных равенств по схеме, изложенной в первой главе, приводит к группам интегральных тождеств, включающих в себя значительный произвол. По аналогии вводятся граничные интегральные операторы У,В,С,М :

Два из этих операторов хорошо известны в классической теории потенциала, это операторы V - оператор потенциала простого слоя и оператор В - оператор потенциала двойного слоя. В результате получим следующие тождества верные для достаточно произвольных функций <р и у • От функций <р и у, а также от поверхности Я требуется, чтобы они обеспечивали существование предыдущих сингуляр-

пых и несобственных интегралов. Интегральные тождества для этих функций имеютвид: Уйу/ = у/ = ОУ - МУу/, <р = В2р-УМд>; МВ<р = вМд>.

В параграфе 2.З., на основе интегрального представления решений уравнений теории упругости 5СуМу)=

построены интегральные тождества, для уравнений теории упругости, где /(х) - граничные значения вектора напряжения, а 9(1)- граничные значения вектора перемещения точек упругого тела, занимающего трёхмерную область £>* с границей и(х,у)~ тензор Кельвина-Сомильяна, силовой тензор влияния. Эти тензоры второго ранга имеют следующий вид:

ф(*,>-) =

(I - 2 у)(пг - гп - п • г/)-3гг

где х,у-радиус-векторы точек пространства, г = х-у, пг,т,гг-диадные произведения векторов, / - единичный тензор, у - коэффициент Пуассона, ц - постоянная Ляме (модуль сдвига), 3{у) характеристическая функция области, равна 1, если у ей* и 0, если уеР~. В случае уеЯ равенство является граничным интегральным равенством, верным только если д(х) решение краевой задачи теории упругости. Граничный вектор напряжения /-вычисляется по вектору перемещения q с

помощью оператора напряжений Г„: Т,ч(х) = 2ц—+ Лл(У • д)+//(л х(Ух £))=/(*),

Зг

здесь Л = 2/иу/(1~2у), и-нормаль в точке площадки, на которой вычисляется вектор напряжения. Результат предельного перехода имеет вид:

Равенства удовлетворяются, если функции д(х) и их производные являются граничными значениями решений краевых задач теории упругости. В этом случае

q* (г) = q(z), [Tn q(z)]' = f(z), z<=S. Используем их для получения других тождеств, содержащих произвол. Введем операторы H,K,K',L:

И<р = 2 \<p{x)*U{x,z)dxS; K'<p = 2\<p(x)»<t>(x,z)d ,S

s s

K<p = 2\<t>(z,x)'<p(x)dJIS\ L<p = Jim ^ T^ Jp (x) . Ф (x, .y) dxS

Первый из этих операторов известен как прямое значение обобщенного потенциала простого слоя, второй - прямое значение обобщенного потенциала двойного слоя. Техника получения тождеств громоздка, но аналогична технике получения тождеств для классической теории потенциала. В результате будем иметь тождества, содержащие две произвольные функции <р(х) и полагая их по очереди р&ными нулю, получим известные (Натрошвили Д.Г.,1981) интегральные тождества для интегральных операторов теории упругости:

HK<p = K'H<p-, LII<p = К2<р -<р, HLyr = -у/ + {к'Уу/\ KLy = LK'y.

Полученные тождества относятся к теории упругости только по той причине, что в них содержится произвольная константа, коэффициент Пуассона v. работе показано распадение интеграла, имеющего смысл интеграла Гаусса в теории упругости. Этот интеграл называется обобщённым интегралом Гаусса и в случае ляпуновской поверхности имеет вид:

-/, yeD*

у eS . Так как равенство верно для произвольного коэффици-0, yeD-

ента Пуассона V, то, полагая у = получим следующий вид тензора Ф(х,у): ф(х,у)~ 3 " * г гг, и интеграл Гаусса примет вид, не зависящий от теории упруго-

4* И

/-3 пт , _

TT145"

-ff, yeS . С учётом этого равенства, переходя к пределу 0, yeD'

v —► оо, получим другое независимое от теории упругости равенство:

|—7"л (пг-гп-п» =

-/, у бВ*

. Рассматривая классический интеграл Га-

0, уеО-

усса из теории потенциала, отсюда получим:

44т

Л уеД*

уеЯ , Срав-

0, уей'

нивая это равенство с предыдущим, запишем ещё один не зависящий от теории

. Последний интеграл явля-

упругости интеграл: /—^-5- (пг - гп)<],8 =

О, уеО* О, уеЯ О, вед-

ется сингулярным и непрерывным при переходе переменной у через границу области интегрирования 5. Эти интегралы получены автором данной работы, и применены в параграфе 3.2. для прямого вычисления интегралов интегральных уравнений теории упругости. Заметим также, что последний интеграл имеет содержит в скобках кососимметричную матрицу. Если ее интерпретировать как вектор и записать только ненулевые компоненты подынтегрального выражения, то получим

представление

4тг|г|"

О, у ей* О, уеЯ , О, у ей'

соответствующее векторной части кватернионного интеграла Гаусса.

В параграфе 2.4. описана операция антикоммутирования для кватернион-ных потенциалов простого и двойного слоев и некоторые ее приложения. Она получена на основе предельных свойств кватернионных операторов потенциалов простого и двойного слоев. Уравнение Лапласа Ли » 0 может быть преобразовано в факторизованное кватернионное дифференциальное уравнение VVu - о. Учитывая, что уравнение Лапласа теперь факторизованное, его можно последовательно интегрировать. Интегрирование этого уравнения по кватерни-

онной схеме приводит к следующему решению: УиМ = — Гу^и У«|(х)*<Ю1,,уб О*

Ля ' и

Последние равенства могут рассматриваться на границе области S как уравнения для определения части этих данных по другой известной части. Известная часть граничных данных кватернионов u(z),Vu(z)*(или их комбинация) не должна быть переопределённой, достаточной для существования, по крайней мере, одного решения. Граничные равенства, соответствующие общему решению кватернионного уравнения Лапласа, получаются из последних равенств предельным переходом на границу области и выписываются из теории кватернионных аналитических функций: Vu(y)* = ~ rv^v^ds,,^ е 5 2я s И

* «00 + /р-Ц^МЖ = -L /V, ¡-ЦлХг) + ~ Jj—-—V"(*)*dSs]dS 'у е 5 Введем кватернионный потенциал простого слоя В по правилу ВЬ = — г = \х~у\> у е Ä3. Указанные выше представления и гранич-

4« sr

ные тождества позволяют доказать теоремы об антикоммутировании операторов А,В.

Теорема: Для ляпуновской поверхности S и произвольной кватернионной функции b(x) xeS, удовлетворяющей условию Гёльдера на границе, интегральные операторы А, В антикоммутируют АВЬ = -ВАЬ.

Используя вид операторов А и В, к доказанную теорему можно сформулировать еще один результат:

Теорема. Граничные значения кватернионной гармонической функции и и её кватернионного градиента Vu удовлетворяют тождествам

AVu* = Vm\ BVu* = ±(Au - к).

Далее в параграфе 2.4. эти равенства применяются для исследования некоторых классических задач математической физики. Показано, что задача Дирихле для кватернионного уравнения Лапласа имеет единственное решение. В качестве второго примера рассматривается решение уравнения Лапласа Да = 0 в области D* при условии, что на границе задан кватернионный градиент, то есть

х е Уи(хУ = /(х). В этом случае граничные интегральные равенства имеют следующий вид: А/ = /, В/ = ^Аи-и). Отсюда следует, что задание на границе ква-

тернионного градиента избыточно. Действительно, если заданная функция / такова, что не выполняется первое равенство, то поставленная задача не имеет решения. Пусть специально подобрана функция /, для которой первое равенство выполняется. Тогда второе уравнение служит для определения граничного значения функции и(х) с точностью до произвольной кватернионной аналитической функции. Решение в области также находится с точностью до произвольной кватернионной аналитической функции.

В третьей главе показано применение полученных тождеств для исследования спектральных свойств некоторых операторов классической теории потенциала, кватернионной теории потенциала, интегральных операторов теории упругости. В параграфе 3.1. более строго повторен результат Кутрунова В.Н. о том, что за исключением точек ±1 собственные числа операторов потенциала двойного слоя В и оператора О совпадают вместе с их кратностью, а собственные функции взаимно пересчитываются с помощью операторов С и Г, Для собственных функций <р и у получили цепочку равенств: В<р = Х<р, Сд> = уг, О у/ ~Ху, Рц/ = (л? - . Цепочка пересчёта позволяет сделать выводы о спектре операторов, получающихся суперпозицией ГС, С/". Действительно, из второго и четвёртого равенств цепочки следует: РС/р = (А2 -\)<р, СРу/ = (Л2 - 1)у/. То есть собственные числа операторов совпадают, а собственные функции <р, у/ являются собственными функциями, соответственно, операторов В, Г». Отметим также, что спектры этих Операторов расположены на интервале (-1, 0). Из рассмотрения исключён пока случай А3 -1 = 0, получающийся для А = ±1. В случае А = ±1 по-новому доказана теорема-. Точки А = ±1 являются точками непрерывного спектра оператора £> бесконечной кратности.

Эта теорема позволила автору дополнить информацию о спектрах суперпозиций операторов С77 и ГС. Оператор СГ имеет точку 0 точкой спектра бесконечной кратности. У оператора РС точка 0 является точкой спектра кратности 1.

В параграфе 3.2. тождества классической теории потенциала использованы для исследования спектральных свойств операторов потенциала двойного слоя В и нормальной производной потенциала простого слоя £7. Показано, что из этих тождеств следует классический результат: спектры операторов потенциала двойного слоя В и нормальной производной потенциала простого слоя б совпадают. Из тождеств вытекает также, что собственные функции этих операторов взаимно пересчитываются с помощью операторов параграфа 2.2 V и А/. Цепочка, устанавливающая связь между собственными функциями и собственными числами операторов В, С7, а также формулы взаимного пересчёта похожи на соответствующие формулы пересчета в кватернионной теории потенциала и имеют следующий вид: Вф - Л<р, Мер = у/, йщ-Хц/, Уу =(£ -\}<р. То есть по спектру и собственным функциям оператора В устанавливается спектр и собственные функции оператора б . Аналогичным образом доказывается обратное утверждение. Установленное взаимно однозначное соответствие говорит о равной кратности собственных чисел этих операторов. Исследование точек А = ±1 в этой схеме затруднено, остаётся сослаться на известный результат: А = -1 собственное число обеих операторов кратности единица, а число А = 1 не принадлежит спектру.

Далее доказано, что спектры операторов УМ и МУ дискретны, совпадают • между собой и выражаются через спектр оператора потенциала двойного слоя, а собственные функции взаимно пересчитываются и связаны с собственными функциями оператора потенциала двойного слоя.

В параграфе 3.3. на основе тождеств для обобщенных потенциалов теории упругости доказан классический результат: совпадение спектров операторов К и КЦепочка последовательных вычислений и пересчётов собственных функций имеет вид: К<р = А<р, Н<р = у, К'уг = Хцг, Ьц/ - (А2 -1)?>. Отмечено, в классических исследованиях интегральных уравнений теории упругости не упоминается, что оператор обобщённого потенциала простого слоя оказывается оператором пересчёта собственных функций оператора К в собственные функции сопряжённого ему оператора К'. Так как операторы К и К' сингулярны, то в теоремах Фред-гольма должны быть отличия от аналогичных теорем для вполне непрерывных

операторов, не отмеченные грузинскими математиками. Именно, меняется содержание четвертой теоремы Фредгольма:

В отличие от интегральных операторов классической теории потенциала, спектры интегральных операторов теории упругости имеют три точки непрерывного спектра. Доказательство опирается на обобщение теоремы Вейля о вполне непрерывных возмущениях, (Глазман И.М., 1963): Прибавление к замкнутому линейному оператору произвольного вполне непрерывного оператора не изменяет непрерывной части спектра. Выяснить, являются ли эти точки точками сгущения спектра или это собственные числа бесконечной кратности, пока не удаётся. На этот счёт известно, что грузинской школой математиков доказано, что для сингулярных интегральных уравнений теории упругости, имеющих в качестве сингулярных операторов описанные выше операторы и являющихся аналогами интегральных операторов теории потенциала, верны все теоремы Фредгольма. В частности, спектры соответствующих операторов дискретны и имеют конечную кратность, расположены на конечном интервале. Сингулярные интегральные уравнения первой и второй задач теории упругости можно записать в виде <р - К V = <р + РО<р = -2и, ф + К<р-<р- рГкр + Тг<р = 2/,

где Г, и Тг вполне непрерывные операторы, а р константа, зависящая от коэффициента Пуассона. Так как перед сингулярным оператором £) стоит константа р, то она должна относиться к непрерывному спектру. Соединяя этот факт с результатами грузинской школы математиков, можно сказать, что точки ± р могут быть только точками сгущения спектра и должны иметь конечную кратность. Далее в этом параграфе представлена регуляризация сингулярных интегральных уравнений теории упругости на основе кватернионных функций. Представлен также другой способ регуляризации на основании гипотезы, что сингулярные интегральные операторы отличаются от вполне непрерывных операторов именно наличием в спектре, кроме дискретных точек конечной кратности, ещё и непрерывного спектра. Всякая регуляризация соответствующих сингулярных интегральных уравнений означает такие манипуляции с сингулярным оператором, которые трансформируют его спектр так, что непрерывный спектр преобразуется в нуль. На основании этой гипотезы для сингулярных уравнений теории упругости можно

построить регуляризаторы следующим образом: так как известно, что три точки 0,±/? являются точками непрерывного спектра операторов К, К', то для их трансформации в нуль понадобится полином третьей степени от любого из этих операторов.

Автором данной работы предложен новый способ понижения сингулярности на основании установленного факта непрерывности при переходе через границу сингулярного интеграла, имеющего вид:

О, _уе£>*

О, уе5 . Действительно, сингулярный оператор Я, входя-0,

щий в интегральные уравнения теории упругости, имеет вид

^=^ v я * " (vих")х =^ /с"^^Й * - ^ •

Учитывая, приведенный выше интеграл, можно преобразовать второй сингулярный интеграл следующим образом:

2*;

■ к~г~) • = — к——г~) • рЫНА • Подстановка этого равенства

: г 2 тс % г

при достаточной гладкости функции р(х) и ляпуновской поверхности 5 приводит к вычислению сингулярного интеграла Ор через два интеграла со слабой особенностью. В идейном плане данная замена похожа на замену П.ИЛерлина. Требования к гладкости поверхности 5 и функции р(х) совпадают с требованиями гладкости, приведенными в теореме.

В четвертой главе представлено применение техники кватернионов к построению новых интегральных уравнений. В параграфе 4.1. сконструированы интегральные уравнения для восстановления векторного поля по известным ротору и дивергенции. Сначала уравнения для ротора и дивергенции заменены одним ква-тернионным дифференциальным уравнением, затем это уравнение решается с помощью техники кватернионного интегрального представления функций через граничные значения этих функций и через кватернионные характеристики поля в объеме. Так как интегральное представление кватернионной функции эквивалентно четырем скалярным уравнениям, то возникла необходимость уменьшения их

количества. С помощью серии теорем, доказывающих эквивалентность преобразований при переходе к меньшему числу уравнений, удалось показать, что для решения задачи потребуется решить два граничных интегральных уравнения относительно двух компонент векторного поля. Третья недостающая компонента определяется методами аналитической геометрии и далее по граничному значению вектора векторного поля оно восстанавливается в области. Прямое вычисление компонент векторного поля избавляет от необходимости численного дифференцирования так называемого потенциала векторного поля, к поиску которого обычно сводиться эта классическая задача.

В параграфе 4.2. построены новые интегральные уравнения теории упругости. Для такого построения, прежде всего, понадобилась запись дифференциальных уравнений теории упругости (уравнений Ляме) в кватернионной форме: V« А - ц)Чи + (А+= о. Выражение в скобках, являющееся кватернионной аналитической функцией, может быть представлено через ротор и дивергенцию век-

* 2|" (V • х н^ = 0. Пользуясь представлением ]

тора перемещений: V

тернионных аналитических функций, а также, разделяя скалярную и векторную части, выражение в скобках на границе области может быть представлено в виде:

и и

Данные равенства удовлетворяются для ротора и дивергенции вектора перемещений и, являющегося решением уравнений Ляме. Если известны лишь некоторые компоненты ротора и дивергенция, или их комбинации, то на данные уравнения можно смотреть как на граничные интегральные уравнения для доопределения недостающих компонент ротора и дивергенции вектора и. Известных величин может быть достаточно, либо не хватать, либо быть с избытком для определения решения. Соответственно будет возникать возможность единственного или неединственного решения задачи, либо задача будет некорректной. Различных вариантов таких уравнений может быть много. Например, на эти уравнения можно смотреть

как на задачу восстановления векторного поля. В этом случае может быть применена теория параграфа 4.1., где указаны необходимые граничные условия и преобразованные интегральные уравнения, обеспечивающие единственность решения. С механической точки зрения в этой задаче речь будет идти о восстановлении вектора перемещения по его нормальной составляющей, заданной на поверхности. Заключение содержит выводы и результаты проделанной работы.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах 1. Кутрунов В.Н., Курята З.С. Инте1ральные уравнения векторного поля// Сборник докладов научно-технической конференции ТюмГАСА, 1996, Тюмень, с.80-81 .(0,02 п л J 0,1 пл.)

«2. Кутрунов В.Н., Курята З.С. Некоторые интегральные тождества математической физики// Сборник докладов П научно-методической конференции ТюмГАСА, 1997, Тюмень, с.143-144. (0,02 пл./0,1 пл.)

3. Кутрунов В.Н., Курята З.С. Некоторые интегральные тождества математической физики// Вестник Тюменского государственного университета, №2, 1998, с.34-41. (0,3 пл./ 0,3 пл.)

4. Кутрунов В.Н., Курята З.С. Интегральные уравнения векторного поля// Известия высших учебных заведений. Математика. Казань, №6(445), 1999, с.33-36. (0,1 пл./0,5 п.л.)

5. Kutrunov, V. N.; Kuiyata, Z.S. Integral equations of a vector field// Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat. 1999, no. 6, 33-36; translation in Russian Math. (Iz. VUZ) 43 (1999), no. 6, 31—34. (0,1 njiJ 0,5 .пл.)

6. Кутрунов B.H., Курята З.С. Построение новых интегральных уравнений теории потенциала основных краевых задач теории упругости// Сборник докладов конференции « Проблемы экологии и энергосбережения в условиях Западной Сибири», Тюмень./ под общ.ред.чл.корр.РА ACH, д.т.н., профессора А.Ф.Шаповала.- М.: 1999 - 440с., с.189-193. (0,2 пл./ 0,2 пл.)

7. Кутрунов В.Н., Курята З.С., Кутышева Е.Б., Шагисултанова Ю.Н. Отчет о научно-исследовательской работе Теория и методы решения сингулярных

интегральных уравнений. Деп.№029.90002391. От 25января.1999., Тюмень,1999.

8. Кутрунов В.Н., Курята З.С. Применение кватернионных функций в исследовании интегральных уравнений теории упругости// Сборник докладов научно-практической конференции, посвященной 30-летию ТюмГАСА, Тюмень,2000./ под общ.ред.. проф.Чикишева В.М., проф.Шаповала А.Ф.- М.: 2000г.-511с.,с.205-209. (0,1 п.л./ 0,2 п.л.)

9. Кутрунов В.Н., Курята З.С. Кватернионы и интегральные уравнения теории упругости// Сб-к докладов междунар.науч.симпозиума по проблемам механики деформируемых тел, посвященного 90-летию со дня рождения А.А.Ильюшина (Москва, 22-23 января 2001 года)/ под.ред.проф.И.А.Кийко, проф.М.Ш.Исраилова, проф.Г.Л.Бровко,- М.: Изд-во Моск.ун-та, 2001, с.303-305. (0,1 п.л./ 0,1 п.л.)

10.Kutrunov V.N., Kutrunova Z.S. Quaternionian integral identities and Laplace equation integration// Number, Time, Relativity:Proceedings of International Meeting. Moscow, 10-13 August 2004. -Moscov, 2004. P. 27-31. (0,1 п.л./ 0,2 п.л.)

11.Кутрунов B.H., Кутрунова З.С. Интегрирование кватернионного уравнения Лапласа// Математическое и информационное моделирование: сборник научных трудов. Вып. 6. Тюмень: Издательство «Вектор Бук», -2004,- С. 97-111.(0,1 пл./ 0,2 пл.)

12.Кутрунова З.С. Кватернионная факторизация некоторых дифференциальных уравнений и интегральные тождества// Труды 36-ой Региональной молодежной конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики». Екатеринбург: УрО РАН, 2005,- С.-169-173. (0,3 пл.)

13.Кутрунова З.С. Кватернионы и факторизация некоторых дифференциальных операторов// Сборник докладов межрегиональной конференции, посвященной 30-летию факультета математики и компьютерных наук ТюмГУ.-Тюмень.- 2005.-C.33-34. (0,12 п.л.)

14.Кутрунов В.Н., Кутрунова З.С. Кватернионы и некоторые интегральные тождества// Гиперкомплексные числа в геометрии и физике.1. (3). 2005. С. 7692. (0,5 пл./ 0,5 пл.)

15.Кутрунова (Курята) З.С. Кватернионные функции. Возможны ли новые результаты.// Модернизация образования в условиях глобализации. Круглый стол «Образование через науку и инновации», 14-15 сентября 2005 года/ Под редакцией В.Н.Кутрунова. Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2005. С. 62-65. (0,18 пл.)

16.Кутрунов В.Н., Кутрунова З.С. Интегральные тождества в теории упругости// Международный научный симпозиум по проблемам механики деформируемых тел, посвященный 95-летию со дня рождения А.А.Ильюшина(1911-1998). Тезисы докладов. М. ¡Общеуниверситетский отдел печати МГУ, 2006.-С.65-66. (0,06 пл./ 0,06 пл.)

Подписано в печать 30.05.2006г. Формат 60x84/16 Бумага тип №1. Усл.печ.л. 1,5.Тираж 1&0 экз. Заказ № 94. 625001, г.Тюмень, ул.Луначарского,2 Тюменский государственный архитектурно-строительный университет. Редакционно-издательский отдел

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Кутрунова, Зоя Станиславовна

Введение (содержание и обзор)

1.Кватернионный аналог теории потенциала

1.1.Кватернионные аналитические функции

1.2 .Интегральное представление кватернионных аналитических функций (аналоги интегралов Коши и типа Коши)

2. Общий подход к построению интегральных тождеств

2.1. Тождества в кватернионной теории потенциала

2.2. Интегральные тождества, следующие из классической теории потенциала

2.3. Интегральные тождества для уравнений теории упругости

2.4. Операция антикоммутирования для кватернионных операторов потенциалов двойного и простого слоев и её приложение

3. Применение тождеств для исследования спектральных свойств некоторых операторов и явное построение регуляризаторов

3.1 Спектральные свойства некоторых интегральных операторов, вытекающие из тождеств кватернионной теории потенциала

3.2. Тождества классической теории потенциала и спектральные свойства операторов

3.3. Тождества для обобщённых потенциалов теории упругости и спектры соответствующих операторов

4. Применение техники кватернионов к построению новых интегральных уравнений

4.1. Конструирование интегральных уравнений для восстановления векторного поля по известным ротору и дивергенции

4.2. Получение новых интегральных уравнений теории упругости

Введение диссертация по математике, на тему "Некоторые интегральные тождества математической физики и их приложения"

В настоящее время, как в фундаментальных, так и в прикладных вопросах появляется значительный интерес к применению в исследованиях кватернионных функций. Благодаря им, удается получать результаты, которые сложно или нельзя получить другим путем. Используются и более сложные подходы на основе теории функций многих комплексных переменных. В этой связи представленная работа посвящена актуальному вопросу исследования известных, а также построения и исследования новых интегральных тождеств, получающихся в теории кватернионных аналитических функций, теории гармонических функций и теории упругости.

На основе кватернионных интегральных представлений Коши и типа Коши стоятся граничные интегральные тождества [72,73], которые применяются для исследования спектров операторов в них входящих. Опираясь на эти результаты, в данной работе получена группа граничных интегральных тождеств для гармонических функций, [78,79]. Используя тождества, новым способом установлено соответствие спектров операторов потенциала двойного слоя и нормальной производной потенциала простого слоя, а также найдены операторы пересчета собственных функций операторов потенциала двойного слоя и нормальной производной потенциала простого слоя. Исследованы спектры композиций операторов потенциала простого слоя и нормальной производной потенциала двойного слоя, [79].

Используя кватернионные тождества, [72,73], классическая задача по восстановлению векторного поля по известным ротору и дивергенции сведена к двум граничным сингулярным интегральным уравнениям. В них содержится произвольный постоянный вектор. Из этих уравнений находится не потенциал, как обычно, а непосредственно граничное значение искомой функции. Поэтому представление решения в области не требует операций численного дифференцирования, [75,76].

Изучение интегральных уравнений теории упругости (уравнений Ламе) в данной работе начинается с их представления в кватернионной форме.

Применяя к ним методику решения кватернионного уравнения, построены граничные сингулярные интегральные тождества, [77,80,81,82]. Эти тождества связывают на границе дивергенцию и ротор вектора перемещений. В отличие от кватернионного уравнения Лапласа уравнения Ламе удалось проинтегрировать только один раз. Эти интегральные тождества могут быть полезны при решении задач геофизики и сейсморазведки, [136,137].

Перенесение метода интегральных представлений из теории кватернионных аналитических функций позволило нам предложить общий подход к построению граничных интегральных тождеств для гармонических функций и для функций, которые являются решением уравнений Ламе. Отметим, что все рассматриваемые выше уравнения относятся к эллиптическим уравнениям не более чем с постоянными коэффициентами. Фундаментальные решения таких уравнений, используемые для интегральных представлений, известны. Более общее преставление, называемое методом параметрикса, [123,124], связано с построением параметрикса для эллиптических уравнений с переменными коэффициентами, обладающими определенными свойствами гладкости. В данной работе этот общий подход, естественно, не используется. Однако в настоящее время он активно развивается, например, в работах [88,89,90,141,142]. Не используется здесь и интегральное представление Мартинелли-Бохнера, так как не используются функции многих комплексных переменных, но применяются кватернионные аналитические функции. По-видимому, было бы интересно пересмотреть все полученные интегральные представления, увидеть аналогии и возможные пресечения. В настоящее время приложения интегрального представления Мартинелли-Бохнера представлены, например, в работах [88,89,90].

Опираясь на результаты теории кватернионных аналитических функций, в работе получено антикоммутирование кватернионных потенциалов простого и двойного слоев. Отметим, что потенциал простого слоя используемый здесь, записан иначе, чем в классической литературе, так как в подынтегральном выражении содержит нормаль, [84,85,86]. К кватернионному оператору антикоммутирования можно подойти также как к кватернионному тождеству. Переход в тождестве антикоммутирования к операциям векторного анализа приводит к четырем граничным интегральным тождествам, которые в подынтегральных выражении содержат нормаль, скалярное и векторное произведения, связанные с нормалью. Эти тождества пока не нашли дальнейшего развития, поэтому расписанная форма в диссертации не приведена.

Результаты диссертационной работы могут быть использованы для численного решения и тестирования задач теории упругости и теории потенциала.

Цель работы состоит в применении единого подхода к построению интегральных тождеств в кватернионной теории потенциала, классической теории потенциала и теории упругости. На этой основе ставится задача выявления общих методов для исследования спектров некоторых интегральных операторов и построения новых интегральных уравнений некоторых задач математической физики и теории упругости. Научная новизна.

• Разработан общий подход ,к построению интегральных тождеств, на основе которого выписаны тождества в теории кватернионных функций, теории упругости и теории потенциала.

• На основе тождеств построена схема исследования спектра некоторых операторов, что позволило повторить некоторые известные результаты в теории потенциала и теории упругости, а также получить новые факты, такие как наличие трех точек сгущения спектра сингулярных операторов теории упругости, являющихся точками спектра конечной кратности.

• Спектральные свойства операторов и тождества позволили предложить один вариант прямого вычисления интеграла из интегральных уравнений теории упругости, основанный на свойстве непрерывности векторной части сингулярного обобщенного кватернионного интеграла Гаусса.

• Систематическая запись уравнений теории потенциала, теории упругости, теории поля в кватернионной форме привела к единообразному получению новых сингулярных интегральных уравнений для определения роторов и дивергенций искомых функций, в некоторых случаях и самих искомых функций.

• На основе разработанных тождеств доказано антикоммутирование кватернионных операторов потенциалов двойного и простого слоев. Научная значимость и достоверность работы. Научная значимость диссертации заключается в разработке и применении аппарата теории кватернионных аналитических функций, применительно к построению и явной регуляризации сингулярных интегральных уравнений в теории поля и теории упругости, в исследовании спектра встречающихся здесь сингулярных интегральных операторов. Работа имеет теоретическую значимость. Полученные результаты опираются на известные математические теоремы функционального анализа, теории дифференциальных и интегральных уравнений. Некоторые результаты исправляли утверждения других авторов, что в свою очередь подтверждалось личными беседами с этими авторами. В частности, Ворошко П.П. подтвердил полученное нами исправление сингулярных интегральных равенств, связывающих ротор и дивергенцию вектора перемещений в теории упругости. Ранее В.Г.Мазья подтвердил исправление, полученного им (и им же исправленного) регуляризатора сингулярных интегральных уравнений теории упругости. В наших исследованиях эти и другие факты получены на основе других методов, а именно методов теории кватернионных аналитических функций. Эти факты косвенным образом доказывают достоверность и других результатов, полученных применением указанного математического аппарата. Обзор работ по теме диссертации.

В настоящее время интерес к различным алгебрам и теориям гиперкомплексных функций возрастает в связи с их приложениями к задачам математики, физики, математической физики. Различные гиперкомплексные алгебры (кватернионы, бикватернионы, спиноры, алгебры Клиффрода), и функции на них, находят применение для решения различных физических задач, [8], для описания структуры кварков применяется алгебра октав (Кэли), [4]. С помощью теории Фуэтера [2,3] и ее обобщения получают кватернионнозначные интегральные представления гармонических электромагнитных и спинорных полей, [67], отыскивают фундаментальные решения обобщенной системы уравнений Коши-Римана с кватернионным параметром [18], а также гиперкомплексные решения уравнений Максвелла [9,143].

Кватернионы находят широкое применение в задачах ориентации твердого тела, [39,132,133]. Использование кватернионов позволяет представить в единой векторной форме бесконечно малые вращения, определяющие вектор угловой скорости, и произвольные преобразования, являющиеся конечными поворотами. Опираясь на кватернионы, описывают ориентацию орбиты для оптимального управления движением центра масс космического аппарата в ньютоновском гравитационном поле, [133,134], конструируют и анализируют дифференциальные уравнения задачи определения ориентации твердого тела с помощью бесплатформенной инерциальной навигационной системы, [116]. В задачах механики стержневых систем также используют кватернионные преобразования, [131].

С помощью кватернионов решают задачи геофизики, гравиразведки, томографии, магнито- и электроразведки, [135,137].

С помощью кватернионов получают фундаментальное интегральное кватернионное тождество [34,41,73], которое может быть использовано для решения различных задач математической физики, электродинамики, теории упругости, [41,74,75,78,79,]. Используя фундаментальное кватернионное тождество, установлен способ антикоммутирования интегральных операторов аналогов потенциалов простого и двойного слоев в кватернионном представлении, выполнена кватернионная факторизация некоторых дифференциальных уравнений, [83-86].

В настоящее время интерес к построению новых интегральных и дифференциальных уравнений задач математической физики и теории упругости не ослабевает.

Приведем ряд известных нам работ: [5, 13-14, 20, 22, 28-29, 31, 36, 40-45, 57, 87, 92-93, 98-99,107-109,112-113,115,128-129,138-139].

С фундаментальных работ Г.В.Колосова и Н.И.Мусхелишвили началось применение методов теории функции комплексного переменного к построению решений задач теории упругости, [104].

Для построения основных интегральных соотношений плоских задач теории упругости используются сингулярные решения Кельвина и Бюргерса в комплексной форме и формулы Колосова-Мусхелишвили. Получены различные комплексные интегральные уравнения для двух основных краевых задач теории упругости. Показана взаимозаменяемость интегральных уравнений, полученных в прямом и непрямом методе, [52,53]. С помощью теории функций двух комплексных переменных получают общее решение трехмерной задачи теории упругости, выраженное через две голоморфные функции. Показана возможность применения голоморфного разложения комплексных перемещений с помощью функции Бесселя, [23].

В работе [36] изучаются свойства интегралов типа Коши по ляпуновскому замкнутому контуру и связанных с ними сингулярных интегральных уравнениях в пространствах Бесова, вложенных в пространство непрерывных функций. Эти пространства Бесова не вложены в класс непрерывных по Гельдеру функций и являются (распадающимися) банаховыми алгебрами с единицей, что представляет собой определенные удобства. Установлены справедливость формул Сохотцого-Племеля для граничных значений интеграла Коши и формулы для перестановки сингулярных интегралов, существующих в смысле главного значения, рассмотрены вопросы композиции и регуляризации интегральных операторов, доказана нетеровость эллиптических сингулярных операторов с ядром Коши.

В работе [110] получены общие решения и симметрии уравнений линейной теории упругости.

Новые методы решения в замкнутой форме полных сингулярных интегральных уравнений второго рода с ядром Коши и с замкнутым контуром интегрирования представлены в [31].

Теория кватернионных аналитических функций позволяет получить новые представления трехмерных задач теории упругости и термоупругости, выраженные в терминах регулярных кватернионнных функций, которые в трех и четырех измерениях имеют свойства, аналогичные свойствам комплексных аналитических функций в двух измерениях, [17]. Граничное уравнение для первой основной задачи теории упругости на основе метода Колосова-Мусхелишвили может быть построено путем замены поля комплексных чисел на поле гамильтоновых кватернионов. [114]. С помощью кватернионов исследуются проблемы рационального распределения ортотропного упругого материала в трехмерных телах и конструкциях, подверженных действию статических нагрузок. Формулируются задачи минимизации упругой податливости для пространственных тел посредством выбора оптимальной ориентации главных осей упругой симметрии ортотропного конструкционного материала, [32].

Решению пространственных статических задач теории упругости методами кватернионных задач посвящена работа Григорьева Ю.М., [55]. С помощью кватернионов получен пространственный аналог интегрального уравнения Мусхелишвили, [54], а также получен кватернионный метод граничных элементов, [56]. Развитие кватернионного подхода для решения пространственных задач теории упругости, получение кватернионных представлений общего решения уравнений Ламе теории упругости в звездных и произвольных областях, их эффективное приложение при решении основных краевых задач теории упругости нашли отражение в работе Наумова В.В., [106].

В ряде работ рассматривается вопрос регуляризации решения задач механики, теории упругости, [1, 65, 69,95, 96,100,113,121]. С использованием кватернионов предложен метод регуляризации интегральных уравнений теории упругости идентичный для плоских и пространственных задач, записаны регуляризаторы и регуляризованные уравнения, [72, 73]. Метод не использует теорию символа или переход к комплексной форме, а опирается на теорию кватернионных аналитических функций, [79], или на идее спектральной регуляризации, связанной с определением непрерывного спектра с последующей трансформацией операторов к вполне непрерывным операторам

В работах Шваба А.А. рассматриваются задачи статической теории упругости с неклассическими краевыми условиями. Используя кватернионные функции, построено интегральное уравнение, доказана единственность его решения, предложено численное решение задачи без процедуры регуляризации, [135,137].

В последние годы весьма актуальны задачи, связанные с реконструкцией граничных полей, когда на одной части границы заданы граничные поля перемещений и напряжений, а на другой части границы информация о граничных полях отсутствует. Особенно эффективными при решении задач такого типа оказывается метод граничных интегральных уравнений 1-го рода. В работе [120] рассмотрен ряд примеров о реконструкции граничных полей. Многие задачи, связанные с определением полей различной природы могут быть решены посредством интегрирования уравнения Лапласа, являющегося математическим описанием этих потенциальных полей. Но в ряде случаев аналитическое решение уравнения Лапласа сопряжено с большими трудностями, ввиду чего приходится прибегать к численным методам расчета, [15]. В работе И.С.Аржаных [24,25] проблема восстановления векторного поля сведена к задаче нахождения функции Грина задачи Неймана для уравнения Лапласа. Используя функцию Грина находится некоторый промежуточный вектор в области, по которому с помощью операции численного дифференцирования восстанавливается векторное поле. Другой результат более и просто получен методами кватернионных функций. Построена компактная система интегральных уравнений для восстановления векторного поля по его ротору и дивергенции, [74,75].

В работах ряда исследователей осуществляются попытки построения новых интегральных уравнений теории упругости. Одно из направлений-связать на границе ротор и дивергенцию вектора перемещения. [44,136,80,81]. Наиболее простым способом построения соответствующих равенств для теории упругости является кватернионный подход. Он позволяет выполнить выкладки, сходные с выкладками теории потенциала, [80,81].

Непосредственно из обзора вытекают проблемы представляющие интерес: исследование спектров некоторых операторов, появляющихся в интегральных равенствах кватернионной теории потенциала, теории гармонических функций, теории упругости и применение в ряде случае этой информации к регуляризации сингулярных интегральных уравнений. Представляет интерес получение новых интегральных уравнений как в теории потенциала и теории поля, так и в теории упругости. Было интересно получить и применить для исследования некоторые другие результаты, такие как антикоммутирование оператора двойного слоя и оператора почти совпадающего с оператором простого слоя. Всем этим вопросам и посвящена данная работа.

В диссертации принята независимая система ссылок внутри каждой главы: (к. ш), где к- номер главы, m - номер формулы. Применяемые обозначения поясняются по ходу изложения материала.

Заключение диссертации по теме "Дифференциальные уравнения"

Заключение.

Настоящая диссертация посвящена разработке и применению аппарата теории кватернионных аналитических функций к задачам математической физики и теории упругости, к построению и явной регуляризации сингулярных интегральных уравнений в теории поля и теории упругости. Получен общий подход для построения граничных сингулярных интегральных тождеств кватернионной теории потенциала, классической теории потенциала и теории упругости. Исследованы спектры сингулярных интегральных операторов и их композиции, входящие в интегральные тождества.

Полученные в работе результаты опираются на известные математические теоремы функционального анализа, теории дифференциальных и интегральных уравнений, а также в частных случаях совпадают с результатами других авторов.

В работе получены следующие основные результаты, выносимые на защиту:

3. Интегральные тождества позволили предложить новый вариант прямого вычисления сингулярного интеграла интегральных уравнений теории упругости, основанный на свойстве непрерывности векторной части сингулярного обобщенного кватернионного интеграла Гаусса. Систематическая запись уравнений теории потенциала, теории упругости, теории поля в кватернионной форме привела к единообразному получению новых сингулярных интегральных уравнений для определения роторов и дивергенций искомых функций, а в некоторых случаях и самих искомых функций.

На основе разработанных тождеств доказано антикоммутирование кватернионных операторов потенциалов двойного и простого слоев.

СПИСОК РАБОТ АВТОРА.

1. Кутрунов В.Н., Курята З.С. Интегральные уравнения векторного поля// Сборник докладов научно-технической конференции ТюмГАСА, 1996, Тюмень, с.80-81.

2. Кутрунов В.Н., Курята З.С. Некоторые интегральные тождества математической физики// Сборник докладов II научно-методической конференции ТюмГАСА, 1997, Тюмень, с. 143-144.

3. Кутрунов В.Н., Курята З.С. Некоторые интегральные тождества математической физики// Вестник Тюменского государственного университета, №2,1998, с.34-41.

4. Кутрунов В.Н., Курята З.С. Интегральные уравнения векторного поля// Известия высших учебных заведений. Математика. Казань,№6(445), 1999, с.33-36.

5. Кутрунов В.Н., Курята З.С. Построение новых интегральных уравнений теории потенциала основных краевых задач теории упругости// Сборник докладов конференции « Проблемы экологии и энергосбережения в условиях Западной Сибири», Тюмень./ под общ.ред.чл.корр.РА АСН, д.т.н., профессора А.Ф.Шаповала.- М.: 1999 - 440с.,с.189-193.

6. Кутрунов.В.Н., Курята З.С., Кутышева Е.Б., Шагисултанова Ю.Н. Отчет о научно-исследовательской работе Теория и методы решения сингулярных интегральных уравнений. Деп.№029.90002391. От 25января.1999., Тюмень, 1999.

7. Кутрунов В.Н., Курята З.С. Применение кватернионных функций в исследовании интегральных уравнений теории упругости// Сборник докладов научно-практической конференции, посвященной 30-летию ТюмГАСА, Тюмень,2000./ под общ.ред. проф.Чикишева В.М., проф.Шаповала А.Ф.- М.: 2000г.-511с.,с.205-209.

8. Кутрунов В.Н., Курята З.С. Кватернионы и интегральные уравнения теории упругости// Сб-к докладов междунар.науч.симпозиума по проблемам механики деформируемых тел, посвященного 90-летию со дня рождения А.А.Ильюшина (Москва, 22-23 января 2001 года)/ под.ред.проф.И.А.Кийко, проф.М.Ш.Исраилова, проф.Г.Л.Бровко,- М.: Изд-во Моск.ун-та, 2001, с.303-305.

9. Kutrunov V.N., Kutrunova Z.S. Quaternionian integral identities and Laplace equation integration// Number, Time, Relativity:Proceedings of International Meeting. Moscow, 10-13 August 2004. -Moscov, 2004. P. 27-31.

Ю.Кутрунов B.H., Кутрунова З.С. Интегрирование кватернионного уравнения Лапласа// Математическое и информационное моделирование: сборник научных трудов. Вып. 6. Тюмень: Издательство «Вектор Бук», -2004.- С. 97-111.

11.Kutrunov, V. N.; Kuryata, Z. S. Integral equations of a vector field// Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat. 1999,, no. 6,33-36; translation in Russian Math. (Iz. VUZ) 43 (1999), no. 6,31—34.

12.Кутрунова З.С. Кватернионная факторизация некоторых дифференциальных уравнений и интегральные тождества// Труды 36-ой

Региональной молодежной конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики». Екатеринбург: УрО РАН, 2005.- С.-169-173.

14.Кутрунов В.Н., Кутрунова З.С. Кватернионы и некоторые интегральные тождества// Гиперкомплексные числа в геометрии и физике. 1.(3)2005.с.76-92.

15.Кватернионные функции. Возможны ли новые результаты// Модернизация образования в условиях глобализации. Круглый стол «Образование через науку и инновации», 14-15 сентября 2005 года/ Под редакцией В.Н.Кутрунова. Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2005. С. 62-65.

16.Кутрунов В.Н., Кутрунова З.С. Интегральные тождества в теории упругости// Международный научный симпозиум по проблемам механики деформируемых тел, посвященный 95-летию со дня рождения А.А.Ильюшина(1911-1998). Тезисы докладов. М.Юбщеуниверситетский отдел печати МГУ, 2006.-С.65-66.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Кутрунова, Зоя Станиславовна, Тюмень

1. Cialdea A., Hsiao George С. Regularization for some boundary integral eqations of the first kind in mechanics// Rend. Accad. Naz.sci.XL. Met.mat. -1995.-19.-C.25-42.

2. Fueter R. Integralsatze fur regularen Funktionen einer Quaternionenvariablen.-Comm. Manh. Helv., 1937-1938. vol.10. -№4. p.306-315.

3. Fueter R. Uber die analitischen Darstellungen der regularen.-Comm. Manh. Helv., 1932. vol.4, -p.9-20.

4. Gursey F. Quaternion methods in field theory. Proc.Iqhns Hopkins Univ., 1980, vol.4.

5. Hadjesfandiari A.R., Dargush G.F. Граничные собственные решения в теории упругости.ГТеоретические основы. Boundary eigensolutions in elasticity. I. Theoretical development. Int.J. Solids and Struct. 2001. 38. № 3637, c.6589-6625. Англ.

6. Hamilton W.R. Element of Quaternions. Chelsea Publishing Company, New York, 1969.

7. Hamilton W.R. Lectures on Quaternions. Dublin, Hedges and Smith, 1853.

8. Imeada K. A new formulation of classical electrodynamics. -Il.Nuovo Cimento, 1976, vol.32, B, №1, p. 13 8-162.

10. Laserda L.A.de, Wrobel L.C Гиперсингулярное граничное интегральное уравнение осесимметричной теории упругости. Hypersingular boundaryintegral equation for axisymmetric elasticity. Int. J. Numer.Meth.Eng. 2001. 52, №11, c.1337-1354.

11. Moisil Gr.C., Teodoresco N. Fonctions holomorfes dans l7 espase.-Mathematica. -1931. -vol.6.- p.141-153.

12. Tsalik Alexander. Quaternionic representation of the 3D elastic and thermoelastic boundary problems// Math.Meth.Appl.Sci. -1995.-18.-№9.-C.697-708.

13. Vasilevski N.L., Shapiro M.V. Some Questions of Hypercomplex Analysis. " Complex Analysis and applications 87", Sofia, 1989. -pp.523-531.

14. Zhang Yao-ming, Sun Huan-chun. Несингулярные граничные интегральные уравнения для упругих плоских задач. Jisuan lixue xuebao=Chin.J.Comput. Mech., 2001.18, № 3, c.321-325. Библ.Ю. Кит.;рез.англ.

15. Александров А.Я., Соловьев Ю.И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Наука, 1978.-464с.

16. Александров В.М. О решении интегральных уравнений, возникающих в периодических задачах со смешенными граничными условиями/ Прикл.мат. и мех.(Москва). 1997.-61,№5.-с.838-844.- Рус.

17. Александрович А.И., Кувшинов П. А., Титоренко Д.Ф. Решение уравнений трехмерной теории упругости методами комплексного анализа. М.: Изд-ва ВЦ РАН, 1998., 22с.

18. Аржаных И.С. Решение основных краевых задач классической теории поля// Краевые задачи для дифференциальных уравнений. — Ташкент: ФАН УзССР,1973. — №3. — с.90-94.

19. Аржаных И.С. Сингулярные интегральные уравнения теории упругости// Краевые задачи для дифференциальных уравнений. — Ташкент: ФАН УзССР,1978. — №2. — с.9-23.

20. Аржаных И.С. Сопряженные функции трехмерного пространства// Дифференциальные уравнения с частными производными и их приложения. — Ташкент: ФАН УзССР,1977. — с.129-153.

21. Арнольд В.И. Лагранжев грассманиан кватернионного гиперсимплектического пространства// Функцион. анализ и его прил. 2001.- т.35.-вып.1.-с.74-77.

22. Аршава Е.А. Решение интегральных уравнений методом операторных тождеств// Аналитические метода анализа и дифференциальных уравнений: Тезисы докладов международной конференции, Минск.-2003.-c.27.

23. Асхабов С.Н. Сингулярные интегральные уравнения и уравнения ти па свертки с монотонной нелинейностью. Изд-во Майкоп.гос.технолог.ун-та.-2004.-388с.

24. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве./Харьков. Издательское объединение «Вища школа», 1978,288с.

25. Бабурин Ю.С. Методы сингуляризации полных сингулярных интегральных уравнений второго рода с ядром Коши// Вестник СамГУ-Естественнонаучная серия. 2003. -№4(30) -с.21-35.

26. Беляева Н.А., Клычников JI.B Метод интегрального уравнения в задаче объемного отверждения// Вестн.Сыктывкар. ун-та.- 1996.- №2, Сер.1.-с.125-134.- Рус.; рез.англ.

27. Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966.

28. Бицадзе А.В. Обращение одной системы сингулярных интегральных уравнений //Докл.АН СССР, -1953, -Т.93.- №4- с.595-597.

29. Блиев Н.К. Сингулярные интегральные операторы с ядром Коши в дробных пространствах// Сиб.матем.журн.-2006.-Т.47., №1.-с.37- 45.

30. Боган Ю.А. О методе потенциала для эллиптических уравнений четвертого порядка из анизотропной теории упругости // Сибирский математический журнал индустриальной математики.-2000.-т.З.-№2.-с.29-34.

31. Боган Ю.А. Регулярные интегральные уравнения для второй кравевой задачи в анизотропной двумерной теории упругости//Изв.РАН.Мех.тверд.тела.-2005.-№4.-с.17-26.

32. Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. М. Наука, 1973.-320с.

33. Булавин П.В., Шардаков И.Н Гранично-элементный подход к решению трехмерных задач теории упругости методом геометрического погружения // Прикл.мат. и мех. (Москва).- 1995.- 59, №2 с.252-258.-Рус.

34. Василевский H.JL, Жданов М.С., Шапиро М.В. Пространственные аналоги интеграла типа Коши и теория кватернионов//Препр./АН УССр, Ин-т земного магнетизма, ионосферы и распростанения радио волн; -1987.-№48(737).-23с.

35. Васильев В.В., Федоров J1.B. К задаче теории упругости сформулированной в напряжениях // Изв.АН. Механика твердого тела,-1996.-№2.-с.82-92.-Рус.

36. Ватульян А.О., Садчиков Е.В., Шамшин В.М.// О методах решения альтернативных граничных ГИУ в теории упругости/ «Тр. Междунар. конф. Математика в индустрии», Таганрог, 1998, с.69-70. -Рус.

37. Ворошко П.П. Эффективное построение интегральных уравнений теории потенциала основных краевых задач теории упругости. Сообщение 1.// Проблемы прочности и пластичности, 1996, №5, с.83-90. Рус.; рез. укр., англ

38. Вылегжанин И.А Вариант интегрального уравнения для первой и второй основных задач плоской теории упругости анизотропного тела// Эксперим. и расчетные методы строит, мех./ Сиб.гос.акад. путей сообщ.-Новосибирск, 1997.-С.38-44.

39. Вылегжанин И.А Об одном граничном интегральном уравнении плоской задачи теории упругости при заданных граничных условиях// Сиб.гос.ун-т. путей сообщения. Новосибирск,1998.-7с.- Библиограф.: 4 назв. - Рус. -Деп в ВИНИТИ 15.12.98, №3686-В98

40. Гамилько А.М Интегральные уравнения линейной теории упругости в полубесконечных областях// Укр.мат.ж.- 1998.-50, №5.-с.613-622.

41. Гаршин O.K., Лебедев С.Н. Вычисление сингулярных интегралов методе граничных элементов для трехмерных задач теории упругости// Вестн.ПГТУ.Мех. 1995. - №2. - с.26-32.

42. Гегелиа Т.Г. О граничных значениях функции типа потенциала// Труды вычислительного центра АН Грузинской ССР, -1961.- №2.- С.285-313.

43. Глазман И.М. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов. М.: Физматгиз.,1963.,с.339.

44. Греков М.А Сингулярные решения и интегральные уравнения плоской задачи теории упругости// Исследования по механике строительных конструкций и материалов. Межвуз.темат.сб.тр. С.-Петербург.гос.архит.-строит.ун-т.СПб.: Изд-во СП6ГАСУ.1999, с.75-88., Рус.

45. Греков М.А. Основные интегральные соотношения в плоских задачах теории упругости// Нелин.пробл.мех. и физ. Деформир.тверд. тела. Спб ГУ. -1998.-, №1, с.8-35,256,261. Рус.

46. Григорьев Ю.М. Пространственный аналог интегрального уравнения Мусхелишвили // Динамика сплошной среды.-1999.-№ 144.-е. 161-165.

47. Григорьев Ю.М. Решение пространственных статических задач теории упругости методами теории кватернионных функций// Дисс.канд. физ. -мат. наук. Новосибирск.- 1985.-146 с.

48. Григорьев Ю.М., Алехин В.В. Кватернионный метод граничных элементов// Сибирский журнал индустриальной математики.-1999.-T.2.-№1.-с.47-52.

49. Гусар Н.Н., Хижняк В.К. К построению интегральных уравнений теории упругости/.; Донец.ун-т.- Донецк, 1992.-7с.- Библиогр.: 2 назв.,- Рус.- Деп. в УкрИНТЭИ 7.5.92,612-УК92.

50. Игумнов JI.A. Решение трехмерных задач упругого равновесия методом потенциала. Прикл.пробл.прочн. и пластич.2000., №62, с.72-84,202,209.

51. Казанова Г. Векторная алгебра. М.: Мир, 1979, -120с.

52. Кантор И.Л. Солодовников А.С. Гиперкомплексные числа. — М.: Наука, 1973.— 144с.

53. Карпенко И.И. Симметрические операторы в кватернионных гильбертовых пространствах // Таврический Вестник Информатики и математики.- 2003.-№2.- с.119-124.

54. Кассандров В.В. Алгебродинамика, кватернионы, твисторы, частицы// Вестник РУДН(Физика), -2000.-,№8(1), с.36-46.

55. Коновалов А.Н. Численные методы в статических задачах теории упругости // Сиб.мат.ж. 1995.- т.36.- №3.- с.573-589.

56. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. — М.: Наука, 1978. — 832с.

57. Кравченко В.В. Кватернионнозначные интегральные представления гармонических электромагнитных и спинорных полей// ДАН. 1995. -т.341.- №5.-с.603-605.

58. Кузнецов С.В. Спектр сингулярных интегральных операторов теории упругости //Известия вузов. Математика.- 1994.- №5.-с.31-35.

59. Купрадзе В.Д., Гегелиа Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В., Трехмерные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1976.

60. Кутрунов В.Н. Кватернионный метод регуляризации интегральных уравнений теории упругости // Прик.матем. и мех.(Москва).-1992.-56, №5.-с.864-868.

61. Кутрунов В.Н. Полином наилучшего равномерного приближения в итерационном методе решения систем линейных алгебраических уравнений// Сибирский матем. журнал 1992.-Т.ЗЗ, №1.-С. 62-68.

62. Кутрунов В.Н. Спектральная регуляризация интегральных уравнений теории упругости// ПММ. -1991. т.2. -С. 348-350.

63. Кутрунов В.Н. Теория и методы решения сингулярных интегральных уравнений линейной упругости (спектральный подход)// Автореферат дисс. докт. физ.-мат. наук (01.02.04). -М., 1992.- 29с.

64. Кутрунов В.Н., Курята З.С. Интегральные уравнения векторного поля// Сборник докладов научно-технической конференции ТюмГАСА.- 1996.-Тюмень.- с.80-81.

65. Кутрунов В.Н., Курята З.С. Интегральные уравнения векторного поля// Известия высших учебных заведений. Математика. Казань.-1999.-№6(445).- с.-ЗЗ-Зб.

66. Kutrunov, V. N.; Kuryata, Z. S. Integral equations of a vector field// Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat. 1999, no. 6, 33-36; translation in Russian Math. (Iz. VUZ) 43 (1999), no. 6, 31—34.

67. Кутрунов В.Н., Курята З.С. Некоторые интегральные тождества математической физики// Сборник докладов II научно-методической конференции ТюмГАСА.- 1997.- Тюмень.- с.143-144.

68. Кутрунов В.Н., Курята З.С. Некоторые интегральные тождества математической физики// Вестник Тюменского государственного университета.- 1998.-№2.-с. 34-41.

69. Кутрунов В.Н., Курята З.С.Дутышева Е.Б., Шагисултанова Ю.Н. Отчет о научно-исследовательской работе Теория и методы решения сингулярных интегральных уравнений//. Деп.№029.90002391. От 25января.1999., Тюмень, 1999.

70. Кутрунов В.Н., Кутрунова З.С. Интегрирование кватернионного уравнения Лапласа// Математическое и информационное моделирование: сборник научных трудов. Вып. 6. Тюмень: Издательство «Вектор Бук», -2004.- С. 97-111.

71. Кутрунов В.Н., Кутрунова З.С. Интегрирование кватернионного уравнения Лапласа// Математическое и информационное моделирование: сборник научных трудов. Вып. 6. Тюмень: Издательство «Вектор Бук», -2004.-С. 97-111.

72. Кутрунова З.С. Кватернионная факторизация некоторых дифференциальных уравнений и интегральные тождества// Труды 36-ой Региональной молодежной конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики». Екатеринбург: УрО РАН, 2005.- е.-169-173.

73. Кутрунова З.С. Кватернионы и факторизация некоторых дифференциальных операторов// Сборник докладов межрегиональной конференции, посвященной 30-летию факультета математики и компьютерных наук ТюмГУ.-Тюмень.- 2005.-c.33-34.

74. Кучер В.А., Пупырев В.А Интегральные уравнения задачи Сен-Венана и задачи о антиплоской деформации// Прикл.мат.и мех. (Москва). 2002. 66, №3, с.465-469.

75. Кытманов A.M. Интеграл Бохнера Мартинелли и его применения. Новосибирск: Наука, 1992.

76. Кытманов A.M., Мысливец С.Г. О голоморфной формуле Лефшеца вобластях Сп // Вестник КрасГУ, 2002, с. 10-21.

77. Кытманов A.M., Мысливец С.Г. О главном значении по Коши особого интеграла Хенкина Рамиреза в строго псевдовыпуклых областях пространства С"// Сибирский математический журнал.-2005.-Том 46.-№3. - с.625-632.

78. Леонова Э.А. О некорректных задачах статики теории упругости // МТТ, 1997, №6, с.71-77.

79. Линьков А.М Комплексные сингулярные решения для связных полуплоскостей// Исследования по механике строительных конструкций и материалов. Межвуз.темат.сб.тр. С.-Петербург.гос.архит.-строит.ун-т.СПб.: Изд-во СП6ГАСУ.1999, с.65-74.

80. Линьков A.M., Зубков В.В., Могилевская С.Г Комплексные интегральные уравнения. Эффективное средство решения плоских задач// Препр./ Ин-т проблем машиноведения РАН.-1995.-№118,-с.1-46.

81. Лурье А.И. Теория упругости. -М.: Наука, 1970, 940 с.

82. Мазья В.Г., Сапожникова В.Д. Замечание о регуляризации сингулярной системы изотропной теории упругости // В ест. ЛГУ. Сер. Математика. Механика. Астрономия.- 1964.- №7.- с. 165-167.; поправка, Вест. ЛГУ.Сер. физ., хим.- 1977.-№19.- С. 160.

83. Махмудов О.И., Ниязов И.Э. Регуляризация решения задачи Коши для системы уравнений теории упругости в перемещениях// Сиб.мат.журнал.-1998.-39,№2.-с.369-376.

84. Мелышченко И.П., Пик Е.М. Кватернионные потенциалы осесимметричных течений идеальной несжимаемой жидкости// Прикладная механика.- 1975.- т.П.- вып.1.- с.125-128.

85. Мерлин А.В. Сингулярное интегральное уравнение в классе несуммируемых функций на составном контуре// Сборник статей Международной конференции «Математика в высшем образовании», Чебоксары.-2005.-с.223-229.

86. Михайленко Б.Г., Соболева О.Н. Поглощающие граничные условия высокого порядка точности для уравнений теории упругости// Препр. Ин-т вычисл.мат. и мат.геофиз.СО РАН. 1997, №1101, с.1-14.

87. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения//JI.: Физматгиз, 1962.

88. Михлин С.Г. Курс математической физики. М.: Наука, 2002.

89. Михлин С.Г., Морозов Н.Ф, Паукшто М.В. Интегральные уравнения в теории упругости. СПб: Изд-во ун-та, -1994. - с.271.

90. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. -М.: Наука, 1966.-708с.

91. Натрошвили Д.Г. Об одном интегральном уравнении первого рода., Сообщения академии наук Грузинской ССР, 102, № 3,1981.

92. Наумов В.В. Аналитические результаты в мтематической теории упругости// Дисс. .канд. физ. мат. наук. Якутск.- 1983.-111 е.

93. Нерубайло Б.В., Смирнов Л.Г Об одном классе интегральных уравнений оссесимметричной теории упругости для составного пространства со щелями в плоскости раздела./.// Прик.мат. и мех.(Москва).- 1996.-60, №2 с.260-266. - Рус.

94. Несатый И.М Интегральные уравнения задачи теории упругости для плоскостей с криволинейными разрезами// Механика твердого тела 1991-№3.-с.56-58.-Рус.

95. Остросаблин Н.И., Сенатов С.И. Общие решения и симметрии уравнений линейной теории упругости // ДАН, 1992, т.322, №3, с.513-515.

96. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. М.: Наука, 1977,312 с.

97. Парчевский К.В., Парчевский В.П. Восстановление мгновенной скорости из экспериментальных данных с помощью метода регуляризации А.Н.Тихонова// Экология моря.-2001.-вып.55.-с.87-91.

98. Перлин П.И Об одном применении расходящихся интегралов в задачах теории потенциала и теории упругости// Прикл.мат. и мех.(Москва).-1993 .-57, №4.-с. 144- 146.-Рус.

99. Пименов А.А., Пушкарев В.И. Применение аппарата кватернионов к обобщению метода Колосова- Мусхелишвили на пространственные задачи теории упругости// ПММ.-1991. т.55. - Вып.З. - с.422-427.

100. Плакса С.А. Дифференцирование сингулярных интегралов и аналитическое продолжение интеграла типа Коши// Доп.Нац.АН Украины.-2004.-№6.- с. 18-26.

101. Плотников П.К. Построение и анализ кватернионных дифференциальных уравнений задачи определения ориентации твердого тела с помощью бесплатформенной инерциальной навигационной системы//Известия Академии наук.МТТ.-1999.-№2.- С. 3-15.

102. Положий Г.Н. Теория и применение р-аналитических и (p,q)-аналитических функций. -Киев: Наукова думка, 1973.-424с.

103. Попов О.Н. О модулях над кольцом многочленов, получаемых из представлений конечномерных ассоциативных алгебр.И. Случай несовершенного поля// Математический сборник.-2004.- Т.195.-№9.-С.75-84.

104. Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Наука, 1979.

105. Степанова И.Э., Страхов В.Н. О построении регуляризованного решения интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода// Ж.вычил.мат. и мат.физики.-1993 .-33 ,№ 11 .-с. 1378-1745.

106. Тарханов Н.Н. Метод параметрикса в теории дифференциальных комплексов. Новосибирск: Наука, 1990.

107. Тарханов Н.Н. Ряд Лорана для решений эллиптических систем. Новосибирск: Наука, 1991.

108. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. -М: Наука, 1972.-c.736.

109. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.-М.: Наука, 1986.

110. Ушаков Н.Г., Фирсова А.А. Метод монотонной регуляризации для одного класса нелинейных интегральных уравнений// Журнал вычислительной математики и математической физики.-1996.- т.36.-№2.-с.62-74.

111. Филиновский А.В. Убывание решений волнового уравнения и спектральные свойства оператора Лапласа в расширяющихся областях.// Математические заметки.-1998.-т.63, вып. 1.-С. 154-156.

112. Фридман Л.И Общие решения задач теории упругости и граничные задачи// Прикл.мат. и мех.(Москва).-2001,- 65, №2.- с.268-278.

113. Храпков А.А Интегральное уравнение Фредгольма первой основной задачи теории упругости для тела опертого на полуплоскость вдоль части прямолинейного отрезка границы/.// Изв.ВНИИ гидротех.-1997, -232, №1.- с.60-78.

114. Цалик A.M. Кватернионные преобразования в задачах механики стержневых систем// Изв. АН СССР. МТТ.-1991.-№1.-с.176-184.

115. Челноков Ю.Н. Кватернионы и динамика управляемого движения твердого тела// МТТ. 1996.- №2.- с.13-26.

116. Челноков Ю.Н. Оптимальное управление движением космического аппарата в ньютоновском гравитационном поле: применение кватернионов для описания ориентации орбиты// Космические исследования. 1999.- №4.- с.433-443.

117. Челноков Ю.Н. Применение кватернионов в задачах оптимальног управления движением центра масс космического аппарата в ньютоновском гравитационном поле.1//. Космические исследования. -2001,-№5.- с.502-518.

118. Шваб А.А. Некорректные статические задачи теории упругости// Изв АН СССР. Механика твердого тела.-1989.-№6.-с.24-27.

119. Шваб А.А. О задаче томографии в потенциальных статических полях// Сибирский журнал индустриальной математики.-1999.-т.2.-№1.-с. 196-202.

120. Шваб А.А. Решение обратной задачи теории упругости методом граничного интегрального уравнения для голоморфного вектора// Изв.АН СССР. Физика Земли. 1994,№4,с.62-67.

121. Шваб А.А. Существенно пероопределенная задача теории упругости// Сибирский журнал индустриальной математики.-2001.-т.4.-№1.-с.204-207.

122. Шеремет В.Д Построение матриц Грина и их приложение в теории упругости// Государ.ун-т Молдовы. Кишинев, 1994.-289с.-Библиограф.:121 назв. - Рус. - Деп. в МолдНИИТЭИ 29.6.94,1346-М94.

123. Широкова Е.А. Способ постановки обратной задачи теории упругости// Тр. Мат.центра им. Н,И,Лобачевского., -2001-.№ 8., с.244-246.

124. Шлапунов А.А. Об одном условии разрешимости систем с инъективным символом в терминах итераций потенциалов двойного слоя// Сиб.матем.журн.-2001 .-Т.42., №4.-с.952-963.

125. Шлапунов А.А. О задаче Коши для некоторых эллиптических комплексов с постоянными коэффициентами// Вестник КрасГУ.-2003.-с.62-72.

126. Шпилькер Г.Л. Гиперкомплексные решения уравнений Максвелла// ДАН СССР.-1983.-1.212- №6.- с. 1359-1369.