Системы уравнений свертки в пространствах векторнозначных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. СИСТЕШ УРАВНЕНИЙ СВЕРТКИ В КОМ1ЛЕКСНЫХ

ОБЛАСТЯХ.

§1.0. Обозначения, предварительные сведения и результаты.

§ I.I. Формулировка теорем.

§ 1.2. Свойства функций CJ и хР.

§ 1.3. Доказательство теоремы I. Примеры.

§ 1.4. Доказательство теоремы 2.

§ 1.5. Доказательство теоремы 3.

§ 1.6. Доказательство теоремы 4.

§ 1.7. Инвариантные подпространства оператора кратного дифференцирования.

ГЛАВА 2. СИСТЕШ УРАВНЕНИЙ СВЕРТКИ В ВЕЩЕСТВЕННЫХ

ОБЛАСТЯХ.

§ 2.0. Обозначения и предварительные результаты

§ 2.1. Формулировка теорем.

§ 2.2. Свойства функций СО и ft.

§ 2.3. Доказательство теоремы 5.

§ 2.4. Доказательство теоремы б.

Диссертация посвящена изучению систем однородных уравнений свертки в пространствах векторнозначных функций в комплексных и вещественных областях.

Пусть - области в комплексной плоскости интервалы вещественной оси), Ы (Ui) (C(UL)) пространство функций, голоморфных в области UL (непрерывных на интервале U L ) с топологией равномерной сходимости на компактах, 1 - 1, ., (j' , S? - линейные непрерывные функционалы на пространстве Н, С Ut) ( С ( U;,)) , 1=1,.,^, j G J , где J - некоторое множество индексов.

Основной вопрос, рассматриваемый в диссертации - задача аппроксимации произвольного решения системы и j, (je) Ь n-V H.(ut) СП* C(UO), линейными комбинациями элементарных решений, то есть функциями вида где С m е С * •

В случае Cj, = [ J | =1 эта задача для комплексных областей рассматривалась в статьях

Зб] , [35], [39], [I] , [17] , [34], [19]. В этих работах предполагалось, что характеристическая функция соответствующего уравнения свертки, то есть < St , ехр /и2L > , удовлетворяет ограничениям типа оценок снизу.

Для Cj. - { наиболее полно эта задача изучалась в работах [91, [10], [II].

Было доказано, в частности, что если CJ = | J | = j , а область U< выпукла, то элементарные решения системы (х) полны в классе всех решений.

Для С|, > i вопрос исследовался в статьях [12], [13], [и]. Было доказано, в частности, следующее утверждение: если области UL , . , выпуклые, a Q. =1 , то элементарные решения системы (х) полны в классе всех решений.

Случай вещественных областей рассматривался при ц ~i в работах [33], [37], [38], [18]. Для U, = R в статье

38] показано, что элементарные решения системы (х) полны в пространстве всех решений. Наиболее общий результат для ограниченного отрезка получен в статье [18]. Ниже мы приведем его обобщение на случай ty > { (см. теорему б).

Для CJ, - 2. , U{ = Uz - R в статье [32] показано, что элементарные решения системы (х) полны в классе всех решений.

Произвольные системы уравнений свертки в комплексном и вещественном случае мало исследованы. К таким исследованиям можно отнести лишь [12], [13], [14], [32]. Трудности, возникающие в изучении этих систем, связаны в основном с тем, что элементарные решения образуют несчетное множество. Эти трудности в некоторых важных случаях удалось в диссертации обойти.

Перейдем к изложению основных результатов диссертации. л

Введем следующие обозначения: Ч* ( Я-0 — S (ju} SJ , ^^t-ijej ' - сопряженные диаграммы элементов матрицы = conv UjeJ fe' f Где conv E - выпуклая оболочка множества E . Максимальное по J" G С число п линейно-независимых строк матрицы Ц> fju) назовем рангом системы С х) . Если Cj, = I J I - п , то обозначим Ч (ju) - присоединенная матрица к Ч'С^а) , то есть транспонированная матрица алгебраических дополнений, -сопряженные диаграммы элементов матрицы Ч>* (ju) , % -сопряженная диаграмма функции L (ju) = d at (ju), Кi - соп ^ .

Для вектор-функции -f e П^ Ы С ( 1 ~тая компонента функции { голоморфна в некоторой окрестности компакта & i ) положим Г 6 UJ (ju.f, Ч, 0L) ,

-^где uxju, f, а) = ^U^S^V^^f, а е П"„ , С

- замкнутый контур, не проходящий через нули функции L (ju) . Можно показать (см. § 1.2), что функция fP является линейной комбинацией элементарных решений системы (х). Если внутри контура С только один нуль функции L Cju) » то функцию ? (z, f, Ч\ С ) будем также обозначать 9 С z., -f, Ч, Я-) . Предполагая, что п для выпуклого компакта ^ с ^ определим С^, ч>, fe Vt как объединение множеств nsn=< LU + B^ftj] по всем системам ( В , . . , В ) таким, что В , . , В выпуклые компакты и для любых ^ и j сопъ и,"„ (В''*^1леит, в'с [n"m(umздесь символ обозначает ту связную компоненту множества М , которая содержит нуль, а

U - fe = Ue(C : z +

Заметим, что если области Ui, . U n выпуклые, то Имеет место следующий результат

Теорема I. Пусть для функции I* (ju^ выполняется оценка и , \ I ГЬ (.-azg/u, - £3 ljul

Ияп > CU) е где - выпуклый компакт, б, к) = sup Re z е

-ie ке z в

26 'ft.

Тогда для fe П"=< Н, ОЛ в топологии bi (С bint fe) — ) t Где C^ ! ljul ~ » { ^ m ^ n , Lntk. внутренность множества fe. . Если функция { e ПHLCU-J удовлетворяет системе (к), то указанный предел достигается в топологии пространства Н, (( U, ч, ft )т) ■

Первая часть теоремы доказывается методом, изложенным в монографии [20] (с 301-306) для доказательства аналогичного результата при n = 1 , а доказательство второй части опирается на первую и использует свойства функции , изученные в параграфе 1.2.

Для n > i разложения такого вида в различных пространствах аналитических функций, удовлетворяющих системе типа (я), рассматривались в работе [30] . Для пространств вида су

U(UO из результатов этой статьи вытекает такое утверждение.

Пусть U, - • • • - Un - для системы

IE) Ul =n, ki c(UKil ,

1 L (jiOl e. , \fx\ = zK, г^ —.

Тогда выполняется соотношение ft. (г, f, Ч, CJ - fm(z) в топологии пространства

Теорема I в этой ситуации гарантирует сходимость в топологии пространства

Н, \Ъ\ < Q. + R - ntiV . Приведены примеры, показывающие точность теоремы I, в частности, построен пример системы, для которой та -тые компоненты элементарных решений не полны в любой области, содержащей замыкание множества

U,

П П> KCIL: J и 1. ex)

Для формулировки следующей теоремы введем такие обозначения: для А с £ , М с R d |

A, JU ) = {zeC: Re z el0< h(-0,A^, QejU}.

Если V - область в плоскости, 0 £ fy < • • • < Q р < 2 ,

Qs+1 -9S <SI, Gs„ -51/2 < as < 6S + 5i/2 ,

S = 1,., p,9 =0f+2S( , и функция tjeltCV) то T (j, V, ) - область, образованная точками Z <=■ такими, что функцию ^ можно аналитически продолжить в z. по лучу [z.0 + гехр C-ias), из точки е V для некоторого S

Теорема 2. Пусть L (ju) - функция вполне регулярного роста и числа 1 к \ «-=» таковы, что где X - сопряженная диаграмма функции L Ср) ; пусть, далее, j14» - последовательность различных нулей функции L (ju) , • - их кратность, 0 ^ < • • • < 9 р <

9s+< - Я/z < as < Qs +5J/2, S= 1,., p, Qp+1 = 9. + 291. Тогда существует последовательность многочленов QuO, с< > 0, > 0 f степень ^ ^ ^ - не выше , что для | (lL"t Ы С К) и любого т , 1 < m ^ п q CD) s>m(г. f. ч». Я^ ^Г- Са. f. в топологии пространства ЬЬ (С) , где 1) - оператор дифференцирования. Если & - компакт в области Т ( {m , int ЗЯ} — , {9S1, { ^ ) и расстояние от ее границы до & больше , то равномерно на & т Сн, {, fm (.z.).

Для функции С UL) $ удовлетворяющей системе (я), последний предел достигается равномерно на компакте В' области Tt<m. сопи CU, если расстояние от ее границы до о больше °с .

Эта теорема доказывается на основе свойств функции Р для п = 1 и свойств квазиполиномов с показателями, лежащими в угле.

В параграфе 1.5 получен следующий результат. Теорема 3. Пусть L (ju) - функция вполне регулярного роста и функция { ^ П1=< К» С Ui) удовлетворяет системе (эс), S 1 € п1а< а CUL) , -Ь .t { - сопряженная диаграмма функции < S " 1, G, ^ > ,

31- П;", [convCU^,^)^ с 1 = 0

Если sr, и Сн+1) >=о, то функции ^ ( Z-. » ^» -Мр) удовлетворяют последнему уравнению для любого нуля функции L (ju) •

Этот результат является новым и для n = i . Если, например, q, = i , IJ1-2. , Ut=£lzl<iJ , -= {lzl * Чг \ , функции < Sf\ exp (juz^>, < exp (ju2^> вполне регулярного роста не имеющие общих нулей, функция I ^ Н» С Ui) удовлетворяет системе (я), то из предложения 6.5 статьи [101 вытекает, что f = 0 если диаметр ^ меньше единицы. По теореме 3 функция -f = 0 , если, например, компакт fe v является отрезком длины меньшей

5 .

Эта теорема позволяет свести в некоторых случаях вопрос полноты элементарных решений системы уравнений свертки, у которой ранг равен числу неизвестных функций, к аналогичное вопросу для системы, у которой и число уравнений равно рангу.

Следующая теорема позволяет в некоторых случаях задачу полноты элементарных решений системы уравнений свертки сводить к аналогичной задаче для системы, у которой ранг совпадает с числом неизвестных функций.

Для формулировки этой теоремы предположим, что i J I - п и обозначим /(-Р Cju} матрицу, образованную первыми П столбцами матрицы 4*(ju) , а л ч> Cju) - последними ty - п столбцами, Е( - сопряженные диаграммы элементов матрицы 4 ("YXfO » i- = 1» —i • j = n • ^ - сопряженную диаграмму функции oiet /lF (ju) ,

PCS) = (Cp, . „ P^) : Pi -полиномы, s;*4, ptl**U> =0 .если s™ e en: н;сс) и ta[s,,.,s".sB<,}=ni

Теорема 4. Пусть del 4 (jtO - функция вполне регулярного роста, области Li**, , . , ЬЦ выпуклые, U- + Е{ , 1=1, Я--п' Г"1'

Тогда любую функцию f е П*, K(U;) можно представить в виде f = гч\ где f » f ^ П t =я ЬЬ ( U-t) s что у функции ' последние ^ - п компонент нулевые, а функция | х аппроксимируется функциями из PCs) в топологии пространства п.д H.CUO .

При доказательстве этой теоремы используется результат о разрешимости неоднородного уравнения с характеристической функцией вполне регулярного роста (см. [71, [6]).

Приведем два результата, иллюстрирующих указанные выше теоремы.

X). Пусть функция fe niei НД U0 удовлетворяет сисп { £ п теме (я). Предположим, что найдутся функционалы S , . , о е е {. ^ \ » где п - ранг системы f SJ ] , такие, что det 4(f0 Ф 0 функции < St , ехр (ju*)> имеют минимальный тип ь, ^ = •• •» п . Пусть, далее, области Un+t , ., Li су выпуклые, причем с ,

I = i, ., п , С. - n-vi, -Цг . Тогда справедливы утверждения: а) функция 11 голоморфно продолжается в область г conv U-fc, L = i , . , n f (5) I = f + t , где

1е Vi С сопи Ll-^ 9 при этом последние ty-к компонент функции {' равны нулю и для некоторой последовательности

Ген) = tim 9 (е, г, С, ) где в топологии ПГа, н, Ссопи U-J , Ск ljul = ^ функции S5 (z., f , Ч* , С.^) удовлетворяют системе f 'SJ, j G J } . Функция ? аппроксимируется в топологии П К, (con и Ut ) векторами с полиномиальными компонентами, удовлетворяющими системе (зе). Этот результат усиливает соответствующее утверждение работы [12] (теорема 10), где доказана только полнота элементарных решений системы (к) в классе всех решений из пространства П Ls{ К» (. U-L) при дополнительных предположениях: a) U, = - *• = U^ ; б) функции SL , exp (juz.) > , I = n + i , . , с], п имеют минимальный тип

2) Пусть области U4, ., , U ^ выпуклые и функция f е П.*, Ы ( U[) удовлетворяет системе уравнений свертки (к). Предположим, что найдутся функционалы $', . , S^ S4^ * , где п - ранг системы (я), для которых выполняются условия a) det ' <f (ju) функция вполне регулярного роста с сопряженной диаграммой + ; б) для некоторой выпуклой области О , содержащей нуль и чисел

0<> 0*0^ et*05 * гя, - 0, , s =1,2,3, в) u. f fet 3 Ut fev , 1= n+i,., n г) если S^ [s\ . , sn i , то

VL* Пи, [( 6,4 = 0.

Тогда f = f * , где функции f\ F ев

H/CUO таковы, что I) последние ty ~п компоненты равны нулю и она представляется в виде предела в топологии • H/CU0 линейных комбинаций элементарных решений системы я), у которых последние 9" ~ п компоненты также равны нулю; ог

2) функция т аппроксимируется решениями системы (я) с полиномиальными компонентами в топологии П1=1 H,(U-t)

Сравним этот результат с аналогичным утверждением статьи [12] (с.39), которое можно сформулировать так.

Пусть функция f е 0.J, Ы (lit) удовлетворяет системе (к), 1Л = п, X = + ••• + , где сопряженная диаграмма функции de.i Cju") » U = (9 + & L для некоторой выпуклой области (9 , содержащей начало, l=i,., cj, . Если для функции det выполнена оценка

Ickl либо на последовательности окружностей стремящейся к бесконечности, либо на трех лучах исходящих из начала, то функция I аппроксимируется линейными комбинациями элементарных решений системы (к) в топологии пространства П.* Ы (Ui)

Если предположить, что функция det Ч (ju) вполне регулярного роста, то все условия нашего примера будут выполнены.

В параграфе 1.7 рассматриваются замкнутые подпространства пространства голоморфных функций в области, инвариантные относительно кратного дифференцирования. Показывается, что вопрос полноты квазиполиномов в таких подпространствах сводится к вопросу полноты элементарных решений некоторой системы уравнений свертки в пространстве векторнозначных функций и строятся примеры, дающие отрицательное решение проблемы 6.5 книги [4], которая заключалась в следующем.

Пусть U выцуклая область в плоскости ч . , Sn е еН, (li), р , pn^K/CU) , спектр оператора

Л , где в пространстве

W = [fsaCU):<S.,iKf>=0, 1=1, .,п, К= 0, 1 ,. ] дискретен. Спрашивается, не будут ли собственные и присоединенные функции оператора Л , попавшие в пространство "V , полны в нем?

Приступим теперь к изложению результатов второй главы, в которой рассматриваются системы уравнений свертки в вещественных областях.

Предположим, что для системы (к) | JI = ty = п ,и для функции I 6 п."( L ( lo , где L (Ь^ пространство интегрируемых по Лебегу функций, определим вектор-функцию

JUZ ъ г о { Г е LO (ju.f, ч>, О.) f, = " --:- dju,

С L(;u) г oil где

1 J"1 i=t , С, - замкнутый контур, не проходящий через нули функции L (ju) , если внутри контура С лежит только ОДИН нуль 5й о функции L (jtO » то функцию У ( Z, Ч, С) будем также обозначать (z, f, ju0) . В параграфе 2.3 доказана

Теорема 5. Существуют такие замкнутые контуры и Гк , что llm ?т (z.-f, if. ГЛ =f* U) lim 9т ч, Г1)= Гт U)

К -*оо в топологии пространств Н, ([^т 2. > О , Re.H.<s (Lnt ft) —

- и , Rene Otft)5

- ]tra ]) , соответственно, где i £ m ^ n . При у — О jj^ -о в топологии пространства C((tnt ЭД.) ~ ^ )

Если же функция f ^ И;", С ( Ui) и удовлетворяет системе (к), то первые соотношения выполняются в топологии пространств H,([W >0 , Reze П {L^+ П ^ tU,-5

V)]"-2- ГСП1) и К ССЗтн <0 , и

Мл - ^Г w соответственно. А при у — о в топологии пространства е с пл, { ит».+ ntM (ut

- fehl - i) •

Первая часть этой теоремы доказывается тем же методом, что и аналогичное утверждение для п = 1 в монографии [20] (см. с.435-447), а вторая часть - на основе первой и свойств функции ^ , полученных в параграфе 2.2.

В конце параграфа 2.3 приведен пример, показывающий, что интервал сходимости, о котором говорится в теореме 5, вообще говоря, не может быть увеличен.

В последнем параграфе доказана

Теоремаб. Пусть Ч^Т, 1=1, . cj. , функция I е. nLt С (JR) удовлетворяет системе (зек).

Тогда справедливы следующие утверждения: а) существуют функции f И Л, И, ({3m z > 0 ]) и П-,!, Н, < 0 1) , что для любого у >0 функции (i+(x+lip, и

•••> удовлетворяют системе (зек) и при у — О "fm (x-Lij) L М в топологии пространства С CiR) , где I 4 m 4 q, f б) функция 4 аппроксимируется линейными комбинациями элементарных решений системы (эве) в топологии пространства гСсЖо.

При доказательстве этой теоремы используются результаты первой главы.

Теорема 6. существенно усиливает результат работы 132], в которой рассмотрен случай ty = Z и доказана лишь полнота элементарных решений системы (зе) в классе всех решений.

Результаты диссертации изложены в работах [24], [25], [26]. Они докладывались на Всесоюзном симпозиуме по теории аппроксимации функций в комплексной области в г.Уфе (1980) и на семинарах Отдела физики и математики Башкирского филиала АН СССР, Башкирского государственного университета имени 40-летия Октября, на 2-ой Саратовской зимней школе по теории функций и приближений (1984 г.).

Основные научные положения, вынесенные в диссертации на защиту, заключаются в следующем:

1). Получено представление вектор-функций в виде ряда элементарных решений квадратной невырожденной системы уравнений свертки (теорема I).

2). Описаны области, в которых ряд элементарных решений квадратной невырожденной системы (эе), сопоставляемый функции , суммируется аналогом метода Рисса к самой функции (теорема 2).

3). Описаны случаи когда вопрос полноты элементарных решений системы уравнений свертки сводится к аналогичному вопросу для квадратной невырожденной системы (теоремы 3 и 4).

4). Описаны области, в которых ряд элементарных решений квадратной невырожденной системы (к), сопоставляемой функции , суммируется методом Абеля к самой функции (теорема 5).

5). Доказано, что элементарные решения системы уравнений свертки в пространстве С (JR) полны в классе всех решений (теорема 6).

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю В.В.Напалкову за постоянное внимание и помощь в работе над диссертацией.

1. Гельфонд А.О. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами бесконечного порядка и асимптотические периоды целых функций. - Тр. Матем. ин-та им. В.А.Стеклова, 1951, 38.

2. Данцер Л., Грюнбаум Б., Кли В. Теорема Хелли. М.: Мир, 1968, 160 с.

3. Ибрагимов И.И. Методы интерполяции функций и некоторые их применения. М.: Наука, 197I, 520 с.

4. Исследования по линейным операторам и теории функций. 99 нерешенных задач линейного и комплексного анализа. Л.: Наука, Л. отд-е, 1978.

5. Келли Дж.Л. Общая топология. М.: Наука, 1968, 384 с.

6. Коробейник Ю.Ф. О решениях дифференциального уравнения бесконечного порядка, аналитических в некруговых областях. -Матем.сб., 1966, т.71, №4, с.535-544.

7. Коробейник Ю.Ф. О решениях некоторых функциональных уравнениях в классах функций, аналитических в выпуклых областях. -Матем.сб., 1968, т.75, №2, с.225-234.

8. Красичков И.Ф. Однородное уравнение типа свертки на выпуклых областях. ДАН СССР, 1971, т.197, № I, с.29-31.

9. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. I. Спектральный синтез на выпуклых областях. Матем.сб., 1972, т.87, №4, с.459-489.

10. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. П. Спектральный синтез на выпуклых областях. Матем.сб., 1972, т.88, № I, с.3-30.

11. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. Ш. 0 распространении спектрального син12