Правые обратные к операторам представления рядами экспонент и свертки тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Представления рядами по собственным функциям линейного оператора.

1.1. Представления обобщенными рядами Фурье

1.2. Представления рядами по системе £д при наличии произвольного нетривиального разложения нуля.

1.3. Применения теоремы 1.2.

1.4. Примеры

1.5. Представительные подпространства пространств Фреше.

Предварительные построения и результаты

Применения к представительным подпространствам

1.6. Примеры представительных подпространств

1.7. Интерполяционный ряд Лагранжа и проективные описания

ГЛАВА II. Представления аналитических функций рядами из квазиполиномов

2.1. Основные и вспомогательные пространства

2.2. Реализация /i(IE) в качестве векторнозначного пространства Кете

2.3. Применения к представлениям рядами из квазиполиномов

2.4. Применения к описанию базисов в ядре оператора свёртки.

2.5. Описание ядра оператора представления

2.6. Интерполирующий функционал, задаваемый целой функцией двух комплексных переменных.

2.7. Характеристики граничного поведения плюрикомплексных функций Грина.

2.8. Критерии существования и формулы для правого обратного для оператора представления

2.9. Аналоги рядов из квазиполиномов для многих переменных

Представления рядами из интегралов

Правый обратный для оператора представления.

ГЛАВА III. Левый обратный к оператору сужения на весовых пространствах целых функций.

3.1. Критерии существования левого обратного в терминах продолжения исходной функции

3.2. Анализ исходных предположений. Условия с субгармоническими функциями

3.3. Применения к представлениям рядами по дельта-функциям

3.4. Примеры

ГЛАВА IV. Обобщенные ряды экспонент для распределений и ультрараспределений

4.1. Пространства ультрадифференцируемых функций и ультрараспределений типа Бьерлинга

4.2. Сильные и (DN)-BecoBbie функции. Существование специальных семейств плюрисубгармонических функций

4.3. Обобщенные ряды Фурье для ультрадифференцируемых функций и абсолютно представляющие системы обобщенных экспонент в D'u{l\a)

4.4. Интерполирующий функционал А.Ф. Леонтьева для ультрараспределений . —

4.5. Правый обратный к оператору представления и формула для него

ГЛАВА V. Представления рядами экспонент функций, аналитических на выпуклых локально замкнутых множествах

5.1. Свойства выпуклых локально замкнутых множеств.

5.2. Пространство функций, аналитических на выпуклом локально замкнутом множестве.

5.3. Условия сюръективности оператора представления.

5.4. Условия существования правого обратного к оператору представления

5.5. Случай одного переменного

ГЛАВА VI. Правые обратные к операторам свертки.

6.1. Предварительные результаты

6.2. Абстрактный критерий существования правого обратного к оператору свертки.

6.3. Аналитические критерии

6.4. Случай одного комплексного переменного

Настоящая диссертация посвящена проблеме, которую в общей постановке можно сформулировать следующим образом. Пусть Е и F - локально выпуклые пространства (коротко: ЛВП), Т : Е —► F - линейный непрерывный оператор. При каких условиях существует линейный непрерывный правый обратный к Т оператор П : F —> Е, т.е. линейное непрерывное из F в Е отображение такое, что Т(И(у)) = у для любого у € F ? Для конкретных классов пространств Е, F и операторов Т эта задача ставилась и решалась Шварцем, Гротендиком, Б.С.Митягиным, Тейлором, Фогтом, Майзе, Бонетом, Ю.Ф.Коробейником, их учениками и многими другими математиками. Простейшим необходимым условием наличия линейного непрерывного правого обратного к Т является сюръ-ективность Т. Если Е и F имеют "хорошую" топологическую структуру (например, если Е и F - пространства Фреше), то Т имеет линейный непрерывный правый обратный в том и только в том случае, когда он сюръ-ективен и его ядро Ker Т дополнимо в Е. Поэтому во многих направлениях в анализе решение данной проблемы - естественный этап после исследования операторов (с бесконечномерным ядром) на сюръективность. Отметим, что для некоторых классов ЛВП Е и F со специальной топологической структурой всякий линейный непрерывный сюръективный оператор Т : Е —► F имеет непрерывный правый обратный, который не обязательно будет линейным. По теореме Майкла [163] это так, например, если Е и F - пространства Фреше. Задача же о наличии непрерывного правого обратного со свойством линейности для бесконечномерных ЛВП даже с "хорошими" характеристиками, несмотря на наличие приведенного выше абстрактного критерия, индивидуальна: для различных классов операторов Т разрабатываются специфические методы ее решения.

В настоящей работе данная проблема решается для двух классов операторов, играющих важную роль в комплексном анализе и его приложениях, интенсивно изучающихся в последние десятилетия и очень тесно друг с другом связанных: для операторов представления элементов различных функциональных пространств рядами экспонент или их обобщений и для операторов свертки в пространствах аналитических функций. Операторами свертки являются, в частности, дифференциальные операторы бесконечного порядка с постоянными коэффициентами. Для первого класса операторов соответствующая проблема "нахождения линейного и непрерывного способа определения коэффициентов" была сформулирована Ю.Ф.Коробейником именно в связи с приложениями к конструктивному построению решений уравнений свертки, линейно и непрерывно зависящих от правой части (см., например, [39]). Для дифференциальных операторов P{D) в частных производных в пространствах распределений D'(Q) задача о наличии линейного непрерывного правого обратного к P(D) была поставлена Л.Шварцем в начале пятидесятых годов прошлого века. Она была окончательно решена Майзе, Тейлором и Фогтом в совместной работе [153].

Проблема существования линейного непрерывного правого обратного (далее: правого обратного) к оператору представления рядами экспонент восходит к исследованиям А.Ф.Леонтьева о представлении аналитических функций рядами экспонент. В конце шестидесятых годов А.Ф.Леонтьев (см. [50], Гл. V) установил, что для произвольной ограниченной выпуклой области G в (С существует последовательность (Xj)j£^ в (С такая, что всякую аналитическую в G функцию / можно разложить в ряд экспонент

Е^ех р(А,-), (0.1) je IN абсолютно сходящийся в пространстве Фреше A{G) всех аналитических в G функций. При этом Xj являются простыми нулями специальной целой в (С функции L экспоненциального типа с сопряженной диаграммой G, где G - замыкание области G в (D (по поводу понятий из теории целых функций, используемых в диссертации, см., например, [46], [50]). Особенностью систем £л := {ехр(Л^-)}^е1\т, где (Xj)je^ С (С - произвольная последовательность, не обязательно нули целой функции L, как выше, является то, что 6А не может быть базисом в A(G). Систематическое исследование этого "феномена" начато в работах Ю.Ф.Коробейника [22] (§ 2), [23] (Гл. Ill, § 1). В связи с неединственностью разложения функций / е A(G) в ряды вида (0.1) возникает задача о линейном и непрерывном способе определения коэффициентов cj разложений (0.1), и, в первую очередь, о существовании такого способа. А.Ф.Леонтьев указал формулы для коэффициентов Cj представлений (0.1) для функций /, аналитических в некоторой области, содержащей G, т.е. аналитических на G. Именно, пусть e\(z) := exp(Az), A,z G (С; A(G) - пространство всех ростков аналитических на G функций со стандартной топологией индуктивного предела; A{G)' - топологическое сопряженное к A(G) пространство; Т - преобразование Лапласа: ^(^(А) := у?(ед), А е (С, <р е A(G)'. Если показатели Aj - такие, как у А.Ф.Леонтьева [50] (т.е. простые нули специальной целой функции L с сопряженной диаграммой G), то существуют единственные функционалы щ Е A(G)', для которых T((pj){\) = L(A)/(L'(Aj)(A - Aj)), А Е (D, j Е IN. При этом система (<pj)je]$ биортогональна к £д, т.е. <Pk(e\j) = faj, k,j Е IN. Согласно [50] (Гл. IV, §7) для / е в (0.1) коэффициенты можно вычислять по формулам Cj — <Pj(f), j Е IN. Поскольку функционалы tp3 нельзя продолжить линейно и непрерывно на все пространство A(G), то способ А.Ф.Леонтьева определения коэффициентов cj разложений (0.1) для / € A(G) неприменим ко всем функциям / Е A(G). Поэтому для решения указанной проблемы определения коэффициентов (т.е. задачи о правом обратном к оператору представления) приходится привлекать другие методы. Их разработке посвящена значительная часть настоящего исследования.

Оператор представления, введенный Ю.Ф.Коробейником, определяется следующим (или ему подобным) способом. Пусть Е - секвенциально-полное ЛВП (над полем (С), X := (xj)jG]N - последовательность элементов Е, А(Е, X) - пространство всех последовательностей (cj)jeiN в (С таких, что ряд £ c-jXn абсолютно сходится в Е. В Л(Е.Х) из Е наводитje IN ся соответствующая локально выпуклая выпуклая топология. Оператор представления R задается равенством R(c) :— Y^ CjXj, с Е Х)\ R линейно и непрерывно отображает А(Е, X) в Е. В случае, когда оператор R сюръективен, по [23] X называется абсолютно представляющей системой (коротко: АПС) в Е.

Отметим, что в последнее время задача о правом обратном к оператору представления нашла приложения не только в упомянутой выше проблеме существования "оператора решения" для уравнения свертки в пространствах аналитических функций [35], [36], [141], но и в задаче Коши для уравнений в частных производных [38], [40], [135], а также в проблеме продолжения бесконечно дифференцируемых функций [136].

Вторая основная рассматриваемая в диссертации проблема о правом обратном к оператору свертки в пространствах аналитических функций получила импульс к своему развитию в начале восьмидесятых годов прошлого века, когда независимо друг от друга Тейлор [182] (с помощью правого обратного к d-оператору) и Швердтфегер [176] (используя структурную теорию пространств Фреше) установили, что в пространстве Фре-ше целых в (С функций всякий ненулевой дифференциальный оператор бесконечного порядка с постоянными коэффициентами обладает линейным непрерывным правым обратным. Затем эти исследования были продолжены Майзе, Тейлором, Моммом, Ю.Ф.Коробейником и другими математиками. К настоящему времени получены критерии наличия линейного непрерывного правого обратного к операторам свертки в пространствах функций, аналитических в выпуклых областях и на выпуклых компактах и, более общим образом, на выпуклых локально замкнутых множествах (см. главы V и VI). Оказалось, что условия существования правого обратного к операторам свертки в таких пространствах и к оператору представления рядами экспонент формулируются в одинаковых терминах, связанных с граничным поведением (локальным или глобальным) плюрикомплексных функций Грина соответствующих выпуклых множеств. Ниже мы остановимся на этом подробнее.

Перейдем к обзору результатов данной диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав и списка литературы. Глава I. Данная глава играет вспомогательную роль. В §§ 1.1-1.4 решается следующая задача. Имея в качестве "прообраза" пару A(G), A(G) и оператор дифференцирования, мы вводим локально выпуклые пространства (ЛВП) Е и F такие, что Е секвенциально полно, F непрерывно вложено в Е; D - линейный непрерывный оператор в F и в Е. Предполагается, что любое комплексное число является собственным для оператора D; для любого /1 € (D инвариантное подпространство оператора D, соответствующее собственному значению ц, одномерно; система £ := {е\ | Л 6 Ф} собственных векторов оператора D полна в F и в Е, и векторнозначная функция Л i-> е\ е F - целая. Следуя Ю.Ф.Коробейнику, определим абстрактное преобразование Фурье-Лапласа Т\

1. Абанин А.В. О некоторых признаках слабой достаточности // Ма-тем. заметки. 1986. Т.40. N 4. С.442-454.

2. Абанин А. В. О продолжении и устойчивости слабо достаточных множеств // Изв. вузов. Математика. 1987. N 4. С. 3-10.

3. Абанин А.В. Нетривиальные разложения нуля и абсолютно представляющие системы // Матем. заметки. 1995. Т.57. N 4. С.483-497.

4. Абанин А. В. Достаточные множества и абсолютно представляющие системы // Дисс. доктора физ.-мат. наук. Ростов-на-Дону, 1995.

5. Братищев А.В. Базисы Кете, целые функции и их приложения // Дисс. доктора физ.-мат. наук. Ростов-на-Дону, 1998.

6. Бремерман Г. Распределения, комплексные переменные и преобразования Фурье. М.: Мир, 1968.

7. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1976.

8. Горина О.В. Дифференциальные операторы в пространствах аналитических функций с ограничениями на рост вблизи границы // Дисс . канд. физ.-мат. наук. Ростов-на-Дону, 1987.

9. Громов В.П. О представлении произвольных функций двух комплексных переменных двойными функциональными рядами типа рядов Дирихле // Изв. АН СССР. Серия матем. 1968. Т. 32. N 3. С. 621-632.

10. Громов В.П. Порядок и тип линейного оператора и разложение в ряд по собственным функциям // Докл. АН СССР. 1986. Т.288. N 1. С.27-31.

11. Громов В.П. Нетривиальные разложения нуля и представляющие системы собственных векторов линейного оператора // Докл. АН СССР. 1991. Т.319. N 4. С.801-805.

12. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966.

13. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции. М.: Наука, 1979.

14. Епифанов О.В. Критерий эпиморфности свертки в произвольных областях комплексной плоскости // Матем. заметки. 1982. Т.31.B. 5. С.695-705.

15. Захарюта В. П. Экстремальные плюрисубгармонические функции, гильбертовы шкалы и изоморфизм пространств аналитических функций многих переменных // Теория функций, функциональный анализ и их приложения.I. 1974. В. 19. С. 125-133.

16. Захарюта В.П. Экстремальные плюрисубгармоническме функции, ортогональные многочлены и теорема Бернштейна-Уолша для аналитических функций многих комплексных переменных // Annal. Polon. Math. 1976. V.33. P. 137-148.

17. Знаменский C.B. Сильная линейная выпуклость // Дисс . докт. физ.-мат. наук. Москва, 1993.

18. Знаменский С.В., Козловская Е.А. Критерий эпиморфности оператора свертки с точечным носителем в пространстве функций, голоморфных на связном множестве в Ж // Докл. АН. 1999. Т.368. N 6.C.737-739.

19. Знаменский С.В., Знаменская Е.А. Сюръективность оператора свертки с точечным носителем в пространстве функций, голоморфных на произвольном множестве в (D // Докл. РАН. 2001. Т.376. С.590-592.

20. Коробейник Ю.Ф. О решениях некоторых функциональных уравнений в классах функций, аналитических в выпуклых областях // Матем. сб. 1968. Т.75 (117). N2. С.225-234.

21. Коробейник Ю. Ф., Леонтьев А. Ф. О свойстве внутрь-продолжа-емости представляющих систем экспонент // Матем. заметки. 1980. Т. 28. В. 28. С.243-253.

22. Коробейник Ю.Ф. Интерполяционные задачи, нетривиальные разложения нуля и представляющие системы // Изв. АН СССР. Серия матем. 1980. Т.44. N5. С.1066-1114.

23. Коробейник Ю.Ф. Представляющие системы // Успехи матем. наук. 1981. Т.36. В.1. С.73-126.

24. Коробейник Ю.Ф. Некоторые вопросы теории представляющих систем // Теория функций и приближений. Саратов: изд-во Сарат. ун-та, 1983. С.3-16.

25. Коробейник Ю.Ф. Операторы свертки в комплексной области // Матем. сб. 1985. Т.127. N 2. С.173-197.

26. Коробейник Ю.Ф. Представляющие системы подпространств // Матем. заметки. 1985. Т.38. В.5. С.741-755.

27. Коробейник Ю.Ф. Индуктивные и проективные топологии. Достаточные множества и представляющие системы // Изв. АН СССР. Серия матем. 1986. Т.50. N 3. С.539-565.

28. Коробейник Ю.Ф. Абсолютно представляющие системы в пространствах Фреше и реализация сопряженного пространства // Международная конференция по комплексному анализу и приложениям. Тезисы докладов. Варна, 1987. С. 110.

29. Коробейник Ю.Ф., Мелихов С.Н. Реализация сопряженного пространства с помощью обобщенного преобразования Фурье-Бореля. Приложения // Комплексный анализ и математическая физика. Красноярск, ИФ СО АН СССР, 1988. С.62-73.

30. Коробейник Ю.Ф. О мультипликаторах весовых функциональных пространств //Analysis Math. 1989. Т. 15. С. 105-114.

31. Коробейник Ю.Ф. О правом обратном операторе для оператора свертки // Укр. матем. журнал. 1991. Т.43. N 9. С. 1167-1176.

32. Коробейник Ю.Ф. О разрешимости уравнения свертки в классах вещественно-аналитических функций // Мат. заметки. 1991. Т.49. В.2. С.

33. Коробейник Ю.Ф. Нетривиальные разложения нуля по абсолютно представляющим системам. Приложения к операторам свертки // Матем. сб. 1991. Т.182. N5. С.661-680.

34. Коробейник Ю.Ф. Нетривиальные разложения нуля в теории представляющих систем // Изв. вузов. Математика. 1992. N 7. С.26-35.

35. Коробейник Ю.Ф., Мелихов С.Н. Линейный непрерывный правый обратный для оператора представления и конформные отображения // Докл. АН. 1992. Т.323. N5. С.826-829.

36. Коробейник Ю.Ф., Мелихов С.Н. Линейный непрерывный правый обратный для оператора представления и приложения к операторам свертки // Сиб. матем. ж. 1993. Т.34. N1. С.70-84.

37. Коробейник Ю.Ф. О правом обратном для оператора свертки в пространствах ростков на связных множествах в (D // Матем. сб. 1996. Т. 187. N 1. С.55-86.

38. Коробейник Ю.Ф. Представляющие системы экспонент и задача Коши для уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами // Изв. РАН. Серия матем. 1997. Т.61. N 3. С.91-132.

39. Коробейник Ю.Ф. Абсолютно представляющие системы (результаты, приложения, проблемы) // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Ест. науки. 1997. N 4. С.5-11.

40. Коробейник Ю.Ф. О некоторых приложениях абсолютно представляющих систем экспонент к задаче Коши // Изв. вузов. СевероКавказский регион. Ест. науки. 2000. N 3. С.80-83.

41. Коробейник Ю.Ф. Метод Фурье в задаче Коши и абсолютно представляющие системы экспонент // Дифф. уравнения. 2000. Т.36. N 3. С.251-255.

42. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. I. Спектральный синтез на выпуклых областях // Матем. сб. 1972. Т.87. N 4. С.459-489.

43. Красичков-Терновский И.Ф. Одна геометрическая лемма, полезная в теории целых функций, и теоремы типа Левинсона // Матем. заметки. 1978. Т.24. В.4. С.531-546.

44. Кривошеев А.С. Критерий разрешимости неоднородных уравнений свертки в выпуклых областях пространства (Dn // Изв. АН СССР. Серия матем. 1990. Т.54. N 3. С.480-500.

45. Кривошеев А.С. Представление решений однородного уравнения свертки в выпуклых областях пространства (Сп // Изв. РАН. Серия матем. 1994. Т. 58. N 1. С.71-91.

46. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиздат, 1956.

47. Левин Б.Я., Любарский Ю.И. Интерполяция целыми функциями специальных классов и связанные с нею разложения в ряды экспонент // Изв. АН СССР. Серия матем. 1975. Т.39. N 3. С.657-702.

48. Лелон П., Груман Л. Целые функции многих комплексных переменных. М.: Мир, 1989.

49. Леонтьев А.В. О представлении аналитических функций рядами экспонент в полицилиндрической области // Матем. сб. 1972. Т. 89. N 4. С.364-383.

50. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976.

51. Леонтьев А.Ф. Об эквивалентных условиях представления аналитических функций рядами экспонент // Матем. заметки. 1976. Т.20. В.1. С.91-104.

52. Леонтьев А.Ф. Обобщения рядов экспонент. М.: Наука, 1981.

53. Ле Хай Хой, Коробейник Ю.Ф. Представляющие системы экспонент в полицилиндрических областях // Матем. сб. 1983. Т. 122. N 4. С.458-474.

54. Любарский Ю.И., Содин М.Л. Аналоги функций типа синуса для выпуклых областей // Препринт 17-86, ФТИНТ АН УССР, Харьков, 1986.

55. Любарский Ю.И. Ряды экспонент в пространствах Смирнова и интерполяция целыми функциями специальных классов // Изв. АН СССР. Серия матем. 1988. Т.52. N 3. С.559-580.

56. Маергойз Л.С. Асимптотические характеристики целых функций и их приложения. Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1991.

57. Маергойз Л.С. Индикаторная диаграмма целой функции уточненного порядка и ее обобщенные преобразования Бореля-Лапласа // Алгебра и анализ. 2000. N.2, С.1-63.

58. Макаров Б.М. Об индуктивных пределах нормированных пространств // Вестник ЛГУ. Сер. мат., мех., астроном. 1965. В. 3. С.50-58.

59. Мальцев И.М. Эпиморфность оператора свертки в пространствах функций, аналитических на связных множествах // Докл. АН. 1994. Т.336. N 3. С.293-300.

60. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. Т. 1. М.: Наука, 1967.

61. Матерон М. Случайные множества и интегральная геометрия. М.: Мир, 1978.

62. Мелихов С.Н. Абсолютно сходящиеся ряды в канонических индуктивных пределах // Матем. заметки. 1986. Т.39. N 6. С.877-886.

63. Мелихов С.Н. О некоторых представительных подпространствах пространств аналитических функций // Деп. в ВИНИТИ 24.08.86. N 1930-В. 42 с.

64. Мелихов С.Н. Нетривиальные разложения нуля и представительные подпространства // Теория функций и приближений. Труды 3-ей Саратовской зимней школы. 4.III. Саратов: изд-во Сарат. унта. С.27-29.

65. Мелихов С.Н. О разложении аналитических функций в ряды экспонент // Изв. АН СССР. Серия матем. 1988. Т.52. N5. С.991-1004.

66. Мелихов С.Н. Нетривиальные разложения нуля и представительные подпространства // Изв. вузов. Математика. 1990. N 8 С.53-65.

67. Мелихов С.Н. Обобщенные ряды экспонент для распределений // Докл. АН. 1996. Т.323. N 5. С.826-829.

68. Мелихов С.Н., Момм 3. О линейном непрерывном правом обратном для оператора свертки на пространствах ростков аналитических функций на выпуклых компактах в (С // Изв. вузов. Математика. 1997. N5. С.38-48.

69. Мелихов С.Н. Об одной некорректной задаче в теории рядов Дирихле // Интегро-дифференциальные операторы и их приложения.B.2. Ростов-на-Дону, Издательский центр ДГТУ, 1997. С.112-117.

70. Мелихов С.Н. Обобщенные ряды Фурье для распределений и ультрараспределений и их применения // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова, 5-11 сентября 1998 г. (Абрау-Дюрсо). Ростов-на-Дону, 1998. С. 107-109.

71. Мелихов С.Н. О левом обратном для оператора сужения на весовых пространствах целых функций // Современные проблемы теории функций и их приложения. Саратов: изд-во Сарат. ун-та, 2000.C.93-94.

72. Мелихов С.Н. О представлении аналитических функций рядами из интегралов от квазиполиномов // Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы. I. Комплексный анализ. Уфа, 2000. С.115-119.

73. Мелихов С.Н. Аналоги рядов Дирихле аналитических функций многих переменных // Актуальные проблемы математического анализа. Сборник научных трудов. Ростов-на-Дону: изд-во "ГинГо", 2000. С.100-108.

74. Мелихов С.Н. Продолжение целых функций вполне регулярного роста и правый обратный для оператора представления аналитических функций рядами квазиполиномов // Матем. сб. 2000. Т. 191. N 7. С.105-128.

75. Мелихов С.Н. О левом обратном к оператору сужения на весовых пространствах целых функций // Алгебра и анализ. 2002. Т. 14. N 1. С.99-133.

76. Мелихов С.Н., Момм 3. Коэффициенты рядов Дирихле аналитических функций // Докл. АН. 2002. Т.383. N 1. С.20-23.

77. Моржаков В.В. Абсолютно представляющие системы экспонент в пространствах аналитических функций многих комплексных переменных // Деп. в ВИНИТИ 16.01.81. N 245-81. 31 С.

78. Моржаков В.В. Об уравнениях свертки в пространствах функций, голоморфных в выпуклых областях и на выпуклых компактах в &т // Матем. заметки. 1974. Т.16. N 3. С.431-440.

79. Моржаков В.В. Об эпиморфности оператора свертки в выпуклых областях из (С1 /I Матем. сб. 1987. Т. 132. N 3. С.352-370.

80. Налбандян Ю.С. Кратные абсолютно представляющие системы // Дисс. канд. физ.-мат. наук, Ростов-на-Дону, 1995.

81. Напалков В.В. О дискретных достаточных множествах в некоторых пространствах целых функций // Докл. АН СССР. 1980. Т. 250. N 4. С.809-812.

82. Напалков В.В., Секерин А.Б. Слабо достаточные множества и представление аналитических функций многих переменных рядами Дирихле // Докл. АН СССР. 1981. Т. 260. N 3. С.535-539.

83. Напалков В.В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. М.: Наука, 1982.

84. Напалков В.В. О сравнении топологий в некоторых пространствах целых функций // Докл. АН СССР. 1982. Т.264. N 4. С.827-830.

85. Напалков В.В. О строгой топологии в некоторых весовых пространствах функций // Мат. заметки. 1986. Т.39. N 4. С.529-538.

86. Напалков В.В. Пространства аналитических функций заданного роста вблизи границы // Изв. АН СССР. Серия матем. 1987. Т.51. N 2, С.287-305.

87. Напалков В.В. О базисе в пространстве решений уравнения свертки // Мат. заметки. 1988. Т.40. B.l. С.44-55.

88. Напалков В.В., Комаров А.В. О разложении аналитических в полиобласти функций в ряды по элементарным решениям систем уравнений свертки // Препринт. Уфа, 1989.

89. Напалков В.В., Рудаков И.А. Оператор свертки в пространстве вещественно аналитических функций // Мат. заметки. 1991. Т.49. N 3. С.57-65.

90. Пич А. Ядерные локально выпуклые пространства. М.: Мир, 1967.

91. Ронкин ЛИ. Введение в теорию целых функций многих переменных. М.: Наука, 1971.

92. Секерин А.Б. О представлении аналитических функций многих переменных рядами экспонент // Изв. РАН. Серия матем. 1992. Т. 56. N 3. С.538-565.

93. Ткаченко В.А. Об операторах типа свертки в пространствах функционалов // Докл. АН СССР. 1974. Т.219. N 3. С.555-557.

94. Фролов Ю.Н. Ряды по решениям дифференциальных уравнений // Дисс. доктора физ.-мат. наук. Уфа, 1974.

95. Фролов Ю.Н. Об условиях представимости целых функций рядами по собственным функциям оператора обобщенного дифференцирования // Диффер. и интегр. уравнения. Горький, 1982. N 6. С.68-74.

96. Фролов Ю.Н. Представление аналитических функций рядами по решениям дифференциальных уравнений // Мат. заметки. 1990. Т.47. N4. С.106-114.

97. Хермандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. М.: Мир, 1968.

98. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. I. М.: Мир, 1986.

99. Чанкаев М.Х. Об одном обобщении одной теоремы А.Ф.Леонтьева // Всесоюзный симпозиум по теории приближ. функций. Уфа. 1987. С.175.

100. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. М.: Наука, 1969.

101. Шефер X. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1971.

102. Шрайфель И.С. Абсолютно представляющие системы в пространствах аналитических функций // Дисс. канд. физ.-мат. наук. Ростов-на-Дону, 1985.

103. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. М.: Мир, 1969.

104. Эдварде Р. Ряды Фурье в современном изложении. II. М.: Мир, 1985.

105. Юлмухаметов Р.С. Пространство аналитических функций, имеющих заданный рост вблизи границы // Матем. заметки. 1982. Т.32. В. 1. С.41-57.

106. Юлмухаметов Р.С. Аппроксимация субгармонических функций // Analysis Math. 1985. Т. 11. С. 257-282.

107. Baerstein А. II. Representation of holomorphic functions by boundary integrals // Trans. Amer. Math. Soc. 1971. N 60. P.27-37.

108. Berenstein C.A., Taylor B.A. Interpolation problems in (Dn with applications to harmonic analysis // J. d'Analyse Math. 1980. V. 38. P.188-254.

109. Bierstedt K.-D., Meise R., Summers W.H. A projective description of weighted inductive limits // Trans. Amer. Math. Soc. 1982. V.272. P. 107160.

110. Bierstedt K.-D., Meise R., Summers W.H. Kothe sets and Kothe sequence spaces // Functional Analysis, Holomorphy and Approximation Theory, J.A.Barroso (ed.), North-Holland Publishing Company, 1982. P.28-91.

111. Bonet J., Melikhov S.N. Interpolation of entire functions and projective descriptions // J. Math. Anal, and Appl. 1997. V.205. P.454-460.

112. Bonet J., Taskinen J. The subspace problem for weighted inductive limits of spaces of holomorphic functions // Michigan Math. J. 1995. V.42. P.259-268.

113. Braun R. An extension of Komatsu's second structure theorem for ultradistributions // J. Fac. Sci. Tokyo. Sect.IA. 1993. V.40. P.411-417.

114. Braun R., Meise R. Generalized Fourier expansions for zero-solutions of surjective convolution operators on D{w}(IR,y // Arch. Math. 1990. V.55. P.55-63.

115. BraunR., MeiseR., TaylorB. A. Ultradifferentiable functions and Fourier analysis // Results Math. 1990. V.17. P.206-237.

116. Dickson D.G. Analytic mean periodic functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1964. V.110. P.361-374.

117. Dubinsky E. Nonlinear analysis in different kinds of Frechet spaces // Nonlinear analysis and applications. Lect. Notes in Pure and Appl. Math. V.80. Marcel Dekker, New York, 1982. P.91-116.

118. Ehrenpreis L. Solution of some problems of division // Amer. J. Math. 1960. V.82. P.522-588.

119. Ehrenpreis L. Fourier Analysis in Several Complex Variables. Wiley-Interscience Publ., New York, 1970.

120. Floret K. Lokalkonvexe Sequenzen mit kompakten Abbildungen // J. Reine und angew. Math. 1971. V.247. P. 155-195.

121. FrankenU., Meise, R. Generalized Fourier expansions for zero-solutions of surjective convolution operators on D'(IR) and D^(IR) // Note Mat. 10, Suppl.l. 1990. P.251-272.

122. GrothendieckA. Produits tensoriel topologiques et espaces nucleaires // Mem. Amer. Math. Soc. 16, Providence, 1955.

123. Gruman L. Some precision the Fourier-Borel transform and infinite order differential equations // Glasgow Math. J. 1973. V.36. N 14. P. 161-167.

124. Hamilton R.S. The inverse function theorem of Nash and Moser // Bull. Amer. Math. Soc. 1982. V.7. P.65-222.

125. Hormander L. On the range of convolution operator // Ann. of Math. 1962. V. 76. P. 148-170.

126. Hormander L. On the existence of real analytic solutions of partial differential equations with constant coefficients // Invent. Math. 1973. V.21. P.151-182.

127. Hormander L. Notions of Convexity. Birkhauser Boston, Basel, Berlin, 1994.

128. Klimek M. Pluripotential Theory. London Math. Soc. Monogrphs (N.S.) 6, Oxford Univ. Press, Oxford, 1991.

129. Komatsu H. Ultradistributions I, Structure theorems and a characterization // J. Fac. Sci. Tokyo Sec. IA. V.20. P.25-105.

130. Korobeinik Yu.F. Nontrivial expansions of zero and absolutely representing systems // Anal. Math. 1992. V.18. N 5. P.261-282.

131. Korobeinik Yu.F. Convolution operators on spaces of analytic germs in (E // Linear Topological Spaces and Complex Analysis. 1994. 1. P.33-51.

132. Korobeinik Yu.F. Representing Systems of Exponentials and Projection on Initial Data in the Cauchy Problem // Turkish J. of Math. Ankara. 2000. V.24. N 1. P.59-66.

133. Korobeinik Yu.F. On absolutely representing systems in spaces of infinitely differentiable functions // Studia Math. 2000. V.139. N 2. P.175-188.

134. Langenbruch M. Splitting of the d-complex in weighted spaces of square integrable functions // Rev. Mat. Univ. Complut. Madrid. 1992. V.5. P.201-223.

135. Langenbruch M. The splitting condition for the weighted ^-complex // Result. Math. 1992. V.22. P.560-597.

136. Langenbruch M. Continuous linear right inverses for convolution operators in spaces of real analytic functions // Studia Math. 1994. V. 110. P.65-82.

137. Langenbruch M., Voigt J. On Banach spaces invariant under differentiation // Bull. Soc. Royale Sci. de Liege. 2000. V.69. N 6. P.387-393.

138. Lfi Hai Kh£>i. Convolution Operators on Holomorphic Dirichlet Series // Tokyo J. Math. 1997. V.20. N 2, P.389-402.

139. Lempert L. La metrique de Kobayashi et la representation des domaines sur la boule // Bull. Soc. Math. France. 1989. V. 109. P.427-474.

140. Levin B.Ya. (in collaboration with Lyubarskii Yu.I, Sodin M.L., Tkachenko V.A.) Lectures on Entire Functions. AMS, Providence, Rhode Island, 1996.

141. Martineau A. Sur la topologie des espaces de fonctions holomorphes // Math. Annal. 1966. V.163. P.62-88.

142. Martineau A. Equations differentielles d'ordre infini // Bull. Soc. Math. France. 1967. V.95. P. 109-154.

143. Meise R. Sequence space representations for (DFN)-algebras of entire functions modulo closed ideals // J. Reine und angew. Math. 1985. V.363. P.59-95.

144. Jarchow H. Locally Convex Spaces. Stuttgart: Teubner, 1981.

145. Meise R., Taylor B.A. Splitting of closed ideals in (DFN}-algebras of entire functions and the property (DN) II Trans. Amer. Math. Soc. 1987. V.302. P.341-370.

146. Meise R., Taylor B.A. Sequence space representations for (FN)-algebras of entire functions modulo closed ideals // Studia Math. 1987. V.85. P.203-227.

147. Meise R., Taylor B.A. Whitney's extension theorem for ultradif-ferentiable functions of Beurling type // Ark. Mat. 1988. V.26. P.265-287.

148. Meise R., Taylor B.A. Each non-zero convolution operator on the entire functions admits a continuous linear right inverse // Math. Z. 1988. V.197. P. 139-152.

149. Meise R. Sequence space representations for zero-solutions of convolution equations on ultradifferentiable functions of Roumieu type // Studia Math. 1989. V.125. P.211-230.

150. Meise R., Taylor B.A., Vogt D. Characterization of the linear partial operators with constant coefficients that admit a continuous linear right inverse // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). 1990. V.40. P.619-655.

151. Meise R., Vogt D. Einfuehrung in die Funktionalanalysis. Braunschweig, Wiesbaden: Vieweg, 1992.

152. Melikhov S.N. On absolutely representing systems of quasipolynomials in spaces of analytic functions // Nukleare Frechet Raume. Tagungsbericht. 7/1990, Oberwolfach, P.7-8.

153. Melichow S.N. Uber absolut reprasentierende Systeme aus Quasipoly-nomen in Raumen analytischer Funktionen // Math. Nachr. 1992. B.158. S.299-323.

154. Melikhov S.N, Momm S. Solution operators for convolution equations on the germs of analytic functions on compact convex sets of (VN II StudiaMath. 1995. V.117. P.79-99.

155. Melikhov S.N. Generalized Fourier expansions for distributions and ultradistributions // Revista Mat. Univ. Compl. Madrid. 1999. V.12. N 2. P.349-379.

156. Melikhov S.N., Momm S. Analytic solutions of convolution equations on convex sets with obstacle in the boundary // Math. Scand. 2000. V.86. P.293-319.

157. Meril A., Struppa D.C. Convolutors in spaces of holomorphic functions // Lect. Notes in Math. 1987. V. 1276. P.253-275.

158. Meyer T. Surjektivitat von Faltungsoperatoren auf Raumen ultradifferen-zierbarer Funktionen vom Roumieu-Typ // Thesis, Diisseldorf, 1992.

159. Meyer T. Surjectivity of convolution operators on spaces of ultradif-ferentiable functions of Roumieu type // Studia Math. 1997. V.125. P.101-129.

160. Michael E. Continuous selections. II // Annals of Math. 1956. V.63. N 2. P.361-382.

161. Momm S. Convex univalent functions and continuous linear right inverses // J. Functional Analysis. 1992. V.103. P.85-103.

162. Momm S. Division problems in spaces of entire functions of finite order // Functional Analysis (Bierstedt, Pietsch, Ruess, Vogt, eds.), Lecture Notes Pure Appl. Math. 1993. V.150. Marcel Dekker, New York, P.435-457.

163. Momm S. A critical growth rate of the pluricomplex Green function // Duke Math. J. 1993. V.72. P.487-502.

164. Momm S. Convolution equations on the analytic functions on convex domains in the plane // Bull. Sci. Math. Soc. 1994. V.345. P.729-752.

165. Momm S. On the dependence of analytic solutions of partial differential equations from the right-hand side // Trans. Amer. Math. Soc. 1994. V.345. P.729-752.

166. Momm S. A division problem in the space of entire functions of exponential type // Ark. Mat. 1994. V.32. P.213-236.

167. Momm S. The boundary behavior of extremal plurisubharmonic functions // Acta Math. 1994. V.172. P.51-75.

168. Momm S. An extremal plurisubharmonic function associated to a convex pluricomplex Green function with pole at infinity // J. Reine Angew. Math. 1996. V.471. P.139-163.

169. Momm S. Extremal plurisubharmonic functions for convex bodies in (С"¥ // Complex analysis, harmonic analysis and applications. Deville, R. (ed.) et al. Bordeaux, France 1995. Harlow: Longman, Pitman Res. Notes Math. Ser. 1996. V.347. P.87-103.

170. Pommerenke C. Univalent functions with achapter on quadratic differentials by Gerd Jensen. Goettingen: Vandenhoek and Ruprecht, 1975.

171. Rudin W. Real and Complex Analysis, third edition. McGraw-Hill, New York, 1987.

172. Schneider D.M. Sufficient sets for some spaces of entire functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1974. V.197. P.161-180.

173. Schwerdtfeger K. Faltungsoperatoren auf Raumen holomorpher und beliebig oft differenzierbarer Funktionen // Thesis, Diisseldorf, 1982.

174. Siciak J. On some extremal functions and their applications in the theoty of analytic functions of several complex variables // Trans. Amer. Math. Soc. 1962. V.105. P.322-357.

175. Sigurdsson R. Growth properties of analytic and plurisubharmonic functions of finite order. Doctoral diss. Lund University, 1984.

176. Sigurdsson R. Convolution equations in domains on WN // Ark. Mat. 1991. V.29. P.285-305.

177. Taylor В.A. A seminorm topology for some (DF)-spaces of entire functions // Duke Math. J. 1971. V.38. N 2. P.379-385.

178. Taylor B.A. Om weighted polynomial approximation of entire functions // Рас. J. Math. 1971. V.36. P.523-539.

179. Taylor B.A. Linear extension operators for entire functions // Michigan Math. J. 1982. V.29. P.185-197.

180. Vogt D. Eine Charakterisierung der Potenzreihen von endlichem Тур und ihre Folgerungen // Manuscripta Math. 1982. V.37. P.269-301.

181. Vogt D. Operators between Frechet spaces // Preprint, Wuppertal, 1989.

182. Wiegerink I.J. Growth properties of Paley-Wiener functions on (Dn // Nederl. Akad. Wetensch. Proc. 1984. A87. P.95-112.