Представление аналитических функций рядами по элементарным решениям уравнения свертки тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ БАШКИРСКИЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ С ВЦ

На правах рукописи . КОМАРОВ АЛЕКСАНДР ВЛАДИМИРОВИЧ

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ ПО ЭЛЕМЕНТАРНЫМ РШЕНИЯМ УРАВНЕНИЯ СВЕРТКИ.

(OI.OI.01. - математический анализ)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации па сопоканпо ученой степени кандидата физико-ыатвматичаских наук

УФА - 1990

Работа выполнена в Башкирском государственном университете имени 40-летия Октября.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Напалков В.В.

Официальный оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Хромов А.П.

кандидат физико-математических наук Попёнов C.B.

Ведущая организация: Институт математики и механики

УрО АН СССР (г.Свердловск).

Защита состоится 19&Рг. в 15" ~

часов на заседании специализированного совета К 003.59.01 по присуждению учёной степени кандидата физико-математических наук в Институте математики с ВЦ Башкирского научного центра Уральского отделения АН СССР по адресу: г.Уфа, ул.ЦернышЕ&ске

II¿.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики с ВЦ.

Автореферат разослан

Учёный секретарь специализированного совета кандидат физико-математических наук

А.Б.Секерин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертация посвящена вопросам представ-, легаш реиений уравнений свертки рядами по элементарным решениям и разложения произвольных аналитических в областях пространства

Ц_ функций в ряд по элементарным реяениям системы уравнений свертки.

Вопросы полноты элементарных реиений, представления реаений уравнений свертки и произвольных аналитических'функций радами по элементарным реиениям уравнений свертки рассматривались в рабо -тах Л.Шварца, Л.Эренпрайса, Д.Диксона, А.Ф.Леонтьева, И.Ф.Кра-сичкова-Терновского, Ю.Ф.Коробейника, В.В.Напалкова, Ю.Н.Фроло-

•т

ва, Н.И.Рахимкулова, Р.С.Юлмухаметова, Ю.Н.Мельника, А.В.Братищева, В.И.Мацаева, В.А.Ткаченко, В.И.Шевцова, В.П.Громова, А.Б. Секерина, Р.Майзе и других авторов.

Цел^ -работы. I. Исследовать структуру С существование базиса из элементарных редений и изоморфизм с пространством последовательностей ) пространства реаений системы однородных уравнений свертки в весовом пространстве функций, аналитических в выпуклой неограниченной области и имеющих заданный рост на

бесконечности.

2. Изучить возможность разложения произвольной целой функции , принадлежащей области определения всех степеней некоторого диф-

ференциального оператора , в абсолютно сходящийся ряд по

некоторым линейным комбинациям корневых функций оператора и . 3. Доказать, что в пространстве реиений системы однородных урав-

эис Шаудера, каждый элемент которого является конечной линейной комбинацией элементарных реаений; а также изучить возможность

существует ба-

разложения в ряд по этому базису произвольной функции, аналитической в полиобласти

Методика исследования. В основе метода исследования лежит методика Р.Майзе, разработанная для доказательства существования базиса Шаудера в функциональных пространствах. Применяются современные методы функционального анализа и теории функций.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты, получении е в работе, носят теоретический характер и могут быть использованы в теории аппроксимации функций, при изучении свер-'точных уравнений в других функциональных пространствах.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на семинаре по теории функций имени А.Ф.Леонтьева в Банкирском Государственном университете им.40-летия Октября; на семинаре по комплексному анализу в Институте математики БНЦ УрО АН СССР; на Всесошном симпозиуме по теории аппроксимации функций ( г. Уфа, 1987г, ); на нпсоле-семинаре по комплексному анализу и математической физике ( г. Красноярск, 1987г. ).

Публикации. По теме диссертации опубликовано в работ, список которых приведен в конце автореферата. Работы ^и £ 2 ^ выполнены совместно с В.В.Напалковым. Из этих работ в диссертацию вклшены только те результаты, которые получены автором лично.

Объём работы. Диссертационная работа изложена на 127 страницах и состоит из введения и двух глав. Библиография содержит 53 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении излагается краткий обзор литературы по теме диссертации и приводятся основные результаты.

Первая глава посвящена представлению функций одного комплексного переменного рядами по более простым функциям С экспо-

К CL5-

ненциальннм одночлена;,: тЬ Q. (§2), или корневым функциям некоторого дифференциального оператора (§3) ). В §2 изучаются операторы свертки в весовом пространстве H(D^P) функций, аналитических в выпуклой неограниченной области имеющих заданный рост на бесконечности; пространствоHCDJ-P) введено С.В.Попёновнм.

С каждой выпуклой в (П функцией (р fzr), такой, что внутренность

(dorn ip)° множества

dorn Lp :

не пуста, можно связать нормированное пространство Н(^) аналитических функций H((p)={#G H((dOm :

Пусть ^"Р^^Р/^ ~ последовательность положительных выпуклых функций в (С , таких, что удовлетворяющих следующим условиям:

1) все области неограниченны и выпуклы, причем

dom^dD^^^,:..);

2) существует постоянная оС^^О, такая, что

In-Щ Iг-TI: ге Ък ,-fsb D^ » сСк;

3) существует постоянные

0<ак «С'о^д/, такие, что г\

1рк(г)--(гакIг I-- бк ,-гв IV;

4> ¿/т ц>иъ)Ш-*=+оо. /2/^05,^еВ^ .

Рассмотрим функции

{. /?е (^г) - (рЛп&)\,

сопряженные по Юнгу с ^-РиЛ"*-). Для последовательности

ФЧ«' . * .

выполняются соотношения: С/ОГП Ц^К —

С.В.Попенов доказал, что преобразование Лапласа

устанавливает топологический изоморфизм пространства сильно сопряженного с

и пространства целых функций

Е(Ф*)=1пс1.е'т Н(<р$).

В силу свойства (I) пространство ОДМ-' / является .модулем над кольцом

целых функций первого порядка и минимального типа ( и даже нормального типа, в случае, когда система такова, что ряд >^ {с!^ расходится ), Пусть - произвольная функция. С помощью преобразования Лапласа ^В определим оператор свертки следувдим равенством: ,

— ( —

Ре Н*(!)£&),

где - оператор уыноаения на

функцию в пространстве

Пусть Ц^,,.. ,1.1- некоторые целке функции, имеющие бесконечное число общих нулей. Обозначим через V/

подпространство в Н (, состоящее из решений с л едущей системы уравнений свертки

... „ С 2 )

В §2 описывается структура пространства \А/ при условии, что характеристические функции |_л д/ системы (2)

являются медленно убывающими в пространстве

При

этом определение медленно убывающей в

функции аналогично известному определению медленно убывающей функции в весовых алгебрах целых функций, данного К.Беренятейном и Б.А.Тейлором.

Следующая теорема является основным результатом §2. Теорема 2.4. Если функции ..»^д/ - медленно убыва-

щие в , то в пространстве VI/ существует базио

Шаудера |' каядай элемент которого является ли-

нейной комбинацией экспоненциальных одночленов вида содержащихся в

, причем отображение __

является топологическим изоморфизмом пространств^ ) и Здесь обозначено: „ Л _

ил/10О . / ч

где Vу£ ¿к;-)- последовательность общих нулей функций Ьл^«/,

• 1-1С^) > в которой каждый нуль повторяется ровно

т(а) = т/п{тп(а) | р«*-

ГП^(0.)- кратность нуля СХ. функции L •

Результат, аналогичный теореме 2.4, был впервые получен Р.Майзе для пространства Н((С) всех целых функций, а также Р.Майзе, К.Швердфегером и Б.А.Тейлором для случая локально выпуклого пространства Н , сильно сопряженное к которому изоморфно некоторой весовой алгебре целых функций. В связи с этим отметим, что пространство

е(фне является, вообще говоря,

даже кольцом.

Параграф 3 посвящен разложению некоторых целых функций в рад по линейным комбинациям собственных и присоединенных функций дифференциального оператора.

Пусть— Н«П ,^^^"СОО - пространство целых функций порядка не выше , наделенное топологией, определяемой эмейством преднорм \ д (~т I

Через обозначим пространство Н((П) всех целых функ-

ций с топологией равномерной сходимости на компактах. Рассмотрим оператор |_д , порождённый в пространстве^^^^^^ОО) операцией ,

и краевыми условиями:

41=

<Р^,у>=0, ¿ = 0,1,... П-4.,

где Р ., _ Р. . ^ - линейно независимая система линейных

О > ? м—Д. ,5-'. непрерывных функционалов на . Предполагается, что в случае

р =00 функцииЬ) - целые, а в случае^<<Ъ на накладывается следующее условие: _ много-

члены, причем их степени УТ7ь/ удовлетворяют неравенству:

тах

Ж.Валирон показал, что из последнего условия следует: всякое решение уравнения

принадлежит пространству СГ^,

Пусть-^^^С^-^ ФУ15да-*!ента-льная система частных

решений уравнения (3), определяемая начальными условиями:

Оператор 1л называется регулярным, если функция

не равна тождественно нулю. Известно, что спектр оператора совпадает с множеством нулей характеристического определителя

А(А)' и/

Обозначим через УУ/^ область определения всех степеней оператора , т.е. множество

В.И.Мацаевым и В.А.Ткаченко ранее было доказано, что если -

регулярный оператор, то любая функция , представля-

ется в виде предела ( в смысле топологии пространства )

Ог

некоторой последовательности частичных сумм ряда по корневым

функциям оператора .

В §3 дается более точное описание структуры пространства

У\/(7Ч/ при некотором дополнительном ограничении на регуляр-и п^/

ность оператора /_ц ' ¿уг^ { ^Ч

^ - множество нулей фушщии ). а ГТу- соответствующая кратность нуля • Рассмотрим

систему функций} определяемых равенствами .

Ц^Л) = Г^^^-лМ

° а хит1

где ) - функция Коши операции \ х-1~А _[_/•

Введем квадратную матрицу порядка П :

блочную прямоугольную 11 ПХ'П)- матрицу

^ I

\ К?/

и блочную квадратную матрицу порядка

...

>О ...

■ - 4

0.0 ...

\ о _ о W0JИ

Т-'

Регулярный оператор [_1 называется строго регулярным , еоли справедливо равенство^__^ и

для всех и •

Теорема 3.9. Если - строго-регулярный оператор, то в пространстве существует базис Шаудера, элементы которого являются конечными линейными комбинациями кор-

/Г^

невых функций оператора |_1 .

При доказательстве теоремы применяется метод, предложенный Р.Майзе.

Отметим, -что в частном случае П=.г£, т.е. когда оператор Ь пороаден операцией ^ и краевым условием

у = 01 £~*• пространство совпадает с

пространством решений уравнения свертки

В этом олучае оператор 1_1 строго регулярен, и теорема 3.9. вытекает из результатов работ Р.Майзе.

Вторая глава посвящена вопросам разложения функций, аналитических в полиоблаоти пространства

, в ряд по элементарным решениям системы уравнений свертки.

Пусть Ц^А^м.^^р^А^}- произвольные целые функции

комплексных переменных А^ 7., . 7 Л соответственно, причем Ц {Лр_г функция экспоненциального типа с индикаторной диаграммой бФ . Дкя каждого^ — П рассмотрим область ечъс вида .. , ..

^=17 (ТУП

рФ V

где О - некоторая выпуклая ограниченная область_комплексной плоскости, а ~ сдвиг к°мпакта 32)^ ^ на вектор Введем полиобласть

В пространстве 1~| аналитических в полиобласти (5- функций определим следующие операторы свертки:

Ч

-Ре И(&),

где >А ) - функция, ассоциированная по Борелю с функцией , а С^ - замкнутый спрямляемый контур, охватывающий компакт ^ и целиком лежащий в области & ^ ' щ систему однородных

М и[#] = о

Решениями системы (4) являются, например, экспоненциальные одночлены вида п . ! 1\ г

КХЦЙЙ ~ — - ' - — }

Рассмотри;.! систему однородных уравнений свертки

(4)

где через "Vобозначено множество нулей функции \_ад(Аг) . а через ПГу(о№)- кратность нуля СХ.ФеV 'Ф. Ч "

В §4 рассматривается пространство V\/вcex решений системы (4). Основным результатом §4 является следующая теорема. Теорема 4.3'. ¿¡ели для каадого^=^,...9П функция

ЫЛ.Л имеет вполне регулярный рост, то в пространстве \/\/

<10' п Л-,л") 00

существует базис Шаудера ^ХдЧТг/^ ^ элементы которого являются конечными линейными комбинациями функций системы (5).

Кроме того, в теореме 4.3 получены условия на рост коэффициентов в разложении по базису . аналогичные условиям, сформулированным в теореме 2.4.

В случае теорема 4.3 доказана В.В.Напалковым.

Рассмотрим полиобласть*Е)=3} з (С ^ , где

множество внутренних точек компакта . В срязи

с теоремой 4.3 возникает вопрос: можно ли разложить произвольную функцию ^И(В) в ряд по системе \Д/. построенной в теореме 4.3. Этот вопрос рассматривается в §5. Основным результатом параграфа 5 является следующее.

Теорема 5.3. Дяя каждой функции , аналитической в полиобласти

Т) , найдется хотя бы одна числовая последовательность такая, что представляется в "ХЗ о суммы ряда:

сходящегося абсолютно и равномерно в полиобласти _и ; здесь обозначено:

- 14 -

oo <20

: ZT I & к<оо\

= s=i J'

где 2>= ( -^.некоторая матрица Кёте ( т.е. для

неё выполнено OK'Es К^ ßs^K+l ) • зависящая только от области D и от нулей функций La,j_(. . , ft (An).

В заключение автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору В.В.Напалкову за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

о

Публикации по теме диссертации:

1. Напалков В.'В., Комаров A.B. О разложении аналитических функций в рад по элементарным решениям уравнения свертки //

Мат.сб.-1990. -Т .181, М. -С.556-563.

2. Напалков В.В., Комаров A.B. 0 разложении аналитических в полиобласти функций в ряды по элементарным решениям систем уравнений свертки// Препринт.-Уфа,1989.-31с.

3. Комаров A.B. 0 базисе в ядре сверточного оператора// Школа-

п dlsrriíOT. »»/%»■*» чт ТТЛ» вут птто тттгптт тя »«Omöll ЛтхоИТОО • Too или ттгиг —

vCAUina^ UV/ AUlVUWiV AU a Villi j Ш1 Wiuuj и muivmii^uwunw • «ww»v«* ^w»

ладоз.-Красноярск,1987.-С.5ü.

4. Комаров A.B. 0 существовании базиса в ядре сверточного оператора в весовом пространстве аналитических функций.-Уфа, 1987.-20с.-Деп. в ВИНИТИ'19.11.87,Ш36-В 87.

5. Комаров A.B. 0 базисе в пространстве решений системы уравнений свертки.-Уфа,1988.-16с.-Деп. в ВИНИТИ 15.03.89,

» I685-B 89.